Docentes, , Vasco M. Penete Page 1 1. Dados os vectores = 3 − 2 + 6 = − − 6 − 9 , determine,
a) O modulo de 2 − 3
b) O modulo do vector U, de modo que - − − = 0 c) −
d) Verifica se os vectores Z e P são vectores Unitarios.
1. Dois vectores cujos modulos são 6 e 9 Unidades de comprimento Formam um ângulo a) 0 b) 60 c) 90 d) 150 . Determine o modulo da soma destes Vectores.
2. Determine o módulo da diferença entre dois vectores de 8 e 10 unidades de comprimentos que formam um angulo de a) 60 b) 90 .
3. Um vector que está no plano XY tem modulo 16 unidades e faz um ângulo = 30 com o eixo Y Negativo. Quais são as componentes X e Y?
4. Encontre o ângulo e o Produto Escalar e Produto Externo entre os vectores, a) = 2 + 2 + 4 = 4 + 2
b) = 3 − 4 − 2 = −2 + 3 − 2 c) = 4 + 8 − 4 = 4 + 2 - 2 d) = −9 + 4 − 6 = −8 + 2 − ) = 4 + + 3 = −2 + − 2
5. Sabendo que | | = 3, | | = √2 45 é o ângulo entre , então determine, | |
Universidade Zambeze
Faculdade de Ciência e Tecnologia
Disciplina: Física I
Tema: Mecânica como ciência. Operação com vectores
Ficha n0 1
Cursos: Engrias, Civil, e Informática Ano de 2016
Primeira Aula Prática, Exercícios: 1, 2, 3, 4 e 5a), 5e) ,6 e 7a) Segunda Aula Prática, Exercícios: 8,9,10,11,12, 13 e 14
Exercícios a serem resolvidos nas aulas práticas
Docentes, , Vasco M. Penete Page 2 6. São dados três vectores em metros, a saber, = − + 2 + 2 , = −2 − 4 +
2 = 2 + 3 + , então calcule,
a) . + ) . )
7. Calcular os cossenos e ângulos directores do vector, = 2 − 2 + 3
8. Os ângulos directores de um vector qualquer são, , = 60 = 45 . Determine 9. a)Dois vectores de comprimentos a e b fazem entre si um ângulo . Prove calculando as
componentes dos vectores em relação a tres eixos perpendiculares, que o comprimento da soma dos dois vectores é dado por, = √ + + 2 .
10.b) repita o Exercicio anterior usando Dois Eixos Perpendiculares.
11.Mostre que os vectores, = 2 + 3 − 3 = 3 + + 3 , são perpendiculares. 12.Mostre que os vectores, = − 3 + 2 = −4 + 12 − 8 , são paralelos
II. Derivadas e Integrais
13..Dadas as funções, ( ) = 8 + ( ) = − , determine, a) b)
16 Dadas as funções, ( ) = . ( ) = (1 − ), onde , são constantes, determine,
a) b)
14.Calcule as integrais indefinidos e definidos abaixo,
a) ) − ) (9 + 6 ) a) ) (2 + 6 ) )
Docentes, , Vasco M. Penete Page 3 1. O movimento de um ponto material é definido pela relação ( ) = − 15 + 36 −
10, onde x é expresso em metros e t em segundos. Determinar a posição velocidade e aceleração no instante 4s.
2. O movimento de um ponto material é definido pela relação ( ) = 2 − 3 + , onde X é expresso em metros e t em segundos. Determinar a velocidade e aceleração no instante 3 s.
3. A posição de uma partícula que se move em um eixo x é dada por ( ) = −2,1 + 9,2 + 7,8, com x em metros e t em segundos. Qual é a velocidade da partícula no instante 3,5s. A velocidade é Constante ou esta variando continuamente.
4. A posição de uma partícula no eixo x é dada por ( ) = 4 − 27 + , com x em metros e t em segundos.
a) Determine a função velocidade v(t) da partícula b) Existe algum instante para o qual a velocidade é nula?
5. Um corpo move-se ao longo de uma recta de acordo com a lei = + 2. Se no instante 2 segundos, x=4m, determine o valor de X quando t=3s. Determinar também a aceleracão no mesmo instante.
6. A aceleração de uma partícula ao longo de um eixo é = 4 , com t em segundos e a em m/s2.Em t=2s a velocidade da partícula é 17 m/s. Então qual é a velocidade da
partícula em t=4s.
7. A aceleração de um ponto material é definido por = , no SI de Unidades para t=0 s, v= 40m/s.
a) Determine a constante c quando t=4 s.
b) Encontre as equações que caracterizam o movimento sabendo-se também que x=6m quando t=2s.
Tema: Cinemática de um Ponto Material – Parte I
Ficha n0 2
Docentes, , Vasco M. Penete Page 4 8. A aceleracao de um corpo com o movimento retilineo é dada por = 4 − , onde a é dado em m/s2 e t em segundos. Obter as expressões para a velocidade e para o
deslocamento como funcões do tempo, sabendo que t=3s e v=2 m/s e x=9m.
9. Um corpo move-se ao longo de uma recta, sua aceleracao é = 4 , onde x é expresso em metros e a em m/s2. Obter a relacao entre a velocidade e a distancia, sabendo que para
x=0 m, v=4 m/s.
10. A aceleração de um ponto material é dada por = 8 + , onde x é dado em metros e a em m/s2. O ponto material parte com velocidade nula da posição x=0. Determine,
a) velocidade quando x= 5m
b) a posição onde a velocidade se torna outra vez igual a zero, c) a posição onde a velocidade é máxima
.
