PROGRAMA DE PÓS
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GRADUAÇÃO EM BIOINFORMÁTICAP
ROCESSO EPIDÊMICO MEDIADO POR VETORES E
PROCESSO EPIDÊMICO NO MODELO
SIS
EM REDE
COMPLEXA
: U
M
E
STUDO DAS
P
ROPRIEDADES
C
RÍTICAS
F
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NATAL
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RN
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ROCESSO EPIDÊMICO MEDIADO POR VETORES E
PROCESSO EPIDÊMICO NO MODELO
SIS
EM REDE
COMPLEXA
: U
M
E
STUDO DAS
P
ROPRIEDADES
C
RÍTICAS
Tese de Doutorado apresentada ao Programa de Pós-Graduação
em Bioinformática do Instituto Metrópole Digital da Universi-dade Federal do Rio Grande do Norte como requisito parcial para a obtenção do grau de doutor em Bioinformática.
Orientador: Prof. Dr. Umberto Laino Fulco
NATAL
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RN
Santos, Frederico Lemos dos.
Processo epidêmico mediado por vetores e processo epidêmico no modelo SIS em rede complexa: um estudo das propriedades críticas / Frederico Lemos dos Santos. - 2020.
89 f.: il.
Tese (doutorado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Instituto Metrópole Digital da UFRN, Programa de Pós-Graduação em Bioinformática, Natal, RN, 2020.
Orientador: Prof Dr. Umberto Laino Fulco.
1. Limiar epidêmico - Tese. 2. Propriedasdes críticas - Tese. 3. Sistema de não-equilíbrio - Tese. I. Fulco, Umberto Laino. II. Título.
RN/UF/BCZM CDU 004:577
Elaborado por Ana Cristina Cavalcanti Tinoco - CRB-15/262
Defesa de Doutorado apresentanda ao Programa de Pós-Graduação em Bioinformática da Universidade Federal do Rio Grande do Norte.
Área de concentração: Bioinformática Linha de Pesquisa: Biologia de Sistemas Orientador: Prof. Dr. Umberto Laino Fulco
Natal, 19 de agosto de 2020.
BANCA EXAMINADORA
_________________________________________ Prof. Dr. Umberto Laino Fulco
Presidente
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
___________________________________
____________
Prof. Dr. João Paulo Matos Santos Lima Avaliador Interno Universidade Federal do Rio Grande do
Norte
____________________________________
___________
Dr. Maurício Lopes de Almeida Avaliador Externo ao Programa Universidade Federal do Rio Grande do
Norte
___________________________________
____________
Prof. Dr. Antônio de Macedo Filho Avaliador Externo à Instituição Universidade Estadual do Piauí
____________________________________
___________
Prof. Dr. Paulo Henrique Ribeiro Barbosa Avaliador Externo à Instituição
Universidade Federal do Piauí
- A Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES; - A Universidade Federal do Rio Grande do Norte: A instituição a qual visto a camisa. Meu segundo lar.
- Ao Programa de Pos-Graduação em Bioinformática da UFRN: Colegas e Cole-gas. Aprendi muito com eles e quero continuar aprendendo.
- Ao Departamento de Engenharia Elétrica da UFRN: Foi este Departamento que me acolheu em minha chegada da Paraíba em 1996.
- Ao Departamento de Biofísica e Farmacologia da UFRN: Minha casa, meus co-legas, meus amigos.
Agradeço ao meu orientador Umberto e Eudenilson que fezeram acontecer. Agradeço ao colega e amigo, Alberto Nicolau, do Departamento de Engenharia Elétrica. Foi ele quem me incentivou a pedir afastamento de minhas atividades no DEE para me dedicar a este doutorado. Sem isto não teria sido possível. Relembrando minha trajetória em direção a este doutorado, não posso esquecer do prof. Adrião Doria, que em 2002, deu o start para este projeto. Também agradeço ao prof. Gilberto Corso que também fez parte desta jornada.
Agradeço ao amigo Macedo. Não tenho palavras para agradecer a ele. Muito obrigado Macedo. Você foi completo com vidro, direção e ar... e "só acaba quando ter-mina". A Maurício que esteve comigo em toda esta jornada, obrigado, Maurício. A Ale-xandre que me deu a paciência e a estabilidade para não explodir nos momentos difíceis. A Xavier pela disponibilidade em sua forma zen de ser. A Katy que com sua fala mansa me lembrou dos compromissos importantes quando eu estava envolvido em resolver os problemas dos alunos e do cluster de computadores. Ao Slacker Daniel da Costa Jotha...
Agradeço também a meus familiares, pai, mãe e irmãs, como também a minha esposa Regina que me apoiou em todos os momentos, minha duas filhas Lucíola e Maria Clara e também aos meus dois filhos Taoan e Yuri.
Peço desculpas a quem importunei questionando, inclusive, regras e procedimen-tos. É que quem trabalha com ciência questiona tudo e tudo tem de ser provado e refe-renciado. Dizem que existe um Deus, citação [ ]. Agradeço a Ele também, porque nos momentos em que me ví perdido, foi dele que me lembrei...
Desde 1990 que as propagações epidêmicas têm sido alvo de muitos estudos base-ados nos métodos da Física Estatística. As dinâmicas desses processos epidêmicos, tipica-mente de não equilíbrio, consistem na competição pelo estado de saúde ativo (hospedeiros infectados) e inativo (hospedeiros não infectados). A transição entre estes estados ativo (epidêmico) e inativo (não epidêmico) permite a análise do ponto e dos expoentes críticos do sistema (classe de universalidade). Nesta tese investiga-se as propriedades críticas de dois sistemas epidêmicos: O primeiro composto de duas espécies de população que são a humana com hospedeiros não infectados (H) e hospedeiros infectados (Hi) e a dos vetores
composta de vetores não infectados (V ) e vetores infectados (Vi), que se difundem
inde-pendentemente numa rede unidimensional, com a taxa D, seguindo uma regra dinâmica de probabilidade, onde as taxas de cura dos vetores e dos indivíduos são respectivamente φ e λ. Um segundo sistema epidêmico, conhecido como suscetível infectado suscetível (SIS), em uma rede complexa com alto fator de agregação e com taxa de contaminação λ. Os dois modelos foram simulados usando-se o método de Monte Carlo para a obtenção dos dados e uma análise de escala de tamanho finito permitiu que se estimasse as proprie-dades críticas. Para o primeiro modelo obteve-se o ponto crítico para quinze combinações entre as taxas de cura dos vetores e hospedeiros e se enquadrou na classe de universali-dade dos processos epidêmicos difusivos, expoentes z = ν = 2 e β/ν = 0, 11(2). Para o segundo modelo, o ponto crítico foi λc = 0, 068(9)e os expoentes foram: β/ν = 0, 88(4),
1/ν = 0, 25(4)e γ/ν = 0, 51. Estas informações podem contribuir com as metodologias empregadas pela epidemiologia no combate as doenças infecciosas.
Palavras chave: Sistema Epidêmico Difusivo, Limiar Epidêmico, Propriedades Críticas, Sistema de Não-equilíbrio, Classe de Universalidade, Monte Carlo, SIS.
Since 1990, epidemic spread has been the subject of many studies based on statis-tical physics methods. The dynamics of these epidemic processes, typically unbalanced, consist of competition for active (infected hosts) and inactive (uninfected hosts) health status. The transition between these active (epidemic) and inactive (non-epidemic) states allows the analysis of the critical point and exponents of the system (universality class). In this thesis the critical properties of two epidemic systems are investigated: The first composed of two population species that are human with uninfected hosts (H) and in-fected hosts (Hi) and that of vectors composed of non-infected vectors infected (V ) and
infected vectors (Vi), which spread independently in a one-dimensional network, with the
rate D, following a dynamic probability rule, where the cure rates of vectors and indivi-duals are respectively φ and λ. A second epidemic system, known as susceptible infected susceptible (SIS), in a complex network with high aggregation factor and contamination rate λ. Both models were simulated using the Monte Carlo method to obtain the data and a finite-size scale analysis allowed the critical properties to be estimated. For the first model, the critical point was obtained for fifteen combinations between the rates of cure of vectors and hosts and fit into the universality class of diffusive epidemic processes, exponents z = ν = 2 and β/ν = 0.11(2). For the second model, the critical point was λc = 0.068(9)and the exponents were: β/ν = 0.88(4), 1/ν = 0.25(4) and γ/ν = 0.51. This
information can contribute to the methodologies employed by epidemiology in the fight against infectious diseases.
Keywords: Epidemic System, Epidemic Threshold, Critical Properties, Non-equilibrium, Universality Class, SIS.
