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Testes de hipótese
Prof. Dr. Paulo PicchettiM.Sc. Erick Y. Mizuno
COMENTÁRIOS INICIAIS
Uma hipótese estatística é uma afirmativa a respeito de um parâmetro de uma distribuição de probabilidade. Por exemplo, podemos formular a hipótese que a produtividade 2,5 peças/hora. Formalmente isso é escrito
como:
H0 : 2,5 peças/hora H1 : 2,5 peças/hora
Ho é chamada de hipótese nula e H1 de hipótese alternativa. Nesse caso, a alternativa formulada é bilateral, mas também podem ser estabelecidas alternativas unilaterais, tais como: H0 : 2,5 peças / hora
H1 : 2,5 peças/hora
Os testes de hipótese são uma das aplicações da estatística mais usadas. Via de regra, a hipótese nula é feita com base no comportamento passado do produto/processo/serviço,
enquanto a alternativa é formulada em função de
alterações/inovações recentes. No ambiente atual de melhoria contínua, é fácil entender a importância dos testes de hipótese, eles permitem confirmar a eficácia das medidas de melhoria adotadas. Ao testar a hipótese, toma-se uma amostra aleatória do sistema em estudo e se calcula a estimativa desejada. Conforme o valor da estimativa, a hipótese nula será aceita ou rejeitada, a partir de procedimentos estatísticos.
Ao testar uma hipótese, há dois tipos de erros que podemos cometer:
= P {rejeitar Ho/Ho é verdadeira} = erro do tipo I = P {aceitar Ho/Ho é falsa} = erro do tipo II
O procedimento usual é fixar o valor de e verificar o valor de . O risco é uma função do tamanho da amostra, e é controlado indiretamente. Quanto maior o tamanho da amostra, menor será o risco .
Na seqüência os seguintes pontos serão cobertos: - Comparação de médias, variância conhecida; - Comparação de médias, variância desconhecida; - Comparação de pares de observações; - Comparação de variâncias;
- Comparação dos parâmetros da Binomial.
COMPARAÇÃO DE MÉDIAS, VARIÂNCIA CONHECIDA
Suponha que X é uma variável aleatória com média desconhecida e variância 2conhecida. E queremos testar a hipótese que a média é igual a um certo valor especifica 0. O teste de hipótese pode ser formulado como segue:
Ho : 0
H1 : 0
Para testar a hipótese, toma-se uma amostra aleatória de n observações e se calcula a estatística
Eq 128: Z0 =
Note que o teste é feito usando-se / no denominador, uma vez
que esse é o desvio padrão da média.
A hipótese Ho é rejeitada se > onde Z/2 é um valor limite da distribuição normal reduzida tal que a probabilidade de se obter valores externos a ± Z/2 é . Ou seja, a probabilidade do valor
Zo acontecer segundo a hipótese nula é menor do que a , logo
rejeita-se a hipóterejeita-se nula Ho.
Assim, se
X resultar próximo de
0, ou seja, < , ahipótese Ho é aceita; caso contrário, se
X resultar longe de
0, ouseja, se > , a hipótese Ho é rejeitada.
EXEMPLO 1
Um processo deveria produzir mesas com 0,85 m de altura. O engenheiro desconfia que as mesas que estão sendo
produzidas são diferentes que o especificado. Uma amostra de 8 mesas foi coletada e indicou X 0,84 m. Sabendo que o desvio padrão é
0,010m, teste a hipótese do engenheiro usando um nível de significância =0,05.Solução: H0 : = 0,850 H1 :
Z0 = = - 0,85
Z0,025 = 1,96 ( Bilateral )
Como, < não se pode desprezar H0.
Em alguns casos, o objetivo pode ser rejeitar Ho somente se a verdadeira média for maior que . Assim, a hipótese
alternativa unilateral será H1 :
o
, e a hipótese nula será rejeitada somente se Zo > Z.Se o objetivo for rejeitar Ho somente quando a verdadeira
média for menor que o, a hipótese alternativa será H1 :
o, e a hipótese nula será rejeitada somente se > .
Quando há duas populações com médias desconhecidas, digamos o
e
1e variâncias conhecidas,
e
, o testepara verificar a hipótese de que as médias sejam iguais é o seguinte:
H0 : 1 = 2 H1 : 1 2
Nesse caso, a partir de uma amostra aleatória de n1
observações da população 1 e n2 observações da população 2, calcula-se:
Z0 =
E Ho é rejeitada se , ou seja, a probabilidade do valor Zo acontecer segundo a hipótese nula é menor do que
, logo rejeita-se a hipótese nula Ho.No caso da alternativa unilateral H1 :
1
2, a hipótese nulaHo será rejeitada quando Zo > Z. E se a alternativa unilateral for H1 :
1
2, a hipótese Ho será rejeitada quando resultar> .
