Filtros Butterworth
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E um dos m´etodos mais usados para determinar filtros passa baixa a partir das especifica¸c˜oes.
Muito usado por ser completamente anal´ıtico, dispensando an´alises num´ericas ou tabelas.
Apesar de s´o tratar de filtros passa baixa, h´a v´arias transforma¸c˜oes e m´etodos para transformar filtros passa baixa em passa alta, ou qualquer outro, de modo mais simples do que projetar diretamente filtros que n˜ao s˜ao passa baixa.
Sobre esta curva, algumas observa¸c˜oes relevantes:
A transmiss˜ao tem caracter´ıstica decrescente monotˆonica;
A rejei¸c˜ao n˜ao chega ao valor zero, portanto todos os zeros est˜ao em ω = ∞ Por ter todos os zeros na frequˆencia infinita, ´e chamado de filtro “s´o polos”. A fun¸c˜ao de transferˆencia de um filtro Butterwotrh de N-´esima com banda de passagem em ωp ´e |T (jω)| = r 1 1 + ǫ2³ω ωp ´2N , (1) E quando ω = ωp |T (jωp)| = 1 √ 1 + ǫ2. (2)
O parˆametro ǫ ´e determinado pela m´axima varia¸c˜ao da banda de passagem, Am´ax Am´ax = 20 log p 1 + ǫ2, (3) rearranjada ǫ =p10Am ´ax/10− 1. (4)
E desta ´ultima percebe-se que, a atenua¸c˜ao m´axima na banda de passagem somente ocorre uma vez, exatamente na borda da banda, ωp.
Pode ser mostrado tamb´em que as primeiras 2N − 1 derivadas de |T | em rela¸c˜ao a omega tem valor zero em ω = 0. E isto mostra que a resposta do Butterworth pr´oxima a ω = 0 s˜ao maximamente planas.
E ainda, o perfil plano da passagem tende a aumentar a medida que N aumenta, aproximando o filtro ao modelo ideal.
Quanto `a borda da banda de rejei¸c˜ao, ω = ωs, a atenua¸c˜ao ´e dada por A(ωs) = −20 log " 1 p1 + ǫ2 (ωs/ωp)2N # (5) = 10 log£1 + ǫ2 (ωs/ωp)2N ¤ (6) E a partir desta equa¸c˜ao, pode-se determinar a menor ordem,N , do filtro
Butterworth, tal que A(ωs) ≥ Am´i n
Caso se opte por isolar N, deve-se atentar a adotar o maior valor inteiro acima do valor encontrado. Ou pode-se adotar um processo iterativo, por tentativa e erro para solucionar a equa¸c˜ao para diferentes valores de N, at´e que se atenda a inequa¸c˜ao A(ωs) ≥ Am´i n.
Para se obter ent˜ao os N polos do filtro Butterworth de N-´esima ordem utiliza-se o m´etodo gr´afico.
Segundo a teoria de Butterworth, todos os polos do filtro est˜ao igualmente espa¸cados, em ˆangulos de π/N, no plano C sobre o c´ırculo de raio ωpǫ−
1/N. Com esta divis˜ao, π/N, ´e obrigat´orio que, para manter o n´umero de setores do c´ırculo compat´ıveis com o n´umero de polos, o primeiro polo a partir do eixo +jω esteja afastado deste eixo π/2N.
Cabem aqui mais algumas observa¸c˜oes:
Todos os polos est˜ao localizados `a esquerda do plano s, e portanto o filtro ´e est´avel;
Os zeros n˜ao est˜ao marcados, mas est˜ao localizados em ω = ∞; Caso N seja ´ımpar, pelo menos, e somente um dos polos pertence a R; Todos polos complexos levam seu complexo conjugado a ser polo tamb´em. Uma vez encontrados todos os N polos, pode-se escrever a fun¸c˜ao de transferˆencia do filtro em quest˜ao de acordo com
T(s) = Kω
2 0
(s − p0)(s − p1) · · · (s − pN)
(7)
Algoritmo Butterworth
1 Determine ǫ (p10Am ´ax/10− 1);
2 Determine a ordem do filtro (A(ωs) = 10 log£1 + ǫ2(ωs/ωp)2N¤); 3 Determine os polos a partir do plano s;
Filtros Chebyshev
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E um m´etodo muito utilizado para obten¸c˜ao anal´ıtica de filtros passa baixa. Apresentam caracter´ıstica equiripple na banda de passagem e monotˆonica decrescente na rejei¸c˜ao.
