emergencias esciarideos

(1)

Exer í ios de Modelos Lineares Generalizados

AVISO: O heiro dadosMLG.RData ontém os obje tos taba o (Exer í io 1), ratos (Exer í io 2),

Elisa1(Exer í io 5), Elisa2(Exer í io 6), flea.beetles (Exer í io 9) e sangue (Exer í io 11). O

heirodeveser arregadoparaumasessãodoR omo omandoload.

1. Nolivrode W.N.VenableseB.D. Ripley,Modern Applied Statisti s with S-Plus (1994,

Springer-Verlag),refere-seumaexperiên iaqueestudaaresistên iadalarvadotaba o heliothis vires ens a

doses deuma substân ia tóxi a. Lotes de20 traças de ada sexoforamexpostas,durante 3dias,

adoses da referidasubstân ia, e registou-se onúmerode individuos de ada lote quemorria, ou

avaina tivo,nomdesse períododeexposição. Osresultados(istoé,onúmerodemortes)são

sintetizadosnaseguintetabela, sendoas dosesexpressasem

µ

g. Dose

Sexo 1 2 4 8 16 32

Ma hos 1 4 9 13 18 20

Fêmeas 0 2 6 10 12 16

(a) Crieuma data frame ontendoosdados eadequada para ajustarmodelos om omponente

aleatóriaBinomial/n.

(b) Construauma nuvemde pontos om, noeixo horizontal,avariável Dose,eno eixo verti al,

a proporção de Mortes em ada lote de 20 individuos. Repita, mas agora utilizando ores

diferentespararepresentaroslotesasso iadosaindividuosde adaSexo. Comente.

( ) Repita aalínea anterior, masagoraasso iando oeixohorizontal àvariável

log

2

(Dose)

. Esta transformação pode justi ar-se, tendo em onta que as doses utilizadas dupli am em ada

novasituaçãoexperimental. Comente.

(d) AjusteumaRegressãoLogísti aaosdados,ignorandoasdiferençasdesexo,eutilizando omo

variávelpreditora

log

2

(Dose)

. Comente osresultados obtidos. Tra e,por imada nuvem de pontosobtidanaalíneaanterior,a urvaestimada paraaprobabilidadedemorte,

p(x)

,onde

x

indi avaloresde

log

2

(Dose)

. Dis utaosigni adodovalor doparâmetroestimado

b

1

. (e) Repita a alínea anterior, mas utlizando agora um modelo Probit. Qual a dosagem a que

orrespondeumaprobabilidadedemorte de

50%

?

(f) Ajusteagoraummodelolineargeneralizado om omponentealeatóriaadequadaeutilizando

umafunçãodeligaçãolog-logdo omplementar. Comente osresultados.

2. Amdeestudaros efeitos an erígenosdeumprodutotóxi oemratos,foramadministradastrês

diferentesdosesdasubstân iatóxi a(0,0.45e0.75partespor10000)aalgumas entenasderatos,

durante um de dois períodos de exposição (16 ou 24 meses). No nal do período de exposição

veri ava-seaexistên iadetumoresnosratos. Osresultadosdaexperiên iaforamosseguintes:

Dose

Exposição 0 0.45 0.75

16meses Ratos omtumores 1 3 7

Ratossemtumores 204 301 186

24meses Ratos omtumores 20 98 118

(2)

lizado adequado para uma omponente aleatória di otómi a, om função de ligação probit,

on-siderandoos preditores Dose etempode Exposi ao omo variáveisnuméri as. Obtiveram-se os

seguintes resultados:

> summary(ratos.probit.var)

Call:

glm(formula = bind( om, sem) ~ Dose + Exposi ao, family = binomial(probit),

data = ratos)

[...℄

Coeffi ients:

Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)

(Inter ept) -4.8474 0.3948 -12.279 < 2e-16 ***

Dose 1.4344 0.1397 10.269 < 2e-16 ***

Exposi ao 0.1229 0.0163 7.538 4.78e-14 ***

---Null devian e: 198.5347 on 5 degrees of freedom

Residual devian e: 1.3381 on 3 degrees of freedom

AIC: 33.594

Number of Fisher S oring iterations: 4

(a) Des revaemmaiorpormenorotipodemodeloajustado,indi andoarelação onsideradaentre

osurgimentodetumoreseasvariáveispreditoras.

