Previsão de demanda de energia elétrica usando análise de componentes principais e análise gráfica dos autovetores na abordagem singular spectrum analysis

(1)

Eduardo Takamine Correia

Previs˜

ao de Demanda de Energia El´

etrica

usando An´

alise de Componentes Principais

e An´

alise Gr´

afica dos Autovetores na

Abordagem Singular Spectrum Analysis

Niter´oi - RJ, Brasil 12 de Julho de 2017

(2)

Eduardo Takamine Correia

Previs˜

ao de Demanda de Energia

El´

etrica usando An´

alise de

Componentes Principais e An´

alise

Gr´

afica dos Autovetores na

Abordagem Singular Spectrum

Analysis

Trabalho de Conclus˜ao de Curso

Monografia apresentada para obten¸c˜ao do grau de Bacharel em Estat´ıstica pela Universidade Federal Fluminense.

Orientador: Prof. Mois´es Lima de Menezes

Niter´oi - RJ, Brasil 12 de Julho de 2017

(3)

Universidade Federal Fluminense

Eduardo Takamine Correia

Previs˜

ao de Demanda de Energia El´

etrica

usando An´

alise de Componentes Principais e

An´

alise Gr´

afica dos Autovetores na

Abordagem Singular Spectrum Analysis

Monografia de Projeto Final de Gradua¸cão sob o t´ıtulo “Pre-visão de Demanda de Energia Elétrica usando Análise de Com-ponentes Principais e Análise Gráfica dos Autovetores na Abor-dagem Singular Spectrum Analysis”, defendida por Eduardo Takamine Correia e aprovada em 12 de Julho de 2017, na ci-dade de Niterói, no Estado do Rio de Janeiro, pela banca exa-minadora constitu´ıda pelos professores:

Prof. Dr. Mois´es Lima de Menezes Departamento de Estat´ıstica – UFF

Profa. Dra. Keila Mara Cassiano Departamento de Estat´ıstica - UFF

Profa. Dra. M´arcia Marques de Carvalho Departamento de Estat´ıstica - UFF

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de Componentes Principais e Análise Gráfica dos Autovetores na Abordagem Singular Spectrum Analysis /Eduardo Takamine

Correia. - Niterói: [s. n.], 2017. 42f.

Trabalho de Conclusão de Curso - (Bacharelado em Es- tatística) – Universidade Federal Fluminense, 2017.

1. Singular Spectrum Analysis. 2. Análise de Componentes principais. 3. Demanda de Energia. 4.Análise Gráfica dos Autovetores I. Título.

(5)

Resumo

O consumo de energia elétrica por pessoas, empresas e indústrias aumentam devido ao avan¸co tecnológico, o crescimento da popula¸cão e a ascensão dos pa´ıses emergentes. Para atender esta demanda, o desenvolvimento de novas técnicas capazes de prever com uma melhor acurácia o consumo de energia elétrica se faz necessário. Singular Spectrum Analysis (SSA) é um método em estat´ıstica que pode, dentre outras coisas, filtrar séries temporais eliminando sua componente ruidosa podendo melhorar a acurácia da previsão. Esta pesquisa propõe a filtragem de uma série temporal de consumo de energia elétrica via SSA usando Análise de Componentes Principais e Análise Gráfica dos Autovetores. A verifica¸cão do poder preditivo das modelagens nas abordagens de Holt-Winters e de Box & Jenkins é feita através das estat´ısticas de aderência Mean Absolute Percentage Error (MAPE), Root Mean Squared Error (RMSE), Bayesian Information Criterion (BIC) e o coeficiente de determina¸cão R2. Os resultados obtidos mostram que a utiliza¸cão da filtragem SSA proporciona um ganho preditivo à modelagem e que ao utilizar a Análise Gráfica dos Autovetores obtém o melhor desempenho do que o uso da abordagem com a Análise de Componentes Principais. Os resultados mostram também que a modelagem de Box & Jenkins apresenta melhores resultados do que as modelagens de Amortecimento Exponencial de Holt-Winters para a previsão de consumo de energia elétrica. Tais resul-tados corroboram para a utiliza¸cão destes modelos no aux´ılio do planejamento energético do pa´ıs.

Palavras-chaves: Consumo de Energia Elétrica; SSA; Análise Gráfica dos Autovetores; Modelagem; Previsão; Análise de Componentes Principais

(6)

(7)

Agradecimentos

Agrade¸co primeiramente a Deus e minha fam´ılia: Nancy, Joaquim e Guilherme por sempre me apoiarem, mesmo eu n˜ao sendo a pessoa mais presente de todas.

A L´ıdia Pinto, por sempre ter me dado o maior apoio poss´ıvel e por permanecer ao meu lado em todos os momentos.

Ao meu orientador Moises Lima de Menezes por ter me dado todo o aux´ılio poss´ıvel para a conclus˜ao desse trabalho.

Aos meus amigos que fiz na gradua¸cão, principalmente Natan Borges, Igor Pinto, João Marcos, João Policia, Guilherme Cruvello, Tiago Sales, Fabricio Albernaz, Lucas Meireles, Ranah Duarte e Gilberto Martins que faziam as horas de estudo se tornarem divertidas e menos sufocantes.

(8)

Lista de Figuras Lista de Tabelas 1 Introdu¸cão p. 11 2 Objetivos p. 13 3 Materiais e Métodos p. 14 3.1 Base de dados . . . p. 14 3.2 Componentes de uma Série Temporal . . . p. 15 3.3 Metódos preditivos . . . p. 15 3.3.1 Modelo de Holt-Winters . . . p. 16 3.3.2 Modelo de Box & Jenkins . . . p. 17 3.3.2.1 Modelos Autoregressivos (AR(p)) . . . p. 18 3.3.2.2 Modelo de médias móveis (M A(q)) . . . p. 18 3.3.2.3 Modelos autorregressivos e de médias móveis (ARM A(p, q)) p. 18 3.3.2.4 Modelos autorregressivos integrados de médias móveis

(ARIM A(p, d, q)) . . . p. 19 3.3.2.5 Modelo SARIM A(p, d, q) × (P, D, Q) . . . p. 19 3.3.2.6 Fun¸cão de Autocorrela¸cão (F AC) e Fun¸cão de

Autocor-rela¸c˜ao Parcial (F ACP ) . . . p. 20 3.4 Filtragem SSA . . . p. 21 3.4.1 Decomposi¸c˜ao . . . p. 22

(9)

3.4.2 Reconstru¸cão . . . p. 23 3.4.3 Análise Componentes Principais . . . p. 24 3.4.4 Análise Gráfica dos Autovetores . . . p. 24 3.5 Estat´ısticas de aderência . . . p. 25 3.6 Resumo de metodologia . . . p. 26

4 An´alise dos Resultados p. 28

4.1 Análise e Modelagem da Série Original . . . p. 28 4.2 Análise e modelagem da série sob a abordagem SSA-ACP . . . p. 30 4.3 Análise e modelagem da série sob a abordagem SSA - Análise Gráfica . p. 33 4.4 Análise dos Res´ıduos . . . p. 39

5 Conclus˜ao p. 40

Referˆencias p. 41

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1 Série de consumo de energia. . . p. 14 2 Fluxograma resumido da metodologia . . . p. 27 3 Série original x Série ajustada pelo melhor modelo. . . p. 29 4 Logaritmos dos autovalores na abordagem SSA-ACP. . . p. 30 5 Matriz de Correla¸cão Ponderada SSA-ACP. . . p. 31 6 Série original x Série ajustada pelo melhor modelo após a filtragem

