SIMULAÇÃO DE PROPAGAÇÃO DE TRINCAS COM O USO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO. Natalia Pujol Pacheco Silveira

SIMULAÇÃO DE PROPAGAÇÃO DE TRINCAS COM O USO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO

Natalia Pujol Pacheco Silveira

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE DOUTOR EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA CIVIL.

Aprovada por:

_______________________________________________ Profº José Claudio de Faria Telles, Ph. D.

________________________________________

Profº José Antônio Fontes Santiago, D. Sc.

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Profº José Antonio Marques Carrer, D. Sc.

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Profª. Solange Guimarães, D. Sc.

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Profº Luis Paulo da Silva Barra, D. Sc.

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Profº Luiz Alkimin de Lacerda, D. Sc.

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SILVEIRA, NATALIA PUJOL PACHECO Simulação de Propagação de Trincas com o Método dos Elementos de Contorno[Rio de Janeiro] 2003

VIII, 79 p. 29,7 cm (COPPE/UFRJ, D.Sc., Engenharia Civil, 2003)

Tese – Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE

1. Propagação de fissuras 2. Métodos Numéricos 3. Elementos de Contorno

4. Mecânica da Fratura Linear Elástica I. COPPE/UFRJ II. Título ( série )

À minha Família

AGRADECIMENTOS

Ao Profº Telles, pela orientação, motivação e amizade dedicados em todos os momentos.

Ao Renato, pela compreensão, incentivo e apoio. Aos meus pais, por tudo.

Aos colegas do LAMEC, pela paciência, compreensão e respeito.

À Profª Solange Guimarães, pelas contribuições iniciais, essenciais para este trabalho.

Aos funcionários e professores do Departamento de Expressão Gráfica da Escola Politécnica, pelo incentivo e torcida.

Ao Profº Roberto Oliveira, pela boa companhia.

A todos os funcionários do LAMEC, Laboratório de Computação (B104) e Secretaria do PEC.

Aos Professores Cláudio Elias e Eduardo Neves, pelos primeiros incentivos e orientações.

Resumo da Tese apresentada à COPPE / UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Doutor em Ciências (D.Sc.)

SIMULAÇÃO DE PROPAGAÇÃO DE TRINCAS COM O USO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO

Natalia Pujol Pacheco Silveira

Novembro / 2003

Orientador: José Claudio de Faria Telles

Programa: Engenharia Civil

O presente trabalho emprega o método dos elementos de contorno, formulado com o uso da equação integral de contorno clássica, para a solução de problemas planos com fissuras. O objetivo principal é a representação da propagação de fissuras quaisquer, submetidas a um estado plano, baseada na Mecânica da Fratura Linear Elástica. A simulação do problema consiste em determinar numericamente o crescimento e a direção de propagação das trincas, em materiais de comportamento frágil, empregando o critério de Densidade de Energia de Deformação Mínima.

São propostos novos procedimentos para obtenção de soluções fundamentais representadas pela função de Green para deslocamentos e forças de superfície em um meio infinito com trincas. Esta prática evita a discretização usual do contorno das fissuras em elementos, uma vez que a solução fundamental para força de superfície é diretamente nula nas faces das trincas. Esta característica é bastante conveniente porque são afastados os problemas inerentes à degeneração das equações integrais devido à coincidência de superfícies na trinca.

Uma série de exemplos e comparações com resultados da literatura é incluída para ilustrar a aplicabilidade da formulação desenvolvida.

Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Doctor of Science (D.Sc.)

SIMULATION OF CRACK PROPAGATION USING BOUNDARY ELEMENTS

Natalia Pujol Pacheco Silveira

November/2003

Advisors: José Claudio de Faria Telles

Department: Civil Engineering

The present work applies the boundary element method, formulated with the classical boundary integral equation, for the solution of two-dimensional crack problems. The main idea is the two-dimensional representation of crack propagation problems governed by the linear elastic fracture mechanics theory. The problem simulation, for brittle materials, is numerically determined through the estimation of crack growth and directions based on the criterion of the minimum strain energy density factor.

New procedures to obtain the Green’s function, acting as the fundamental solution for displacements and tractions in an infinite medium with cracks, are proposed. This practice avoids the usual element discretization over crack boundaries, since the tractions of the Green’s function are naturally zero over the crack surfaces. This characteristic is quite convenient since it avoids the inherent degeneration problem, otherwise present in the integral equations, due to the coincidence of the crack surfaces. A series of examples and comparisons with results found elsewhere are included to illustrate the applicability of the proposed formulation.

ÍNDICE

.

CAPÍTULO I - INTRODUÇÃO 1

CAPÍTULO II - REVISÃO DE CONCEITOS DE MECÂNICA DA FRATU-RA

II.1 - Introdução 6

II.2 – Teoria de Inglis – Abordagem por Análise de Tensões 7 II.3 – Teoria de Griffith – Abordagem baseada no Balanço Energético 8

II.4 – Teoria de Orowan 10

II.5 – Análise de Irwin-Westergaard 11

II.6 – Integral J 15

II.7 – Tenacidade à Fratura 17

CAPÍTULO III – MÉTODOS DE ESTIMATIVA DE PROPAGAÇÃO DE TRINCAS

III.1 – Introdução 18

III.2 – Critério TTM – Tensão Tangencial Máxima 20

III.3 – Critério M – Tensão Máxima Triaxial 20

III.4 – Critério T – Densidade de Energia de Deformação Dilatacional 21 III.5 – Critério S – Densidade de Energia de Deformação 23

III.6 – Alguns Resultados 24

CAPÍTULO IV – REVISÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO

IV.1 - Introdução 26

IV.2 – Formulação Clássica

Identidade Somigliana 26

Equação Integral para Contorno Externo 27

Equação Integral para Contorno da Trinca 27

IV.3 – Tensões em pontos internos 28

IV.4 – Formulação Hipersingular

Equação Integral Hipersingular para Pontos Internos 29 Equação Integral Hipersingular para Contorno Externo 29 Equação Integral Hipersingular para Contorno da Trinca 30 CAPÍTULO V - FUNÇÃO DE GREEN

V.1 – Introdução 31

V.2 - Função de Green. 31

Solução do Problema Complementar 32

Abertura Fundamental da Trinca 34

V.3 – Função de Green Aproximada 37

CAPÍTULO VI - IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA

VI.1 – Introdução 38

VI.2 - MEC 38

VI.3 - Função de Green

Abertura Fundamental da Fissura 43

Funções de Interpolação para Geometria da Trinca 48 Funções de Interpolação para Abertura da Trinca 49

Tensão em Pontos Internos 51

Abertura da Trinca para o Problema Real 52

VI.4 – Propagação da Fissura 53

Algoritmo de Propagação 56

Algoritmo de Propagação Alternativo 57

CAPÍTULO VII- APLICAÇÕES NUMÉRICAS

VII.1 – Introdução 59

VII.2 - Problema com Trinca Horizontal 60

VII.3 - Problema com Trinca Inclinada 62

VII.4 - Problema Cruciforme 64

VI.5 - Problema de Bordo em Modo I 66

VI.6 - Problema de Bordo em Modo II 68

CAPÍTULO VIII – CONSIDERAÇÕES FINAIS 71

CAPÍTULO I

INTRODUÇÃO

Este trabalho de tese propõe-se a aplicar o Método dos Elementos de Contorno (MEC) a problemas da Mecânica da Fratura Linear Elástica (MFLE) com o objetivo de simular a propagação de fissuras em estado plano de tensões e deformações em materiais isotrópicos e frágeis.

Aplica-se à equação integral clássica do MEC as soluções fundamentais de Green para domínios com fissuras, objetivando resolver estado tensional na vizinhança das extremidades das trincas e conseqüentemente conhecer a direção de propagação das mesmas. A configuração propagada da fissura é obtida de forma iterativa, mantendo-se o carregamento estático e a discretização no contorno constante, apenas adaptando a função de Green ao novo modelo, a cada estágio do crescimento da trinca.

Os estudos em Mecânica da Fratura vêm se desenvolvendo desde o início do século passado com INGLIS (1913) e GRIFFITH (1924), principalmente a partir dos últimos cinqüenta anos, com IRWIN (1957). A ocorrência de várias catástrofes exigiu que as técnicas práticas de ensaios e definições teóricas fossem aprimoradas, objetivando a prevenção dos fenômenos de ruptura das estruturas, que muitas vezes apresentavam causas desconhecidas.

O processo de fraturamento de uma estrutura pode ocorrer devido a vários fatores concentradores de tensões, como por exemplo: falhas internas denominadas trincas ou fissuras, defeitos de fabricação provocados por soldagem, usinagem ou corte e tensões internas residuais devido a tratamento térmico incorreto. Uma ruptura por fraturamento pode ser de natureza frágil ou dúctil. A ruptura frágil ocorre com pouca ou nenhuma deformação plástica e, em conseqüência, inesperadamente. Não há deformação macroscópica visível. O mesmo já não ocorre às chamadas trincas dúcteis, que apresentam grandes deformações, permitindo prenunciar acidentes e, portanto, são consideradas trincas mais estáveis (ABM, 1982).

