Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 2. MATEMÁTICA III 1 DETERMINANTES

(1)

MATEMÁTICA III 1 DETERMINANTES

INTRODUÇÃO ... 2

DETERMINANTE DE MATRIZ DE ORDEM 1 ... 2

PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES... 8

REGRA DE CHIÓ ... 11 MENOR COMPLEMENTAR ... 15 COFATOR ... 16 TEOREMA DE LAPLACE ... 16 RESPOSTAS ... 23 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ... 23

No final das séries de exercícios podem aparecer sugestões de atividades complementares. Estas sugestões referem-se a exercícios do livro “Matemática” de Manoel Paiva fornecido pelo FNDE e adotado pelo IFMG – Campus Ouro Preto durante o triênio 2015-2017. Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 2.

(2)

CASSIO VIDIGAL 2 IFMG – CAMPUS OURO PRETO

INTRODUÇÃO

Toda matriz QUADRADA tem, associada a ela, um numero chamado

determinante da matriz obtido por meio

de operações que envolvem todos os elementos da matriz. (Dante, 2007).

A teoria dos determinantes teve sua origem em meados do século XVII, quando eram estudados processos para resolução de sistemas lineares de equações. Hoje em dia, embora não sejam um instrumento prático para a resolução destes sistemas, os determinantes são utilizados, por exemplo, para sintetizar certas expressões matemáticas complicadas.

DETERMINANTE DE MATRIZ DE

ORDEM 1

Sendo A uma matriz de ordem 1 determinada por A = [a11], por definição,

o determinante de A é igual ao número a11, ou seja, em uma matriz de um único

elemento, o determinante associado a ela será o próprio elemento.

Dadas as matrizes A = [5] e B = [-2] podemos dizer que det A = 5 e que det B = -2.

__________________________

DETERMINANTE DE MATRIZ DE

ORDEM 2

No caso de matrizes quadradas de ordem dois, calculamos seu determinante fazendo o produto dos termos da diagonal principal menos o produto dos termos da diagonal secundária.,

Assim, dada a matriz

       22 21 12 11 a a a a A , indicamos seu determinante por 21 21 22 11 detAa a a a ou 21 21 22 11 22 21 12 11 _a _a _a _a a a a a    

Ex.1: Encontre o determinante da

matriz _        5 3 7 1 A . Resolução:

 

1 5 3

 

7 5 21 16 5 3 7 1            

(3)

Ex.2: Determine x de modo que o

determinante da matriz         3 3 2x x B seja igual a 18. Resolução:





2 18 9 18 6 3 18 6 3 18 3 3 2          x x x x x x x x Resposta: x = 2 _______________________

DETERMINANTE DE MATRIZ DE

ORDEM 3

Consideremos agora a matriz de

ordem 3 dada por

           33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a M . O determinante de M é o número: 21 12 33 11 32 23 31 22 13 32 21 13 31 23 12 33 22 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 det a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a M                     

Afim de que possamos obter tal determinante de forma mais prática, vamos conhecer a regra de Sarrus.

a) Repetimos ao lado da matriz, as duas primeiras colunas.

b) Os termos precedidos pelo sinal + (mais) são obtidos multiplicando-se os termos da diagonal principal e a seguir multiplicando os termos das diagonais que estão nesta mesma direção.

c) Os termos precedidos pelo sinal - (menos) são obtidos multiplicando-se os termos da diagonal secundária e a seguir multiplicando os termos das diagonais que estão nesta mesma direção.

d) o determinante é obtido a partir da soma dos 6 valores encontrados.

32 31 33 32 31 22 21 23 22 21 12 11 13 12 11

a

+

-

33 22 11 a a a    31 23 12 a a a    32 21 13 a a a    31 22 13 a a a    11 32 23 a a a    21 12 33 a a a   

(4)

Calcular o determinante da matriz

              3 5 1 2 0 2 5 1 4 B Resolução:

3

5

1

2

0

2

5

1

4 det





B

6 det

B



___________________________

Existe uma outra forma mais prática de memorizar a Regra de Sarrus. Consiste em acompanhar os caminhos indicados a seguir sem a necessidade de repetir as duas primeiras colunas. Apesar de ser um pouco mais rápida, exige bastante atenção. Observe:

 Os termos precedidos do sinal de

+ (mais) são obtidos

multiplicando-se os elementos segundo as trajetórias indicadas.



