Sintese de controladores de sistemas de potencia via posicionamento completo de autovalores e realimentação descentralizada das saidas

ELÉTRICA

t

.1

Síntese

de Controladores

de Sistemas

de

Potência

Via

'

Posicionamento

Completo

de

Autovalores

e

Realimentação

Descentralizada das

Saídas

'Dissertação

submetida

como

parte

dos

requisitos

para

a

obtenção

do

grau

de;

-

Mestre

em

Engenharia

Elétrica' '

Edgar Humberto Medina

Tapia

DESCENTRALIZADA

DAs

sAiDAs

Edgar

Humberto

Medina

Tapia

'Esta dissertação foi julgada para

a

obtenção

do

Título

de

Í

Mestre

em

Engenharia

Elétrica

`

Area

de Concentração

em

Sistemas

de Potência

e aprovada

em

sua

forma

final pelo

Curso de Pós-Graduação!

À»~

Prof.. ^'‹›J‹›z›.è“.

_s

° _{c‹›s‹z,1>1zD.}

oúezzzâof

1>r‹›r.

Rubzzw

az

SQÍÊ

szlgzao,

Pa

D.

Coordenador

do

Curso

Banca

Examinadora:

Onentador

Ê.

-~

_{`doSilveiraeSi1va.Ph.D.}

-Í , \ W '

/

' --"z"3'5v'1â@_v;l^'**‹

K

- Í \'‹_lÁ \

'~'-V:,¿‹^¬5---

aste

Net0,Dr.

~/6%

Prof.I_.ucasThadeu `

_¡

z

daL\\Àl

Sc.

Ao

professor Antonio José Alves

Simões

Costa, cuja valiosa colaboração e

orientação

tomou

possível a elaboração deste trabalho. ' ~

A

meus

pais e irmãos pelo apoio e incentivo

sempre

recebidos.

'

Aos

professores , colegas e funcionários de Pós-graduação

que

de

uma

ou

de outra

forma, contribuíram para a a realização deste trabalho.

RESUMO

A

presente dissertação apresenta

um

método

de síntese de controladores

de

sistemas

de potência via posicionamento completo de autovalores e realimentação descentralizada das

saídas.

Diferentemente de outras abordagens para o projeto de estabilizadores

de

sistemas de

potência, as quais

têm

se concentrado

no

deslocamento parcial dos autovalores associados aos

modos

eletromecânicos, o

método

proposto neste trabalho visa

fomecer

uma

alocação total dos

autovalores. ^

»

A

aplicação do

método

é feita para o projeto de

ambos

os controladores

que

agem

sobre o sistema de excitação, isto é,

compensador

da

malha

de controle de excitação e sinais

estabilizadores de sistemas de potência, que

normalmente

são ajustados

de maneira

independente. Alternativamente o

método

permite o ajuste de sinais estabilizadores cujos sinais

de entrada são simultaneamente derivados

da

velocidade, da potência elétrica e

da

tensão de

saida

da

excitatriz.

O

método

proposto é 'aplicado acontroladores de primeira

ordem

e

de

segunda

ordem. Para estes últimos, são ainda consideradas duas topologias: a

chamada

topologia clássica,

cujos zeros são reais, e outra cujo

numerador

é quadrático,

que

por tanto permite zeros

complexos.

Apresentam-se resultados da simulação não-linear para dois sistemas-teste:

um

sistema máquina-barra infinita e

um

sistema

composto

de três máquinas, que são utilizados para

ABSTRACT

“

This

work

presents Aa

method

for the synthesis of

power

system controllers via

complete eigenvalue placement

and

decentralized output feedback.

. Unlike' other approaches for the design

of

power

system stabilizers

which

concentrate

on

the shift of only the eigenvalues associated to the electromechanícal

modes,

the

proposed

method

is

aimed

at providing the allocation of all system eigenvalues.

The method

is applied to the synthesis of both controllers

which

actuate

on

the

excitation system, namely, the excitation control system compensator and -power system

stabilizers.

The

settings for these controllers are usually 'determined independently.

Alternatively, the proposed

method

allows the tuning of

power

stabilizers

whose

inputs are

simultaneously derived

from

speed, electrical

power

and the excíter output voltage.

The

proposed

methodology

is used in connection withifirst-order

and

second-order

controllers.

For

the latter,

two

distinct topologies are considered: the' _{so-called classical}

topology,

whose

zeros are real,

and

another topology

whose

numerator, being quadratic, allows

for

complex

zeros.

`

Non-linear simulation results for

two

test. _systems are presented: a machine-infinite

ÍNDICE

1

Introdução.

1.1 Histórico. 1 1.2 Revisão Bibliográfica. 2 1.3 Contribuições

do

Trabalho. 4 1.4 _ Organização

do

Trabalho. 6

2

Modelagem

do

Sistema

de

Potência,

Sistema

de

íExcitação e

Controladores

Associados.

f

2.1 Introdução. 7

2.2

Modelo

de Heffron

&

Phillips para Geradores. '

8

~

2.2.1

Modelo

Máquina-Barra

Infinita. 8

2.2.2

Modelo

de

um

Sistema Multirnáquin. '

-

11

2.3 Representação _das

Equações do

Modelo

de Heffron

&

Phillips

.

em

Variáveis de Estado. 14

2.4

Modelo

do

Sistema de Excitação.

20

2.5

Modelo

do Estabilizador de Sistema de Potência. 21

2.5.1

ESP com

Sinal de Entrada Derivado

da

Velocidade.

22

2.5.2

ESP

com-Sinal de Entrada Derivado da Potência Elétrica.

24

2.6

Formas

Canônicas para a

Função

de Transferência

do ESP.

I

da Tensão

de

Campo.

2.9 Conclusões.

Método

do

de

Posicionamento de Autovalores

através

daRealimentação

Descentralizada

das

Saídas.

3. 1 Introdução.

3.2

O

Método

de Posicionamento

Completo

de Autovalores.

3.3 Critério para Posicionamento de Pólos.

3.4 Algoritmo de Posicionamento de Pólos.

3.5 Posicionamento de Pólos por

Meio

da Realimentação Descentralizada

das saídas.

3.5.1 Considerações Gerais.

3.5.2 Realimentação Constante Descentralizada Através das Saídas.

4

3.5.3

'

Compensadores Dinâmicos

em

Sistemas Descentralizados.

3.6 Conclusões.

Aplicação do

Método

de

Posicionamento de

Autovalores

ao

Controle

e

Sistemas

de

Potência.

4. 1 Introdução.

-V

4.2.2.1 Sistema

Aumentado

com

Realização

do

Controlador

na

Forma

Canônica Observável.

i

4.2.3 Representação

do

Sistema Equivalente

na

Forma

(A, B, C,

D)

4.3 Generalização

do

Sistema

Aumentado

para Sistemas Multimáquinas.

4.3.1 Observações Sobre a Generalização.

~

4.4 Determinaçao dos Parâmetros do Controlador.

. '

4.4.1

ESP

e

Compensador

da

Malha

de Controle de Excítação.

4.4.2

ESP com

Sinal de Entrada Derivado da Velocidade,

da Potência Elétrica e da

Tensão

de

Campo.

Caso

1

ESP

de Primeira

Ordem.

Caso

2

ESP

de

Segunda Ordem.

