1 INDICE
1- Silogismo Aristotélico ...02
2- Exercícios de Fixação...05
3- Lógica das Proposições...10
4- Conectivos Lógicos...12 5- Exercícios de Fixação ...13 6- Tabela da Verdade...17 7- Exercícios de Fixação...18 8- Negações lógicas...19 9- Propriedades da Condicional...21
10- Contradição, Tautologia e Contingência...22
11- Exercícios de fixação...23
12- Investigações(verdades ou Mentiras)...28
13- Exercícios...29
14- Lógica de Argumentação...35
15- Teoria dos conjuntos...37
2
Silogismo Aristotélico
Inferir significa extrair uma proposição como conclusão de outras. O silogismo é o argumento que, segundo Aristóteles, possui três características: é mediado, dedutivo e necessário.
O silogismo é mediado, pois não é apreendido imediatamente da percepção, mas deve usar o raciocínio para compreender o real. É dedutivo porque parte da verdade de premissas universais para se chegar a outras premissas. E é necessário, porque estabelece uma cadeia causal entre as premissas.
Termos do Silogismo
O silogismo é constituído de três termos:
Termo Maior: também chamado de extremo maior, ele surge na premissa maior, sendo o termo predicado da conclusão.
Termo Menor: também chamado de extremo menor, ele surge na premissa menor, sendo o termo sujeito da conclusão.
Termo Médio: ele aparece em ambas as premissas, entretanto, não aparece na conclusão.
Premissas:
Premissa significa a proposição, o conteúdo, às informações essenciais que servem de base para um raciocínio, para um estudo que levará a uma conclusão. Em lógica a premissa significa cada uma das proposições de um silogismo
]As premissas, para formar um silogismo, devem ser assim distribuídas:
A primeira premissa, chamada de premissa maior, deve conter o termo maior e o termo médio;
A segunda premissa, chamada de premissa menor, deve conter o termo médio e o termo menor;
A conclusão deve conter os termos maior e menor.
Abaixo, seguem algumas regras para um melhor entendimento da forma do silogismo:
1. Os três termos (maior, menor e médio) utilizados para a construção de um silogismo devem ter o mesmo sentido:
3 Todo leão é um mamífero.
Algumas pessoas são de leão.
Logo, algumas pessoas são mamíferos.
Nesse caso, o termo “leão” foi utilizado em dois sentidos: o animal e o signo. Não é válido esse silogismo pois contém quatro termos: leão (animal); leão (signo); mamíferos e pessoas.
2. Na conclusão de um silogismo, o termo médio não aparece, somente o termo maior e o menor:
Nenhum canídeo é felino. Todo canídeo é carnívoro.
Logo, este canídeo não é carnívoro felino.
Assim, o exemplo acima não é um silogismo e sim uma falácia formal.
3. Em toda sua extensão, o termo médio deve aparecer pelo menos uma vez:
Todas as frutas são vegetais. Todas as verduras são vegetais. Logo, todas as verduras são frutas.
Nesse caso de falácia formal, temos que os vegetais (como fruta ou verduras) são uma parte da extensão total dos vegetais.
4. Na conclusão do silogismo, os termos maior e menor não podem surgir com uma extensão maior que nas premissas:
Todo ato violento é condenável.
Muitos seres humanos cometem atos violentos. Logo, todos os seres humanos são condenáveis.
Nesse caso, a conclusão do silogismo deveria ser: Muitos seres humanos são condenáveis.
Em relação as proposições do silogismo, temos:
5. Quando um silogismo apresenta duas premissas afirmativas, a conclusão deverá ser afirmativa também:
Todos os felinos são mamíferos. Todos os mamíferos são vertebrados. Logo, alguns vertebrados não são felinos.
Nesse exemplo, a conclusão do silogismo deveria ser: Alguns vertebrados são felinos.
6. Quando um silogismo apresenta duas premissas negativas, não se pode concluir nada:
4 Nenhuma mãe é insensível.
Algumas mulheres não são mães.
Logo, algumas mulheres são insensíveis.
Nesse caso de falácia formal, tem-se uma conclusão injustificada e portanto não é um silogismo.
7. Quando um silogismo apresenta duas premissas particulares não é possível concluir nada:
Alguns vendedores não são honestos. Alguns brasileiros são vendedores.
Logo, alguns brasileiros não são honestos.
Temos acima um exemplo que viola a regra de silogismo, a partir de uma prova inconclusiva.
8. A conclusão de um silogismo sempre seguirá a parte mais fraca, ou seja, a premissa negativa e/ou particular:
Todos os gatos não são brancos. Alguns felinos são gatos.
Logo, todos os felinos não são brancos.
No exemplo acima, a conclusão do silogismo deveria ser: Alguns felinos não são brancos.
Dessa forma, pode-se configurar alguns modos de silogismo em Aristóteles:
A. Todas as proposições são universais afirmativas. Ex.:
Todos os homens são mortais. Todos os brasileiros são homens. Logo, todos os brasileiros são mortais.
Este é o famoso silogismo perfeito, porque demonstra a ligação necessária entre indivíduo, espécie e gênero. É o que visa à ciência.
B. A premissa maior é universal negativa, a premissa menor é universal afirmativa e a conclusão é universal negativa.
Ex.:
Nenhum astro é perecível. Todas as estrelas são astros. Logo, nenhuma estrela é perecível.
5
C. A premissa maior é universal afirmativa, a premissa menor é particular afirmativa e a conclusão é particular afirmativa.
Ex.:
Todos os homens são mortais. João é homem.
Logo, João é mortal.
D. A premissa maior é universal negativa, a premissa menor é particular afirmativa e a conclusão é particular negativa.
Ex.:
Nenhum rei é amado. Henrique VII é um rei.
Logo, Henrique VII não é amado.
Silogismos - Negação
Todos são ... negativa= Alguns não são Nenhum é ... negativa = Alguns são
Ex todos os homens são loiros.
Negação: alguns homens não são loiros.
Exercício
1-Nenhum universitário é estudioso. Alguns estudiosos são candidatos aprovados em concursos. Logo,
A.alguns candidatos aprovados em concurso não são universitários. B.todo universitário é estudioso.
C.nenhum candidato aprovado em concurso é estudioso. D.alguns universitários não são estudiosos.
E.todo universitário é estudioso e aprovado em concurso.
6 I Todo brasileiro é artista.
II Joaquim é um artista.
3-Considere as seguintes premissas:
"Todos os generais são oficiais do exército". "Todos os oficiais do exército são militares".
Para obter um silogismo válido, a conclusão que logicamente se segue de tais premissas é:
a) "Alguns oficiais do exército são militares". b) "Nenhum general é oficial do exército".
c) "Alguns militares não são oficiais do exército". d) "Todos os militares são oficiais do exército". e) "Todos os militares são generias.
4-Considerando a premissa maior "Nenhum inseto tem coluna vertebral" e a premissa menor "Todas as moscas são insetos", a conclusão correta do silogismo válido é:
a) "Nenhum inseto é mosca".
b) "Alguns insetos não são moscas". c) "Nenhuma mosca tem coluna vertebral". d) "Alguns insetos têm coluna vertebral". e) "Algumas moscas são insetos".
5-Os silogismos são formas lógicas compostas por premissas e uma conclusão que se segue delas. Um exemplo de silogismo válido é:
a) Curitiba é capital de Estado. São Paulo é capital de Estado. Belém é capital de Estado.
b) Alguns gatos não têm pelo. Todos os gatos são mamíferos. Alguns mamíferos não têm pelo.
c) Todas as aves têm pernas. Os mamíferos têm pernas. Logo, todas as mesas têm pernas.
7
d) Antes de ontem choveu. Ontem também choveu. Logo, amanhã certamente choverá.
e) Todas as plantas são verdes. Todas as árvores são plantas. Todas as árvores são mortais.
6-As proposições que compõem as premissas e a conclusão dos silogismos podem ser (I ) universais ou particulares e (II ) afirmativas ou negativas. Considerando estas possibilidades, é correto afirmar que a proposição
a) "Nenhum ser humano é imortal" é universal e negativa.
b) "Todos os seres vivos não são organismos" é particular e negativa. c) "Algum ser vivo é mortal" é universal e afirmativa.
d) "Sócrates é imortal" é universal e afirmativa.
e) "Nenhum organismo é mortal" é particular e afirmativa.
