Modelagem numérica do escoamento multifásico transiente composicional em poços de petróleo usando modelo de dois fluidos

Texto

(1)UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGIA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM CIÊNCIA E ENGENHARIA DE PETRÓLEO. TESE DE DOUTORADO. MODELAGEM NUMÉRICA DO ESCOAMENTO MULTIFÁSICO TRANSIENTE COMPOSICIONAL EM POÇOS DE PETRÓLEO USANDO MODELO DE DOIS FLUIDOS. JÚLIO CÉSAR SANTOS NASCIMENTO. Natal, RN, Outubro de 2017.

(2) MODELAGEM NUMÉRICA DO ESCOAMENTO MULTIFÁSICO TRANSIENTE COMPOSICIONAL EM POÇOS DE PETRÓLEO USANDO MODELO DE DOIS FLUIDOS. TESE SUBMETIDA AO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM CIÊNCIA E ENGENHARIA DE PETRÓLEO DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE COMO PARTE DO REQUISITOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE DOUTOR EM CIÊNCIAS E ENGENHARIA DE PETRÓLEO. JÚLIO CÉSAR SANTOS NASCIMENTO. Orientador: Prof. D.Sc. Adriano dos Santos Coorientador: Prof. D.Sc. Adolfo Puime Pires. Natal, RN, Outubro de 2017.

(3) Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN Sistema de Bibliotecas - SISBI Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Central Zila Mamede. Nascimento, Julio Cesar Santos. Modelagem numérica do escoamento multifásico transiente composicional em poços de petróleo usando modelo de dois fluidos / Julio Cesar Santos Nascimento. - 2017. 164 f.: il. Tese (doutorado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de Ciências Exatas e da Terra, Programa de PósGraduação em Ciência e Engenharia de Petróleo. Natal, RN, 2017. Orientador: Prof. D.Sc Adriano dos Santos. Coorientador: Prof. D.Sc Adolfo Puime Pires.. 1. Engenharia de petróleo - Tese. 2. Escoamento multifásico Tese. 3. Simulador de poço transiente composicional - Tese. 4. Modelo de dois fluidos - Tese. 5. Problema de segregação de fases - Tese. I. Santos, Adriano dos. II. Pires, Adolfo Puime. III. Título. RN/UF/BCZM. CDU 622.323.

(4)

(5) Às pessoas mais importantes de minha vida que sempre estiveram ao meu lado nesta longa caminhada: meu grande amor Janaina Ottonelli, minha mãe, Irenilde; meu pai, José Milton e; minha irmã, Ana Paula.. iv.

(6) “Once we accept our limits, we go beyond them.” [Albert Einstein ]. v.

(7) Agradecimentos Esta tese foi desenvolvida em colaboração com o Laboratório de Engenharia e Exploração de Petróleo (LENEP-UENF) e a The University of Tulsa (TU) como parte do projeto de pesquisa “Modelagem do Acoplamento Poço-Reservatório com Variação de Propriedades Termodinâmicas em Reservatórios com Alto Teor de CO2 ” financiado pela Petrobras (convênio N° 2013/00029-9). Quero deixar registrado meus agradecimentos: Aos meus orientadores professores, Adriano dos Santos e Adolfo Puime Pires, pela oportunidade de desenvolver este trabalho e crescer profissionalmente. Muito obrigado pela orientação, confiança incentivo e principalmente pela amizade. Aos professores, Carlos Enrique Pico Ortiz e Santos Alberto Enriquez Remígio, pela amizade, colaboração e valorosas sugestões para este trabalho. Aos professores da The University of Tulsa, Albert C. Reynolds pela orientação durante o doutorado sanduíche, Fahim Forouzanfar, Rami Younis e Ovadia Shoham pelas discussões e sugestões. Aos professores, Sidarta Araújo de Lima e Marcela Marques Vieira pelo suporte. À Petrobras pelo financiamento do projeto convênio N° 2013/00029-9. À CAPES pela bolsa de doutorado. Ao CNPq pela bolsa de doutorado sanduíche nos Estados Unidos. À Universidade Federal do Rio Grande do Norte (UFRN), LENEP-UENF e a TU por todo o suporte e acesso aos simuladores comerciais usados no desenvolvimento desta tese. À toda equipe do projeto, professor André Bueno e Denize Saldanha pelo apoio e suporte administrativo, aos amigos Pedro Linhares e Rodrigo Aguiar, pelo convívio e suporte com os códigos. Aos amigos Wagner Queiroz Barros e Bismarck Gomes Souza Júnior pela colaboração no vi.

(8) Agradecimentos desenvolvimento do simulador, pelas discussões e companheirismo, sem os quais este trabalho não teria alcançado os objetivos aqui apresentados. Aos amigos e colegas da UFRN, UENF e TU, Jhon Moron, Pamela Aguirre, Gabriel Malgaresi, Fernando Diogo, Rafael Scardini, Soham Sheth, Mohammadreza Mohammadnia, Walter Poquioma, Rahman Mustafa, Cíntia Gonçalves e Ranran Lu pelo apoio, convívio e amizade. À minha família, em especial aos meus pais José Milton do Nascimento e Irenilde Lima S. Nascimento e à minha irmã Ana Paula S. Nascimento por me apoiaram incondicionalmente nesta trajetória acadêmica através do amor e carinho oferecidos. À minha segunda família no Rio Grande do Sul, Carmem Michalski, Julian Ottonelli e Jaqueline Ottonelli pelo apoio, amizade e carinho oferecidos. Finalmente, tenho muito a agradecer à minha noiva e cúmplice nessa longa jornada, Janaina Ottonelli. Muito obrigado pelo seu amor, carinho, companheirismo, compreensão, paciência e todo seu apoio e incentivo nos momentos difíceis, sem você ao meu lado não teria realizado este trabalho.. vii.

(9) Resumo da tese apresentada ao PPGCEP/UFRN como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Doutor em Ciências e Engenharia de Petróleo. MODELAGEM NUMÉRICA DO ESCOAMENTO MULTIFÁSICO TRANSIENTE COMPOSICIONAL EM POÇOS DE PETRÓLEO USANDO MODELO DE DOIS FLUIDOS. Júlio César Santos Nascimento Outubro de 2017 Orientadores: Adriano dos Santos, D.Sc. Adolfo Puime Pires, D.Sc.. O escoamento multifásico transiente em tubulações é um fenômeno comum nas indústrias química, nuclear e petróleo. A simulação numérica desse fenômeno é uma ferramenta essencial para análise econômica e de segurança ligadas ao dimensionamento e gerenciamento de projetos produção e exploração de petróleo. Este trabalho propõe uma solução numérica totalmente implícita para simulação do escoamento bifásico transiente composicional em poços de petróleo usando o modelo de dois fluidos. O sistema de equações governantes é composto pelas equações de conservação de massa para cada componente, uma equação de energia total para mistura, e uma equação de quantidade de movimento para cada fase. Além das equações de conservação, o sistema inclui as equações de equilíbrio termodinâmico e equações de restrição (frações molares dos componentes por fase e frações volumétricas). A equação de estado cúbica de Peng-Robinson é usada nos cálculos das propriedades físicas, teste de estabilidade e flash bifásico.As equações governantes na forma unidimensional são discretizadas através do método dos volumes finitos em um arranjo de malhas desencontradas. O esquema upwind de primeira ordem é utilizado para interpolar os fluxos de massa, quantidade de movimento e energia nas faces do volume de controle. O método implícito de Euler de primeira ordem é usado para discretização temporal. O sistema de equações algébricas não-linear resultante é resolvido simultaneamente usando o método de Newton-Raphson. Finalmente, os resultados numéricos obtidos com as soluções propostas foram comparadas com soluções de referência e também com resultados numéricos obtidos com um simulador comercial, permitindo uma verificação detalhada das soluções propostas. Além disso, uma nova solução de referência para o problema de segregação de fases sem atrito foi proposta e comparada com as soluções numéricas.. Palavras chave: Escoamento multifásico; simulador de poço transiente composicional; modelo de dois fluidos; problema de segregação de fases; solução totalmente implícita.. viii.

