Unidade 6 - EMPUXOS DE TERRA

Unidade 6 - EMPUXOS DE TERRA

A determinação do valor do empuxo de terra, que deve ser entendido como a ação produzida pelo maciço terroso sobre as obras com ele em contato, é fundamental na análise e projeto de obras como muros de arrimo, cortinas em estacas pranchas, cortinas atirrantadas, escorramentos de escavações em geral, construções em subsolos, encontros de pontes, entre outras situações semelhantes a estas.

As fotos abaixo ilustram algums exemplos de obras de contenção em que são utilizadas diferentes soluções na estrutura de contenção a saber: (a) muro em solo-cimento - bairro de N. S. de Lurdes (J. Fora), (b) muro em concreto ciclópico - bairro Aeroporto (J. Fora), (c) muro em pedras arrumadas manualmente em gaiolas metálicas – gabiões e (d) muro em concreto armado.

(a) _(b)

(c) _(d)

Para a determinação das pressões de empuxo de terra (pressões horizontais) utilizaremos inicialmente os conceitos da teoria de elasticidade que relaciona o comportamento das tensões e deformações em diferentes direções nos materiais.

6.1 – Conceitos básicos e fundamentais de empuxo Teoria da Elasticidade

Inicialmente abordaremos alguns conceitos da teoria da elasticidade no que se refere ao comportamento dos solos e suas características de deformabilidade quando submetido a uma pressão de compressão.

Figura 6.1 – Deformação de um corpo submetido a um carregamento

Para cada tensão (carga) temos uma deformação (Lei de Hooke = proporcionalidade tensão-deformação). O parâmetro que reflete este comportamento é dado pelo:

Módulo da Elasticidade = E = Módulo de Young = Módulo de Deformabilidade. σ = Ε ε, logo: Deformação Tensão E ∆ ∆ =

Assim poderemos, a partir do gráfico tensão x deformação obtida em um ensaio de compressão, determinar o módulo de elasticidade em um segmento reto

Módulo inicial = é o adotado na condição em que o equilíbrio é elástico (retirada a carga o corpo volta a forma primitiva sendo que, nos solos o retorno se dá sempre parcialmente, havendo uma deformação residual ou plástica).

Considerando que o corpo de prova de solo sofre uma tensão de compressão, no sentido da altura, este sofre uma deformação neste sentido e conseqüentemente no sentido de seu diâmetro b, teremos então:

L L ∆ = ε , logo H H E v ∆ σ = ou b b E H ∆ σ =

A partir das deformações nos sentidos horizontal e vertical poderemos determinar o Coeficiente de Poisson (µ). O Coeficiente de Poisson é o parâmetro que reflete o quanto o solo deforma no sentido horizontal em relação à deformação no sentido do carregamento.

Logo: v h vertical horizontal Deformação Deformação ε ε = ∆ ∆ = µ ou µ = b H b H ∆ ∆

Valores típicos para Módulo de Elasticidade (E) de solos

Como ordem de grandeza, pode-se indicar os valores apresentados na tabela 6.1 como módulos de elasticidade para argilas sedimentares saturadas, em solicitações rápidas, que não dão margem à drenagem.

Para as areias, os módulos são os correspondentes à situação drenada (tabela 6. 2), pois a permeabilidade é alta, em relação ao tempo de aplicação das cargas.

Tabela 6.1 – Módulos de elasticidade típicos de argilas saturadas não drenada.

Módulo de elasticidade Consistência MPa kN/m²(kPa) Muito mole < 2,5 < 2500 Mole 2,5 a 5 2500 a 5000 Consistência média 5 a 10 5000 a 10000 Rija 10 a 20 10000 a 20000 Muito rija 20 a 40 20000 a 40000 Dura > 40 > 40000

Tabela 6.2 – Módulos de elasticidade típicos de areias em solicitação drenada, para tensão confinante de 100 kPa.

Módulo de elasticidade

Fofa Compacta Compacidade

MPa kN/m² (kPa) MPa KN/m² (kPa)

Areias de grãos frágeis, angulares 15 15000 35 35000 Areias de grãos duros, arredondados 55 55000 100 100000 Areia (S. Paulo), bem graduada, pouco argilosa 10 10000 27 27000

Valores típicos para coeficiente de Poisson (µ) de solos Para solos, tem-se a seguinte variação: 0,25 < µ < 0,5 Relação entre as tensões vertical e horizontal

Segundo o princípio da superposição dos efeitos: “A superposição dos estados elásticos diferentes ocasiona a superposição das deformações correlatas”.

A deformação no sentido da aplicação de σV, será: E v σ = ε ou E H H ₌ σv ∆

Para termos a deformação no sentido normal (horizontal), basta multiplicarmos por µ cada uma das parcelas da última igualdade acima, assim:

b b H H . H H b b E . v ∆ ₌ ∆ ∆ ∆ = σ

Agora, se quisermos a deformação no sentido ortogonal ao considerado (no caso vertical), por analogia temos:

H H b b b b H H E H ∆ ₌ ∆ ∆ ∆ = σ µ.

Em função da elasticidade do material (E e µ), verifica-se existir, uma proporcionalidade entre a tensão vertical e a correspondente tensão horizontal. O material recebe o esforço, absorve-o e se deforma segundo seus parâmetros de elasticidade.

Dentro deste princípio, qualquer valor de pressão horizontal será sempre calculado em função da pressão vertical que, em função apenas da ação do peso próprio do solo, corresponde, no sentido vertical, à pressão efetiva (e ocorrendo pressão neutra adicionando-se o valor da mesma).

σH = K. σV sendo K o chamado coeficiente de empuxo de terra. • Diagrama de tensões horizontais

Caso se desloque um volume de massa de solo de uma região, podemos substituí-lo por um plano cujo traço é OO'. Conforme a Figura 6.2, teremos:

Figura 6.2 – Diagrama de tensões horizontais

Maciço de solo homogêneo, com uma única camada sem NA e com o terrapleno horizontal (i = 0), isto é, não há desenvolvimento de pressão neutra.

A pressão lateral, normal a um plano vertical, será σH que, sendo proporcional

a σV, dará um diagrama de distribuição

idêntica (mesma forma) que para esta tensão.