4.5 Conclusões. -

Resultados

Numéricos

e

Simulações

Nao-lineares

5.1 Considerações Iniciais.

5.2 Resultados

Numéricos

de Posicionamento de Autovalores.

5.2.1 Sistema-Teste

Máquina-Barra

Infinita.

5.2.2 Sistema-Teste de Três Máquinas.

5.3 Resultados das Simulações Não-Lineares.

5.3.1 Sistema-Teste

Máquina-Barra

Infmita.

5.3.2 Sistema de Três Máquinas.

6. 1 Conclusões.

_

6.2 Sugestões para Futuros Trabalhos.

Referências

Bibliográficas.

Apêndice

A.

Introdução

1.1.

Histórico

A

perda de sincronismo entre geradores síncronos após

uma

grande perturbação

em

um

sistema de potência é geralmente devida a falta

ou

a insuficiência

do

torque

de

sincronização

entre as

máquinas do

sistema. Esta deficiência

do

torque de sincronização

pode

ser superada pela

utilização de sistemas de excitação

mais

rápidos `e

com

_{ganhos elevados, tais}

como

_{os sistemas}

de excitação estáticos, que

usam

pontes de tiristores para alimentar o

campo

do

gerador.

No

entanto, o uso destes sistemas de excitação traz consigo a redução

do

torque

de

amortecimento,

com

a conseqüente diminuição

do

amortecimento das oscilações eletromecânicas,

tomando

assim o sistema sensível a problemas de instabilidade dinâmica [9].

O

entendimento do

problema

e a experiência indicam que,

no

caso

de

um

sistema de

potência

com

carga pesada e reatância externa grande, o efeito

do

alto

ganho do

sistema de

excitação conjugado à sua baixa constante de

tempo

contribuem para

uma

diminução

considerável

do

amortecimento

do

sistema de potência,

o

que

em

casos extremos,

pode

causar

instabilidade dinâmica.

Com

a finalidade de garantir o amortecimento das oscilações eletromecânicas e ao

mesmo

tempo

aproveitar as vantagens dos sistemas de excitação estáticos, o estudo

de novas

estratégias

de

controle levou ao uso dos

chamados

sinais estabilizadores de sistemas

de

potência

(ESPS) .O uso dos

ESPs

consiste

na

inclusão de

uma

nova malha

de controle

no

sistema,

com

sinais de entrada derivados da freqüência, desvio

da

velocidade

do

eixo da máquina, potência

elétrica,

ou

uma

combinação

destes, e cuja saída deve ser incluida

como

sinal suplementar

no

sistemadç excitação. Portanto o

ESP

tem

por objetivo aumentar o amortecimento das oscilações

eletromecânicas, produzindo

uma

componente

do torque elétrico

no

rotor

em

fase

com

as

variações da velocidade [16].

A

1.2.

Revisão

Bibliográfica

_

Com

o objetivo de encontrar soluções para amortecer as oscilações eletromecânicas,

diversos pesquisadores contribuíram

com

seus trabalhos ao longo de mais de duas décadas. Esta

informação contida

na

literatura forneceu as bases e conceitos suficientes para

o

melhor

entendimento

do

problema

de amortecimento

acima

discutido.

A

j _

Entre as abordagens convencionais,

um

dos primeiros trabalhos foi devido a

DeMello

&

Concordia

[9],

onde

são apresentados conceitos sobre

como

a estabilidade

de

uma

máquina

síncrona é afetada pelo controle do sistema de excitação.

Os

autores

examinam

o caso

máquina-barra infinita e

propõem

ouso

de

um

sinal suplementar derivado da velocidade

como

solução para obter o amortecimento das oscilações eletromecânicas.

Além

do sinal derivado

da

velocidade, outros autores desenvolveram posteriormente conceitos associados à aplicação

do

sinais estabilizadores derivado da freqüência e potência elétrica [16].

A

idéia de enfocar o

problema

do amortecimento das oscilações eletromecânicas

para sistemas

de

potência multimáquinas

(SPMM)

levou ao

emprego

de diferentes

métodos

para

sua solução[10].

A

partir da idéia de se usar técnicas seqüenciais,

Fleming

et al.[13]

propuseram

algoritmo de posicionamento de pólos.

Embora

este

método

consiga encontrar os parâmetros

do

estabilizador

com

pólos e estruturas fixas, não considera o efeito das interações dinâmicas

que

acontecem

entre os subsistemas, o

que

constitui sua grande desvantagem.

Por

outro lado, considerando os efeitos das interações eletromecânicas, Arcidiácono

et al.[4], desenvolveram

um

critério analítico para a escolha dos geradores

mais adequados

a

serem

equipados

com

ESPs

e ao

mesmo

tempo

projetar a função de transferência

do

sinal

estabilizador e dos fatores de controlabilidade e observabilidade. '

Lefebvre [16] propôs

uma

nova

abordagem

para escolher simultaneamente os

parâmetros dos

ESPS

em

sistemas de potência multimáquinas, baseada

em

posicionamento de

pólos, através

do

controle descentralizado das saídas.

Com

o objetivo de otimizar os parâmetros

dos ESPs, são impostas restrições sobre a sua estrutura, sendo especificada a

ordem

de sua

função de transferência e seus pólos. Porém, o

método

requer cálculos repetitivos de autovalores

e» _autovetores, o

que

_implica

em uma

_{considerável carga computacional.}

i

Outro

método do

síntese do

ESP

foi desenvolvido por

Abe

&

Doi

[1], baseado

na

combinação

dos

métodos

de resposta de freqüência e de posicionamento de pólos.

O

método

permite antecipar

o

efeito

do

ESP

antes de sua síntese, e a melhoria do. amortecimento obtida

pode

ser

examinada

quantitativamente para cada

modo

de oscilação. _

,Lim

e

Elangovan

[1l], [19] apresentaram

um

método

para encontrar os valores dos

parâmetros dos

ESPs

em

SPMM

e alocar os pólos correspondentes. aos

modos

eletromecânicos

do

sistema

em

posições desejadas.

A

técnica proposta é iterativa sendo que, a cada iteração, os

parâmetros de todos os

ESPs

presentes

no

sistema são incrementalmente ajustados.

Martins e

Lima

[21]

propõem

algoritmos

que permitem

a determinação

adequada

dos geradores a

serem

equipados

com

ESPs

e das barras

do

sistema

onde

devem

ser instalados

compensadores

estáticos de reativo _(CERs), para amortecer os

modos

críticos

de

oscilação. Estes

algoritmos

envolvem

cálculos de resíduos da função de transferência.

Em

[38] são obtidos ajustes de parâmetros dos

ESPs

de

forma

coordenada,

considerando as interações dinâmicas entre

máquinas

e estrutura de controle descentralizada.

O

menor

do que

o

número

de máquinas, a partir de

uma

seleção prévia das

máquinas

a

serem

equipadas

com

estabilizadores.

'

Ainda

visando o ajuste _{coordenado de ESPS,} Ustariz [40] apresenta

uma

abordagem

que usa o

modelo

do

sistema de potência baseado

na

formulação da matriz Jacobiana aumentada.

Além

de

ESPs,

compensadores estáticos de reativo são

também

utilizados

como

fontes de

amortecimento para o sistema.

Os

sinais usados são derivados da velocidade para os

ESPs

e

da

freqüência de barra

_como

sinal suplementar para o

compensador

estático _de reativo.

