OTIMIZAÇÃO DO USO DE OPERADORES POLIVALENTES EM LINHAS DE PRODUÇÃO VIA PROGRAMAÇÃO ESTOCÁSTICA

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(1)XXXVIII SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL Pesquisa Operacional na Sociedade: Educação, Meio Ambiente e Desenvolvimento. 12 a 15/09/06 Goiânia, GO. OTIMIZAÇÃO DO USO DE OPERADORES POLIVALENTES EM LINHAS DE PRODUÇÃO VIA PROGRAMAÇÃO ESTOCÁSTICA. Maxstaley Leninyuri Neves École Supérieure d’Ingénieurs en Electronique et Electrotechnique (ESIEE/Amiens) 14, quai de la Somme, BP 100 – 80080 Amiens Cedex 2 – França max.neves@esiee.org. Resumo: Este trabalho tem como objetivo estudar o problema de otimização de uma linha de produção organizada através de equipes polivalentes. Nós não entraremos no nível de projeto, formação, dimensionamento e balanceamento visto que esses assuntos já são razoavelmente abordados. Diferentemente, pretendemos discutir a otimização do uso operacional destas equipes. Durante nossa pesquisa, não encontramos nenhum trabalho que aborde este problema. Para tanto utilizaremos como ferramenta a programação matemática. Primeiro, discutimos o problema e esboçamos um primeiro modelo preliminar, determinístico. Partimos então para nossa proposta baseada na programação estocástica. Ao contrário dos modelos determinísticos, a programação estocástica permite que nosso modelo trate os dados de entrada como variáveis aleatórias, propiciando uma abordagem mais robusta para o problema. A fim de validar a nossa metodologia, aplicaremos nosso modelo em um problema real, de uma planta industrial, onde o estudo foi motivado e conduzido. Palavras-chave: programação estocástica, equipes polivalentes, gestão de chão de fábrica. Abstract: This paper aims to examine the optimization problem of a production line organized through polyvalent teams. We will not consider the design, configuration, sizing and balancing problems since these problems are already fairly well studied. Differently, we intend to study the use optimization of these teams. During our research, we did not find any study that approaches this problem. We will use the mathematical programming for support our study. Firstly, we discuss the problem and we introduce a preliminary and deterministic model. After, we accomplish our analysis proposing another model based in the stochastic programming. In contrast of the deterministic models, the stochastic programming allows our model to work with random variables as inputs, propitiating a more robust approach for the problem. In order to validate our methodology, we will apply our model in a real case, of an industrial plant, where the study was motivated and lead. Key-words: stochastic programming, polyvalent teams, floor shop management. Área: AGP - Administração e Gestão da Produção. XXXVIII SBPO. [ 131 ].

(2) XXXVIII SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL Pesquisa Operacional na Sociedade: Educação, Meio Ambiente e Desenvolvimento. 12 a 15/09/06 Goiânia, GO. Introdução Desde o pós 2° guerra, assistimos um grande acirramento da competição global. Esse movimento se intensifica cada dia mais, principalmente devido a emergência nos últimos 30 anos dos chamados “novos países industrializados”, notadamente a China. Como consequência, é notável a corrida pela busca do desenvolvimento de técnicas de gestão mais robustas. Tais técnicas são determinantes para o sucesso ou fracasso em mercado que busca baixos preços aliados à qualidade visível e rápidos prazos entrega (Correa e Gianesi, 1993). No que concerne diretamente à Engenharia de Produção, por exemplo, presenciamos uma constante evolução das ferramentas de planejamento da produção, sejam elas quantitativas ou de cunho organizacional (Vollmann et al., 1997). No âmbito deste trabalho, estudaremos o problema de organização dos recursos humanos no chão de fábrica como fator de otimização da produção em linhas compostas por operadores polivalentes. A busca pela polivalência de operadores começa pela proposta da “Escola Sócio-Técnica” de organização dos operadores através dos grupos semi-autônomos (Biazzi Jr, 1994). Na verdade, a primeira é uma condição sine-qua-non para o sucesso dos últimos. Esta proposta surge com a crescente complexidade dos sistemas técnicos empregados, tornando-se mais competitiva que a organização via a “Escola Clássica”, marcada pela forte especialização e divisão do trabalho. É importante notar que o sucesso de diversas “novas filosofias de gestão”, como a Manufatura Enxuta ou JIT (just in time), é fortemente dependente desse fator, pois uma grande parte da sua coleção de métodos e ferramentas têm como base a polivalência dos operadores, conforme salienta Santos Jr (2001). Podemos citar a Gestão pela Qualidade Total (TQC), Manutenção Produtiva Total (TPM), kaizen, os CCQ’s, etc. Atualmente, a maioria dos trabalhos discute a polivalência de um ponto de vista filosófico e poucos trabalhos contemplam questões de ordem operacional deste assunto (Santos Jr, 2001). Dentro desses últimos, a maior parte volta-se para problemas ligados à concepção de células de manufatura, o balanceamento e a composição das equipes polivalentes (os dois últimos mais recentes visto que a grande parte dos estudos lida com operadores dedicados, ou seja, nãopolivalentes). O trabalho de Fernandes e Dalalio (2000) apresenta uma boa discussão sobre o assunto. Para ilustrar esse enfoque citamos, por exemplo, um modelo de balanceamento de linhas, determinístico e exato, conhecido como Simple Assembly Line Balacing I (SALB-I). Neste modelo, o objetivo é minimizar o número de estações de trabalho para uma determinada taxa de produção (imposta) e sujeito também a alguns outros tipos de restrições, como ordem de passagem nos postos (op. cit., p. 381). Assim, acreditamos que esses assuntos ja são razoavelmente abordados e trabalharemos em cima de outro problema: dada uma linha de produção já instalada e composta por operadores com algum grau de polivalência, quais seriam os corretos posicionamentos de cada operador na linha, no decorrer do tempo, que permitiria alcançar a produtividade máxima? Nota-se que, caso a linha esteja balanceada de forma ótima para uma determinada taxa de produção, imutável ao longo do tempo, a contribuição deste trabalho será provavelmente nula visto que a resposta à nossa pergunta-motivação seria “nada fazer”. Estamos portanto interessados em linhas cujo um “ótimo” balanceamento é impossível devido, por exemplo, a natureza dos produtos fabricados, a tecnologia de processo empregada ou mesmo em linhas cujo tempo de ciclo de produção em cada posto é muito variável por qualquer que seja a razão. Primeiramente delimitaremos e discutiremos o problema no contexto acima descrito. Partiremos então para a modelagem matemática propondo dois modelos: um primeiro, preliminar e determinístico, nos fornece uma abordagem razoável para o problema e poderia já servir como base para ações de melhoria. Entretanto, de acordo com nossa proposta, desenvolveremos um outro modelo, estocástico, apresentando como principal vantagem a capacidade de modelar também as variabilidades inerentes ao problema, sendo assim mais “realístico”. Para validar. XXXVIII SBPO. [ 132 ].