Traçando-se o diagrama de pressões horizontais ou pressões laterais que agem

sobre o plano, teremos condição de calcular a resultante deste esforço horizontal que é

chamadosimplismente de empuxo, correspondente a área do diagrama de pressões horizontais e agindo no centro de gravidade do mesmo (isto é, no terço inferior da sua altura).

∫

∫

∫

∫

6.2 – Empuxo no repouso

Condição em que o plano de contenção não se movimenta

Consideramos, neste tipo de empuxo, um equilíbrio perfeito em que a massa de solo se mantem absolutamente estável, sem nenhuma deformação na estrutura do solo, isto é, está num equilíbrio elástico.

Consideramos a massa semi-infinita de solo homogêneo, em uma só camada permeável, sem ocorrência de lençol freático e com o terrapleno horizontal. Estando o solo num equilíbrio elástico, os esforços na direção horizontal podem ser calculados baseados nas constantes elásticas do material, isto é, dentro dos parâmetros de elasticidade (E e µ).

Suponhamos uma massa de solo onde, na profundidade h destacamos um determinado elemento que pode, verticalmente, se deformar pelo efeito do peso do material ocorrente acima; mas, essa deformação é equilibrada lateralmente devido à continuidade da massa em todas as direções. A massa confina o elemento com as tensões laterais, proporcionais à sobrecarga de peso. Esta situação, do elemento destacado, pode ser representada por uma situação equivalente onde o solo tenha sido deslocado, e um plano considerado imóvel, indeformável e sem atrito de contato substitui essa ausência, conforme representado na figura 6. 3 pelo plano de traço OO'.

Situação inicial Situação após retirar a massa de solo

Figura 6.3 – Representação dos esforços atuantes em um ponto no interior da massa de solo

A pressão lateral que o solo exerce na profundidade h será dada pela expressão:

v 0

h =K .σ

σ

Para o solo considerado (figura 6.3) a pressão vertical σv é igual a pressão efetiva.

Em situações de solos permeáveis, abaixo do NA, isto é, havendo surgimento de pressão neutra, em toda profundidade o diagrama de pressões horizontais ficará acrescido dessa parcela da pressão neutra.

Na figura 6.4 representamos o diagrama de pressões horizontais, cujas áreas nos dão o esforço total para as duas hipóteses consideradas.

Figura 6.4 – Diagrama de pressões horizontais

As estruturas cujos paramentos são travados (engastados) e não tem possibilade de sofrerem grandes variações de temperatura (no caso de obras enterradas), podem ser consideradas indeformados e dimensionados para absorverem estes esforços no repouso.

As pressões no repouso, preconizadas aqui, não dependem da resistência ao cisalhamento do solo, mas, de suas constantes elásticas conforme consideramos nas deduções.

• Determinação do valor do coeficiente de cálculo K em função dos parâmetros de deformação (parâmetros elásticos) do solo

Condição de Deformação Unitária Horizontal Nula

Consideremos um ponto no interior de uma massa de solo homogêneo, representado pelo cubo da figura 6.5, onde agem as tensões:

Figura 6.5 – Tensões que agem no interior de uma massa de solo

σV = no sentido da gravidade, vertical, que no caso

do simples peso próprio dos solos, é a pressão efetiva, (quando não há pressão neutra);

σH e σ’H = nos sentidos laterais, agindo nas outras

faces do cubo e correspondentes a continuidade da massa e a elasticidade do material do cubo.

Admitindo-se o solo perfeitamente elástico para estas solicitações e na condição de repouso absoluto, sem movimentação, temos:

a) Em relação à face destacada, teremos as ocorrências: 1 – Deformação horizontal devida a ação da tensão σH

E .σv

2 – Deformação horizontal, no sentido ortogonal, devido a ação da outra tensão σ’H E

' .σH

µ = outra parcela da deformação dessa face

As parcelas de deformações 1 e 2 têm sentidos contrários à deformação ocorrente devido a σH, na face destacada, ou seja:

Deformação horizontal devido essa ação da tensão σH, na face considerada, é: E

H σ =

ε = parcela em sentido contrário as deformações ocorrentes devidas a σV e σ’H.

Então, para satisfazer a condição de deformação horizontal unitária nula (na face

considerada), teremos a seguinte equação:

E E ' . E .σv _+µ σH ₌ σH µ ou 0 E E ' . E .σv _+µ σH ₋σH ₌ µ

b) Sendo o maciço de material homogêneo e considerado elástico, para os valores das tensões, teremos que a tensão horizontal σH é proporcional a tensão σV, donde tem-se a

relação: σ_H =K.σ_v

* No caso da consideração de repouso absoluto chamaremos KO de coeficiente de

empuxo no repouso (coeficiente de cálculo de σH). Assim: σ_H =K₀.σ_v

A tensão horizontal será proporcional a tensão vertical de um valor K0

correspondente ao coeficiente no repouso absoluto.

Considerando o solo homogêneo e contínuo e substituindo na equação anterior, temos: 0 E . K E . K . E .σv _+µ 0 σv ₋ 0 σv ₌ µ Simplificando a equação:

µ

−

µ

=

1

K

Quando é considerado o repouso absoluto, esta condição será satisfeita em função das constantes elásticas do material e o coeficiente de proporcionalidade entre σH e σV (pressões no ponto), deduzido, é função, apenas, do Coeficiente de Poisson.

No caso dos solos, o Coeficiente de Poisson é variável em função do material e situação de estar drenado ou não. Assim, do livro do SORVERS, temos a tabela 6.3 para os valores de K0 calculados.

O Prof. CAPUTO (1987) sugere, de uma forma genérica, os seguintes valores para K0 apresentados na tabela 6.4.

Solo K0 efetivo drenado K0 total sem drenagem

Argila média (mole) 0,6 1,0

Argila dura 0,5 0,8

Areia solta 0,6 –

Areia compacta 0,4 –

Considerado o coeficiente de Poisson, para solos: 0,25 < µ < 0,5. Tabela 6.4 – Valores genéricos de K0

Solo K0

argila 0,70 a 0,75 Areia solta 0,45 a 0,50 Areia compacta 0,40 a 0,45

A dedução de Jaky indica para solos normalmente adensados. Quanto mais resistente o solo, mais rígido, portanto menos elástico. Logo, maior a capacidade de absorver tensões internas, e assim, menores as deformações possíveis e as suas transmissões laterais.