Uma

técnica de ajuste dos parâmetros de sinais estabilizadores

de

sistemas de

potência tendo por base a_ especificação conjunta de autovalores e autovetores (isto é,

da

Auto-

estrutura

do

sistema) foi recentemente proposta por

Meyer

[22].

O

trabalho sugere

um

método

para orientar a especificação dos autovetores asssociados aos

modos

eletromecânicos.

Métodos

de ajuste conjunto dos

ESPs

em

SPMM

mediante o uso

de

técnicas de

controle ótimo

com

restrições estruturais para a síntese dos

ESPs

também

têm

sido propostos

[27].

O

estabilizador é sintetizado

supondo

conhecidos os seus pólos, a partir _dos quais são

obtidos os parâmetros que

completam

o estabilizador (ganho e parâmetros de

tempo

dos zeros

do

numerador).

O

método

pode

ser usado

também

para o ajuste de controladores

de

dispositivos

FACTS

[33].

1.3

Contribuições

do Trabalho

`

_

Em

geral, os trabalhos relacionados à aplicação de

métodos

de posicionamento de

pólos

têm

sido direcionados ao ajuste dos parâmetros dos estabilizadores

de

sistemas de

Potência, a partir

do

deslocamento favorável e parcial dos pólos

do

sistema. Isto é, os

métodos

de projeto

de

ESP

existentes, baseados

na

alocação de pólos [19], [38], [40],

procuram

posicionar apenas os autovalores associados aos

modos

eletromecânicos.

Com

esta metodologia,

há sempre

a preocupação de se verificar

como

os demais autovalores se deslocam

no

Plano-s.

É

direita

quando

o projeto considera apenas o

aumento do

amortecimento dos pólos associados aos

modos

eletromecânicos [16]. _

~

Por

outro lado os controladores que

agem

sobre o sistema de excitaçao, a saber,

compensador do

sistema

em

malha

fechada e

ESPS,

são

normalmente

ajustados

de

forma

independente. Julga-se importante se estabelecer possíveis beneficios da utilização de

um

método

que permita o ajuste simultâneo dos parâmetros de

ambos

os controladores.

~

Portanto, este trabalho é dedicado à análise da viabilidade de aplicaçao

do

método

de

alocação completa de autovalores ao projeto conjunto de controladores ligados ao sistema de

excitação de geradores síncronos.

Os

controladores envolvidos são: a) o estabilizador

do

sistema

de potência

(ESP)

,

com

sinais de entrada derivadas da velocidade, potência elétrica, e

possivelmente tensão de saída da excitatriz, e b) o

compensador da malha de

controle de

excitação dos geradores. '

As

principais contribuições deste trabalho são resumidas a seguir:

a)

Desenvolvimento

de

um

método que

permita posicionar todos os autovalores

do

sistema de

potência,

em

posições pré-determinadas favoráveis.

b) Ajuste conjunto dos parâmetros dos

ESPs

e

do compensador

de estabilização

do

controle de

excitação, para cada máquina.

c)

Uso

de estratégias descentralizadas (compatível

com

as práticas usuais nas

empresas

de

energia elétrica).

d)

Formulação do problema

como

um

problema

de realimentação estática das saídas,

1.4.

Organização do Trabalho

O

trabalho está organizado

como

segue:

No

Capítulo 2 é apresentada a

modelagem

linearízada para o sistema

de

potência

utilizada

no

trabalho,

além

da

modelagem

individual e

também

conjunta do estabilizador

do

sistema de potência e

do

estabilizador

do

sistema de excitação.

No

Capítulo 3 apresenta-se o

método

utilizado de posicionamento

de

autovalores

através da realimentação centralizada e descentralizada das saídas.

No

Capítulo 4 o

método

de posicionamento de autovalores descrito

no

Capítulo 3, é

aplicado ao projeto conjunto de

ESPs

e compensadores de estabilização do sistema

de

excitação.

No

Capítulo 5 apresentam-se os resultados da aplicação

do método

proposto, tanto

para o caso de

máquina

barra-infinita

como

para sistemas multimáquinas.

~

No

Capítulo 6 são apresentados as conclusões e as sugestões para futuros

Modelagem

do

Sistema

de

Potência,

Sistemas

de

excitação

e

Controladores

~

Associados

2.1

Intro-dução.

Existem

vários tipos

de

problemas dinâmicos

em

sistemas

de

potência tais

como:

oscilações

em

baixas freqüências

ou

em

freqüências

um

pouco mais

elevadas, distúrbios de

pequenas'

ou

grandes amplitudes, etc.

Em

vista disso,

não

é

adequado

nem

prático desenvolver

um

modelo

universal para estudar e interpretar todos esses problemas dinâmicos

Portanto,

'um

modelo

apropriado. deve ser escolhido para se realizar estudos

dinâmicos

adequados

para situações

bem

defmidas.

A

escolha de tal

modelo não

pode

ser

dissociada.

do

problema

em

particular, das

'

facilidades computacionais existentes,

nem

das

técnicas disponíveis de controle [43].

A

dinâmica de

máquinas

elétricas e o controle de excitação, são classificados

como

sendo relevantes

num

período de alguns segundos, após a ocorrência de

uma

perturbação.

Por

outro lado as oscilações de baixas freqüências são devidas à carência de

amortecimento

dos

modos

eletromecânicos

em

sistemas interconectados.

Como

o

problema

de

amortecimento

é

~

sensível à. variação da tensão de

campo

dos geradores, o amortecimento adicional desejado

pode

ser proporcionado por controle suplementar

na

excitação.

A

escolha de

um

modelo

apropriado para estudos

da

estabilidade

dinâmica

de

sistemas de potência, deve considerar os aspectos

acima

mencionados, os quais permitirão

cumprir

com

os requisitos especificados e ao

mesmo

tempo

utilizar

modelos

simplificados.

Em

vista disso, tem-se as seguintes considerações [43]:

1.

Durante

as oscilações associadas aos

modos

de baixa freqüência, as correntes

induzidas nos enrolamentos amortecedores

podem

ser consideradas

como

desprezíveis, isto é, os

enrolamentos amortecedores poder ser

completamente

ignorados

quando da

modelagem

do

sistema.

2.

As

resistências do estator

podem

ser desprezadas, e as' _{tensoes de transformação}

nas equações

do

estator

também

são consideradas

como

sendo desprezíveis frente às tensões de

velocidade.

`

,

3._ Finalmente as tensões de velocidade são calculadas à velocidade nominal.

As

considerações

acima mencionadas

são utilizadas

no

desenvolvimento

do

modelo

de

Heffron

&

Phillips que representa

adequadamente

o sistema de potência

em

estudos de

estabilidade dinâmica[9]. t

2.2*

Modelo

de Heffron

_e

_Phillips

para

_Geradores.

2.2.1

Modelo Máquina

Barra-Infinita.