11. A aceleracao de um corpo com movimento retilineo é dado por = − , onde k é uma constante. Sabendo-se que para t=0s, x=xo e v=vo. Obter a velocidade e o deslocamento como funcões do tempo. Obter também a velocidade como funções de x.
12. Para um corpo com o movimento retilineo cuja aceleracao é dado por = 4 − . Obter a velocidade e o deslocamento como função de tempo e o deslocamento em função da velocidade, sabendo que para = = 0 = 4
Docentes, , Vasco M. Penete Page 5 1. Enuncie as três leis de Newton e deduza para duas partículas em interacção, as fórmulas para a segunda e a terceira lei partindo da condição de conservação de quantidade de movimento, isto é, + = . , = − .
2. Uma partícula de massa 2kg, sujeita a uma força = (10 + 2 + ) , move-se em linha recta. No instante = 0 , = 2 = 10 / . Determine a velocidade e a posição num instante qualquer.
3. Uma partícula de massa 10kg, move-se no plano , segundo a equação ( ) +
( ) = 1. Determinar, a velocidade, aceleração e a força exercida pela superfície como
função de tempo e no instante .
4. Um ponto material de massa 2kg, move-se no plano , sob acção de uma força constante cujas componentes são = 8 , = − 2 , quando = = =
= 0 = −4 / . Determinar a velocidade e a posição no instante 2 s.
Três blocos de massas = 45,2 = 22,8,0 = 34,3, estão apoiados por uma superfície Horizontal sem atrito .
a) Qual a força F necessária para empurrar os três Blocos para a direita como um só. Com aceleração de 1,32m/s2
b) Ache a força exercida pelas massas e
5. Um corpo de massa 100kg, move-se ao longo de plano de 450 de inclinação, sob acção de
uma força de módulo igual a 1300N, nas condições indicadas na figura 2. Desprezando o atrito, determine os valores da força normal e da aceleração do corpo.
Tema: Dinâmica de uma Partícula
Ficha n0 4
Ano de 2016
Figura 1 Corpos em Contacto Figura 2 Plano Inclinado
Docentes, , Vasco M. Penete Page 6 6. Determine a aceleração e a força de tensão com as quais as massas M e m se movem. Admita que a polia possa girar livremente ao redor do eixo O, e, despreze os possíveis efeitos devido a massa da polia, ver a figura 3.
7. A figura 4, mostra três corpos de massas = 4,0 , = 3,0 = 5,0 . Os corpos são da mesma substância. O atrito cinético entre as suas superfícies é 0,10. Determine a aceleração com que se movem os corpos e a reacção do corpo sobre , use g=10m/s2.
8. No pêndulo cónico (figura 5), a velocidade angular constante tem o valor de 4,0rad/s. O comprimento do pêndulo é de 1,16m. Determine o módulo da força de tensão na corda e o ângulo que ele faz com a vertical, para uma bola de massa igual a 12kg.
Figura 5 Pêndulo Cónico Figura 4 Interacção em una roldana
Docentes, , Vasco M. Penete Page 7 9. Enuncie a lei de conservação de energia total (mecânica) para um sistema onde actuam
forças conservativas.
10. O Bloco da figura 1, faz uma mola de constante elástica 420N/m comprimer-se 5m a partir do seu estado relaxamento (equilíbrio). Calcula o trabalho realizada pelo bloco.
11. Depois de deslizar com velocidade de 5m/s sobre uma superfície horizontal sem atrito, um bloco de massa 4kg, colide com uma mola de constante elástica 750N/m e começa a comprimi-la (figura 2). No instante qualquer, o bloco pára devido a força exercida pela mola. Determine então a distância d, percorrida pelo bloco depois do contacto com a mola.
12. Uma pequena esfera de massa m, inicialmente em A, desliza sobre uma superfície circular ABD, sem atrito, ver a figura 5.
13. Os vectores de posição e de velocidade de um corpo com 2kg de massa são das respectivamente por, = 5 + ( ) = 5 + 10 ( / ). Determine o momento de força (torque) em relação a origem do referencial no instante 10 s.
14. Os vectores de posição de um corpo com 3kg é dado em metros, por, = ( − 6 ) − 4 + ( + 2) . Determine,
a) A força que actua na partícula,
b) O momento de força ( ) relativamente a origem, Tema: Trabalho e Energia Ficha n0 5
Figura 1 Mola Comprimida Figura 2 Mola em via de ser Comprimida
a) Determine a velocidade com que a esfera chega a C
b) Demostre que quando a esfera está em C, a velocidade angular será, =
c) Determine a energia total (mecânica) no ponto C
Figura 3. Superfície Semi-Circular ABD B
D
C
Docentes, , Vasco M. Penete Page 8 c) A quantidade de movimento relativo a origem,
d) O momento angular da partícula relativo a origem e) Verifique que = =
15. Uma partícula desloca-se de um ponto A(20, 15, 0)m ao ponto B(0,0,0)m, sob acção das forças que lhe são aplicadas simultaneamente e, dadas por, = + 2 + 3 ( ) = 4 + 5 − 2 ( ).
a) Qual foi o trabalho realizado sobre a partícula? b) Qual foi a variação da energia cinética?
c) Determine o ângulo entre
16. Uma partícula está submetida a uma força = ( − ) + 3 ( ). Determine o trabalho realizado por esta força quando a partícula é deslocada do ponto (0, 0) ao ponto (2, 4), ao longo dos seguintes caminhos:
a) Eixo x de 0 a 2 e paralelo ao eixo y de 0 a 4 b) Eixo y de 0 a 4 e paralelo ao eixo x 0 a 2
17. Um automóvel sobe uma rampa com inclinação de 100, com velocidade constante de
50km/h. A massa do automóvel é de 1200kg. Desprezando o atrito, determine: a) O trabalho realizado em 5s;
b) A potencia desenvolvida pelo motor;
c) A potência desenvolvida pelo motor se, nas mesmas condições, o atrito dessipa 20% dessa potência.