K₀ ≅ − sen ϕ1

6.3 – Condições em que o plano de contenção se movimenta

Nas estruturas, fora das condições iniciais ilustradas acima, poderemos ter deslocamentos do plano de contenção em valores capazes de ativar a resistência interna

ao cisalhamento da estrutura de solo, pois, nem sempre, a estrutura é travada e apresenta as

condições de repouso absoluto. Ao se movimentarem, e serem capazes de acionar as resistências internas ao cisalhamento da massa de solo, serão desenvolvidas tensões horizontais diferentes das consideradas com os parâmetros da elasticidade.

São dois os estados de tensões desenvolvidos quando há o deslocamento da parede de contenção, conforme ilustrado na figura 6. 6.

Figura 6. 6 – Variações no tipo de empuxo com o deslocamento da parede. Desenvolvimento do empuxo

A tabela 6. 5 indicam inclinações típicas mínimas de afastamento do paramento vertical para acionar a resistencia ao cisalhamento no plano de ruptura e produzir os estados ativo e passivo de empuxo (segundo, Sowers e Sowers):

Solo Estado ativo Estado passivo Não coesivo composto 0,0005 H 0,005 H

Não coesivo solto 0,002 H 0,01 H

Coesivo duro 0,01 H 0,02 H

Coesivo médio/mole 0,02 H 0,04 H

* H = altura da estrutura

Em muitos casos, o próprio processo de variaçao das temperaturas nas massas de concreto (variação diária), darão condição de movimentação para acionar a resistência interna ao cisalhamento, como previsto nessa teoria.

Pontos básicos (Resumo)

Somente pressões efetivas mobilizam resistência ao cisalhamento dos solos;

Os valores de Ka e Kp são admitidos superdimensionados pelas condições ideais supostas para dedução de seus valores na teoria de Rankine, como será visto;

Existem várias teorias que tentam otimizar os valores dos empuxos para situações não ideais (simplificadas) como Coulomb, Método das cunhas, ..., como será visto. Em resumo, a variação do estado de tensões nos estados Ativo e Passivo, assim como em repouso, pode ser interpretado com o auxílio do traçado dos círculos de Mohr e da envoltória de resistência do material (sem coesão), como mostrado na figura 6. 7.

Figura 6. 7 - Estado de tensões nos estados Ativo e Passivo.

Partindo da tensão vertical σv = γz observa-se que o maciço expandindo-se, a

tensão horizontal σh decresce até que o círculo torna-se tangente à reta de Coulomb; neste

ponto, ocorre a ruptura e o valor de σh é dado por Kaγz. Assim, os pontos de tangência

representam estados de tensão sobre planos de ruptura.

Observa-se, assim, que no estado ativo a plastificação do maciço dá-se ao longo de planos definidos por um ângulo de

2

45+ com a horizontal e um ângulo de ϕ 2 45− no ϕ estado passivo.

1º caso – EMPUXO ATIVO - A Estrutura se desloca para fora do terrapleno Neste caso, o solo sofre uma distensão ao reagir contra esta ação de afastamento do plano interno da estrutura de contenção, provocando na massa uma resistência ao longo do possível plano de escorregamento. A massa desenvolve, em seu interior, toda a resistência

ao cisalhamento ao longo do plano de rutura, aliviando, até certo ponto, a ação do solo sobre o paramento interno da estrutura.

Este plano de rutura faz um ângulo α com o traço do plano principal maior, caracterizando um estado de tensões, como mostra a figura 6.7 limitando-se com a superfície do terrapleno e com o paramento interno da estrutura, formando assim uma região que é denominada cunha instável. Esta cunha está passível de movimento, portanto, onde se desenvolverá a resistência ao cisalhamento e onde cada movimento ocorrente não terá condição de retrocesso, isto é, nessa região o equilíbrio é plástico (figura 6. 8).

Figura 6.8 – Empuxo ativo

Podemos dizer, que neste caso o solo foi ativado em sua resistência interna sendo esta situação chamada de Estado Ativo de Equilíbrio. O esforço do solo desenvolvido sobre a estrutura de contenção, é, neste caso, chamado de Empuxo Ativo (figura 6. 9).

Figura 6.9 – Diagrama de pressões horizontais: empuxo ativo

Dentro de todas as considerações já feitas sobre o maciço, como no caso de empuxo no repouso, temos:

h v γ.

σ

K

γ

σ

Onde: Ka = coeficiente de empuxo ativo

_{. . .} 2 2 1 h K E_a = _aγ

2º caso – EMPUXO PASSIVO - A Estrutura se desloca contra o terrapleno Neste caso o solo é comprimido pela estrutura, sofre uma compressão na cunha instável, gerando, ao longo do plano de rutura, uma reação ao arrastamento, ou seja, à resistência ao cisalhamento.

O movimento do parâmetro interno contra a massa de solo, tentando deslocá-la, na

abrangência da região instável, provoca o surgimento da resistência interna ao cisalhamento e, ocorrendo esta movimentação, por pequena que seja, terá que vencer essa

resistência deslocando o peso da massa na região abrangida pela cunha. A ação do solo será passiva ao movimento sendo a situação de equilíbrio chamada de Estado Passivo de equilíbrio ou estado superior de solicitação em que a estrutura recebe todo esforço decorrente da ação passiva do solo em relação ao movimento

Esse esforço desenvolvido pelo solo sobre o parâmetro interno da estrutura é chamado de Empuxo Passivo.

De maneira similar, a cunha instável limitada pelo plano de rutura que faz um ângulo α com o plano principal maior ou com a horizontal (figura 6. 7), pela superfície do terrapleno e pelo parametro interno da estrutura de contenção, limita a massa de solo responsável por uma compressão no sentido horizontal gerando essa situação particular de equilíbrio, como mostra a Figura 6.10.

_{Figura 6.10 – Empuxo passivo}

Para o cálculo do empuxo, o procedimento será análogo, variando, apenas o coeficiente de empuxo, que, neste caso será Kp, ou coeficiente de empuxo passivo.

Assim temos: σ_v =γ.h=

K

A mobilização da resistência do solo ao longo da superfície de rutura (plano de rutura) é que reduz a ação do terrapleno (solo atrás da contençao no estado ativo e aumenta esta ação no caso do estado passivo. Vemos pelo gráfico da figura 6.11 que,

depois de determinada mobilização o empuxo não cresce nem decresce nos dois sentidos, pois, a resistência ao cisalhamento já atingiu o valor máximo. Esta variação de solicitação

no plano é decorrente, então, da capacidade que o solo tem de desenvolver, internamente, resistência ao cisalhamento.