2.1 O diagrama de fase típico de um fluido [16], mostrando as fases sólido, líquido e gasoso. Todas as transições de fases são de primeira ordem, exceto no ponto crítico C, transição de segunda ordem. A partir do ponto crítico C, quando (T > Tc), o
líquido se transforma em gás de forma contínua. . . 6 2.2 O diagrama de fase para o modelo epidêmico. O parâmetro de ordem ρ (densidade
de infectados) versus a probabilidade de cura λ (parâmetro de controle). . . 6 2.3 Curvas de coexistência de oito fluidos diferentes [19]. O ajuste das curvas acontece
para β = 1/3. . . 10 2.4 Diagrama que mostra as regras para a percolação de ligação direcionada com
pro-babilidade de ligação p na rede quadrada. O círculo preto indica que o sítio está ligado a origem; e o círculo branco indica que o sítio não tem ligação com a origem. 11 2.5 Figura que ilustra o teorema do limiar em raposas contaminadas como a raiva
(Thrusfield, 1995), (From Macdonald and Bacon, 1980). . . 13 2.6 Rede linear com indivíduos não infectados (cor azul) e infectados (cor vermelha).
A figura mostra a passagem da configuração ”a” para ”b” com valores de λ em função da vizinhança. Da direita para esquerda, o último sítio mostra uma cura com probabilidade unitária. . . 15 2.7 Diagrama de fase do modelo do processo de contato. O parâmetro de ordem ψ
(densidade de infectados) versus a probabilidade de cura λ (parâmetro de controle). 15
2.9 Exemplo de um grafo onde os círculos representam os nodos (vértices) e os traços que ligam os círculos, as arestas (ligações). . . 23 2.10 Rede linear uniforme, representada graficamente por oito nodos. Os nodos são
representados pelos quadrados e as ligações pelos traços que faz a união entre eles. 25 2.11 Rede linear com condições de contorno. O primeiro nodo que é denominado de
sítio 1, fica ligado ao último nodo que é o sítio 20. Nesta representação as arestas foram suprimidas. . . 25 2.12 Distribuição de conectividades. a)Todos os nodos têm aproximadamente o mesmo
número de arestas. O número médio do pico da distribuição de Poisson fornece a escala da rede. b) Em escala logarítmica, a distribuição não tem sentido em se falar de escala ou número médio de arestas. As redes livres de escala possuem muitos nodos com poucas arestas e poucos nodos com muitas arestas. . . 26 2.13 Rede complexa das colaborações científicas [67].. . . 27 2.14 Rede complexa dos contatos sexuais [68]. . . 28 2.15 Representação esquemática do crescimento de uma rede homofílica. No passo t0,
o número de sítios são 2, nos passos seguintes (t1, t2 e t3), cada sítio que chega
faz apenas uma nova conexão com o sítio preexistente, definido de acordo com a Eq. 2.24. Ao decidir onde estabelecer uma nova ligação (linha pontilhada), o novo sítio prefere se conectar com outro que, simultaneamente, tem característica similar a sua e muitas outras conexões.. . . 29 2.16 Figura que ilustra o crescimento de uma rede homofílica aglomerada. . . 30 5.1 O fluxograma mostra o algoritmo do processo difusivo com o método MC, em
uma rede linear de L = 1.280 sítios, com um tempo de relaxação T r = 10.000 e uma quantidade de amostras N a = 1.000 amostras. As variáveis X, T e na controlaram o número de sítios, o tempo de relaxação e do número de amostras, respectivamente. Nesta figura, a densidade inicial foi de ρi = 0, 02, a densidade
final de ρf = 1, 00e o incremento da densidade foi de δ = 0, 02. . . 43
tidade de N a = 12.000 amostras. As variáveis X, T e na controlaram o número de sítios, o tempo de relaxação e do número de amostras, respectivamente. Nesta fi-gura, a taxa de infecção inicial foi de λi = 0, 02, a taxa de infecção final de λf = 1, 00
e o incremento da taxa de infecção de δ = 0, 02. . . 44 6.1 Gráfico para as taxas cura φ = λ = 1, mostrando a região crítica sinalizadas
pelo cruzamento das redes. Este caso (φ = λ = 1) foi estudado mas não entrou nos resultados da tese nem das publicações. . . 46 6.2 Gráfico mostrando cinco curvas da região crítica onde a curva em preto
(ρc= 1, 595) é a melhor estimativa para o ponto crítico. . . 48
6.3 Gráfico da evolução temporal da densidade crítica dos indivíduos infecta-dos para φ = λ = 0, 5, referente ao ponto crítico ρc = 1, 308(2). O melhor
ajuste da lei de potência leva a β/zν = 0, 127(6). . . 49 6.4 Gráfico do logarítmico da evolução temporal relativa a flutuação da
densi-dade crítica (ponto crítico ρc = 5, 169(3)) para as taxas de cura φ = 0, 80 e
λ = 0, 90, cuja inclinação da reta resulta no expoente crítico 1/z = 0, 49(3). . 50 6.5 Gráfico da derivada para a evolução temporal feito para as taxas de
recu-peração φ = 0, 20 e λ = 0, 30. A inclinação da reta estima a relação dos expoentes críticos 1/zν = 0, 24(4). . . 51 6.6 Gráfico da densidade crítica dos vetores em função da taxa de cura deles,
para diferentes taxas de curas dos indivíduos. . . 52 6.7 Gráfico da densidade crítica dos vetores em função da taxa de cura dos
indivíduos, para diferentes taxas de curas de vetores. . . 53 6.8 Gráfico do parâmetro de ordem em função do parâmetro de controle, para
diferen-tes tamanhos de redes. . . 54 6.9 Gráfico das flutuações do parâmetro de ordem χ para diferentes tamanhos da rede
RHA, em função dos respectivos parâmetros de controle. . . 55 6.10 Gráfico da regressão não linear dos pseudos pontos críticos λ∗ em função do
in-verso dos tamanhos das redes 1/N , o que mostra a evolução de λ∗ em direção a ponto crítico λc. . . 56
foi a melhor regressão linear e sua inclinação forneceu o expoente 1/ν de acordo com a Eq. (6.6). . . 57 6.12 O comportamento de escala do parâmetro de ordem ρ(λc, N )plotado em relação
ao tamanho da rede N nas proximidades do ponto crítico. A inclinação é uma estimativa da razão dos expoentes β/ν. . . 58 6.13 Gráfico que mostra o comportamento da lei de potência para os valores de pico da
flutuação do parâmetro de ordem em função do tamanho da rede N . A linha preta representa um ajuste dos dados e a inclinação da reta forneceu a razão do expoente γ/ν. . . 58 6.14 a) O colapso dos dados do parâmetro de ordem ρNβ/ν em relação ao parâmetro de
controle (λ − λc)N1/ν por vários valores de tamanho de rede N . O melhor colapso
de dados é dado pelos expoentes críticos: β/ν = 0, 88, 1/ν = 0, 25 e λc= 0, 068. b)
Colapso das flutuações do parâmetro de ordem para diferentes tamanhos de redes, usando-se os resultados obtidos pela análise de escala de tamanho finito. Todos os dados caem sobre uma única curva, o que fortalece a precisão das propriedades críticas estimadas. O valor utilizado para γ/ν = 0, 51 . . . 59
6.1 Tabela referente ao par de taxas de cura (φ = 0, 20 e λ = 0, 50) e rede de L = 2.560. A densidade inicial de vetores ρ0 = 0, 4300e densidade final de
ρ12= 0, 55000, com incremento de δ = 0, 01000. . . 46
6.2 Na primeira coluna encontra-se as combinações das taxas de cura dos ve-tores φ com as taxas de cura dos indivíduos λ. Na segunda coluna, a densi-dade crítica dos vetores ρce nas demais os expoentes dinâmicos β/zν, 1/z
e 1/zν correspondentes. . . 51 7.1 Tabela que resume os resultados encontrados para o SIS na RHA. . . 62 7.2 Tabela que resume os resultados encontrados para o SIS na RHA. . . 62
1 Introdução 1
2 Revisão bibliográfica 5
2.1 Transição de fase e ponto crítico . . . 5
2.2 Expoentes críticos . . . 8
2.3 A evolução da epidemiologia . . . 11
2.4 Teorema do limiar . . . 12
2.5 Modelos da Epidemiologia . . . 13
2.6 Modelos Epidêmicos da física . . . 14
2.7 Sistemas de não equilíbrio . . . 16
2.8 Simulação numérica . . . 20
2.9 Redes . . . 23
2.10 Rede Regular . . . 24
2.10.1 Redes complexas . . . 25
2.10.2 A rede Homofílica . . . 28
2.10.2.1 A rede Homofílica Aglomerada . . . 29
3 Justificativa 31
5 Metodologia 35
5.1 O processo epidêmico difusivo . . . 35 5.2 Modelo SIS numa rede homofílica aglomerada . . . 40
6 Resultados e Discussões 45
6.1 Resultados e discussão do PED . . . 45 6.2 Resultados do modelo SIS . . . 53
7 Síntese dos Resultados e Conclusões 60
7.1 O processo epidêmico difusivo . . . 60 7.2 O SIS na rede RHA . . . 62
8 Perspectivas 64
Referências bibliográficas 65
9 Anexos 75
INTRODUÇÃO
Este é um trabalho que pode ser classificado como interdisciplinar porque seus re-sultados interessam tanto à física como a epidemiologia. Do lado da física, porque ele usa os conhecimentos da física de muitos corpos para explorar sistemas complexos, encontrar pontos e expoentes críticos, além de classes de universalidade. Pelo lado da epidemiolo-gia, pode esclarece questões sobre a transmissão de doenças infecciosas, ajudando a pre-servar a saúde da humanidade, uma questão de maior interesse da Organização Mundial de Saúde (OMS).