(3) XXXVIII SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL Pesquisa Operacional na Sociedade: Educação, Meio Ambiente e Desenvolvimento. 12 a 15/09/06 Goiânia, GO. nossas proposições, apresentaremos alguns resultados de um problema real encontrado em uma planta industrial, onde este trabalho foi motivado e realizado. Isso nos proporcionou a possibilidade de um ambiente favorável ao estudo e também a oportunidade de validar o modelo proposto, mas, em contrapartida, apresenta algumas limitações em relação à generalização das conclusões. No entanto, são vários trabalhos construídos sob esta metodologia, cada um com sua peculiaridade. Assim, visamos contribuir com um novo estudo, que possa servir de base para intervenções futuras em situações semelhantes às abordadas aqui.. 1. Descrição e delimitação do problema Considere uma linha de produção qualquer composta por n estágios P1,...,Pn . Considere também n operadores O1,...,On e que cada estágio possui um operador, sendo que o mesmo é responsável pelas transformações do produto e/ou pela supervisão da(s) máquina(s) que as fazem. Um operador k qualquer é, por padrão, alocado no posto k. Neste trabalho, vamos considerar estágio e posto de trabalho como sinônimos. Assim, chamaremos este operador k de dedicado se ele é capaz de operar somente o posto k ou de polivalente se ele capaz de operar pelo menos um outro posto além do k. Considere também que cada posto Pk pode ser operado por qk operadores. Utilizaremos a seguinte notação: Pk ⇐ {O a ,...,O b } , o que quer dizer que o posto qk pode ser operado que pelos qk operadores Oa , ..., O b . A título de observação, se qk =1 temos que a=b=k, o que representa a situação onde o posto k só pode ser operado pelo operador k e conseqüentemente este operador k é do tipo dedicado. Por exemplo, considere P2 ⇐ {O1 , O 2 ,O3 ,O 4 } . Temos então temos as seguintes formas possíveis de operar o posto 2: Com 1 operador apenas: O1 , O 2 , O3 , O 4 (4 combinações); Com 2 operadores: O1O 2 , O1O3 , O1O4 , O 2 O3 , O 2 O 4 , O3O 4 (6 combinações); Com 3 operadores: O1O 2 O3 , O1O 2 O 4 , O1O3O 4 , O 2 O3O 4 (4 combinações); Com 4 operadores juntos: O1O 2 O3O 4 (1 combinação); Assim, como generalização, temos que o número de modos diferentes de operação do posto k é (onde n Cp representa a combinação de “n” operadores tomados “p” a “p”):. q k + q k C 2 + qk C 3 + ... + q k C qk −1 + 1 =. qk. ¦ i=0. qk. Ci. (1). Com um número razoável de operadores polivalentes, ou seja qk diferente de 1 para a uma boa parte dos postos, o resultado apresentado em (1) torna-se muito grande, afinal o mesmo considera todas as situações possíveis de trabalho para o posto k em questão, englobando situações pouco aplicáveis, por exemplo, onde todos os operadores polivalentes trabalham ao mesmo tempo em um mesmo posto enquanto, obrigatoriamente, os demais postos (onde esses operadores são os operadores padrões) estarão parados. Somado a pouca aplicabilidade, de acordo com nossa vivência no chão de fábrica, teríamos uma maior dificuldade de modelagem (e provavelmente de resolução) desse problema como um todo, ou seja, considerando todos os postos e todos os operadores. Assim, limitaremos nosso trabalho para uma análise do problema mais simples e elementar: dois postos, sendo o primeiro (seja o posto i) operado por um operador dedicado e o segundo (seja o posto j) operado por um operador que, além de operar seu posto (onde ele é o operador padrão), seja capaz de operar também o posto i. Acreditamos que é importante focar o trabalho principalmente porque boa parte dos programas de polivalência lidam com a polivalência a pares.. XXXVIII SBPO. [ 133 ].