Figura 6.11 - Representação esquemática dos casos de empuxo

“Tanto sob alívio de tensões laterais (condição ativa) como sob acréscimo de tensões laterais (condição passiva) existem, nas curvas típicas tensão-deformação dos elementos de solo, estados de tensão dentro dos quais o regime é “elástico”. Portanto, ocorridas as deformações tipo elásticas, “cessa” o movimento, estabelecendo-se o repouso. Reconhecemos, pois, que o eixo vertical de repouso assinalado na figura anterior é apenas uma condição das inúmeras de repouso possíveis, de gênero ativo e repouso-passivo. Para cada lado, o limite da faixa de possibilidades de repouso é dado pela natureza da curva tensão/deformação e o limite respectivo de comportamento elástico.”

Pressao Neutra

Tanto no caso de empuxo ativo quanto passivo é válida a consideração de

acréscimo no diagrama de pressões quando há condição do surgimento da pressão neutra.

Isto é, a pressão horizontal é calculada em função da ocorrência das pressões verticais efetivas e neutras, variando, somente o coeficiente de empuxo para cada caso específico a considerar.

6.4 – Teoria de Rankine

Rankine, para sua teoria, impõe algumas condições iniciais pressupostas como fundamentais para os primeiros passos da análise da resistência ao cisalhamento das massas de solos. São elas:

a) b) c) d)

O solo do terrapleno considerado é areia pura seca (sem coesão) homogênea em todo o espaço semi-infinito considerado;

O atrito entre o terrapleno e o parâmetro vertical do plano de contenção é considerado nulo;

Terrapleno sem nenhuma sobrecarga (concentrada, linear ou distribuída);

O terrapleno é constituído de uma camada única e contínua de mesmo solo e sua superfície superior é horizontal (solo homogêneo).

Condição do empuxo ativo (Figura 6.12)

Figura 6.12 – Empuxo ativo

A tendência da cunha, no caso ativo, é acompanhar o movimento com o afastamento, mas a resistência ao cisalhamento, desenvolvida ao longo do plano de rutura, reduz sua ação de movimento, diminuindo o esforço sobre o parâmetro vertical ao valor mínimo. Ressalta-se que somente pressão efetiva mobiliza resistência ao cisalhamento.

A condição inicial de Rankine impõe a condição de c = 0 (coesão nula). Tomando-se a equação analítica da rutura, temos:

1 3 2

σ =σ .Nϕ+ C Nϕ, para c = 0, temos: σ1=σ3.Nϕ

Para condição ativa, temos: e σ , donde, substitiuindo na equação acima, tem-se: σ σ

σ_h =σ_{3 v} =σ₁

ϕ v = h⋅N

Tirando-se o valor da pressão horizontal: σ σ

ϕ h = _N1 ⋅ v ou σh =Ka⋅σv a o o K N _tg tg = = + = − 1 1 45 2 45 2 2 2 ϕ ϕ ϕ ( ) ( ) Portanto,

Condição do empuxo passivo (figura 6.13)

Figura 6.13 – Empuxo passivo

Ao peso da cunha agindo sobre o parâmetro vertical se soma toda a resistência ao cisalhamento

desenvolvida ao longo do plano de rutura. Nesse caso, a componente horizontal é maior possível.

A tendência da cunha, no caso passivo, é resistir ao movimento da estrutura, ao longo de toda a superfície de rutura, por sua resistência interna ao cisalhamento. Assim, a ação do terrapleno sobre o parâmetro vertical aumenta.

Por analogia às considerações anteriores, temos: p o K = N_ϕ= tg2α =tg2 45 +ϕ 2 ( ) σ1 = Nϕ . σ3 ou σh = Nϕ . σv, logo:

Em função das expressões obtidas, temos:

kp 1 Ka = ou ka 1 kp= , sendo Ka < 1,0 e Kp > 1,0 e Ka < K0 < Kp

Para os diversos valores de ϕ, apresenta-se na tabela 6. 6, os coeficientes de empuxo ativo e

passivo.

Tabela 6. 6 – Coeficientes de empuxo ativo e passivo de acordo com ϕ

ϕ Ka Kp 0º 1,00 1,00 10º 0,70 1,42 20º 0,49 2,04 25º 0,41 2,47 30º 0,33 3,00 35º 0,27 3,69 40º 0,22 4,40 45º 0,17 5,83 50º 0,13 7,55 60º 0,07 13,90 Outras considerações

Mantendo-se a mesma conceituação de Rankine quanto aos coeficientes de empuxo, sairemos agora das condições iniciais (ideais). As considerações serão abordadas só para a condição ativa mas, por similaridade, podem ser extrapoladas para condição passiva.

6.4.1 – No caso de haver sobrecarga no terrapleno

Figura 6.14 – Empuxo com sobrecarga no terrapleno

Considere agora a ocorrência de ⇒ sobrecarga uniformemente distribuída no terrapleno.

q

Nesse caso, pode-se transformar essa sobrecarga em uma altura equivalente de solo da camada.

Altura equivalente de solo = h₀= q

γ = pesoespecíficodosolo vertical a

sobrecarg

O diagrama de pressões verticais terá uma pressão inicial σhi, como mostra a figura

6.14, devido à altura equivalente de terra (h0), a saber:

= = = γ γ γ σ_hi K_a. .h₀ K_a. .q Ka.q Isto é, σhi corresponde a q vezes o coeficiente de empuxo ativo.

6.4.2 – No caso de considerar o solo também coesivo

Nesse caso, a equação analítica da rutura permanece completa. Ou seja:

1 3 2

σ =σ .Nϕ+ C N . ϕ

Ou, no caso ativo: σ_V=σ_h.Nϕ+2. .C Nϕ

O valor de σh será: ϕ ϕ ϕ − σ = σ N N . C . 2 . N 1 V h ⇒ σh =Ka.σV −2.C. Ka Diagrama

Pela equação anterior vê-se que haverá um ponto em que σh = 0. Esse ponto

corresponde a:

a v a

K .σ = 2. .C K Considerando essa profundidade hI, escrevemos:

a I a I a a I a K h C K h C K K ou h C K . . . , : . γ γ γ =2 ∴ = 2 = 2

Região de tração devido a ocorrência de c, portanto, resistência a tração.