Para estudos de pequenas perturbações (estabilidade dinâmica), as

equações

não-

lineares

que descrevem

o

comportamento do

sistema de potência

podem

ser linearizadas

em

*torno _a

um

_{ponto de operação.} .

t

O

modelo

de Heffron

&

Phillips para o sistema de potência parte

de

uma

ligada a

uma

barra infinita através de

uma

linha de transmissão

com

resistência ra e indutância

xe. Esta linearização fornece. as equações do torque elétrico,

da

tensão intema

da

máquina,

da

tensão terminal, e a equação de oscilação a seguir [9]:

~

equaçao do torque elétrico:

Are

=

_{K1Aõ_}

+

_K2AE1¡

(2.1)

.-1

equação

da

tensao interna da máquina:

'

K3

AEq

z

_%_{AEFD

_{- K4Aõ]}

₍₂₂₎

1+

_K3Tdos

tensão terminal;

Avt

= K5Aõ +

KÕAELJ

(23)

equação de oscilação:

'

(Ms +

D)A«›

=

Arm

-

Are

(24)

onde

Téo, é a constante de

tempo

transitória e os parâmetros K1,

K2,

K3,

K4,

K5

e

K6,

são

definidos

como

segue: V

A

.

E

,= cte .

Q

K1, é a variação

do

torque elétrico

com

respeito _da variação

do

ângulo do rotor,

com

fluxo

concatenado

no

eixo direto constante.

_ATe

Kz

_AE-

K2,

é a variação

do

torque elétrico

com

respeito da variação do fluxo concatenado

no

eixo

direto

com

ângulo

do

rotor constante.

-

x

+

x

_

d

+

_

Xd

xe

K3,

é fator de impedância, considerando a impedância externa

como

uma

reatância

pura

xe.

_

-1^Eq

K

K4

`

K3

_As

K

4,é o efeito desmagnetizante conseqüente

da

variação do ângulo do rotor.

K5

:

AVI

A5

E'

₌

_cte

'

Cl

K5,

é variação

da

tensão

com

respeito da variação do ângulo do rotor,

com

fluxo concatenado

no

eixo direto constante.

A

_Vt

K6

=

--,-

AE

.

q ô

=

cte '

K6,

é variação

da

tensão

com

respeito

da

variação do enlace de fluxo concatenado

no

eixo direto

,

com

ângulo

de

rotor constante.

~

Por

outro lado, as variações da tensão de excitação de excitatriz devidas à ação

do

regulador de tensão

podem

ser representadas

no

domínio de s pela seguinte relação[43]:

AE

_«FD

zipv

-AV]

(25)

1+STE

ref t

\

~

O

conjunto de equaçoes

acima

descritas

podem

ser representadas

em

um

diagrama

de

~ à.rm+

'Arm-Are

₁

_Am

As

_ _

Ms+r>

K

~ -'Eli

--_K2

.

o

`*

KE

0

Avfef ` 1+

sK

₃

T

_do

1+STE

_ _

AEFD

'

_ Figura 2.1 Diagrama de Blocos do Modelo de Heffion

&

Phillips

para o Sistema Máquina -Barra lnfmita

2.2.2

Modelo

de

um

sistema_Multimáquinas.

Para a

modelagem

de

um

sistema multimáquinas, cada

máquina

em

particular é

considerada

como

sendo parte de

um

sistema interligado.

Além

disso, as interações dinâmicas

que

existem entre estes subsistemas

devem

ser consideradas, isto é,

o modelo deve

representar

adequadamente

o

comportamento do

sistema interligado.

As

interações dinâmicas

acima mencionadas

podem

ser expressas

em

termos dos

ângulos

do

torque

da

máquina, das tensões e dos coeficientes _K1,

_K2,

_K3,

_K4,

_K5

e

K5

de

cada subsistema. Estas por sua vez são variáveis que estão

em

função dos parâmetros

do

sistema

e das condições de operação [24].

O

diagrama

fasorial

da

i-ésima

máquina

de

um

sistema multimáquinas

mostrado na

figura

2.2,

pode

ser usado para expressar o

comportamento

fasorial das variáveis

de

uma

máquina

com

relação ao resto

do

sistema. Neste caso di e qi representam as coordenadas para a

i-ésima máquina, enquanto

que

D

e

Q

são as coordenadas para todas as

máquinas do

sistema

constantemente e

pode

ser positivo

ou

negativo, _{xqi representa} a reatância síncrona

do

eixo

em

| _ _

quadratura,

x

di é reatância transitória

no

eixo direto, Idi e Iqi representam as

componentes do

I

eixo direto e

em

quadratura da corrente terminal de cada máquina, enquanto Vi é a tensão

terminal de cada máquina.

¿Q

qi lar

,W

V. '_ 1 I.

1-

I.

_D

fi

›

Íââ di _

Figura 2.2 Diagrama Fasorial da i-ésima máquina

em

um

Sistema de Multimáquinas

A

partir do diagrama fasorial e utilizando as expressões para o torque elétrico, a

equação da tensão interna da máquina, a equação da tensão terminal,

da

malha de

controle de

tensão e a equação de oscilação, têm-se as seguintes expressões matriciais

que

representam o

comportamento

dinâmico

na

versão

do modelo

de Heffron

&

Phillips para

um

sistema de multimáquinas[24]

s

[Are]

=

[1<1][Aõ]

+[K2][AEÇ¡]

(2_ó)

+

_{[K3][T,'¡o][AÉ1¡]}

_{= [K3][AEFD] -}

_4][Aõ]

₍₂₇₎

t[M][^<fi]+[Dll^<°]=

[Mm]-[^Tz]

(2-9)

As

matrizes: [ATe] e

_[ATm]

são generalizações para o torque elétrico e

mecânico

para sistemas _{multimáquinas, enquanto [A6]} e

_[A

representam o ângulo e a

componente

do

eixo

em

quadratura da tensão atrás da reatância transitória.

A

matriz

_[AEW]

é a generalização da

tensão

de campo,

_[TE] e

_[KE]

são generalizações da constante de

tempo

e do

ganho

estático

da

excitatriz, _{e [Téo]} representam de maneira generalizada a constante de inércia

da

máquina

síncrona e a constante de

tempo

transitória.

As

_{matrizes [K,],...,[K6] e [D],} são generalizações

das constantes escalares K1,...,

K6

e de

D

respectivamente. _

Usando

as equações

acima

escritas pode-se

compor

o diagrama

de

blocos para

Sistemas de multimáquinas,

tomando

a notação de subíndices i e _j

com

a fmalidade

de

indicar as

variáveis correspondentes às

máquinas

i e _j respectivamente, _[43]. Portanto, o

modelo

dinâmico

de

um

sistema multimáquinas que inclui as interações dinâmicas

pode

ser representado

na ñgura

(23)

[241 ' éõi

Km

_A

V ' _ 1 oi _27tf Aõ_ nE'qj -

Màsmi

_S

/

1

K

..

Ka

K

'-'

,Ô

ABR

Ksià ` +

-KE-

ql 1+sT'1‹:..

-_

1+s'r1 + . do 311 Ei *

AE

. °~' 1 4

K

.. 1 AE' ql

2.3

Representação

das

Equações do

Modelo

de

Heffron

&

07

Phillips

em

Variaveis

de Estado

a

Na

formulação

em

variáveis de estado

do

modelo

para o sistema máquina-barra

infmita, considera-se

uma

máquina

síncrona representada por

um

modelo

de terceira

ordem,

com

um

sistema de excitação de primeira

ordem

de»

_{ganho KE}

_{e constante de}

_tempo

_{TE. Este}

_modelo

fornece

um

total de quatro yariáveis de estado por máquina. '

Estas variáveis de estado são as seguintes:

Am

=Velocidade

do

rotor

da

máquina

`

Aõ

=Ângulo

do rotor 'da

_máquina

=Tensão

interna da

máquina

AEFD

=Tensão

de

campo

Portanto, considerando as variáveis dadas

acima

para o caso máquina-barra infinita,

tem-se a representação matricial :

“

i=Ax+bu

.O

y=Cx

(21)

onde:

-B

_M

377

Az

₀

,.__

_K_?