 Já para obter os termos precedidos do sinal de – (menos) devemos seguir estas trajetórias:

Observe que o resultado obtido em cada trajetória é exatamente o mesmo daqueles que encontramos em cada “diagonal” na regra vista anteriormente.

+

-

5

1

3

5

1

0

2

0

2

1

4

5

1

4 



0 -40

-6

+0

+2

+50

-40-6+2+50=6

(5)

MATEMÁTICA III 5 DETERMINANTES 1) Calcule os determinantes: a) 2 1 2 1 3   b) 5 11 7 13 c) 2 5 1 3a 2) Calcule os determinantes: a) y y x x cos sen cos sen  b) x x x x sen cos cos sen  c) 2 sen 3 cos 2 1 cos 3 sen 2       x x x x 3) Calcule os determinantes: a) 4 1 2 1 log loga b b) 1 2 2 3 4 2   m m m m m

(6)

4) Determine x tal que:

a) 0 1 2 3 2   x x x b) 11 1 3 5 4 2 2     x x x x 5) Calcular os determinantes 3 x 3 a seguir: a) 1 1 0 0 1 0 0 1 1 b) 1 5 2 2 0 1 2 3 1   c) 2 4 5 3 1 2 7 1 3  

(7)

MATEMÁTICA III 7 DETERMINANTES 6) Calcular os determinantes: a) 6 3 5 13 1 2 11 7 9  b) 0 0 0 b a b c c a  c) 4 5 3 2 0 1 2 n m 

7) Determine x tal que:

a) 0 1 1 3 1 2 2 1   x x x x b) 0 1 1 1 1 1 1    x x x c) 0 3 1 4 2 2 1      x x x

(8)

8) Determinar x tal que

x x x x x x x x      4 2 3 2 1 3 1 1 0 2 1 . ______________________ ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 130 – Exercício 04 ______________________

PROPRIEDADES DOS

DETERMINANTES

P1: Fila de Zeros.

Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada forem iguais a zero, seu determinante será nulo. Ex.1: 0 5 0 2 0   Ex.2: 0 0 0 0 2 3 2 7 4 1     P2: Filas Iguais. Se os elementos correspondentes de duas linhas ou duas colunas de uma matriz quadrada forem iguais, seu determinante será igual a zero.

Ex.1: 0 1 8 8 7 2 3 3 2 5 4 4 1 2 1 1 3      

pois a 2ª e 3ª colunas são iguais.

Ex.2: 0 3 2 7 0 1 3 2    k k

Pois a 1ª e 3ª linhas são iguais. __________________________

P3: Filas Proporcionais.

Se uma matriz quadrada possui duas linhas ou duas colunas proporcionais, seu determinante será nulo.

Ex.1: 0 2 6 4 7 0 1 1 3 2     

Pois a 3ª linha é igual ao produto dos termos da 1ª linha por 2.

Ex.2: 0 28 4 7 1 

(9)

P4: Multiplicação de uma fila por uma constante.

Se todos os elementos de uma linha ou uma coluna de uma matriz quadrada são multiplicados por um mesmo número real k então seu determinante fica multiplicado por k. Ex.:              0 2 1 2 3 5 3 4 2 A det A = 55

Multiplicando todos os termos da segunda coluna por 3:

             0 6 1 2 9 5 3 12 2 ' A det A’ = 165

Multiplicando todos os termos da 1ª linha de A por 2:              0 2 1 2 3 5 6 8 4 " A det A” = 110. __________________________

P5: Multiplicação de matriz por um número real.

Se uma matriz quadrada de ordem n é multiplicada por um número real k, o seu determinante fica multiplicado por kn_.