Figura 6.15 – Empuxo considerando o solo coesivo

Como se pode ver pelo diagrama, a área de tração será compensada por igual área de compressão, correspondente a mesma profundidade hI.

K

h

K

Haverá, portanto, da mesma forma que no caso da pressão horizontal, uma profundidade onde o empuxo ativo se anula. Nesse caso, a condição para que se anule é:

1

2.Ka. .γ h2=2. . .C h Ka.

A profundidade em que o empuxo se anula é denominada altura crítica (hcrit).

Substituindo temos: 1

2.Ka. .γ hcriti2 =2. .C hcrit. Ka Tirando-se o valor de hcrit:

crit a a a h C K K C K = 2 = 1 2 4 . . . . . . γ γ = 2.hI Teoricamente, nessa profundidade não há

desenvolvimento de empuxo. Logo, essa é a altura em que podemos fazer um corte sem necessidade de estrutura de contenção ou escoramento.

“Tratando-se de solos argilosos, por possíveis variações de c no período de utilização, o IPT/SP recomenda, em função de constatações práticas, que se adote um coeficiente de segurança, tomando-se hcrit = hI.”, ou seja, apenas

correspondente a fenda de tração (figura 6. 16). Figura 6. 16 – Aspecto das fendas _{de tração em solos argilosos}

6.4.3 – No caso de ocorrer NA na camada

Essa consideração já foi feita anteriormente quando se abordou a ocorrência de pressão neutra, mas, no caso faremos as considerações pertinentes (figura 6. 17).

Costuma-se, na grande maioria dos casos, se fazer um sistema de drenagem no terrapleno, de maneira que a pressão neutra não desenvolva pressão sobre o parâmetro vertical da estrutura de contenção, mas, supondo-se que por qualquer problema não se

possa fazer a drenagem temos:

Figura 6.17 – Empuxo considerando NA na camada (ϕ 2 > ϕ1)

Na faixa do NA teríamos a pressão neutra agindo em valor integral considerando-se assim o coeficiente de empuxo da mesma igual a 1,0, por se tratar de um fluido (transmite a mesma pressão em todas as direções).

6.4.4 – No caso de haver mais de uma camada

Nesse caso, no cálculo do diagrama da camada 2, consideraremos a camada 1 como uma sobre-carga sobre a camada 2 (figura 6.18), uma vez que o comportamento da camada 2 vai ser diferente da camada superior e, é função de suas caraterísticas de resistência.

Figura 6.18 – Empuxo considerando ocorrência de várias camadas (ϕ 2 < ϕ1)

Assim, a camada 1, será: q₁ =γ₁.h₁

2 1 1 2 1 0 h . q ' h γ γ = γ = _{a2 2 a2 2 2} 2 1 1 2 2 a 2 a 0 2 h .K . K . .h h . h . . K . K . ' h γ + γ γ γ = γ + γ = σ 2 2 2 a 1 1 2 a 2 h =K .γ .h +K .γ .h σ

6.4.5 – No caso de considerar atrito entre o parâmetro vertical e o solo do terrapleno Quando ocorre esse atrito, parte do empuxo que agiria no parâmetro vertical será

dispendido para vencer esse esforço de atrito. Para se ter esse valor do empuxo

desprendido, adota-se inclinar o vetor empuxo de um ângulo δ, em relação a vertical (figura 6.19), decompondo esse vetor em duas componentes normais entre si, ficando a horizontal menor que seu valor absoluto do empuxo inicial.

Figura 6.19 – Empuxo considerando atrito solo/estrutura

a aH E E <

( )

( )

O professor Pimenta Velloso em seu livro “Muros de Arrimo” adota os valores: Para muros de paredes lisas δ =

1 3ϕ Para muros de paredes normais δ =

2 3ϕ Para muros de paredes rugosas δ =

3 4ϕ 6.5 – Teória de Coulomb

Outra solução analítica consagrada para a determinação do empuxo de terra deve-se a Coulomb, datada de 1776, anterior a de Rankine que foi apresentada em 1857. Esta teoria é apresentada nestas notas de aula conforme publicado por CAPUTO (1987).

Solos não coesivos – Na teoria apresentada por este notável físico - Coulomb, o terrapleno é considerado como um maciço indeformável, mas que se rompe segundo superfícies curvas, as quais se admitem planas por conviniência (figura 6.20).

Considerando-se uma possível cunha de ruptura ABC, em equilíbrio sob a ação de: P – peso da cunha, conhecido em grandeza e direção;

R – reação do terreno, formando um ângulo ϕ com a normal à linha de ruptura BC; Ea – empuxo resistido pela parede, força

cuja direção é determinada pelo ângulo δ de atrito entre a superfície rugosa AB e o solo Figura 6.20 – Cunha de empuxo ativo

* Divergem as opiniões quanto ao valor a ser atribuído a δ, como visto acima, sabendo-se no entanto que ele não pode exceder ϕ; admite-se, segundo Müller Breslau, quanto muito ϕ

4 3 =

δ e, de acordo com Terzaghi, ϕ δ ϕ 3 2 2 ≤ ≤ .

Obtem-se assim a determinação de Ea (resultante de empuxo ativo) traçando-se o

polígono de forças, tal como desenhado na figura 6.20.

Admitindo-se, então, vários possíveis planos de escorregamentos, BCi, será

considerada como superfície de ruptura aquela que corresponder ao maior valor de Ea, que é o valor procurado.

Partindo das condições de equilíbrio das três forças P, R, Ea, deduzem-se (ver

CAPUTO, 1987) analiticamente as equações gerais, para os empuxos ativo (Ea) e passivo

(Ep), este último correspondendo à superfície de deslizamento, também suposta plana, que

Figura 6.21 – Cunha de empuxo passivo

Os valores para os coeficientes de empuxo segundo a teoria de Coulomb são: a a h K E . . 2 1_γ 2 = ₂ 2 2 ) sen( ) sen( ) sen( ) sen( 1 ) sen( sen ) ( sen       + − − + + − + = β α δ α β ϕ δ ϕ δ α α ϕ α a K p p h K E . . 2 1_γ 2 = ₂ 2 2 ) sen( ) sen( ) sen( ) sen( 1 ) sen( sen ) ( sen       + − − + − − + = β α δ α β ϕ δ ϕ δ α α ϕ α a K

A teoria de Coulomb, que apenas estamos considerando para o caso de solos não coesivos, leva em conta, ao contrário da teoria de Rankine, o atrito entre o terrapleno e a superfície sobre a qual se apóia.