7-Na lógica clássica, as proposições que compõem um raciocínio são classificadas como:
(1) universais ou particulares e (2) afirmativas ou negativas. Assim sendo, as proposições :
-"todo ser humano é mortal",
-"algumas pessoas não usam óculos" -"alguns motoristas são descuidados" São classificadas,respectivamente, como:
a) particular afirmativa, universal negativa e universal afirmativa. b) particular afirmativa, universal negativa e particular afirmativa. c) universal afirmativa, particular afirmativa e particular negativa. d) particular negativa, particular afirmativa e universal afirmativa. e) universal afirmativa, particular negativa e particular afirmativa
8-Dadas as premissas:
8 “Existem fanáticos inteligentes.”
Pode-se tirar a seguinte conclusão: a.) Alguns corintianos são inteligentes. b.) Todo corintiano é inteligente.
c.) Nenhum corintiano é inteligente.
d.) Alguns inteligentes não são corintianos. e.) Alguns corintianos não são inteligentes.
Gabarito 1-A 2- Joaquim é brasileiro 3-E 4-C 5- B 6- A 7-E 8-A
Determine a veracidade das seguintes formas, ou seja a forma correta, se necessário:
1) Todo o A é B.
Todo o A é C. Logo, algum C não é B. 2) Algum A não é B
Todo o A é C. Logo, algum C é B. 3) Todo o A é B.
Algum A não é C. Logo, algum C é B. 4) Nenhum A é B.
Todo o A é C. Logo, algum C é B. 5) Algum A é B.
Todo o A é C. Logo, algum C não é B. 6) Nenhum A é B.
9 7) Nenhum A é B.
Todo o C é A. Logo, nenhum B é C 8) Nenhum A é B.
Todo o C é A. Logo, algum C é B. 9) Todo o A é B.
Algum C não é A. Logo, algum C é B. 10) Nenhum A é B.
Algum C é A. Logo, algum C é B. 11) Nenhum A é B.
Todo o C é B. Logo, nenhum C é A. 12) Nenhum A é B.
Todo o C é B. Logo, algum C é A. 13) Todo o A é B.
Nenhum C é B. Logo, nenhum C é A. Gabarito
1- ( algum C é B) 2- ( algum C não é B) 3- ( algum C não é B)
4- ( nenhum C é B) 5-( algum C é B) 6-(algum C não é B) 7(nenhum C é B) 8-(nenhum c é B) 9- ( algum C não é B)
10
Lógica das Proposições
Está sedimentada sobre alguns princípios. São os seguintes:
Uma proposição verdadeira é verdadeira; uma proposição falsa é falsa. (Princípio da identidade);
Nenhuma proposição poderá ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. (Princípio da Não Contradição);
Uma proposição ou será verdadeira, ou será falsa: não há outra possibilidade. (Princípio do Terceiro Excluído).
O que é uma Proposição?
Quando numa frase declarativa podemos atribuir um julgamento de verdadeiro ou falso, sendo estas as únicas expressões possíveis, dizemos que tal frase se trata de uma proposição.
Exemplo: Carlos é paranaense.
Para essa afirmação podemos imputar o valor lógico de falso ou verdadeiro, portanto, “Carlos é paranaense”, corresponde a uma proposição.
Outros exemplos de proposição:
1. Dois é o único número par que é primo. 2. Porto Alegre é a capital do Rio Grande do Sul. 3. Nenhum número par termina em cinco ou zero.
Em todas as frases podemos julgar como verdadeira ou falsa.
Quando uma frase não é uma proposição?
Quando não se pode atribuir a elas, um julgamento de verdadeiro ou falso. Exemplos:
1.) Vamos pescar hoje? Essa é uma frase interrogativa, faz uma pergunta. 2). Menino não mexa aí. Essa frase é imperativa, pois exprime uma ordem. 3). Maravilhoso essa sobremesa! Essa frase representa uma expectativa. 4.) Sua idade multiplicada por R$5,00 é o seu prêmio. Essa é uma sentença aberta, pois depende da idade de quem a lê.
11
5) x + 10 = 40 tem uma parte literal = sentença aberta – não é proposição. Valor lógico das proposições:
1- V(V)- valor lógico verdadeiro 2- V(F)-valor lógico falso
Ex. a proposição p: Carla é professora do JC concursos. V(F) valor lógico falso.
Proposições podem ser ditas simples ou compostas.
Serão proposições simples aquelas que vêm sozinhas, desacompanhadas de outras proposições. São expressas pelas letras p. q., r, s..
Exemplos:
p.: José comprou um carro. q :Ana perdeu o cabelo.
Como Negar proposições simples: Ex. Maria é cozinheira
Negação:
-Maria não é cozinheira -Maria é copeira
-Não é verdade que Maria é cozinheira.
Proposição Composta também chamada de fórmula proposicional
Formada pela combinação de duas ou mais proposições. São designadas pelas Letras P, Q, R, T...
Elas vêm juntas com outras proposições, unidas através de um conectivo. Considere as proposições simples:
1. Cecília é professora na faculdade. 2. Cecília é médica
12 Os conectivos Lógicos são :
Obs: ~ = não 1-Conjunção = E ( ^)
Ex. Cecília é professora e é médica.
2—Disjunção- OU ( v)
Ex. Célia é professora na faculdade ou é médica.
3-Disjunção Exclusiva – Ou – OU ( v ) ( um ou o outro , mas não ambos) Ex. Ou Célia é professora ou Célia é médica.
.4- Condicional SE ... ENTÃO ( →)
Ex. Se Célia é professora então Célia é médica
5-Bicondicional Se e Somente Se (⬌)
Ex.: Célia é professora se e somente se Célia é médica.
Como saber se a proposição composta é verdadeira: 1-Na conjunção(e) :
-Só será verdade, se ambas as proposições forem verdadeiras.
2-Na Disjunção(ou) :
- Só será verdadeira se uma das proposições for verdadeira.
3-Na Disjunção Exclusiva ( ou..ou):
- Só será falsa ,se ambas forem verdadeiras, ou ambas falsas.
13
-Só será falsa, se a primeira proposição for verdadeira e a segunda for falsa.
5- Bicondicional( se e somente se):
- Só será verdadeira se ambas são falsas ou ambas verdadeiras. Como Negar uma proposição composta:
Conjunção : e ~( p ^q) = ~p v ~q
1. Nega-se a primeira parte (~p) = João não é médico; 2. Nega-se a segunda parte (~q) = Pedro não é dentista; 3. Troca-se E por OU,
Disjunção: ou ~(p v q) = ~p ^~q
1. Negaremos a primeira parte (~p); 2. Negaremos a segunda parte (~q); 3. Trocaremos OU por E.
Condicional: se..então ~(p→q) = p ^~q
1º) Mantém-se a primeira parte; e 2º) Nega-se a segunda parte.
Bicondicional: se e somente se ~(p⬌q) = (p ^~q ) v ( q ^~p)
1- Copia a primeira e nega a segunda com conectivo “e“ 2- Coloque OU
14 Disjunção Exclusiva: ou..ou
~(p v q) = p ⬌q
Exercícios de Fixação:
1-Classifique em verdadeira ou falsa cada uma das seguintes proposições compostas. a) 4-3 = 1 v 2 x 2 = 4 ... b) 2! = 2 ^ 0! =1 ... c) 4x 0 = 1 ^ 2 x 3 = 6... d) |-2| = 2 ^ 3 x 1 =0 2-Sejam as proposições:
p: A vaca foi para o brejo q: O boi seguiu a vaca.
Forme sentenças, na linguagem natural, que correspondam as proposições abaixo: a) ¬p b) ¬q c) p ^ q d) p v q e) ¬p ^ q f) P v ¬q g) ¬(p ^ q) h) ¬(p v q) i) ¬p v ¬q j) ¬p ^ ¬q k) ¬(¬q) l) ¬(¬p) 3-Sejam as proposições: p: João é alto
q: João é jogador de Basquete . Escreva na forma simbólica
a.) Se João não e alto então ele e jogador de basquete. b.) Se João não e alto então ele não e jogador de basquete.
