RECURSOS COMPUTACIONAIS NO ENSINO DE MATEMÁTICA 2 a LISTA DE EXERCÍCIOS maio/2017

(1)

RECURSOS COMPUTACIONAIS NO ENSINO DE MATEM´

ATICA

2

a

LISTA DE EXERC´ICIOS – maio/2017

enviar respostas para numerufpb@gmail.com at´e o dia 10 de junho de 2017

Escolha qual é a única alternativa correta em cada uma das questões de 1 a 40.

21) Consideremos as matrizes A =   72 −2 311 4 −3 4 5   e B =   4 4 43 3 3 2 2 2   . Então, (AB)5 − A5B5 é igual à seguinte matriz:

a)   0 0 00 0 0 0 0 0   b)   541198711 32456834541198711 32456834 −20980076−20980076 541198711 32456834 −20980076   c)   −541198711 −32456834 20980076_{−541198711 −32456834 20980076} −541198711 −32456834 20980076   d)   −111237682 345132002345132002 −111237682 6530087065300870 65300870 345132002 −111237682   e)   _{−5456676456 −5456676456 −5456676456}2275014924 2275014924 2275014924 −3652425756 −3652425756 −3652425756   f)   541113425541113425 −98234001 1003244008−98234001 1003244008 541113425 −98234001 1003244008   22) Seja M =       1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 3 3 3 1 2 3 4 4 1 2 3 4 5       . A matriz inversa de M ´e:

(2)

a) M−1 =       2 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 1       b) M−1 =       2 −1 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 −1 1       c) M−1 =       −2 −1 0 0 0 −1 −2 −1 0 0 0 −1 −2 −1 0 0 0 −1 −2 −1 0 0 0 −1 −1       d) M−1 =       3 −1 0 0 0 −1 3 −1 0 0 0 −1 3 −1 0 0 0 −1 3 −1 0 0 0 −1 1       e) M−1 =       1 −1 0 0 0 −1 1 −1 0 0 0 −1 1 −1 0 0 0 −1 1 −1 0 0 0 1 1       f) M−1 =       −2 1 0 0 0 1 −2 1 0 0 0 1 −2 1 0 0 0 1 −2 1 0 0 0 1 −1      

23) Sendo I a matriz identidade 5× 5 e M =       1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 3 3 3 1 2 3 4 4 1 2 3 4 5      , o determinante

(3)

da matriz xI − M ´e igual a: a) x5 − 15x4 − 35x3 + 28x2 + 9x + 1 b) x5 − 15x4 − 35x3 − 28x2 + 9x− 1 c) x5 − 15x4 + 35x3 − 28x2 − 9x + 1 d) x5 − 15x4 − 25x3 + 18x2 + 9x− 1 e) x5 − 15x4 − 35x3 − 18x2 + 9x− 1 f) x5 − 15x4 + 25x3 + 28x2 + 9x− 1 g) x5 − 15x4 + 35x3 − 28x2 + 9x− 1 h) x5 − 15x4 + 25x3 − 18x2 + 9x + 1 24) Se R =       −4 2 1 1 1 1 −3 4 4 4 −9 −18 −32 −35 −36 9 18 27 31 31 −1 −2 −3 −4 −3     

, ent˜ao o determinante de R ´e igual a: a) 0 b) −500 c) 1 d) 400 e) 200 f) −250 g) −900 h) 800

25) A forma escalonada da matriz R anterior ´e S =       1 −1₂ −1₄ −1₄ −1₄ 0 1 −17₁₀ −17₁₀ −17₁₀ 0 0 1 151₁₄₅ 153₁₄₅ 0 0 0 1 ₃₅8 0 0 0 0 1      . Para obter essa forma, podemos usar o seguinte comando:

(4)

a) S: determinant(R); b) S: invert(R); c) S: triangularize(R); d) S: echelon(R); e) S: ident(R); f) S: hilbert matrix(R); g) S: zeromatrix(R); h) S: jordan form(R)