A Mecânica da Fratura Linear Elástica tem como um dos objetivos determinar uma grandeza que quantifica o fenômeno de fissuração, o Fator de Intensidade de Tensões (FIT). Através deste parâmetro pode-se avaliar a resistência da estrutura à

fratura, que varia em função da estrutura e do carregamento ao qual está submetida, e pode ser determinado a partir do conhecimento do estado tensional bem como da abertura da trinca nas vizinhanças das extremidades.

As tensões nos pontos próximos à ponta da fissura relacionam-se, segundo IRWIN (1957), na razão inversa da raiz quadrada do raio, definido como a distância destes pontos até a extremidade da trinca. Assim sendo, pode-se observar que existe nas proximidades da ponta da fissura uma região bastante singular, pois à medida que o raio diminui, as tensões tendem a infinito.

Para algumas configurações com carregamento e geometria relativamente simples, são conhecidas as soluções exatas ou com boa precisão para os Fatores de Intensidade de Tensões (FIT). Estes resultados são apresentados em alguns manuais, tais como: IRWIN (1958), TADA et al. (1973) e ROOKE et al. (1987). Para os casos não contemplados, que apresentam forma e carregamentos incomuns é necessária uma proposta de solução numérica aproximada.

O Método dos Elementos de Contorno é comumente aplicado a problemas da Mecânica da Fratura Linear Elástica e atualmente existem diversas propostas a fim de evitar problemas de integração nas faces coincidentes da trinca. São utilizadas predominantemente quatro formulações para resolver problemas da MFLE com o MEC: Método da Descontinuidade dos Deslocamentos, Técnica das Sub-regiões, Formulação Mista e Funções de Green.

O Método da Descontinuidade dos Deslocamentos, introduzido por CROUCH (1976), é uma formulação baseada na solução elástica fundamental de um meio infinito submetido a uma descontinuidade de deslocamentos em uma superfície em meio infinito. GUO et al. (1990) consideram esta característica uma grande vantagem, pois a solução analítica apresenta resultados precisos próximos à ponta da fissura.

A Técnica de Sub-regiões (BLANDFORD et al., 1981, WEEËN, 1983), que consiste em separar o domínio em regiões distintas, inicialmente foi aplicada a problemas não trincados, compostos de domínios heterogêneos. Para estendê-la a problemas da MFLE divide-se o domínio de tal forma que cada face da trinca pertença a um sub-domínio, sempre com a preocupação de compatibilizar as forças e deslocamentos nas interfaces das sub-regiões. Isto gera uma indesejável aproximação em pontos do domínio, que agora pertencem a elementos de contorno fictícios assim criados.

No terceiro procedimento, as equações integrais de contorno clássica e hipersingular são aplicadas a cada uma das faces da fissura, pois quando empregadas isoladamente aos problemas trincados não obtêm êxito, já que ambas as formulações degeneram o sistema algébrico de equações. O estudo da representação da trinca através das duas formulações, independentemente, é amplamente discutido em GUIMARÃES (1992). Esta técnica denomina-se Formulação Mista ou Dual (MARTHA et al.,1992, PORTELA et al., 1992 e GUIMARÃES et al, 1994, CHEN et al, 1995).

A formulação baseada nas Funções de Green para o MEC é mais precisa que as demais, pois estas funções são soluções fundamentais para deslocamento e força de superfície que contemplam domínios com trincas embutidas. Não obstante, os resultados analíticos são conhecidos apenas em um número restrito de casos, que possuem carregamento e geometria simples (SNYDER et al., 1975, CLEMENTS et al., 1983, MEWS, 1987, ANG, 1987, ANG et al., 1987, TEWARY et al., 1996, BERGER et al.1997).

É necessária portanto, uma proposta mais genérica capaz de resolver problemas bi e tridimensionais trincados. Com este propósito CASTOR (1993) e TELLES et al. (1995) apresentaram as Funções de Green Numéricas (FGN) bidimensionais aplicadas a problemas com trincas retas horizontais simples, múltiplas e de bordo. SILVEIRA (1996) e SILVEIRA et al. (1998) estenderam estes trabalhos a casos planos com fissuras de geometria qualquer (trincas semicirculares, quadráticas, cúbicas e mistas). BARRA (1996) e BARRA et al. (1999) aplicaram a FGN a problemas elastodinâmicos, descritos tanto no domínio da freqüência como no domínio transformado de Laplace. Em 1999, FIGUEIREDO propôs uma técnica para obtenção da FGN para análise de placas com fissuras, no domínio da MFLE, utilizando a teoria de Reissner e CASTOR desenvolveu soluções fundamentais da FGN para problemas tridimensionais.

A técnica da Função de Green Numérica gera com boa aproximação a solução fundamental para deslocamentos e forças de superfície do problema e é introduzida através da associação de uma parte complementar à conhecida solução fundamental de Kelvin.

Atualmente, empregam-se diversos critérios para o estudo da inicialização e da direção de propagação de trincas, os quais são expressos em termos de FIT. Estes podem ser classificados basicamente em três grupos: critérios baseados em tensão, critérios baseados em energia e critérios baseados em deformação, e referem-se a

estados limites de tensão, energia e deformação, respectivamente. Os critérios mais aceitos baseiam-se em energia e tensão (KHAN, 2000).

O MEC associado às técnicas citadas anteriormente vem sendo amplamente empregado no estudo da propagação de fissuras.

DOBLARE (1990) aplica a técnica de sub-regiões ao MEC para calcular o ângulo de propagação de trincas em materiais ortotrópicos através do critério da tensão circunferencial máxima em problemas de modo misto de propagação.

GUO et al. (l990) obtêm os FIT em diversos problemas baseados no método da descontinuidade dos deslocamentos e em seguida a direção de crescimento de fissura pelo critério da taxa de liberação de energia de deformação. Ainda nesta referência, apresentam a configuração propagada de uma trinca plana inclinada submetida a um carregamento trativo.

A formulação mista do MEC é empregada por PORTELA et al., em 1993, para a análise do crescimento de fissuras em modos I e II exclusivos e mistos de propagação plana obtida pelo critério da tensão principal máxima. Os FIT são obtidos através da integral J. Analisa-se também um caso de crescimento de fissura por esforço de fadiga.

Em 1994, MI et al., aplicam a formulação mista a problemas tridimensionais em modos mistos de propagação quase-estática e por fadiga. Os fatores de intensidade de tensões são calculados pela técnica de extrapolação dos deslocamentos e a direção de crescimento da fissura segundo o critério de densidade de energia de deformação.

YAN et al., 1995, aplicam a formulação mista à análise de problemas de fadiga bidimensional com múltiplas fissuras. A Integral J é empregada para obter os FIT e em seguida, o critério da tensão principal máxima para conhecer a direção de propagação de fissuras simples e múltiplas.

Em 1996, a formulação mista do MEC é aplicada por PRASAD et al. ao estudo em problemas de Termo-Elasticidade Transiente. O par de equações integrais de contorno formado pela temperatura e o deslocamento é aplicado ao contorno externo e a uma superfície da trinca e um segundo par, fluxo e força de superfície, é aplicado à outra face. Objetivando a análise de fissuras planas por fadiga, propõem métodos alternativos para os cálculos de FIT e determinam a direção de propagação através do critério da tensão principal máxima.

Em 1998, ALIABADI et al. aplicam a formulação mista do MEC para a análise de crescimento de fissuras em lâminas ortotrópicas homogêneas pelo critério de tensão circunferencial máxima e os FIT são calculados através da Integral J.

Em 2002, LACERDA et al. empregaram o critério tensão principal máxima e apresentam a configuração propagada de problemas axissimétricos submetidos a carga induzida por contato. Neste trabalho, a formulação mista é aplicada mais uma vez e os FIT são determinados por uma proposta alternativa para taxa de liberação de energia de deformação.

Objetivando a simulação de propagação de fissuras, esta tese aplica o critério de Densidade de Energia de Deformação e modifica o trabalho de SILVEIRA et al. (1998) que considera a geometria original da trinca segmentada em curvas quadráticas e propõe um novo procedimento para a obtenção da parte complementar da FGN, definindo a geometria da fissura através de segmentos retos. Esta técnica diminui a complexidade durante o processo de crescimento da trinca, pois a propagação se dá linearmente, após o conhecimento do comprimento e da direção do aumento da mesma, reduzindo assim, o esforço computacional quando ambas as configurações original e propagada, mantêm-se parceladas em segmentos retos.

É importante destacar, novamente, que esta técnica evita que a malha de elementos de contorno seja modificada a cada estágio de crescimento da trinca. Apenas as soluções fundamentais de Green são modificadas em razão de serem funções da abertura fundamental da trinca, que apresenta obviamente uma configuração diferente a cada iteração.

O capítulo 2 contém uma breve dissertação sobre Mecânica da Fratura, visando mostrar alguns conceitos e teorias que fundamentam este trabalho. No capítulo 3 são apresentados alguns dos principais critérios de propagação de fissuras. O capítulo 4 objetiva apresentar os conceitos básicos do Método dos Elementos de Contorno. No capítulo 5 é apresentada uma proposta para a Função de Green numérica aplicada ao MEC, particularmente facilitadora à propagação de fissuras e no capítulo 6, descrevem-se as implementações numéricas do MEC, da Função de Green, e da propagação de trincas. As aplicações são apresentadas no capítulo 7 e as considerações finais no capítulo 8.