18. Que força corresponde a uma energia potencial = − + ?
19. A energia potencial de uma partícula de 20kg de massa é dada por ( ) = − , onde = 2,0 / = 1,0 / . As condições iniciais são as seguintes: = 0,0 , (0) = 1,0 (0) = 3,0 / . Determine:
a) A expressão da força atuante em função de X b) A posição e o tipo de equilíbrio da partícula c) A velocidade da partícula na posição de equilíbrio.
Docentes, , Vasco M. Penete Page 9 1. Um observador mede as velocidades de duas partículas de massas e obtém, respectivamente os valores . Determine a velocidade do centro de massa relativamente ao observador. Determine também a velocidade de cada partícula relativamente ao CM.
2. Levando em consideração a figura 1, localiza o centro de massa das 5 partículas
mostradas, se = = = = = = 4
3. Localize o centro de massa de 3 partículas de massas = 2 , = 8 = 3 que se encontram nos vértices de um triângulo equilátero de 1m de lado.
4. Duas massas = 20 = 16 estão ligadas por uma barra rígida de massa desprezível. Estando inicialmente em repouso, elas são submetidas as forças, = 4 ( ) = 2 ( ), ver a figura 2.
a) Determine as coordenedas de centro de massa como função de tempo b) Expresse a quantidade de movimento total como função de tempo
5. Levando em consideração a figura 3, determine o módulo da aceleração e seu setido, se, sobre as três partículas de massas, = 4 , = 4 = 8 , actuam respectivamente forças externas, = 6 , = 14 = 12 .
6. Sobre três partículas de massas, = 8 , = 4 = 4 , actuam respectivamente forças, = 6 , = −6 = 4 . Sabendo que as coordenadas destas partículas são, (4,1), (−2,2) (1, −3), respectivamente. Calcular o vector posição e o valor da aceleração do centro de massa do sistema.
Tema: Sistema de Partículas Ficha n0 6 Figura3 Sistema de 3 Partículas XY(metro) 8
2
Figura 2 Sistema de duas partículas Figura 1 Sistema de cinco partículas
0 1 4 2 3 4 3 45 −2 −2 0 ( ) ( )
Docentes, , Vasco M. Penete Page 10 7. É dado um sistema de três partículas de massas, = 0,05 , = 0,01 =
0,015 . No instante = = 0, elas encontram-se nas posições (3,4,5), (−2,4, −6) (0,0,0). Quando uma força resultante externa dada por = 0,05 ( ) é aplicado, o sistema entra em movimento. Determine o centro de massa do sistema depois de 2 s
8. Duas partículas com massas 2 e 3 kg, estão se movendo em relação a um observador com velocidade de 5m/s ao longo do eixo X e 4m/s formando um ângulo de 1200 com o
semi-eixo OX positivo.
a) Exprima a velocidade de cada partícula na forma vectorial b) Determinar a velocidade de centro de massa
c) Determinar a velocidade de cada partícula em relação ao centro de massa d) Determinar a quantidade de movimento de cada partícula no referencial CM e) Determinar a velocidade relativa das partículas ( )
f) Calcule a massa reduzida do sistema
9. Um sistema é composto de três partículas com massas 3kg, 1kg e 2kg. A primeira tem uma velocidade de 3 ( / ), a segunda está se movendo a 4m/s numa direcção que faz 600 com o eixo OY. Determine;
a) A velocidade da terceira partícula de tal modo que o centro de massa do sistema esteja em movimento uniforme com velocidade 2 + ( / ), relativo a um observador inercial.
b) A velocidade desta partícula relativo ao referencial de centro de massa.
10. A massa A de 2kg desloca-se para a direita com uma velocidade = 15 ⁄ e a massa B de 1kg, move-se para cima com = 20 / . Determine;
a) A quantidade de movimento do corpo A em relação ao centro de massa do sistema b) A energia cinética do corpo A em relação ao centro de massa do sistema.
11. Uma massa de 20kg move-se sob acção de uma força = 100 ( ), onde t é o tempo em segundos. Se para = 2 , = 3 / . Determine para = 10 , a quantidade de movimento e a energia cinética do corpo.
Docentes, , Vasco M. Penete Page 11 1. Uma haste fina de 1,0 m de comprimento tem massa desprezível. Há 5 corpos colocados ao longo dela, cada um com 10 kg e situados a 0, 25, 50, 75 e 100 cm, respectivamente de uma extremidade. Calcule o momento de inércia do sistema em relação a um eixo perpendicular a haste que passa por:
a) Uma extremidade, b) Segunda massa, c) centro de massa, d) Verifique o teorema de Steiner, ou de eixos paralelos.
2. Demonstre que o momento de inércia de uma vara fina de comprimento L rolando em torno de um eixo localizado no centro e perpendicular ao comprimento é dado por I=1/12Ml2.