Ex.: 13 det 5 4 2 1     A A 325 5 det 25 20 10 5 5A    A  P6: Determinante da transposta:

O determinante de uma matriz quadrada é igual ao determinante de sua transposta. Ex.1: 13 det 5 4 2 1     A A 13 det 5 2 4 1     t t A A Ex.2: 55 det 0 2 1 2 3 5 3 4 2      B B 55 det 0 2 3 2 3 4 1 5 2      t t B B __________________________

P7: Troca de filas paralelas:

Se trocarmos de posição duas linhas ou duas colunas de uma matriz quadrada, o determinante da nova matriz obtida é oposto ao determinante da matriz original. Ex.: 0 2 1 2 3 5 3 4 2    A e 0 2 1 3 4 2 2 3 5    B

Note que, de A para B foram trocadas de posição a primeira com a segunda linhas.

(10)

P8: Matriz triangular.

O determinante de uma matriz triangular é obtido multiplicando-se todos os termos da diagonal principal.

Ex.1: 36 6 3 2 det 6 0 0 2 3 0 3 4 2        A A Ex.2:

   

3 1 60 4 5 det 1 8 8 7 0 3 3 2 0 0 4 1 0 0 0 5               B B __________________________ P9: Teorema de Binet.

Sendo A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem e AB a matriz produto, então o determinante de AB é igual ao determinante de A vezes o determinante de B. Ex.: 13 det 5 4 2 1     A A 29 det 3 1 2 9      B B 377 det 5 4 2 7      AB AB



29



377 13 det detA B    P10: Teorema de Jacobi

Seja A uma matriz quadrada. Se multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou coluna pelo mesmo número e somarmos os resultados aos elementos correspondentes de outra linha ou coluna, formando uma outra matriz B, então det A = det B.

14 det 4 5 2 1            A A

Vamos multiplicar os termos da primeira linha por 3 e somar aos termos correspondentes da 2ª linha: 14 det 2 8 2 1           B B .

Note que detAdetB.

__________________________

P11: Determinante da inversa.

Sendo A uma matriz quadrada invertível, e A-1_{sua inversa, então}

1 det 1 det  _ A A .

Sendo A e sua inversa A-1_indicadas

abaixo, observe seus determinantes já encontrados: 2 det 0 2 1 1           A A 2 1 det 2 1 1 2 1 0 1 1                 _A A

(11)

MATEMÁTICA III 11 DETERMINANTES Observe que ₁ det 1 det  _ A A , ou seja,

um determinante é o inverso do outro.

__________________________

REGRA DE CHIÓ

A Regra de Chió consiste em aplicar algumas operações de forma a reduzir “as dimensões” de uma matriz e, assim, facilitar o cálculo do determinante porém ela é muito prática se o elemento a11 for igual a 1. Se tal termo for

diferente de 1, aplicamos uma ou mais propriedades (já vistas) afim de tornar a11 = 1.

Siga os passos da Regra de Chió e, em seguida, veja sua aplicação no exemplo.

1. Sendo a11 = 1, suprime-se a

primeira linha e a primeira coluna. 2. De cada elemento restante,

subtrai-se o produto dos dois termos suprimidos, na linha e coluna desse elemento restante.

3. Com os resultados das

subtrações, obtém-se uma matriz uma ordem menor que a anterior porém com mesmo determinante.

Observe o exemplo a seguir para entender cada passagem.

Calcule o determinante da matriz

                4 3 2 2 0 2 1 4 9 6 3 1 1 0 2 1 M . Resolução:

Vamos seguir os três passos indicados.

1.

2.

(12)

CASSIO VIDIGAL 12 IFMG – CAMPUS OURO PRETO A matriz              6 3 6 4 2 7 10 6 1 tem o

mesmo determinante que a matriz

4 3 2 2 0 2 1 4 9 6 3 1 1 0 2 1   

entretanto, por ser uma

ordem menor, é mais fácil calcular o determinante e podemos fazê-lo utilizando a regra de Sarrus.

9) Encontre o valor do determinante da

matriz                            3 1 2 4 0 0 2 2 3 1 4 5 1 2 3 2 0 2 3 2 2 3 0 1 2 A .

