DETERMINAÇÃO DA ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE

TRABALHO PRÁTICO Nº 1- QUÍMICA E QUÍMICA INDUSTRIAL DETERMINAÇÃO DA ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE

Objectivo - Neste trabalho pretende-se determinar o valor local da aceleração da gravidade. Para o

efeito realizam-se duas experiências que reproduzem situações estudadas na disciplina de Física Geral. Uma delas baseia-se na utilização de um plano inclinado. Recorre-se a uma mesa de ar que permite trabalhar em condições de atrito desprezável. A outra baseia-se na utilização de um pêndulo gravítico simples.

1. Introdução

1.1. Corpo assente sobre um plano inclinado

Se o atrito for desprezável, um corpo colocado (sem velocidade inicial) num plano de inclinação

θ

iniciará um movimento de descida ao longo do plano, uma vez que existe uma componente da força gravítica (peso, P

r

) paralela ao plano F_||

r

(ver Fig.1).

Figura 1

Para um corpo num plano inclinado, o vector do peso do corpo P

r

pode ser representado como soma de duas componentes, F_||

r

(paralela à superfície inclinada) e F_⊥ r

(perpendicular a esta). A componente perpendicular provoca a reacção do plano

N

r

no sentido contrário e igual em módulo a ⊥ F r de modo que F_⊥ +N =0 r r

. A componente paralela causa o movimento do corpo ao longo do plano. (Consideramos aqui que o atrito não existe.)

De acordo com a 2ª lei de Newton, o movimento do corpo efectua-se com uma aceleração constante a cuja grandeza é dada por r

m sen P m F a= || = ⋅

θ

(1) sendo

θ

o ângulo de inclinação do plano e m a massa do corpo em movimento. Ora, como da definição de peso de um corpo de massa m se tem g

m P

= , sendo g a aceleração da gravidade, então

é possível, medido o valor de a, determinar o valor de g. De facto, substituindo na equação (1),

tem-se:

θ

sen g

a= ⋅ (2) Se o corpo partir do repouso (velocidade inicial nula) e os tempos forem medidos a partir do instante inicial do movimento (t0 = 0), a sua velocidade é dada por v(t)=at e, tomando como

origem do movimento a posição inicial do corpo (x0 = 0), a lei do movimento é:

P r r

N

r

θ θ || F r ⊥ F r ⊥ + =F F P r r r ||

2 2 1 ) (t at x = (3) Assim, efectuando muitas medidas do tempo

∆

t gasto pelo corpo para se deslocar entre o mesmo

par de pontos da trajectória (à distância ∆x um do outro), poder-se-á calcular a aceleração do corpo

e determinar a lei do seu movimento uniformemente acelerado: 2 2 1 )

(t at

x = . Por outro lado, conhecida a aceleração a, facilmente se calcula a aceleração da gravidade g (eq. 2).

1.2. Pêndulo simples

Conforme a um livro de texto recomendado para as disciplinas de Física Geral, "um pêndulo simples é constituído é constituído por um corpo de massa m, suspenso de um ponto fixo por um fio de comprimento ℓ, que se supõe inextensível e de massa desprezável" [1] (figura 2). Quando é afastado da posição de equilíbrio e liberto, o pêndulo fica a oscilar no plano vertical, em torno do ponto O de fixação do fio, apenas por acção da gravidade. Na figura 2 mostra-se que o corpo está sujeito a duas forças aplicadas no seu centro de massa: o peso P

r

e a tensão do fio T r

.

Figura 2 {Reproduzida da pág. 110 da ref. [1]}

Diagrama de corpo livre do corpo suspenso. Qualquer posição D pode ser caracterizada pelo ângulo θ(t).

O corpo suspenso executa um movimento de rotação em torno de O, movimento esse cuja aceleração tem as componentes tangencial e centrípeta. A componente tangencial relaciona-se com a projecção, na direcção da tangente à trajectória, da resultante das forças aplicadas. No caso da figura 2, tem-se: 0 sin sin sin ₂ 2 2 2 2 2 = + ⇔ = − ⇔ = = −

θ

θ

θ

θ

θ

l l g dt d dt d mg dt s d m ma P _t

Para oscilações de pequena amplitude tem-se sin

θ

≈

θ

, e a última equação pode aproximar-se a: 0 2 2 = +

θ

θ

l g dt d (4) A equação (4) mostra que para pequenas oscilações o movimento do pêndulo é harmónico simples. Com base na equação genérica deste tipo de movimento, pode notar-se que: g =k =

ω

2

pelo que

l

g

=

ω

é a frequência angular do movimento. A relação entre esta e o período é:

T

π

ω

= 2 pelo que se tem

ω

π

2 = T , ou ainda g T =2

π

l e também

l

g

T

2 2

=

4

π

(5).