Essas equações, para α = 90º e β = δ = 0º, transformam-se nas conhecidas

expressões de Rankine: ) 2 45 ( . . 2 1 ); 2 45 ( . . 2 1 _{2 2 2 2} ϕ γ ϕ γ − = + = h tg E h tg E_{a p}

Na prática podem ser usadas tabelas, como as de Krey, que facilitam muito a determinação dos valores do empuxo, como apresentado para o caso ativo de um muro com paramento vertical (α=00_{) e terrapleno com horizontal (β=0}0_{), na tabela 6.7.}

Tabela 6.7 - Coeficientes de empuxo ativo para muro com α=00 _{e β=0}0_.

ϕ 15º 20º 25º 27.5º 30º 32.5º 35º δ = 00 _{0.590 0491 0.406 0.369 0.334 0.301 0.272} δ = 50 _{0.557 0.466 0.386 0.351 0.318 0.288 0.261} δ = 100 _{0.534 0.448 0.372 0.340 0.309 0.281 0.253} δ = 150 _{0.517 0.435 0.364 0.332 0.302 0.274 0.248} δ = 200 _{- 0.428 0.358 0.328 0.300 0.271 0.246} δ = 250 _{- - 0.357 0.327 0.298 0.271 0.246} δ = 300 _{- - - - 0.297 0.273 0.248}

A curvatura da superfície de ruptura tem aqui maior importância que no caso ativo e é tanto mais acentuada quanto maior for δ em relação à ϕ, o que torna admissível a aplicação da teoria de Coulomb para o cálculo do empuxo passivo, somente aos solos não coesivos quando δ ≤ ϕ/3.

Solos coesivos – Na aplicação da teoria de Coulomb aos solos coesivos, além das forças R (atrito) e P (peso da cunha), devemos considerar ainda as forças de coesão, S, ao longo da superfície de deslizamento e de adesão, T, entre o terrapleno e a parede. O problema consiste, pois, em procurar o máximo valor da força Ea que, com as demais,

feche o polígono das forças (figura 6.22), as quais são conhecidas em grandeza e direção: P, S e T, e apenas em direção: R e Ea.

Figura 6.22 – Cunha de empuxo ativo considerado o solo coesivo

As soluções de Coulomb e Rankine são analíticas, embora sob conceituações distintas, são simples e de fácil utilização e vem sendo largamente empregadas até o presente, apesar de algumas limitações de aplicabilidade em situações práticas. Ambas não levam em conta, por exemplo, a condição de retroaterro ser irregular ou apresentar sobrecarga. Uma outra questão, para a análise de um projeto desta natureza, consiste no conhecimento do ponto de aplicação da força resultante de empuxo.

Diversas soluções gráficas (Poncelet, Culmann...) foram posteriormente apresentadas procurando resolver o problema.

O método de culmann procura determinar a força resultante de empuxo para retroaterro com geometria irregular ou ainda carregado externamente. Este método, na sua versão original, se aplica a solos não coesivos e leva em consideração não só o angulo de atrito do solo, mas também o atrito entre solo e muro. O valor do empuxo é determinado fazendo-se variar o ângulo de inclinação da superfície de ruptura, admitida plana. Entre os valores obtidos, o maior deles é tomado como sendo a resultante de empuxo procurada. 6.6 - Método das Cunhas

A solução gráfica da método das cunhas é similar à de culmann, no entanto, apresenta diferença na orientação de polígono de força e a vantagem de considerar a coesão como um parâmetro do solo (figura 6.23).

Figura 6. 23 – Método das Cunhas: Forças atuantes na cunha ABED; Polígono de forças; Determinação da inclinação de ‘R’ (Bowles, 1988).

A determinação da força resultante de empuxo pelo método das cunhas, segundo Bowles (1988), tem se mostrado bastante conservativa para o caso de se ter carregamento concentrado no retroaterro.

Quando ao ponto de aplicação desta resultante o que se tem usado associado a estes métodos são procedimentos práticos como apresentado por Terzaghi em 1943, apresentado na figura 6. 24, como uma solução simplificada e cuja aplicabilidade pode ser questionada.

Figura 6. 24 – Ponto de aplicação de Pa. Retroaterro irregular; Carga concentrada ou em linha na zona de ruptura; Externo a zona de ruptura, mas na zona ABC.

6.7 – Condiçoes de estabilidade de contençao de peso - muros de arrimo

A construção de muros de arrimo é obra que freqüentemente se apresenta ao engenheiro, particularmente ao engenheiro rodoviário. Os muros de sustentação podem ser de gravidade (construídos de alvenaria ou de concreto simples ou ciclópico), de flexão ou de contraforte (em concreto armado), ou, ainda, “muro de fogueira” (crib wall), formado por peças de madeira, de aço ou de concreto armado pré-moldado, preenchidos com solos os espaços entre as peças. A figura 6. 25 ilustra alguns exemplos de aplicação.

Outros tipos de obra de contenção são as estruturas construídas por uma gaiola metálica em forma de cesta, e cheia com pedras, chamadas gabiões, e a técnica da terra armada, concebida pelo francês H. Vidal, e que consiste em reforçar um terrapleno com tiras de aço, capazes de suportar forças de tração importantes. Algumas vezes esses elementos são corrugados, visando aumentar o atrito entre o solo e a armadura. (figura 6. 25, parte inferior).

Figura 6. 25 - Exemplos de aplicação de estruturas de contenção. Condições de Estabilidade

Na verificação da estabilidade de um muro de gravidade, seja de seção trapezoidal ou do tipo escalonado como representados na figura 6. 26, ou com qualquer outra seção, devem ser investigadas as seguintes condições de estabilidade:

Figura 6. 26 – Diferentes tipos de seção de muros de arrimo

1a condição: Segurança contra o tombamento – Evidentemente, a condição para que o muro não se tombe em torno da extremidade externa A da base, figura 6. 27, é que momento do peso do muro seja maior que o momento do empuxo total, ambos tomados em relação ao ponto A. É aconselhável que a resultante de todas as forças atuantes, R, passe dentro do “núcleo central” (terço médio da seção) da base AB e, tanto quanto possível, próximo do ponto médio O quando o muro repousar sobre o terreno muito compressível.