Hipótese Estatística Critério para rejeitar H0 H0 : = 0 H1 : 0 Z0 = ( Bilateral ) H0 : = 0 H1 : 0 > ( Unilateral ) H0 : = 0 H1 : 0 H0 : 1 = 2 H1 : 1 2 Z0 = ( Bilateral ) H0 : 1 = 2 H1 : 1 2 > ( Unilateral ) H0 : 1 = 2 H1 : 1 2
POPULAÇÃO
2 SÃO DESCONHECIDAS?Suponha que X é uma variável aleatória Normal com média e variância
2desconhecidas. Para testar a hipótese que a média é igual a um valor especificado 0, formulamos:
H0 : = 0
H1 : 0
Esse problema é idêntico aquele da seção anterior, exceto que agora a variância é desconhecida. Como a variância é
desconhecida, é necessário fazer a suposição adicional que a variável tenha distribuição Normal. Essa suposição é
necessária para poder desenvolver a estatística do teste; contudo, os resultados ainda serão válidos se o afastamento da normalidade não for forte. Como
2não é conhecido, usa-se a distribuição de Student-t para construir a estatística do teste:
t0 =
E a hipótese nula H0 : = 0 é rejeitada se > onde é um valor limite da distribuição de Student-t tal que a probabilidade de se obter valores externos a é .
EXEMPLO 2
Um empresário desconfia que o tempo médio de espera para
atendimento de seus clientes é superior a 20 minutos. Para testar essa hipótese ele entrevistou 20 pessoas e questionou quanto tempo demorou para ser atendido. O resultado dessa pesquisa aparece a seguir. Conclua, ao nível de significância de 5% (ou ... ao nível de
aceitação de 95%) se sua suspeita está correta.
22 20 21 23 22 20 23 22 20 24 21 20 21 24 22 22 23 22 20 24 Solução: H0 : = 20 minutos H1 : > 20 minutos X = 21,8 min S = 1,4 min
t0 = = = 5,75
= 5,75 = 1,729
Como > , rejeita-se H0.
DUAS AMOSTRAGENS...
Quando há duas populações normais com médias
1
2e variânciase
desconhecidas, as hipóteses para testar se as médias são iguais são as seguintes:H0 : 1 = 2 H1 : 1 2
O procedimento do teste irá depender se
. Se essa suposição for razoável, então calcula-se a variância combinada:E a seguir calcula-se a estatística
t0 =
Um engenheiro desconfia que a qualidade de um material pode depender da matéria-prima utilizada. Há dois fornecedores de matéria-prima sendo usados. Testes com 10 observações de cada fornecedor indicaram: X139, S1 7, X243, S2 9 . Use um nível de significância = 0,05 e teste a hipótese do
engenheiro. Solução: H0 : 1 = 2 H1 : 1 2 Supondo
, temos: A estatística teste: t0 = t0,025;18 =2,101Exercícios
Exercício 7.1 Estabeleça a hipótese nula e a hipótese alternativa para as seguintes situações:
a) Um fornecedor afirma que o tempo de vida de um produto que ele comercializa é maior que 3 meses.
B) Um engenheiro desconfia que uma máquina está fora do ajuste, produzindo peças com diâmetro diferente do especificado que é de = 2,54.
c) Um fabricante atesta que o consumo de um certo modelo de eletrodoméstico é inferior a 20 watts.
Exercício 7.2 Uma amostra de vinte observações de um produto indicou um tempo de vida média de 217 ciclos. Sabendo que o desvio padrão é de 20 ciclos, teste a hipótese de que o tempo de vida é inferior a 250 ciclos,
conforme
atestam alguns engenheiros. Use = 0,05.
Exercício 7.3 Dois tipos de combustíveis estão sendo testados. A hipótese é que eles tenham o mesmo desempenho. Teste essa hipótese, sabendo que o desvio-padrão é conhecido
= 0,7 Km/l e os resultados de testes feitos com 10 automóveis usando cada tipo combustível indicaram
X1 13,3Km / l e X2 13,9Km / l. Use = 0,05.
Exercício 7.4 Os dados a seguir representam a produtividade de um processo. Use = 0,05 e teste a hipótese de que nas condições atuais a produtividade seja superior a 1,5.
1,50 1,55 1,59 1,42 1,53 1,58 1,48 1,52 1,53 1,62 1,46 1,56 1,63 1,54 1,58 1,68
Exercício 7.5 Repita o exercício 7.3 supondo que o desvio-padrão não fosse conhecido, mas que tivesse sido medido nas duas amostras de 10 valores, resultando em S1 = 0,6 Km/l e S2 = 0,8 Km/l.