(10) Thesis abstract presented to PPGCEP/UFRN as a partial fulfilment of the requirements for the degree of Doctor of Science and Petroleum Engineering. NUMERICAL MODELING OF TRANSIENT COMPOSITIONAL MULTIPHASE FLOW IN WELLBORES USING TWO-FLUID MODEL. Júlio César Santos Nascimento October, 2017 Advisers: Adriano dos Santos, D.Sc. Adolfo Puime Pires, D.Sc.. Transient multiphase flow in pipes is a common phenomenon in chemical, nuclear and petroleum industries. Numerical simulation of multiphase flow in pipes is an essential tool for economic and safety analysis related to design and management of production and exploration projects. In this work, we propose a fully-implicit numerical solution for a transient compositional two-phase flow in a wellbore using two-fluid model. The system of governing equations consists of mass balance equations for each component, one energy equation for mixture, and one momentum equation for each phase. In addition to the conservation equations, thermodynamic equilibrium equations and constraint equations (mole fraction of all components in each phase and sum of volume fractions) are considered. The thermodynamic properties of the hydrocarbons, stability and flash calculations are obtained by using the Peng-Robinson cubic equation of state. The one-dimensional governing equations are discretized by means of finite volume method considering staggered grid scheme. The first order upwind is used to evaluate mass, momentum and energy at the control volume faces. The first order implicit Euler method is applied for temporal discretization. The resulting system of nonlinear algebraic equations is solved simultaneously by using a fully implicit Newton-Raphson method. Finally, a detailed verification of the proposed solutions were performed by comparing the obtained numerical results to reference and commercial simulators. In addition, a reference solution for the frictionless phase segregation benchmark problem was proposed and compared to numerical solutions.. Keywords: Multiphase flow; transient compositional wellbore simulator; two-fluid model; fully-implicit solution; phase segregation problem.. ix.

(11) Sumário Resumo. viii. Abstract. ix. Lista de Figuras. xiii. Lista de Tabelas. xvii. Nomenclatura. xviii. 1. Introdução 1.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Organização da tese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1 4 4. 2. Revisão Bibliográfica. 6. 3. Formulação Matemática 3.1 Formulação local instantânea . . . . . . . . . 3.2 Formulação média . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Processo de média . . . . . . . . . . 3.2.1.1 Função indicadora de fase . 3.2.1.2 Médias ponderadas . . . . 3.3 Equações de transporte médias . . . . . . . . 3.3.1 Equação de conservação de massa . . 3.3.1.1 Modelo imiscível . . . . . 3.3.1.2 Modelo composicional . . 3.3.2 Equação da quantidade de movimento 3.3.3 Conservação da energia . . . . . . . 3.3.4 Equações de salto na interface . . . . 3.4 Equações governantes unidimensionais . . . 3.5 Equações de restrição . . . . . . . . . . . . . 3.6 Equações constitutivas . . . . . . . . . . . . 3.6.1 Pressão interfacial . . . . . . . . . .. x. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. 10 10 13 14 14 15 15 16 16 16 17 18 19 19 22 22 23.

(12) Sumário 3.6.2 3.6.3. . . . . . . . . . .. 23 24 25 30 31 33 35 36 36 37. Formulação Numérica 4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Discretização do modelo matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Conservação de massa modelo imiscível . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Conservação de massa modelo composicional . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Conservação da quantidade de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4 Conservação da energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.5 Equações de restrição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Esquema de interpolação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Solução numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Modelo imiscível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Modelo composicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Condições de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Condição de contorno I: velocidade prescrita na entrada e pressão prescrita na saída . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2 Condição de contorno II: fluxo nulo na entrada e saída . . . . . . . . . 4.5.3 Condição de contorno III: fluxo mássico total prescrito na entrada e pressão prescrita na saída . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.4 Condição de contorno IV: simulação com termo fonte e pressão prescrita na saída . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Condição inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 40 40 40 43 43 44 44 45 45 47 47 52 58. Simulações Numéricas: modelo imiscível 5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Descontinuidade em movimento . . . 5.3 Teste da torneira (water faucet test) . . 5.4 Problema de segregação de fases . . . 5.4.1 Solução de referência proposta 5.4.2 Resultados numéricos . . . .. 64 64 64 65 70 71 74. 3.6.4. 3.6.5. 4. 5. Tensão na parede do tubo . . . . . . . . . . . . . . . . Tensão interfacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.3.1 Força de arraste por unidade de volume . . . . 3.6.3.2 Força de cisalhamento por unidade de volume Mapas de padrões de escoamento . . . . . . . . . . . . 3.6.4.1 Mapa vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.4.2 Mapa horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . Transferência de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.5.1 Transferência de calor na direção axial . . . . 3.6.5.2 Transferência de calor na direção radial . . . .. xi. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. 59 60 61 62 62.

(13) Sumário 6. 7. Simulações Numéricas: modelo composicional 6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Despressurização de CO2 . . . . . . . . . . . . . 6.3 Injeção de CO2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Produção de óleo e gás . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Problema de segregação de fases . . . . . . . . . 6.5.1 Segregação de fases sem atrito . . . . . . 6.5.2 Segregação de fases com atrito interfacial. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. 82 82 82 88 92 106 106 110. Considerações Finais 116 7.1 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 7.2 Sugestões para trabalhos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117. Referências Bibliográficas. 119. A Discretização das Equações Diferenciais A.1 Discretização da conservação de massa . . A.2 Discretização da quantidade de movimento A.3 Discretização da conservação de energia . . A.4 Discretização das equações de restrição . .. . . . .. 126 126 127 129 131. . . . . . . . . . . . .. 132 132 134 134 134 136 136 137 137 138 139 140 142. . . . .. . . . .. B Modelo Termodinâmico B.1 Equação de Estado . . . . . . . . . . . . . . . B.2 Propriedades Físicas dos Fluidos . . . . . . . . B.2.1 Massa específica . . . . . . . . . . . . B.2.2 Entalpia . . . . . . . . . . . . . . . . . B.2.3 Fração global . . . . . . . . . . . . . . B.2.4 Fugacidade . . . . . . . . . . . . . . . B.2.5 Tensão superficial . . . . . . . . . . . . B.2.6 Viscosidade . . . . . . . . . . . . . . . B.2.7 Condutividade térmica . . . . . . . . . B.3 Equilíbrio Termodinâmico . . . . . . . . . . . B.3.1 Cálculo de estabilidade termodinâmica B.3.2 Flash bifásico . . . . . . . . . . . . . .. xii. . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . ..