A definição de saúde foi o resultado de uma elaboração concluída pela OMS em 1948 e sintetizada no seguinte axioma: "Saúde é um estado de completo bem-estar físico, mental e social e não apenas a mera ausência de doença" [1]. Embora a definição de saúde vá mais além do que a ausência de doenças [2], é justamente a doença, uma condição par-ticular e anormal que afeta negativamente a função ou a estrutura de todo um organismo ou parte(s) dele, excetuando-se os traumas físicos externos.
A primeira tentativa de classificar as doenças é atribuída ao inglês John Graunt que usou da análise estatística de uma variável - doença como a variável - para uma clas-sificação segundo as causas das mortes. Este estudo foi publicado em 1662 no livro Natural and political observations mentioned in a following index, and upon the bills of mortality de sua autoria [3]. A primeira Classificação Internacional de Doenças (CID) data do ano de 1893 e desde então vem sendo revisada e atualizada. Atualmente, ela encontra-se na sua
cima primeira revisão - CID - 11, lançada em 18 de junho de 2018 pela OMS [4]. No CID -11 pode-se encontrar a classificação das doenças infecciosas que são provocadas pelos mi-crorganismos patogênicos tais como bactérias, vírus, parasitas eucariontes e fungos que são os responsáveis pelas infecções.
Dentre as doenças classificadas no CID, as infecciosas se constituem um dos maio-res problemas de saúde pública do mundo, pois maio-respondem por um terço da mortalidade entre os seres vivos [5]. Elas se propagam através do contato com pessoas infectadas por um determinado patógeno como é o caso das doenças sexualmente transmissíveis, ou mesmo pelo contato direto no meio ambiente com um patógeno infectante, como pode acontecer com o vírus do HPV, vírus da gripe entre outros. Uma outra forma de propa-gação é a transmissão indireta que necessita da participação de um vetor no processo. Os vetores são organismos vivos com a capacidade de transmitir um agente infectante, tanto de forma ativa como de forma passiva. A forma ativa é quando o vetor está infectado e infecta outro organismo. A forma passiva é quando o vetor não está infectado mas trans-porta a infecção de outro organismo como é o caso das moscas domésticas. Em algumas doenças, o ciclo de vida dos agentes infecciosos pode ser um processo bastante complexo e passar por mais de um hospedeiro.
Segundo a OMS, 17% das doenças contagiosas do mundo são arboviroses, ou seja, doenças causadas pelos arbovírus que se hospedam em artrópodes, insetos e aracnídeos que são seus vetores. As arboviroses, independente do vetor, chegam a provocar mais de 700.000 mortes anuais [6]. A Dengue, por exemplo, tem como vetor a fêmea do mosquito do gênero Aedes. Atualmente ela é considerada a principal arbovirose infecciosa reemer-gente do mundo. São mais de 3,9 bilhões de pessoas com risco de contrair a dengue em 128 países, com mais de 96 milhões de casos estimados ao ano, principalmente em países sub-tropicais e sub-tropicais, onde as condições climáticas e ambientais favorecem a proliferação do mosquito vetor. Outra doença transmitida por vetor que vem despertando a atenção da comunidade científica é a Malária. Nos dias atuais a Malária é responsável por mais de 400.000 mortes no mundo, sendo a maioria de crianças com menos de 5 anos de idade. Dentre outros exemplos de doenças transmitidas por vetores está a Leishmaniose, a Es-quistosomose e a doença de Chagas que adoece centenas de milhões de pessoas nos países em desenvolvimento. Embora não menos importante, a Febre Amarela (FA) silvestre rea-pareceu no início desse ano em surtos epidêmicos em vários municípios de Minas Gerais. A FA silvestre tem como vetor os mosquitos dos gêneros Hemagogus e Sabethes e usa o macaco como (reservatório) hospedeiro intermediário. A forma urbana da FA, erradicada
no Brasil desde os anos 40, não possui o macaco como reservatório da doença e tem como vetor o mosquito Aedes aegypti que transmite a febre dos humanos contaminados para os saudáveis [7].
O maior problema das doenças infecciosas acontece quando elas se transformam em epidemias. Um exemplo disto é a epidemia provocada pelo 2019-nCoV (Coronavírus) que se transformou em uma pandemia, se espalhando por mais de 22 milhoes de pessoas e matando mais de oitocentas mil pessoas no mundo, de dezembro de 2019 a agosto de 2020 [8]. Situações como estas convocam a ciência a dar uma resposta concreta e imediata. Assim, a epidemiologia, ramo da ciência que se dedica as epidemias [9], vem dialogando com outros ramos da ciência como a matemática, a física e a estatística, em busca de novas abordagens, modelagens e simulações para ajudar na compreensão e combate as epide-mias.
Nos dias atuais, uma das maiores armas da epidemiologia ainda são as vacinas ministradas em populações suscetíveis, de acordo com o número de reprodutividade bá-sica - R0 (ou efetiva - R) indicado para a epidemia em questão [10,11]. No entanto, a
descoberta de uma nova vacina requer toda uma pesquisa que pode levar muitos anos para ser concluída. Já a sua produção, é um processo bastante complexo que atravessa várias etapas e que pode durar muitos meses [12]. Assim, uma das ações imediatas para a contenção de uma epidemia é o isolamento social, uma vez que o contato é a condição sine qua non para sua propagação. Estando na gênese da propagação epidêmica, o isolamento de doentes foi recomendado a primeira vez por Hipócrates em um estudo de três volumes sobre epidemias, em meados do século IV a.C [13].
A explosão demográfica e o adensamento populacional, aliados ao modus vivendi do mundo contemporâneo, aumentaram os tipos e possibilidades de contato e com isto, a disseminação de uma infecção logo se transforma em epidemia, com grandes possibili-dades da ocorrência de pandemias. Sob esta perspectiva, o estudo dos contatos se tornou um ponto fulcral para compreensão dos processos epidêmicos. Os modelos que descre-vem o comportamento das infecções podem ser simulados nos vários tipos de redes para o estudo da disseminação das infecções, uma vez que não é uma opção viável fazer expe-riências com seres vivos. A simulação dos modelos em redes possuem características dos sistemas complexos como as transições de fase, o ponto crítico e seus expoentes associados como será mostrado neste trabalho.
re-alizado por Harris em 1974 [14], quando ele criou o modelo de contato e que de forma analítica encontrou um ponto crítico, expoentes e uma classe de universalidade. As mui-tas modificações proposmui-tas ao modelo de Harris, diversificaram os estudos das transições de fase, estudadas tanto de forma analítica ou através das simulações computacionais que imitam a propagação da epidemia.
O presente trabalho é o estudo de dois processos epidêmicos simulados in sílico. Um deles é um processo epidêmico mediado por vetores difundindo em uma rede linear e que imita o espalhamento de uma infecção semelhante a dengue ou malária. O outro é o estudo de um processo epidêmico baseado no modelo SIS e simulado em uma rede complexa, que imita a propagação de doenças que não conferem imunidade a população recuperada da infecção. Para ambos os estudos deseja-se descobrir pontos críticos, os expoentes críticos e a classe de universalidade, bem como verificar a eficiência in sílico dos mecanismos de contenção das mesmas.
REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Este capítulo trata de vários conceitos teóricos necessários para a compreensão deste trabalho. Os principais deles são as transições de fase, os expoentes críticos, pa-râmetros de ordem e de controle, classe de universalidade, além de todo uma gama de ferramentas matemáticas que farão parte das simulações e análises.
2.1
Transição de fase e ponto crítico
Transição de faseé um fenômeno físico que corresponde a uma mudança macroscópica em um sistema, levando-o a uma mudança de fase [15]. Como exemplo de uma transi-ção de fase, considere-se a mudança da fase sólida para a líquida de um bloco de gelo, provocada pelo aumento da temperatura [16], (ver figura 2.1). O digrama de fase típico de um fluido está representado na figura 2.1. Em função da variação da temperatura e da pressão, a água pode se encontrar em três fases: sólida, líquida ou gasosa. As linhas repre-sentadas na figura 2.1, são as fronteiras que separam as fases. Ao passar por estas linhas, a transição pode ocorrer com a presença de calor latente (transição de primeira ordem). Pode-se observar que não existe um ponto terminal na curva sólido-líquido. Na figura 2.1, somente o ponto crítico C (T = T c temperatura crítica e P = PC pressão crítica), onde
observa-se uma transição de segunda ordem.