(Suponha
e use = 0,05).Exercício 7.6 Um médico está estudando o crescimento de dois tipos de bactérias. Essas bactérias foram cultivadas em diferentes substratos. Como pode haver um efeito significativo do substrato, os dois tipos de bactérias foram cultivados em cada substrato. Use = 0,01 e teste a hipótese de que a bactéria 1 cresce mais que a bactéria 2.
Substrato 1 2 3 4 5 6 7 8
B1 3,0 3,2 2,7 2,5 3,8 4,3 3,5 4,8
Exercício 7.7 Um fabricante atesta que as máquinas de enchimento que ele produz apresentam um coeficiente de variação inferior a 2%. Um experimento aleatório realizado com garrafas de 2 litros indicou S2=0,0024 litros2 para uma amostra de 15 garrafas. Teste a hipótese do fabricante para um nível de significância = 0,05.
Exercício 7.8 Uma nova unidade de desalinização foi instalada em uma indústria química. Uma amostra com n = 10, coletada antes da instalação da nova unidade indicou concentração de sal X19,55 e S2
15,35. Enquanto que, após a instalação, uma amostra com n = 16 indicou
X 17,85 e S2
= 8,65
Baseado nesses dados, pede-se:
a) Teste a hipótese que as duas variâncias sejam iguais?
b) Teste a hipótese que a nova unidade reduziu a concentração média de sal?
Exercício 7.9 Um engenheiro deseja testar a hipótese que o percentual de peças defeituosas é inferior a 10%. Uma amostra aleatória com 75 peças revelou 6 peças defeituosas. Use = 0,05 e conclua a respeito. Exercício 7.10 Um engenheiro desconfia que o percentual de produtos defeituosos
reduziu depois da implantação do controle estatístico de processo. Em uma amostragem de 500 produtos realizada antes da implantação do CEP, identificou-se 5 produtos defeituosos. Após a implantação do CEP, coletou-se uma amostra de 700 produtos e identificou-se 1 defeituoso. Teste a hipótese do engenheiro usando 2,5% de significância.
Exercício 7.11 Num estudo do tempo médio de adaptação para uma amostra
aleatória de 50 homens num grande complexo industrial, surgiram as seguintes estatísticas: média da amostra = 3,2 anos e desvio padrão da amostra = 0,8 anos. Pode-se concluir, ao nível de 1% de significância que os homens tenham um tempo de adaptação menor que as mulheres que é de 3,7 anos?
Exercício 7.12 Um fabricante alega que apenas 2% das peças que ele fornece estão abaixo das condições de utilização. Em 200 peças escolhidas
aleatoriamente de uma remessa de 5.000 encontraram-se 10 falhas. A alegação do fabricante parece aceitável ao nível de 5% de
Exercício 7.13 Os dados abaixo dão os acertos obtidos por 8 soldados num
experimento destinado a determinar se a precisão do tiro é afetada pela maneira de dispor os olhos.
(a) com o olho direito aberto (b) com o olho esquerdo aberto
Que tipo de conclusão você poderia tirar?
Soldado 1 2 3 4 5 6 7 8
Direito 44 39 33 56 43 56 47 58
Esquerdo 40 37 28 53 48 51 45 60
Exercício 7.14 Para verificar o grau de adesão de uma nova cola para vidros, preparamse dois tipos de montagem; Cruzado (A) onde a cola é posta em forma de X e Quadrado (B), onde a fórmula é posta nas 4 bordas. O resultado para a resistência das duas amostras de 10 cada estão abaixo. Para um nível de 5% de significância que tipo de conclusão poderia ser tirada?
Método A 16 14 19 18 19 20 15 18 17 18 Método B 13 19 14 17 21 24 10 14 13 15
Exercício 7.15 A fim de comparar a eficácia de dois operários, foram tomadas, para cada um, oito medidas do tempo gasto, em segundos, para realizar certa operação. Os resultados obtidos são dados a seguir. Pergunta-se se, ao nível de 5% de significância, os operários devem ser
considerados igualmente eficazes ou não. Operário 1 35 32 40 36 35 32 33
Operário 2 29 35 36 34 30 33 31
Exercício 7.16 Uma pesquisa nacional indica que aproximadamente 25% das contas de grandes magazines incorrem em penalidade por atraso nos
pagamentos. Se um magazine local constata 40 atrasos numa amostra de 200 clientes, pode necessariamente admitir que seus clientes sejam melhores que os clientes de todo país? Adote 5% de significância.