Todos filtros de ordem, N, ´ımpar tˆem |T (0)| = 1, e os de ordem par tem a atenua¸c˜ao m´axima da banda de passagem em ω = 0.
Tanto para ordem par quanto para ordem ´ımpar, o n´umero de m´aximos e m´ınimos na banda de passagem representa a ordem do filtro, N.
Todos os zeros de todo filtro Chebyshev est˜ao localizados em ω = ∞, e o filtro tem caracter´ıstica “s´o polos”.
A fun¸c˜ao de transferˆencia do filtro Chebyshev de N-´esima ordem na banda de passagem, com ripple, ωp ´e
|T (jω)| = 1
p1 + ǫ2 cos2
[N cos−1(ω/ωp)], para ω ≤ ω
p, (8)
e na faixa de rejei¸c˜ao, monotˆonica
|T (jω)| = q 1
1 + ǫ2cosh2
[N cosh−1(ω/ω p)]
, para ω ≥ ωp, (9)
E na borda da banda de passagem, ω = ωp, a fun¸c˜ao de transferˆencia tem valor
|T (jωp)| = 1 √
Novamente, o parˆametro ǫ ´e determinado pelo ripple da banda de passagem, Am´ax Am´ax = 20 log p 1 + ǫ2 , (11) rearranjada ǫ =p10Am ´ax/10− 1. (12)
A atenua¸c˜ao do Chebyshev na borda da banda de rejei¸c˜ao ´e dada por A(ωs) = 10 log£1 + ǫ
2 cosh2
¡N cosh−1(ω
s/ωp)¢¤ , (13) e dela, por um processo anal´ıtico, isolando N, ou por um processo iterativo, atribuindo-se diferente valores a N, pode-se encontrar o menor n´umero inteiro que satisfa¸ca A(ωs) ≥ Am´i n.
E assim como no Butterworth, quanto maior N, mais pr´oximo do modelo ideal o filtro se apresenta.
Ao contr´ario do filtro Butterowrth que demanda an´alise gr´afica para se obter os polos, o filtro Chebyshev apresenta solu¸c˜ao anal´ıtica para os polos.
pk = − ωpsinµ 2k − 1 N π 2 ¶ sinhµ 1 Nsinh −11 ǫ ¶ + (14) jωpcosµ 2k − 1 N π 2 ¶ coshµ 1 Nsinh −11 ǫ ¶ , k = 1, 2, · · · , N (15)
E a fun¸c˜ao de transferˆencia tem aspecto
T(s) = Kω
N p
Observa¸c˜oes finais sobre o filtro Chebyshev:
O filtro Chebyshev tem eficiˆencia melhor que o Butterworth;
Para os mesmos parˆametros de Am´ax e N, o filtro Chebyshev apresenta maior banda de rejei¸c˜ao do que o Butterworth;
Do mesmo modo, para a exata mesma especifica¸c˜ao, o filtro Chebyshev demanda menor ordem do que o Butterworth.
Algoritmo Chebyshev
1 Determine ǫ (p10Am ´ax/10− 1);
2 Determine a ordem do filtro
(A(ωs) = 10 log£1 + ǫ2cosh 2
¡N cosh−1(ω
s/ωp)¢¤);
3 Determine os polos a partir da equa¸c˜ao para pk, com k = 1, 2, · · · , N; 4 Encontre T (s).
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