3. Usando o teorema do eixo paralelo mostre que o momento de inércia da mesma vara sobre um eixo localizado numa das extremidade e perpendicular ao seu comprimento é dado por I=1/3ML2
4. Três massas de 2 kg cada estão nos vértices de um triângulo equilíbrio de 100 cm de lado. a) Calcule o momento de inércia do sistema em relação a um eixo perpendicular ao plano do
triângulo que passa pelo centro de massa.
b) Usando o teorema de Steiner, determine o momento de inércia do sistema em relação um eixo perpendicular ao plano do triângulo que passa por um dos vértice.
5. Determine o momento de inércia de uma lâmina rectangular, fina e homogénea, em relação ao eixo-OX que passa pelo seu centro de massa, como mostra a figura 1.
6. Dois discos de mesmo raio R=0,40 m e de massas m1=7,0 kg e m2=21 kg podem girar
sem atrito em torno do mesmo eixo vertical (ver a fig. 2), inicialmente ambos os discos encontram-se em repouso. Sobre o primeiro disco actua, durante t=3 s, uma força tangencial e constante F=28 N. Depois o segundo disco é posto em contacto com o primeiro. Determinar a velocidade angular ω final dos discos.
Tema: Dinâmica do Corpo Rígido
Ficha n0 7
CM
m2
m1 F
Figura 2 Rotação dos discos Figura 1 Lâmina Rectangular
Docentes, , Vasco M. Penete Page 12 7. Considere o sistema da Fig. 3 com os seguintes dados: ( ) = 6 , =
0,3 ; = 0,6 ; = 50 = 150 . Determine:
a) A aceleração angular do sistema; b) A tensão em cada fio. 8. Uma esfera uniforme, de massa = 5 e raio = 10 , gira em torno de um eixo
vertical sem atrito. Uma corda leve (massa desprezível), que passa em torno “do
equador” da esfera e por uma polia de raio = , tem na outra extremidade, um pequeno objecto pendurado, de massa = 0,5 , como mostra a figura 4
a) Desenhe na figura todas as forças que actuam no sistema;
b) Determine a aceleração do objecto, inicialmente em repouso. Leve em consideração que,
( ) = 0,003 ( )=
9. Um cilindro maciço desce rolando num plano inclinado partindo da altura ℎ = 2 , como mostra a figura 5. Determine a velocidade do cilindro ao atingir a base do plano.
10. A polia da figura 6 tem raio = 0,5 e massa de 25 kg, e pode girar em torno do seu eixo horizontal. Um fio é enrolado a polia, tendo em sua extremidade livre uma massa de 10 kg. Determine:
a) a aceleração angular da polia, b) a aceleração linear do corpo, c) a tensão no fio.
M, R I, Ʈ
R
r
ℎ
Figura 5 Translação e Rotação do Cilindro
m m m2
m1
Figura 3 Duas Massas em dois discos Fixos Figura 4 Uma Esfera e uma Polia
Docentes, , Vasco M. Penete Page 13 11. Calcule a aceleração do sistema da fig. 7 sendo que o raio da polia é R, sua massa é M, e ela está girando devido ao atrito com o fio. Nesse caso, m1=50 kg, m2=200 kg, M==15 kg
e R=10 cm. (ICM=1/2MR2)
12. Uma roda gigante está submetida a um torque de 10 N devido ao atrito em seu eixo. O raio da roda é 0,60 m, sua massa é 100 kg e ela está girando a 175 rad/s. Determine: a) quanto tempo leva a roda para parar; b) quantas voltas ela dará antes de parar.
13. Uma roldana possui raio r=15 cm e momento de inércia em relação ao eixo de rotação central, igual a 1,0x105 g.cm2, sobre a periferia da roldana, aplica-se uma força tangencial
que varia com o tempo de acordo com a relação = 2 + , onde F está expresso em N e t em segundos. Sabendo-se que a roldana está inicialmente em repouso, determine: a) o módulo do torque para t=5 s; b) a aceleração angular para t=5 s, c) a expressão da velocidade angular em função do tempo; d) a velocidade angular para t=5 s; e) o valor da energia cinética de rotação para t=5 s.
14. Um disco com 0,5 m de raio e de 20 kg de massa gira livremente em torno de um eixo horizontal passando pelo centro. Aplica-se uma força de 9,8 N, puxando-se um fio enrolado em sua borda. Determine a aceleração angular do disco e sua velocidade angular após 2 s.
Figura 7 Translação na mesa e Rotação na Polia m1
Docentes, , Vasco M. Penete Page 14 1. Uma esfera uniforme de peso W e raio r está segura por uma corda fixa a uma parede sem átrio a uma distância L acima do centro da esfera, como se vê na figura 1. Determine:
a) a tensão da corda; b) a força exercida pela parede sobre a esfera.
2. Uma barra metálica uniforme, com 1 m de comprimento, tem seus extremos apoiados em duas balanças, como mostra a figura2. Se o peso da barra for de 2 kg, determine a leitura nas balanças.
3. Suponhamos agora que o bloco de 3 kg seja colocado a 25 cm da extremidade esquerda da barra. Qual será a nova leitura nas balanças?
4. Uma barra homogénea de 1 m de comprimento e 10 N de peso encontra-se submetido a acção das seguintes cargas, 10 N na extremidade esquerda e 40 N na extremidade direita. Calcule o centro de gravidade do sistema formado pela barra e pelas cargas.