SSA-ACP. . . p. 32 7 Os nove autovetores mais significantes na abordagem SSA-Análise Gráfica. p. 34 8 Diagramas de dispersão dos autovetores em sequência. . . p. 35 9 Matriz de Correla¸cão Ponderada SSA-Análise Gráfica. . . p. 36 10 Série original x Série ajustada pelo melhor modelo após a filtragem

SSA-Análise Gráfica. . . p. 38 11 FAC do modelo escolhido. . . p. 39 12 Modelagem da série Original. . . p. 42 13 Modelagem da sob abordagem SSA-ACP. . . p. 42 14 Modelagem da sob abordagem SSA-Análise Gráfica. . . p. 43

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Lista de Tabelas

1 Estat´ıstica descritiva . . . p. 14 2 Equacões dos modelos de Holt-Winters Multiplicativo e Aditivo . . . . p. 16 3 Propriedades teóricas da F AC e F ACP . . . p. 21 4 Estat´ısticas de aderência da Modelagem da Série Original . . . p. 29 5 Estat´ısticas de aderência da Modelagem da Série sob Abordagem SSA-ACP p. 32 6 Agrupamento das Componentes . . . p. 35 7 Correla¸cão Ponderada Entre Componentes . . . p. 36 8 Estat´ısticas de aderência da Modelagem da Série sob Abordagem

SSA-Análise Gráfica . . . p. 37 9 Estat´ıstica de aderência dos modelos com melhor resultado . . . p. 38

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1 Introdu¸

c˜

ao

Segundo a proje¸cão do IBGE em 2016, a popula¸cão brasileira já passa dos 200 milhões habitantes e a energia elétrica tem se tornado um bem indispensável, tanto para a po-pula¸cão urbana, quanto para a rural. Segundo Rodrigues et al. [1], empresas que são responsavéis por gerar, transmitir e distribuir energia elétrica investem cada vez mais em estudos e proje¸cões sobre demanda. Conhecer a futura demanda de energia elétrica seria uma grande ajuda em várias das atividades diárias, especialmente se permitirem otimi-zar o escalonamento da produ¸cão de energia elétrica e a distribui¸cão de energia, além de permitirem um agendamento de manuten¸cão que não perturbe o fornecimento.

Diante da grande demanda de energia elétrica, faz-se necessário um planejamento ade-quado para que não haja escassez deste produto. O conhecimento futuro desta demanda é essencial para que se tenha em vista a necessidade de amplia¸cão do sistema de gera¸cão de energia adequado de modo a não gerar gastos desnecessários em obras que não servirão `

a popula¸cão ou, por outro lado, não haver investimento suficiente para suprir a demanda e, com isso, provocar efeitos negativos como apagões, sobrecarga de sistema de energia ou o racionamento for¸cado de energia por falta deste recurso.

O crescimento da popula¸cão, o progresso tecnológico e as economias emergentes têm promovido o aumento da demanda por energia elétrica em todo o mundo. Para lidar com essa tendência crescente, as previsões são periodicamente revisadas, a fim de atualizar o planejamento da expansão de médio e longo prazos (MENEZES et al., 2014)[2].

Com tantas mudan¸cas se faz necessário toda uma reestrutura¸cão do sistema para que se tenha uma indústria de energia elétrica de alta qualidade, com fornecimento de energia de qualidade e seguran¸ca para o consumidor com a minimiza¸cão dos custos. Logo, a previsão de consumo de energia é um tema de grande interesse para este setor, uma vez que os custos dos erros de previsão acabam por gerar um custo financeiro muito elevado, seja por excesso (overforecast) ou por falta (underforecast) (SERR ÃO, 2013)[3].

(13)

1 Introdu¸c˜ao 12

se fazer estas previsões tendo em vistas o conhecimento futuro da demanda de energia elétrica de forma segura. (Singular Spectrum Analysis)SSA é um método em estat´ıstica que pode, dentre outras coisas, realizar filtragem de séries temporais minimizando a com-ponente ruidosa e promovendo um ganho priditivo.

Esta pesquisa propõe as modelagens Holt-Winters e Box & Jenkins para uma série mensal de demanda de energia elétrica entre o per´ıodo de Jan/2002 a Dez/2016. Além disso, propõe uma filtragem SSA baseada na análise de componentes principais (ACP ) na série antes das modelagens. Para verificar a capacidade preditiva dos modelos sem e com a filtragem SSA, as estat´ısticas de aderência M AP E(Mean Absolute Percentage Error) e RM SE(Root Mean Square Error) e o coeficiente de determina¸cão R2 _al´_{em do}

critério de informa¸cão bayesiano (BIC) serão utilizados. O modelo mais adequado para esta série será aquele que minimizar as estat´ısticas de aderência e maximizar o coeficiente de determina¸cão. Para as modelagens Holt-Winters e Box & Jenkins será utilizado o pro-grama Forecast Pro for windows (FPW). A filtragem SSA será feita a partir do programa CaterpillarSSA bem como a ACP . As estat´ısticas de aderência serão feitas a partir do FPW.

Esta pesquisa está dividido em cinco cap´ıtulos. Após esta breve introdu¸cão, tem-se, no cap´ıtulo 2 os objetivos. No cap´ıtulo 3 estão os materiais e métodos. Os resultados e discussões estão no cap´ıtulo 4 e no cap´ıtulo 5 estão as conclusões.

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2 Objetivos

Esta pesquisa o tem como objetivo avaliar sobre o ganho preditivo de uma série de demanda de energia elétrica, com base em dados do Operador Nacional do Sistema Elétrico (ONS), com filtragem SSA ( Singular Spectrum Analysis) e com o uso da ACP (Análise de Componentes Principais) para modelar e prever demanda de energia elétrica e, assim, verificar qual o modelo mais adequado para esta série dentre os modelos Holt-Winters e Box & Jenkins.

(15)

14

3 Materiais e M´

etodos

3.1 Base de dados

Nesta pesquisa será utilizada uma série temporal de consumo mensal de energia da base nacional de dados do Operador Nacional do Sistema Elétrico (ONS). A série em questão contém 180 observa¸cões medidas de janeiro de 2002 a dezembro de 2016 medidos em MWh. As informa¸cões estão dispon´ıveis em http://www.ons.org.br/. A figura 1 apresenta série temporal de consumo de energia.

Figura 1: S´erie de consumo de energia.

A tabela 1 apresenta algumas estat´ısticas descritivas da s´erie temporal avaliada. Tabela 1: Estat´ıstica descritiva

Tamanho da s´erie 180

Valor m´ınimo 43.941, 88 MWh Valor m´aximo 84.920, 41 MWh

M´edia 64.834, 30 MWh

(16)

3.2 Componentes de uma S´

erie Temporal

Uma série temporal é um conjunto de observa¸cões ordenadas no tempo. Uma série é dita estacionária quando ela se desenvolve no tempo aleatoriamente ao redor de uma média constante, refletindo alguma forma de equil´ıbrio estável.

Na tentativa de descrever o comportamento de uma série temporal, utilizamos a de-composi¸cão da série original em quatro séries temporais, ciclo, tendência, sazonalidade e uma componente aleatória, conhecida também como ru´ıdo.

• Ciclo (C): Movimento ondulatório que ao longo de vários anos tende a ser periódico. • Tendência (T): A tendência de uma série indica o seu comportamento “de longo prazo”, isto é, se ela cresce, decresce ou permanece estável, e qual a velocidade destas mudan¸cas.

• Sazonalidade (S): A sazonalidade em uma série corresponde às oscila¸cões de subida e de queda que sempre ocorrem em um determinado per´ıodo do ano, do mês, da semana ou do dia.