CAPÍTULO II

II

REVISÃO DE CONCEITOS DE MECÂNICA DA FRATURA

2.1 . INTRODUÇÃO

A teoria da Mecânica da Fratura é baseada nos trabalhos pioneiros realizados por INGLIS (1913) e GRIFFITH (1924) que iniciaram os estudos de propagação instável de fissuras em sólidos. Mais adiante, a Mecânica da Fratura é alavancada por novos conceitos introduzidos por OROWAN (1955) e IRWIN (1957).

A imperiosa necessidade de quantificar e qualificar os fenômenos de ruptura das estruturas, constantemente imprevisíveis, como por exemplo, os desastres ocorridos nos barcos Liberty e aviões Comet nas décadas de 40 e 50, motivaram o aprimoramento de técnicas práticas de ensaios e definições teóricas correlatas à Mecânica da Fratura.

Os estudos em Mecânica da Fratura resultam em novas concepções de projetos, que assumem a estrutura não como um meio contínuo, mas apresentando falhas concentradoras de tensões, conseqüentes de defeitos de fabricação provocados por soldagem, usinagem ou corte e tensões internas residuais devido a tratamento térmico. Resumindo, falhas internas (trincas ou fissuras), cujas superfícies apresentam a mesma posição geométrica, mas com descontinuidade de deslocamentos.

Sabe-se que uma ruptura por fraturamento pode ser de natureza frágil ou dúctil. A ruptura frágil ocorre com pouca ou nenhuma deformação plástica e, em conseqüência, inesperadamente. O mesmo já não ocorre às trincas com comportamento dúctil, que apresentam grandes e visíveis deformações, permitindo providenciar medidas a fim de remediar ou evitar acidentes graves.

A avaliação da importância dos defeitos pede o conhecimento da tenacidade do material que corresponde à resistência à propagação da fissura.

O comportamento dúctil-frágil de uma peça está associado ao tipo de material. O vidro, o concreto e a cerâmica são exemplos de materiais frágeis, que apresentam deformação precedente à fratura muito pequena assim como a quantidade de energia absorvida. Os metais e as ligas metálicas geralmente apresentam um comportamento dúctil. O modo de fraturamento dos metais é função também de fatores externos, tais como temperatura, tipo e velocidade de carregamento e o estado de tensões atuantes.

Um dos parâmetros principais que caracteriza a Mecânica da Fratura Linear Elástica (MFLE) é o Fator de Intensidade de Tensões (FIT). Através dele pode-se avaliar a magnitude das tensões e deformações na ponta da fissura. O fator de intensidade de tensões é função da geometria da estrutura, da fissura e do carregamento a que está submetida, e pode ser determinado a partir do conhecimento do estado tensional na vizinhança da extremidade da trinca.

Um outro parâmetro comumente associado à MFLE, aplicado a materiais de comportamento elástico linear e não-linear é a Integral J (RICE, 1968). Esta grandeza é uma integral de contorno independente do caminho de integração e equivalente a G, taxa de liberação de energia de deformação. A convergência entre os diversos domínios de integração escolhidos é satisfeita fazendo-se coincidir os pontos (limites de integração) com distintas faces da trinca.

Na análise de estruturas fissuradas não basta a verificação de estabilidade quanto à resistência à tração, limite de escoamento, flambagem, etc, normalmente empregados nos critérios tradicionais de dimensionamento. É necessária também a determinação de parâmetros intrínsecos à MFLE, tais como, FIT e G, para posterior confronto com os limites críticos do material, KIC e GC (obtidos experimentalmente),

objetivando avaliar e prever o comportamento da fissura.

2.2 . TEORIA DE INGLIS - ABORDAGEM POR ANÁLISE DE TENSÕES Os estudos realizados por INGLIS (1913) são considerados um dos marcos iniciais da MFLE.

INGLIS estudou o estado tensional de um corpo infinito com furo elíptico submetido a um carregamento remoto paralelo ao eixo principal menor e constatou que a tensão máxima ocorre onde o raio de curvatura da elipse é mínimo, conforme está representado na Figura II.1. A tensão máxima ocorre no ponto A e é dada por:

σ_max σ a

b = ⎛_⎝⎜1+2 ⎞_⎠⎟

,

( II.1) Supondo o comprimento b muito menor que o semi-eixo maior a e sabendo-se que o raio de curvatura da elipse é dado por:

a / b2 =

ρ _, ( II.2)

σ σ ρ max

a

= 2 ( II.3)

À medida em que o raio de curvatura ρ tende a zero, a elipse aproxima-se geometricamente de uma trinca com as faces coincidentes e, observando a equação ( II.3), conclui-se que a tensão máxima atuante tende a infinito na vizinhança da extremidade da fissura. Este fenômeno é tão mais verdadeiro, na prática, quanto mais frágil é o material. Para materiais com o comportamento dúctil a capacidade de absorção da energia através de deformação plástica mantém a tensão na proximidade na ponta da fissura próxima do limite de escoamento, portanto a ruptura se verifica para tensões aplicadas σ maiores

Sabendo-se que a tensão de teórica atômica dos materiais é dada por :

0 S CO b Eγ = σ , ( II.4)

onde E é o módulo de elasticidade, γ é a energia de tensão superficial do material S

associada à criação de uma nova unidade de superfície e b é a distância interatômica. ₀ Fazendo-se a tensão de coesão ( II.4) igual à tensão máxima ( II.3) obtida na ponta da trinca, vem:

ρ σ = γ a 2 b E 0 S ( II.5) Logo, a tensão crítica σ possível de ser aplicada sem ruptura do material é: _C

0 S C ab 4 Eγ ρ = σ ( II.6)

Observa-se que a consideração de um regime puramente elástico na vizinhança da ponta da trinca e de um raio de curvatura ρ muito pequeno, novamente, implica em uma tensão limite para ruptura σ muito baixa. _C

2.3 . TEORIA DE GRIFFITH - ABORDAGEM BASEADA NO BALANÇO ENERGÉTICO

GRIFFITH (1924) após ter observado que a resistência teórica à ruptura dos materiais submetidos a uma tensão normal era superior à encontrada experimentalmente, tenta justificar este fenômeno através da presença de fissuras muito pequenas neste material.

Introduzindo uma trinca de comprimento a, perpendicular à direção da tensão

σ aplicada a um corpo plano com espessura unitária, ocorre uma liberação de energia estimada, intuitivamente, relativa à área hachurada da Figura II.2.

Figura II.1 – Modelo de Inglis. Figura II.2 – Modelo de Griffith.

Sabendo-se que a energia de deformação elástica U_E liberada é igual à metade do produto da tensão, deformação e área, vem:

2 E a E 2 1 U = ⋅σ⋅σβ ( II.7)

Após estudos precisos, Griffith determinou o parâmetro β, portanto:

E a 2 1 U 2 2 E π σ ⋅ = ( II.8)

A energia necessária para a criação de uma superfície de fratura de comprimento 2a é dada por:

U_S = 2γ_Sa ( II.9)

Aplicando o princípio de conservação de energia, GRIFFITH postulou que o crescimento de uma trinca se tornará instável quando a taxa de crescimento da energia elástica liberada G for maior que a taxa de energia de superfície absorvida para esse pequeno incremento da trinca.

S S E 2 a U a U G = γ ∂ ∂ = ∂ ∂ = ( II.10)

Portanto o limite para a estabilidade da fissura é: a U a U_{E S} ∂ ∂ = ∂ ∂ ( II.11) S 2 2 E a _{= γ} π σ ( II.12) Logo, a tensão aplicada de ruptura σ , que proporciona um crescimento _C instável da trinca, isto é, fraturamento do material, segundo GRIFFITH, vale:

a E 2 S C π γ = σ , ( II.13)

A expressão ( II.13) é válida para espessura fina; quando a espessura é grande tem-se a supressão da deformação ao longo da direção da espessura, passando à condição de deformação plana. Logo, a tensão crítica fica:

) 1 ( a E 2 2 S C ν − π γ = σ , ( II.14)

É importante destacar, neste momento, que a teoria de GRIFFITH aplica-se apenas a materiais frágeis e parte da premissa de que a direção de propagação da trinca é conhecida e perpendicular ao carregamento aplicado.

2.4 . TEORIA DE OROWAN

Como foi dito anteriormente, a teoria de GRIFFITH é aplicada com sucesso a materiais frágeis, onde se constata a transferência da energia de deformação elástica para formação de uma nova superfície incrementada de fissura. Entretanto, em materiais dúcteis, isto não se verifica, uma vez que uma parte da energia liberada é transformada em energia de deformação plástica na ponta da trinca, ou seja, é necessária uma energia, para fratura, muito superior à energia consumida para formação de novas superfícies.

OROWAN (1955) propõe um acréscimo de uma parcela plástica γP à energia

de tensão superficial em ( II.9): a ) 2 ( US = γS +γP , ( II.15) onde γP >> 2γS.