(Dica: Use o Teorema de Jacobi multiplicando a segunda coluna por 1 e somando à primeira coluna. Assim, você terá a11 = 1. Depois aplique

a regra de Chió. Na matriz obtida, troque de posição a 1ª com a 2ª linha e aplique novamente Chió. Você chegará numa matriz de 3ª ordem e encontrará o determinante pela regra de Sarrus)

(13)

MATEMÁTICA III 13 DETERMINANTES 10) Determine x na equação 16 2 0 0 0 3 0 2 2 1 1 0 0 0  x x x

11) Calcule os determinantes a seguir:

a) 1 2 0 0 4 3 1 4 1 5 2 1 1 3 1 2    b) 4 3 2 1 3 3 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1

(14)

CASSIO VIDIGAL 14 IFMG – CAMPUS OURO PRETO c) 1 1 0 0 1 3 0 0 0 0 3 2 0 0 2 1 d) 2 2 3 10 1 5 1 4 0 0 0 3 2 3 1 2   e) 0 1 0 1 0 2 1 1 1 0 1 0 d c b a   f) 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 x x x x x

(15)

MENOR COMPLEMENTAR

Sendo A uma matriz quadrada de ordem n  2, denomina-se menor

complementar de A pelo elemento aij, o

determinante Dij associado a matriz

quadrada que se obtém de A ao suprimir a linha i e a coluna j onde está o elemento aij. Esse determinante é

chamado de Dij. Sendo a matriz              10 1 0 4 6 1 3 5 2 A , temos:

a) menor complementar de A pelo termo a21:

Vamos eliminar a segunda linha e a primeira coluna.

Assim, temos que

53 ... 10 1 3 5 21  _   D

b) Menor complementar de A pelo termo a33. 7 ... 6 1 5 2 33    D 12) Calcule o MENOR

COMPLEMENTAR de cada um dos 9

termos da matriz              3 8 3 5 1 0 4 2 6 K .

(16)

COFATOR

Sendo A uma matriz quadrada de ordem n  2, denomina-se cofator de um

elemento aij o número real

 

ij j i

ij D

A  1   onde Dij é o menor

complementar de A pelo termo aij.

Sendo a matriz              10 1 0 4 6 1 3 5 2 A , temos:

a) cofator de A pelo termo a21:

 

1 21

 

1 53 53 1 2 21         D A

(nota: Esta matriz A é a mesma do exemplo da página anterior e D₂₁ já havia sido calculado)

b) cofator de A pelo termo a33.

 

13 3 ₃₃ 1 7 7

33      



D A

13) Calcule os cofatores de cada um dos

9 termos da matriz              3 8 3 5 1 0 4 2 6 K .

TEOREMA DE LAPLACE

O determinante associado a uma matriz quadrada A de ordem n  2 é o número que se obtém pela soma dos produtos de cada termo de uma fila qualquer pelos seus respectivos cofatores.

Assim, para calcular o

determinante de uma matriz quadrada qualquer, devemos escolher uma linha ou coluna, a seguir encontramos cada um de seus cofatores. Multiplicamos cada cofator pelo seu termo correspondente e somamos estes produtos.

(17)

MATEMÁTICA III 17 DETERMINANTES Acompanhe o exemplo. Sendo              3 4 1 0 2 5 1 3 2 A , podemos

calcular detAa partir dos cofatores de qualquer de suas filas.. Vamos fazer a partir da 1ª linha e a seguir, a partir da 3ª coluna para verificarmos se os resultados obtidos coincidem.

1. A partir da primeira linha temos que

13 13 12 12 11 11 detAa A a A a A

 

1

 

6 6 3 4 0 2 111 11    _      A

 

  

1 15



15 3 1 0 5 11 2 12    _       A

 

1 18 18 4 1 2 5 11 3 13        A

Assim, temos que:

 

6 3 15

 

1 18 15 2 det ₁₁ ₁₁ ₁₂ ₁₂ ₁₃ ₁₃                a A a A a A A

2. Agora, a partir da terceira coluna:

33 33 23 23 13 13 detAa A a A a A

 

1 18 18 4 1 2 5 11 3 13        A

 

1 5 5 4 1 3 2 12 3 23         A

 

1



11



11 2 5 3 2 13 3 33         A

 

1 18 0

    

5 3 11



15 det ₁₃ ₁₃ ₂₃ ₂₃ ₃₃ ₃₃                  a A a A a A A

Observe que, em ambos os casos, detA15. Esse valor será encontrado em qualquer fila escolhida e você pode verificar isto.