• Componente aleatória (A): Flutua¸cões inexplicáveis e inesperados como catástrofes naturais, decisões humanas que ocorrem de forma intempestivas e etc

3.3 Met´

odos preditivos

A maioria dos métodos de previsão baseia-se na ideia de que as observa¸cões passadas contêm informa¸cões sobre o padrão de comportamento da série temporal. O propósito dos métodos é distinguir a similaridade de qualquer ru´ıdo que possa estar contido nas ob-serva¸cões e então usar esse modelo para prever valores futuros da série. Segundo Morettin e Toloi [8] um modelo pode ser utilizado para investigar o mecanismo gerador da série temporal, fazer previsões de valores futuros da série, verificar a existência de tendências, ciclos e varia¸cões sazonais.

Nesta se¸cão são apresentados os métodos preditivos a serem testados na previsão de séries filtradas e não filtradas via SSA − ACP . Os métodos testados nesta pesquisa são de Holt Winters e Box & Jenkins.

(17)

3.3 Met´odos preditivos 16

3.3.1 Modelo de Holt-Winters

Os modelos de Holt-Winters (HW) descrevem apropriadamente dados de demanda em que verifica-se a ocorrência de tendência linear, além de uma componente de sazonalidade (FOGLIATO [10]). Caso a amplitude da varia¸cão sazonal mantenha-se constante, diz-se que o modelo é aditivo, caso aumente com o tempo, diz-se que o modelo é multiplicativo. De acordo com Morettin e Toloi [8], as vantagens desse modelo são: fácil entendimento; aplica¸cão não dispendiosa; adequados para série com padrão de comportamento mais geral e que as desvantagens são: dificuldades em determinar os valores mais apropriados das constantes de suaviza¸cão e/ou impossibilidade de estudar as propriedades estat´ısticas, tais como média e variância de previsão e, consequentemente, a constru¸cão de um intervalo de confian¸ca. O método de Holt-Winters é baseado em três equa¸cões alisadoras. Uma para o n´ıvel, outra para tendência e outra para sazonalidade. A sazonalidade pode ter efeito multiplicativo ou aditivo. As equa¸cões básicas para ambos os tipos de modelo estão apresentadas na tabela 2.

Tabela 2: Equac˜oes dos modelos de Holt-Winters Multiplicativo e Aditivo Modelo Multiplicativo Modelo Aditivo

N´ıvel Lt=α_St−12Yt +(1−α)×(Lt−1+Bt−1) Lt=α(Yt−St−12)+(1α)×(Lt−1+Bt−1) Tendência Bt=β(Lt−Lt−1)+(1−β)Bt−1 Bt=β(Lt−Lt−1)+(1−β)Bt−1 Sazonalidade St=γ_LtYt+(1−γ)St−12 St=γ(Yt−Lt)+(1−γ)St−12 Previsão Ft+m=(Lt+Bt+m)St−12+m Ft+m=(Lt+Bt+m)St−12+m Onde: • S - Comprimento da sazonalidade; • Lt - N´ıvel da série; • Bt - Tendência; • St - Componente sazonal;

• Ft+m - Previs˜ao m passos `a frente;

• Yt - Valor observado;

• α β γ - Parˆametros de amortecimento do n´ıvel, da tendˆencia e da sazonalidade, respec-tivamente.

(18)

3.3.2 Modelo de Box & Jenkins

Os modelos de Box & Jenkins, também conhecidos como Modelos Autoregressivos Integrados a Média Móvel, ou simplesmente ARIM A (Autoregressive Integrated Moving Average), foram propostos por George Box e Gwilym Jenkins, no in´ıcio dos anos 70 (BOX & JENKINS [5]). Os modelos de Box & Jenkins partem da idéia de que os valores de uma série temporal são altamente dependentes, ou seja, cada valor pode ser explicado por valores prévios da série. Os modelos ARIM A representam a classe mais geral de modelos para a análise de séries temporais. Algumas condi¸cões devem ser observadas para o entendimento dos modelos Box & Jenkins. As condi¸cões são de estacionariedade, normalidade e homocedasticidade.

• Estacionariedade: Uma série temporal é dita estacionária se ela conserva suas pro-priedades estat´ısticas ao longo do tempo. A maioria dos procedimentos de análise estat´ıstica de séries temporais supõe que estas sejam estacionárias. Portanto, será necessário transformar os dados originais se estes não formam uma série estacionária. A transforma¸cão mais comum consiste em tomar diferen¸cas sucessivas da série ori-ginal até se obter uma série estacionária. A primeira diferen¸ca ∆Z(t) é definida por:

∆Z(t) = Z(t) − Z(t − 1) (3.1)

Assim a segunda diferen¸ca ´e:

∆2Z(t) = ∆[∆Z(t)] = ∆[Z(t) − Z(t − 1)] = Z(t) − 2Z(t − 1) + Z(t − 2) (3.2)

De modo geral ´e

∆nZ(t) = ∆[∆n−1Z(t)] (3.3)

• Normalidade: Uma série obedece o critério de normalidade se seu processo gerador segue uma distribui¸cão normal de probabilidades. Existem vários testes na literatura como por exemplo os testes de Shapiro-Wilk ou Kolmogorov-Smirnov. A hipótese nula do teste é de normalidade. Se o teste rejeita a hipótese nula, deve-se proceder com a transforma¸cão logaritmica dos dados.

(19)

observa¸cões diferentes. O teste de Breusch-Pagan é uma das formas para verificar se uma série é um homocedástica.

3.3.2.1 Modelos Autoregressivos (AR(p))

O modelo AR(p) é um modelo estocástico útil na representa¸cão de um grande número de séries temporais. Neste modelo, o valor corrente do processo é expresso como uma com-bina¸cão linear finita de valores prévios do processo e um ru´ıdo aleatório t.

Assim, Zt, t Z ´e um processo autorregressivo de ordem p e ´e denotado por (3.4)

Zt∼ AR(p) (3.4)

A equa¸c˜ao do modelo (AR(p)) esta representada em (3.5)

Zt= φ1Zt−1+ · · · + φpZt−p+ t (3.5)

Onde φ1, . . . , φps˜ao coeficientes reais e t ´e independente e identicamente distribuida

(i.i.d) e t∼ N (0, σ2).

3.3.2.2 Modelo de m´edias m´oveis (M A(q))

Considere um processo linear Zt, tZ. O processo MA(q) ´e descrito pela equa¸c˜ao (3.6)

Zt= t− θ1t−1− · · · − θqt−q (3.6)

Onde θ1, . . . , θq s˜ao coeficientes reais, t ´e i.i.d com t∼ N (0, σ2).

3.3.2.3 Modelos autorregressivos e de m´edias m´oveis (ARM A(p, q))

Modelos autorregressivos e de médias móveis são a jun¸cão dos modelos AR e M A. Denota-se por ARM A(p, q) um processo autorregressivo e de médias móveis de ordem (p, q) e pode ser representado pela equa¸cão (3.7)

Zt= φ1Zt−1+ · · · + φpZt−p+ t− θ1t−1− · · · − θqt−q (3.7)

(20)

3.3.2.4 Modelos autorregressivos integrados de médias móveis (ARIM A(p, d, q)) O modelo ARIM A considera a tendência da série temporal, tem ordem (p, d, q) e pode ser representado por: 3.8

φ(B)(1 − B)dZt= θ(B)t (3.8)

Onde φ(B) = 1 − φ1B − φ2B2 − · · · − φpBp o polinˆomio autoregressivo de ordem p;

θ(B) = 1 − θ1B − θ2B2 − · · · − θqBp o polinômio de médias móveis de ordem q, B o

operador de retardo, tal que Bj_Z

t= Zt−j e d é o número de diferen¸cas necessárias para

retirar a tendência da série e transformá-la em estacionária.