15
c.) E mentira que se João não e alto então ele e jogador de basquete. d.) João e alto se e somente se ele não e jogador de basquete.
e.) João não e alto se e somente se ele e jogador de basquete. f.) João não e alto se e somente se ele não e jogador de basquete.
g.) E mentira que João não e alto se e somente se ele e jogador de basquete. h.) E mentira que João não e alto se e somente se ele não e jogador de basquete.
i.) Se João e alto então ele e jogador de basquete. j.) Se João e alto então ele não e jogador de basquete.
k.) Não e verdade que se João e alto então ele e jogador de basquete. l.) Não e verdade que se João e alto então ele não e jogador de basquete. m.) João e alto se e somente se ele e jogador de basquete.
n.) E mentira que se João não e alto então ele não jogador de basquete. o.) Não e verdade que João e alto se e somente se ele e jogador de basquete. p.) Não e verdade que João e alto se e somente se ele não e jogador de basquete.
4-Sejam as proposições: p: A vaca foi para o brejo q: O boi seguiu a vaca.
Forme sentenças, na linguagem natural, que correspondam às proposições abaixo: a) p → q b) ￢p → ￢q c) ￢(p ↔ q) d) (p ^ q) → ￢q e) p → ￢(p v q) f ) ￢p → q g) p ↔ q
16 h) ￢p ↔ ￢q i) p → ￢(p ^ q) j) ￢p → ￢(p v q) k) p → ￢q l) ￢p ↔ q m) p → (p ^ q) n) ￢p → ￢(p ^ q) o) ￢(p v q) → ￢q p) ￢(p → q) q) p ↔ ￢q r) ￢p → (p ^ q) s) ￢(p ^ q) → ￢q t) p ↔ (p ^ q) Gabarito 1) a-V b-V c- F d-F
2)a) A vaca não foi para o brejo. b) O boi nao seguiu a vaca.
c) A vaca foi para o brejo e o boi seguiu a vaca. d) A vaca foi para o brejo ou o boi seguiu a vaca. e) A vaca nao foi para o brejo e o boi seguiu a vaca. f ) A vaca foi para o brejo ou o boi nao seguiu a vaca.
g) Não e verdade que a vaca foi para o brejo e o boi seguiu a vaca. h) Não e verdade que a vaca foi para o brejo ou o boi seguiu a vaca. i) A vaca não foi para o brejo ou o boi não seguiu a vaca.
j) A vaca não foi para o brejo e o boi não seguiu a vaca. k) Nao e verdade que o boi não seguiu a vaca.
l) Nao e verdade que a vaca não foi para o brejo.
3)a) ¬p v q b) ¬p v ¬q c) ¬(¬p v q) d) p v ¬q e) ¬p v q f) ¬p v ¬q g) ¬(¬p v q) h) ¬(¬p v ¬q) i) p v q j) p v ¬q k) ¬(p v q) l) ¬(p v ¬q) m) p v q n) ¬(¬p v ¬q) o) ¬(p v q) p) ¬(p v ¬q)
4-a) Se a vaca foi para o brejo então o boi seguiu a vaca.
17
c) Nao e verdade que a vaca foi para o brejo se e somente se o boi seguiu a vaca.
d) Se a vaca foi para o brejo e o boi seguiu a vaca então o boi nao seguiu a vaca.
e) Se a vaca foi para o brejo então nao e verdade que a vaca foi para o brejo ou o boi seguiu a vaca.
f) Se a vaca nao foi para o brejo então o boi seguiu a vaca. g) A vaca foi para o brejo se e somente se o boi seguiu a vaca.
h) A vaca nao foi para o brejo se e somente se o boi nao seguiu a vaca.
i) Se a vaca foi para o brejo então nao e verdade que a vaca foi para o brejo e o boi seguiu a vaca.
j) Se a vaca nao foi para o brejo então nao e verdade que a vaca foi para o brejo ou o boi seguiu a vaca.
k) Se a vaca foi para o brejo então o boi nao seguiu a vaca.
l) A vaca nao foi para o brejo se e somente se o boi seguiu a vaca.
m) Se a vaca foi para o brejo então a vaca foi para o brejo e o boi seguiu a vaca.
n) Se a vaca nao foi para o brejo então nao e verdade que a vaca foi para o brejo e o boi seguiu a vaca.
o) Se nao e verdade que a vaca foi para o brejo ou o boi seguiu a vaca então boi nao seguiu a vaca.
p) Nao e verdade que se a vaca foi para o brejo então o boi seguiu a vaca. q) A vaca foi para o brejo se e somente se o boi nao seguiu a vaca.
r) Se a vaca nao foi para o brejo então a vaca foi para o brejo e o boi seguiu a vaca.
s) Se nao e verdade que a vaca foi para o brejo e o boi seguiu a vaca então o boi nao seguiu a vaca.
t) A vaca foi para o brejo se e somente se a vaca foi para o brejo e o boi seguiu a vaca.
Tabela Verdade
Ppodemos representar as proposições compostas numa tabela chamada de “tabela verdade”. p q ~p p v q p→q p⬌q p ^ q V V F V V V V V F F V F F F F V V V V F F F F V F V V F
Como achar o nº de linhas da tabela: n
2 = 2 proposições tem 4 linhas (2 elevado a 2) = 4linhas n= número de proposições
Por exemplo, caso formos analisar uma proposição composta com duas proposições simples (p e q), poderemos analisá-las das seguintes maneiras:
18 p q V V V F F V F F 2
Repare que fórmula já previa quatro linhas para serem analisadas. 2 = 4 linhas
Vamos analisar agora uma proposição composta com três proposições simples (p,q e r). P Q R V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F 2
Repare que fórmula já previa oito linhas para serem analisadas. 2 = 8 linhas
Exercícios de Fixação
1-Se A, B e C são enunciados verdadeiros e X, Y e Z são enunciados falsos. Classifique os enunciados abaixo em verdadeiros ou falsos:
a) (C v Z) ^ (Y v B) b) (A ^ B) v (X ^ Y) c) ￢(B v X) ^ ￢(Y v Z) d) ￢(C v B) v ￢(￢X ^ Y) e) ￢B v X f ) ￢X v A g) ￢X v Y h) ￢[(￢B v A) v (￢A v B)] i) ￢[(￢Y v Z) v (￢Z v Y)] j) ￢[(￢C v Y) v (￢Y v C)]
2-Sejam p e q duas proposições. A negação p ^ q equivale a: a.) ¬p v ¬q b.) ¬p ^ ¬q
c.) ¬p v q d.) ¬p v q e.) p ^ ¬q
19
3-Sejam p e q duas proposições A negação p → q equivale a: a.) ¬p v ¬q b.) ¬p ^ ¬q
c.) ¬p v q d.) ¬p ^ q e.) p ^ ¬q
4-Se A, B, C são sentenças verdadeiras e X, Y, Z são sentenças falsas, então os valores de verdade de (¬A ^ ¬X) v (Y → C), B → (Y → Z) e B → Z
respectivamente são:
a) verdadeiro, verdadeiro, falso b) falso, verdadeiro, falso c) falso, falso, verdadeiro
d) verdadeiro, falso, falso e) verdadeiro, falso, verdadeiro
Gabarito
1)a) V b) V c) F d) V e) F f ) V g) V h) F i) F j) F 2)B 3-E 4-A
Exercícios para Fixação:
1- Assinale a alternativa que exibe a quantidade de linhas que uma proposição composta com 8 proposições simples pode possuir em uma tabela
verdade. a.) 16 linhas b.) 32 linhas c.) 64 linhas d.) 128 linhas e.) 256 linhas
2- Assinale a alternativa que exibe a quantidade de linhas que uma proposição composta com 6 proposições simples pode possuir em uma tabela verdade. a.) 64 linhas b.) 128 linhas
c.) 256 linhas d.) 512 linhas e.) 1024 linhas
Negações
As proposições são equivalentes se a tabela-verdade for igual. ¬(¬p) é p ¬(p ˄ q) = ¬p ˅ ¬q ¬(p ˅ q= ¬p ˄ ¬q ¬(p ˅ q) = p ↔ q ¬(p → q) = p ˄ ¬q (p ↔ q) = (p → q) ˄ (q → p)
20
Leis da Dupla Negação ~(~p) = p
Negar uma negação é afirmar
Daí, concluiremos ainda que: S não é não P então S é P Todo S não é não P = Todo S é P Algum S não é não P = Algum S é P Nenhum S não é não P = Nenhum S é P Exemplos:
1) A bola de futebol não é não esférica = A bola de futebol é esférica
2) Todo número inteiro não é não racional = Todo número inteiro é racional 3) Algum número racional não é não natural = Algum número racional é natural 4) Nenhum número negativo não é não natural = Nenhum número negativo é natural
Equivalências Básicas 1. p e p = p
Ex: André é inocente e inocente = André é inocente 2. p ou p = p
Ex: Ana foi ao cinema ou ao cinema = Ana foi ao cinema 3. p e q = q e p
Ex: O cavalo é forte e veloz = O cavalo é veloz e forte 4. p ou q = q ou p
Ex: O carro é branco ou azul = O carro é azul ou branco 5. p ↔ q = q ↔ p
Ex: Amo se e somente se vivo = Vivo se e somente se amo. 6. p ↔ q = (p→q) e (q→p)
Ex: Amo se e somente se vivo = Se amo então vivo, e se vivo então amo
Equivalências da Condicional
1-Se p então q = Se não q então não p. ( p→q equivalente a ~q →~p)
21 2) Se p então q = Não p ou q.