_¿

,IÉO _{Tà° Tão} 0

_&E

_§_1.2.1íâ

_¿

TE TE TE

_5

-Ez

0

M

M

o o o

K4

o O

10

oo

bzo

c=o-K,-Kzo

Eg

oo

o~1

TE Aa) Aõ

Am

X = I y = AP‹: AEq AEFD AEFD

Nas

equações

do

modelo

adotado, ' para sistema máquina-barra infinita,

freqüentemente é possível se fazer a consideração de

que

a constante de

tempo do

sistema de

excitação TE é desprezível. Isto se deve ao fato de que o tipo de sistema de excitação

usado

é

do

tipo rápido, a tiristores.

V

Neste caso as equações de variáveis de estado

passam

a ser descritas

como:

s

i=Ax+bu

_

y=

Cx+du

Aco Ao)

x

=

_Aõ'

_y

= -APe

^E‹1

AEFD

A (2.l1) onde:

M

M

_T

_T

T

i

Az

377

o 1 o

bz

o - O

r<4+1<5KE

I

K;

+K6KE

|

KE

do

do

do

1 O O O

De

maneira similar, para o caso de

um

sistema de Potência

Multimáquinas

pode-se

escrever as equações

em

variáveis de estado, considerando-se o

número

de

máquinas

igual a N.

As

equações

na forma

matricial para o caso

do modelo

não-reduzido

_{(TE ¢O)}

são dadas

como

segue:

i=Ax+Bu

-

y

:

Cx

(212)

onde: - <> 31° . QHKHU W. .E._¡ Ewãz-1 gi ofiš :W "'* ã~"1§'Í°

Ê

5'-1. g*1...° IN ›-15 ›-lfqo

F

E

“Ê

â

ga

Vs a"*%<iílf¿7Í°.§ëW

-_

-_

_

0 .. . o

-_ -_

o

M1

A _ o 0

___

__

__....0

___

__;__

_O V

_

KEIKGII

_

1 __ _ 0

_

Q ______S¿n -____‹f1n Q QEI Q o 0 0 o n ~ z . . z . . .

A

=

. V . . . _ . . . . . . . z. . . z . › . ` _. . . . . I z .

W

É-1 äpqšl šsozg gw. ›-1

É

U) zgzš zo- 71

É

ÊWÊ

ã

z

É

of-1-i.?q¢ z â~ :â '-1.

Ê

___

_&

.

___

__

0 _ 0 .. ..

_í_

Q

MN

MN

o _{o_1} 0 0 0 K3Nl O __ 0 O

_

1 TdoN

0_íõw_Í<á0...0_

_K1z~Kõ-_1

Tzu T›=zN_ 0

C:

Para o caso

do modelo

reduzido que considera TE

=0

as equações

em

variáveis de

1 O O

"Km

`K211 O O . . . . . z O

-1

O O O

"

_K1N1

_

_K2N1 O O O XT

estados são dadas a seguir:

O 0 Q Q à . . 0 Q |:xf xš]

y

=[yf

yš]

u

_=[uf

_uš]

1i=Ax+Bu

y=Cx+Du

O O O

`K11N

_K'z1N O O 0 O â ¢ . 1 O O

_K2NN _K2NN

O T T

B=BlocoDiag{|:O

O O

_§:|

,...,{0 O O TE1 TEN . z . O O ¢ › Q 11

(213)

A

= 377 O O - - - O O 0 _ K411

+

Kó11K1z1 _{_} KÂÍ1

+

Kõ11KE1 _ _ _ _ _ _ O _ Kzzm + Ks1NK1z1 _ K;:N

+

KQNKB1 Klll Kill _O KIIN K2lN _

M1

M1

M,

M,

_:___

_í

. . . . ..

_-ti

_í

T1101 Tdal _{_ Tâol} 'Fisl

KINI I¿'lNl

I

6

KWN

K2NN

MN

MN

MN

MN

O O . . . . . . 0 O

_ K4N1

+

_{KSMKEN _} Kfäu

+

KõN1KEN _ _ _ _ __ 0 _ K4NN + KSNNKBN _

+

KõNNKEN

T

N TÂON 11 N

TM

C

=

do o _{_}

B

=

Bloco

D¡ag{B1

_BN}

K

T

B:

i O O

l

|: T;oi:| O O O 0 _ 0 _

_K1u

_K211 ' ' _K1z1Ks11 _KE1Kõ11 ' ' O O - '_ K1N1

_

Kzm

' ' _K1zNKsN1

_KENKóN1

' ' â z,, '

_KENKsNi

`TKENKóNN_{_}

_

_K11N

_

_K21N

_

_K1z1Ks1N

_

_KE1Kó1N u . u ó ø u o¬ . › . n . O O

_K1NN

_KzNN

D=B|‹›z‹›D¡ag{D¡

DN}

0

ni = o

I

Km

o vetor de estados é definido

como

sendo:

e o vetor de controleé

=[A@1 Aõl AELI, Ami Aõi AEC” _]

2.4

Modelo

do

Sistema de

Excitação.

A

função da excitatriz e de seu regulador de tensão associado é proporcionar

uma

excitação

adequada

ao

campo

da

máquina

síncrona, fornecendo

um

acréscimo

na

excitação

em

caso

de queda

de tensão terminal da

máquina

e

um

decréscimo

na

excitação

quando

ocorrer

aumento na

tensão terminal.

A

partir dessas considerações o erro da tensão é definido

como:

et

z

VM

-vt

(214)

0111

ez

=

-(vt

-

Va)

(215)

onde: _Vt representa a tensão terminal

do

gerador após_

medição

feita através

de

um

transformador de potencial, retificação e filtragem, e _Vref é a tensão de referência [43].

Devido

ao fato de que, a

malha

de excitação é

uma

malha

de controle, ela necessita

ser estável e

bem

amortecida..

Por

isso éç

normalmente

dotada de

_um compensador

que

tipicamente é

do

tipo que utiliza realimentação derivativa.

A

_{função de} transferência típica

do

compensador da

malha

de excitação é dada

em

(2. 16) '

5^E=_n1;=fl<i

e

(M6)

AEFD

1+STF

e

pode

ser escrito

como:

V

A

~

=

_KF

il..

₍₂₁₇₎

AEFD

l

+

STF

onde:

Dos

vários tipos de sistemas de excitação, escolhe-se o sistema de excitação

do

tipo

rápido, a- tiristores. Este sistema de excitação

pode

ser

aproximadamente

representado pelo

diagrama de

blocos de primeira ordem,

onde

já está incluído o compensador:

AV-

.Avref

_|_ - t'

F

_

1+sTE

SKFTF

1

+

STF

Figura 2.4 Diagrama de Blocos de

um

Sistema de Excitação

2.5

Modelo

do

Estabilizador

de

Sistemas

de

Potência.