(b) Comenteaqualidadedoajustamentodomodeloaosdados.

( ) Considerapossívelsimpli arulteriormenteomodelosemprejuízo signi ativonaqualidade

doajustamento? Justiqueformalmente.

(d) Combase nomodeloajustado,respondaàsseguintesquestões:

i. Paraumadosede0.75partespor10000dasubstân iatóxi a,qualaproporçãoesperada

deratos omtumoresaomde36mesesdeexposição?

ii. Qualadoseasso iadaa50%deratos omtumoraomde24mesesdeexposição?

Entretanto, élevantadaaobje çãodequeobaixíssimonúmerodediferentesvaloresdospreditores

DoseeExposi aodesa onselhaasuautilização omovariáveisnuméri as.De idiu-seassimajustar

umnovomodelo, omestesdoispreditores onsiderados omofa tores. Nãosepreviramefeitosde

intera çãoentre osfa tores. Oajustamentoproduziuosseguintesresultados:

> summary(ratos.probit.fa )

Call:

glm(formula = bind( om, sem) ~ as.fa tor(Dose) + as.fa tor(Exposi ao),

family = binomial(probit), data = ratos)

[...℄

Coeffi ients:

(Inter ept) -2.9038 0.1561 -18.602 < 2e-16 ***

as.fa tor(Dose)0.45 0.6880 0.1069 6.435 1.24e-10 ***

as.fa tor(Dose)0.75 1.0859 0.1081 10.042 < 2e-16 ***

as.fa tor(Exposi ao)24 0.9826 0.1302 7.545 4.52e-14 ***

(3)

AIC: 35.347

Number of Fisher S oring iterations: 4

(e) Des revaempormenoromodeloagoraajustado. Comenteassemelhançasediferenças omo

modelo onsideradoini ialmente.

(f) Qualaprobabilidade estimada pelo modelode um ratoter tumorao m de 16 meses, aso

nãotenhasido expostoaotóxi o? Como équeessaprobabilidade estimadase ompara om

afrequên iarelativadetumoresnessasituaçãoexperimental? Comoéqueestaprobabilidade

estimadase ompara omaqueéobtidaapartirdomodeloini ial? Comente.

(g) Épossívelestimaraprobabilidadedeosratosteremtumoresseforemsujeitosaumperíodo

deexposiçãode36meses,apartirdestemodelo?

(h) Com base nos indi adores de qualidade dos ajustamentos disponíveis no enun iado, da

dis- ussão efe tuada até aqui, e tendo em onta as reservas expressas ao modelo ini ialmente

onsiderado,qualdosmodelos onsiderapreferível?

(i) Ajusteagoraumter eiromodelo, onsiderandoDoseeExposi ao omofa tores,masprevendo

tambémefeitosdeintera çãonomodelo. Comoexpli aofa todeodesviodomodelo,etodos

osresíduosdodesvio,seremnulos? Queimpli açõesde orremdesse fa to?

3. Nopa oteMASSen ontra-seadataframeTraffi , omosresultadosdumestudosobreaapli açãoe

alizaçãodelimitesdevelo idadenasestradassue as,efe tuadoem1961(veja-sehelp(Traffi )

paramaispormenores).

(a) Ajusteummodelolog-linear om omponentealeatóriaigualanúmerodea identesregistados

em ada dia, e um fa tor preditor de apenas dois níveis: sim ou não estavam em vigor os

limitesdevelo idade. Interpreteosvaloresajustadosdosparâmetros.

(b) Cal uleonúmeromédiodea identesnosdiasemquehavialimites develo idadeeonúmero

médiodea identesnosdiassemlimitedevelo idade. Rela ione omosvaloresajustadosdos

parâmetrosobtidosnaalíneaanterior.