Figura 6. 27 – Resultante do peso do muro (R) na base, componentes vertical (V) e horizontal (H) e aspecto do diagrama de pressão no solo de apoio.

2a condição: Segurança contra o escorregamento – Desprezando-se a contribuição do empuxo passivo, Ep, o que é a favor da segurança, esta condição será satisfeita quando,

pelo menos:

1,5 H = V tg δ

sendo: δ igual ao ângulo de atrito entre o muro e o solo, o qual pode ser tomado, segundo CAPUTO (1986) da ordem de 30º se o solo é areia grossa pura e aproximadamente 25º se areia grossa argilosa ou siltosa, ou outros valores como já apresentado.

3a condição: Segurança contra ruptura e deformação excessiva do terreno de fundação – Quando a força R cair no núcleo central da base, o diagrama de pressões no solo será (o que é uma aproximação) um trapézio; o terreno estará, pois, submetido apenas a tensões de compressão. As equações de equilíbrio para a figura 6. 27 serão:

e V b b V b . 6 . . 2 . 2 2 1 2 1 = − = + σ σ σ σ ou 2 2 1 2 1 . .. 6 ) ( 2 1 ) ( 2 1 b e V b V = − = + σ σ σ σ ou ainda:       + = b e b V 6 1 1 σ e       − = b e b V 6 1 2 σ

Essas equações agrupam-se na fórmula única:

6 / . 2 b e V b V ± = σ

Com M = Ve e designando-se por W o momento resistente da base (de área S=b.1) em relação ao eixo baricêntrico:

, 6 2 / 12 / 2 3 _b b b = = W tem-se: W , M S V ± = σ

que é a conhecida fórmula da flexão composta

A condição a ser satisfeita, portanto, é que a maior das pressões (σ1) seja menor

ou igual à pressão admissível do terreno (conforme será visto na Unidade 07 do curso). As equações de equilíbrio para a figura 6. 28, quando a força R cair fora do núcleo

central, em que a distribuição é triangular, limitada à parte da compressão, serão: , 2 ' 3 . 1 e =_V σ donde: ' 3 2 1 e V = σ

Figura 6. 28 – Resultante do peso do muro (R) na base e aspecto do diagrama de pressão no solo de apoio, para a condição em que a força R cai fora do núcleo central. Essas três condições de estabilidade deverão ser satisfeitas para as seções críticas do muro em estudo. Uma quarta verificação deve também ser analisada, se possível, a saber:

4a condição: Segurança contra ruptura do conjunto muro-solo – A possibilidade de ruptura do terreno segundo uma superfície de escorregamento ABC (figura 6. 29) deve

também ser investigada, apartir da aplicação dos conhecimentos de Estabilidade de

taludes, vistos em outra disciplina do curso.

Figura 6. 29 - Possibilidade de ruptura do conjunto muro-solo, segundo uma superfície de escorregamento de instabilidade do talude.

6.8 – Exemplo de análise com uso de recursos computacionais

Este sub-iten é apresentado com o objetivo de servir de leitura complementar aos pontos abordados na unidade e também orientar o estudante na realização prática de uma análise de empuxo de terra e de estabilidade de um muro de peso através de um software disponibilizado aos alunos, por este autor, neste curso de Mecânica dos Solos.

“O MÉTODO DAS CUNHAS ITERATIVO”

Procurando uma solução para o problema da determinação do posicionamento da força resultante de empuxo, inicialmente para uma condição de retroaterro irregular sem carregamento, este autor desenvolveu um programa para microcomputador, em que se faz a discretização da altura do muro e calcula a resultante de empuxo, pelo método das cunhas, para cada altura determinada. A este procedimento chamou-se de “Método das Cunhas Iterativo” (MARANGON, 1992, trabalho publicado, direitos reservados).

Imaginou-se, desta forma, que o conhecimento da variação (diferença) do valor da resultante de empuxo calculada ao longo da altura do muro poderia ser uma informação que contribuiria para a determinação do diagrama de distribuição de pressões sobre a parede do arrimo, e também do ponto de aplicação de sua resultante.

Na figura 6. 30 tem-se a divisão da altura do muro em elementos discretos de alturas `dh` (constantes), a determinação das forças resultante de empuxo referente a cada altura Hi. Obtidas as forças ‘Pi’, aplicadas ao longo de toda a altura do muro a uma distância ‘di’ de um ponto na base, obteve-se o ponto de aplicação da resultante geral de empuxo aplicando-se uma equação, abaixo, de momento de forças em relação ao ponto fixo ‘a’ (figura 6. 30). Isto foi feito conhecida a resultante “R”, correspondente à área do diagrama de pressões determinado.

Σ Pi x di = R x Y Determinação do diagrama de pressões:

Dividiu-se a força Pi pela área de sua aplicação, correspondente a altura ‘dh” (calculada por metro linear de muro). Determinou-se, desta forma, a pressão ‘Pdi’ para cada elemento ao longo de toda sua altura, obtendo-se assim, o diagrama de pressões como

ilustrado na figura 6. 30. Observa-se que os valores de pressões obtidos (por exemplo à base do muro) serão dependentes da discretização adotada, como discutido posteriormente.

Figura 6. 30 – Resolução iterativa. Discretização na altura; Determinação do ponto de aplicação da resultante; Obtenção do diagrama de pressões (MARANGON, 1992).

Para o retroaterro com carregamento externo (pontual, pontual linear, em faixa ou seção carregada) fez-se uso da Teoria da Elasticidade, para a avaliação do acréscimo de pressão na parede, através da equação proposta por Boussinesq abaixo.

σr = P 3 sen ϕ2 cos ϕ3 – (1-2µ) cos2 ϕ

2 π z2 _{1 + cos ϕ}

Onde P: carga unitária pontual aplicada no solo; ϕ: ângulo entre a vertical e a

direção definida pela carga ao ponto em que se deseja obter o valor da pressão; µ: coeficiente de Poisson; Z: profundidade do ponto considerado para o cálculo.

Este acréscimo de pressão foi também calculado para cada altura ‘dh’e somado à pressão (empuxo) de terra calculada (sobreposição de efeitos). O ponto de aplicação da resultante foi então obtido para tais condições de retroaterro, sendo utilizado pelo programa para análise de estabilidade do arrimo.