Uma vez que o postulado de GRIFFITH diz que uma trinca se torna instável quando: a U a U_{E S} ∂ ∂ ≥ ∂ ∂ , ( II.16)

a E ) 2 ( S P C _π ′ γ + γ = σ , onde ⎩ ⎨ ⎧ ν − = ′ = ′ ) EPD ( deformação de plano estado para ), 1 /( E E ) EPT ( tensão de plano estado para , E E 2 ( II.17)

OROWAN (1955) e IRWIN (1957) esclarecem que a expressão é válida para elasticidade linear desde que a zona deformada plástica na extremidade da trinca seja muito menor do que a, e propõem que a tensão limite σ seja dada em função do valor _C crítico da taxa de liberação de energia crítica G : C

a E G_C C _π ′ = σ′ , ( II.18)

onde, GC =2γS+γP é função do tipo de material, temperatura, velocidade e tipo de

carregamento. O procedimento para sua determinação é mostrado em BRANCO (1986). 2.5 . ANÁLISE DE IRWIN-WESTERGAARD

Com base no comportamento mecânico na vizinhança da ponta da fissura, há três maneiras possíveis de se classificar a propagação de uma trinca segundo os modos de deformação. São eles:

MODO I y x z y x z

Figura II.3 – Modo I de deformação.

Neste modo de propagação, a abertura da fissura se dá em um plano perpendicular ao do carregamento trativo (Figura II.3). As diferentes faces da trinca permanecem no plano de ação dos esforços.

MODO II

y

x

z

Figura II.4 –Modo II de deformação.

Já neste modo, a propagação da fissura ocorre devido a um esforço de cisalhamento coplanar à estrutura (Figura II.4), gerando assim um deslizamento entre as faces da trinca.

MODO III

y x

z

Figura II.5 – Modo III de deformação.

Neste último modo, a abertura da trinca se dá por cisalhamento em um plano perpendicular à estrutura (Figura II.5).

WESTERGAARD (1939) estudou o campo de tensões na vizinhança de uma trinca de comprimento 2a, submetida ao modo I de carregamento remoto e constatou que a tensão σ , atuante nesta região, é função da tensão aplicada ij σ, da dimensão da

trinca e das coordenadas polares r e θ referentes à ponta da trinca considerada, onde r é a distância até a ponta da fissura e θ o ângulo formado entre o eixo x e a orientação do ponto, no sentido anti-horário, conforme é representado na Figura II.6. Então,

) ( f r 2 a ij ij=σ θ σ , ( II.19)

Posteriormente, IRWIN (1957) identifica um fator de proporcionalidade nestas expressões e o associa a cada modo de trincamento. São criados assim os Fatores de Intensidade de Tensões (FIT), KI, KII e KIII relativos, respectivamente, aos modos de carregamento I, II e III. As expressões apresentadas a seguir representam os primeiros termos das séries desenvolvidas por IRWIN e relacionam tensão interna e deslocamento em pontos próximos à ponta da trinca em diferentes modos de carregamento.

MODO I ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₋ θ θ θ π = σ 2 3 sen 2 sen 1 2 cos r 2 KI x ( II.20) ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ θ θ θ π = σ 2 3 sen 2 sen 1 2 cos r 2 K_I y ( II.21) 2 3 cos 2 sen 2 cos r 2 K_I xy θ θ θ π = τ ( II.22) ) EPD ( ) ( ) EPT ( 0 y x z z σ + σ ν = σ = σ ( II.23) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ θ + ν − θ π µ = 2 sen 2 1 2 cos 2 r K u I 2 ( II.24) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ θ − ν − θ π µ = 2 cos 2 2 2 sen 2 r K v I 2 ( II.25) MODO II ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ θ θ θ π − = σ 2 3 cos 2 cos 2 2 sen r 2 KII x ( II.26) 2 3 cos 2 sen 2 cos r 2 K_II y θ θ θ π = σ ( II.27) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ θ θ θ π = τ 2 3 sen 2 sen 1 2 cos r 2 K_II xy ( II.28) ) EPD ( ) ( ) EPT ( 0 y x z z σ + σ ν = σ = σ ( II.29) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{− ν+} θ θ π µ = 2 cos 2 2 2 sen 2 r K u II 2 ( II.30) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{− ν+} θ θ π µ = 2 sen 2 1 2 cos 2 r K v II 2 ( II.31) MODO III 2 sen r 2 KIII xz θ π − = τ _{( II.32)}

2 cos r 2 K_III yz θ π = τ ( II.33) 2 sen 2 r K w III θ π µ = ( II.34) onde, ν =

ν para EPD e ν =ν/(1+ν) para EPT;

ν é o coeficiente de Poisson;

x é o eixo cuja orientação positiva é tangente à extremidade considerada da trinca; y é o eixo perpendicular a x;

u, v e w correspondem ao deslocamento em x, y e z , respectivamente.

Logo, confirma-se a existência de um campo de tensões singulares nas proximidades da trinca, pois a medida que se aproxima da ponta da fissura as tensões vão para infinito, na ordem O(1/ r).

Os FIT podem ser interpretados fisicamente como parâmetros que definem a intensidade do campo de tensões e deslocamentos na vizinhança da ponta da trinca. Não dependem das variáveis θ e r. Constata-se, portanto que duas fissuras com comprimentos diferentes submetidas a tensões diferentes terão a mesma distribuição de tensões e deslocamentos desde que os FIT sejam iguais.

Figura II.6 – Sistema de coordenadas polares e cartesianas na extremidade da trinca.

Ainda, segundo IRWIN, sob regime elástico linear, a taxa de liberação de energia G de um material relaciona-se com os fatores de intensidades de tensões conforme as equações abaixo:

E ) K K ( G 2 II 2 I ′ + = , ( II.35)

onde E′=E (EPT) ou E′=E/(1−ν2) (EPD).

No Capítulo 6 serão apresentados os procedimentos para a obtenção aproximada dos FIT através da abertura da trinca e tensão em pontos internos empregando algumas expressões citadas neste capítulo.

2.6 . INTEGRAL J

Seja um corpo homogêneo constituído de um material elástico, linear ou não linear, livre de forças de volume e sujeito a um campo de deformações bidimensional, ou seja, as tensões internas são funções apenas dos eixos coordenados x₁ e x₂.

Supondo ainda que o corpo contém um entalhe descarregado (Figura II.7) e o contorno deste entalhe é composto de duas faces paralelas ao eixo x1 e uma curva Γ ; t

uma fissura é a situação limite quando o raio de curvatura da extremidade do entalhe é nulo.

Figura II.7 – Problema com entalhe curvo.

A integral J é definida ao longo de um contorno Γ vizinho à ponta da trinca e é igual a:

∫

Γ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Γ ∂ ∂ − = = d x u T dx W G J 1 i i 2 , ( II.36)

onde W é a energia de deformação por unidade de volume definida por:

∫

ε σ ε = ij ij ij d W , ( II.37)

ou ainda, _{ij ij} 2 1

W= σ ε , onde σ e ij ε são os tensores tensão e deformação, ij

respectivamente, T_i =σ_ij n_j são as componentes das forças de superfície ao longo do caminho de integração Γ , obedecendo ao sentido anti-horário de integração e n é a _j componente do vetor normal externo a este caminho.

A integral J é igual à taxa de liberação de energia elástica G e para um regime elástico linear relaciona-se com os fatores de intensidade de tensões segundo à expressão ( II.35), válida também quando a zona plástica na proximidade da fissura é muito pequena.

Suponha que seja conhecido o campo de tensões na vizinhança de uma trinca submetida a um estado plano de deformação, onde as tensões principais obedecem a ordem σ₁>σ₂ >σ₃ e outro problema, em estado plano de tensão, onde as tensões principais são σ₁>σ₂ e σ₃ =0. Considerando-se que as tensões principais máximas σ₁ e σ₁ são iguais, pode-se concluir através de uma análise gráfica, observando os círculos de Mohr representados na Figura II.8, que o primeiro problema possui uma tensão cisalhante máxima τmáx menor do que τ , relativa ao problema em tensão plana. máx

Figura II.8 – Círculos de Mohr: Comparando problemas em deformação e tensão planas.

A deformação plástica é provocada pela tensão cisalhante. Sendo ela maior em tensão plana, explica-se o fato de se ter uma zona plástica maior neste caso. Portanto, o estado triaxial na ponta da trinca submetida a um estado plano de deformação dificulta a plastificação nesta região. Conseqüentemente a aplicabilidade da equação ( II.35), que é para comportamento linear, torna-se mais consistente.

2.7 . TENACIDADE À FRATURA

Tenacidade à fratura K é o fator de intensidade de tensões máximo _IC admissível em uma estrutura fissurada submetida exclusivamente ao modo de carregamento I. Este parâmetro, obtido experimentalmente, expressa a resistência à propagação de fissuras e varia de acordo com o tipo de material e temperatura. Denomina-se K para uma peça submetida um estado plano de deformação e _IC K para _C estado plano de tensão.