(14) Lista de Figuras Representação esquemática de um volume de controle V multifásico (FUENTESNUCAMENDI, 1996) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.2 Comportamento da função indicadora de fase Xp para um tempo fixo to (STäDTKE, 2006) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.3 Volume de controle unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.4 Volume de controle padrão de golfadas (RELAP5, 2001) . . . . . . . . . . . . 29 3.5 Padrões de escoamento de Taitel et al. (1980) em tubo vertical (MALEKZADEH, 2012) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.6 Padrões de escoamento de Taitel et al. (1980) em tubo horizontal (MALEKZADEH, 2012) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.7 Mapa de escoamento vertical RELAP5 (RELAP5, 2001) . . . . . . . . . . . . 33 3.8 Mapa de escoamento vertical RELAP5 simplificado (RELAP5, 2001) . . . . . 35 3.9 Mapa de escoamento horizontal RELAP5 simplificado (RELAP5, 2001) . . . . 36 3.10 Componentes de um sistema de completação. Adaptado de Hasan (1994) . . . 38 3.1. 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7. Volume de controle unidimensional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Malhas principal e deslocada usadas na discretização espacial . . . . . . . . . Fluxograma com o algoritmo de execução de uma simulação imiscível . . . . Algoritmo de teste de aparacimento/desaparecimento de fases . . . . . . . . Fluxograma com o algoritmo de execução de uma simulação composicional . Representação da ordenamento da malha espacial. (a) vertical e (b) horizontal Representação das células de fronteira inferior e superior . . . . . . . . . . .. 5.1. Descontinuidade em movimento: soluções numérica e de referência no instante t = 5 s. (a) fração de gás; (b) pressão e velocidades ( passo de tempo ∆t = 10−2 s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esquema e geometria do teste de toneira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solução no tempo do teste da torneira, solução de referência e numérica, malha computacional 120 células e passo de tempo ∆t = 5 × 10−4 s: (a) fração de gás, (b) velocidade do líquido, (c) pressão e (d) velocidade do gás. . . . . . . . . . .. 5.2 5.3. xiii. . . . . . . .. 41 42 52 54 58 59 59. 65 66. 68.

(15) Lista de Figuras 5.4. 5.5. 5.6. 5.7 5.8 5.9. 5.10. 5.11. 5.12. 5.13. 5.14. 6.1 6.2 6.3. Efeito do termo de correção de pressão no solução numérica no teste da torneira. Solução de referência e soluções numéricas no instante t = 0.5 s: (a) fração de gás e (b) velocidade de líquido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Refinamento da malha da malha no teste da torneira. Soluções de referência e = 16 m/s) sem termo numéricas no instante t = 0.5 s com CFL constante ( ∆x ∆t de correção de pressão (σ = 0.0). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Refinamento da malha no teste da torneira. Soluções de referência e numéricas no instante t = 0.5 s com CFL constante ( ∆x = 16 m/s) com termo de correção ∆t de pressão (σ = 1.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esquema e geometria do problema de segregação de fases . . . . . . . . . . . . Volume de controle usado para dedução da solução de referência proposta . . . Teste de segregação sem atrito. Soluções propostas (numérica e de referência) para αl0 = 0.25: (a) fração de líquido; (b) velocidade do líquido; (c) velocidade do gás e (d) pressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teste de segregação sem atrito. Soluções numéricas propostas e de referência (EVJE; FLåTTEN, 2003) para αl0 = 0.50: (a) fração de líquido; (b) velocidade do líquido; (c) velocidade do gás e (d) pressão . . . . . . . . . . . . . . . . . Teste de segregação sem atrito. Soluções propostas (numérica e de referência) para αl0 = 0.75: (a) fração de líquido; (b) velocidade do líquido; (c) velocidade do gás e (d) pressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teste de segregação sem atrito. Efeito do refinamento da malha espacial na solução numérica da pressão da fronteira inferior (P (x = 0, t)): (a) αl0 = 0.25; (b) αl0 = 0.50; (c) αl0 = 0.75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teste de segregação com atrito interfacial de Evje e Flåtten (2005), comparação entre soluções numéricas proposta neste trabalho e Shekari e Hajidavalloo (2013) para L = 7.5 m; αl0 = 0.5; N = 250 células, passo de tempo ∆t = 10−3 s e σ = 1.2: (a) fração de líquido; (b) velocidade do líquido; (c) velocidade do gás; (d) perfil de pressão para o tempo t = 0.6 s e (e) pressão contra tempo em x=0m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teste de segregação com atrito interfacial (modelo Eq.(3.99)) comparação entre soluções numéricas proposta e Städtke (2006). (a) fração de líquido e (b) pressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 69. 69. 70 71 72. 75. 76. 77. 78. 80. 81. Despressurização de CO2 . Soluções numéricas proposta e de referência (MUSTA e OLGA) no instante t = 1.51 s: a) 100 células e b) 10000 células . . . . . . . 84 Despressurização de CO2 . Efeito do refinamento do passo de tempo: a) pressão, b) temperatura e c) velocidade no instante t = 1.51 s . . . . . . . . . . . . . . 85 Despressurização de CO2 . Efeito do atrito na parede do tubo: a) pressão, b) temperatura e c) velocidade no instante t = 1.51 s . . . . . . . . . . . . . . . . 86. xiv.

(16) Lista de Figuras 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9. 6.10. 6.11. 6.12. 6.13. 6.14 6.15. 6.16. 6.17. 6.18 6.19. Despressurização de CO2 . Efeito da composição: a) pressão, b) temperatura e c) velocidade no instante t = 1.51 s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Despressurização de CO2 . Efeito do coeficiente de troca de Ut : a) pressão, b) temperatura e c) velocidade no instante t = 1.51 s . . . . . . . . . . . . . . . . Injeção de CO2 . Período de injeção. Perfis: a) pressão, b) temperatura, c) velocidade e d) fração volumétrica de gás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Injeção de CO2 . Período de fechamento (shut-in): a) pressão, b) temperatura, c) velocidade e d) fração volumétrica de gás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vazão de injeção de CO2 no fundo poço em função do tempo no período de . . Caso A. Comparação entre os simuladores proposto e PIPESIM: (a) fração volumétrica, (b) pressão, (c) líquido velocidade do líquido, (d) velocidade do gás e (e) temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Caso B. Comparação entre os simuladores proposto e PIPESIM: (a) fração volumétrica, (b) pressão, (c) líquido velocidade do líquido, (d) velocidade do gás e (e) temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Caso C. Evolução temporal: (a) fração volumétrica, (b) pressão, (c) líquido velocidade do líquido, (d) velocidade do gás e (e) temperatura. Vazão total mássica de 10 kg/s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Caso C. Evolução temporal: (a) fração volumétrica, (b) pressão, (c) líquido velocidade do líquido, (d) velocidade do gás e (e) temperatura. Vazão total mássica de 10 kg/s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Caso C. Comparação do modelos TFM-DFA e TFM-drag solução regime permanente, vazão mássica de 10 kg/s: (a) fração volumétrica, (b) pressão, (c) líquido velocidade do líquido, (d) velocidade do gás e (e) temperatura. . . . . . Caso C. Evolução temporal do fluxo mássico total: (a) 5 kg/s e 10 kg/s . . . . Caso D. Evolução temporal: (a) fração volumétrica, (b) pressão, (c) líquido velocidade do líquido, (d) velocidade do gás e (e) temperatura. Pressão na saída igual a 10 MPA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Caso D. Evolução temporal: (a) fração volumétrica, (b) pressão, (c) líquido velocidade do líquido, (d) velocidade do gás e (e) temperatura. Pressão na saída igual a 8 MPA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Caso D. Vazão volumétrica em função do tempo no intervalo antes de depois da alteração da redução da pressão no topo: (a) conexão poço/reservatório e (b) cabeça do poço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Caso D. Pressão no fundo (BHP) e cabeça (WHP) do poço em função do tempo Teste de segregação composicional sem atrito. Soluções propostas (numérica e de referência) para zC0 1 = 0.5: (a) fração de líquido; (b) velocidade do líquido; (c) velocidade do gás e (d) pressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. xv. 87 88 90 91 91. 94. 95. 98. 99. 100 101. 103. 104. 105 106. 108.