A equação (5) mostra que, medindo o período de oscilação de um pêndulo que execute pequenas oscilações, é possível determinar o valor da aceleração da gravidade no local da experiência. Por outro lado, a equação evidencia como o período de oscilação depende do comprimento do fio.

2. Experiência I - Mesa de ar

2.1. Material e métodos

Nesta parte do trabalho vai usar uma mesa de ar, um cronómetro, uma fita métrica, cunhas de madeira e 2 discos de massa diferente.

As medidas de tempo serão efectuadas com um cronómetro manual, baseando-se a precisão das medidas, por um lado, no sentido de visão e nos reflexos do experimentador e, por outro, na precisão do próprio cronómetro.

Os objectos que deslizarão pelo plano têm a forma de discos circulares. O atrito entre o disco e o plano inclinado é eliminado pela criação de uma camada de ar entre as duas superfícies. O ar é forçado a sair através de pequenos orifícios existentes no tampo da mesa em intervalos regulares, sendo o peso do disco suportado pela pressão do ar.

2.2. Execução experimental

1. Dê à mesa uma inclinação da ordem de 6º, a qual deverá confirmar por medições que registará na folha de dados. Tome nota do valor exacto do ângulo. Meça também a distância entre a primeira marca e o fundo da mesa e registe-a na folha de dados. Registe a imprecisão desta última medida 2. Antes de ligar o compressor de ar, comece por verificar que o atrito entre os discos e a superfície

da mesa de ar é suficiente para não permitir o movimento de queda sem velocidade inicial. Ligue o compressor de ar e verifique que os discos que tinha sobre a mesa se movimentaram, descendo pelo plano inclinado. Segurando um disco em cima da mesa, verifique a existência de uma camada de ar que elimina o atrito anteriormente existente.

3. Escolha o disco mais leve e largue-o da primeira marca da mesa tentando não imprimir qualquer velocidade inicial. Nesse mesmo instante comece a contagem com o cronómetro. Quando o disco chegar à última marca pare o cronómetro e registe a leitura do tempo.

4. Repita a medida descrita no ponto anterior até obter 200 resultados. Registe cada um dos valores na tabela de registo de dados. Recomenda-se, para tornar a experiência mais realista, que os dados não sejam seleccionados; rejeite apenas as medidas em que considere ter havido desvio da trajectória pretendida ou erro de funcionamento do cronómetro. Não deverão ser feitas tentativas no sentido de “melhorar” os resultados, para não viciar o processo.

2.3. Tratamento dos dados

1. O tratamento de dados deve ser feito no ficheiro Excel “P1_Histograma.xls” disponível no Material de Apoio na página da cadeira. Faça download do ficheiro para o seu computador. 2. Preencher a coluna B com os seus valores do tempo medido (marcado a amarelo).

3. Calcular a média, <t>, e o desvio padrão da distribuição dos valores medidos, σt (células

marcadas a amarelo). Para o cálculo da média pode usar a função do Excel AVERAGE(<dados>), e para o desvio padrão a função STDEV(<dados>). Na versão portuguesa, as respectivas funções são MEDIA e DESVPAD. Para inserir uma função numa célula, escreve-se nesta, por exemplo, =MEDIA(B13:B212), ou =DESVPAD(B13:B212), etc. Neste exemplo, B13:B212 indica as células em que se encontram os dados, i.e. todas as células entre B13 e B212.

4. Depois de introduzir os seus dados, vai ser automaticamente construido um histograma de frequências que indicará quantas vezes aparecem nos dados os valores compreendidos num dado intervalo do tempo (ver Fig.3). Nos campos marcados a azul pode alterar o início da escala do tempo e a largura dos intervalos do histograma.

5. Varie os parâmetros da curva de Gauss (nas cálulas marcadas a verde) para ajustar esta à distribuição dos valores experimentais. Compare estes valores com <t> e σt calculados na

alínea 3 e comente.

6. Imprima a primeira folha do Excel com os valores de <t>, σt, os parâmetros da curva de Gauss

e os gráficos e junte ao relatório.

7. Determina a incerteza na média do tempo, lembrando que esta é estimada como

N

t

t

σ

σ

<>

=

, onde N é o número de medidas. Deste modo, a melhor estimativa do tempo de

descida obtido na sua experiência é <t>±

σ

_<t_>. Represente-a no relatório.

8. A incerteza na medição do tempo afecta a precisão com que é calculada a aceleração. Como

2 2 > < = t s

a , e de acordo com a regra de propagação dos erros _<> > < = t a t d da

σ

σ

, temos > < > < = t a t s

σ

σ

3 4 ou > < = <> t a t a

σ

σ

2 .

9. A incerteza em a propaga-se também para a incerteza em g:

a

g

a g

σ

σ

=

(aqui desprezamos a incerteza na determinação do ângulo de inclinação). Calcule a aceleração usando a equação (2) e a incerteza experimental desta g

±

σ

g.