( ) [Material Complementar:℄ Determine as equações do sistema obtido igualando a zero

asderivadas par iais dalog-verosimilhança domodelo log-linear orrespondente aeste aso.

Resolva o sistema. Diga se as relaçõesobservadas na alínea anterior são, ou não, fruto do

a aso.

(d) Tendoem ontaasalíneasanteriores,dis utaasvantagens omparativasdeutilizarummodelo

log-linearneste aso,quando omparado omaabordagemalternativadeefe tuarumteste

t

lássi opara ompararasmédiasdavariávelnúmerodea identespordianasduaspopulações

denidasporhaver,ounão,limitesdevelo idade.

4. Nomódulo MASSexiste umatabela de ontingên iasdotipolo al

×

espé ie, ontidanumobje to denomewaders. O ojuntodedadosrefere-seafrequên iasdeobservaçõesdedezanoveespé iesde

aveslimí olas(waders), emquinze diferenteslo aisda osta da Áfri aAustral(Namibia eÁfri a

doSul).

(a) Efe tueum tradi ionalteste

χ

2

àindependên iados fa toreslo ais eespé ies, utilizando

a estatísti a de Pearson. (AVISO: O omando para efe tuar esse teste no R é o omando

(4)

três olunas: as ontagens,oslo aiseasespé iesrespe tivas. utilizeoseguinte omandodoR:

> limi olas <- data.frame(obs=as.ve tor (as .mat rix( wad ers) ), lo al=rep(LETTERS[1:15℄,19 ),

espe ie=rep(paste("S",1 :19 ,sep ="") ,ea h=1 5))

( ) Considereummodelolog-linearparaosdados, omdoisfa toresexpli ativos(aditivos): lo al

eespe ie. Dis utaanaturezadaequaçãodomodelo. Indiqueovaloresperado,aoabrigodo

modelo,donúmerodeobservaçõesdaespé ieS14,nolo alC.

(d) Ajuste o modelo indi ado na alínea anterior e dis utaa sua qualidade, om base no desvio

domodelo. Compareo número de observaçõesda espé ie S14, nolo al C, omo seu valor

esperadoajustado. Comente.

(e) Cal uleasomadosquadradosdosdesviosdePearsondomodelo. Compareovalorobtido om

ovalordaestatísti adePearsondoteste

χ

2

daprimeiraalínea. Comente.

(f) Interpreteosigni adodadiferençadedoisparâmetrosdomesmotipo,porexemplo

α

4

− α

3

, onde

α

i

indi aoefeito donível

i

dofa torlo al.

(g) Construaumintervalode onança(assintóti o)para

α

4

− α

3

einterpreteoseusign ado. (h) Combase nasalíneasanteriores, omente autilidadedoseumodelo.

5. Afêmeaadultadeumpredador olo aosovosnumsubstratodeterraeaveia omfungo,infestada

om mosquitosque servem de alimentação àslarvas. Pretende-se per eber relaçãoentre número

de larvas de mosquitos presentes no substrato variável es iarideos e o número de adultos

queemergemnageraçãoseguinte (depoisdesealimentaremenquanto larvaepuparem)variável

emergen ias. O númerode mosquitos foi al ulado extrapolando o número delarvasobservado

numa amostrapara ovolume total desubstrato. Os dadosobtidosen ontram-se nadata.frame

denomeElisa1eanuvemdepontos obtidaen ontra-senográ o.

0

500 1000

1500

2000

2500

10

20

30

40

50

60 esciarideos

emergencias

(a) Reproduzaanuvemdepontosdadaa ima.

(b) Consideraadequadoummodeloparaavariávelrespostaemergen iasasso iadoauma

distri-buiçãodePoisson?

(5)

parâmetro

β

1

é

b

1

= 0.0005248347

.Comosepodeinterpretarestevalor,àluzdoproblemasob estudo?

(e) Tra e,sobreanuvemdepontos, a urvaajustadapelomodelo. Comente.