(17) Lista de Figuras 6.20 Teste de segregação composicional sem atrito. Soluções propostas (numérica e de referência) para zC0 1 = 0.3: (a) fração de líquido; (b) velocidade do líquido; (c) velocidade do gás e (d) pressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.21 Teste de segregação composicional sem atrito. Fração global em função do comprimento para zC0 1 = 0.3: (a) C1 e (b) C16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . V0 6.22 Teste de segregação composicional sem atrito. Gráfico de PP0 , ZZ0 , Vgg e nng0 contra g o tempo para zC0 1 = 0.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.23 Teste de segregação composicional sem atrito. Efeito do refinamento da malha espacial para zC0 1 = 0.3: (a) fração de líquido; (b) velocidade do líquido; (c) velocidade do gás e (d) pressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.24 Teste de segregação composicional com atrito interfacial adiabático. Soluções numéricas: (a) fração de líquido; (b) composição global do C1 ; (c) velocidade do líquido, (d) velocidade do gás, (e) pressão e (d) temperatura . . . . . . . . . 6.25 Teste de segregação composicional com atrito interfacial adiabático. Comparação entre a soluções numéricas com e sem o termo de energia potencial na equação de conservação de energia: (a) fração de líquido; (b) composição global do C1 ; (c) perfil de pressão e (d) perfil de temperatura . . . . . . . . . . . . 6.26 Teste de segregação composicional com atrito interfacial com transferência de calor sem o trabalho da força peso na equação de conservação de energia da total da mistura. Soluções numéricas: (a) pressão, (b) temperatura e (c) pressão no fundo (BHP) e no topo (WHP) em função do tempo . . . . . . . . . . . . .. xvi. 109 110 110. 111. 113. 114. 115.

(18) Lista de Tabelas 3.1 3.2. Parâmetros da equação de conservação genérica . . . . . . . . . . . . . . . . . Tensão interfacial total (ISHII; HIBIKI, 2006) . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 13 25. 4.1 4.2 4.3 4.4. Equações governantes modelo imiscível . . . Variáveis naturais modelo imiscível . . . . . Equações governantes modelo composicional Variáveis naturais modelo composicional . .. . . . .. 48 48 53 53. 5.1 5.2 5.3. Condições de contorno do teste da torneira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Condição inicial e de contorno do problema de segregação de fases . . . . . . Tempo para segregação completa na solução de referência . . . . . . . . . . .. 67 71 74. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. Despressurização de CO2 . Configuração da linha de produção e composição do fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Despressurização de CO2 . Coeficientes para entalpia padrão (Eq. (B.24)) . . . 6.3 Injeção de CO2 . Configuração do poço, composição do fluido e parâmetros da simulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Caso A. Configuração do poço, composição do fluido e parâmetros da simulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Caso B. Configuração do poço, composição do fluido e parâmetros da simulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Caso C. Composição e de propriedades críticas do fluido . . . . . . . . . . . . 6.7 Caso C. Configuração do poço, composição do fluido e parâmetros da simulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8 Caso D. Configuração do poço, composição do fluido e parâmetros da simulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9 Composição e de propriedades críticas do fluido. Caso 4 . . . . . . . . . . . . 6.10 Teste de segregação composicional sem atrito. Dados da coluna, fluido e condição inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.11 Teste de segregação composicional com atrito interfacial. Dados da coluna, fluido, temperatura e pressão de referência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1. 83 83 89 92 93 96 96 101 102 107 112. B.1 Parâmetro ∆ para diferentes EOS (DANESH, 1998; SANDLER, 2006) . . . . 133 xvii.

(19) Nomenclatura A nomenclatura está dividida em: alfabeto latino, alfabeto grego, subscrito, sobrescrito, símbolos e acrônimos, sendo apresentada em ordem alfabética.. Alfabeto Latino A c Cp CD Ci C0 D D∗ Dd e Ep fc,p f g G h h I I J J L M m ˙ n N ~n Np Nc. Área da seção transversal [m²] Compressibilidade [1/Pa] Calor específico [J/kg.K] Coeficiente de arraste [-] Parâmetro de arraste [kg/m³] Parâmetro de distribuição [-] Diâmetro [m] Diâmetro hidráulico adimensional [-] Diâmetro da partícula [m] Energia específica [J/kg] Termo de transferência de energia interfacial [J/m³.s] Fugacidade do componente [Pa] Fator de atrito [-] Aceleração gravitacional [m/s²] Fluxo mássico por unidade de área [kg/m².s] Entalpia específica molar [J/mol] Coeficiente de troca de calor por convecção [W/m².K] Tensor identidade [-] Termo de transferência interfacial genérico [-] Tensor de tensões (normal e viscosa) [Pa] Matriz Jacobiana Fração molar, comprimento do domínio [-] Tensão interfacial total [N/m³] Fluxo mássico [kg/s] Número de moles [mol], tempo anterior Número de células [-] Vetor normal a superfície [-] Número de fases [-] Número de componentes [-] xviii.

(20) Nomenclatura. Nµl P PI q˙ q Qx Qw qˆΨp qˆmc,p qˆnc,p qˆep qˆe r R R Re S t tD Tµ TT T TD u Ut v vD + vD vc vR V xc,p x Xp X z Z. Número de viscosidade do líquido [-] Pressão [Pa] Índice de produtividade [m³/Pa.s] Fluxo de calor [J/s] Fluxo de calor por unidade área [J/m².s] Fluxo de calor na direção axial por unidade de volume [J/m³.s] Fluxo de calor na direção radial por unidade de volume [J/m³.s] Termo fonte de geração interna genérico por unidade de volume Termo fonte de geração interna de massa [kg/m³.s] Termo fonte de geração interna de massa em base molar [mol/m³.s] Termo fonte de geração interna de energia da fase [J/m³.s] Termo fonte de geração interna de energia da mistura [J/m³.s] Raio [m] Constante universal dos gases [J/mol.K] Vetor de resíduos Número de Reynolds [-] Superfície [m²] Tempo [s] Tempo adimensional [-] Tensor de tensões viscosas [Pa] Tensor de tensões turbulentas [Pa] Temperatura [K] Temperatura adimensional [-] Energia interna [J/Kg] Coeficiente global de transferência de calor [W/m.K] Velocidade [m/s] Velocidade de deslizamento [m/s] Velocidade de deslizamento adimensional Volume crítico [l/mole] Velocidade relativa [m/s] Volume [m³] Fração molar [-] Posição no espaço [m] Função indicadora de fase [-] Vetor de variáveis Fração global do componente [-] Fator compressibilidade [-]. xix.