(4) XXXVIII SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL Pesquisa Operacional na Sociedade: Educação, Meio Ambiente e Desenvolvimento. 12 a 15/09/06 Goiânia, GO. Além disso, os modelos apresentados podem ser expandidos para um número maior de postos e/ou de operadores (dedicados e polivalentes). Assim, acreditamos que focalização do trabalho permite que nossa metodologia seja mais simples, concisa e suficiente para o caso real que motivou o estudo. Fixado o contexto de estudo, definimos agora um tempo de ciclo para cada posto de trabalho i e j ocupado pelos seus operadores padrão, i e j., seja t i e t j (observe a Figura 1a). Esses tempos representam o tempo de transformação de uma unidade do produto no posto correspondente. Técnicas para o cálculo podem ser fartamente encontrada na literatura de estudos de tempos e métodos (vide Fernandes e Dalalio, 2000). Definiremos também um tempo de ciclo t. i que representa a situação onde os dois operadores i e j trabalham ao mesmo tempo no posto i (observe a Figura 1b). Nesta situação o posto j fica parado. Consideraremos a hipótese de rodízio de trabalho, ou seja, operador i alocado j e operador j alocado i, se, e somente se, as performances forem idênticas. Neste caso, é suficiente apenas uma permutação da notação para recaímos no neste contexto. Oi. Oj Oi. Pi. Pi. Oj Pj. (a). Pj. (b). Figura 1: Modos de operação: cada operador em seu posto (a) e os operadores juntos (b).. Além disso, considere também que esta linha de produção é responsável pela produção de diferentes tipos de produtos. Admitindo que o tempo de tratamento de cada tipo de produto é diferente, é preciso então definir um tempo de ciclo para cada tipo de produto. Observe também que algumas variações do mesmo produto, mas que impliquem em diferentes tempos de tratamento, podem ser perfeitamente classificadas como diferentes tipos. Estamos interessados em linhas onde temos uma situação de não igualdade desses tempos de ciclo nos postos i e j, e teremos como consequência direta a presença de estoque. Apesar da existência de estoques ser mais evidente quanto os postos i e j são subseqüentes, eles estarão presentes mesmo se os postos não o forem. Além disso, pode-se observar ociosidade nos postos mais rápidos, principalmente se a existência de estoque for dificultada pela configuração da linha (e.g. falta de espaço físico). Entretanto não esperamos encontrar situações onde a diferença entre os tempos de ciclo sejam gritantes, situação esta que pediria, um balanceamento da linha. Estamos sim interessados em explorar os desequilíbrios dos tempos de ciclo, especialmente em situações em linhas que processam diferentes tipos de produtos ou mesmo linhas de produção mais complexas, compostos por vários fluxos, o que resulta geralmente em tempos de ciclo diferentes. De fato, é comum haver diversos fluxos formando os níveis de produção que, pensando em um ambiente MRP (Material Requirements Planning), formam os sub-produtos e estes, por sua vez, o produto final. Evidentemente que, neste caso, não teríamos uma “linha”, mas sim várias, normalmente sendo uma principal, e as demais periféricas. No entanto nós usaremos o termo “linha de produção” para designar qualquer que seja a configuração do chão de fábrica. Construiremos nossos modelos baseando-se na idéia de utilizar o estoque entre os postos i e j como um amortecedor, permitindo que o operador polivalente j trabalhe no posto i em determinados momentos visando um ganho de tempo para toda a linha. Assumimos que o tempo de ciclo no posto i quando operado pelos operadores i e j é menor que quando operado somente pelo operador i e j. Na seção seguinte desenvolveremos um modelo determinístico para o problema. Entretanto, por sua natureza estocástica, em poucas situações um tempo de ciclo possui um valor fixo. Mesmo em atividades mecanizadas, uma variabilidade ainda é percebida seja devido a atuação de agentes ou fenômenos externos ou mesmo devido a variância intrínseca dos elementos. O modelo estocástico, como veremos, é capaz de modelar estas incertezas.. XXXVIII SBPO. [ 134 ].