5. Uma alavanca de igual secção em todos os seus pontos pesa 4 N. A alavanca tem 1 m de comprimento e o ponto fixo está a distância de 0,4 m de uma das extremidades. Que força é preciso aplicar na extremidade do braço menor para equilibrar 100 N colocados na extremidade do braço maior?
6. Uma barra rígida de peso desprezível, é articulada no ponto O e sustenta um peso W1 na
extremidade A (figura 3). Se = , e,desprezando a tensão nos fios, então determine: a) o segundo peso a ser preso na extremidade B para que a barra fique em equilíbrio;
b) a força exercida na barra pela articulação O.
Tema: Estática de um Corpo Rígido
Ficha n0 8
Figura 1 Esfera enconstada a parede Figura 2 Barra apoiada em balanças
Figura 4 Barra sustentando uma massaa e rticulada em O
?
Docentes, , Vasco M. Penete Page 15 7. Achar a força F necessária para equilibrar o peso P de 45 N que está representado na
figura 4. Despreze o peso da alavanca, e que, = 1 = 2 .
8. Uma escada homogénea de 10 cm de comprimento, pesando 400 N, está em equilíbrio, apoiada em uma parede vertical sem atrito, fazendo um ângulo de 530 com a horizontal
(figura 5). Represente o diagrama de forças e calcule a intensidade das forças que actuam na escada?
9. Considerando no problema anterior que o centro de gravidade encontra-se a um terço do comprimento da escada e uma pessoa de peso 600 N sobe até a metade da escada. Calcule: a) as forças que actuam na escada (F1 e F2); b) se o coeficiente de atrito fosse de
0,4 até que altura a pessoa pode subir antes da escada começar a escorregar?
10. Um quadro está pendurado numa parede vertical mediante um cordão AC de comprimento L, o qual forma um ângulo α com a parede. A altura do quadro BC é d e parte inferior do quadro não está fixa (figura 6). Para que valor de coeficiente de atrito entre o quadro e a parede, o quadro ficará em equilíbrio?
11. Uma barra homogénea AB de massa 5,0 kg, apoia-se numa parede como mostra a figura 7. O seu extremo inferior B é mantido por um fio BC. Considerando as superfícies da parede e do chão lisas, calcule as reacções dos apoios e a tensão do fio. A barra forma com a parede um ângulo de 450.
12. Uma barra uniforme de massa 20 kg, articulada em A, apoia-se num plano inclinado sem atrito, sendo o ângulo desse plano igual a 300, como mostra a figura 8. A barra está na
posição horizontal. Determine as reacções nos pontos A e B. Figura 5 Escada homogénea encostada à parede
530
Figura 6 Um quadro pendurado a uma parede
Figura 8 Barra apoiada em palno inclinado Figura 7 Escada encostada à parede
Docentes, , Vasco M. Penete Page 16 13. Uma escada de 20 m, pesando 50 kg, está encostada em uma parede, o ponto de apoio encontra-se a 16 m acima do solo. O centro de gravidade da escada está a um terço do seu comprimento, medido de baixo. Um homem de 80 kg está apoiado no meio da escada. Supondo que não haja atrito entre a escada e a parede, determinar as forças exercidas pelo sistema no solo e na parede.
14. Duas esferas lisas, idênticas e uniformes, cada uma de peso W, repousam, como mostra a figura 9, no fundo de um recipiente rectangular fixo. Determine em função de W, as forças actuantes sobre as esferas;
a) pelas superfícies do recipiente;
b) por uma sobre a outra se a linha que une os centros das esferas forma um ângulo de 450
com a horizontal.
Docentes, , Vasco M. Penete Page 17
Tema: Elasticidade e Movimento Oscilatório
Ficha n0 9
1. (Rever a aula teórica) Mostre que um pêndulo elástico horizontal executa um movimento harmónico simples, cujo período é dado por = 2 .
2. (Rever a aula teórica) Levando em consideração as equações de deslocamento ( ) = ( + ), e fundamental da trigonometria, respectivamente, provar que a energia cinética pode se expressa na forma = ( − ) = ( − ).
3. (Rever a aula teórica) Mostre que a energia mecânica num oscilador harmónico simples é dada pela relação, =
4. Uma partícula situada na extremidade de um dos braços de um diapasão, passa por uma posição de equilíbrio com velocidade de 2 m/s. A amplitude é de 1,0 10 m. Qual é a frequência e o período do diapasão? Escrever a equação de deslocamento como função do tempo.
5. Uma partícula em movimento harmónico simples encontra-se em repouso, na posição +10 cm, instante = 0 . O período do movimento é de 2,0 . Escreva as equações de movimento:
( ), ( ) ( ).
6. Observe a figura 1, que representa = ( ) de uma partícula em movimento harmónico simples. Escreva as equações de movimento,
a) da velocidade ; b) da posição, se (0) = 0 ; c) da aceleração?
Primeira Aula unica:, Exercícios: 4, 5, 10,11 e12 Outros são opcionais
Exercícios a serem resolvidos nas aulas práticas 3 4 2 1 ( / ) ( ) 10
Figura 1 Movimento Harmónico Simples = ( ) Figura 2 Movimento Harmónico Simples = ( ) ( )
( )
Docentes, , Vasco M. Penete Page 18 7. Na figura 2 está representado graficamente = ( ) de um corpo de massa 5,0 kg, que
ligado a uma mola elástica oscila com movimento harmónico simples. Determine: a) A constante elástica da mola; b) a equação da velocidade do corpo
8. Uma partícula, cuja massa é de 0,50 kg, move-se com um movimento harmónico simples. O período é de 0,10 s e amplitude do movimento é de 10 cm. Calcule a aceleração, a força, a energia potencial e a energia cinética, quando a partícula está a 5,0 cm da posição de equilíbrio.