p→q equivalente a ~p v q
Ex: Se estudo então passo no concurso = Não estudo ou passo no concurso
PROPRIEDADES DA CONDICIONAL
Ainda sobre o conectivo “se então”, temos que memorizar 3 conceitos sobre tal conectivo:
Proposições Inversas: para encontrar a inversa de uma proposição
composta basta negar as frases.p → q sua inversa é ¬p → ¬q x → ¬y sua inversa é ¬x → y
Proposições recíprocas: para encontrar a recíproca de uma proposição
composta basta inverter as frases.p → q sua recíproca é q → p x → ¬y sua recíproca é ¬y → x
Proposições contrapositivas: para encontrar a contrapositiva de uma
proposição composta basta inverter e negar as frases.Por exemplo, a proposição "Todos os morcegos são mamíferos" pode ser reescrita em sua forma condicional "Se algo é morcego, então é mamífero".
p → q sua contrapositiva é ¬q → ¬p x → ¬y sua contrapositiva é y → ¬x
Exercícios de Fixação
1-Sejam p e q duas proposições.
A proposição p → ￢q tem como recíproca a seguinte proposição:
a.) ￢p → q b.) ￢p → ￢q
c.) q → ￢p d.) ￢q → p
e.) p → q
2-Sejam p e q duas proposições. A proposição ￢p → ￢q tem
como contrapositiva a seguinte proposição:
22
c.) q → p d.) ￢q → p
e.) p → q
3-Sejam p e q duas proposições. A proposição ￢p → ￢q tem
como inversa a seguinte proposição:
a.) ￢p → q b.) ￢p → ￢q
c.) q → ￢p d.) ￢q → ￢p
e.) p → q
4-Sejam p e q duas proposições. A proposição ￢p → ￢q tem
como recíproca a seguinte proposição:
a.) ￢p → q b.) ￢p → ￢q
c.) ￢q → ￢p d.) ￢q → p
e.) p → q
GABARITO 1-D 2-C 3-E 4-cCONTRADIÇÃO;
Uma proposição composta por duas ou mais proposições simples p, q, r .... será dita uma contradição se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lógicos das proposições p, q, r, .. que as compõe.
Lula é o presidente do Brasil e lula não é presidente do Brasil; H1 :
p : Lula não é presidente do Brasil. H2:
P: Lula é o presidente do Brasil.
Para escrevermos p ^ ~p
p ~p P^~p
H1 v F F
H2 F V F
23
Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições simples, p, q, r,... será dita uma Tautologia se ela for sempre verdadeira independentemente dos valores lógicos dessas proposições.
Ex: Gabi passou no TJ ou ela não passou no TJ
Não é verdade que o Zé parece o pateta ou o Zé parece o pateta; H1:
P:Gabi passou no TJ H2:
~p: Gabi não passou para o TJ
p ~p P v~p
H1 V F V
H2 F V V
É taulologia.
Contingência
Sempre que uma proposição composta recebe valores lógicos falsos e verdadeiros, independentemente dos valores lógicos das proposições simples componentes, dizemos que a proposição em questão é uma CONTINGÊNCIA. Exemplos
Vamos determinar todos os possíveis valores lógicos da proposição p ^ ¬q, construindo a seguinte tabela-verdade
p q ~q p ^q V V F V V F V F F V F F F F V F
Exercícios:
1-Seja p : Carla é professora q:Carla é exigente
Represente cada uma das seguintes afirmações em função de p e q:
a-Carla é professora ou Carla é exigente;...
b-Carla é professora se e somente se é exigente;... c-Carla é professora então é exigente;...
24
d-Carla é professora e é exigente;... e-Carla não é professora nem exigente;...
2-Sejam p e q tal que: p: o réu é culpado q: o réu é condenado
Escreva as proposições abaixo; a- Não p
b- p e q c- p ou q d- se p então q
e- p se e somente se q
3) Entre as frases apresentadas a seguir, identificadas por letras de A a E, apenas duas são proposições.
A: Pedro é marceneiro e Francisco, pedreiro. B: Adriana, você vai para o exterior nessas férias? C: Que jogador fenomenal!
D: Todos os presidentes foram homens honrados. E: Não deixe de resolver a prova com a devida atenção
4)Considere a proposição composta (A˄ B) ˅ ~(A˄C), em que A, B e C têm os seguintes significados:
A: Carla lê livros de ficção. B: Carla lê revistas de moda. C: Carla lê jornais.
Assinale a opção correspondente à tradução adequada e correta:
A. Carla lê livros de ficção e revistas de moda, mas não lê livros de ficção ou lê jornais.
B. Carla lê somente livros de ficção e revistas de moda, e não lê jornais.
C. Carla lê livros de ficção e revistas de moda, ou ela não lê livros de ficção e jornais.
D. Carla lê livros de ficção e revistas ao mesmo tempo, e não lê livros de ficção nem jornais.
25 5- Considere
p: 4 + 9 = 12
q: o número 42 é par.
Qual proposição composta tem valor lógico verdade? a) ~p ∨ q
b) p ∧ q
c) se q , então p d) ~p ↔ ~q
6) Dadas as proposições p e q na proposição p v q, será falsa quando: a) p e q forem verdadeiras
b) p for verdadeira e q for falsa. c) p for falsa e q for verdadeira. d) p e q forem falsas
7)Seja a proposição simples p:Belém é a cidade das Mangueiras. A negação da proposição p é:
a) Japão é a cidade das Mangueiras b) Japão não é a cidade das Mangueiras
c) Não é verdade que Belém não é cidade das Mangueiras d) Belém não é a cidade das Mangueiras
8) Utilizando as letras proposicionais adequadas na proposição composta: “Nem Antônio é desembargador nem Jonas é juiz”,
Assinale a opção correspondente à simbolização correta dessa proposição. A. ¬(A→B)
D. (¬A)^B B. (¬A)V(¬B) E. ¬[AV(¬B)] C. (¬A)^(¬B)
9-Julgue os itens seguintes.
1. Considere as proposições seguintes.
Q: “Se o Estrela Futebol Clube vencer ou perder, cairá para a segunda divisão”; A: “O Estrela Futebol Clube vence”;
B: “O Estrela Futebol Clube perde”;
C: “O Estrela Futebol Clube cairá para a segunda divisão”.
Nesse caso, a proposição Q pode ser expressa simbolicamente por: a) A V B →C
b) A ^B ⬌C c)~A ^B →C d) A⬌B ^ C
10- Seja a proposição simples p:Não é verdade que João não venceu. A negação da proposição p é:
26 a) José venceu.
b) João não é o vencedor
c) Não é verdade que João gosta de vencer d) João venceu. José
11- Qual é a negação da proposição: “João viajou para Paris e Roberto viajou para Roma”
a- João não viajou para Paris e Roberto viajou para Roma. b- Roberto viajou para Roma e João não viajou para Paris c- Se Roberto viajou para Roma então João viajou para Paris d- João não viajou para Paris ou Roberto não viajou para Roma
12-Dada a Premissa: “ Não é verdade que Rodolfo não é legal”, então é mentira que:
a- Rodolfo é legal. b- Rodolfo é magro c- Rodolfo não é magro d- Rodolfo não é legal
13- Aponte a equivalente a: “ Não é verdade que Bia não bonita.” a- Bia é feia
b- Bia é bonita c- Bia não é feia.
d- È verdade que Bia não é feia.
14- Qual a equivalente de: Se o cão late então o gato mia. a- Se o cão não late, então o gato não mia.
b- Se o gato mia, então o cão late.
c- Se o cão não mia, então o gato não late. d- Se o gato não mia, então o cão não late.