(5) XXXVIII SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL Pesquisa Operacional na Sociedade: Educação, Meio Ambiente e Desenvolvimento. 12 a 15/09/06 Goiânia, GO. 2. Modelo matemático determínistico Para este modelo, assumiremos um tempo de processamento fixo para cada posto e para cada tipo de produto. Para simplificar nossa abordagem, consideraremos a capacidade de estocagem entre os postos infinita, o que não representa nenhuma restrição ao nosso modelo visto que o mesmo buscará sempre reduzir os estoques, pois o deslocamento do operador j para o posto i é favorecido quando esse estoque é alto e, uma vez fora do seu posto, este estoque obrigatoriamente diminuirá. Para a nossa abordagem, é conveniente quantificar o estoque em tempo, e não em produtos como usualmente é feito. Assim, ao fim da produção de um produto qualquer p avaliaremos a variação do estoque, determinada pela diferença entre os tempos de ciclos dos postos i e j para esse produto p. Em situções de ausência do operador j no posto j , essa variação é negativa e igual ao tempo de ciclo do posto i operado pelos operadores i e j. Além disso, nós discretizaremos o tempo não em espaços de tempos bem definidos (e.g. um dia), mais sim ao fim do tratamento do produto p no posto i. As decisões de deslocamento do operador j serão válidas no início da produção do produto p no posto i até o fim da mesma e vamos admitir que são fielmente seguidas. Para tornar isso possível, introduziremos um tempo de deslocamento para o operador j. 2.1. Modelo matemático proposto Vamos trabalhar com um modelo simples de Programação Inteira (IP), que visa minimizar o tempo de produção de P produtos (e.g. um lote). Temos duas situações possíveis: na primeira, cada operador trabalha no seu posto. Nesta situação, podemos determinar a quantidade de estoque produzida, a cada produto, através da diferença entre os tempos de ciclo do posto i e j. Na segunda, ambos operadores trabalham no posto i, ficando o posto j parado. Nota-se que esta situação apenas é possivel se, e somente se, houver estoque entre os postos. Como usualmente feito em problemas de alocação, usaremos variáveis binárias para modelar esse deslocamento, representando as únicas variáveis de decisão do problema. Além disso, consideramos um tempo para cada deslocamento do operador j em direção ao posto i, compreendendo a ida e a volta. É importante notar que este deslocamento interfere diretamente apenas na produção do posto j, e por conseqüência na formação dos estoques. Estes, por sua vez, interferem na produção do posto i, apenas quando há um deslocamento o operador j ao posto i, para acelerar a produção deste posto. Entretanto, esses estoques devem existir, a fim de evitar que o posto i páre, constituindo assim uma limitação ao deslocamento. Feito essas considerações, chegamos ao modelo seguinte: Minimizar:. P. ¦ ( (1 − d. p. p =1. Sujeito à:. s p −1 + (1 − d p ) ǻc' p + d p ǻc" p = s p s p ≥ ss. Onde:. XXXVIII SBPO. ) t'i, p + d p t"i, p ). ∀p = 1,..., P. (2). ∀p = 1,..., P. (3) (4). d p ∈ {0,1}. (5). ǻc' p = t'i, p − t j, p. (6). ǻc" p = − ( t" i, p + d p (1 − d p −1 ) dd ). (7). [ 135 ].

(6) XXXVIII SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL Pesquisa Operacional na Sociedade: Educação, Meio Ambiente e Desenvolvimento. 12 a 15/09/06 Goiânia, GO. A função objetivo (2) minimiza a soma dos tempos de produção no posto i. As variáveis de decisão dp representam o deslocamento ou não (1 ou 0 respectivamente) do operador j em direção ao posto i no momento que o produto p for tratado no posto i. Temos como parâmetros os tempos de tratamento do produto p: t i, p operador i sozinho no posto i, t. i, p operadores i e j trabalham juntos no posto i, t j, p operador j no posto j. Além disso, temos o estoque mínimo de segurança ss entre os postos e o tempo dd de deslocamento total (ida/volta) do operador j entre os postos i e j. Em (6) e (7) definimos as taxas de variação do estoque, ou seja a variação de estoque entre os fins dos produtos p-1 e p, que são creditadas (ou debitadas) em s p (3). Na primeira situação temos uma formação de estoque, variação positiva, igual à diferença dos tempos de ciclo t i, p e t j, p. Essa formação de estoque é creditada em s p toda vez que dp for igual a 0 (não-deslocamento). Na segunda situação, dp igual a 1, observamos uma variação negativa igual a t. i, p visto que o posto j se encontra parado. Além disso, nesta situação, debitamos também em (3) o deslocamento total dd, uma só vez. Devidos às características do problema e do modelo podemos fazer a seguinte observação (não demonstraremos): quanto maior o horizonte de planejamento, melhor será a solução. Ou seja, a solução de um problema com P produtos é no máximo igual à soma das soluções de n problemas, com P n produtos cada.. 3. Modelo matemático estocástico 3.1. A programação estocástica A programação linear é uma ferramenta adequada para lidar com uma ampla diversidade de problemas, motivando seu estudo nos últimos 50 anos. Entretanto, há circunstâncias que as hipóteses assumidas pela PL não são convenientes, principalmente no que tange às entradas dos modelos, conforme propõe Kall e Mayer (2005). A LP trabalha com valores determinísticos para os dados de entrada, idem para a programação inteira, o que em certas circunstâncias pode levar a uma solução equivocada, mesmo quando eles são construídos através de boas técnicas de estimação. De fato, a forma atual mais conveniente para lidar com a incerteza seria o uso de variáveis aleatórias. Entretando, atualmente a abordagem mais comum é substituição destas variaveis por um valor fixo, normalmente sua média, o que pode levar a falsas respostas, principalmente em contextos onde a variabilidade dos dados é significativa. Como neste trabalho lidamos com dados que são estocásticos em sua natureza (e.g. tempo de processamento de um produto), acreditamos que essa variabilidade não é desprezível. Assim, desenvolveremos uma abordagem baseada na programação estocástica. No caso da programação estocástica linear (SLP), esta abordagem consisti em dividir os dados de entrada, no conjunto de restrições, em uma parte deterministica A , como na LP, e em uma outra parte probabilística T , da seguinte maneira : Minimizar:. cT x. Sujeito à:. Ax ≥ b Tx ≥ h. (8). x≥0 E finalmente, fixando uma probabilidade de 95 % para os dados aleatórios, por exemplo, temos:. XXXVIII SBPO. [ 136 ].