9. Um bloco de 4,0 kg distende de 16 cm uma mola em relação a seu comprimento natural. O bloco é removido em seu lugar é suspenso um corpo de 0,5 kg. Distendendo então a mola e largando o corpo, qual será o período de seu movimento?
10. O ponto extremo de uma mola vibra com um período de 2,0 s quando uma massa m é presa a ela. Quando esta massa é aumentada de 2,0 kg, o período passa a ser 3,0 s. Determine o valor da massa m.
11. Determine o valor da aceleração de gravidade neste lugar onde o pêndulo simples de 150 cm, realiza 100 oscilações em 246 s.
12. Um corpo oscila com movimento harmónico simples, cuja equação é ( ) = 6 (3 + /3), onde x é dado em metros, t em segundos e os números entre parênteses estão em radianos. Decorrido 2 s, determine:
a) O deslocamento; b) a velocidade; c) a aceleração; d) a fase; e) a frequência; f) o período 13. O pêndulo de um relógio de parede tem um período de 2,0 s quando = 9,8 / , se o
Docentes, , Vasco M. Penete Page 19 Tema: Hidrostática e Hidrodinâmica
Ficha n010 e 11
Hidrostática
1. Uma esfera oca, de raio interno igual a 8,0 cm e raio externo 9,0 cm, flutua submersa pela metade em um líquido de densidade 800 kg/m3, ver a figura 1
a) Qual é a massa da esfera?
b) Calcule a densidade do material de queela é feita. meque eugenio
2. Uma barra de metal de comprimento 80 cm e massa 1,6 kg tem área de secção transversal uniforme igual a 6,0 cm2. Porque a densidade não é uniforme, o centro de massa da barra
se encontra a 20 cm de uma das extremidades. A barra é suspensa em posição horizontal, por meio de cabos atados às duas extremidades e mergulhada em água, como mostrado na figura 3.
a) Qual é a tensão no cabo mais próximo do centro de massa? E no mais distante? meque
3.Em uma competição desportiva, um halterofilista de 80 kg, levantando uma barra metálica de 120 kg, apoia-se sobre os seus pés, cuja área de contato com o piso é de 25 cm2.Considerando g = 10m/s² e lembrando-se de que a pressão é o efeito produzido por uma força sobre uma área, e considerando que essa força atua uniformemente sobre toda a extensão da área de contato, calcular a pressão exercida pelo halterofilista sobre o piso, em pascal.
Nota: Estes exercícios serão resolvidos em duas semanas seguindo as aulas: Prática I, exercícios: 1, 2, 3, 4 e 5 Prática II, exercícios: 6, 7, 8 e 9 Prática III, exercícios: 10, 11, 12, 13 Prática IV, exercícios: 14,15,16
Exercícios a serem resolvidos nas aulas práticas meque
Docentes, , Vasco M. Penete Page 20 4. Ao misturar dois líquidos distintos A e B, nota-se:O líquido A apresenta volume de 20 cm³ e densidade absoluta de 0,78 g/cm³. O líquido B tem 200 cm³ de volume e densidade absoluta igual a 0,56 g/cm³. Determine em g/ cm³ a densidade apresentada por essa mistura.
5. Um tubo em U está cheio com um único líquido homogéneo (figura 5), que é temporariamente comprimido em um dos lados por um pistão. O pistão é removido e o nível do líquido em cada ramo oscila. Mostre que o período de oscilação é = , onde L é o comprimento total de líquido no tubo.
6. A tracção num fio que sustenta um bloco sólido abaixo da superfície de um líquido (de densidade maior do que a do sólido), é T0 quando o vasilhame que o contém está em
repouso, figura 6. Mostre que a tracção T, aplicada quando o vasilhame sofre uma aceleração a, em sentido vertical para cima, é dada por,
= (1 + / )
7. Um EstudanteBebado depois de ingerir algumas misturas de Bebidas, faz um teste colocando um pedaço de frango (especto) na cerveja de marca preta. O especto nesta bebida flutuacom 0,6 do seu volume submerso. Mas na bebida de nome Tentacao o especto flutua com 0,9 do seu volume submerso. Determine a densidade: (a) do especto e (b) da Tentacao. Considere que densidade da cerveja preta é 900kg/m3.
8. Uma casca esférica oca, feita de ferro, flutua quase completamente submersa na água, como mostrado na figura . O diâmetro externo é de 58,7 cm e a densidade do ferro é de
= 7,87 / .Determine o diâmetrointerno da casca. Figura 5 O tubo U com líquido Figura 6 Um bloco sólido
Docentes, , Vasco M. Penete Page 21 9. Três crianças, cada uma pesando 366,5 N, constroem uma jangada amarrando toras de madeira de 0,32 m de diâmetro e 1,77 de comprimento. Quantas toras serão necessárias para manter as crianças à tona? Considere a densidade da madeira como sendo = 757,7 / .
Hidrodinâmica
10. A água escoa por uma mangueira de 3cm de diâmetro com velocidade de 0,65m/s. O diâmetro do bocal da mangueira é de 0,30cm.
a) Qual é a velocidade com que a água passa pelo bocal da madeira.
b) Se uma bamba for colocada numa das extremidades da mangueira e o bocal na outra, e ambos no mesmo nível, qual será a pressão na bomba se a pressão no bocal for atmosférica?