(21) Nomenclatura. Alfabeto Grego α β v± β s± δi δX κ λ ξ θ σlg τ φ ψ ω Γ ∆Pi ∆t ∆x. Fração volumétrica [-] Parâmetro da interpolação propriedade vetorial [-] Parâmetro da interpolação propriedade escalar [-] Espessura da interface i [m] Vetor de incremento das variáveis Condutividade térmica [W/m.K] Autovalores Massa especifica molar [mol/m³] Rugosidade, erro de convergência [-] Ângulo de inclinação da tubulação com a horizontal [°] Tensão superficial líquido-gás [N/m] Tensão viscosa [Pa] Termo fonte devido as forças de corpo Propriedade genérica intensiva Fator acêntrico [-] Termos de transferência de massa interfacial [Kg/m³.s] Termo de correção de pressão [Pa] Passo de tempo [s] Espaçamento da malha [m]. Subscrito AM b B BS c cem d e DE f i ins j k l. Transição nevoeiro Partícula dispersa Bolha Transição bolha golfada; golfada de líquido Componente; revestimento Cimentação Fase dispersa Formação Transição bolha golfada Fase contínua Interface Isolante Índice do número de interfaces Índice da célula Líquido xx.

(22) Nomenclatura. m p g S SA TB t w. Mistura de fases Fase Gás Golfada Transição anular Bolha de Taylor Tubo Parede do tubo, poço. Sobrescrito T µ 0. Termos turbulentos Termos viscosos Referência. Símbolos e Operadores T ∇ ∇· P Pc RR p. Transposta Gradiente Divergente Soma de todos os componentes c Soma em todas as fase p Integral na superfície de controle. S.C.. RRR. Integral no volume de controle. V.C.. · ⊗ Fb F X. F ρ F. Xρ. F F 00 || k k∞ max () min (). Produto interno Produto tensorial Média temporal da função F Média volumétrica da função F Média ponderada na função indicadora de fases da função F Média ponderada na densidade da função F Média ponderada na função indicadora de fases e na densidade da função F Flutuação devido turbulência Função módulo Norma infinita Valor Máximo Valor Mínimo. xxi.

(23) Nomenclatura. Acrônimos BHP CFL GPAS GPRS SPM SPM-4 SPM-6 TFM TPM TPM-7 TPM-5 WHP. Bottom hole pressure Courant, Friedrichs e Lewy General Purpose Adaptive Simulator General Purpose Research Simulator Single-pressure model Single-pressure four-equation model Single-pressure six-equation model Two-fluid model Two-pressure model Two-pressure seven-equation model Two-pressure five-equation model Well head pressure. xxii.

(24) Capítulo 1 Introdução O escoamento multifásico em tubulações tem aplicações em diversas tecnologias das indústrias química, de processos, nuclear e de petróleo. Na indústria do petróleo, o fluxo multifásico surge devido à vaporização dos componentes leves da mistura de hidrocarbonetos como consequência da redução da pressão e a produção de água do reservatório (SHOHAM, 2006). Escoamento multifásico é definido como o fluxo simultâneo de dois ou mais estados de matéria (fase) através de um único volume de controle. Esses estados podem ser qualquer combinação de gás, líquido ou sólido separados por uma interface de espessura infinitesimal (LAHEY, 1992). Por exemplo, escoamento bifásico significa a presença de uma interface, e pode ser do tipo líquido-líquido (por exemplo, óleo-água) ou líquido-gás (óleo-gás ou águagás). No caso de escoamento trifásico óleo-água-gás temos a presença três interfaces, líquidolíquido (água-óleo), líquido-gás (óleo-gás e água-gás) (LAHEY, 1992; SHOHAM, 2006; ISHII; HIBIKI, 2006). A simulação numérica do escoamento multifásico é uma ferramenta essencial para análise econômica e de segurança ligadas ao dimensionamento e gerenciamento de projetos de exploração e explotação na área de engenharia de petróleo. Em particular, na análise de testes de poços, onde a existência do escoamento multifásico concorrente e contracorrente no poço durante os períodos de decaimento e crescimento de pressão, respectivamente, altera de forma significativa a distribuição de pressão, temperatura e composição do fluido no poço. Na literatura existe uma grande quantidade de modelos analíticos e numéricos para análise de testes de poços. Entretanto, a maioria dos modelos propostos não considera a dinâmica do escoamento no poço. Consequentemente, a análise pode não prever corretamente a resposta do reservatório (POURAFSHARY et al., 2009; LIVESCU et al., 2010). Matematicamente, a modelagem do escoamento multifásico é mais complexa e apresenta maiores desafios do que a modelagem do escoamento monofásico. Isto ocorre devido à dificuldade em prever a interação (transferência de massa, quantidade de movimento e energia) entre as fases nas interfaces. Estas interfaces movem-se e deformam-se continuamente, produzindo descontinuidades na distribuição geométrica das fases denominados de padrões de escoamento. A transição entre os padrões de escoamento altera o transporte de massa, de quantidade de. 1.

(25) Capítulo 1 - Introdução movimento e de energia através da interface, assim equações constitutivas para os termos interfaciais são definidas de acordo com o padrão de escoamento. As descontinuidades nos termos interfaciais causam descontinuidades nas equações diferenciais, consequentemente problemas de estabilidade e convergência nas soluções numéricas podem ser observados (LAHEY, 1992; ISHII; HIBIKI, 2006; SHOHAM, 2006). O modelo matemático usado para descrever o escoamento multifásico depende fortemente do grau de detalhamento físico requerido para o problema em questão. Na indústria de petróleo, esse problema tem sido comumente formulado através dos modelos empíricos e modelos mecanicistas. Os modelos empíricos baseiam-se na análise de dados experimentais, com pouco embasamento físico, cujo objetivo é propor correlações para determinação de parâmetros macroscópicos do escoamento, como pressão, velocidades e frações volumétricas. Por sua vez, os modelos mecanicistas buscam formular o problema com maior embasamento físico em termos das leis de conservação, com pouca dependência de dados experimentais e/ou de campo. Entretanto, esses modelos possuem aplicação restrita à problemas estacionários que tenham pouca variação nas propriedades físicas com o tempo. Com os recentes avanços na capacidade de processamento dos computadores e o desenvolvimento de métodos numéricos robustos, a modelagem de escoamento de fluidos passou a ser formulada através dos métodos da fluidodinâmica computacional. Neste contexto, duas formulações são comumente usadas para descrever o fenômeno de fluxo multifásico transiente: formulação local instantânea e formulação média. Na formulação local instantânea, cada componente/fase representa um volume de controle delimitado por interfaces infinitesimais. O balanço de massa, quantidade de movimento e energia são aplicados para cada fase. O acoplamento entre as fases é modelado através das equações de salto ou descontinuidade (jump equations) obtidas através da aplicação do balanço de massa, de quantidade de movimento e de energia nas interfaces (ISHII; HIBIKI, 2006). A formulação média utiliza equações de conservação (massa, quantidade de movimento e energia) médias considerando um referencial Euleriano. Estas equações são derivadas a partir da aplicação de um processo de média no sistema de equações local e instantâneo. O processo de média elimina as descontinuidades impostas pelas interfaces, permitindo que as equações de conservação sejam tratadas de forma contínua num volume de controle que engloba todas as fases. A formulação local é mais rigorosa e fornece maior grau de detalhamento físico do problema. Entretanto, apresenta maior grau de dificuldade de desenvolvimento do modelo numérico, além de apresentar alto custo computacional para resolver o sistema de equações tornando sua aplicação inviável na maioria dos casos práticos. Por outro lado, a formulação média permite analisar o problema a partir de uma escala macroscópica onde as propriedades médias como pressão, temperatura e frações volumétricas são as variáveis de maior interesse do problema. Consequentemente, a formulação reduz os custos computacionais para obter as soluções numéricas (ISHII; HIBIKI, 2006). Segundo Ishii e Hibiki (2006) os modelos médios mais representativos são o modelo driftflux e o modelo de dois fluidos. No modelo drift-flux, o problema é formulado por equações de 2.