(7) XXXVIII SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL Pesquisa Operacional na Sociedade: Educação, Meio Ambiente e Desenvolvimento. Minimizar: Sujeito à:. cT x Ax ≥ b. 12 a 15/09/06 Goiânia, GO. (9). P {Tx ≥ h} ≥ 0.95 x≥0. Este último modelo apresentado em (9) é chamado de modelo de programação linear com restrições probabilísticas (PCLP) por ser composto por um programa linear e também possui restrições probabilísticas, que são não-lineares. Cheon et al. (2005) nos apresenta uma definição mais formal para o mesmo. Assim, considerando o PCLP apresentado abaixo, temos: Minimizar: Sujeito à:. cT x Ax ≥ b. (10). P {Tx ≥ ξ ( w)} ≥ α x≥0. Onde x ∈ \ n é um vetor de variaveis de decisão e os parâmetros c ∈ \ n , A ∈ \ p×n , b ∈ \ p e T ∈ \ m×n representam os dados determinísticos do problema. Os dados estocásticos são representados pelas inequações P {Tx ≥ ξ ( w)} ≥ α , onde w é um vetor de variáveis aleatórias do espaço de probabilidade (Ω, Σ, Ρ) , ξ : Ω 6 \ m é a função que faz a relação entre os eventos e um vetor de valores, P{S } denota a probabilidade do evento S ∈ Σ medido através de Ρ e α ∈ (0,1) é um escalar. É importante notar que nenhuma condição é imposta a w, ou seja, as variáveis aleatórias podem tem o formato que for necessário (e.g. contínuas ou discretas), de acordo com o problema. Evidentemente, como discutido, nosso problema é inteiro. Assim, no lugar de PCLP teríamos um modelo do tipo PCIP: programação inteira com restrições probabilísticas. Entretando, mantivemos a discussão sobre estocasticidade em modelos de LP, por tratar-se do caso geral. Os passos seguidos (divisão das restrições em determínisticas e estocásticas) são idênticos. Procederemos portanto da seguinte maneira: os dados de entrada t i, p , t. i, p , t j, p e dd são então substituídos pelas variáveis aleatórias T i, p , T. i, p , T j, p e DD. O parâmetro de entrada estoque mínimo de segurança ss continua fixo. Temos assim o modelo seguinte: Minimizar:. P. ¦ ( (1 − d. p. p =1. Sujeito à:. ) T'i, p + d p T"i, p ). S p −1 + (1 − d p ) ǻC' p + d p ǻC" p = S p. P ( S p ≥ ss) ≥ 0.95. Onde:. XXXVIII SBPO. ∀p = 1,..., P. (11). ∀p = 1,..., P. (12) (13). d p ∈ {0,1}. (14). ǻC' p = T'i, p − T j, p. (15). ǻC" p = − ( T" i, p + d p (1 − d p −1 ) DD ). (16). [ 137 ].

(8) XXXVIII SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL Pesquisa Operacional na Sociedade: Educação, Meio Ambiente e Desenvolvimento. 12 a 15/09/06 Goiânia, GO. Como no modelo determinístico, a função objetivo (11) minimiza a soma dos tempos de produção no posto i e as variáveis de decisão dp representam o deslocamento ou não (0 ou 1 respectivamente) do operador j em direção ao posto i no momento que o produto p for tratado. Como novidade temos a restrição (13) fixa a probabilidade de ruptura em 5 % no máximo. Observe que as variáveis S p , ¨C p e ¨C. p são calculadas em função das variáveis aleatórias de entrada, também são variáveis aleatórias. De fato, é graças a isso que faz sentido a restrição (13). No entanto, a função objetivo (11) é uma soma de variáveis aleatórias e, portanto, também é uma variável aleatória, o que foge dos modelos PCIP. Assim, afim de adequar nosso modelo e baseando na idéia da abordagem de problemas de SP do tipo valor esperado (EV, expected value) (Di Domenica et al., 2003), passamos então como objetivo minimizar a expectância da função objetivo (11). Desta forma, a função objetivo será substituída pela seguinte: Minimizar:. P ªP º Ε « ¦ ( (1 − d p ) T'i, p + d p T"i, p ) » → ¦ (1 − d p ) Ε ª¬T'i, p º¼ + d p Ε ª¬T"i, p º¼ p =1 ¬ p =1 ¼. (. ). (17). Uma atenção especial deve ser dada no momento que o modelo é rodado, no que tange à geração dos valores segundo as variáveis aleatórias. De fato, pensando nas iterações do branch-andbound, a cada momento que o algoritmo muda de nó pesquisado, seria necessário gerar novamente todas as variáveis aleatórias e avaliar se esse nó ainda contém uma solução factível, ou seja, se as restrições probabilísticas continuam satisfeitas. Esta abordagem é conhecida na literatura como problemas do tipo multi-stage. Nesta abordagem, conforme discute Di Domenica et al. (2003), o vetor de variáveis aleatórias w, vide modelo (10), passa a seguir um processo estocástico ao longo da evolução do branch-and-bound, e caso as probabilidades ȟ(w) sejam discretas, por exemplo, é possível representar as seqüências de satisfação das restrições probabilísticas através de árvores. Ao final dessa árvore, temos o que é chamado de cenários possíveis para o problema em questão (vide Figura 2 – a notação utilizada neste trabalho é ligeiramente diferente àquela da figura). Assim, em cada “barra” temos os valores gerados a partir de w e, ao fim da enumeração, temos cada cenário Ȧ explicitado.. Figura 2: Árvore de evolução para o problema multi-stage (Di Domenica et al., p. 22, 2003).. XXXVIII SBPO. [ 138 ].