15-Qual a negação de :Felipe é piloto, se e somente se Diego é tenista.
a-
Felipe é piloto então Diego é tenista.b-
Felipe é piloto e Diego é tenista então Diego é tenista e Felipe não é pilotoc-
Felipe não é piloto ou Diego não é tenista e Diego é tenista e Felipe não é piloto.d-
Felipe é piloto ou Diego não é tenista e Diego é tenista e Felipe não é piloto.27
e-
Felipe é piloto e Diego não é tenista ou Diego é tenista e Felipe não é piloto16- Qual a única que não equivale a “ Tiago é professor se e somente se Marco
é médico”.
a- Se e somente se Tiago é professor, então Marco é médico.
b- Ou Marco é médico e Tiago é professor , ou Marco não é medico e Tiago não é professor.
c- Se Marco é medico então Tiago é professor, e se Tiago é professor então Marco é medico.
d- Tiago é professor, mas Marco não é medico.
17-A equivalência negativa de ―Nenhum político é honesto é: a) Todas as pessoas são honestas.
b) Todos os políticos são desonestos. c) Ninguém é honesto.
d) Todo político é honesto.
e) Pelo menos um político é honesto.
18-A equivalência de ―Nenhum político édesonesto é: a) Todas as pessoas são honestas.
b) Todos os políticos são desonestos. c) Ninguém é honesto.
d) Todo político é honesto.
e) Pelo menos um político é honesto.
19- Com relação a três funcionários do Tribunal, sabe-se que I . João e mais alto que o recepcionista;
II . Mario e escrivão;
III . Luis nao e o mais baixo dos três;
IV . um deles e escrivão, o outro recepcionista e o outro segurança.
Sendo verdadeiras as quatro afirmações, e correto dizer que a.) João e mais baixo que Mario.
b.) Luis e segurança.
c.) Luis e o mais alto dos três. d.) João e o mais alto dos três. e.) Mario e mais alto que Luis.
28 Exerc. 1
a)pvq b) p ⬌q c) p →q d) p^q e) ~p^~q Exerc. 2
a) o réu não é culpado
b) o réu é culpado e condenado c) o réu é culpado ou condenado
d) se o réu é culpado então é o réu é condenado e) o réu é culpado se e somente se é condenado
Exerc. 3 - (A e D) 4-C
Exerc. 5
a) V b)F c) V d) F 6-D
7-E 8 – C 9- A 10-A 11-D 12-D 13-B 14-D 15-D 16-C 17-E 18- D 19-E
INVESTIGAÇÃO: VERDADES E MENTIRAS
Existem basicamente três casos de questões de investigações. 1º CASO - Somente Verdades: ORDENAÇÃO.
Esse tipo de questão dá apenas informações verdadeiras, que nos permite colocar em ordem pessoas, objetos, datas, idades, cores, figuras ou qualquer outra coisa, mediante pistas que devem ser seguidas. O fato de colocar os dados fornecidos na ordem desejada, permitirá identificar o item correto a ser marcado.
EXEMPLO:
Alysse é mais velha que Bruna, que é mais nova que Carol, mas esta não é a mais velha de todas.
CONCLUSÕES:
Sejam A, B e C as respectivas idades de Alysse, Bruna e Carol, então A > B e C > B
Como “Carol não é a mais velha”, podemos ordenar as idades das meninas da seguinte forma:
29 2º CASO - Somente Verdades: DEDUÇÕES.
Como todas as informações dadas são verdadeiras, o que será importante é saber organizar as informações em uma tabela para cruzar os dados. Por exemplo, cada coluna trata das informações de uma determinada pessoa e as linhas tratam das características dessas pessoas. O que devemos fazer é preencher a tabela cruzando as informações de cada uma das pessoas, iniciando pelas informações diretas e posteriormente deduzindo as outras. EXEMPLO:
Alysse, Bruna e Carol fazem aniversário no mesmo dia, mas não têm a mesma idade, pois nasceram em três anos consecutivos. Uma delas é Psicóloga, a outra é Fonoaudióloga e a mais nova é Terapeuta. Bruna é a mais nova e têm 25 anos. Carol é a mais velha e não é Psicóloga
3º CASO - Verdades e Mentiras: HIPÓTESES, CONFIRMAÇÕES E REJEIÇÕES.
Esse último caso requer maior atenção, pois existem verdades e mentiras envolvidas no enunciado e através da análise das hipóteses chegaremos às devidas conclusões. Por exemplo, quando um delegado procurar descobrir quem é o verdadeiro culpado entre três suspeitos, ele lança mão de hipóteses, ou seja, ele vai supondo que cada um deles seja o culpado e vai analisando a veracidade de informação que ele possui, a fim de confirmar ou rejeitar a hipótese.
EXEMPLO:
Alysse, Bruna e Carol são suspeitas de ter comido a ultima fatia do bolo da vovó. Quando perguntadas sobre o fato, declararam o seguinte:
– ALYSSE: “Foi a Bruna que comeu” – BRUNA: “Alysse está mentindo” – CAROL: “Não fui eu”
Sabendo que apenas uma delas está dizendo a verdade e que apenas uma delas comeu o bolo, descubra quem comeu o bolo.
Exercícios
01. Em um prédio de 4 andares moram Erick, Fred, Giles e Heitor. Sabe-se que Heitor não mora no 1º andar, Erick mora acima de Todos, Giles mora abaixo de Fred e este acima de Heitor, Determine quem mora no 2º andar.
a) Heitor a) Erick d) Fred e) Giles
2-João é mais velho do que Pedro, que é mais novo do que Carlos; Antônio é mais velho do que Carlos, que é mais novo do que João. Antônio não é mais
30
novo do que João e todos os quatro meninos têm idades diferentes. O mais jovem deles é:
a) João b) Antônio c) Pedro d) Carlos
3- Em torno de uma mesa quadrada, encontram-se sentados quatro sindicalistas. Oliveira, o mais antigo entre eles, é mineiro. Há também um paulista, um carioca e um baiano. Paulo está sentado à direita de Oliveira. Norton, à direita do paulista. Por sua vez, Vasconcelos, que não é carioca, encontra-se à frente de Paulo. Assim,
a) Paulo é paulista e Vasconcelos é baiano. b) Paulo é carioca e Vasconcelos é baiano. c) Norton é baiano e Vasconcelos é paulista. d) Norton é carioca e Vasconcelos é paulista. e) Paulo é baiano e Vasconcelos é paulista.
4- Cinco camisetas de cores diferentes foram dispostas em uma pilha. A branca está abaixo da laranja e acima da azul. A vermelha está acima da marrom e esta fica abaixo da branca. A laranja e a branca se encostam, assim como esta e a marrom. Qual é a cor da camiseta do topo da pilha?
a) Azul b) Laranja c) Branca d) Vermelha e) Marrom
5- Três irmãs- Ana, Maria e Carla, foram a uma festa com vestidos de cores diferentes, uma vestia azul, outra vestia branco e a outra preto, não nesta ordem.Chegando na festa o anfitrião perguntam quem era cada uma delas. A de azul respondeu: Ana é de branco;
A de branco falou: eu sou a Maria. A de preto disse: Carla esta de branco; Sabe-se que Carla sempre mente. Ana sempre diz a verdade;
Maria às vezes diz a verdade;
Sendo assim como estavam vestidas Carla, Maria e Ana respectivamente? a-branco, preto, azul
b-branco, azul , preto c-preto, azul, BRANCO d-branco, preto, azul
31
6-Sete funcionários de uma empresa (Arnaldo, Beatriz, Carlos, Douglas, Edna, Flávio e Geraldo) foram divididos em 3 grupos para realizar uma tarefa. Esta divisão foi feita de modo que:
-cada grupo possui no máximo 3 pessoas;
-Edna deve estar no mesmo grupo que Arnaldo;
-Beatriz e Carlos não podem ficar no mesmo grupo que Geraldo; -Beatriz e Flávio devem estar no mesmo grupo;
-Geraldo e Arnaldo devem ficar em grupos distintos;
-nem Edna nem Flávio podem fazer parte do grupo de Douglas. Estarão necessariamente no mesmo grupo:
a) Arnaldo e Carlos; b) Arnaldo e Douglas; c) Carlos e Flávio; d) Douglas e Geraldo
7-Um agente de viagens atende três amigas. Uma delas é loira, outra é morena e a outra é ruiva. O agente sabe que uma delas se chama Anna, outra se chama Monyke e a outra se chama Carine. Sabe, ainda, que cada uma delas fará uma viagem a um país diferente da Europa: uma delas irá à Alemanha, outra à França e a outra irá à Inglaterra. Ao agente de viagens, que queria identificar o nome e o destino de cada uma, elas deram as seguintes informações:
A loira: ‖Não vou à França nem à Inglaterra― A morena: ―Meu nome não é Monyke nem Carine‖ A ruiva: ―Nem eu nem Monyke vamos à França‖
O agente de viagens concluiu, então, acertadamente, que: a) A loira é Carine e vai à Alemanha.
b) A ruiva é Carine e vai à França. c) A ruiva é Anna e vai à Inglaterra. d) A morena é Anna e vai à Inglaterra. e) A loira é Monyke e vai à Alemanha.