Outro exemplo de transição de fase é a mudança do estado de saúde de uma população, mediante a introdução de um agente infeccioso em seu meio (figura 2.2). Na
T Tc P Pc Sólido Líquido Gás C
Figura 2.1: O diagrama de fase típico de um fluido [16], mostrando as fases sólido, líquido e gasoso. Todas as transições de fases são de primeira ordem, exceto no ponto crítico C, transição de segunda ordem. A partir do ponto crítico C, quando (T > Tc), o líquido se transforma em gás de forma contínua.
figura 2.2, o diagrama de fase representa o modelo de processo de contato, que exibe uma transição de fase contínua de um estado ativo para um estado absorvente com o ponto crítico dado por λc.
Estado absorvente
Estado ativo
λc λ
ρ
Figura 2.2: O diagrama de fase para o modelo epidêmico. O parâmetro de or-dem ρ (densidade de infectados) versus a probabilidade de cura λ (parâmetro de controle).
Note-se que nos dois exemplos citados acima, um agente externo é o promotor da mudança. No primeiro caso foi a temperatura e no segundo foi agente infeccioso. No estudo das transições de fase, o agente que promove a transição de fase é conhecido como
parâmetro de controle, termo cunhado por Landau em seus estudos sobre as transições de fase [17].
Durante uma transição de fase, dois ou mais estados de um mesmo sistema físico podem apresentar propriedades diferentes e coexistirem em um determinado ponto do processo, para logo em seguida desaparecerem por completo. Se esse for o caso, trata-se de um comportamento descontínuo onde várias grandezas termodinâmicas mudam de forma abrupta de uma fase para outra. O exemplo disso é o derretimento de um sólido ou mesmo a passagem de um gás para o estado líquido. As transições que se comportam desta forma abrupta são classificadas como transições descontínuas ou de primeira ordem [15].
Se durante uma transição de fase a mudança ocorrer de forma gradual, ela vai ser chamada de transição contínua ou de transição de segunda ordem. Existirá um ponto no qual não se faz distinção entre as fases. Neste ponto, denominado de ponto crítico, a fase é "única", ou seja, "uma fase de transição", a fase crítica. Nessa fase, as propriedades do sistema são as mesmas e todas as flutuações ficam correlacionadas sobre todas as escalas de distâncias. Este fenômeno da correlação que acontece concomitante com a transição de fase, também é gradual e referido como comprimento de correlação [18].
Desse modo, fica fácil compreender que durante uma transição de fase de se-gunda ordem, o comprimento de correlação se torna do tamanho da ordem do sistema. Sendo assim, um sistema que sofre uma transição de segunda ordem e de tamanho infi-nito, terá um comprimento de correlação infinito [18].
Os primeiros trabalhos sobre transições de fases [17], podem ser destacados pelas teorias clássicas de van der Waals (fluidos), Weiss (ferromagnetismo), Langevin (para-magnetismo) e outros. Estas teorias explicavam de forma qualitativa os aspectos gerais das transições, porém algumas destas teorias tinham em comum o fato de não considera-rem as flutuações do parâmetro de ordem do sistema. Essas flutuações são essenciais para explicar o comportamento cooperativo destes sistemas. Por esta razão, as equações de es-tados obtidas, falhavam em prever o comportamento perto do ponto crítico observado experimentalmente.
Algumas grandezas termodinâmicas apresentam divergência no ponto crítico, como por exemplo, calor específico, susceptibilidade, etc e são chamadas de funções res-postas. Em função disto, pode-se caracterizar o comportamento termodinâmico do sis-tema investigado, tanto teoricamente como experimentalmente, ao levantar o gráfico des-tas grandezas que podem divergir em função dos correspondentes parâmetros intensivos relevantes: pressão, temperatura, campo externo, etc. Então se torna muito importante
para o estudo da teoria dos fenômenos críticos o entendimento mais cuidadoso da forma destas divergências e o comportamento singular de algumas funções termodinâmicas na região crítica. Quem caracteriza essas divergências são os expoentes críticos e que dirão a que classe de universalidade o sistema pertencerá.
2.2
Expoentes críticos
O comportamento do conjunto das funções termodinâmicas dos sistemas que possuem transição de fase contínua, quando próximos aos seus pontos críticos, apresentam um comportamento do tipo lei de potência (∆α), onde ∆ é a distância do ponto crítico e α, um
de seus expoentes críticos.
Para a definição dos expoentes críticos é conveniente introduzir um parâmetro de expansão dado por
ε = T − Tc Tc
(2.1) onde ε é uma variável adimensional que mede o desvio da temperatura em relação à temperatura crítica Tc, para um dado sistema que muda de fase no ponto crítico Tc.
Nas proximidades do ponto crítico todas as funções termodinâmicas podem ser escritas na forma [17]
f (ε) = Aελ(1 + Bεx+ . . . ) (2.2) onde A, B, λ e x são constantes, com x > 0. O expoente λ definido como
λ = lim
ε→0
lnf (ε)
ln(ε) (2.3)
é conhecido como expoente crítico de f (ε).
Quando λ é igual a zero existe as possibilidades de, por exemplo, f (ε) ter uma divergência logarítmica
f (ε) = A|ln(ε)| + B (2.4)
ou uma dependência em ε da forma
Se λ é negativo, f (ε) diverge no ponto crítico. Caso seja positivo, f (ε) vai a zero no ponto crítico.
Os expoentes críticos mais conhecidos e que são utilizados para descrição das propriedades termodinâmicas de sistemas magnéticos são os expoentes β, α, γ, δ, η e ν. Os quatro primeiros são definidos como segue:
• Parâmetro de ordem: M ∼ |ε|β
• Capacidade térmica: C ∼ |ε|α
• Susceptibilidade: χ ∼ |ε|γ
• Equação de estado (ε = 0): M ∼ H1/γ
Definido os expoentes críticos, examina-se a importância deles. O ponto crítico depende sensivelmente dos detalhes das interações interatômicas, já os expoentes críticos, dependem apenas de alguns parâmetros fundamentais. Dessa forma, diversos conjuntos de sistemas podem apresentar os mesmos expoentes críticos, determinando as classes de universalidade. O conceito de universalidade foi originado quando Guggenheim em 1945 [19], apresentou em um trabalho experimental com uma curva de coexistência de oito fluidos diferentes, em um gráfico utilizando variáveis reduzidas (T /TC e ρ/ρC). O ajuste
de todas as curvas em uma curva universal, requer que o expoente crítico do parâmetro de ordem seja β = 1/3, conforme pode ser visto na figura 2.3.
É interessante notar que dois sistemas diferentes podem apresentar o mesmo con-junto de expoentes críticos. Quando isto acontece, se diz que estes dois sistemas perten-cem a uma mesma classe de universalidade. Dois fenômenos que pertençam a mesma classe de universalidade se comportam da mesma maneira durante suas transições de fase. Desta forma, o estudo das transições de fase procura identificar a que classe de uni-versalidade pertence um sistema que está sendo estudado. Caso ele se enquadre em uma classe conhecida pode-se inferir que ele terá comportamentos típicos desta classe.
Várias classes de universalidade já foram definidas nos estudos das transições de fase, tanto em sistemas em equilíbrio como fora do equilíbrio. Nos sistemas em equilíbrio as classes mais conhecidas são a do tipo Ising [20], a classe de universalidade do tipo Potts [21,22] e a classe do tipo modelo XY [23]. No estudo de sistemas fora do equilíbrio procura-se identificar se o sistema estudado pertence à uma das seguintes classes: a classe da Percolação Direcionada [24,25], a classe da Conservação da Paridade, a classe do Ising
Figura 2.3: Curvas de coexistência de oito fluidos diferentes [19]. O ajuste das curvas acontece para β = 1/3.
dirigido [15,23,26] e a classe epidêmica difusa que engloba alguns processos epidêmicos difusos unidirecionais com expoentes críticos dados por z = ν = 2 [27,28] e β/zν = 0,11(2) [29,30].
Aqui aborda-se rapidamente sobre a classe de universalidade da Percolação Dire-cionada (PD) [31], onde se encontram a maioria dos modelos epidêmicos. Ela é definida como um problema de percolação de ligação comum, na qual as ligações são distribuídas de forma aleatória sobre uma rede de concentração p e com uma certa direção preferen-cial. Para observar este processo, inicialmente gira-se a rede quadrada em 45º, para que se possa ter para cada sítio dois vizinhos mais próximos na linha acima, e dois na linha abaixo. Pode-se definir os sítios em queimados ou não queimados (imagina-se que esta rede seja uma floresta e a linha superior esteja pegando fogo, essa rede percolará se existir um caminho de ligação do fogo pela floresta). Cada elo na rede está presente, indepen-dentemente, com uma probabilidade p; o fogo só pode caminhar de cima para baixo. É comum chamar os sítios queimados de "partículas" e os outros de sítios vazios. A figura 2.4, mostra as regras de transição para a percolação de ligação direcionada.