(9) XXXVIII SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL Pesquisa Operacional na Sociedade: Educação, Meio Ambiente e Desenvolvimento. 12 a 15/09/06 Goiânia, GO. Problemas multi-stage são complexos de resolver, e geralmente são computacionalmente pesados. Para uma discussão de complexidade em programação estocástica, ver Shapiro, A. e Nemirovskiy (2004). Assim, nós nos limitaremos ao caso mais simples, conhecido como singlestage, que, na Figura 2, corresponde ao primeiro estágio. Deste modo, geraremos os valores das variáveis aleatórias no início da execução do modelo e os manteremos fixos ao longo da execução. 4. Validação do modelo e resultados Para validar nossa metodologia, aplicamos os modelos discutidos em um caso real de uma planta industrial de um grupo de fabricação e transformação de vidros, presente em diversos continentes, atuando diversos setores, desde embalagens para produtos alimentícios a pára-brisas usados em veículos. Aplicaremos o modelo em uma moderna linha de uma planta utilizada para a produção de dupla vitragem isolante. Consideramos em nossas simulações um estoque de segurança igual a 18 segundos (valor médio do tempo de ciclo do posto j) e um tempo de deslocamento (ida e volta) fixo e igual a 10 segundos. Este último foi fixado pois verificamos que sua variabilidade era muito baixa. Partimos sempre da solução trivial (cada operador em seu posto) como inicial, ou seja, com todas as variáveis dp iguais à 0. As soluções ótimas apresentadas são os valores da função objetivo, tendo em vista que a implementação da metodologia no chão de fábrica será o próximo passo do projeto. Os produtos foram classificados em 6 classes diferentes, cada uma possuindo sua variável aleatória que denota os diferentes tempos de ciclo. Usamos o solver do Microsoft Excel® para a implementação computacional por tratar-se de um programa já usado pela empresa e portanto sem custo adicional algum. Além disso, o utilizaremos também para a geração das variáveis aleatórias. A caracterização dessas variáveis aleatórias representa uma parte crítica, intermediária entre a coleta de dados e a implementação do modelo. Assim, cuidados com os procedimentos de amostragem (especialmente com a representatividade) e de ajustamento dos dados, por exemplo, devem ser seguidos. Para uma discussão sobre geração de variáveis aleatórias no Microsoft Excel® ver (Duczmal et al., 2003). Assumiremos que essas variáveis são independentes. Essa hipótese torna os cálculos notadamente mais simples mas, entretanto, algum cuidado deve ser tomado ao fazê-la. Para tanto, baseamos nas seguintes características do problema: os postos são independentes um do outro, exceto obviamente que o posto i é cliente do posto j. Entretanto, conforme discutido, a relação entre estes postos dá-se por um estoque de amortecimento que, durante nossas diversas coletas de dados, sempre esteve presente. Escrito de outra forma, o posto j produz para o estoque enquanto o posto i utiliza deste estoque para produzir. Infelizmente, por limitação do solver utilizado, tivemos que limitar o nosso horizonte de planejamento a 100 produtos, pois o Microsoft Excel® é capaz de lidar com problemas cujo número de células variáveis na planilha seja no máximo igual a 200. Os resultados da aplicação do modelo determinístico, sendo três instâncias com o número máximo de produtos, são apresentados abaixo na Tabela 1. Para o modelo estocástico, que para efeito de comparação foi rodado com os mesmos produtos, os resultados são apresentados na Tabela 2. 1~PHURGH SURGXWRV . 6ROXomRLQLFLDO VHF

(10) . 6ROXomRRWLPD VHF

(11) . 0HOKRUD

(12) . 7HPSRGHEXVFD 'HVSUH]tYHO VHF PHVHF PHVHF PHVHF. Tabela 1: Resultados do modelo determinístico.. XXXVIII SBPO. [ 139 ].