26) A matriz A de ordem 5× 5 cujo termo geral ´e dado por

aij = 25− i + j + max(i, j)(1 − max(i, j)) ´e: a) A =       25 24 21 16 9 22 23 20 15 8 17 18 19 14 7 10 11 12 13 6 1 2 3 4 5       b) A =       1 2 3 4 5 16 17 18 19 6 15 24 25 20 7 14 23 22 21 8 13 12 11 10 9       c) A =       1 2 9 10 25 4 3 8 11 24 5 6 7 12 23 16 15 14 13 22 17 18 19 20 21       d) A =       25 16 15 6 5 24 17 14 7 4 23 18 13 8 3 22 19 12 9 2 21 20 11 10 1      

(5)

e) A =       25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1       f) A =       25 24 22 19 15 23 21 18 14 10 20 17 13 9 6 16 12 8 5 3 11 7 4 2 1       27) O gr´afico a seguir

pode ser constru´ıdo com o seguinte comando:

a) plot2d(exp(x)*sin(15*x), [x,-5,10], [nticks,400]); b) plot2d(exp(x)*cos(15*x), [x,-5,10], [nticks,400]); c) plot2d(exp(x)*exp(cos(x)), [x,-5,10], [nticks,400]); d) plot2d(exp(x)*cos(exp(x)), [x,-5,10], [nticks,400]); e) plot2d(cos(exp(x)), [x,-5,10], [nticks,400]); f) plot2d(sin(cos(x)), [x,-5,10], [nticks,400]);

(6)

g) plot2d(cos(cos(x)), [x,-5,10], [nticks,400]); h) plot2d(exp(cos(x)), [x,-5,10], [nticks,400]);

28) Que tipo de gr´afico ´e constru´ıdo com um comando como

plot3d([cos(u) - v*sin(u), sin(u) + v*cos(u), v], [u,-%pi,%pi], [v, -2, 2]); ? a) Um plano que passa pelos pontos (0, 0, 0), (0,−π, π) e (0, −2, 2)

b) Um conjunto de trˆes gr´aficos de fun¸c˜oes f (u, v) = cos u − v sen u,

g(u, v) = sen u + v cos u e h(u, v) = v

c) Um cilindro definido pelas equa¸c˜oes param´etricas x = cos u − v sen u,

y = sen u + v cos u e z = v

d) Uma esfera definida pelas equa¸c˜oes param´etricas x = cos u − v sen u,

e) Um elips´oide definido pelas equa¸c˜oes param´etricas x = cos u − v sen u,

f) Um hiperbolóide de uma folha definido pelas equa¸cões paramétricas

x = cos u− v sen u, y = sen u + v cos u e z = v

g) Um hiperbolóide de duas folhas definido pelas equa¸cões paramétricas

x = cos u− v sen u, y = sen u + v cos u e z = v

h) Um cone definido pelas equa¸c˜oes param´etricas x = cos u − v sen u,

29) Ao se tentar construir o gr´afico de y = x

1− x2, −8 ≤ x ≤ 8, foi usado um comando plot2d(x/(1 - x^2), [x, -8, 8]), mas o resultado obtido foi muito ruim. O que poderia ser feito para melhorar esse resultado, ou seja, para consertar o gr´afico?

a) Deveria ser trocada a vari´avel x por t, digitando-se algo como plot2d(t/(1 - t^2), [t, -8, 8])

b) Deveria ser aumentada a varia¸c˜ao do x, trocando-se [x, -8, 8] por [x, -10, 10]

(7)

c) Deveria ser aumentada a quantidade de pontos no gr´afico, acrescentando-se uma op¸c˜ao [nticks, 200]

d) Deveria ser trocada a cor do gráfico com o acréscimo de uma op¸cão como [color, green]

e) Deveria ser trocado o estilo do gráfico com o acréscimo de uma op¸cão [style, [points, 1, 1, 1]]

f) Deveria ser acrescentada uma op¸c˜ao [y, -10, 10] para limitar a parte que ´e mostrada do eixo y

g) Deveria ser trocado o comando plot2d(...) por wxplot2d(...)