Na Tabela II.1são mostradas as resistências à fratura conhecidas para alguns materiais à temperatura ambiente, onde G_C =K_C2/E (fonte: BRANCO (1986)).

Material GC(kJm 2) − ) MNm ( KC 32 − E(GNm−2) aços de alta resistência 15-118 50-154 190-207

ligas de alumínio 8-30 23-45 69-79

ferro fundido 0,2-3 6-20 179-190

CAPÍTULO III

III)

MÉTODOS DE ESTIMATIVA DE PROPAGAÇÃO DE

TRINCAS

3.1 . INTRODUÇÃO

A teoria de GRIFFITH é o primeiro passo para a previsão da resistência à fratura dos sólidos. A idéia básica de sua teoria é:

“A fissura começará a se propagar se a taxa de energia elástica liberada devido ao seu incremento for maior do que a taxa de energia requerida para criar uma superfície de fratura”. Uma fissura com comprimento igual a 2a submetida a uma tensão ortogonal σ terá uma tensão limite expressa na equação (II.13) ou (II.14), dependendo do estado plano de carregamento.

A inconveniência da Teoria de GRIFFTH é que ela considera conhecida a direção de propagação da trinca, ou seja, são ponderados apenas problemas com fissuras se propagando na direção ortogonal do carregamento, portanto, os casos com trincas inclinadas em relação ao carregamento aplicado não são contemplados. IRWIN, aplicando GRIFFTH, relaciona a taxa de liberação de energia aos fatores de intensidade de tensões (expressão ( II.35)). Tais parâmetros representam a resistência do material à fratura, mas são obtidos experimentalmente apenas para modos exclusivos de carregamento. SOUZA (1986) recomenda uma relação simplificadora entre os fatores de intensidade de tensões para problemas mistos, objetivando confrontá-la com a resistência à fratura do material K . Entretanto, segundo SIH (1991), na maioria dos _IC casos, em modo misto de carregamento, a superposição não é realística

Seja um problema básico, mostrado na Figura III.1, onde a trinca está inclinada de um ângulo β em relação à direção do carregamento uniaxial σ. O ângulo de inicialização de crescimento da trinca, θ , é medido no sentido anti-horário, a partir da 0

Figura III.1 – Problema com carregamento uniaxial.

Todos os critérios analisados neste capítulo dependem do campo de tensões existente na vizinhança da extremidade trinca Γ antes do início de sua propagação. Considerando-se o estudo da propagação em estado plano e compilando as equações (II.20) a (II.31), tem-se as tensões relativas ao sistema de coordenadas cartesianas (Figura III.2) em coordenadas polares θ e r:

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ θ θ θ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ θ θ θ π = σ 2 3 cos 2 cos 2 2 sen K 2 3 sen 2 sen 1 2 cos K r 2 1 II I x ( III.1) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ θ θ θ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ θ θ θ π = σ 2 3 cos 2 sen 2 cos K 2 3 sen 2 sen 1 2 cos K r 2 1 II I y ( III.2) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ θ θ θ + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ θ θ θ π = τ 2 3 sen 2 sen 1 2 cos K 2 3 cos 2 sen 2 cos K r 2 1 II I xy ( III.3) ) EPD ( ) ( ) EPT ( 0 y x z z σ + σ ν = σ = σ ( III.4)

Referindo-se à Figura III.3, tem-se, próximo à ponta da trinca Γ , o campo de tensões no sistema de coordenadas polares, segundo as seguintes expressões abaixo:

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ θ _{+ θ} − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ θ _{+ θ} π = σ_θ (1 cos 2 sin 2 K 3 ) cos 1 ( 2 cos 2 K r 2 1 _{I II} ( III.5) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ θ _{− θ} − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ θ _{− θ} π = σ (1 3cos 2 sin 2 K ) cos 3 ( 2 cos 2 K r 2 1 _{I II} r ( III.6) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ θ _{− θ} − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ θ _{+ θ} π = τ_θ (1 3cos 2 cos 2 K ) cos 1 ( 2 sin 2 K r 2 1 _{I II} r ( III.7)

Figura III.2 – Campo de tensões em sistema de coordenadas cartesianas.

Figura III.3 – Campo de tensões em sistema de coordenadas polares.

3.2 . CRITÉRIO TTM - TENSÃO TANGENCIAL MÁXIMA

O Critério de Tensão Tangencial Máxima (ERDOGAN, 1963) ou Critério de Tensão Principal Máxima, estabelece que a direção de inicialização de propagação da fissura é perpendicular à direção da tensão tangencial σ máxima ao longo de um raio _θ constante (Figura III.3). Esta afirmação pode ser expressa matematicamente como:

0 = θ ∂ σ ∂ _θ , ₂ 0 2 < θ ∂ σ ∂ _θ ( III.8) Empregando a equação ( III.5) às condições expressas em ( III.8), vem:

0 2 1 2 tan 2 2 tan2θ−ψ θ− = ( III.9) 0 2 cos 2 sen 2 7 2 sen 1 2 sen 2 cos 2 cos 2 1 2 3 3 2 3 3 _< ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ θ₋ θ θ ψ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ θ₋ θ θ − ( III.10)

onde o ângulo θ de inicialização de propagação da fissura é a raiz da equação ( III.9) 0

que obedece à condição definida na expressão ( III.10), onde:

II I K K = ψ _{( III.11)}

3.3 . CRITÉRIO M - TENSÃO MÁXIMA TRIAXIAL

O Critério de Tensão Máxima Triaxial, proposto por KONG et al. (1995), estabelece que a direção inicial de propagação da fissura coincide com a direção da tensão triaxial máxima ao longo de um raio constante na extremidade da trinca. Esta afirmação pode ser expressa matematicamente como:

0 M = θ ∂ ∂ , M₂ 0 2 < θ ∂ ∂ ( III.12) onde M é a taxa de tensão triaxial definida como:

eq H M σ σ = _{( III.13)}

Onde σ_H é a tensão hidrostática e σ é a tensão equivalente de von Mises _eq dadas por: 3 z y x H σ + σ + σ = σ ( III.14) 2 6 ) ( ) ( ) ( _{x y} 2 _{y z} 2 _{z x} 2 2_xy eq τ + σ − σ + σ − σ + σ − σ = σ ( III.15)

Substituindo as expressões ( III.14) e ( III.15) em ( III.13) e aplicando o critério Tensão Máxima Triaxial, obtém-se a direção inicial de propagação θ . O ângulo 0 θ é a 0

raiz da equação ( III.16) que atende à condição exigida em ( III.17).

0 ) 1 ( 2 1 2 tan ) 1 ( 2 1 2 tan ) 2 1 ( 2 tan 3 2 tan4 θ− ψ 3 θ− − ψ2 2 θ+ −ψ2 ψ θ− +ψ2 = ( III.16) 0 2 5 cos ] ) 7 ( 5 [ 2 3 cos ] ) 1 ( 9 [ 2 cos ] ) 5 ( 2 [ 2 5 sen )] 3 5 ( 5 [ 2 3 sen )] 1 ( 27 [ 2 sen )] 5 ( 2 [ 2 2 2 2 2 2 < θ ψ − ψ − θ ψ + ψ − θ ψ + ψ − θ − ψ + θ + ψ + θ + ψ ( III.17)

onde ψ é definido em ( III.11).

As equações ( III.16) e ( III.17) são soluções, a princípio, de problemas em estado plano de deformações, mas são válidas para estado plano de tensões também. 3.4 . CRITÉRIO T - DENSIDADE DE ENERGIA DE DEFORMAÇÃO DILATACIONAL

O critério T (THEOCARIS et al., 1982) estabelece que a direção de inicialização do crescimento da fissura coincide com a direção de máxima densidade de energia de deformação dilatacional T no contorno da ponta da trinca, considerando-se _V ainda constante a energia de deformação distorcional T_D. Atendendo à primeira condição vem: 0 T_V = θ ∂ ∂ , T₂V 0 2 < θ ∂ ∂ ( III.18) A Energia de Deformação Dilatacional, responsável pela mudança de volume de um corpo, é definida como:

2 y x V ( ) 6E ) 2 -(1 T = ν σ +σ ( III.19)

A Energia de Deformação Distorcional, responsável pela mudança de forma de um corpo, é dada pela expressão:

) 3 -( 3E ) (1 T x y xy2 2 y 2 x D σ +σ σ σ + τ ν + = ( III.20)

As relações ( III.19) e ( III.20) são válidas para problemas em estado plano de tensões, mas os resultados apresentados a seguir são os mesmos para estado plano de deformações.