(13) XXXVIII SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL Pesquisa Operacional na Sociedade: Educação, Meio Ambiente e Desenvolvimento. 1~PHURGH SURGXWRV . 6ROXomRLQLFLDO VHF

(14) . 6ROXomRRWLPD VHF

(15) . 12 a 15/09/06 Goiânia, GO. 0HOKRUD

(16) . 7HPSRGHEXVFD VHF VHF PHVHF KVHP PHVHF. Tabela 2: Resultados do modelo estocástico.. Esses resultados foram obtidos com um computador portátil Dell® Latitude® equipado com um processador Pentium® M 740 (1,73 GHz) e com 512 MB de memória RAM, utilizando o sistema operacional Windows® XP SP2. A Figura 3 apresenta o valor da média das variáveis aleatórias e a Figura 4 apresenta os valores gerados (no modelo estocástico) a partir da variável aleatória T j, p , o que nos permite ter uma idéia da variabilidade deste tempo de ciclo. A Figura 5 apresenta uma classificação dos 370 produtos em função de seu tipo. 38. 20. T"i. 28. %. Tempo (sec.). T'i. 10. Tj 18. 0 1. 2. 3 4 Tipo produto. 5. 6. Figura 3: Média das variáveis aleatórias.. 10. 20. 30. Tj. Figura 4. Histograma dos valores gerados de Tj. Observe que os valores das soluções iniciais diferem muito pouco nos dois tipos de modelos. Isto é explicado pelo fato das estimações dos 20 parâmetros (no modelo determinístico) terem sido feitas pela média observada e também pelo fato de termos utilizado a distribuição normal para a 10 modelagem dos dados de entrada no modelo estocástico. Como a distribuição normal é uma 0 distribuição simétrica e centrada na média (ou 1 2 3 4 5 6 seja, média = mediana), é esperado que os desvios Tipo produto em relação à média se compensem quando Figura 5. Composição dos produtos testados. somados. %. 30. Escolhemos a distribuição normal porque a mesma apresentou um bom equilíbrio entre os ajustes dos dados amostrais (validados através de testes estatísticos) e das possibilidades computacionais dentro do ambiente de implementação escolhido. Utilizamos o teste do Qui-quadrado de aderência, já que optamos por agrupar os dados em classes (tipos de produto). Em um primeiro olhar, um ganho de 4,1 % de tempo (média aritmética das melhoras do modelo estocástico com número de produtos igual a 100) pode parecer insuficiente para justificar um estudo como este. Entretanto, essa melhora significa teoricamente quase 20 minutos por dia e por equipe, considerando uma jornada de 8 horas. Isto implicaria, monetariamente, em um incremento no faturamento diário de 3.600¼, com 2 equipes/dia e supondo um tempo de produção e preço de venda médios de 22 sec. e 30¼ para cada produto, respectivamente. Considerando que a produção média atual de 2500 produtos/dia, esses 3.600¼ representariam um aumento, nada. XXXVIII SBPO. [ 140 ].

(17) XXXVIII SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL Pesquisa Operacional na Sociedade: Educação, Meio Ambiente e Desenvolvimento. 12 a 15/09/06 Goiânia, GO. desprezível, de quase 5 % do faturamento. É fácil inferir que a maior parte desses ganhos são obtidos com os produtos do tipo 4, 5 e 6, pois os mesmos apresentam uma evidente diferença entre os tempos de ciclo no posto i e j (vide Figura 3). Observe também que esses tipos de produtos representam apenas cerca de 20 % do total fabricado (vide Figura 5).. 5. Conclusões e futuros trabalhos Neste trabalho discutimos um problema de otimização da produção de chão de fábrica composto por equipes com algum grau de polivalência. A idéia deste trabalho surgiu de um problema real de uma planta industrial, onde nossos modelos foram inspirados e desenvolvidos. Nossa idéia de base foi tirar proveito da diferença dos tempos de ciclo de dois postos (sendo um operado por um operador polivalente) procurando assim determinar quais são os momentos que o operador polivalente do posto mais rápido deve deslocar-se em direção ao posto mais lento, trabalhando ali por algum instante de tempo reduzindo assim o tempo de ciclo deste, acelerando assim toda a linha. Vale lembrar que esse deslocamento só é possivel graças à existência do estoque entre os postos, garantindo assim que a linha não pare. Acreditamos que os modelos são simples e as hipóteses assumidas condizentes com a realidade estudada. Apenas o modelo estocástico, que apresenta em sua formulação a idéia de restrições probabilísticas, ainda pouco usual, pode representar alguma novidade. Por sua capacidade de lidar melhor com a incerteza, acreditamos que essa alternativa mereceria ser privilegiada sempre que possível, extendendo-a inclusive para outros problemas. Com esta perspectiva, esse trabalho também colabora em apresentar mais um exemplo de caso real resolvido via programação estocástica. Acreditamos ser enriquecedor mesmo para aqueles que já conhecem a técnica. Uma dificuldade evidente que tivemos consiste na resolução do problema pelo solver utilizado. De fato, para o maior problema simulado, de 100 produtos, temos portanto 100 variáveis binárias e conseqüentemente, para o pior caso, 2100 soluções a serem pesquisadas, aproximadamente 1030. Para problemas deste tamanho e aplicando o modelo estocástico, o Microsoft Excel® precisou de cerca de 37 minutos, na instância mais rápida, para encontrar a solução ótima. Esses tempos de computação são claramente proibitivos para um ambiente de chão de fabrica. Para ter uma idéia, o tempo de produção esperado dos 100 produtos na linha é de 37 minutos (média das soluções iniciais). Outros solvers mais conhecidos, como o CPLEX e o GLPK, para problemas de mesmo tamanho, precisam geralmente de alguns segundos para encontrar a solução ótima1. Seja por velocidade ou mesmo para que sejamos capazes de trabalhar com um horizonte de planejamento mais longo (ou seja, mais produtos), será necessário trocar de solver. Acreditamos que o fato de termos estudado o problema com apenas dois postos, sendo apenas um operador polivalente, não restringe a aplicabilidade da nossa metodologia, pois os modelos apresentados podem ser expandidos. Pretendemos, de fato para o futuro, aumentar ligeiramente o número de postos e de operadores, para 3 cada. Além disso, sabendo que formar um operador polivalente é mais caro que um dedicado (e geralmente mantê-lo também é) pensamos em utilizar o modelo para avaliar os retornos esperados da polivalência e portanto investir nela em postos onde o retorno esperado é maior. Também como passos futuros desta pesquisa, pretendemos entrar no nível do seqüenciamento da produção, ou seja, ter conta no momento da geração das ordens de produção, a otimização do chão de fábrica composto pela equipe polivalente. Um seqüenciamento ótimo seria aquele que minimizaria o tempo total de produção através de um correto posicionamento do(s) operadore(s). 1. Por exemplo, Souza et al. em “Modelos matemáticos para a alocação de peças a embalagens no abastecimento de linhas de montagem”. Anais do XXXVI SBPO 2004, p.962-969, citam que resolveram com o CPLEX seis instâncias de um problema com 573 variáveis binárias cujos tempos de execução são da ordem de frações de segundos.. XXXVIII SBPO. [ 141 ].