0 p 2p - p2
Figura 2.4: Diagrama que mostra as regras para a percolação de ligação di-recionada com probabilidade de ligação p na rede quadrada. O círculo preto indica que o sítio está ligado a origem; e o círculo branco indica que o sítio não tem ligação com a origem.
2.3
A evolução da epidemiologia
Desde Hipócrates os métodos em epidemiologia vêm sendo construídos com a colabora-ção da biologia, da física e da matemática. Os parágrafos que seguem resume as principais colaborações na construção dos modelos compartimentais.
De acordo com a literatura, foi em 1790 que Daniel Bernoulli criou o primeiro modelo matemático [32] utilizado no controle de uma epidemia de varíola, para avaliar os efeitos da variolação1.
Aproximadamente cem anos depois de Bernoulli, Willian Farr usou os dados das mortes provocadas pela varíola no Reino Unido e aplicou técnicas estatísticas para o ajuste de uma gaussiana [11].
Meio século mais tarde, foi a vez de John Brownlee usar a estatística para fazer uma análise temporal das observações sobre os dados epidemiológicos colhidos ao longo dos tempos [11,33].
Após a análise de Brownlee, W. H. Hamer observou em 1906 a existência de uma relação entre as taxas dos indivíduos suscetíveis com a dos infectados [11,33–35]. A taxa de disseminação de uma epidemia, em uma dada população, seria proporcional ao pro-duto da densidade de indivíduos suscetíveis pela densidade de indivíduos infectados. Este postulado se tornou um dos conceitos mais importantes da epidemiologia. Fazendo-se uma analogia com as reações químicas, ele é tido como o princípio de ação das massas da epidemiologia.
Ainda no início do século XX, o postulado de Hamer foi generalizado pelo Sir. Ronald Ross para tempos contínuos e aplicado em modelos matemáticos para a previsão das epidemias de malária [35]. Os estudos do Sir. Ronald Ross resultaram no teorema do
limiarque junto com o princípio de ação das massas, serviram de base para a Epidemio-logia Matemática dos dias atuais [36].
2.4
Teorema do limiar
O teorema do limiar surgiu quando Ronald Ross constatou a existência de uma densidade
mínima de mosquitosabaixo da qual a transmissão da malária seria inviabilizada e acima da qual, existiria a probabilidade de ocorrer uma epidemia transmitida por contato [35].
Para exemplificar a aplicação do teorema do limiar 2, considere-se a figura 2.5
onde existem raposas brancas e pretas. As raposas pretas representam as infectadas e as brancas representam as suscetíveis. A infecção se dá pelo contato entre as raposas pretas com as brancas. Assim, se o contato entre elas infectar, em média, menos de uma raposa branca, o número de animais infectados decai ao longo do período. Agora, se cada raposa preta for capaz de infectar, em média, uma raposa branca, o número de animais infectados tende a se manter constante. Se por outro lado, cada raposa preta for capaz de infectar, em média, mais de uma raposa branca, a tendência é que o número de animais infectados cresça. Pela observação da figura 2.5, vê-se claramente onde se encontra o limiar, que é quando uma raposa preta é capaz de infectar apenas uma raposa branca. Abaixo deste limiar a tendência é a extinção da doença no rebanho e acima dele a tendência é que a doença se espalhe.
Figura 2.5: Figura que ilustra o teorema do limiar em raposas contaminadas como a raiva (Thrusfield, 1995), (From Macdonald and Bacon, 1980).
2.5
Modelos da Epidemiologia
Os modelos matemáticos em epidemiologia são usados tanto para analisar os processos endêmicos como os epidêmicos. Eles buscam o entendimento das dinâmicas envolvidas em cada processo com objetivo da facilitar o controle das doenças [38].
O modelo SIR, por exemplo, considera a população circunscrita em uma determi-nada área e classifica os indivíduos conforme seus estados de saúde. Eles podem estar suscetíveis a adquirir a doença (S), podem estar infectados (I) ou podem já ter tido a in-fecção e foram recuperados (R) [39]. Note-se que neste modelo, a condição de recuperado significa que o indivíduo não vai mais contrair a doença porque adquiriu a imunidade ou porque morreu [40]. A condição de infectado significa que além de estar doente, ele estará transmitindo a doença.
O modelo SIS - Suscetível Infectado Suscetível segue a mesma lógica do modelo SIR. A diferença é que os indivíduos recuperados se tornam suscetiveis a adquirir nova-mente a infecção e é por este motivo que a sigla é SIS - suscetível (S), infectado (I), susce-tível (S). O modelo SIS é considerado um dos mais simples da epidemiologia. Ele serve para descrever doenças que não conferem imunidade ao recuperado, tal como o resfriado comum. Já o modelo SIR, se presta para descrição das doenças onde o indivíduo adquire a imunidade, como por exemplo, o sarampo.
Além desses dois modelos, a epidemiologia possui outros igualmente derivados do modelo SIR. Cada modelo incorpora detalhes e especificidades do comportamento
de uma determinada enfermidade, como por exemplo, uma doença que apresente uma imunidade temporária. Uma condição como esta é descrita pelo modelo SIRS - Suscetivel, Infectado, Recuperado, Suscetível que vem a ser uma generalização do modelo SIR.
O objetivo dos modelos em epidemiologia vai além da compreensão da dinâmica de uma doença em seus vários aspectos. Os modelos buscam o parâmetro chave das investigações epidemiológicas que é o número de reprodutividade basal R0. Ele é um dos
mais importantes indicadores de transmissibilidade [41].
2.6
Modelos Epidêmicos da física
Existem muitos estudos sobre sistemas epidêmicos com o intuito de tentar entender o comportamento e a propagação dessas epidemias e como diminuir seu avanço. Assim, utiliza-se um modelo de simulação do tipo "toy model" para entender esses processos epi-dêmicos. Os modelos são os padrões dos comportamentos das doenças descritos em ter-mos das condições de transmissibilidade, infecção e cura.
Um dos modelos mais antigos utilizados para estudo de uma epidemia é o pro-cesso de contato (PC) [14]. Ele descreve o espalhamento de uma infecção que se transmite através do contato direto entre indivíduos infectados e não infectados. O sucesso da trans-missão dessa infecção depende do parâmetro de infecção (controle) definido como λ. Uma vez infectados, os indivíduos podem recuperar o estado de não infecção, mediante uma taxa unitária e se tornarem suscetíveis a uma reinfecção.
O processo de contato pode ser estudado em diferentes tipos de redes. O caso clássico é em uma rede linear (figura 2.6), onde cada indivíduo ocupa um nodo (sítio) da rede e pode estar no estado infectado ou não infectado. Os indivíduos que tiverem pelo menos um vizinho infectado, se tornam infectados com probabilidade λ/2, e se tiverem dois vizinhos infectados, a probabilidade de se tornarem infectados será de λ. O estado infectado se transforma em não infectado, com probabilidade igual à unidade. O sistema evolui segundo uma dinâmica estocástica que consiste dos eventos de infecção e cura (recuperação).
A persistência da epidemia no processo de contato é função do parâmetro de in-fecção λ. Se λ for muito pequeno, a tendência da epidemia é a extinção, conforme pode ser visto na figura 2.7. Caso λ tome valores grandes, a tendência da epidemia é se espalhar
λ λ/2 λ/2 1 a
b
Figura 2.6: Rede linear com indivíduos não infectados (cor azul) e infectados (cor vermelha). A figura mostra a passagem da configuração ”a” para ”b” com valores de λ em função da vizinhança. Da direita para esquerda, o último sítio mostra uma cura com probabilidade unitária.
indefinidamente. A fronteira entre a persistência e a extinção da epidemia é marcada por um valor de λ, denotado como λce conhecido na literatura como ponto crítico. É o ponto
crítico que separa os dois estados estacionários (não infectado e infectado), que o sistema atinge em tempos longos. Quando o sistema entra no estado não infectado, em modelos epidêmicos não estacionários, se diz que ele se encontra no estado absorvente.
λ
λ
Cψ
Não infectado
Infectados
Figura 2.7: Diagrama de fase do modelo do processo de contato. O parâ-metro de ordem ψ (densidade de infectados) versus a probabilidade de cura λ (parâmetro de controle).