Figura 3. Exemplo da determinação do tempo mais provável de queda < t > e respectivo erro σ, a partir de um histograma. 1.04 1.08 1.12 1.16 1.20 1.24 1.28 0 10 20 30 40 50 60 70 < t >=1.15s 2σ = 0.115s N ú m e ro d e c o n ta g e n s Tempo de queda (s)

3. Experiência 2 - Pêndulo simples

3.1. Material e métodos

Nesta parte do trabalho vai usar um pêndulo simples, um cronómetro e uma fita métrica. Note que o pêndulo é formado por uma massa suspensa de um fio, cujo comprimento livre pode ser ajustado através de um sistema deslocável.

Para calcular a aceleração da gravidade, vai-se relacionar o comprimento ℓ do pêndulo com o período de oscilação - T. A fim de minimizar os erros experimentais vão efectuar-se várias medidas.

3.2. Execução experimental

1. A aplicação da teoria exposta no § 1.2 considera que o comprimento do pêndulo deve incluir, além do comprimento do fio, a distância ao centro de massa da massa suspensa. É a situação esquematizada na figura 3. Comece por medir a distância rmassa e anote-a na folha de registo de dados. Esse valor tem de ser adicionado a cada comprimento Lfio para obtenção do comprimento do pêndulo - ℓ.

2. A realização da experiência consiste no registo, com o cronómetro, do período de oscilação do pêndulo, para diferentes comprimentos do fio.

Comece por medir o comprimento livre do fio e anote-o na folha de registo de dados. De seguida desloque a massa suspensa de um pequeno ângulo relativamente à vertical e liberte-a, deixando-a oscilar. Com o cronómetro registe o tempo de oscilação que a massa demora a ir 10 vezes a uma posição extrema (10 períodos). Registe os valores na tabela da folha de dados.

3. Repita o procedimento anterior para mais 4 valores decrescentes de comprimento do fio. Use o sistema deslocável sobre o suporte vertical para ajustar cada um desses comprimentos livres do fio.

3.3. Tratamento dos dados

1. Calcule os valores de (<T>)2 para cada uma das linhas da tabela de registo de valores e cálculos intermédios. Calcule também os valores de ℓ para a mesma tabela. 2. Note que a representação gráfica da equação (5)

l

g

T

2

2

=

4

π

se deve traduzir por uma recta, cujo declive é proporcional ao inverso da aceleração da gravidade. Use a folha de cálculo Excel para efectuar os cálculos que conduzem ao valor de g. Represente em gráfico T2 como função de ℓ. Inclua este gráfico em anexo ao seu relatório.

Figura 3. O comprimento do pêndulo é a soma do comprimento do fio de suspensão com a posição do centro de massa.

4. Relatório

Elabore um relatório do trabalho efectuado, seguindo as directivas que lhe foram propostas. No ponto de análise dos resultados obtidos deve começar por apresentar os valores medidos de g em cada uma das experiências. De seguida, compare esses valores com o valor esperado, de

g = 9,8 m.s2*. As possíveis diferenças são devidas a erros experimentais que advêem, para lá do

experimentador (!), da dificuldade de se reproduzirem em Laboratório as condições ideais. Procure identificar esses erros em cada uma das duas experiências.

Bibliografia

[1] M.M.R.R. Costa e M.J.B.M. de Almeida, Fundamentos de Física, 2ª edição, Coimbra, Livraria Almedina (2004).

[2] Paul Tipler, Física, Editora Guanabara-Koogan, 4ª Edição (2000). [3] M. Alonso e E. Finn, Física, Addison-Wesley Iberoamericana (1999)

[4] Introdução à análise de dados nas medidas de grandezas físicas, Coimbra, Departamento de Física da Universidade (2005/06).

[5] M.C. Abreu, L. Matias e L.F. Peralta, Física Experimental - Uma introdução, Lisboa, Editorial Presença (1994).

*

Em Lisboa obteve-se experimentalmente para a aceleração da gravidade, ao nível do mar, o valor de g = (9,8010814 ± 0,0000001) m.s-2

P1 - DETERMINAÇÃO DA ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE

REGISTO DE DADOS e alguns CÁLCULOS

Visto do Professor

1. Mesa de ar

§ 1. Comprimento da mesa: _______ m e desnível da mesa: _______ m ⇒ θ = ______º Distância entre a primeira marca e o fundo da mesa - x(t) = ____ ± ____ m

§ 4. Tempos de queda do disco [s]:

2. Pêndulo simples

§ 1. Distância ao centro de massa - rmassa = ______ m.

§ 2. Registo de valores e cálculos intermédios: Tempo de oscilação - t (s) Período <T> = t/10 (s) (<T>) 2 Comprimento do fio - L (m) Comprimento do pêndulo ℓ _{= L + rmassa (m)}