3.3.2.5 Modelo SARIM A(p, d, q) × (P, D, Q)

Um dos modelos mais utilizados que consideram a sazonalidade de uma determinada serie temporal é o chamado modelo ARIM A sazonal ou SARIM A. Tais modelos são importantes pois levam em consideracão a sazonalidade estocástica dos dados. Quando o per´ıodo s = 12, o modelo denominado SARIM A de ordem (p, d, q) × (P, D, Q)12, é dado

por 3.9

φ(B)Φ(B12)∆d∆D₁₂Zt= θ(B)Θ(B)t (3.9)

Onde :

• φ(B) é o operador autoregressivo (AR) de ordem p; • θ(B) é o operador de médias móveis (M A) de ordem q; • Φ(B) é o operador AR-sazonal de ordem P ;

• Θ(B) ´e o operador M A-sazonal de ordem Q; • ∆d _´_{e o operador de diferen¸ca;}

• ∆D

12 ´e o operador de diferen¸ca sazonal;

(21)

3.3.2.6 Fun¸cão de Autocorrela¸cão (F AC) e Fun¸cão de Autocorrela¸cão Parcial (F ACP )

A fun¸cão de autocorrela¸cão mede o grau de correla¸cão de uma variável, em um dado instante, consigo mesma, em um instante de tempo posterior. Ela permite que se analise o grau de irregularidade de um sinal.

A análise da F AC e da F ACP é de fundamental importância para o procedimento de previsão de séries temporais, pois é com ela que se identifica-se as ordens p e q de um modelo ARM A. A F AC é definida como a razão entre a autocovariância e a variância para um conjunto de dados, que corrresponde a 3.11

γk = T −k X t=1 1 T − k(Zt− E(Zt))(Zt+k − E(Zt+k)) (3.10) ρk = γk γ0 (3.11) Onde, • γk é a autocovariância; • γ0 é a variância.

Os modelos AR(p), M A(q) e ARM A(p, q) apresentam F AC com caracter´ısticas es-pec´ıficas:

(i) Processo AR(p) tem F AC infinita em extens˜ao que decai de acordo com exponen-ciais e/ou senoides amortecidas;

(ii) Processo M A(q) tem F AC finita, no sentido que ela apresenta um corte ap´os a defasagem q;

(iii) Processo ARM A(p, q) tem F AC infinita que decai de acordo com exponencias e/ou senoides amortecidas ap´os a defasagem (q − p).

Uma outra ferramenta utilizada no processo de identifica¸cão do modelo é a FACP. Esta medida corresponde a correla¸cão de Zt e Zt−k removendo o efeito das observa¸cões

Zt−1, Zt−2, . . . , Zt−k+1 e ´e denotada por φkk , ou seja

(22)

Um m´etodo geral para encontrar a FACP de um processo autoregressivo com FAC ρk ´e

utilizando as equa¸c˜oes de Yule-Walker, dado por:

          1 ρ1 ρ2 . . . ρp−1 ρ1 1 ρ1 . . . ρp−2 ρ2 ρ1 1 . . . ρp−3 .. . ... ... . .. ... ρp1 ρp−2 ρp−3 . . . 1                     φ1 φ2 φ3 .. . φp           =           ρ1 ρ2 ρ3 .. . ρp          

A tabela 2, mostra as propriedades teóricas das fun¸cões de autocorrela¸cão e auto-correla¸cão parcial para alguns processos estacionários como auxiliar na identica¸cão do modelo.

Tabela 3: Propriedades te´oricas da F AC e F ACP

Processo F AC F ACP

AR(1), α > 0 decaimento exponencial 0, k ≥ 1 AR(p), α > 0 decaimento exponencial 0, k ≥ p

M A(1) 0, k > 1 decaimento oscilat´orio

ARM A(p, q) decaimento a partir de q decaimento a partir de p

3.4 Filtragem SSA

Singular Spectrum Analysis (SSA) é uma técnica não paramétrica que permite de-compor uma série temporal em sinal e ru´ıdo. É uma técnica útil para filtrar dados de séries temporais. Por Menezes et al. [2], são utilizadas três metodologias na abordagem SSA: Análise de componentes principais (ACP), ACP associado com Análise de Cluster e Análise Gráfica dos Vetores Singulares. Em seu artigo é mostrado que o melhor método em SSA é a Análise Gráfica dos vetores singulares, que será usado nesta pesquisa. Para Elsner e Tsonis [6], SSA é um método recente e poderoso em séries temporais que incor-pora elementos de análise clássica de séries temporais, estat´ıstica multivariada, geometria multivariada, sistemas dinâmicos e processamentos de sinais . SSA tem sido aplicada com sucesso em diversas áreas: na matemática e f´ısica a economia e matemática financeira, na meteorologia e oceanografia a ciências sociais (GOLYANDINA et al. [7]).

O método SSA é um procedimento que pode ser utilizado, dentre outras aplica¸cões, na remo¸cão de ru´ıdo e de séries temporais (GOLYANDINA et al. [7]; HASSANI et al. [9]). A versão básica do método SSA pode ser dividida em duas etapas: decomposi¸cão e

(23)

3.4 Filtragem SSA 22

reconstru¸c˜ao.

3.4.1 Decomposi¸

c˜

ao

Segundo Menezes et al. [2], a etapa de decomposi¸cão pode ser subdividida em duas partes: Incorpora¸cão e decomposi¸cão em valores singulares (SVD – Singular Value De-composition).

Seja Yt = [y1, . . . yT]1×T uma s´erie temporal e considere L tal que 2 ≤ L ≤ T de

modo que L é um parâmetro a ser estimado e é chamado de comprimento da janela (GOLYANDINA et al. [7]). Entende-se por Incorpora¸cão o procedimento no qual uma série temporal YT é levada a uma matriz X chamada “Matriz Trajetória” dada por (3.13).

X =        y1 y2 y3 . . . yk y2 y3 y4 . . . yk+1 .. . ... ... . .. ... yL yL+1 yL+2 . . . yT        (3.13)

A matriz X ´e uma matriz Hankel, ou seja, os elementos de xi,j tal que i+j = constante

s˜ao iguais.

Considere S = XX0. Os autovalores de S dispostos em ordem de significância λ1 ≥ · · · ≥ λL ≥ 0 são obtidos e os respectivos autovalores U1, . . . , UL são encontrados.

Considere V0 = (X0UL)/

√

λ, como S é positivo semi-definido, então a matriz trajetória X pode ser expressa pela decomposi¸cão em valores singulares (SVD) apresentada em (3.14):

X = E1+ E2+ · · · + EL, (3.14)

onde El =

√

λUlVl0, para todo l = 1, . . . , L. A cole¸c˜ao (

√

λl, Ul, Vl) ´e conhecida como

auto-tripla da expansão SVD de X. Os elementos da autotripla são definidos respectivamente por: valor singular, vetor singular à esquerda e vetor singular à direita de X (MENEZES et al. [2]). A contribui¸cão de cada componente em (3.14) pode ser mensurada pela razão de autovalores λl/PL_l=1λl.

(24)

3.4.2 Reconstru¸

c˜

ao

Segundo Menezes et al. [2], a etapa de reconstru¸cão está subdividida em duas partes: agrupamento e média diagonal. A etapa de agrupamento consiste no procedimento de agrupar algumas sequências de matrizes elementares resultantes da decomposi¸cão SVD em grupos disjuntos e, após isso, somá-las, gerando novas matrizes elementares.