h) Deveria ser trocado (1 − x2) por (1 − x)(1 + x) na express˜ao que define a fun¸c˜ao

30) O gráfico a seguir é o de uma superf´ıcie definida por equa¸cões paramétricas

x = f (u, v), y = g(u, v), z = h(u, v) e foi constru´ıdo com um comando do tipo

plot3d([f(u,v), g(u,v), h(u,v)], [u, 0, 2*%pi], [v, 0, 2],

[grid, 100, 100], [palette, [hue, 0.5, 0.9, 0.8, 1]]); onde são definidas a parametriza¸cão, as varia¸cões dos parˆametros u e v, a grade 100× 100 e a paleta de cores.

Como deve ser definida a parametriza¸c˜ao desse gr´afico?

a) f(u,v) := (7*cos(u)-sin(3*u))*v; g(u, v) := (7*sin(u)-cos(3*u))*v; h(u,v) := 3*cos(%pi*v);

(8)

b) f(u,v) := (9*cos(u)-cos(9*u))*v; g(u, v) := (9*sin(u)-sin(9*u))*v; h(u,v) := 7*cos(%pi*v);

c) f(u,v) := (7*cos(u)-cos(3*u))*v; g(u, v) := (7*sin(u)-sin(3*u))*v; h(u,v) := 2*cos(%pi*v);

d) f(u,v) := (8*cos(u)-sin(4*u))*v; g(u, v) := (8*sin(u)-cos(4*u))*v; h(u,v) := 2*cos(%pi*v);

e) f(u,v) := (8*cos(u)-sin(4*u))*v; g(u, v) := (8*sin(u)-cos(4*u))*v; h(u,v) := 3*sin(%pi*v);

f) f(u,v) := (3*cos(u)-sin(9*u))*v; g(u, v) := (3*sin(u)-cos(9*u))*v; h(u,v) := 5*sin(%pi*v);

31) Na tentativa de se construir o gr´afico da fun¸c˜ao f (x) = {

x2 − 4 , se x > 1 x|x + 1| , se x ≤ 1

foram usados os comandos

f(x) := if x>1 then x^2-4 else x*abs(x+1); plot2d(f(x), [x, -3, 3]);

e o resultado obtido foi o seguinte:

Nesse gr´afico, apareceu uma reta indesej´avel ligando-se os pontos (1,−3) e (1, 2). O que se pode fazer para eliminar essa reta indesej´avel?

a) Deve-se diminuir a varia¸c˜ao do y, acrescentando-se uma op¸c˜ao [y, -4, 4] b) Deve-se trocar a vari´avel x por t: plot2d(f(t), [t,-3,3]);

(9)

c) Deve-se colocar colchetes envolvendo o f (x): [f(x)]

d) Deve-se trocar a cor do gr´afico, acrescentando-se [color, black]

e) Deve-se construir o gr´afico com pontos isolados acrescentando-se [style, [points, 1, 1, 1]], [nticks, 150]

f) Deve-se ampliar o dom´ınio trocando-se [x, -3, 3] por [x, -5, 5]

32) Considere as seguintes defini¸c˜oes das fun¸c˜oes reais f e g:

f (x) = { 3x + 5 , se x < 3 g(x + 4) , se x ≥ 3 e g(x) = { x2 − 10 , se x > 2 f (x− 2) , se x ≤ 2 .