Considere as formas simplificadas das equações ( III.1) a ( III.3) a seguir: ) ( f r 2 1 x x θ π = σ ( III.21) ) ( f r 2 1 y y θ π = σ ( III.22) ) ( f r 2 1 xy xy θ π = τ ( III.23) onde, ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ θ θ + θ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ θ θ − θ = θ 2 3 cos 2 cos 2 2 sen K 2 3 sen 2 sen 1 2 cos K ) ( f_{x I II} ( III.24) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ θ θ θ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ θ θ θ = θ 2 3 cos 2 sen 2 cos K 2 3 sen 2 sen 1 2 cos K ) ( f_{y I II} ( III.25) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ θ θ θ + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ θ θ θ = θ 2 3 sen 2 sen 1 2 cos K 2 3 cos 2 sen 2 cos K ) ( fxy I II ( III.26)

Substituindo as equações ( III.21) a ( III.23) em ( III.20), explicitando o raio r, e atendendo à segunda condição, ou seja, considerando-se a energia de deformação distorcional constante e também função do material, T_D0, vem:

[

2

]

xy y x 2 y 2 x 0 D ) ( f 3 ) ( f ) ( f ) ( f ) ( f ET 6 ) 1 ( r= +ν θ + θ − θ θ + θ _{( III.27)}

Substituindo ( III.27) em ( III.19):

[

]

[

f ( ) f ( ) f ( )f ( ) 3f ( )

]

) ( f ) ( f ) 1 ( 2 T ) 2 1 ( T xy y x 2 y 2 x 2 y x 0 D V θ + θ θ − θ + θ θ + θ ν − ν − = ( III.28)

Finalmente, substituindo-se a equação anterior em ( III.18), obtém-se a direção inicial de propagação da trinca θ pelo critério de densidade de energia de deformação ₀ dilatacional, através da solução da equação que atenda à condição imposta em ( III.30).

0 2 ) 1 ( 2 tan 2 ) 1 2 ( 2 tan 2 ) 5 3 ( 2 tan ) 1 5 ( 2 tan 4 2 tan 2 2 4 2 2 3 2 4 5 = ψ ψ + + θ − ψ − ψ + + θ ψ ψ − + θ − ψ + θ ψ − θ ( III.29)

0 3 sen ) 3 5 ( 6 2 sen ) 1 ( 32 sen ) 5 13 ( 2 3 cos ) 12 3 ( 3 2 cos ) 2 3 ( 8 cos ) 5 20 1 ( 2 2 2 4 2 4 2 4 2 < θ ψ − ψ − θ ψ + ψ + θ ψ + ψ + + θ ψ + ψ − − θ ψ − ψ + + θ ψ − ψ − ( III.30) onde ψ é definido em ( III.11).

3.5 . CRITÉRIO S - DENSIDADE DE ENERGIA DE DEFORMAÇÃO

A teoria apresentada nesta seção não está baseada na taxa de liberação de energia e é pioneira na aplicação a problemas em modo misto de propagação (SIH, 1963). Diferentemente das teorias convencionais baseadas em G, onde é levada em consideração apenas a amplitude de tensão local, o parâmetro fundamental desta teoria, o Fator Densidade de Energia de Deformação S tem sensibilidade direcional. A diferença entre G e S é análoga à diferença entre escalar e vetor.

Para um material elástico, a energia de deformação armazenada em um elemento tridimensional d_v =d_xd_yd_z é (Figura II.6):

dv )] ( 2 1 ) ( E ) ( E 2 1 [ dw 2 yz 2 xz 2 xy y z z y y x 2 z 2 y 2 x τ +τ +τ µ + σ σ + σ σ + σ σ ν − σ + σ + σ = ( III.31)

Substituindo as expressões ( III.1) a ( III.4) em ( III.31), a Densidade de Energia de Deformação fica:

r S dv

dw = ( III.32)

A expressão anterior possui singularidade 1/r, e sua amplitude ou intensidade S denominada Fator Densidade de Energia de Deformação equivale, em problemas planos, a: 2 2 22 2 1 12 2 1 11K 2a K K a K a S= + + ( III.33) onde: )] cos 1 )( cos [( 16 1 a₁₁ κ− θ + θ µ = , _{( III.34)} )] 1 ( cos 2 [ sen 16 1 a12 θ θ− κ− µ = , ( III.35) )] 1 cos 3 )( cos 1 ( ) cos 1 )( 1 [( 16 1 a₂₂ κ+ − θ + + θ θ− µ = , _{( III.36)} ) 1 /( ) 3 ( −ν +ν = κ , para EPT ou ) 4 3 ( − ν =

κ , para EPD e µ é o Módulo de Elasticidade Transversal

( III.37)

O critério proposto por SIH (1991) para iniciação e direção de propagação é baseado nas seguintes hipóteses fundamentais:

1ª Hipótese – A direção inicial de propagação da fissura coincide com a posição onde o fator de densidade de energia de deformação é mínimo, em uma dada região circunferencial de raio r constante, na extremidade da fissura:

mín dv dw dv dw ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ( III.38) Ou seja, 0 S = θ ∂ ∂ , S₂ 0 2 > θ ∂ ∂ ( III.39) Substituindo as equações ( III.33) a ( III.37) nas condições expressas em ( III.39), vem: 0 ) 3 ( 2 2 tan ] 14 6 ) 1 ( 2 [ 2 tan 24 2 tan ] 10 2 ) 1 ( 2 [ 2 tan ] ) 1 ( 2 [ 2 2 2 3 2 2 4 = ψ κ − + θ − ψ + ψ − κ + θ ψ − θ + ψ − ψ − κ + θ ψ κ + ( III.40) 0 2 cos )] 3 ( 2 [ cos )] 1 )( 1 [( 2 sen 8 sen ] ) 1 ( 2 [ κ− ψ θ− ψ θ+ κ− −ψ2 θ+ ψ2− θ> ( III.41) A direção inicial de propagação da fissura θ , definida pelo critério de 0

densidade de deformação, é a raiz da equação ( III.40) que obedece à relação ( III.41). 2ª Hipótese – O início da propagação se dá quando o fator S atinge um valor crítico S que é função do material em análise. _cr

3ª Hipótese – O comprimento a ser incrementado na trinca r1, r2, r , ..., 3 r é cr

governado pela expressão:

= = = = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ cr cr 2 2 1 1 cr r S r S r S dv dW L constante ( III.42)

Segundo SIH (1991), a fratura instável se dá quando o tamanho crítico r é cr

alcançado. A seguir são apresentados na Tabela III.1, alguns parâmetros experimentais indicadores da resistência à fratura do material aço 4140, cujo coeficiente de Poisson

3 . 0 = ν . ) MPa ( ys σ K_IC(MPa/ m) S_cr(N/m) r_cr(m) 1516,8 1081,5 591,7 1,6510E-5 1413,4 2249,5 1306,2 4,1656E-5 1241,0 3460,8 3091,7 1,2954E-4 1137,6 5191,1 6956,4 3,4163E-4

3.6 . ALGUNS RESULTADOS

Objetivando verificar a aplicabilidade destes critérios foram implementadas no programa de manipulação matemática Maple release 8, as soluções apresentadas em cada um dos quatro métodos deste capítulo e calculados os ângulos iniciais de propagação para dois problemas clássicos da MFLE. Ambos estão representados através da Figura III.1 e possuem o carregamento remoto e a metade do comprimento da trinca unitários, ou seja σ=1 e a=1.

O primeiro problema apresenta uma trinca horizontal, β 90 . A solução = ° analítica deste problema é conhecidamente em modo I exclusivo de deformação:

π σ

= a

KI KII =0 ( III.43)

No segundo problema a trinca é inclinada em relação à direção do carregamento, β 60 . A solução exata deste problema, em modo misto de propagação = ° é: β π σ = 2 I a sen

K K_II =σ aπsenβcosβ ( III.44) Tendo em vista a indeterminação da equação ( III.11) para solução ( III.43) as soluções do Critério da Tensão Tangencial Máxima, Tensão Máxima Triaxial, Densidade de Energia de Deformação Dilatacional e Densidade de Energia de Deformação são os limites das expressões ( III.9) e ( III.10), ( III.16) e ( III.17), ( III.29) e ( III.30), ( III.40) e ( III.41), respectivamente, quando ψ tende a infinito. A seguir são apresentados na Tabela III.2 uma síntese dos resultados para a direção inicial de propagação (θ ) destes problemas, considerando-se ainda os problemas em estado ₀ plano de deformação e o coeficiente de Poisson ν=1/3.

0

θ

Critério Modo I Modo Misto

TTM (ERDOGAN et al., 1963) 0 -43,2

M (KONG et al., 1995) 0 -45,3

T (THEOCARIS et al., 1982) 0 -45,3

S (SIH, 1973) 0 -41,5

CAPÍTULO IV

IV)

REVISÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO

(MEC)

4.1 . INTRODUÇÃO

Este capítulo tem como objetivo apresentar os conceitos básicos da Formulação do Método dos Elementos de Contorno (BREBBIA et al., 1984).

As equações integrais da Formulação Clássica e Hipersingular para pontos pertencentes ao contorno externo e ao contorno da trinca são citadas assim como a expressão para determinação das tensões em pontos internos também.

4.2 . FORMULAÇÃO CLÁSSICA Identidade Somigliana

Aplicando o teorema da Reciprocidade de Betti e desprezando-se as forças de volume no problema, obtém-se a Identidade Somigliana aplicada a pontos internos na forma abaixo: ) x ( d ) x ( u ) x , ( p ) x ( d ) x ( p ) x , ( u ) ( u_i ξ =

∫

_ijK ξ _j Γ −

∫

_ijK ξ _j Γ Γ Γ ( IV.1) onde uijK(ξ,x) e p ( ,x) K

ij ξ são, respectivamente, o deslocamento e a força de superfície

no ponto campo x na direção j pertencente ao contorno Γ (Figura IV.1), para uma carga unitária aplicada no ponto fonte (interno) ξ na direção i.