(f) Cal uleintervalosa

95%

de onançaparaosparâmetrosdomodelo(

β

0

e

β

1

),usandoateoria assintóti a asso iada aos estimadoresde máxima verosimilhança. Comente. Em parti ular,

digase, ombasenestesintervalos,sepodearmarqueaumaumentodonúmerodemosquitos

presentesnosubstrato orrespondeumaumentodonúmerodeadultosnageraçãoseguinte.

6. Num estudo sobre ontrolode pragaspretende-se modelar, para uma dada espé ie deinse tos, a

relaçãoentrenúmerodediasseparandoaposturadeovoseaemergên iadenovosadultos(variável

resposta,designadadias)eatemperaturadomeioambiente(variávelpreditora,designadatemp).

Num estudo envolvendo

n

= 57

repetições, foram re olhidos os dados onstantes da data.frame Elisa2,aque orrespondeaseguintenuvemdepontos.

20

21

22

23

24

25

26

25

30

35

40

45 temp

dias

(a) Ajusteummodelolog-linearaosdados. Emparti ular,

i. Indiquetodasasopçõesquefez;

ii. Dis utaaadequaçãodum modelolog-linearàrelaçãoobservada nanuvemdepontos;

iii. Tra ea urvaajustadasobreanuvemdepontos.

(b) Umanalista omenta que, sendoavariávelrespostadiasuma ontagemde tempo, trata-se

narealidadedumavariável ontínuaquefoidis retizada. Nessesentido,sugerequesepoderia

optar por ajustar um MLG análogo ao da alínea anterior, om apenas uma modi ação:

onsiderarqueadistribuiçãodavariávelrespostaéNormal. Dis utaonovoMLGajustado,e

emparti ular:

i. Digaporqueéqueomodeloqueajustounão éummodelolinear.

ii. Expli iteaequaçãoda urvaajustadaetra e-asobreanuvemdepontos. Comoseexpli a

queesta urvasejadiferentedaanterior? E omoseexpli aquesejapróximadaanterior?

iii. Considere o valor do desvio residualasso iado a este modelo, e omente o fa to de ser

(6)

umdesvio residual menor.

( ) Ajusteagoraummodelolinear quemelhor orrespondaaomodeloajustadonaalíneaanterior.

Emparti ular,

i. Expli ite a equação e pressupostos do modelo ajustado, e ompare-os om os modelos

anteriores.

ii. Indiqueaequaçãoda urvaajustada,etra e-asobreanuvemdepontosanterior.

iii. Estudeosresíduosdestemodelolinear e omenteavalidadedospressupostosdomodelo.

iv. Sendo um modelo linear um aso parti ular dum MLG, tem de fazer sentido falar no

desvio residual do modelo ajustado nesta alínea. Cal ule-o om o auxílio do R e diga,

justi ando, seoseu valorpodeser omparado omo valorobtidono modeloda alínea

anterior,emquetambémseadmitiuumadistribuiçãoNormaldavariávelresposta.

7. ExistemparametrizaçõesalternativasdafunçãodensidadedadistribuiçãoGama. Aparametrização

dadanosa etatosé

f

(y | µ, ν) =

ν

µ

ν

_Γ(ν)

y

ν−1

_e

−

νy

µ

_,

ujo parâmetro

µ

éovaloresperadoda variávele ujo segundoparâmetro

ν

ajudaa onstruir a variân ia,

V

[Y ] =

µ

2 ν

.

(a) OutraparametrizaçãodadensidadeGamaé:

f

(y | α, β) =

1 β

α

_Γ(α)

y

α−1

_e

−

β

y

_.

Mostrequesetratadumadiferente parametrizaçãodamesmafunção, om

µ

= αβ

e

ν

= α

. (b) No livro Probabilidades e Estatísti a, de prof. Bento Murteira (M Graw-Hill de Portugal,

1979),dá-seumater eiraparametrizaçãodaGama, daforma:

f

(y | n, γ) =

γ

n

Γ(n)

y

n−1

_e

−γ y

_.

Identiqueasrelaçõesentreosparâmetrosdestaexpressãoeosdasanterioresparametrizações.