Considere a sequencia PL

l=1El de matrizes elementares da expans˜ao de SVD. Agrupe

as mesmas em m grupos disjuntos utilizando algum método, por exemplo, por meio de análise de componentes principais, análise gráfica de vetores singulares ou agrupamento hierárquico e assumir que o conjunto de ´ındices gerado é dado por {I1, . . . , Im}, de modo

que a expans˜ao (3.14) pode ser reescrita como em (3.15), sendo XIiarbitr´aria tal queXIi =

Ppi j=1XIij (MENEZES et al. [2]). X = L X l=1 El = m X i=1 XIi (3.15)

O objetivo do agrupamento é diminuir o número de componentes na expansão da matriz trajetória X. A contribui¸cão de cada componente é mensurada pela razão (3.16) (MENEZES et al. [2]). Ppi j=1λI_ij PL l=1λl . (3.16)

Considere a matriz trajet´oria X e assuma que L∗ = min(L, K) e K∗ = max(L, K). Considere x(i)_l,k um elemento na linha l e coluna k na matriz XIi. O elemento y

(i) t da

componente hy_t(i)i

1×T da série temporal [yt]1×T é calculado por meio da média diagonal

da matriz elementar XIi definida em (3.17), a partir da matriz elementar XIi.

y_t(i)=                  t P l=1 x(i)_l,t−l+1 t , se 1 ≤ t < L ∗ L∗ P l=1 x(i)_l,t−l+1 L∗ , se L∗ ≤ t < K∗ T −K∗+1 P l=t−K∗+1 x(i)_l,t−l+1 T −K∗₊₁ , se K∗ ≤ t ≤ T (3.17)

Cada componente hy_t(i)i

1×T concentra parte da energia da s´erie temporal original

[yt]1×T que pode ser mensurada pela raz˜ao de autovalores pi P j=1 λIij/ d P l=1 λl. De acordo com

(25)

3.4 Filtragem SSA 24

[9], podemos classificar as componentes SSA hy(i)_t i

1×T

de uma série temporal arbitrária [yt]_1×T em três categorais: tendência, componentes harmônicas (ciclo e sazonalidade) e

ru´ıdo (GOLYANDINA et al. [7]).

Um dos principais conceitos estudados em SSA é a propriedade de separabilidade Hassani et al. [9]. Tal propriedade caracteriza quão bem separados estão as diferentes, componentes, umas das outras. Uma boa medida de separabilidade é a Correla¸cão Ponde-rada. Por correla¸cão ponderada weighted correlation ou w-correla¸cão, podemos entender como uma fun¸cão que quantifica a dependência linear entre duas componentes SSA Y_T(1) e Y_T(2) definida em (3.18) (MENEZES et al. [2]).

ρ(w)_ij =

Y_T(i), Y_T(j)

w

||Y_T(i)||w||Y (j) T ||w

. (3.18)

onde ||Y_T(i)||w =

r Y_T(i), Y_T(i) w ; ||Y_T(j)||w = r Y_T(j), Y_T(j) w ;Y_T(i), Y_T(j) w = T P k=1 wky (i) k y (j) k e wk= min{k, L, T − k}.

Através da separabilidade, pode-se verificar estatisticamente se duas componentes SSA estão bem separadas, em termos de dependência linear. Segundo Hassani et al. [9], o valor absoluto da w-correla¸cão é pequeno, então as componentes SSA correspondentes são classificadas como w-ortogonais (ou quase w-ortogonais); caso contrário, são ditas mal separadas. Salienta-se que comumente utiliza-se a correla¸cão ponderada na fase de agrupamento SSA (GOLYANDINA et al. [7]).

3.4.3 An´

alise Componentes Principais

Na filtragem SSA via abordagem ACP-SVD, define-se um comprimento de janela ´

otimo igual a L para a matriz trajetória X, um truncamento ótimo na componente N na SVD, de modo que a soma das matrizes elementares remanescentes na SVD venha a gerar uma série temporal RT classificada como ru´ıdo. O objetivo é obter uma série temporal

yT menos ruidosa que a s´erie temporal original YT, removendo-se RT. Trata-se, portanto,

de um problema de otimiza¸c˜ao.

3.4.4 An´

alise Gr´

afica dos Autovetores

A análise das coordenadas da série temporal na base definida pelos vetores singulares resultantes da SVD permite identificar as componentes de tendência e da sazonalidade da

(26)

série. O problema geral aqui consiste em identificar e separar as componentes oscilatórias das componentes que fazem parte da tendência. De acordo com (GOLYANDINA et al. [7]) a análise gráfica de tais coordenadas aos pares permite identificar por meio visual as componentes harmônicas da série.

As coordenadas da série temporal em duas componentes ortogonais podem ser dispos-tas em um diagrama de dispersão. Considere um harmônico puro com frequência igual a ω, fase igual a ξ, amplitude igual a ξ e per´ıodo ρ=1_ω definido como um divisor do tamanho da janela L e K. Se o parâmetro ρ assume um valor inteiro, então ρ é classificado como per´ıodo do harmônico. Por exemplo, as fun¸cões seno e o cosseno com frequências, ampli-tudes e fases iguais resultam em um diagrama de dispersão que exibe um padrão circular. Por sua vez, se ρ=1_ω é um inteiro, então o diagrama de dispersão exibe um pol´ıgono regular com ρ vértices. Para uma frequência ω = m_n < 0.5 com m e n inteiros e primos, os pontos são vértices de um pol´ıgono regular de n vértices (GOLYANDINA et al. [7]). Dessa forma, a identifica¸cão dos componentes que são gerados por um harmônico é reduzida à análise pictórica do padrão determinado nos diferentes pares de componentes.

3.5 Estat´ısticas de aderˆ

encia

Na escolha de um método de previsão ou outro é importante utilizar medidas de erro com a finalidade de se encontrar aquele método que melhor atende os objetivos da análise de série temporal. Dentre as estat´ısticas de aderência, se destacam:

(i) RM SE (Root mean square error): na equa¸cão 3.19, mostra as diferen¸cas individuais entre a previsão do modelo ( ˆZt) e as observa¸cões (Zt) , onde n é o total

de compara¸cões. Elevando as diferen¸cas ao quadrado for¸ca a tratar igualmente os resultados negativos e positivos. Mede o erro total (sistemáticos e randômicos). É utilizado para medir a magnitude do erro.

RM SE = v u u t n P t=1 (Zt− ˆZt)2 n . (3.19)

(ii) M AP E (Mean Absolute Percentage Erro): na equa¸cão 3.20, expressa a acurácia do erro em percentagem. Onde Zt são os dados observados, ˆZt são os

dados ajustados pelo o modelo e n é o número de observa¸cões. M AP E =

Pn

t=1|(Zt− ˆZt)/Zt|

(27)

3.6 Resumo de metodologia 26

(iii) BIC (Byesian information Criterion) : o BIC (3.21) aumenta conforme a soma dos quadrados dos erros (SQE) (3.22) aumenta. Al´em disso, o BIC penaliza modelos com muitos parˆametros. Quanto menor o valor de BIC, melhor.

BIC = −2 log Lp+ [(p + 1) + 1] log n, (3.21)

onde Lpé a fun¸cão de máxima verossimilhan¸ca do modelo e p é o número de variáveis

explicativas consideradas no modelo.