Note que essas fun¸cões s˜ao mutuamente recursivas: f depende de g na sua defini¸c˜ao e g depende de f . Qual ´e a imagem da fun¸c˜ao f ? (Sugestão: observe o gráfico de f constru´ıdo com o estilo [points, 1] ).

a) Im(f ) = {−7, −1, 0, 1, 19, 29} b) Im(f ) = [−7, −1] ∪ [11, +∞[ c) Im(f ) = R d) Im(f ) = {−3, 7} e) Im(f ) =]− ∞, 14[ ∪ [39, +∞[ f) Im(f ) =]− ∞, −14[ ∪ [−7, +∞[ g) Im(f ) =]− ∞, 3[ h) Im(f ) =]2, +∞[

33) A curva definida implicitamente pela equa¸c˜ao x2 + y2 + 4xy− 5x = 0 pode ser desenhada usando-se o comando draw2d(. . . ) do pacote de comandos draw: load(draw);

grafico: implicit(x^2+y^2+4*x*y-5*x=0, x,-10,10, y,-10,10); draw2d(grafico);

Qual ´e o nome pelo qual ´e conhecida essa curva? a) reta

(10)

c) parábola d) elipse e) hipérbole f) catenária g) hipociclóide h) epiciclóide

34) O gr´afico a seguir ´e o de uma curva definida implicitamente por uma equa¸c˜ao e foi constru´ıda com o comando draw2d(. . . ) do pacote draw:

load(draw);

equacao: ...

draw2d(color=red, line width=2, proportional axes=xy,

implicit(equacao, x, -2, 2, y, -2, 2));

Qual é a equa¸cão da curva que foi utilizada na constru¸cão desse gráfico? a) (x2 − y2 + 1)3 = x2y3

b) (x2 − y2 + 1)3 = x3y2

(11)

d) (x2 − y2 + 1)4 = x3y3

e) (x2 + y2 − 1)3 = x3y3

f) (x3 + y3 − 1)3 = x3y2

g) (x2 + y3 − 1)3 = x2y2

h) (x3 + y2 − 1)3 = x2y2

35) Ao se construir em um mesmo sistema de eixos coordenados os gr´aficos das fun¸c˜oes f (x) = sen x + sen 8x e g(x) = x

16− x2, com −4 ≤ x ≤ 4, quantos são os pontos de interse¸cão desses gráficos?

a) 13 pontos b) 14 pontos c) 15 pontos d) 16 pontos e) 17 pontos f) 18 pontos g) 19 pontos h) 20 pontos

36) Considere as seguintes linhas de comando do Maxima: a: 5$ b: 2$ c: 1$

delta: b^2 - 4*a*c$ if delta = 0 then

print("A equa¸c~ao ax^2 + bx + c = 0 tem ra´ızes iguais") else if delta > 0 then

print("A equa¸c~ao ax^2 + bx + c = 0 tem ra´ızes reais distintas") else

print("A equa¸c~ao ax^2 + bx + c = 0 tem ra´ızes complexas");

Quando esses comandos forem executados nessa ordem, qual ´e a mensagem que ´e mostrada?

(12)

a) A equa¸c~ao ax^2 + bx + c = 0 ´e f´acil de ser resolvida b) A equa¸c~ao ax^2 + bx + c = 0 tem ra´ızes reais distintas

c) A equa¸c~ao ax^2 + bx + c = 0 n~ao tem ra´ızes reais d) A equa¸c~ao ax^2 + bx + c = 0 tem ra´ızes iguais

e) A equa¸c~ao ax^2 + bx + c = 0 tem ra´ızes complexas f) A equa¸c~ao ax^2 + bx + c = 0 ´e do segundo grau g) A equa¸c~ao ax^2 + bx + c = 0 ´e muito complicada

37) De que maneira a fun¸c˜ao

f (x, y) =          xy x2 _{+ y}2 , se x 2 _{+ y}2 _{> 9} √ x2 _{+ y}2 _{, se} _{2 < x}2 _{+ y}2 _{≤ 9} x2 4 − y2 25 , se x 2 _{+ y}2 _{≤ 2}

pode ser definida no Maxima?