Outro modelo muito estudado na literatura é o modelo suscetível infectado sus-cetível (SIS). O SIS é um modelo matemático determinístico e clássico da epidemiologia, usado para analisar processos endêmicos/epidêmicos em que os indivíduos não adqui-rem a imunidade [38]. Ele é provavelmente o modelo mais simples, capaz de descrever
a propagação de uma infecção em uma população, através da transmissão pelo contato. Os indivíduos infectados podem se recuperar espontaneamente após um certo tempo. A definição de contato vai depender muito do tipo da doença: contato sexual, como no HBV (vírus da hepatite B), ou simplesmente proximidade física onde o contato é com o agente infeccioso em suspensão no ar, como na SARS (síndrome respiratória aguda grave). Neste modelo, a transmissão de uma doença é através do contato entre um indivíduo não infec-tado (sem o patógeno) com um indivíduo infecinfec-tado (porinfec-tador do patógeno). Os contatos resultam em infecção apenas para uma determinada taxa λ, por exemplo, apenas uma pe-quena fração dos contatos sexuais resultam na transmissão do HBV. Depois que alguém é infectado, leva algum tempo aleatório para retornar ao grupo saudável e o indivíduo pode ser infectado novamente por contato (nenhuma imunização é assumida). A figura 2.8 ilustra de forma gráfica o modelo SIS.
Sucetível Infectado
λ
1
Figura 2.8: Figura que ilustra a dinâmica do modelo SIS, onde os indivíduos podem se encontrar em uma das duas condições: suscetível ou infectado.
2.7
Sistemas de não equilíbrio
O estudo das transições de fase contínuas dos sistemas fora do equilíbrio, feito através de simulações em redes ocupadas por partículas ativas e partículas inativas, o parâmetro de
ordemmais adequado é a densidade média das partículas ativas definido como
ψ(t) = 1 N X σi(t) , (2.6)
onde σi(t) = 1 representa um sítio onde se encontra uma partícula ativa e σi(t) = 0
re-presenta um sítio onde se encontra uma partícula inativa. O símbolo h. . . i, significa de que se trata de uma média termodinâmica. O parâmetro de ordem é controlado por uma grandeza que provoca a transição de fase que é chamada de parâmetro de controle, com já foi definido anteriormente. O valor do parâmetro de controle que provoca a transição de fase é chamado de ponto crítico, também já definido anteriormente.
aproximar do ponto crítico ρc, ou seja, (ρ − ρc) → 0, o parâmetro de ordem ψ(t) decai para
um valor estacionário ψstat. Nas proximidades da transição de fase o parâmetro de ordem
varia de acordo com
ψstat ∼ (ρ − ρc)β, (2.7)
onde β é o expoente crítico associado ao parâmetro de ordem ψstat, enquanto que (ρ − ρ c)
é a distância do ponto crítico.
Uma outra forma de caracterizar os processos de espalhamento é através dos dois comprimentos de correlação de escala ξ⊥ e ξk. Perto da transição de fase essas grandezas
divergem da seguinte forma:
ξ⊥∼ |ρ − ρc|ν⊥ (2.8)
ξk ∼ |ρ − ρc|−νk, (2.9)
onde ν⊥ é o expoente crítico associado a correlação espacial e νk o expoente crítico
asso-ciado à correlação temporal. Em regime de escala os dois expoentes ξ⊥ e ξk podem ser
relacionados e se correlacionam por ξ⊥ ∼ ξkz, onde z = ν⊥/νk. O expoente crítico z que
aparece na proporcionalidade é o expoente dinâmico porque relaciona a evolução tempo-ral com evolução espacial nas vizinhanças do ponto crítico ρc.
Os três expoentes (β, ν⊥ e νk), em muitos modelos fora do equilíbrio, formam o
conjunto que caracterizam uma classe de universalidade. Os outros expoentes se relacio-nam com eles quando obtidos pelas relações de escala [42,43].
Neste trabalho, utiliza-se redes de tamanho finito para obter as propriedades crí-ticas dos sistemas estudados. Porém, sabe-se que sistemas que utilizam redes finitas não exibem uma transição de fase, uma vez que as singularidades das funções termodinâ-micas não caracterizam a criticalidade. Assim, para resolver essa limitação mencionada acima e obter resultados equivalentes aos do limite termodinâmico, utiliza-se redes finitas com a teoria de escala de tamanho finito (finite size scaling) [44,45].
O que se deseja é obter as propriedades críticas de um sistema com dimensão linear L. Para isso, precisa-se considerar x ≡ L/ξ∞(t), onde ξ∞(t) é o comprimento de
correlação de um sistema infinito correspondente. Estando longe do ρcse tem x 1, que
diz que o alcance das correlações são muito curtas para que o sistema sinta a existência dos limites. Dessa forma, as grandezas físicas se comportam como no limite termodinâmico.
Nesses sistemas, nas proximidades do ponto crítico, o comprimento de correlação ξ,
ξ ∼ (ρc− ρ)−ν⊥, (2.10)
onde ν⊥é seu expoente crítico associado, fica proporcional ao tamanho do sistema (ξ ∼ L)
e a razão L/ξ pode ser representada por ∆L1/ν⊥, onde ∆ = ρ
c− ρ, onde ρ é o parâmetro
de controle. Deste modo, ∆ ≡ ρc− ρ ∼ L−1/ν⊥ e com a utilização dessa relação, pode-se
expressar a dependência do parâmetro de ordem com o tamanho do sistema L, no ponto crítico ρc, dada por:
ρ ∼ L−β/ν⊥. (2.11)
Para a construção de uma relação entre o parâmetro de ordem ψ, a distância ao ponto crítico ∆ e o tamanho do sistema L, considera-se uma hipótese que na matemática da física usa-se chamar de ansatz,3 onde o comprimento de correlação reescalado L/ξ ∼ L∆ν⊥, equivale a relação ∆L1/ν⊥ e partindo desse anzatz pode-se escrever:
ψ ∼ L−β/ν⊥f (∆L1/ν⊥), (2.12)
onde a função de escala f (x) é uma função homogênea e que quando x → ∞ (i.e., L >> ξ), o comportamento fica do tipo f (x) ∼ xβ e deste modo pode-se chagar a equação 2.7 no
formato
ψ ∼ (ρc− ρ)β, (2.13)
que descreve a dependência do parâmetro de ordem ψ nas proximidades do ponto crítico ρc, onde β é o expoente crítico estático associado em regime de escala. Note que quando
o parâmetro de controle ρ = ρc, recuperamos a equação 2.11, o que mostra que o ansatz
proposto aqui é razoável.
As flutuações nos sistemas de tamanho finito, que tenham transições de fase para estados absorventes, terminam por levar o sistema para um estado absorvente, antes mesmo que se possa colher as médias necessárias ao estudo das propriedades de inte-resse. Assim, para se aplicar a teoria de escala nesses sistemas, usa-se o método quase-estacionário [30] ou o processo de ressuscitação [46], que mantêm o sistema ativo para que se colher as médias baseadas nos ensaios dos sobreviventes, até que se atinja o tempo t, após um transiente inicial.
Considerando-se a densidade como o parâmetro de ordem, com L grande e ∆ pequeno, pode-se escrever a densidade quase-estacionária como sendo
ψ(∆, L) ∼ L−β/ν⊥f (∆L1/ν⊥). (2.14)
O ponto crítico também pode ser estimado pelo exame da dependência de ψ(ρ, L) com L. Quando ∆ = 0, a relação 2.14 torna-se
ψ(0, L) ∼ L−β/ν⊥. (2.15)
Se o parâmetro de controle ρ tomar valores acima do valor crítico (ρ > ρc), o
parâmetro de ordem apresentará um valor estacionário diferente de zero para L >> ξ e para o caso de tomar valores abaixo do ponto crítico ρc, o parâmetro de ordem
anular-se-á exponencialmente. É que a lei de potência pura só pode ser obtida no ponto crítico. Conhecendo-se este comportamento, pode-se usá-lo para determinar o ponto crítico, de vez que no ponto crítico, um gráfico log-log de ψ versus L, apresenta um comportamento linear. Para valores diferentes do ponto crítico (ρ 6= ρc), a reta se curva para cima ou para
baixo.
Sabendo-se que o parâmetro de ordem ψ de um sistema finito, satisfaz a relação de escala de tamanho finito pela equação
ψ(ρc, L) = L−β/νf [L1/ν(ρ − ρc)], (2.16)
é possível deduzir equações auxiliares (função “g“) que são independentes do tamanho da rede.
A dedução das equações auxiliares advém da substituição de duas redes de tama-nhos diferentes L e L0na equação 2.16, o que gera duas equações , que divididas uma pela outra e aplicado-se o logaritmo, transforma-se na expressão [83,84]:
ln[ψ(L, ρc)/ψ(L0, ρc)] ln[L/L0] = − β ν + h(L, L 0 , ρc), (2.17)
que para ρ = ρc, a função fica independente do tamanho do sistema. Vale salientar que
auxiliares são do tipo:
g(L, L0, ρ) = ln[(ψ(L, ρ)/ψ(L
0, ρ)]
ln(L/L0) . (2.18)
e servem para estimar a região crítica, pois as redes L e L0se cruzam no ponto (−β/ν, ρ c).