(18) XXXVIII SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL Pesquisa Operacional na Sociedade: Educação, Meio Ambiente e Desenvolvimento. 12 a 15/09/06 Goiânia, GO. polivalente(s). Certamente esse problema terá novas restrições, por exemplo, da evacuação dos produtos acabados e da logística de entrega caso alguma ordem de passagem precise ser obedecida. Assim, como no caso de expansão do número de postos e operadores, este novo problema tenderá a possuir um número maior de variáveis binárias, que são comumente utilizadas em problemas de seqüenciamento e de alocação como o nosso. Isso talvez torne inviável sua resolução via métodos ótimos. Portanto, poderá ser necessário abrir mão da otimalidade e partir para o desenvolvimento de heurísticas visando obter soluções de boa qualidade em baixo tempo computacional.. Agradecimentos O autor agradece à CAPES (Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior) do Ministério da Educação pelo apoio financeiro na sua graduação sanduíche na ESIEE/Amiens, França, no âmbito do programa BRAFITEC, processo BEX 2179/05-9.. Referências Biazzi Jr, F. (1994) “O Trabalho e as Organizações na Perspectiva Sóciotécnica”. Revista de Administração de Empresa, vol. 34(1), p.30-37. Cheon, M. S., Ahmed, S. e Al-Khayyal, F. (2005) “A Branch-Reduce-Cut Algorithm for the Global Optimization of Probabilistically Constrained Linear Programs”. Stochastic Programming E-Print Series, vol. 2005, disponível em: http://speps.org/ Correa, H.L.; Gianesi, I.G.N. e Caon, M. (2001) Planejamento, Programação e Controle da Produção: MRP II-ERP: Conceitos, Uso e Implantação. 4° ed. São Paulo: Atlas. Di Domenica, N., Birbilis, G., Mitra, G. e Valente, P. (2003) Stochastic Programming and Scenario Generation within a Simulation Framework: An information Systems Perspective. Relatório Técnico CTR/26/03. Department of Mathematical Sciences and Department of Economics and Finance of Brunel University, Uxbridge, England, 41p. Duczmal, L.H.; Bessegato, L.F.; Santos, M.A.C.; Ferreira Neto, S.J. (2003) Introdução às Técnicas de Simulação em Estatística. Relatório Técnico RTE-04/2003. Departamento de Estatística do ICEx/UFMG, Belo Horizonte, Brasil, 44p. Fernandes, F.C. e Dalalio, A.G. (2000) “Balanceamento e Rebalanceamento de Linhas de Montagem Operadas por Grupos de Trabalho Autogerenciados”. Gestão e Produção, vol. 7(3), p.378-398. Kall, P. e Mayer J. (2005) Stochastic Linear Programming. 1° ed. New York: Springer. Santos Jr, J. A. (2001) Um Modelo de Dimensionamento e Distribuição de Operadores Polivalentes em Célular de Manufatura Direcionado às Empresas com Processos Repetitivos em Lotes. Dissertação de Mestrado em Engenharia de Produção. UFSC, Florianópolis, Brasil, 158p. Shapiro, A. e Nemirovskiy, A. (2004) “On Complexity of Stochastic Programming Problems”. Optimization Online, Outubro/2004, disponível em: http://www.optimization-online.org/ Vollmann, T.E.; Berry, W.L. e Whybark, W.L. II. (1997) Manufacturing Planning and Control Systems. 4° ed. New York: McGraw-Hill.. XXXVIII SBPO. [ 142 ].

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