11. A pressão numa secção de um tubo de 2cm de diâmetro é de 142kPa. A água escoa através do tubo com a vazão de 2,8l/s. Qual deveria ser o diâmetro da outra extremidade do tubo para que a pressão nela seja atmosférica.
12. Se a velocidade de escoamento, passando de baixo de uma asa, é 110 m/s, que velocidade de escoamento na parte de cima criará uma diferença de pressão de 900 Pa entre as superfícies de cima e de baixo? Considere a figura 10 e a densidade do ar igual a
1,3 10 / .
13. Em um furacão, o ar com densidade 1,2 kg/m3 sopra sobre o telhado de uma casa a 110
km/h, ver a figura 11.
a) Qual a diferença de pressão entre o interior e o exterior da casa que tende a arrancar o teto?
b) Qual o módulo da força devida a esta diferença de pressão sobre um teto de 93 m2?
Figura 8 Uma casca esférica oca Figura 9 Três Crianças em uma jangada
Docentes, , Vasco M. Penete Page 22 14. As janelas de um edifício medem 4,26 m por 5,26 m. Num dia de tempestade, o vento está soprando a 28 m/s paralelamente a uma janela do 530 andar. Calcule a força resultante
sobre a janela. Considere a densidade do ar igual a 1,23 kg/m3.
15. A Figura 12 mostra um líquido escoando por um orifício em um tanque de grandes dimensões a uma distância h abaixo da superfície do líquido. O tanque é aberto na parte superior.
a) Aplicando a equação de Bernoulli à linha de corrente que liga os pontos 1 e 2, mostre que a velocidade com que o líquido sai do orifício é = 2 ℎ (resultado também conhecido como lei de Torricelli).
b) Se a saída do orifício apontasse diretamente para cima, qual seria a altura máxima atingida pelo jacto de líquido?
c) Como a viscosidade ou a turbulência afectariam a sua análise?
16. Um tanque contém água até a altura H. É feito um pequeno orifício em sua parede, à profundidade h abaixo da superfície da água Figura 5.
a) Mostre que a distância x da base da parede até onde o jacto atinge o solo é dado por = 2 ℎ( − ℎ)
b) Poderia ser perfurado um orifício a outra profundidade, de modo que este segundo jacto tivesse o mesmo alcance? Em caso afirmativo, a que profundidade?
c) Determinar a que profundidade h deveria ser feita um pequeno orifício para que a água que sair por ele atinja o solo à distância máxima da base. Qual é estadistância máxima?
Figura 12 Líquido escoando em um orifício
Docentes, , Vasco M. Penete Page 23 Ficha 12
Tema: Termodinâmica - Temperatura
1. A que temperatura a escala Fahrenheit indica uma leitura igual a: a) Duas vezes a escala Célsius
b) Metade da escala Kelvin c) Metade da escala Célsius
2. Suponha que numa temperatura X, a água ferva a −53 e congela a −170 . Qual é o valor de 340 K, na escala X?
3. Logo depois que a Terra se formou, o calor causado pelo decaimento de elementos radioactivos aumentou a temperatura interna média de 300 K para 3000Kque é aproximadamente o valor actual. Suponha que um coeficiente de dilatação volumétrica de 3,0 10 1 , de quanto aumenta o raio da Terra, desde sua formação?
4. Uma caneta de alumínio de 100 está cheia de glicerina a 22℃. Quanta glicerina derramará se a temperatura do sistema subir para 28℃. Considere o coeficiente da glicerina igual a 5,1 10 .
5. Um recipiente feito de um metal tem massa de 3,6kg e contem 14kg de água. Uma peça de 1,8kg deste metal inicialmente a 180℃, é colocada dentro da água. O recipiente e água tinham inicialmente a temperatura de 16℃ enquanto a final foi de 18℃. Calcule o calor específico de um metal nestas condições.
6. Uma panela de cobre de 150g conte 220g de água, ambas a 20℃. Um cilindro de cobre muito quente de 300g é colocado dentro da água, fazendo com que ela ferva, com 5g sendo convertido em vapor. Se a temperatura final do sistema é de 100℃, determine, Primeira Aula Prática, Exercícios:1, 2, 3, 4 e 5
Segunda Aula Prática, Exercícios: 6,7,8,9,10
Exercícios a serem resolvidos nas aulas práticas
Docentes, , Vasco M. Penete Page 24 a) Quanto calor foi transferido para a água;
b) Quanto calor foi transferido para a panela; c) Qual era a temperatura inicial do cilindro.
7. Uma amostra de gás se expande de 1,0 4,0 , enquanto sua pressão diminui de 40 para 10Pa. Levando em consideração o gráfico da figura 1, qual é o trabalho realizado?
8. Suponha que o gás da figura 1, depois de expandir-se através do caminho B, é então comprimido de volta a 1,0 , através dos caminhos A e C. Calcule o trabalho total realizado pelo gás para o ciclo total de cada caso.
9. Considere que 200J de trabalho são realizados sobre um sistema e 70,0 cal de calor são extraídos dele. Do ponto de vista da primeira lei da termodinâmica, quais os valores (incluindo sinais algébricos) de,
a) Trabalho ( ) b) Calor ( )
c) Variação da energia interna (∆ )
10. Um gás dentro de uma câmara passa pelo processo mostrado no gráfico P-V da figura 3. Determine o calor total adicionado ao sistema durante o ciclo completa.