Estas funções são parte da solução da equação de Navier para um domínio infinito, que é chamada de solução fundamental de Kelvin e em estado plano de deformação é definida por:

] r r ) r ln( ) 4 3 [( G ) 1 ( 8 1 ) x , ( uK_ij − ν δ_ij−_{,i ,j} ν − π − = ξ _{( IV.2)}

[

]

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ _{− − ν −} ∂ ∂ + δ ν − ν − π − = ξ (1 2 )(r n r n ) n r r r 2 ) 2 1 ( r ) 1 ( 4 1 ) x , ( p_ijK _{ij ,i ,j ,i ,j ,j ,i} ( IV.3) onde: ν é o coeficiente de Poisson; G é o módulo de cisalhamento; i

n é o cosseno diretor da normal externa ao contorno no ponto campo x.

2 / 1 i ir) r ( r= ( IV.4) ) ( x ) x ( x ri= i − i ξ ( IV.5) r r ) x ( x r r i i i , = ∂ ∂ = ( IV.6) i in , r nr = ∂ ∂ ( IV.7)

Para estado plano de tensão deve-se substituir ν por ν=ν/(1+ν) em ( IV.2) e ( IV.3).

Equação Integral para Contorno Externo

Fazendo o limite da expressão ( IV.1) para o ponto fonte ξ pertencente ao contorno externo tem-se:

) x ( d ) x ( p ) x , ( u ) x ( d ) x ( u ) x , ( p ) ( u ) ( C j K ij j K ij j ij ξ ξ +−

∫

ξ Γ =

∫

ξ Γ Γ Γ ( IV.8) onde a 1ª integral da equação é no sentido do Valor Principal de Cauchy e para contornos suaves C_ij(ξ)=δ_ij/2, onde δ é o símbolo Delta de Kronecker. _ij

Equação Integral para Contorno da Trinca

A situação limite da Identidade Somigliana para o ponto ξ pertencente ao contorno da trinca, porém fora das extremidades, fornece a expressão seguinte:

) x ( d ) x ( p ) x , ( u ) x ( d ) x ( u ) x , ( p 2 ) ( u 2 ) ( u j K ij j K ij ' i i ξ + ξ +− ξ Γ = ξ Γ

∫

∫

Γ Γ , _{( IV.9)} onde ξ′ é o ponto que ocupa a mesma posição geométrica que ξ , mas está situado na

4.3 . TENSÕES EM PONTOS INTERNOS

As tensões em pontos internos são determinadas aplicando-se a lei de Hooke para materiais elásticos e isotrópicos:

ij k k i j j i ij ) ( x ) ( u 2 1 G 2 ) ( x ) ( u ) ( x ) ( u G ) ( δ ξ ∂ ξ ∂ ν − ν + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ξ ∂ ξ ∂ + ξ ∂ ξ ∂ = ξ σ , ( IV.10) onde ) ( x ) ( u j i ξ ∂ ξ ∂

é a derivada do deslocamento em relação às coordenadas do ponto fonte ξ e é obtida através da derivação da Identidade Somigliana ( IV.1), que representa os deslocamentos de pontos internos do domínio.

Derivando-se, portanto a expressão ( IV.1) tem-se:

∫

∫

Γ Γ Γ ξ ∂ ξ ∂ + Γ ξ ∂ ξ ∂ = ξ ∂ ξ ∂ ) x ( d ) x ( u ) ( x ) x , ( p ) x ( d ) x ( p ) ( x ) x , ( u ) ( x ) ( u j k K ij j k K ij k i ( IV.11)

onde u(x) e p(x) são os deslocamentos e forças de superfície no contorno já conhecidos, logo:

[

,k ij ,i jk j ik ,i,j,k

]

k K ij r r r 2 r r r ) 4 3 ( r G ) 1 ( 8 1 ) ( x ) x , ( u − δ − δ − δ ν − − ν − π − = ξ ∂ ξ ∂ ( IV.12)

{

}

k j , i , k ij j ik i jk j k , i , i k , j , k , j , i , jk i , ik j , ij k , 2 k K ij n r r 2 ] n n n n r r 2 n r r 2 )[ 2 1 ( n r ] r r r 4 r r r ) 2 1 [( 2 r G ) 1 ( 4 1 ) ( x ) x , ( p − δ − δ + δ − − ν − + ∂ ∂ + δ − δ − δ ν − ν − π − = ξ ∂ ξ ∂ ( IV.13)

Substituindo ( IV.12) e ( IV.13) em ( IV.11) e em seguida em ( IV.10), obtêm-se as tensões em pontos internos através da equação integral:

Γ ξ − Γ ξ = ξ σ

∫

∫

Γ Γ d ) x ( u ) x , ( p d ) x ( p ) x , ( u ) ( K_{ijk k} K_{ijk k} ij ( IV.14) onde:

[

]

{

,i jk ,j ik ,k ij ,i ,j,k

}

K ijk (1 2 )r r r 2r r r r ) 1 ( 4 1 ) x , ( u − ν δ + δ + δ + ν − π = ξ _{( IV.15)}

[

{

]

[

]

}

k ik i , k j , j , k , i , i jk j ik k , j , i , k , j , i , ik j , jk i , ij k , 2 K ijk n ) 4 1 ( ) n r r n r r ( 2 n n n r r 2 ) 2 1 ( n r r r r 4 ) r r ( r ) 2 1 ( 2 r ) 1 ( 2 G ) x , ( p δ ν − − + ν + + δ + δ + ν − + ∂ ∂ − − δ + δ ν + δ ν − ν − π = ξ ( IV.16)

4.4 . FORMULAÇÃO HIPERSINGULAR

Equação Integral Hipersingular para Pontos Internos

Através da expressão ( IV.14), que calcula a tensão em pontos internos juntamente com a equação de equilíbrio do tetraedro elementar, pi=σijmj, onde m é a j

normal a um plano qualquer do domínio passando por ξ , obtém-se a equação hipersingular abaixo que fornece a força de superfície para pontos internos em relação ao plano de normal m (GUIMARÃES et al., 1994). _j

) x ( d ) x ( u ) x , ( P ) x ( d ) x ( p ) x , ( U ) ( p j K ij j K ij i ξ=

∫

ξ Γ −

∫

ξ Γ Γ Γ ( IV.17) onde: ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ _{+ − ν δ} ∂ ∂ − − ν − ν − π = ξ [2r r (1 2 ) ] m r r m r m )( 2 1 ( r ) 1 ( 4 1 ) x , ( U j ,i i ,j ,i ,j ij K ij ( IV.18)

[

]

[

]

⎭ ⎬ ⎫ ν − − ν − + ν + ν − ∂ ∂ + δ ν − + ν + ⎩ ⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ _{νδ − + ν + − ν} ∂ ∂ ∂ ∂ − ν − π µ = ξ j i i j i , j j , i ij j , i , k k i , j j , i j , i , ij 2 K ij n m ) 4 1 ( n m ) 2 1 ( r m r m ) 2 1 ( n r 2 ) 2 1 ( r r 2 n m r n ) 2 1 ( 2 r n 2 ) r r 4 ( n r 2 m r r ) 1 ( 2 ) x , ( P ( IV.19)

Para estado plano de tensão deve-se substituir ν por ν=ν/(1+ν). Das expressões ( IV.6) e ( IV.7), têm-se:

r r ) ( x r ) x ( x r , r i i i i = ξ ∂ ∂ − = ∂ ∂ = ( IV.20) i i ,m r m r − = ∂ ∂ ( IV.21) Observe-se que UijK(ξ,x) e P ( ,x) K

ij ξ nas expressões ( IV.18) e ( IV.19) têm

singularidades de ordens superiores às de uK_ij(ξ,x) e pK_ij(ξ,x), respectivamente. Por isso chama-se Equação Integral de Contorno Hipersingular, o limite da equação ( IV.17) quando o ponto fonte ξ tende ao contorno Γ .

Equação Integral Hipersingular para Contorno Externo

Analogamente à formulação clássica, calcula-se o limite da expressão ( IV.17) quando o ponto fonte ξ tende para o contorno externo e obtém-se a equação integral para contornos suaves da Formulação Hipersingular, a seguir:

) x ( d ) x ( u ) x , ( P ) x ( d ) x ( p ) x , ( U ) ( p 2 j K ij j K ij j ij Γ ξ = − Γ ξ − = ξ δ

∫

∫

Γ Γ ( IV.22)

onde as integrais impróprias representadas por

∫

= são no sentido de parte finita (HADAMARD, 1957).

Equação Hipersingular para o Contorno da Trinca

Calculando-se o limite da equação ( IV.17), mas para pontos tendendo ao contorno suave da trinca, tem-se:

) x ( d ) x ( u ) x , ( P ) x ( d ) x ( p ) x , ( U 2 ) ( p 2 ) ( p j K ij j K ij ' i i ξ − ξ = − ξ Γ −= ξ Γ

∫

∫

Γ Γ ( IV.23) onde ξ′ é o ponto que ocupa a mesma posição geométrica que ξ , mas está situado na face oposta da trinca.