8-Antonio, Benedito e Camilo são clientes de uma agência bancária. Certo dia, entraram os 3 na agencia para atendimento.Cada um deles realizou uma das seguintes tarefas: fazer depósito, pagar fatura e liquidar hipoteca;
Sabendo que:
a- Camilo não foi o segundo e nem o terceiro a ser atendido; b- Antônio foi pagar a hipoteca;
c- O segundo foi pagar a fatura;
Com base nestas informações julgue os itens: a--Antonio foi o terceiro e não foi fazer o depósito;
32 b--Benedito não foi pagar a fatura;
c--Se um dos clientes não foi o primeiro a ser atendido ou não foi fazer o depósito, então ele não se chama Camilo
9-Ricardo, Rogério e Renato são irmãos. Um deles é médico, o outro é professor e o outro músico. Sabe-se que:
1- ou Ricardo é médico, ou Renato é médico; 2- ou Ricardo é professor, ou Rogério é músico; 3- ou Renato é músico ou Rogério é músico. 4- ou Rogério é professor, ou Renato é professor;
Logo, as profissões de Ricardo, Rogério e Renato são respectivamente: a- professor, médico, músico;
b- médico, professor, musico; c- professor, músico, médico; d- músico, médico, professor; e- médico, músico, professor;
10-Luciano, Cláudio e Fernanda são três estudantes de Filosofia. Sabe-se que um deles estuda Frege, o outro Kant e o terceiro Wittgenstein. Sabe-se ainda que:
1) Cláudio ou Fernanda estuda Frege, mas não ambos 2) Luciano ou Fernanda estuda Kant, mas não ambos;
3) Luciano estuda Frege ou Cláudio estuda Wittgenstein, mas não ocorrem as duas opções simultaneamente;
4) Fernanda ou Cláudio estuda Wittgenstein, mas não ambos. Luciano, Cláudio e Fernanda estudam respectivamente:
a) Kant, Wittgenstein e Frege. b) Kant, Frege e Wittgenstein. c) Wittgenstein, Kant e Frege. d) Frege, Kant e Wittgenstein. e) Frege, Wittgenstein e Kant
11- Três amigas, Tânia, Janete e Angélica, estão sentadas lado a lado em um teatro.
Tânia sempre fala a verdade; Janete às vezes fala a verdade; Angélica nunca fala a verdade.
A que está sentada à esquerda diz: "Tânia é quem está sentada no meio". A que está sentada no meio diz: "Eu sou Janete".
33
A que está sentada à esquerda, a que está sentada no meio e a que está sentada à direita são, respectivamente:
Janete, Tânia e Angélica
a) Janete, Angélica e Tânia b) Angélica, Janete e Tânia] c) Angélica, Tânia e Janete d) Tânia, Angélica e Janete
12-Três pessoas, Flávio, Carolina e Ricardo possuem três carros. Cada um deles, possui um carro de cor diferente do outro. Flávio sempre fala a verdade; Carolina às vezes fala a verdade; e Ricardo nunca fala a verdade. A pessoa que tem o carro preto diz: “Flávio é quem tem o carro verde”. A que tem o verde diz: “Eu sou Carolina”. Finalmente, a que tem o carro lilás diz: Ricardo é quem tem o carro verde”. A pessoa que tem o carro lilás, a que tem o carro verde e o preto são, respectivamente:
a.) Carolina, Flávio e Ricardo b.) Carolina, Ricardo e Flávio c.) Ricardo, Carolina e Flávio d.) Ricardo, Flávio e Carolina e.) Flávio, Ricardo e Carolina
13-Os carros de Wagner, Flávio, Márcio e Emerson são, não necessariamente nesta ordem, um corsa, uma belina, uma gol e um pálio. Um dos carros é vermelho, o outro é amarelo, um outro é preto, e o outro é branco. O carro de Flávio não é preto e não é a belina; o carro de Emerson é o Pálio;. O carro de Wagner é amarelo. O carro de Márcio não é a belina e não branco. Flávio possui um corsa vermelho. As cores do corsa, da belina, da gol e do pálio são, respectivamente
a.) amarelo, preto, branco e vermelho b.) branco, amarelo, preto e vermelho c.) branco, vermelho, preto e amarelo d.) vermelho, amarelo, preto e branco e.) preto, branco, vermelho e amarelo
14-Três irmãs — Ana, Maria e Cláudia — foram a uma festa com vestidos de cores diferentes.Uma vestiu azul, a outra branco, e a terceira preto. Chegando à festa, o anfitrião perguntou quem era cada uma delas.
A de azul respondeu:“Ana é a que está de branco”. A de branco falou: “Eu sou Maria”.
E a de preto disse: “Cláudia é quem está de branco”. Como o anfitrião sabia
que Ana sempre diz a verdade, que Maria às vezes diz a verdade, e que Cláudia nunca diz a verdade, ele foi capaz de identificar corretamente quem era cada pessoa. As cores dos vestidos de Ana, Maria e Cláudia eram, respectivamente:
a.) preto, branco, azul b.) preto, azul, branco c.) azul, preto, branco d.) azul, branco, preto
34 e.) branco, azul, preto
15-Três amigos - Flávio, Marcelo e Amaral - tem três filhas casados com Ana, Beatriz e Diana (não necessariamente nessa ordem). Perguntados sobre os nomes das respectivas esposas, os três fizeram as seguintes declarações: Amaral: “Marcelo e casado com Ana”
Flavio: “Amaral mente, pois a esposa de Marcelo e Beatriz”
Marcelo: “Amaral e Flavio mentiram, pois a minha esposa e Diana”
Sabendo-se que o marido de Diana mentiu e que o marido de Ana disse a verdade, segue-se que as esposas de Flávio, Marcelo e Amaral são, respectivamente:
a.) Diana, Ana, Beatriz b.) Diana, Beatriz, Ana c.) Beatriz, Diana, Ana d.) Ana, Beatriz, Diana e.) Ana, Diana, Beatriz
16-As camisas de José, Alexandre, Marques e Paulo são; verde limão , roxa, abóbora e prateado, não necessariamente nesta ordem. A marca delas
são; Fórum, Hering, Zoomp e Marisol, não necessariamente nesta ordem.. A camisa de José é roxa; a marca da camisa de Alexandre é o Hering;
a de Marques não é verde limão e não é a de marca Marisol; a de Paulo não é prateada e não é Marisol; a camisa de Alexandre é prateada.
As cores das camisa de Paulo, Alexandre, José e Marques são, respectivamente
a.) verde limão, abóbora, roxa e prateada b.) verde limão, prateada, roxa e abóbora c.) abóbora, prateada, roxa e verde limão d.) abóbora, verde limão, roxa e prateada e.) abóbora, prateada, roxa, e verde limão
Gabarito 1-A C 3-A 4-D 5- B 6-D Exerc.7
França Alemanha Inglaterra Morena Loira Ruiva
Monkei F V F V F F
Ana V F F F F V
Carrie F F V F V F
35
Loira F F V ##### #### ####
Ruiva V F F ##### ##### ####
Exerc.8
fatura deposito hipoteca 1º 2º 3º
Antonio F V F V F F
Camilo F F V F F V
Benedito V F F F V F
9-E 10-A 11-B 12-E 13-d 14-b 15-d 16-b
LOGICA DE ARGUMENTAÇÃO Como Resolver
O rei ir à caça é condição necessária para o duque sair do castelo, e é condição suficiente para a duquesa ir ao jardim. Por outro lado, o conde encontrar a princesa é condição necessária e suficiente para o barão sorrir e é condição necessária para a duquesa ir ao jardim. O barão não sorriu.