Figura 1 Expansão do Gás 40 1,0 2,0 3,0 4,0 30 10 20 ( ) ( ) 1,0 2,0 3,0 4,0 30 10 20 ( ) ( ) 40 Figura 2 Expansão do Gás
Docentes, , Vasco M. Penete Page 25 Ficha 13 e 14
1. O melhor vácuo pode ser obtido em um laboratório correspondentes a pressão de cerca de 1,0. 10-18atm ou 1,01.10-13 Pa.Quantas moléculas existem por centímetros cúbicos em tal vácuo a
temperatura de 293K?
2. Uma quantidade de um gás ideal a 10ºC e pressão de 100kpa ocupa um volume de 2.50m.a) quantos moles estão presentes b) se a pressão for elevada para 300KPa e temperatura para 30oC,
qual o volume que o gás ocupará? Suponha que não haja Perdas.
3. O recipiente A, da figura abaixo contém um gás ideal a pressão de 5,0.105 PA e á temperatura
é de 300K. Ele esta conectado por um fino tubo ao recipiente B, que tem quatro vezes o volume de A. E o B contém o mesmo gás ideal a pressão de 1,0.105 e a temperatura de 400k. A válvula
de conexão é aberta e o equilíbrio é atingido a uma pressão comum, enquanto a temperatura de cada recipiente é mantida constante, em seu valor inicial. Qual a pressão final do sistema?
4. Considere o sol como uma gigantesca Bola de gás ideal a alta temperatura. A pressão e a temperatura na atmosfera solar são 0,0300Pa e 2,00.106 K, respectivamente. Calcule a) a
velocidade quadrática média dos eletrões livres (massa=9,11.10-31kg) na atmosfera solar) escreva
a função distribuição de James Clarke Maxwell. C)A partir da função distribuição ache velocidade mais provável e velocidade média.
5. A partir da primeira lei da termodinâmica deduza a expressão CP=Cv+R e Cv =
6. Um litro de gás com =1,32 encontra-se a 273K e sob pressão de 1,00atm. Ele é comprimido adiabaticamente até a metade do seu volume inicial. Determine: a)a pressão final e temperatura final b)o gás agora é resfriado, a pressão constante, ate voltar a 273K. Determine o volume final. C)Determine o trabalho total realizado sobre o gás.
Tema: Máquinas térmicas Ficha n0 13 e 14
Primeira Aula Prática, Exercícios: 4, 5, 7, 8 e 9 Segunda Aula Prática, Exercícios: 10, 11, 12 e 13
Exercícios a serem resolvidos nas aulas práticas
Docentes, , Vasco M. Penete Page 26 7. 20,9J de calores são adicionados a um certo gás ideal como resultado o seu volume aumenta de 50,00 para 100 centímetros cúbicos. Enquanto a pressão permanece constante (1,00atm). a)Qual a variação da energia Interna do gás? b) Se a quantidade de gás presente for de 2,00.10-3
mol, calcule o calor específico molar a pressão constante. C) Calcule o calor específico molar a volume constante.
8. Calcule o caminho livre médio de 35 pequenas esferas em uma jarra que é sacudida vigorosamente. O volume da Jarra é de 1,0 1litro e o diâmetro de cada esfera é de 1,0cm.
9.Dois recipientes estão á mesma temperatura. O primeiro contém gás a pressão P1, cujas
moléculas tem massa m1. Sendo Vrms sua velocidade media quadrática. O segundo recipiente
contém moléculas de massas m2, á pressão igual a 2P1, sendo sua velocidade média igual a 2Vrms. Calcule a razão m1/m2 entre suas moléculas.
10. Para fazer gelo um freezer extrai 42Kcal de calor de um reservatório a -12º C em cada ciclo. O coeficiente de performance do freezer é de 5.7. A temperatura do ambiente é de 26º a). Quanto calor por ciclo é rejeitado para o ambiente? b) Qual a quantidade de trabalho por ciclo necessária para manter o freezer em funcionamento.
11. Num ciclo de carnot, a expansão isotérmica ideal acontece a 400K e a compressão isotérmica a 300K. Durante a expansão, 500 cal de Calor são transferidos pelo gás. Calcule a) o calor rejeitado pelo Gás durante a compressão isotérmica) o trabalho realizado pelo gás durante a expansão isotérmicas) o trabalho realizado pelo gás durante a compressão isotérmica.
12.Uma máquina de carnot tem uma eficiência de 22%. Ela opera entre reservatórios térmicos cujas temperaturas diferem por 75%C. Quais são as temperaturas dos reservatórios?
Docentes, , Vasco M. Penete Page 27 13. A temperatura muito baixas, o calor especifico molar Cv para muitos sólidos é proporcional a T3, isto é CV=AT3, onde A depende da substancia. Para o alumínio A=7,53.10-6 cal/molK4. Ache
a variação da Entropia de 4,0moles de alumínio quando sua temperatura varia de 5,00 a 10,00 K. 14. Dois moles de um gás ideal monoatómico passam pelo processo mostrado no diagrama temperatura versus entropia. a) Quanto calor é absorvido pelo gás? B) Qual é a variação da energia interna do gás) qual o trabalho realizado pelo gás.
15.Uma máquina térmica absorve 52,4Kj e libera 36,2Kj de calor em cada ciclo. Calcule a) o rendimento b) o trabalho efectuado pela máquina em cada Ciclo.
16. A partir da 1ª lei da termodinâmica deduzir a expressão do cálculo da entropia de um sistema reversível