CAPÍTULO V

V.

FUNÇÃO DE GREEN

5.1. INTRODUÇÃO

Neste capítulo são apresentados os procedimentos para obtenção da Função de Green aplicada ao Método dos Elementos de Contorno através da superposição de duas soluções para meios infinitos planos. Não obstante, este procedimento se estende facilmente a casos tridimensionais para quaisquer disposições das trincas.

5.2. FUNÇÃO DE GREEN

A função de Green é a solução do problema em questão para deslocamentos e forças de superfície em um ponto x pertencente ao domínio infinito Ω , com fissuras G

descarregada(s), sujeito à aplicação de uma carga unitária no ponto fonte ξ (Figura V.1). Esta solução é obtida numericamente através da superposição das soluções para deslocamento e força de superfície envolvendo o problema fundamental de Kelvin (Ω_K) e uma parte complementar (Ω ). _C

Figura V.1 - Composição dos carregamentos para função de Green.

Esta superposição é representada na Figura V.1. A primeira configuração de carregamento (K), representa um problema em meio infinito com fissura(s) submetida(s) às forças p obtidas supondo-se o problema fundamental de Kelvin Kik ΩK,

submetido a uma carga unitária na direção i no ponto ξ . A continuidade das tensões despertadas nos pontos coincidentes com a fissura Γf inserida é garantida aplicando-se

a equação de equilíbrio do tetraedro elementar, p_i =σ_ijm_j, onde σ é a tensão interna _ij nos pontos da trinca e m é a normal externa à cavidade da trinca, formada por duas _j superfícies coincidentes. Uma vez que ocorre uma continuidade de deslocamentos e forças de superfície no local da fissura, a solução fundamental para o problema (K) é equivalente à solução fundamental analítica de Kelvin.

A segunda parcela consiste em um problema em meio infinito Ω , com uma C

fissura carregada com as mesmas forças de superfície aplicadas em (K), em pontos pertencentes ao contorno fictício da trinca, porém com sentidos contrários. A solução para a parte complementar (C) é obtida numericamente através do emprego da Formulação Clássica e Hipersingular do MEC.

A superposição das soluções dos problemas (K) e (C) produz a função de Green representada a seguir:

) x , ( u ) x , ( u ) x , ( u Cij K ij G ij ξ = ξ + ξ ( V.1) ) x , ( p ) x , ( p ) x , ( p Cij K ij G ij ξ = ξ + ξ ( V.2)

onde apenas os tensores uCij(ξ,x) e p ( ,x) C

ij ξ são desconhecidos.

Solução do Problema Complementar

Aplicando-se, inicialmente, a equação integral para deslocamentos em pontos internos da Formulação Clássica do MEC (IV.1), com solução fundamental de Kelvin, ao domínio infinito Ω com contorno externo_C Γ e contorno da trinca _e Γ ,vem: f

) x ( d ) x ( u ) x , ( p ) x ( d ) x ( p ) x , ( u ) x ( d ) x ( u ) x , ( p ) x ( d ) x ( p ) x , ( u ) ( u j K ij j K ij j K ij j K ij i f f e e Γ ξ − Γ ξ + + Γ ξ − Γ ξ = ξ

∫

∫

∫

∫

Γ Γ Γ Γ ( V.3)

onde o ponto fonte ξ ∈ Ω e ponto campo x ∈ (_C Γ Ue Γf

).

Uma vez que o corpo é infinito e que as condições de regularidade são satisfeitas, as integrais no contorno externo Γ se anulam, logo vem: e

) x ( d ) x ( u ) x , ( p ) x ( d ) x ( p ) x , ( u ) ( u_{i ij}K _j K_{ij j} f f Γ ξ − Γ ξ = ξ

∫

∫

Γ Γ ( V.4)

Considerando-se que os efeitos em (C) são devidos à aplicação de uma carga unitária na direção k em um ponto ζ (inicialmente designado por ξ no problema (K)), a equação ( V.4) recebe contribuição de um novo índice:

) x ( d ) x , ( u ) x , ( p ) x ( d ) x , ( p ) x , ( u ) , ( u Ckj K ij C kj K ij C ki f f Γ ζ ξ − Γ ζ ξ = ξ ζ

∫

∫

Γ Γ ( V.5) Substituindo na 1ª integral, a força de superfície calculada no contorno da trinca pelo oposto da força de superfície de Kelvin no problema (K) e fazendo-se uma mudança de índices objetivando compatibilizar a notação empregada acima com a usada nas expressões ( V.1) e ( V.2), vem:

) ( d ) , ( u ) , x ( p ) ( d ) , ( p ) , x ( u ) x , ( uC_ij K_{jk ik}K K_jk C_ik f f ζ Γ ζ ξ ζ − ζ Γ ζ ξ ζ − = ξ

∫

∫

Γ Γ ( V.6)

Considerando-se que o contorno da trinca Γ é composto do contorno superior f

s

Γ e inferior Γ , que os deslocamentos da solução de Kelvin i

) , x (

uKjk ζ são iguais e as

forças de superfície pK_jk(x,ζ) são opostas, pode-se resumir a equação ( V.6) e calcular as integrais em apenas uma face da trinca, conforme é visto abaixo:

[

]

[

u ( , ) u ( , )

]

d ( ) ) , x ( p ) ( d ) , ( p ) , ( p ) , x ( u ) x , ( u i C ik s C ik K jk i K ik s K ik K jk C ij i i ζ Γ ζ ξ − ζ ξ ζ + ζ Γ ζ ξ + ζ ξ ζ − = ξ

∫

∫

Γ Γ ( V.7)

Finalmente, tendo em vista que a solução de Kelvin produz tensões internas contínuas no problema (K) e que, portanto pKik(ξ,ζs) e p ( , )

i K

ik ξ ζ são opostos, tem-se

então o deslocamento complementar definido abaixo: ) ( d ) , ( c ) , x ( p ) x , ( uC_ij K_{jk ik} i ζ Γ ζ ξ ζ = ξ

∫

Γ ( V.8) onde )c ( , ) u ( , ) uCik( , i s C ik

ik ξ ζ = ξ ζ − ξ ζ é denominada Abertura Fundamental da Trinca, ou

seja, é abertura da fissura na direção k quando é aplicada uma força unitária no ponto fonte ξ pertencente a (Ω_K) na direção i.

Aplicando-se a equação integral para força de superfície (IV.17) da Formulação Hipersingular para pontos internos ao domínio Ω , obtém-se, C

) ( d ) , ( c ) , x ( P ) x , ( p ik K jk C ij i ζ Γ ζ ξ ζ = ξ

∫

Γ ( V.9)

Abertura Fundamental da Trinca

Neste momento é importante lembrar que as expressões ( V.8) e ( V.9) definem a solução do problema complementar (C) que é conseqüência do problema fundamental de Kelvin, mas ainda desconhece-se o tensor cik(ξ,ζ).

A abertura fundamental da trinca c_ik(ξ,ζ) é obtida através do limite da equação ( V.9) quando o ponto x tende ao contorno da trinca no problema complementar (C):

∫

Γ Γ → ξ = ξ ζ = = ζ ζ ξ ζ Γ ζ i ip ( ,x) p ( , ) P ( , )c ( , )d ( ) lim C_ij C_{ij jk}K _ik x ( V.10)

onde ζ é o ponto fonte no problema (C) pertencente à fissura que torna o integrando da equação ( V.9) hipersingular, no sentido de Parte Finita de HADAMARD (1952), representado pelo símbolo

∫

= .

À equação ( V.10) impõe-se as condições de contorno naturais para o problema (C), ou seja, a força aplicada ao contorno da trinca é igual ao oposto da força de superfície de Kelvin, p_ijC(ξ,ζ)=−p_ijK(ξ,ζ). Objetivando-se resolvê-la numericamente emprega-se o método dos resíduos ponderados com função peso igual ao delta de Dirac,

) , (ζ_m ζ

∆ , m=1,2,_K,M, onde ζ é o ponto de colocação e M é o número de pontos de _m colocação; ficando esta finalmente:

M , , 2 , 1 m ) , ( p ) ( d ) , ( c ) , ( P_jkK _{m ik} K_{ij m} i L = ζ ξ − = ζ Γ ζ ξ ζ ζ =

∫

Γ ( V.11)

A abertura da trinca c_ik( , )ξ ζ pode ser interpolada com NG pontos ζ_n∈Γi independentemente da posição dos pontos de colocação ζ , com N igual a M para que _m o sistema algébrico gerado tenha solução simples. A técnica de integração numérica aplicada neste caso deverá contemplar a hipersingularidade devida ao tensor P ( m, )

K jk ζ ζ

e, para isso, podem ser empregados esquemas de integração especiais (KUTT, 1975). O método empregado neste trabalho, para a obtenção da abertura fundamental da trinca, a partir da equação ( V.11), utiliza integração numérica regular de Gauss e