A

função básica de

um

estabilizador de sistema de potência é ampliar os limites de

estabilidade,

modulando

o sistema de excitação

do

gerador

com

o objetivo

de

amortecer as

oscilações dos rotores que

acontecem

entre- as

máquinas

síncronas após

uma

perturbação. Estas

oscilações estão tipicamente

na

faixa de freqüências

aproximadamente

de 0.2 até 2.5 Hz, e o

amortecimento

insuficiente destas oscilações

pode

limitar a capacidade de transmissão

do

sistema

de

potência.

Para fornecer o amortecimento' exigido, o estabilizador deve produzir

um

componente do

torque elétrico sobre o rotor

em

fase

com

as variações da velocidade [l6]. Para

um

dado

sinal de entrada, a função de transferência

do

estabilizador deve

compensar

as

características de

ganho

e fase do sistema de excitação,

do

gerador, e

do

sistema

de

potência que,

de

maneira

conjunta,

determinam

a função de transferência entre a saída do estabilizador e o

excitação. Esta função de transferência, denotada por GEP(s), é fortemente influenciada pelo

ganho do

regulador de tensão, o nível de potência transmitida, impedância

do

sistema de

transmissão

ou

carregamento[l6].

Portanto, pode-se estabelecer o seguinte diagrama de blocos:

outras contribui _Ç oes

Mm

+ 1

nõ

_

Ms

+

D

s nreq, .

AV

ref

Figura 2.5 Diagrama de Blocos de

um

Sistema de Potência Máquina Bana-lnfinita

explicitando a função de transferência do GEP(s)

2.5.1

ESP com

Sinal

de

Entrada

Derivado

da

Velocidade.

Como

indicado anteriormente, é necessário introduzir

uma

função de transferência

que

processe o sinal de entrada do estabilizador de

modo

a

compensar

as características

de

ganho

e fase

do

sistema

em

conjunto.

Um

estabilizador

usando

sinal

da

velocidade

como

entrada

deve

compensar

os atrasos

em

GEP(s), para produzir

uma

componente do

torque

em

fase

com

os

desvios da velocidade e assim adicionar amortecimento às oscilações

do

rotor. -

Um

estabilizador ideal característico, poderia portanto ser inversamente proporcional

ao

GEP(s)

[l6]:

D

ESP

'd

zúz-&

. ,(s)i e

GEP(s)

(219)

onde

_{DPSS representa} a contribuição do amortecimento desejado

do

estabilizador.

O

estabilizador ideal torna-se impraticável, devido ao fato de que a

compensação

perfeita para os atrasos

_{do GEP(s)}

requer termos derivativos puros

com

seus altos

ganhos

em

altas freqüências.

Em

vista disso, é natural se esperar que

um

estabilizador factível

deva

usar

estágios de

avanço

e atraso para

compensar

o

GEP(s)

dentro da faixa de freqüências de interesse.

O

ganho

deve ser atenuado

em

altas freqüências, para limitar o impacto de ruídos e reduzir a

possibilidade de interações torsionais

com

os

modos

associados ao eixo

de

unidades

térmicas[16].

Portanto, as estruturas da função de transferência

do

ESP

com

sinal

de

entrada

derivado

da

velocidade que

têm

sido adotadas,

têm

as seguintes formas:

'o _{Estabilizador}

_de

_primeira

ordem

fllísi

_z

_Km

E

₍₂₂₀₎

AQ

1+ST2

- _{Estabilizador de segunda}

ordem

AV

1+sT 1+sT

'

_B.Si=Km

__1_____;

₍₂₂₁₎

AG)

l+ST21+ST4

onde

_Km

é

ganho do

compensador*

do

estabilizador e '11 e _T3 são os parâmetros

de

tempo

do

numerador do

ESP,

enquanto queT2 e T, são as constantes de

tempo do denominador da

função

de transferência

do

estabilizador.

Um

filtro passa baixo e

um

estágio "washout"

pode

ser incluído para evitar

que

variações

da

freqüência do sistema

modifiquem

a tensão terminal, a

fimção

de transferência

do

washout

(filtro passa alto) é

dada

a seguir:

Fwz,Sh(s)

_=¡f%fi

(222)

2.5.2

ESP com

Sinal

de

Entrada Derivado da

Potência

Elétrica.

Para a utilização da potência elétrica

com

sinal de entrada toma-se

uma

_{aproximação}

da

síntese da potência de aceleração[l6]. Isto se justifica pelo fato

que

as variações

da

potência

elétrica são muito mais rápidas que as variações da potência mecânica,

na

faixa de freqüências

de interesse, de

modo

que estas últimas

podem

ser consideradas desprezíveis nesta faixa de

freqüências.

Com

estas considerações,

um

estabilizador ideal,

com

sinal derivado

da

potência

elétrica é definido por[16]:

Es1>P(s)¡óez1

=

-~

p

2.23)

Deve-se

notar que

um

atraso de fase deve ser introduzido

em

baixas freqüências,

para ser adicionado ao atraso de

GEP(S),

de

modo

que o sinal de torque resultante esteja

em

fase

com

a velocidade [16]. Este procedimento difere

do

projeto

do

ESP

derivado

da

velocidade,

tendo por conseqüência o fato de que os problemas encontrados

com

o sinal

da

velocidade

em

altas freqüências

não

costumam

ocorrer para sinais derivados da potência elétrica.

i

Em

vista disso, o estabilizador adotado, para este caso

tem

as seguintes formas: _

~ _{Estabilizador de primeira}

ordem

AVPS

_z

_{KPe}_+_SÍ3_}

(224)

- Estabilizador de segunda

ordem

l

Ê

=

_KP

lí

₍₂₂₅₎

onde,` _KP, é o

ganho

do compensador, T3, 'I`5 e T6 são os parâmetros de

tempo do

numerador

do

compensador, enquanto T2 e T4, são as constantes de

tempo

associadas aos pólos

da

função de

transferência

do

denominador. V

_

~

`

2.6

Formas

Canônicas

_para

a

função de

Transferência

do

ESP.

A

função de transferência que representa o estabilizador

pode

ser transformada para

a representação via variáveis de estado através de realizações canônicas

como

a

forma

canônica

observável e a

forma

canônica controlável. Esta representação

tem

a seguinte forma:

ifl

=

ACXC

+

BCuC

(226)

ye

=

Cê. +

Deu.

onde

os termos matriciais _{Ac, Be, CC} e

_De

são específicos para cada realização e tipo de compensador.

A

função* de transferência de

um

compensador

de primeira ordem,

dada

na

seguinte

forma:

G(s)

=

Kflí

(227)

1+ST2

pode

ser escrita como[7]: '

K1[¿'_¿}

_{T T r}

2

G(s)

=

1<1+_À-11_2_

(228)

T2

_5+..

ou

ainda: G(s)

=

d

3%;

(229)

onde:

a=_1_

_{,,=K1(¿_¿)}

d:K1

T2 T2 T1 T2 T2

onde, aplicando a realização

na

forma

canônica observável as relações de Ac, BC,

CC

e

_{Dc que}

formam

a equação (2.26) são dadas por:

Agz-zz

Bgzb

c2=1

Dgzdi

Aplicando-se a realização

na forma

canônica controlável as relações _{para Ac, BC,}

_Ce

e

De

são: , .