Rela ioneovalor esperadoevariân ianestaparametrização omosdaparametrizaçãousada

nasaulas.

8. Denaosseguintes on eitos,no ontextodeModelosLinearesGeneralizados:

(a) funçãodeligação

(b) resíduododesvio

9. Dezanovees aravelhosdaespé ieHalti aolera eaevintees aravelhosdaespé ieHalti a arduorum

foram sujeitos amediçõesmorfométri as em quatro variáveis: adistân ia do sul otransversal à

borda posteriordo pró-torax(variavelTG), o omprimentodo élitro (variávelElytra), o

ompri-mento do segundosegmento dasantenas (variávelSe ond.Antenna) eo omprimento do ter eiro

segmentodasantenas(variávelThird.Antenna). As unidadesdetodasasvariáveisex eptoo

om-primentodoélitro sãomi rómetros(milionésimapartedometro,

µm

). O omprimentodoélitroé dadoem entésimasdemilímetro.

(7)

1 olera ea 189 245 137 163 2 olera ea 192 260 132 217 3 olera ea 217 276 141 192 4 olera ea 221 299 142 213 (...) 18 olera ea 181 255 146 183 19 olera ea 192 287 141 198 20 arduorum 181 305 184 209 21 arduorum 158 237 133 188 (...) 36 arduorum 192 276 154 209 37 arduorum 181 278 149 235 38 arduorum 175 271 140 192 39 arduorum 197 303 170 205 - - - - --variân ia 196.888 502.7085 216.0445 341.8313 média 186.8205 279.2308 147.5385 197.8974 Halti aolera ea

Pretende-sedeterminarummodeloquepermitaidenti araqueespé ieperten eumdado

es ara-velho,istoé,pretende-seefe tuarumaanálisedis riminantedaespé ie. Tendoematençãoa

di ul-dadeem obtermediçõespre isas, dadaapequena dimensãodosanimais, onsidera-seimportante

queomodelosejapar imonioso, omomenornúmeropossívelde ara terísti asmorfométri as.

(a) Efe tuou-se uma Regressão Logísti a, tomando omo ponto de partida as quatro variáveis

morfométri asreferidas. Obtiveram-seosseguintesresultados.

Call: glm(formula = (Spe ies == " arduorum") ~ TG + Elytra + Se ond.Antenna

+ Third.Antenna, family = binomial, maxit = 50, data=flea.beetles)

Coeffi ients:

(Inter ept) -6.237e+02 1.869e+06 -3.34e-04 1

TG -1.162e+01 2.077e+04 -0.001 1

Elytra 5.559e+00 9.735e+03 0.001 1

Se ond.Antenna 7.634e+00 1.757e+04 4.34e-04 1

Third.Antenna 8.133e-01 1.411e+04 5.77e-05 1

Null devian e: 5.4040e+01 on 38 degrees of freedom

Residual devian e: 4.7616e-10 on 34 degrees of freedom

AIC: 10 Number of Fisher S oring iterations: 28

i. Des reva ompletamenteomodeloajustado,enquantoModeloLinearGeneralizado,

indi- andoassuastrês omponentesfundamentais.

ii. Comente a qualidade do modelo proposto para efeitos de identi ação da espé ie dos

es aravelhos. Como se pode expli ar o desvio quase nulo do modelo ajustado? Há um

problemadesobreparametrização?

iii. Interpreteosigni adodovalor

7.634

paraaestimativaasso iadaàvariávelSe ond.Antenna. iv. Com base na informação disponível, diga se é possível simpli ar o modelo sem perda

signi ativanaqualidadedadis riminaçãoentreespé iesefe tuada. Em asoarmativo,

qualaprimeiravariávelpreditoraaserex luídadomodeloporummétododetipoex lusão

sequen ial, ombase nainformaçãodisponívelnoenun iado?