(26) Capítulo 1 - Introdução conservação de massa para cada fase ou componente, uma equação de conservação de quantidade de momento e uma energia para mistura (considerando o equilíbrio térmico entre as fases). O movimento relativo é modelado por uma equação constitutiva, função de dois parâmetros empíricos: a velocidade de deslizamento (drift-velocity) e o parâmetro de distribuição (SHOHAM, 2006; ISHII; HIBIKI, 2006). Um caso particular do modelo drift-flux é o modelo homogêneo, o qual considera ausência de movimento relativo entre as fases, ou seja, as fases escoam com a mesma velocidade. No modelo de dois fluidos as equações de conservação são aplicadas para cada fase separadamente (massa, quantidade de movimento e energia). A interação entre as fases é modelada pelos termos de transporte interfacial presente nas equações médias. Sua principal diferença em relação ao modelo drift-flux é a utilização de uma equação da quantidade de movimento para cada fase. Do ponto de vista numérico, o modelo é computacionalmente mais complexo porque utiliza uma equação de quantidade de movimento para cada fase e numericamente menos estável quando o modelo de pressão única é considerado (o modelo é mal posto sem as modificações apropriadas) (RANSOM; HICKS, 1984; DINH et al., 2003; STäDTKE, 2006; PROSPERETTI; TRYGGVASON, 2007). Entretanto, o modelo é mais apropriado para modelar escoamentos de natureza transiente rápida com a presença de ondas de choque no campo de pressão. Além disso, o modelo é mais representativo para aplicação em problemas em que as fases apresentam pouco acoplamento como, por exemplo, o fluxo contracorrente líquido e gás observado em problemas de segregação de fases (ISHII; HIBIKI, 2006). Nas últimas décadas, a simulação numérica do escoamento multifásico transiente em poços de petróleo tem sido amplamente estudada pela indústria e comunidade científica (SHIRDEL, 2013). Um grande desafio atualmente é a resolução simultânea do sistema de equações do reservatório acoplado com o sistema de equações do poço. Por exemplo, o simulador de reservatório STARS da empresa Computer Modelling Group (CMG) oferece a opção de acoplamento com o simulador de poço FLEXWELL (da própria CMG); o ECLIPSE pode ser usado acoplado com um simulador de poço drift-flux; outro exemplo é o simulador poço OLGA, que em sua nova versão tem a opção de acoplamento com o simulador de reservatório ROCX (XIONG, 2014). Embora existam simuladores de fluxo comerciais que tratem de maneira adequada o problema do escoamento multifásico, estes simuladores estão disponíveis por um custo muito elevado, além de não ser possível acessar o código fonte. Outro desafio refere-se à modelagem termodinâmica dos fluidos envolvidos na produção de hidrocarbonetos. Em geral, os modelos disponíveis na literatura utilizam modelos de fluidos simplificados como, por exemplo, o modelo black-oil, que tem como principal vantagem o custo computacional. Entretanto, os efeitos da composição com a mudança de pressão e temperatura são negligenciados (POURAFSHARY et al., 2009). Uma alternativa é a formulação composicional, onde a composição in-situ varia ponto a ponto ao longo do poço, como função da pressão e da temperatura. A formulação composicional em conjunto com equações de estado cúbicas, tais como a equação de estado de Peng e Robinson (1978), conduz a cálculos termodinâmicos mais realistas, sendo mais apropriada para modelar misturas complexas de fluidos com alto teor de contaminantes como por exemplo 3.

(27) Capítulo 1 - Introdução CO2 e N2 , como observado nos fluidos do reservatório do pré-sal no Brasil (FOROUZANFAR et al., 2015; BARROS, 2015).. 1.1. Objetivos. Esta tese propõe uma solução numérica totalmente implícita, baseada no método dos volumes finitos, para resolver numericamente os sistema de equações que regem o escoamento multifásico transiente concorrente e contra contracorrente em poços de petróleo, considerando os efeitos da variação de pressão, temperatura e composição usando o modelo de dois fluidos. O sistema de equações governantes é escrito na forma composicional, na qual o fluido é representado por uma mistura finita de componentes com a presença de no máximo duas fases, líquido e vapor. Assim, o conjunto de equações do problema é composto pelas equações de conservação de massa de cada componente; uma equação de energia total para a mistura; e uma equação de quantidade de movimento para cada fase. Para o fechamento do sistema de equações é considerado o equilíbrio termodinâmico, expresso pela igualdade das fugacidades dos componentes nas fases líquido e vapor; equações de restrição da soma das frações molares dos componentes em cada fase e uma equação de restrição para soma das frações volumétricas. Além disso, a equação de estado cúbica de Peng e Robinson (1978) é usada nos cálculos das propriedades físicas, teste de estabilidade e flash bifásico. Além da solução composicional, este trabalho propõe também uma solução numérica totalmente implícita para o escoamento transiente líquido-gás, imiscível e isotérmico, formulado pelo modelo de dois fluidos de pressão única de quatro equações (SPM-4). Com o objetivo de verificar e validar a convergência, estabilidade e acurácia da metodologia numérica proposta, as soluções numéricas foram comparadas com soluções de referência disponíveis na literatura. O sistema de equações governantes (modelo composicional e imiscível) é escrito para um volume de controle unidimensional e discretizado pelo método dos volumes finitos, em um arranjo de malha desencontrada (staggered grid). O esquema upwind de primeira ordem é utilizado para aproximar os fluxos de massa, energia e quantidade de movimento nas faces dos volumes de controle. A discretização temporal é feita utilizando o esquema implícito de Euler de primeira ordem. Finalmente, o sistema de equações algébrico não linear resultante da discretização é resolvido de forma simultânea pelo método de Newton-Raphson.. 1.2. Organização da tese. Além da introdução (capítulo 1) esta tese contém seis capítulos, organizados conforme descrito abaixo: O capítulo 2 apresenta uma revisão bibliográfica dos principais trabalhos relacionados à modelagem matemática e numérica do modelo de dois fluidos aplicado ao escoamento multifásico transiente em tubos.. 4.

(28) Capítulo 1 - Introdução O capítulo 3 é dedicado à apresentação da formulação matemática do problema. Inicialmente são apresentadas as leis de conservação da formulação local instantânea. Em seguida, são apresentadas as equações governantes escritas em termos da formulação média, assim como as hipóteses do modelo proposto. Ainda neste capítulo, são apresentadas as equações constitutivas para calcular os termos de pressão interfacial, atrito com a parede do tubo, tensão interfacial, transferência de calor e os padrões de escoamento. O capítulo 4 discute o método numérico usado para resolver o sistema de equações governantes (modelo imiscível e modelo composicional). Os capítulos 5 e 6 apresentam os resultados e discussões das simulações usadas para verificar as soluções imiscível e composicional, respectivamente. Finalmente, no capítulo 7 são apresentadas as conclusões da tese e as sugestões para o desenvolvimento de trabalhos futuros.. 5.