SQE = v u u t n X t=1 (Zt− ˆZt)2 n . (3.22)

Como modelos com mais variáveis tendem a produzir menor SQE mas usam mais parâmetros, a melhor escolha é balancear o ajuste com a quantidade de variáveis. (iv) R2 (Coeficiente de determina¸cão): também chamado de R2, expressa em 3.23 é

uma medida de ajustamento de um modelo estat´ıstico. O R2 _{varia entre 0 e 1,}

indi-cando, em percentagem, o quanto o modelo consegue explicar os valores observados. Quanto maior o R2, mais explicativo ´e modelo, melhor ele se ajusta `a amostra.

R2 = 1 − PT t=1(Zt− ˆZt)2 PT t=1(Zt− ¯Z)2) ! (3.23)

3.6 Resumo de metodologia

A execu¸cão desta pesquisa deverá seguir na seguinte sequencia: inicialmente a série original de demanda de energia será modelada de acordo com o modelo sugerido pelo software FPW; em seguida serão feitos testes de normalidade e de estacionariedade com os programas Eviews e Gretl com o intuito de realizar a modelagem ARIM A. Caso não se verifiquem as condi¸cões de normalidade e de estacionariedade, os procedimentos de transforma¸cão logaritmica e de realizar diferen¸cas sucessivas na série serão feitos até que sejam obedecidas tais condi¸cões. Posto isso, a modelagem ARIM A será feita pelo FPW e confirmada pelo Gretl a partir das análises do correlograma.As adequa¸cões dos modelos serão feitas pela análise dos res´ıduos verificando se os mesmos são independentes e identicamente distribu´ıdas (i.i.d.).

(28)

CaterpillarSSA. Nesta filtragem, será levada em considera¸cão a filtragem tradicional via análise gráfica dos autovetores e a a filtragem SSA sob a abordagem com análise de componentes principais. Nestas duas filtragens, a série original será decomposta em três componentes: tendência, harmônica e ru´ıdo, sendo esta última removida após a con-firma¸cão com o teste independência usando o Eviews. Nos dois casos das filtragens SSA, as séries filtradas serão modeladas também via Holt-Winters e Box & jenkins.

Após as modelagens das séries original e filtrada via SSA e SSA − ACP , as es-tat´ısticas de aderência serão feitas e seus resultados listados em uma tabela de modo que o modelo mais adequado será aquele que minimize estas estat´ısticas de erro utilizadas e que maximize o coeficiente de determina¸cão. A figura 2 apresenta o fluxograma resumido desta metodologia.

(29)

28

4 An´

alise dos Resultados

Conforme a proposta, foram feitas as análises e modelagens da série temporal de demanda de energia elétrica sem filtragem, com a filtragem SSA usando análise gráfica (SSA-Análise Gráfica) e com a filtragem SSA sob a abordagem ACP (SSA-ACP). Na se¸cão 4.1 são apresentados os resultados obtidos da análise de séries temporais para a série original.

4.1 An´

alise e Modelagem da S´

erie Original

A modelagem da série original se deu por meio da análise de cinco (5) potenciais modelos, sendo três (3) de amortecimento exponencial de Holt-Winters e dois (2) da classe de modelos ARIMA de Box & Jenkins.

A escolha dos modelos de Holt-Winters se deu pela sugestão da sele¸cão do espe-cialista do programa FPW e por suas varia¸cões. Dessa forma, os modelos analisados foram: HW1 (Modelo com tendência linear e sazonalidade multiplicativa - escolha do es-pecialista); HW2 (Modelo de Amortecimento Exponencial Simples, sem tendência e sem sazonalidade); HW3 (Modelo com tendência linear e sem sazonalidade). Todos eles com otimiza¸cão dos parâmetros.

A escolha dos modelos de Box & Jenkins também partiu da sele¸cão do especialista, seguido de uma varia¸cão deste mesmo modelo. Desta forma, o s modelos analisados foram: BJ1 (SARIM A(0, 1, 1) × (1, 0, 1) com transforma¸cão logar´ıtmica) e o modelo BJ2 (ARIM A(2, 2, 1) × (1, 0, 1) sem transforma¸cão logar´ıtmica). A tabela 4 apresenta os resultados das estat´ısticas de aderência para estes modelos.

(30)

Tabela 4: Estat´ısticas de aderˆencia da Modelagem da S´erie Original

Modelo BIC MAPE RMSE R2

HW1 1893 0,0185 1813 0,9616

HW2 2153 0,0211 2123 0,9473

HW3 2182 0,0211 2120 0,9474

BJ1 1601 0,0168 1709 0,9727

BJ2 1862 0,0169 1732 0,9649

De acordo com as estat´ısticas de aderência apresentadas na tabela 4, o modelo que ob-teve melhor desempenho foi o modelo BJ1 (ARIM A(0, 1, 1) × (1, 0, 1) com transforma¸cão logar´ıtmica). Os parâmetros esimados e sua significância estão dispon´ıveis no Anexo A.

A figura 3 apresenta a sobreposi¸cão do gráfico da série ajustada a partir deste modelo com o gráfico da série original.

Figura 3: S´erie original x S´erie ajustada pelo melhor modelo. ´

E poss´ıvel perceber na figura 3 que o modelo consegue captar o comportamento da s´erie original e pode ser adequado para esta modelagem.

Para confrontar com este modelo, uma filtragem SSA será feita na série original a partir de duas metodologias diferentes. A se¸cão 4.2 apresenta a filtragem SSA sob a abordagem ACP e a se¸cão 4.3 apresenta a filtragem SSA sob a abordagem da análise gráfica.

(31)

4.2 An´alise e modelagem da s´erie sob a abordagem SSA-ACP 30

4.2 An´

alise e modelagem da s´

erie sob a abordagem

SSA-ACP

Na abordagem ACP, usa-se um critério de escolha das componentes principais de acordo com a significância destas componentes. Na abordagem SSA, ao escolher o com-primento de janela ideal (L = 90. Ou seja, L = T /2 de acordo com (GOLYANDINA et al. [7]), percebe-se que as componentes até 47a. correspondem a 99,997% da forma¸cão da série e que as demais (da 48a_{. a 90}a_{.) correspondem apenas a 0,003% da s´}_{erie e est˜}_ao

entre as menos significantes para sua forma¸cão e serão consideradas como ruidosas. A figura 4 apresenta o logaritmo dos autovalores em ordem de significância.

Figura 4: Logaritmos dos autovalores na abordagem SSA-ACP.

Após a escolha das componentes principais para compor a série, surge a necessidade de uma ferramenta para averiguar se a separa¸cão das componentes é adequada. A partir da correla¸cão ponderada, pode-se ter uma no¸cão de o quão bem separadas estão as compo-nentes. Quanto menor a correla¸cão entre elas, melhor é a separa¸cão. A figura 5 apresenta uma ilustra¸cão da matriz de correla¸cão ponderada (w-correlation matrix). Quanto mais escura é a imagem, maior é a correla¸cão e quanto mais clara, menor esta correla¸cão de modo que a parte preta indica correla¸cão igual à 1 e a parte branca indica correla¸cão zero.

(32)

Figura 5: Matriz de Correla¸c˜ao Ponderada SSA-ACP.

Conforme pode ser visto na figura 5, a correla¸cão entre as duas componentes separadas está no intervalo entre 0,00 e 0,05 o que indica que as duas componentes estão bem separadas e, uma vez denotadas “sinal”e “ru´ıdo”, pode-se concluir que na decomposi¸cão não há sinal na série de ru´ıdos e nem ru´ıdos na série de sinal.