(b) Foi utilizadoum algoritmode ex lusão sequen ial, usando a funçãostep do R. Comente os

(8)

Start: AIC=10

(Spe ies == " arduorum") ~ TG + Elytra + Se ond.Antenna + Third.Antenna

Df Devian e AIC - Third.Antenna 1 0.000 8.000 - Se ond.Antenna 1 0.000 8.000 <none> 0.000 10.000 - Elytra 1 10.132 18.132 - TG 1 24.686 32.686 Step: AIC=8

(Spe ies == " arduorum") ~ TG + Elytra + Se ond.Antenna

Df Devian e AIC

<none> 0.0000 8.000

- Se ond.Antenna 1 9.8414 15.841

- Elytra 1 16.6409 22.641

- TG 1 29.7719 35.772

Call: glm(formula = (Spe ies == " arduorum") ~ TG + Elytra +

Se ond.Antenna, family = binomial, data = flea.beetles, maxit = 50)

Coeffi ients:

(Inter ept) TG Elytra Se ond.Antenna

-968.93 -19.46 9.37 13.91

Degrees of Freedom: 38 Total (i.e. Null); 35 Residual

Null Devian e: 54.04

Residual Devian e: 3.846e-10 AIC: 8

( ) Independentemente da sua resposta no ponto anterior, de idiu-se ajustar um modelo om

apenas duas variáveis preditoras. O melhor modelo desse tipo resultou ser o que deixava

deforaasmediçõesrelativasàs antenas. Alguns dosresultadosrespe tivossão indi adosde

seguida.

Call: glm(formula = (Spe ies == " arduorum") ~ TG + Elytra,

family = binomial, maxit = 50, data=flea.beetles)

Coeffi ients:

(Inter ept) 10.1559 12.8285 0.792 0.4286

TG -0.4271 0.1792 -2.384 0.0171 *

Elytra 0.2505 0.1038 2.413 0.0158 *

AIC: 15.841 Number of Fisher S oring iterations: 8

i. Testeformalmente seestemodeloeomodeloini ialdiferemsigni ativamente.

ii. Digaquaisasprobabilidadespara adaespé ieprevistaspelo modeloagoraajustado,no

asodeumes aravelho om

T G

= 200

e

Elytra

= 250

. Qualaespé ie aque asso iaria umtal es aravelho?

(d) De idiu-se agoraexperimentar uma diferente função deligação, e emparti ular afunção de

ligaçãolog-logdo omplementar, utilizandoapenas osdois preditores referidosnoponto 9 .

(9)

family = binomial(link = " loglog"), maxit = 50)

Coeffi ients:

(Inter ept) 7.78272 7.75729 1.003 0.3157

TG -0.33889 0.13206 -2.566 0.0103 *

Elytra 0.19769 0.07766 2.546 0.0109 *

AIC: 14.752 Number of Fisher S oring iterations: 12

i. O seguinte grá o indi a as probabilidades ajustadas por ada modelo, om os valores

relativos ao modelo om função ligação log-log do omplementar no eixo verti al e os

relativos à ligação anóni a no eixo horizontal. Comente os resultados. Dis uta, em

parti ular,oindivíduo

19

.

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0 fitted(flea.beetles.glml2)

fitted(flea.beetles.glmc2)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21 27 28

23

22

24

25

26

29

30

31

32

33

34

35

36 37 38

39

ii. Diga qual dos modelos om dois preditores prefere: este, ou o indi ado no ponto 9 .

Justique.

iii. Digaqualaprobabilidadeprevistapara umindivíduo omvaloresobservados

T G

= 200

e

Elytra

= 250

. Compare omo resultadoanálogo obtido omomodelodoponto 9 e omente.

10. ConsideredenovoosdadosdoExer í io1. Ajuste ummodeloderegressãologísti aparamodelar

a probabilidade de morte, mas desta vez onsiderando na omponente sistemáti a não apenas a

variávelnuméri a

log

2

(dose)

,masigualmenteofa torsexo.

(a) Obtenha um úni o modelo que possa ser interpretado omo tendo dois preditores lineares

β

0

+ β

1

log

2

(Dose)

diferentes,uma parama hos eoutrapara fêmeas, ada qual omosseus parâmetrosespe í os.