Á

A§=-a

B§=l

C§=b

D§=d

Para

o

caso

do

ESP

cuja função de transferência é de segunda

ordem,

isto é,

com

dois estágios avanço-atraso, tem-se:

l+sT l+sT

G(s)

=

K;--1

(230)

1+sT, 1+sT4

Esta função de transferência

pode

ser expressa

como:

G(s)=d+-¡ÊÊ-Ji

(231)

onde: a ₁

:T2+T4

a

2

1 TZT4 2 FEZT4 bl

b2=K1T¿(¿__1_)

T2 'Il _{T3 T2 T4 T2 T4 TZ T4} d

:

T2 T4

Usando

a representação

em

fonna

canônica observável da equação (2.26) tem-se as

seguintes matrizes Ac, BC,

CC

e Dc:

o__ O _a'2

o_

b2

o_

o_

A,-L

_{_aJ}

_{Bc_[bl}

cc_[o

1]

Dc_d

A

realização correspondente

na

forma

canônica controlável fornece as seguintes matrizes Ac,

BC,

Ce

e Dc: ' i

o

A:=(A:)T

B:=(C:)T

‹r:=(B:)* I›:=1›:

2.7

ESP

e

Compensador

da

Malha

de Controle

_{de Excitação.}

O

compensador

"conjunto", isto é, o

ESP

mais o

compensador da malha

de

controle de

excitação,

pode

ser representado

conforme

mostrado

na figura

2.6. Este

compensador

pode

ser

(232).

Com

esta fmalidade, se considerará todas as constantes de

tempo

iguais, isto é,

Qznzg.

O

Kümr,

fiVPss,w

l+sTz

+ Au

+

_¿,_P,

WT,

É-VPss,Pz

+

° K'°1+=T 4 Irã

_I

III-gi

I

0 II I II

I

Il

É

I

Il

I

II

I

II

I

Il

I

II I ||

|

II ~

I

II

I

II

|

I

I

I

+

I

I

_II__ ____J M5221

K

sT,

ÉNC

UM:

Em

' 1+ ST, ¡ .. ._*3_0l\'Í1'E_§_N§-€*_D9E12_E_EZíÊ1T_A§ê_°_

_

_

L.____

Figura 2.6

ESP

e 0 Compensador da malha de controle de Excitação

Das

realizações canônicas mostradas

no

presente trabalho, escolhe-se a realização

na

forma

canônica observável para representar o

compensador

conjunto. Nesta representação

observa-se que, se a constante de

tempo

T2 é fixada

em

um

valor conhecido, então as matrizes

A:

e

_C:

concentrarão os valores conhecidos, ao passo -que

_B:

_e

_D:

_{concentrarão os parâmetros}

desconhecidos. Este fato

pode

ser aproveitado

na

formulação do sistema

aumentado

(sistema de

potência e ESP).

que

será apresentada adiante. 'Observa-se ainda que a realização correspondente

ao

compensador

da

malha

de controle de excitação

tem

uma

estrutura diferente

no

numerador

de

sua função de transferência. Considerando este detalhe, os valores de Ac, BC,

CC

e

_{Dc que}

formam

parte

da

equação (2.32)

têm

as seguintes relações:

za,

=

Azz,

+

Bzzz, 0

(232)

yfi

:

CÉXC

+

DCuC onde:

A°

=

--1-

B°

=

_{[b b b} ] c T2 c au Pe F

C::=1

D:=[‹1‹.,

da

_dr] GI bw

:

Ko

b1›=

=

K1>zL["1`_`LJ

br

=

"K1=¿

T2 Ti T2 _{T2 Ta T2 T2} do

=

Km

F1' d1>‹-z

=

KHE

dr

:

KF

Tz Tz

2.8

ESP

com

Sinais

Derivados

da

Velocidade,

da

Potência

Elétrica e

da Tensão

de

_Campo.

Novamente

escolhe-se a realização

na forma

canônica observável para representar os

controladores dos ESPs, cujos sinais de entrada são a velocidade, a potência elétrica e ainda

um

outro sinal derivado da tensão de

campo, conforme

mostrado

na figura

(2.7).

Para

este tipo de

controladores, consideram-se dois casos:

ESP

de primeira

ordem

e ESP- de segunda

ordem.

1

LW

--

cars)

` _*'Í*P°

+

.flu

___.

GPB[s)

ii

+

ÉEBID

"_'_

GEFDÍSÍ'

Figura 2.7

ESP com

sinais derivados da velocidade,

Caso

1.

ESP

de

Primeira

Ordem

ici

=

_Afxc

+

_Bfuc

(233)

ye

=

Cfixz

+

DÍUC

Neste caso os valores para

_A§,B§,C§

_eD:,

_da

_Equação

_{(233) para o}

_ESP

_de

primeira

ordem

com

sinais derivados da velocidade, da potência elétrica e

da

tensão de

excitatriz,

na forma

canônica observável, estão

dadoscomo

segue:

O 1 O

Ac

_{=_?2}

Be :[bm

bPe

C:

:

1

D:

=

_[dm ' dP=

_dam]

efi

T

1 1

T

1 1

L

1 1 b 0)

=K

-1--~-

b

=K

-3--_

b

=K

----

QTZ

_T2} Pe Pe,-I;|:T3 EFD

T

T

_L

d

=K

-'- _d

=K

-1

_d

=K

-

p

Caso

2.

ESP

de

Segunda

Ordem

:ic

=

Afixc

+

Bfiuc

(

yC

+

V 2.34)

Para o

ESP

de segunda ordem,

com

sinais derivados

da

velocidade,

da

potência

elétrica e

da

tensão de excitatriz,

com

realização

na fonna

canônica observável, tem-se as

seguintes relações para os termos matriciais A§,B'z,

C:

eDÍ,

que fazem

parte

da

equação

(2.34)z

A2:

O “faz

B2:

bzw bzvz b2EFD

1 "ai . bm» b11>‹-z b1E1~'D

cz=[o

1]

D§=[dm

dp,

dm]

onde: a 1

:

T2+T4

a

=_1_

TZT4 2 TZT4

b2m=Km1;Tz

¿_

1

_bm=KmT;r3

11+T¿._Tz+T4

TZT4 TlT3 TZT4 TZT4 TZTI4 TSTG 1 1 _ T5T5 T;

+

T6 1;

+

T4

b2Pz=KP¢_`_'

`"'-___"

b11>z=KPzi"

ii

T2T4 Tyra T2T4 TzT4 TsTõ T2T4

.b

_K

T71;

¿_¿

_b

:K

T,T8

T,+1;_T;+T4

um

EFD T2T4 Tvrlis _T2T4

mm

Em

T2T4

ETs

T2T4 d°'

2 K”

N

da =

Ka

5-

dm

=

Km

LT*

2 4

T

2T4 TZT4

2.9

Conclusões

São

descritas neste capítulo aa

modelagens do

sistema de potência e dos principais

controladores associados aos sistemas de excitação 'dos _geradores síncronos.

A

partir dessas

modelagens

são apresentadas as representações

em

tem1os de variáveis de estado para o sistema

de potência, usando-se para isto tanto a

modelagem

de Heffron

&

Phillips que considera TE

¢

O,

como

a

modelagem

que

_{considera TE} desprezível,

denominada

reduzida

no

presente trabalho.

Por

outro lado, é estabelecida a

modelagem

do

sistema de excitação e dos

estabilizadores de sistemas de potência considerando

como

sinais de entrada a velocidade e a

potência elétrica.