Características Gerais do Programa

O programa para análise de empuxo de terra e análise de estabilidade de um muro

de peso, denominado de ‘EMPUFJF’ (EMPUXO-UFJF), foi escrita na linguagem

FORTRAN-77, compilado e editado em compilador da Microsoft, para ser executada em micro-computadores. A interação do usuário com o programa se realiza através da tela ou do arquivo de dados de entrada e saída. Considera os diversos parâmetros da interface solo-muro, de sobrecarga e da geometria do retroaterro e do muro, que são definidas por

coordenadas. O retroaterro poderá ser também definido por um ângulo constante em toda sua extensão. (figura 6. 31).

Figura 6. 31 – Dados de entrada considerados para o problema

O programa, nesta presente versão não considera o desenvolvimento de poropressão e a análise se dá em termos de tensões efetivas (parâmetros c’ e ϕ’ - condição drenada) e apresenta a opção de considerar a existência de trinca de tração, calculando sua profundidade e posicionando-a automaticamente a montante do talude e junto ao arrimo. Para cada superfície arbitrada (inclinação ρi) o programa identificar a poligonal fechada referente a sua cunha. A figura 6. 32 destaca uma destas cunhas de empuxo, à altura hi, com a consideração de abertura de trincas de tração no solo de retroaterro – formada pelo polígono ‘abcdefa’.

Figura 6. 32 – Determinação da resultante de empuxo máximo para a altura Hi, considerada a abertura da trinca (MARANGON, 1992).

A partir dos dados de entrada, faz-se o equilíbrio das forças, destacadas na figura 6. 32. As forças desconhecidas Ri (resultante na base da cunha) e Pai (resultante de empuxo no muro) são computadas analiticamente a partir das equações de equilíbrio em x e y:

Σ Fx = 0 Pa sen β + Cs cos ρ – sen γ – Cw cos α = 0 Σ Fy = 0 Pa cos ß + Cs ρ + R cos γ + Cw sen α – W = 0

A procura da superfície de ruptura crítica (inclinação ρmáx) é feita, para cada altura, variando-se o ângulo de inclinação da superfície de ruptura plana (ρ), partindo-se de um valor de ρ = ϕ até ρ = 80o_{, de 2}o _{em 2} o_{. Em seguida para o intervalo [- 2}o_{, + 2}o _{] da}

superfície de maior resultante obtida nesta primeira análise, varia-se de 0,5o _{em 0,5}o _para

melhor precisão do resultado.

Por se tratar de um processo iterativo a precisão dos resultados referentes ao diagrama de pressão, está associada ao incremento adotado pelo usuário. Sugere-se adotar um ‘dh’ da ordem de 1/60 a 1/400 da altura do muro.

Exemplo de diagrama para Retroaterro Sobrecarregado

No exemplo apresentado na figura 6. 33, considerou-se para o solo de retroaterro os parâmetros (ϕ = 30o _{, C = 0 e δ = 20}o_{). A seção retangular do carregamento foi dividida em}

10 partes para cada lado (NSQL e NSQW = 10), e assim, foi considerado como tendo 100 cargas unitárias de 16 kN (PSQR = 16), para um coefíciente de Poisson de 0,5.

Figura 6. 33 – Exemplo de retroaterro sobrecarregado.

Verificou-se inicialmente os resultados, adotando um ‘dh’ de 0,75m, para o acréscimo de pressão devido a sobrecarga. Em seguida, para o mesmo ‘dh’ foi verificado do empuxo do retroaterro e a sobreposição de efeitos. A figura 6. 34 apresenta os diagramas obtidos no exemplo. Observa-se que o carregamento externo elevou o ponto de aplicação, inicialmente em 2,50m (0,333 de h), para 3,065m, ou seja 0,409 de sua altura.

Figura 6. 34 – Pressão na parede sem a consideração do sobrecarregamento, Efeito proveniente da sobrecarga e Sobreposição de efeitos de retroaterro e sobrecarga.

Exemplo de diagrama para Retroaterro Irregular

Apresenta-se um exemplo (figura 6. 35) com retroaterro irregular definidos por coordenadas, sendo adotadas para o solo os parâmetros ϕ’= 35º e C = 0. O exemplo é também analisado substituindo-se esta irregularidade por um plano de inclinação constante (18,5º) que imagina-se equivalente. Na figura 6. 36 são apresentados os diagramas de pressão (empuxo) para ambas as considerações de retroaterro, e para este sendo horizontal.

Os diagramas de pressão para o retroaterro definido por um plano segundo um ângulo constante para a condição horizontal são triangulares e têm o seu ponto de aplicação à 1/3 de sua altura (0,333 h). Para a consideração da irregularidade do retroaterro, no entanto, o diagrama não apresentou a mesma linearidade e teve a aplicação de sua resultante elevada à 0,364 de sua altura.

.

Figura 6. 35 – Exemplo de retroaterro definido por coordenadas

Na figura 6. 36, apresenta-se, os ângulos de inclinação das superfície de ruptura crítica (ρmax), para cada altura ‘Hi’ considerada. Observa-se que, para o retroaterro plano, este ângulo é constante, para qualquer altura de muro considerada. Para o retroaterro irregular, este ângulo variou em função da altura considerada na determinação da cunha de empuxo crítica.

Figura 6. 36 – Exemplo de retroaterro irregular. Diagramas de pressões (empuxo) e Variação da inclinação da cunha de empuxo máximo (ρmáx) com a altura.

O programa além de obter a cunha de empuxo máxima (OPÇÃO 1) e o diagrama de empuxo (OPÇÃO 2), utilizando o “método das cunhas iterativo”, conforme apresentado por MARANGON (1992), analisa a condição de estabilidade de um muro de peso (OPÇÃO 3), conforme descrito.

Na análise da estabilidade considera as formas mostradas na figura 6. 37, onde Pw é a resultante de pressão da água preenchendo a trinca de tração, Phs é a resultante de sobrecarga no terrapleno e Pp é a resultante de empuxo passivo.

Figura 6. 37 – Forças consideradas na análise de estabilidade do muro de arrimo. Assim, as os fatores de segurança para o tombamento e deslizamento do muro podem ser escritos como abaixo. O valor do fator de segurança a ser adotado deve ser avaliado pelo projetista. É comum considerar satisfatório quando este valor supera 1,50.