(29) Capítulo 2 Revisão Bibliográfica Em sua forma mais conhecida, o modelo de dois fluidos foi formulado teoricamente por Ishii (1975), Delhaye e Achard (1976) e Drew (1983). Ishii (1975) propôs seu modelo utilizando uma média temporal, enquanto Delhaye e Achard (1976) formularam o modelo de dois fluidos por meio de uma média volumétrica. De forma similar, Drew (1983) derivou o modelo a partir de um processo de média conhecido como média de conjunto (essemble-average), o qual emprega a média temporal e volumétrica em conjunto. Os três tipos de média citados possuem interpretação física distintas. Entretanto, eles geram um conjunto de equações médias equivalentes (OMGBA-ESSAMA, 2004). Os modelos citados anteriormente são denominados na literatura como modelo de dois fluidos de duas pressões (Two-Pressure Model - TPM). Eles consideram o não equilíbrio mecânico e térmico entre as fases, cada fase possui seu próprio conjunto de equações de conservação (massa, quantidade movimento e energia). Assim, as fases podem apresentar velocidades, pressões e temperaturas distintas. O acoplamento entre as fases nas interfaces é definido pelos termos de transferência interfacial. Matematicamente, o modelo de duas pressões é estritamente hiperbólico, isto é, o sistema de equações possui sempre autovalores reais e distintos e autovetores linearmente independentes (GIDASPOW, 1974; STUHMILLER, 1997). Isto significa que, como um problema de valor inicial e de contorno, o sistema de equações do modelo TPM é bem posto. Numericamente, o modelo TPM não apresenta problemas de instabilidade causadas pela natureza não hiperbólica do seu sistema de equações. Entretanto, segundo Städtke (2006), as equações constitutivas existentes na literatura para o modelo de dois fluidos TPM foram pouco estudadas ou são válidas apenas para casos específicos, consequentemente, sua aplicação ainda é limitada. A maioria dos trabalhos que envolvem a aplicação do modelo de dois fluidos considera uma pressão única para todas as fases. Este modelo é conhecido como modelo de pressão única (Single Pressure Model - SPM) e consiste em seis equações de conservação (massa, quantidade de movimento e energia, uma para cada fase) chamado SPM-6 ou quatro equações de conservação (massa e quantidade movimento para cada fase), SPM-4, quando é assumido escoamento isotérmico.. 6.

(30) Capítulo 2 - Revisão Bibliográfica O modelo de dois fluidos de pressão única (SPM) em determinadas condições perde a natureza hiperbólica do sistema de equações (isto é, apresenta autovalores complexos), assim o modelo SPM torna-se mal posto nestas condições. Provas da existência de autovalores complexos podem ser encontradas nos trabalhos de Gidaspow (1974), Stuhmiller (1997), Ramshaw e Trapp (1978), Evje e Flåtten (2003) e Städtke (2006) . Nestas circunstâncias, a solução numérica do modelo pode apresentar problemas de instabilidades como consequência do aparecimento de oscilações causadas por pequenas pertubações na solução (RANSOM; HICKS, 1984; DINH et al., 2003; PROSPERETTI; TRYGGVASON, 2007). Para obter um sistema de equações estritamente hiperbólico, equações diferencias (nãoconservativas) são introduzidas nas equações de quantidade de movimento, como por exemplo os termos de tensão superficial (RAMSHAW; TRAPP, 1978), massa virtual (DREW et al., 1979; STäDTKE, 2006) e pressão interfacial (STUHMILLER, 1997; CASCALES, 2001; EVJE; FLåTTEN, 2003; PAILLèRE et al., 2003; SHEKARI; HAJIDAVALLOO, 2013). A inclusão desses termos torna a solução numérica estável devido à inclusão de difusão artificial na solução (DINH et al., 2003; MUNKEJORD, 2006). A indústria nuclear foi pioneira no desenvolvimento de simuladores comerciais de escoamento multifásico transiente usando o modelo SPM, os principais são CATHARE (MICAELLI, 1987), RELAP5 (RANSOM, 1982) e TRAC (BORKOWSKI; WADE, 1992). Os trabalhos de Bendiksen et al. (1986) e Bendiksen et al. (1991) deram origem ao simulador OLGA, primeiro simulador comercial de escoamento multifásico transiente da indústria do petróleo. Os autores utilizaram uma versão estendida do modelo de dois fluidos (SPM) conhecida como Multi-field Model (ISHII; HIBIKI, 2006). Estes simuladores possuem em comum a aplicação de esquemas implícitos ou semi-implícitos de primeira e segunda ordem temporal e espacial baseados no método dos volumes finitos discretização e nos esquemas de malhas e upwind. Com propósito de obter soluções numéricas estáveis e acuradas, Coquel et al. (1997), Evje e Flåtten (2003), Paillère et al. (2003), Garcia-Cascales e Paillère (2006), Munkejord et al. (2009), Shekari e Hajidavalloo (2013) desenvolveram soluções explícitas baseadas no método upwind para o modelo de dois fluidos de pressão única (SPM). Estas soluções foram verificadas com soluções de referência de diversos casos testes disponíveis na literatura (benchmark problems) incluindo o problema de segregação de fases imiscível de Coquel et al. (1997). Morales-Ruiz et al. (2012) desenvolveram uma solução semi-implícita para modelo SPM-6 para simular o fluxo de fluidos refrigerante com efeito de transferência de massa e calor entre as fases. O método SIMPLE (PATANKAR, 1980) foi usado para resolver o sistema algébrico não linear discretizado pelo método dos volumes finitos em um malha desencontrada. Além disso, os autores utilizaram na discretização espacial esquemas de interpolação de primeira, segunda e alta ordem. O teste de segregação de fases imiscível foi usado para verificar a capacidade da solução em prever fluxo contracorrente e o desaparecimento de fases. Stone et al. (1989) desenvolveram uma solução totalmente implícita usando o modelo de dois fluidos (SPM) acoplado com um simulador de reservatório para simular o escoamento trifásico black-oil em poços horizontais. 7.

(31) Capítulo 2 - Revisão Bibliográfica Almehaideb et al. (1989) propuseram um modelo similar ao proposto por Stone et al. (1989), assumindo fluxo isotérmico no poço e no reservatório. O simulador foi aplicado para investigar efeito da estocagem e segregação de fases em testes de poços verticais durante o período de decaimento e crescimento da pressão, respectivamente. Os autores constataram que o aumento da pressão de fundo como consequência da segregação do líquido (durante o shut-in) causa o fluxo reverso de líquido do poço para o reservatório (backflow). Além disso, eles demonstram que a segregação de fases causa um comportamento anômalo no gráfico de pressão contra o tempo. Pourafshary (2007) estendeu o modelo o proposto por Almehaideb et al. (1989), incluindo uma equação de energia para mistura. O modelo de desenvolvido foi acoplado com o simulador de reservatório GPAS (WANG et al., 1997; WANG et al., 1999) e usado para simular a segregação de fases em testes de crescimento de pressão. Os resultados foram satisfatoriamente comparados com dados de testes de campo. Livescu et al. (2008) propuseram uma solução implícita para o escoamento trifásico blackoil (óleo, gás e água) para poços verticais usando o modelo drift-flux acoplado com o simulador de reservatório GPRS (CAO, 2002). Esta formulação foi posteriormente estendida para tratar sistemas multicomponentes (LIVESCU et al., 2009). O simulador foi usado para simular a produção de óleo, gás e água em poços com múltiplas completações. Recentemente Barros (2015) e Souza-Jr. (2015) apresentaram uma solução composicional totalmente implícita para simular o escoamento bifásico em poços horizontais e verticais, respectivamente; usando o modelo drift-flux. Os autores implementaram e compararam os resultados numéricos obtidos para diversas correlações para a velocidade de deslizamento e parâmetro de distribuição. Forouzanfar et al. (2015) desenvolveram um modelo de poço composicional totalmente implícito usando o modelo drift-flux acoplado com um simulador de reservatório. O modelo foi desenvolvido para simulação de testes de poços com alta concentração de contaminantes como CO2 e N2 . Os autores incluíram na formulação uma equação de equilíbrio termodinâmico extra para modelar a dissolução CO2 na fase aquosa. Zou et al. (2016) desenvolveram uma solução numérica totalmente implícita de alta ordem para simular o fluxo bifásico (líquido-gás) usando o modelo SPM-6 usando o método dos volumes finitos em um arranjo de malhas desencontradas. O método de Newton-Krilov foi usado para resolver o sistema algébrico sem a necessidade calcular a matriz Jacobiana do método de Newton-Raphson, sendo esta a principal vantagem do método. A solução proposta foi testada usando o problema de segregação de fases imiscível com atrito interfacial de Städtke (2006). Shirdel e Sepehrnoori (2016) derivaram uma solução semi-implícita para simular o fluxo transiente trifásico em poços usando o modelo de dois fluidos. No modelo trifásico, óleo e água são tratadas como uma pseudo fase líquida, e o modelo drift-flux é usado para incluir o movimento relativo entre as duas fases na formulação. O trabalho considera uma formulação pseudo-composicional para representar a mistura de fluidos. A solução pode ser utilizada de forma independente ou acoplada com o simulador de reservatórios GPAS (WANG et al., 1997; WANG et al., 1999). O simulador foi desenvolvido com o propósito de estudar a deposição de 8.