São

ainda descritas duas abordagens para os controladores.

Uma

delas considera

um

~

controlador conjunto

composto do

ESP

e do

compensador da

malha

de controle

de

excitaçao, e

enquanto

que

a outra considera unicamente o

ESP

com

sinais derivados da velocidade,

da

potência elétrica e

um

sinal derivado

da

tensão de saída

da

excitatriz. '

É

adotada neste trabalho a realização _na

forma

canônica observável para os

controladores, e as realizações para todos os casos de estrutura de controladores

de

interesse são

desenvolvidas neste capítulo. Finalmente são apresentada todas as relações matemáticas

que

descrevem

as funções de transferência dos controladores.

Método

para

Posicionamento de

Autovalores

Através

da Realimentação

Descentralizada das

Saídas

3.1.

Introdução.

1

A

Os

problemas de estabilização e posicionamento de pólos por

meio

de

uma

realimentação constante das saidas são de fundamental importância

na

teoria

de

sistemas

lineares.

Por

este motivo, considerável atenção

tem

sido dedicada por parte

de

muitos

pesquisadores da área ao desenvolvimento de

uma

estrutura teórica referente aos

mesmos.

A

pesar destas contribuições,

não

existem muitos algoritmos disponíveis para resolver

o

problema.

O

método

a ser descrito

no

presente capítulo é relativamente recente e

um

dos

poucos

propostos

na

literatura para preencher esta lacuna. ~

Os

primeiros resultados importantes de posicionamento de pólos via realimentação

das saídas são devidas a

Kimura

[15] e

Davison

&

Wang

[8]. Estes autores

mostraram

que, para

um

sistema dinâmico representado por n-estados, m-entradas e É -saídas, a condição suficiente

para posicionar arbitrariamente os pólos,

usando

realimentação estática

das

saídas, é

que

a

relação

(m+£

-1)

2 n

seja cumprida. Provas alternativas deste resultado são fornecidas por

Topalogu

&

Seborg

[39] e Seraji [31].

~

A

questão básica da existência de

uma

matriz de realimentaçao das saídas para

posicionamento de pólos de

um

sistema

tem

sido considerada

em

várias pesquisas, e vários

resultados teóricos de interesse

têm

sido obtidos [l4], [34], [36]. Contudo, estes resultados são

aplicáveis a casos especiais e

em

geral

não fornecem métodos

para determinar a matriz de

realimentação das saídas

quando

as condições de existência são satisfeitas.

›

O

posicionamento de autovalores de muitos sistemas descentralizados é

um

problema

que apresenta ainda maiores desafios.

A

solução de muitos problemas de controle, tais

como

o seguimento e a regulação descentralizadas, depende fortemente da disponibilidade de

métodos

para posicionamento de autovalores por

meio

de realimentação descentralizada das

saídas, isto, pelo fato de que

em

muitos casos práticos não é viável

nem

econômico

transmitir

sinais de

uma

estação de controle local para

uma

outra estação.

Alguns

resultados para casos especiais

foram

obtidos por

Corfmat

&

Morse

[6],

Richter

&

DeCarlo

[29], Lindner D. K. [20]. Estes autores

mostram

que

em

sistemas

descentralizados o posicionamento de autovalores

pode

ser atingido pela realimentação de

variáveis

em uma

única estação de controle local. Claramente

podeser

observado

que o

esquema

de usar unicamente

uma

estação local é ineficiente e requer

um

compensador

de

ordem

elevada

demais

para atingir o posicionamento desejado. V

'

Descreve-se neste capítulo

um

método

para posicionamento de pólos aplicável tanto

a sistemas centralizados quanto a sistemas de controle descentralizados [37]. Será explicado

como,

a partir de

um

sistema invariante

no tempo

descrito por equações de estado,

o

método

relaciona o polinômio característico

do

sistema

em

malha

aberta

com

o polinômio característico

do

sistema

em

malha

fechada, permitindo desta maneira, a formulação

do problema

como

uma

equação matricial não-linear.

A

partir desta equação matricial, é obtida a matriz de

equações e então é utilizado

um

método

iterativo para resolvê-lo. Finalmente, o capítulo é

. . . ,

d

concluido fazendo-se algumas considerações adicionais sobre o

meto

o.

3.2.

O

Método

de

Posicionamento

Completo

de

Autovalores.

Considere-se o sistema linear multivariável:

i=Ax+Bu

31

yzcx

‹.›

onde

x

é o vetor

de

estado (n × 1),

u

é o vetor de entrada

(m

× 1), e

y

é o vetor das saídas (8 × 1).

O

polinômio característico do sistema

em

malha

aberta é: _

p(s)

=

|sI-AI

=

s“ +p1s“`1+...+pn

`

(3.2)

onde

p1,...,pn são escalares reais.

Aplicando

a lei de controle baseada

na

realimentação das saídas u

=

Ky+

v,

onde

K

é a matriz constante

da

saída

(mx

8) e

V

é o vetor de controle

(mx

1), obtém-se o sistema

em

malha

fechada:

i=Ax+Bv

(33)

y=Cx

onde

Â

=

A

+

BKC.

O

polinômio característico

do

sistema

em

malha

fechada é:

_ ¡3(s)

=

|sI-Â|

= |s1-A-BKC1

(3.4

13(s)= s”

+

f›1s(“`1)+...+f›n _(3.5

Expandindo

o determinante

na

equação (3.4), obtém-se a seguinte expressão,

que

relaciona cada coeficiente _pi

do

polinômio característico de

malha

fechada

do

sistema,

com

o

coeficiente pi

do

polinômio de

malha

_{aberta pi} [3 5], [42]:

fz =pr+Lr+‹1›r(K)i 1=1,2,...,n

(16)

onde:

Li

=

rf

{K

_{(pi_1cB}

+

pi_2cAB+.

. .

+cA*-1B)}

(3

7)

Li é

uma

função linear dos elementos de

_K,

e _¢¡(K) é

uma

função

não

linear destes elementos.

Deve-se

notar

que

a _{função ¢¡(K),}

em

geral,

contêm

elementos de segunda

ordem

e

de

ordens

superiores de

K.

Assim

se estes elementos são

denominados

por k,,k2,...,k,,k¿+1,...,k2¿,km¿,

então ¢¡(K),

contêm

produtos de termos, tais

como:

_{klkm,k2k¿+1,k¡k¿+2k2¿+3,} etc.

Por

outro lado deve-se notar

que

¢¡(0)

=

0.

A

_separação

em

parte linear e não-linear

feita

em

(3.6) é fundamental para a análise que segue.

A

expressão (3.7)

pode

ser escrita

como:

~

Li

=

(P1-ieo

+

Pr-ze1+- - - +e¡-1)k (3 -8)

onde

e¡ é o vetor (1 ×

më), formado

arranjando-se as linhas _de

CA'B,

uma

ao lado

da

outra,

k

é

um

vetor

(më

× 1),

formado

arranjando-se as colunas de

K

uma

sobre a outra. Substituindo a

equação- (3 .8)

na

equação (3.6) obtém-se:

pizpi+(pi_1z0+pi_2e1+...+z¡_,)|‹+¢¡(k) 1=1,2,..`.,zz

(39)

Pode-se observar

que

o

problema

de posicionamento de autovalores requer a solução