Nos dias atuais, as propriedades críticas dos modelos epidêmicos estão sendo am-plamente investigadas, tanto em redes regulares, como em redes complexas. É importante compreender estas propriedades para que se tenha diversas maneiras de se combater as epidemias que assolam cada vez mais nosso mundo, como por exemplo, a recente pan-demia COVID-19 representada pelos modelos SIR [47] ou pelo modelo SIR-X [48]. Para o estudo destes modelos, usa-se de simulações numéricas que exigem grandes esforços computacionais, uma vez que os sistemas de não equilíbrio são complicados de se inves-tigar pois possuem um estado absorvedor. Com isso, necessita-se utilizar métodos com-putacionais mais complexos, como por exemplo, o método de Monte Carlo com ressusci-tamento [46,49], o método quasi estacionário [50,51], entre outros, para que se obtenha o êxito esperado.
Aqui mostra-se a simulação numérica utilizada neste trabalho.
2.8
Simulação numérica
Como foi dito, existem vários métodos para determinar as propriedades críticas em mo-delos epidemiológicos. São momo-delos como o Processo de Contato [14], o modelo SIS [38], o modelo SIR [47] e o SIR-X [48], entre outros, que têm grande importância porque des-crevem uma grande variedades de sistemas epidemiológicos naturais e por este motivo, o grande desafio dos pesquisadores é a investigação desses modelos. Uma das teorias da física de maior sucesso nestas investigações é a Mecânica Estatística (ME) que é capaz de descrever razoavelmente bem uma grande diversidade de fenômenos físicos.
Dentre os vários sistemas abordados pela Mecânica Estatística, os que exibem transição de fase em redes, é que farão parte do estudo desta tese. São modelos que tentam capturar as propriedades relevantes dos sistemas reais. Embora sejam modelos simples, eles não são usualmente fáceis de serem resolvidos com exatidão [52], e pou-cos são passíveis de soluções analíticas. Desta forma, para se resolver estes problemas, necessita-se da utilização de métodos aproximados e técnicas numéricas [53,54]. Com o advento de computadores mais potentes, a técnica de simulação computacional tem se
mostrado uma ferramenta poderosa na solução desses modelos. Dentre todos os tipos de simulação numérica, o método Monte Carlo (MC) [55–58] é um dos mais empregados nes-tas simulações, sendo aplicado em uma grande variedade de problemas. O nome Monte Carlo foi dado por Metrópolis, devido a semelhança das simulações estatísticas com os jo-gos de azar, com base no cassino da cidade de Monte Carlo, justamente devido aos jojo-gos de azar que produziam números aleatórios.
O método MC é um conjunto de algoritmos numéricos, que evolui a cada passo computacional fazendo uso de variáveis aleatórias, com a finalidade de selecionar amos-tras representativas, referentes ao total das configurações do sistema. O sistema original é representado por um outro de tamanho L, com condições de contorno apropriadas. Dessa forma, espera-se que os resultados sejam melhores com o aumento de L. Assim, a meta é simular como um sistema epidemiológico interage com o meio ambiente, a partir daí fazer a construção de amostras representativas dos estados do sistema. A geração de uma nova configuração é a partir da configuração anterior e por conseguinte, calcular as grandezas observáveis é o que interessa. Desta forma, a evolução do sistema se dá em uma trajetória estocástica markoviana [59].
Um processo Markoviano é um método para gerar aleatoriamente uma nova con-figuração de um sistema a partir da concon-figuração atual. Neste processo, dada uma sequên-cia de estados, cada estado depende apenas do estado atual do sistema, sem necessidade do conhecimento dos estados anteriores (processo sem memória). Pode-se expressar esta propriedade em um conjunto de probabilidades definidas da seguinte forma:
P (A|B) = P (A ∩ B)
P (B) =⇒ P (A ∩ B) = P (A ∩ B)P (A) (2.19) Considera-se os eventos Ai, com i variando de 1 a n e que se pode escrever:
P (A1∩ A2... ∩ An) = P (A1)P (A2|A1)P (A3|A1A2)...P (An|A1A2...An−1) (2.20)
E sendo um processo markoviano, fica:
E assim pode-se escrever:
P (A1∩ A2... ∩ An) = P (A1)P (A2∩ A1)P (A3∩ A2)...P (An∩ An−1) (2.22)
Assim sendo, um processo markoviano fica definido em termos de propriedades condicionais e isso quer dizer que a probabilidade da ocorrência de um dado evento A é dada por: P (A) = n X i=1 P (A|Bi)P (Bi) (2.23)
O interesse é produzir uma cadeia markoviana, onde a frequência de ocorrên-cia de cada evento A, é proporcional a probabilidade de Boltzmann-Gibbs assoocorrên-ciada a P (A). Para que a transição de probabilidade ocorra, é preciso satisfazer as seguintes con-dições: a acessibilidade, onde a partir de um dado estado inicial o sistema pode evoluir para qualquer outra configuração. Para isso, precisa-se aplicar uma regra de evolução com uma quantidade grande de vezes [60] e a microreversibilidade ou balanceamento de-talhado ou reversibilidade microscópica que acontecem em sistemas de equilíbrio, como por exemplo, o modelo de Ising e suas generalizações (Potts, XY e Heisenberg), porém não acontece essa reversibilidade em sistemas de não equilíbrio como por exemplo, modelo SIS, Processo de Contato e outros.
Neste trabalho, utiliza-se o método Monte Carlo com ressuscitamento, como já foi mencionado, pois nos modelos de não equilíbrio não se tem o fenômeno conhecido como critical slowing down (alentecimento crítico). Esse alentecimento crítico ocorre em sistemas de equilíbrio, próximo ao ponto crítico existe uma correlação temporal forte, com isso, o tempo de relação aumenta rapidamente com o tamanho do sistema e caminha lenta-mente para o equilíbrio. Nos modelos de não equilíbrio, na vizinhança do ponto crítico, o parâmetro de ordem se anula, indo rapidamente para um estado absorvente. Devido o sistema chegar subitamente ao estado absorvente, é que impossibilita a determinação do ponto crítico e consequentemente os expoentes críticos. Fulco et. al. [46,49], conseguiram fazer uma modificação no método de Monte Carlo, na dinâmica evolutiva de modelos de não equilíbrio, que consiste em reativar um sítio do sistema sempre que o parâmetro de ordem se anular, com isso, foi possível o aparecimento de uma cauda amortecida na curva do parâmetro de ordem, próximo ao ponto crítico (alentecimento crítico). Com essa modificação na curva do parâmetro de ordem, é possível calcular as propriedades críticas
de sistemas de não-equilíbrio utilizando as técnicas conhecidas.
2.9
Redes
Esta seção aborda de forma sucinta as redes regulares e as redes complexas. Deseja-se apresentar a rede linear e a rede homofílica pois ambas serão usadas neste trabalho.
As redes resultaram da evolução da teoria dos grafos, que tiveram origem na solução do problema das sete pontes proposto por Leonhard Euler em 1736, na cidade de Königsberg da antiga Prússia, hoje na Rússia [61].
Os grafos são formados por dois tipos de elementos bem simples que são os no-dos (vértices) e as arestas (ligações). As arestas fazem a ligação entre os vértices para a formação do grafo. A figura 2.9, mostra um grafo onde os círculos representam os nodos e os traços são as ligações.
Figura 2.9: Exemplo de um grafo onde os círculos representam os nodos (vértices) e os traços que ligam os círculos, as arestas (ligações).
O que diferencia os grafos das redes, é que nas redes as ligações guardam um significado particular atribuído por aquele que a constrói e que serve a um determinado propósito. Esta propriedade faz das redes estruturas muito úteis para representação de uma grande quantidade de sistemas na natureza. Quando usada de forma adequada, pode facilitar a compreensão das relações entre os respectivos nodos que são os represen-tantes dos componentes nas redes [62].
Nas simulações epidêmicas, as redes são usadas como o habitat do processo epi-dêmico, onde as regras de contaminação e cura acontecem. Desta feita, a topologia de uma rede se torna um fator determinante no processo de contaminação e/ou a cura dos modelos nela simulados, que podem ser facilitados ou dificultados.
Ao longo do tempo, as redes vêm sendo modificadas com a incorporação de novas propriedades. Assim, é importante que se defina aqui alguns conceitos básicos relativos as redes:
• nodo, nó ou vértice: representado por um ponto ou círculo e que corresponde a um elemento (componente). Neste trabalho, por exemplo, os nodos representam sítios onde se encontram hospedeiros (indivíduos) infectados ou não, além dos vetores que igualmente podem estar lá, infectados ou não;
• Aresta ou ligação: linha que une dois nodos e que corresponde a uma relação, como por exemplo, uma relação de amizade onde existe uma probabilidade de contato; • Grau de um nodo: Trata-se do número de ligações ou conectividades que este dado
nodo possui com outros nodos;
• Distribuição da conectividade: forma de como se distribuem as ligações pelos nodos, dando-se a possibilidade de um nodo ter K ligações;
• Conectividade média: é a média do número de ligações entre os nodos;
• Caminho mais curto ou menor caminho: é a menor distância entre dois nodos de uma rede, já que pode existir mais de uma ligação em um nodo;
• Coeficiente de agregação ou aglomeração (clustering coefficient): é o número de liga-ções entre os vizinhos mais próximos de um nodo.