Solução:
Coloque uma análise resumida das proposições do problema
1-Rei ir a caça é condição necessária para duque sair do castelo fica: -Rei não caça → duque não sai castelo
-Duque sai castelo → rei caça ( equivalente)
2-Rei ir a caça é condição suficiente par duquesa ir ao jardim Fica:
- rei caça →duquesa vai jardim
-Duquesa não jardim →rei não caça(equivalente)
3-Conde encontra princesa condição necessária e suficiente para barão sorrir - Conde encontra princesa →barão sorri
-Barão sorri →conde encontra princesa
-Conde não encontra princesa →barão não sorri (equivalente) -Barão não sorri→conde não encontra princesa
3-Conde encontra princesa condição necessária para duquesa ir ao jardim Conde não encontra princesa→duquesa não jardim
36 Conclusão :
Barão não sorri logo:
1-Conde não encontra princesa 2-Duquesa não vai ao jardim 3 -Rei não caça
4- Duque não sai do castelo Exercícios
1-Se Beraldo briga com Beatriz, então Beatriz briga com Bia. Se Beatriz briga com Bia, então Bia vai ao bar. Se Bia vai ao bar, então Beto briga com Bia. Ora, Beto não briga com Bia. Logo:
a) Bia não vai ao bar e Beatriz briga com Bia
b) Bia vai ao bar e Beatriz briga com Bia c) Beatriz não briga com Bia e Beraldo não briga com Beatriz
d) Beatriz briga com Bia e Beraldo briga com Beatriz e) Beatriz não briga com Bia e Beraldo briga com Beatriz
2-Se Vera viajou, nem Camile nem Carla foram ao casamento. Se Carla não foi ao casamento, Vanderléia viajou. Se Vanderléia viajou, o navio afundou. Ora, o navio não afundou. Logo:
a) Vera não viajou e Carla não foi ao casamento. b) Camile e Carla não foram ao casamento.
c) Carla não foi ao casamento e Vanderléia não viajou. d) Carla não foi ao casamento ou Vanderléia viajou. xe) Vera e Vanderléia não viajaram.
3-Cícero quer ir ao circo, mas não tem certeza se o circo ainda está na cidade. Suas amigas, Cecília, Célia e Cleusa, têm opiniões discordantes sobre se o circo está na cidade. Se Cecília estiver certa, então Cleusa está enganada. Se Cleusa estiver enganada, então Célia está enganada. Se Célia estiver enganada, então o circo não está na cidade. Ora, ou o circo está na cidade, ou Cícero não irá ao circo. Verificou-se que Cecília está certa. Logo,
a)o circo está na cidade.
b)Célia e Cleusa não estão enganadas. c)Cleusa está enganada, mas não Célia. d)Cícero não irá ao circo.
4- No domingo, Dorneles não saiu para ir à missa. Ora, sabe-se que sempre que Denise dança, o grupo de Denise é aplaudido de pé. Sabe-se, também, que, aos domingos ou Paula vai ao parque ou vai pescar na praia. Sempre que Paula vai pescar na praia, Dorneles sai para ir à missa, e sempre que Paula vai ao parque , Denise dança. Então no último domingo:
37
b- Denise não dançou e o grupo de Denise não foi aplaudido; c- Denise dançou e seu grupo foi aplaudido de pé;
d- Paula não foi ao parque e o grupo de Denise não foi aplaudido de pé; resp. c
5-Se Vera viajou, nem Carla nem Camile foram ao casamento. Se Carla não foi casamento, Vanderléia viajou. Se Vanderléia viajou, o navio afundou. Ora, o navio não afundou. Logo:
a-Vera não viajou e Carla não foi casamento; b-Camile e Carla não foram casamento;
c- Carla não foi casamento e Vanderléia não viajou d- Vera e Vanderléia não viajaram;
Gabarito
1-E 2E 3C 4C 5D
Teoria dos Conjuntos
Teoria dos conjuntos é o ramo da matemática que estuda conjuntos, que são coleções de elementos. Vamos começar estudando os símbolos matemáticos usados neste ramo.
Símbolos
: pertence : existe
: não pertence : não existe
: está contido : para todo (ou qualquer que seja) : não está contido : conjunto vazio
: contém N: conjunto dos números naturais
: não contém Z : conjunto dos números inteiros
/ : tal que Q: conjunto dos números racionais
: implica que Q'= I: conjunto dos números irracionais : se, e somente se R: conjunto dos números reais
DIAGRAMA VENN (PARTE VERBAL) SILOGISMOS CATEGÓRICOS Nesta parte da matéria iremos trabalhar com as terminologias
“TODO E”, “NENHUM E” ou “ALGUM E”, isto é, as chamadas proposições categóricas.
–– Uso da terminologia “TODO É” ou “NENHUM NÃO É” Sempre que em um exercício aparecer as terminologias
38
“TODO E” ou “NENHUM NAO E” devemos fazer imediatamente o seguinte desenho:
O objetivo de fazer tal desenho é facilitar a interpretação de texto. E as frase que ele representa são: “TODO B é A” ou “NENHUM B não é A”. CUIDADO: a ordem como é colocado o termo B e o termo A NÃO PODEM SER tROCADAS.
Antes de fazer qualquer exercício, é bom salientar que o uso das terminologias “TODO É” ou “NENHUM NÃO É” é o mesmo.
Quero dizer que frase montadas com a terminologia “TODO É” possui o mesmo significado que frases montadas com a terminologia “NENHUM NÃO É”.
Veja as frase abaixo:
Exemplo 1: Todo São Paulino é inteligente.
Exemplo 2: Nenhum São Paulino não é inteligente.
Uma boa dica ao aluno é evitar o usa da terminologia
“NENHUM
NÃO É”, esta terminologia poderá confundir sua cabeça.
Caso apareça tal terminologia em um exercício , substitua
imediatamente tal terminologia pela terminologia “TODO É”.
Uma boa dica ao aluno é evitar o usa da terminologia
“NENHUM
NÃO É”, esta terminologia poderá confundir sua cabeça. Caso
apareça tal terminologia em um exercício , substitua imediatamente
tal terminologia pela terminologia “TODO É”.
Uso da terminologia “NENHUM É” ou “TODO NÃO É”
Sempre que em um exercício aparecer as terminologias “NENHUM É” ou “TODO NÃO É” devemos fazer imediatamente o seguinte desenho:
B
A
39
O objetivo de fazer tal desenho é facilitar a interpretação de texto. E as frases que ele representa são: “NENHUM A é B” ou “NENHUM B é A” ou “TODO
A não é B” ou “TODO B não é A”. CUIDADO: a ordem como é colocada o termo A e o
termo B PODEM SER TROCADAS.
Antes de fazer qualquer exercício, é bom salientar que o uso das terminologias
“NENHUM É” ou “TODO NÃO É” é o mesmo. Quero dizer que frase
montadas com a terminologia “NENHUM É” possui o mesmo significado que frases montadas com a terminologia “TODO NÃO É”. Veja as frases abaixo:
Exemplo 1: Nenhum São Paulino é inteligente. Exemplo 2: Todo São Paulino não é inteligente.
Uma boa dica ao aluno é evitar o uso da terminologia “TODO NÃO É”, esta terminologia poderá confundir sua cabeça. Caso aqui apareça tal terminologia
em um exercício, substitua imediatamente tal terminologia pela terminologia
“NENHUM É”.