Desta forma, a decomposi¸cão da série via SSA-ACP gerada está na equa¸cão 4.1

Yt= St+ Rt, (4.1)

onde St é a série de sinal definida pelos autovalores de 1 a 47 e Rt é a série de ru´ıdos

definida pelos autovalores de 48 a 90. A filtragem se confirma na fase de reconstru¸cão da série filtrada utilizando apenas a componente de sinal St e excluindo-se a série de ru´ıdos

Rt.

Após a filtragem, a série filtrada via SSA-ACP foi modelada por cinco (5) modelos, sendo três (3) da classe de modelos de amortecimento exponencial de Holt-Winters e dois (2), da classe de modelos ARIMA de Box & Jenkins.

A escolha dos modelos de Holt-Winters se deu pela sugestão da sele¸cão do especialista do programa FPW e por suas varia¸cões igual a modelagem anterior. Dessa forma, os

(33)

mo-4.2 An´alise e modelagem da s´erie sob a abordagem SSA-ACP 32

delos analisados foram: HW1 (Modelo com tendência linear e sazonalidade multiplicativa - escolha do especialista); HW2 (Modelo de Amortecimento Exponencial Simples, sem tendência e sem sazonalidade); HW3 (Modelo com tendência linear e sem sazonalidade). Todos eles com otimiza¸cão dos parâmetros.

A escolha dos modelos de Box & Jenkins também partiu da sele¸cão do especialista, seguido de uma varia¸cão deste mesmo modelo igual a modelagem anterior. Desta forma, os modelos analisados foram: BJ1 (SARIM A(0, 1, 1) × (1, 0, 1) com transforma¸cão lo-gar´ıtmica) e o modelo BJ2 (ARIM A(2, 2, 1) × (1, 0, 1) sem transforma¸cão logar´ıtmica). A tabela 5 apresenta os resultados das estat´ısticas de aderência para estes modelos.

Tabela 5: Estat´ısticas de aderˆencia da Modelagem da S´erie sob Abordagem SSA-ACP

HW1 1510 0,0157 1645 0,9754

WH2 2059 0,01936 2029 0,9513

HW3 2087 0,01947 2028 0,9514

BJ1 1510 0,0157 1645 0,9754

BJ2 1785 0,01581 1661 0,9674

De acordo com as estat´ısticas de aderência apresentadas na tabela 5, o modelo que obteve melhor desempenho foi o modelo BJ1 (SARIM A(0, 1, 1) × (1, 0, 1) com trans-forma¸cão logar´ıtmica). Os parâmetros esimados e sua significância estão dispon´ıveis no Anexo A.

Figura 6: Série original x Série ajustada pelo melhor modelo após a filtragem SSA-ACP. ´

E poss´ıvel perceber na figura 6 que o modelo SSA-ACP consegue captar o comporta-mento da s´erie original e pode ser adequado para esta modelagem.

(34)

Por fim, uma filtragem SSA será feita na série original a partir da abordagem com análise gráfica autovetores.

4.3 An´

alise e modelagem da s´

erie sob a abordagem

SSA - An´

alise Gr´

afica

Na abordagem SSA - Análise Gráfica é feita uma decomposi¸cão da série em três componentes, sendo elas: componente de tendência, componente harmônia e componente ruidosa. Para decidir os autovetores que formarão cada uma das componentes, a análise gráfica do comportamento de cada autovetor e do diagrama de dispersão de dois autove-tores consecutivos indica a componente a qual ele (ou eles) pertence(m). Nesta análise, se um autovetor tem comportamento suave, ele pertence a componente de tendência, se ele tem um comportamento senoidal e/ou o diagrama de dispersão dos pares conse-cutivos apresentam formas circulares ou poligonais, então eles pertencem à componente harmônica e se não possuem nenhuma destas caracter´ısticas e o diagrama de dispersão dos pares consecutivos apresenta uma forma caótica, então eles pertencem a componente ruidosa.

A figura 7 apresenta os 9 primeiros autovetores na decomposi¸cão SSA via análise gráfica. Assim, percebe-se que o primeiro autovetor forma o componente de tedência nessa visualiza¸cão. Para identifica¸cão de tendência semelha uma reta.

(35)

4.3 Análise e modelagem da série sob a abordagem SSA - Análise Gráfica 34

Figura 7: Os nove autovetores mais significantes na abordagem SSA-Análise Gráfica. Na figura 7 é poss´ıvel perceber que o primeiro autovetor pertence à componente de tendência assim como os autovetores 4 e 5 devido ao comportamento mais suave. Também é poss´ıvel perceber que os autovetores 2, 3, 6 e 7 pertencem a componente harmônica pelo comportamento senoidal. Já os autovetores 8 e 9 pertencem a componente ruidosa uma vez que não apresenta nenhuma das caracter´ısticas anotadas nos autovetores das compo-nentes de tendência e harmônica. Outra forma de verificar os autovetores da componente harmônica se faz a partir da análise gráfica dos diagramas de dispersão dos autovetores em sequência. Na ocasião, se tais diagramas tem formato de um pol´ıgono regular, então os dois autovetores que o forma pertencem à componente harmônica. A figura 8 apresenta os 9 primeiros pares de autovetores em sequencia na abordagem SSA via análise gráfica. Na figura 8 pode-se perceber que os pares de autovetores 2-3 e 6-7 pertencem a componente harmônica, uma vez que eles formam um pol´ıgono regular.

(36)

Figura 8: Diagramas de dispers˜ao dos autovetores em sequˆencia.

Após a análise gráfica de todos autovetores, obtem-se o agrupamento das componen-tes. A tabela 6 apresenta o resultado obtido.

Tabela 6: Agrupamento das Componentes Tendˆencia Harmˆonica ru´ıdo 1, 4, 5, 11,12 2, 3, 6, 7 8 - 10, 15, 20, 21

16 - 18, 26 13, 19, 22 23 - 25, 27 - 90

A figura 9 apresenta uma ilustra¸cão da matriz de correla¸cão ponderada (w-correlation matrix). Quanto mais escura é a imagem, maior é a correla¸cão e quanto mais clara, menor esta correla¸cão de modo que a parte preta indica correla¸cão igual à 1 e a parte branca indica correla¸cão zero.

(37)

Figura 9: Matriz de Correla¸cão Ponderada SSA-Análise Gráfica.

A tabela 7 apresenta os valores da matriz de correla¸c˜ao ponderada entre as compo-nentes.

Tabela 7: Correla¸c˜ao Ponderada Entre Componentes Tend. Harm. Ru´ıdo

Tend. 1 0,001 0,003

Harm. 0,001 1 0,109

Ru´ıdo 0,003 0,109 1

´

E poss´ıvel perceber que, de acordo com a figura 9 e a tabela 7, as três componentes estão bem separadas, uma vez que as correla¸cões apresentadas nelas são baixas e próximas a zero.

Para a conclusão da filtragem, as componentes de tendência e harmônicas são consi-deradas e somadas enquanto a componente ruidosa é removida.

Com a nova série filtrada via SSA-Análise Gráfica, cinco modelos foram testados sendo 3 da classes de modelos de amortecimento exponencial de Hot-Winters e 2 da classe de modelos ARIMA de Box & Jenkins.

(38)

A escolha dos modelos de Holt-Winters se deu pela sugestão da sele¸cão do especialista do programa FPW e por suas varia¸cões igual a modelagem anterior. Dessa forma, os mo-delos analisados foram: HW1 (Modelo com tendência linear e sazonalidade multiplicativa - escolha do especialista); HW2 (Modelo de Amortecimento Exponencial Simples, sem tendência e sem sazonalidade); HW3 (Modelo com tendência linear e sem sazonalidade). Todos eles com otimiza¸cão dos parâmetros.