a) f(x, y) := x*y/(x^2 + y^2) if x^2 + y^2 > 9

else if 2<x^2+y^2 and x^2+y^2<= 9 then sqrt(x^2+y^2) else x^2/4 - y^2/25;

b) f(x, y) := x*y/(x^2 + y^2) if x^2 + y^2 > 9

else f(x, y) := sqrt(x^2+y^2) if 2<x^2+y^2 and x^2+y^2<= 9 else x^2/4 - y^2/25 if x^2 + y^2 <= 2;

c) f(x, y) := x*y/(x^2 + y^2) if x^2 + y^2 > 9;

f(x, y) := sqrt(x^2+y^2) if 2<x^2+y^2 and x^2+y^2<= 9; f(x, y) := x^2/4 - y^2/25 if x^2 + y^2 <= 2;

d) f(x, y) := if x^2 + y^2 > 9 then x*y/(x^2 + y^2)

else if 2<x^2+y^2 and x^2+y^2<= 9 then sqrt(x^2+y^2) else x^2/4 - y^2/25;

e) f(x, y) := if x^2 + y^2 > 9 then x*y/(x^2 + y^2);

f(x, y) := if 2<x^2+y^2 and x^2+y^2<= 9 then sqrt(x^2+y^2); f(x, y) := if x^2 + y^2 <= 2 then x^2/4 - y^2/25;

f) if x^2 + y^2 > 9 then f(x, y) := x*y/(x^2 + y^2);

if 2<x^2+y^2 and x^2+y^2<= 9 then f(x, y) := sqrt(x^2+y^2); if x^2 + y^2 <= 2 then f(x, y) := x^2/4 - y^2/25;

(13)

38) Considere o seguinte comando:

for k from 1 thru 100 do print("A raiz quadrada de ", k,

" é ", float(sqrt(k))); O que é realizado na execu¸cão desse comando?

a) ´E mostrado somente o valor da raiz quadrada de 1 b) ´E mostrado somente o valor da raiz quadrada de 100

c) S˜ao mostrados somente os valores das duas ra´ızes quadradas dos n´umeros 1 e 100

d) É calculada a média aritmética dos inteiros de 1 a 100

e) É mostrado o valor numérico da raiz quadrada de cada inteiro de 1 a 100 f) É sorteado um inteiro de 1 a 100 e mostrado o valor numérico da sua raiz

quadrada

g) É calculado 100 vezes a raiz quadrada de um mesmo número inteiro h) É calculada a média geométrica dos inteiros de 1 a 100

39) Qual é a linha de comando que mostra os valores numéricos dos logaritmos naturais de todos os números primos entre 2000 e 2200 ?

a) if 2000 < 2200 then print(log(n), "= ", float(log(n)); b) for n from 2000 thru 2200 do print(log(n));

c) for n from 2000 thru 2200 do if primep(n) then print("log(", n, ") = ", float(log(n)));

d) for n from 2000 thru 2200 do print(float(log(n))); e) for primep(2000) and primep(2200) do print(log(n));

f) if primep(n) then for n from 2000 thru 2200 do print(log(n)); g) if primep(n) then if 2000 < 2200 then print(log(n));

h) for n from 2000 thru 2200 do print("N´umeros primos entre 2000 e 2200");

(14)

40) Considere qualquer lista L formada por n´umeros reais, como por exemplo: L: [-17, 4, 2015, 2000, 1, -4, 5, 101, 23, -200, 0, 3, 13];

Depois dessa defini¸c˜ao de L, suponhamos que sejam executadas na ordem em que s˜ao mostradas as seguintes linhas:

x: L[1];

n: length(L);

for k from 1 thru n do if x < L[k] then x: L[k]; print("O valor de x ´e ", x);

O que ´e esse valor de x mostrado no final? a) x ´e o primeiro elemento da lista L

b) x ´e o ´ultimo elemento da lista L

c) x é um valor que é diferente de todos os elementos da lista L d) x é o valor m´ınimo dos elementos da lista L

e) x é o valor máximo dos elementos da lista L f) x é a média aritmética dos elementos de L g) x é a média geométrica dos elementos de L h) x é a soma dos elementos da lista L