Gabarito
1) a)falsa b) verdadeira c) falsa d) falsa e) verdadeira f ) verdadeira g) verdadeira h) falsa i) falsa j) falsa k) falsa
2) a) verdadeira b) verdadeira c) falsa d) falsa e) falsa f ) verdadeira g) verdadeira h) falsa i) falsa j) verdadeira k) verdadeira
3) a) falsa b) falsa c) falsa d) verdadeira e) falsa f ) verdadeira g) verdadeira h) verdadeira i) verdadeira j) falsa k) verdadeira
4) a) falsa b) falsa c) falsa d) falsa e) falsa f ) falsa g) falsa h) falsa i) verdadeira j) verdadeira k) verdadeira
Uso da terminologia “ALGUM É” ou “ALGUM NÃO É” Sempre que em um exercício aparecer as terminologias:
“ALGUM É” ou “ALGUM NÃO É” devemos fazer imediatamente o seguinte desenho:
40
O objetivo de fazer tal desenho é facilitar a in-terpretação de texto. E as frase que ele representa são: “ALGUM A é B” ou “ALGUM B é A” ou “AL-GUM A não é B” ou “ALGUM B não é A”. CUIDA-DO: a ordem como é colocado o termo B e o termo A PODEM SER TROCADAS
Antes de fazer qualquer exercício, é bom salientar que o uso das terminologias “ALGUM É” ou “ALGUM NÃO É” NÃO é o mesmo. Quero dizer que frase montadas com a terminologia “ALGUM É” NÃO POS-SUI
terminologia “ALGUM NÃO É”. Veja as frases abaixo:Exemplo 1: Algum São Paulino é inteligente.Exemplo 2: Algum São Paulino não é inteligente
Negação destas terminologias
1)”Todo é”
Negação:
-Pelo menos um não é
-Existe um que não é
-Algum não é
2)”Nenhum é”
Negação:
- pelo menos um é
-Exite um que é
-Algum é
3)“Algum é “
Negação:
- Nenhum é
4-“Algum não é
Negação:
- Todo é
41
1-A negação da frase: “Todo Corintiano é fanático” é:
“Pelo menos um Corintiano não é fanático
”“Existe um Corintiano que não é fanático”
“Algum Corintiano não é fanático”
2-A negação da frase: “Nenhum Corintiano é fanático” é
“Pelo menos um Corintiano é fanático”
“Existe um Corintiano que é fanático”
“Algum Corintiano é fanático”
3-A negação da frase: “Algum Corintiano é fanático” é
“Nenhum Corintiano é fanático”
4-A negação da frase: “Algum Corintiano é fanático” é“
Todos Corintianos são fanáticos”
Exercícios Exemplo:
1. Dada uma frase: “Todo São Paulino é inteligente”. Concluímos:
a.) Nenhum São Paulino é inteligente. b.) Nenhum São Paulino nao é inteligente. c.) Nenhum inteligente nao é São Paulino. d.) Nenhum inteligente é São Paulino. e.) Algum inteligente é São Paulino. f.) Algum São Paulino é inteligente. g.) Algum inteligente nao é São Paulino. h.) Algum São Paulino nao e inteligente. i.) Todo inteligente não e São Paulino. j.) Todo inteligente é São Paulino. k.) Todo São Paulino não e inteligente.
2. Dada a frase: “Todo Corintiano não é fanático”. Concluímos:
a.) Nenhum Corintiano e fanatico. b.) Nenhum fanatico e Corintiano.
42 c.) Nenhum fanatico nao e Corintiano d.) Todo Corintiano e fanatico.
e.) Todo fanatico e Corintiano. f.). Todo fanatico nao e Corintiano. g.) Todo Corintiano nao e fanatico. h.) Algum Corintiano e fanatico. i.) Algum fanatico e Corintiano. j.) Algum Corintiano nao e fanatico. k.) Algum fanatico nao e Corintiano.
3-Dada a frase: “Nenhum São Paulino é inteligente”. Concluímos: a.) Todo São Paulino É inteligente.
b.) Nenhum São Paulino nao e inteligente. c.) Nenhum inteligente nao e São Paulino. d.) Nenhum inteligente e São Paulino. e.) Algum inteligente e São Paulino. f.) Algum São Paulino nao e inteligente. g.) Algum inteligente nao e São Paulino. h.) Algum São Paulino nao e inteligente. i.) Todo inteligente nao e São Paulino. j.) Todo inteligente e São Paulino. k.) Todo São Paulino nao e inteligente.
4. Dada a frase:”Algum Corintiano não é fanático”. Concluímos:
a.) Nenhum Corintiano e fanático. b.) Nenhum fanático e Corintiano. c.) Nenhum fanático não e Corintiano. d.) Nenhum Corintiano nao e fanático. e.) Todo fanático e Corintiano.
f.) Todo fanático nao e Corintiano. g.) Todo Corintiano nao e fanático. h.) Algum Corintiano e fanático. i.) Algum fanático e Corintiano. j.) Algum Corintiano nao e fanático. k.) Algum fanático nao e Corintiano.
Gabarito
1) a)falsa b) verdadeira c) falsa d) falsa e) verdadeira f ) verdadeira g) verdadeira h) falsa i) falsa j) falsa k) falsa
2) a) verdadeira b) verdadeira c) falsa d) falsa e) falsa f ) verdadeira g) verdadeira h) falsa i) falsa j) verdadeira k) verdadeira
43
3) a) falsa b) falsa c) falsa d) verdadeira e) falsa f ) verdadeira g) verdadeira h) verdadeira i) verdadeira j) falsa k) verdadeira
4) a) falsa b) falsa c) falsa d) falsa e) falsa f ) falsa g) falsa h) falsa i) verdadeira j) verdadeira k) verdadeira
Diagramas Lógicos
AUB = A + B – ( A ∩ B ) + nada A= conjunto A
B= conjunto B
AUB= soma, união, total.
A ∩ B = representa A e B, aquele que usa A e B ao mesmo tempo. Nada= representa quem não usa A e nem B
Exercícios Resolvidos:
Em um grupo de 30 crianças, 16 têm olhos azuis e 20 estudam canto. O número de crianças deste grupo que têm olhos azuis e estudam canto é
Solução: Total = 30 Azul = A Canto = C Azul e canto = ? T= A + C – ( A e C) 30 = 16 + 20 – X X = 36-30 X = 6
Número de elementos da união de dois conjuntos
44
n(A), os elementos de B por n(B), a união de A com B por n(A U B) e a intersecção de A com B por n(A ∩ B). Demonstre a relação utilizando o diagrama:
n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩B)
Número de elementos da união de três conjuntos
Considerando os conjuntos A, B e C teremos a seguinte relação na determinação do número de elementos:
n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C) + n(A U B U C)
1) ( UFSE) Os senhores A, B e C concorriam à liderança de certo partido político. Para escolher o líder, cada eleitor votou apenas em dois candidatos de sua preferência. Houve 100 votos para A e B, 80 votos para B e C e 20 votos para A e C. Em consequência:
a) venceu A, com 120 votos.
b) venceu A, com 140 votos.
c) A e B empataram em primeiro lugar.
d) venceu B, com 140 votos.
45 Resolução:
Votos recebidos pelo candidato A = 100 + 20 = 120 Votos recebidos pelo candidato B = 100 + 80 = 180 Votos recebidos pelo candidato C = 80 + 20 = 100
Resposta letra e.
2) O dono de um canil vacinou todos os seus cães, sendo que 80% contra parvovirose e 60% contra cinomose. Determine o porcentual de animais que foram vacinados contra as duas doenças. Resolução: 80 – x + x + 60 – x = 100 140 – 2x + x = 100 – x = 100 – 140 – x = – 40 x = 40
O porcentual de animais vacinados contra as duas doenças é de 40%.
3) Dez mil aparelhos de TV foram examinados depois de um ano de uso e constatou-se que 4.000 deles apresentavam problemas de imagem, 2.800
46
tinham problemas de som e 3.500 não apresentavam nenhum dos tipos de problema citados. Então o número de aparelhos que apresentavam somente problemas de imagem é:
a) 4 000 b) 3 700 c) 3 500 d) 2 800 e) 2 500 Resolução:
Temos que 4000 - x + x + 2800 - x + 3500 = 10000, onde x é o números de televisores que apresentavam, ao mesmo tempo, os dois problemas citados. Segue que x = 10300 - 10000 = 300. Então o número de aparelhos que apresentavam somente problemas de imagem é 4000 - x = 4000 - 300 = 3700.
resposta letra B.
4) Numa comunidade constituída de 1800 pessoas há três programas de
TV favoritos: Esporte (E), novela (N) e Humanismo (H). A tabela abaixo indica quantas pessoas assistem a esses programas.
Programas E N H E e N E e H N e H E, N e H Nenhum Número de telespectadores 400 1220 1080 220 180 800 100 x
Através desses dados verifica-se que o número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dos três programas é:
(A) 200 (C) 900
(B) os dados do problema estão incorretos. (D) 100 (E) n.d.a. Resolução:
No diagrama de Venn-Euler colocamos a quantidade de elementos dos conjuntos, começando sempre pela interseção que tem 100 elementos.
Então, 100 + 120 + 100 + 80 +700 + 200 + 300 + x = 1800. Segue que, 1600 + x = 1800. Logo, o número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dos três programas é: x = 1800 - 1600 = 200. Assim, (A) é a opção correta.
5) Em uma prova discursiva de álgebra com apenas duas questões, 470 alunos acertaram somente uma das questões e 260 acertaram a segunda. Sendo que 90 alunos acertaram as duas e 210 alunos erraram a primeira questão. Quantos alunos fizeram a prova?