(b) Ajusteomodelodaalíneaanterioraos dadose omente. Pode onsiderar-sequeestemodelo

émelhorqueomodeloajustadonoExer í io1?

( ) Considere agora um ter eiro modelo, em que na omponente sistemáti a se admite que o

oe ientedalog-dosesejaigualparaosdois sexos,masquea onstante aditivapodediferir

onsoante o sexo. Ajuste o modelo, e ompare os resultados obtidos om os dois modelos

(10)

11. NolivrodeP.M CullagheJ.A.Nelder,GeneralizedLinearModels (2a. edição,1989,Chapman&

Hall),naspáginas300-302,édis utidoum onjuntodedadosondesemediramtemposde oagulação

(emsegundos)desangue,paraplasmanormaldiluído omnovediferentes on entraçõesdeplasma

semaproteínaprotrombina (dotipoproteaseserina, produzidanofígadoeque,quandoa tivada

-gerandoatrombina-estáasso iadaà oagulaçãodosangue). Doisdiferenteslotesdeumagente

a tivadorda oagulaçãoforamutilizados. Osdadosobservadosforamosseguintes.

Tempode oagulação

Con entração Lote 1 Lote2

5 118 69 10 58 35 15 42 26 20 35 21 30 27 18 40 25 16 60 21 13 80 19 12 100 18 12

Deseja-seestudaroefeitodasdiferentes on entraçõesdeplasmasemprotrombinasobreostempos

de oagulação. Come eporignorarosefeitosasso iadasaoslotes.

(a) Representegra amentetempo de oagulação(eixoverti al) ontra on entrações deplasma

(eixohorizontal),utilizandosímbolose/ou oresdiferentespararepresentarasobservaçõesde

adalote. Comente.

(b) Ésugeridoquearelaçãoentreasvariáveistempo e on entraçãodeplasmasemprotrombina

(variável on ) é de tipohiperbóli o, ou seja da forma

tempo

=

1 β

0 +β

1 ·conc

. Produza uma

representaçãográ aadequadaparavalidarvisualmenteestaproposta. Comente.

( ) Após um estudo grá o adequado, on lui-se que a relação mais adequada pare e ser do

tipo hiperbóli o mas sobre os logaritmos das on entrações de plasma, ou seja, da forma

tempo

=

_β

0 +β

1 ln(conc)

1

. Conrme,produzindoarepresentaçãográ aadequada.

(d) Para ajustar a relação indi ada na alínea anterior, a função de ligação indi ada é a função

re ípro o,

g(µ) =

1 µ

, utilizando omopreditora variáveldaslog- on entrações. Mas perma-ne ede péaes olhadequaladistribuiçãoaasso iaràvariável-respostatempo. Ajuste dois

diferentesMLGs,admitindo:

i. quetempo temdistribuiçãoNormal(Nota: No

R

,este ajustamento orrespondeadaro argumentofamily=gaussian(link=inverse)no omandoglm);

ii. que tempo tem distribuição Gama (Nota: No

R

, este ajustamento orresponde adar o argumento family=Gamma,não sendone essárioespe i arafunção deligação,uma vez

queafunçãore ípro oéafunçãodeligação anóni aparaadistribuiçãoGama).

Tra eas urvas orrespondentesa adaajustamento por imadanuvemdepontosdetempo

(eixoverti al) ontralog- on entraçõesdeplasma(eixohorizontal). Comente.

(e) Compare os ajustamentos obtidosna alínea anterior. Comente, e diga qual a es olha mais

adequada para distribuição de tempo, tendo em onta a natureza e valores dessa variável

(11)

(f) Ajustemodelos om omponentealeatóriaNormaleGama,efunçãodeligaçãore ípro o,mas

prevendoagoraquese ruzaopreditorquantitativolog- on entração omofa torlote.

(g) Interpreteo signi ado dos parâmetrosobtidos, traçandoas urvas ajustada para ada lote

numgrá odetempovs. log- on entração.