(32) Capítulo 2 - Revisão Bibliográfica parafinas e a formação de hidratos durante a produção de hidrocarbonetos. O autores utilizaram o problema de segregação de fases imiscível (água - ar) com atrito interfacial para verificar a capacidade do modelo em prever o fluxo contra corrente e o desaparecimentos de fases. A solução proposta foi capaz de prever a segregação de fases. Entretanto, apenas a pressão no fundo foi comparada com uma solução de referência aproximada. Esta tese apresenta uma série de características importantes que o distinguem dos anteriores. Diferentemente dos trabalhos de Coquel et al. (1997), Evje e Flåtten (2003), Paillère et al. (2003), Garcia-Cascales e Paillère (2006), Munkejord et al. (2009), Morales-Ruiz et al. (2012), Shekari e Hajidavalloo (2013) e Zou et al. (2016), o problema de segregação de fases imiscível (com e sem atrito interfacial) foi estudado extensivamente, apresentando-se soluções numéricas inéditas para diversos cenários. Além disso, a solução de referência existente na literatura (EVJE; FLåTTEN, 2003) inclui somente as frações volumétricas e a velocidade de líquido, considerando uma fração de líquido inicial igual 0.5. Neste trabalho, propomos uma nova de solução de referência para qualquer fração de líquido inicial e que inclui todas as variáveis (pressão, frações volumétricas e velocidades das fases). Em contraste com o modelo de dois fluidos black-oil de Stone et al. (1989), Almehaideb et al. (1989) e Pourafshary (2007), este trabalho utiliza o termo de correção de pressão de Bestion (1990) com o intuito de tornar o modelo de dois fluidos hiperbólico. Além disso, equações constitutivas mais robustas do ponto de vista numérico, comumente usadas no simuladores comerciais da indústria nuclear (TRACE (US-NRC, 2007) e RELAP5 (RELAP5, 2001)), são utilizadas no cálculo do atrito do fluido com a parede, atrito interfacial e determinação do padrão de escoamento. A formulação composicional totalmente implícita baseada no modelo drift-flux foi desenvolvida por Livescu et al. (2008), Forouzanfar et al. (2015), Barros (2015) e Souza-Jr. (2015). O aspecto inovador deste trabalho é o desenvolvimento de uma formulação numérica inédita para o escoamento multifásico composicional considerando o modelo de dois fluidos. Além disso, esta modelagem foi aplicada para a obtenção de resultados inéditos para o problema de segregação de fases considerando os efeitos térmicos e equilíbrio termodinâmico. É importante destacar que o simulador desenvolvido possui um grande potencial para acoplamento com um simulador de reservatório, inclusive para simulação de testes de poços com segregação de fases.. 9.

(33) Capítulo 3 Formulação Matemática Neste capítulo são introduzidos os conceitos básicos envolvidos na formulação do escoamento multifásico em meios livres. Inicialmente, são apresentas as leis de conservação que governam o fenômeno físico expressas na forma instantânea local. Em seguida são apresentadas os processos de média e conceitos envolvidos na transformação das equações locais em equações médias.. 3.1. Formulação local instantânea. Na formulação local instantânea, cada fase é tratada como um volume de controle de fronteira móvel, delimitado por uma ou mais interfaces de espessura infinitesimal. As equações de transporte são aplicadas e resolvidas para cada um desses volumes e a interação entre as fases ocorre através dos termos transferência interfacial ou equações de salto (ISHII; HIBIKI, 2006). A seguir, será deduzida a equação de transporte generalizada para um volume de controle fixo com a presença de mais de uma fase. Considere o volume de controle da Figura 3.1, no qual V e SV representam o volume e a superfície do volume de controle estacionário, respectivamente. O volume V , pode conter uma ou mais fases, em que Vp denota o volume de uma determinada fase p de fronteira Sp (~x, t), móvel no tempo e espaço. A superfície Sp pode ser definida como Sp = Sip ∪ (Sp ∩ SV ), ou ainda, Sp = Sip ∪ SVp , onde Sip e SVp representam partes da fronteira Sp coincidentes com outra fase e com a parede do volume V , respectivamente.. 10.

(34) Capítulo 3- Formulação Matemática. V. S p (⃗x , t) V p (⃗x , t) Fase 1. S V (⃗x , t ). S ip (⃗x , t). p. SV. Fase 2. Figura 3.1: Representação esquemática de um volume de controle V multifásico (FUENTESNUCAMENDI, 1996) Escrevendo o balanço integral de uma quantidade genérica para o volume Vp , obtém-se:. ZZZ . ∂ρp ψp ∂t. . ZZ dV = −. Vp. ZZZ (ρp ψp~vp + Jp ) · ~np dS +. Sp. ρp φp + qˆΨp dV,. (3.1). Vp. onde ρp é a massa específica, ψp é uma propriedade intensiva genérica, ~vp é a velocidade física da fase p, Jp é um tensor que representa o fluxo difusivo, ~np é o vetor unitário normal a superfície Sp , qˆΨp e φp são os termos fontes de geração ou perda devido as fontes internas e as forças de corpo, respectivamente. Na Eq. (3.1), Vp e Sp variam no tempo e no espaço devido a fronteira móvel. Logo, aplicando o teorema de Leibnitz na integral do termo acúmulo, obtém-se: d dt. ZZZ . ZZZ (ρp ψp ) dV = Vp. ∂ρp ψp ∂t. Vp. . ZZ ρp ψp~vip · ~np dS. dV +. (3.2). Sp. onde ~vip é a velocidade deslocamento da interface Sip . Na Eq. (3.2), a integral na superfície Sp pode ser separada em duas partes Sip ∪ SVp , logo. d dt. ZZZ . ZZZ (ρp ψp ) dV = Vp. Vp. ∂ρp ψp ∂t. . ZZ. ZZ ρp ψp~vip · n~p dS +. dV + SVp. ρp ψp~vip · ~np dS. (3.3) Sip. Note que ~vip é zero na superfície SVp (fronteira estacionária). Portanto, segue que. 11.