É importante destacar que, nesta segunda escolha, especificamente no produto a₂₃A₂₃ não havia necessidade de calcular A pois, como ₂₃ a₂₃ 0, o produto seria 0. Devido a isto, quando vamos calcular determinantes usando o teorema de Laplace, é interessante que escolhamos uma fila onde há uma grande quantidade de zeros, assim, reduziremos a quantidade de cálculos.

(18)

14) Calcule os determinantes a seguir preferencialmente utilizando o Teorema de Laplace: a)              5 3 2 4 0 6 1 2 3 A b)             4 3 1 5 3 1 4 3 1 B c)            6 4 2 3 2 1 5 3 2 C d)             3 0 4 0 2 1 1 5 3 D

(19)

MATEMÁTICA III 19 DETERMINANTES e)              3 5 0 2 1 1 1 2 4 E f)                2 0 0 1 7 3 0 2 3 0 1 1 0 2 4 0 F g)                  6 2 3 0 1 2 5 1 3 1 2 4 0 1 3 2 G

(20)

CASSIO VIDIGAL 20 IFMG – CAMPUS OURO PRETO h)                       4 3 0 1 0 2 2 0 2 0 2 5 2 4 3 1 3 0 1 0 0 1 0 2 3 H 15) Provar que



b a



c b



d c



a d c b a c c b a b b b a a a a a    

(21)

MATEMÁTICA III 21 DETERMINANTES 16) Calcule o determinante z y x z y x cos cos cos sen sen sen 1 1 1 17) Resolver a equação 0 x a a a a x a a a a x a a a a x 18) Calcule os determinantes: a) 343 125 27 8 49 25 8 4 7 5 3 2 1 1 1 1

(22)

CASSIO VIDIGAL 22 IFMG – CAMPUS OURO PRETO b) 2 2 2 1 1 1 c b a c b a c) 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 d c b a d c b a d c b a ___________________

Neste link, você pode acessar um documento com outras informações sobre Determinantes e também sobre nosso próximo conteúdo – Sistemas Lineares

http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/wp- content/uploads/sites/12/2015/03/Determinantes-e-sistemas-lineares.pdf

Com o seu celular, use o qr-code ao lado:

(23)

RESPOSTAS

1) a) 2 1 b) -12 c) 6a - 5 2) a) sen



xy



b) 1 c) 64senx3cosx 3) a) b a 4 log b) m2 4) a) x2 ou 2 1   x b) x1 ou 2 1  x 5) a) 1 b) -9 c) -40 6) a) 121 b) b



a2c2



c) 4m8n26 7) a) 2 1  x b) x0 ou x1 c) x0 ou x2 8) 3 3   x 9) -559 10) 2 11) a) 28 b) 1 c) -2 d) -75 e) 3d – 3a f) 1 – x 12) D11=-43 D12=15 D13=-3 D21=-26 D22=30 D23=54 D31=14 D32=30 D33=-6 13) A11=-43 A12=-15 A13=-3 A21=26 A22=30 A23=-54 A31=14 A32=-30 A33=-6 14) a) detA10 b) detB0 c) detC0 d) detD11 e) detE17 f) detF38 g) detG13 h) detH144 15) Demonstração 

16) sen



xy



sen



yz



sen



zx



17) S



3a,a



18) a) 236 b)



cb



ca



ba



c)



dc



db



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REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA

DANTE, Luiz Roberto;

Matemática, Volume dois. São Paulo, Atica, 2005.

IEZZI, Gelson e outros; Matemática, Volume único. São Paulo, Atual, 2002.

IEZZI, Gelson e outros; Fundamentos da Matemática Elementar, Volume 4. São Paulo, Atual, 5ª edição, 1977.