A escolha dos modelos de Box & Jenkins também partiu da sele¸cão do especialista, porém diferente das modelagens anteriores, seguido de uma varia¸cão deste mesmo mo-delo igual a modelagem anterior. Desta forma, os modelos analisados foram: BJ1

-(SARIM A(0, 1, 4)×(0, 1, 4) com transforma¸c˜ao logar´ıtmica) e o modelo BJ2 (SARIM A(0, 1, 1)× (1, 0, 1) sem transforma¸c˜ao logar´ıtmica). A tabela 8 apresenta os resultados das

es-tat´ısticas de aderˆencia para estes modelos.

Tabela 8: Estat´ısticas de aderência da Modelagem da Série sob Abordagem SSA-Análise Gráfica

HW1 903 0,00945 862,5 0,991

WH2 1409 0,01377 1389 0,9767

HW3 1426 0,01366 1485 0,9768

BJ1 376 0,00376 382,1 0,9986

BJ2 468 0,00478 516,2 0,9976

De acordo com as estat´ısticas de aderência apresentadas na tabela 8, o modelo que ob-teve melhor desempenho foi o modelo BJ1 (ARIM A(0, 1, 4) × (0, 1, 4) com transforma¸cão logar´ıtmica). Os parâmetros esimados e sua significância estão dispon´ıveis no Anexo A.

(39)

Figura 10: Série original x Série ajustada pelo melhor modelo após a filtragem SSA-Análise Gráfica.

Após esta etapa, os modelos que obtiveram o melhor desempenho dentre os mo-delos, sem SSA e com SSA são comparados e os resultados apresentados na tabela 9. Nesta tabela, considerando o modelo ARIM A1 o modelo SARIM A(0, 1, 1) × (1, 0, 1) que foi o melhor modelo na análise da série original, o modelo ARIM A2 o modelo SARIM A(0, 1, 1)×(1, 0, 1) que foi o melhor modelo da série após a filtragem SSA - análise de componentes principais e o modelo ARIM A3 o modelo SARIM A(0, 1, 4) × (0, 1, 4) que foi o melhor modelo da série após a filtragem SSA - Análise Gráfica.

Tabela 9: Estat´ıstica de aderˆencia dos modelos com melhor resultado

Filtragem Modelo BIC MAPE RMSE R2

Nenhuma ARIMA1 1601 0,0168 1709 0,9727

SSA-ACP ARIMA2 1510 0,0157 1645 0,9754

SSA-An´alise Gr´afica ARIMA3 376 0,00376 382,1 0,9986

Conforme pode ser observado na tabela 9, em todos os casos os modelos de Box & Jenkins se sobressaem sobre os modelos de Holt-Winters e dentre as melhores modelagens, a que teve o melhor desempenho foi aquela a que se refere à série de consumo de energia após a filtragem SSA sob a abordagem com Análise Gráfica dos autovetores.

O modelo escolhido foi:

Zt= Zt−1+ et+ 0, 5145et−1+ 0, 1806et−2+ 0, 4226et−3− 0, 2246et−4−

0, 1646et−12− 0, 8499et−24+ 0, 5067et−36+ 0, 1346et−48

(40)

4.4 An´

alise dos Res´ıduos

Após definir o melhor modelo de acordo com as estat´ısticas de aderência, a análise dos res´ıduos verifica se o modelo escolhido é adequado para esta série. A figura 11 mostra o gráfico da FAC dos res´ıduos do modelo de Box & Jenkins para a série filtrada via SSA-Análise Gráfica.

Figura 11: FAC do modelo escolhido.

Conforme pode ser visto na figura 11, os res´ıduos são não correlacionados uma vez que estão dentro do limite de significância ±1, 96/√T = ±1, 96/√180 = ±0, 15 ao n´ıvel de 5%. Desta forma, pode-se dizer que o modelo é adequado.

(41)

40

5 Conclus˜

ao

A energia elétrica que chega às residências, ao comércio e à indústria não tem demanda uniforme ao longo do dia. O mesmo tipo de comportamento pode ser observado quando avaliado no âmbito mensal. A impossibilidade de estocá-la impõe que sua gera¸cão se dê na medida do consumo, que passa por diversas varia¸cões ao longo do tempo. Prever e atender a essas varia¸cões de modo a evitar problemas de falta de energia ou desperd´ıcios é uma a¸cão necessária.

´

E nessas horas que se torna importante o desenvolvimento de novas técnicas e fer-ramentas estat´ısticas que possam vir a melhorar cada vez mais os modelos de previsões de séries temporais. O objetivo desse projeto foi mostrar que o uso de filtragens ajuda a limpar a série de forma que seja mais eficaz a sua previsão.

Os dados utilizados para fazer as an´alises s˜ao do consumo mensal do Brasil no per´ıodo entre jan/2002 a dez/2016 medidos em MWh.

Os modelos de Holt-Winters e de Box & Jenkins foram aplicados as séries original e filtradas e foram comparados segundo as estat´ısticas de aderência (RMSE, BIC, MAPE e R2). Os resultados desmontraram que a série filtrada via SSA por Análise Gráfica obteve a melhor modelagem comparada a série sem filtragem e a série filtrada via Análise de Componentes Principais. E que a modelagem via Box & Jenkins foi superior em todas as análises de acordo com estat´ısticas de aderências.

Com isso, pode-se concluir que ao aplicar um filtragem na série original, os modelos têm melhor desempenho e que a filtragem via SSA-Análise Gráfica proporciona um ganho preditivo sobre as demais filtragens. Neste contexto, dentre as classes de modelos, a classe de Box & Jenkins foi a que deteve os melhores resultados.

(42)

Referˆ

encias

[1] Rodrigues, L.; Pinho, P.; Linden, R. “Séries temporais no consumo de energia elétrica no Estado do Rio de Janeiro”. Revista Visões 1. 2007.

[2] Menezes, M. L.;Cassiano, K. M.; Souza, R. M.; Junior, L. A. T.; Pessanha, J. F. M.; Souza, R. C. “Modelagem e previs˜ao de demanda de energia com filtragem SSA.”, Revista da Estat´ıstica UFOP, vol III(2), 2014.

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[5] Box, G.; Jenkins, G. “Time Series Analysis: Forecasting and Control”. San Francisco: Holden-Day, 1970.

[6] Elsner, J. and Tsonis, A. Singular Spectrum Analysis. A New Tool in Time Series Analysis. Plenum Press, New York, 1996.

[7] Golynadina, N., Nekrutkin, V., and Zhihgljavsky, A. Analysis of time series structure: SSA and reletade techniques. Chapman&Hall/CRC, New York, 2001. [8] Morettin, P. and Toloi, C. Análise de séries temporais. São Paulo: Egard

Bl¨ucher, 2006.

[9] Hassani, H., Heravi, S., and. Zhigljavsky, A. Forecasting UK Industrial Pro-duction with Multivariate Singular Spectrum Analysis, presentedat the 2012 Intrernational Conference on the Singular Spectrum Analysis and its Applica-tions, Beijing, China, 2012.

[10] Fogliatto, F. Previsão de Demanda. Curso de gradua¸cão em Engenharia de Produ¸cão e Transporte (apostila). Porto Alegre, 2003.

[11] Hipel, K. W. e McLeod, A. I. Time Series Modelling of Water Resources and Environmental Systems. Ed. Elsevier. Amsterdam, The Netherlands, 1994.

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ANEXO A -- Output das Modelagens

Figura 12: Modelagem da s´erie Original.

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