2.10
Rede Regular
Na natureza encontram-se muitos grafos com alto coeficiente de aglomeração, porém é importante lembrar que nem todos os grafos são redes complexas. Os grafos simples, podem representar redes regulares, onde todos os nodos apresentam o mesmo grau. Na física, por exemplo, os modelos atômicos são representados por de redes regulares. Uma rede regular linear uniforme é aquela que todos os nodos da rede estão conectados entre si, formando assim uma cadeia de nodos, conforme mostra a figura 2.10. Os nodos das extremidades da rede recebem apenas a ligação de seu vizinho e não se ligam a nenhum outro, salvo nos casos em que se deseje implementar as condições de contorno periódi-cas. Para se obter resultados mais próximos dos limites termodinâmicos e portanto mais consistentes, as redes devem ser as maiores possíveis. No entanto, como os sistemas são finitos, eles apresentam o efeito de borda, pois o primeiro e o último nodo só tem um vi-zinho mais próximo: o primeiro nodo não possui o vivi-zinho da esquerda e o último nodo não possui o vizinho da direita. A solução para este efeito é unir o primeiro nodo com o
último nodo, formando um anel e com isto, produzir uma continuidade na rede. A figura 2.11 é apenas uma representação pictórica de uma rede linear com condições de contorno periódica.
Figura 2.10: Rede linear uniforme, representada graficamente por oito nodos. Os nodos são representados pelos quadrados e as ligações pelos traços que faz a união entre eles.
sítio 1
sítio 20 sítio 2 sítio 3 ...
...
Figura 2.11: Rede linear com condições de contorno. O primeiro nodo que é denominado de sítio 1, fica ligado ao último nodo que é o sítio 20. Nesta representação as arestas foram suprimidas.
2.10.1
Redes complexas
O estudo de redes teve início no século XVII. Uma rede é dita ser complexa, quando sua estrutura não segue um padrão regular. Desde a origem dos grafos em 1736, que os estudi-osos vêm fazendo modificações e descobrindo novas propriedades. Dentre elas se destaca a contribuição de Erdos e Rényi [63] que em 1959 estudou as propriedades dos grafos em função das ligações aleatórias entre seus nodos. Mais tarde, em 1967, veio a contribuição de Stanley Milgram [64], cujos experimentos resultaram no conceito de mundo pequeno. Watts e Strogatz [65] em 1998 desenvolverem um algoritmo com base em grafos aleatórios para estudar o conceito de mundo pequeno. Nesse modelo, a distribuição de probabili-dades para os graus dos nodos é dada por uma distribuição de Poisson, com um valor médio igual a k. Porém, nas redes reais observa-se que pode existir poucos nodos com
conectividade maior que a média e muitos nodos com conectividade menor que a média (ver figura 2.12). Várias sites da internet possuem estas características, como por exemplo o site do Google. Um grupo de pesquisadores da Universidade de Notre Dame, estu-daram a estrutura da web e constataram a existência de vários hubs e concluíram que a distribuição de probabilidades para os graus dos nodos segue uma lei de potência. Isso é diferente do que acontece com as redes aleatórias e com as redes de mundo pequeno, já que o grau dos nodos não possui valores típicos e sim, valores de todos os graus. Essas redes foram batizadas com o nome de redes livres de escala.
a)
b)
Figura 2.12: Distribuição de conectividades. a)Todos os nodos têm aproxima-damente o mesmo número de arestas. O número médio do pico da distribuição de Poisson fornece a escala da rede. b) Em escala logarítmica, a distribuição não tem sentido em se falar de escala ou número médio de arestas. As redes li-vres de escala possuem muitos nodos com poucas arestas e poucos nodos com muitas arestas.
A partir da descoberta das redes livres de escala, Barabási e Albert [66] propôs um modelo que enfatizava a dinâmica de formação e crescimento dessas redes, com no-dos altamente conectano-dos. A principal ideia que eles tiveram foi que as redes não seriam construídas de uma só vez, mas sim ao longo do tempo. Essas redes tinham um processo de construção totalmente aleatória, mas, mesmo assim, obedeciam a certas regras. Uma das regras é a seguinte: quando as redes crescem, novos nodos são acrescentados e irão se ligar preferencialmente aos nodos com maior grau. Logo, foi percebido que o modelo de crescimento tinha o princípio de favorecer as ligações a nodos com maior conectividade, exemplo, desigualdade e ausência de democracia. Hoje em dia se tem inúmeros siste-mas que formam redes, cujas distribuições de conectividades seguem uma lei de potência P (k) ∝ k(−γ) e que no caso do modelo de Barabási e Albert, o valor de γ, é γ = 3.
mais diveros contextos, como por exemplo, nas redes de comunicações, na rede de co-laboração científica (figura 2.13), na rede de fofoca, nas redes sociais, na rede formada pelos neurônios no cérebro, na rede da internet, na rede de amizades, na rede de contatos sexuais (figura 2.14) e muitos outros. Essas redes complexas podem ser úteis para a de-terminação de propagações epidêmicas e é por esse motivo que se aplica o modelo SIS na rede homofílica, apresentada a seguir.
condições Inciais Aplica as regras do modelo
Figura 2.14: Rede complexa dos contatos sexuais [68].
2.10.2
A rede Homofílica
A rede homofílica (RH) é uma rede complexa criada em 2013 por Almeida et al, [69,70], através de uma modificação feita no modelo de rede de Barabàsi-Albert [71]. Almeida et al, modificou a ligação preferencial da rede de Barabàsi, acrescentando um termo cha-mado de similitude e denominou a rede de homofílica. O efeito da similitude na rede, foi que os sítios com características semelhantes, passaram a ter uma maior probabilidade de fazerem conexões entre eles. O objetivo principal deste trabalho, foi reduzir o efeito da correlação entre idade-conectividade, presente na rede de Barabàsi, como também, procu-rar saber como as propriedades básicas seriam afetadas na presença desta homofilia.
Almeida et al, introduziu na rede um termo chamado de similitude representado por Aij =| ηi− ηj |, onde ηi e ηj representam as características intrínsecas dos sítios i e j.
Esse termo favorece uma taxa maior para as ligações entre os sítios similares. O algoritmo que foi utilizado para construção da rede, pode ser descrito pelos seguintes itens:
• A rede começa com poucos sítios (m0), onde as características de cada sítio, estão
re-presentadas pelo parâmetro ηi, o qual é uma constante no tempo, dentro do intervalo
de 0 e 1.
• A cada passo de tempo, um novo sítio j, com ηj, é escolhido aleatoriamente entre 0
e 1 e se conecta com outros sítios já existentes, através de novas ligações não dire-cionadas e não ponderadas (não são permitidas múltiplas ligações entre dois sítios quaisquer).
• As novas conexões são estabelecidas considerando-se que a probabilidade de for-mação de ligações entre os sítios, vai depender da conectividade (ki) e da similitude
(Aij) dado por: Πi = (1 − Aij)ki P i(1 − Aij)ki (2.24) • Este procedimento é usado para incluir os demais sítios da rede e é repetido de forma
sequencial, até o tamanho N do sistema (ver figura 2.15).
t0 t1 t2 t3 n1 n2 n3 n5 n4 n3 n3 n4 n1 n2 n1 n2 n1 n2 n1 n2 n1 n2 n1 n2 n1 n2
Figura 2.15: Representação esquemática do crescimento de uma rede homofí-lica. No passo t0, o número de sítios são 2, nos passos seguintes (t1, t2e t3), cada
sítio que chega faz apenas uma nova conexão com o sítio preexistente, definido de acordo com a Eq. 2.24. Ao decidir onde estabelecer uma nova ligação (linha pontilhada), o novo sítio prefere se conectar com outro que, simultaneamente, tem característica similar a sua e muitas outras conexões.
A rede homofílica possui algumas propriedades que são comumente as das redes complexas. Aqui, mostra-se a característica da distribuição de conectividade que segue uma lei de potência como era de esperado (P (k) ∝ k(−γ)), porém, o valor de γ = 2.84,
mostra que a na rede homofílica é livre de escala, tal qual a rede de Barabàsi.
2.10.2.1 A rede Homofílica Aglomerada
Neste trabalho, se tem interesse de estudar a rede homofílica no modelo SIS, com o intuito de mostrar que ele possui a mesma classe de universalidade que o modelo processo de contato tem nesta rede [70]. Contudo, Pastor-Satorras [73,99], mostrou que não havia transição de fase no modelo SIS em um modelo de rede sem escala aleatória. No entanto, redes complexas reais exibem algum grau de agrupamento local, além da característica sem escala. Portanto, a motivação deste trabalho foi investigar a possível ocorrência de uma transição de fase no modelo SIS na rede homofílica, com certa pertubação, que deu origem a rede homofílica aglomerada (RHA) e com isto, desvendar suas características universais.
