CAPÍTULO VIII
VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS
E ENCURVADURA
8.1. RESUMO DA TEORIA
8.1.1. Introdução
Nos Capítulos V e VI foram abordados os problemas da determinação
das tensões e das deformações em vigas para vários tipos de
carregamento e suporte. Em todos os casos considerados anteriormente,
foi sempre possível determinar as reacções nos apoios usando apenas as
equações de equilíbrio da estática. Tais vigas são habitualmente
classificadas
como
vigas
isostáticas
ou
vigas
estaticamente
determinadas.
No presente capítulo serão analisados outros tipos de vigas, em que o
número de reacções desconhecidas excede o número de equações de
equilíbrio independentes disponíveis, sendo necessário utilizar equações
adicionais baseadas na deformação da viga. Nestes casos as vigas são
classificadas como vigas hiperstáticas ou vigas estaticamente
indeterminadas.
Embora somente vigas estaticamente indeterminadas sejam analisadas
neste capítulo, os princípios e os conceitos fundamentais aqui utilizados
têm aplicações muito mais amplas na generalidade dos outros tipos de
estruturas hiperstáticas.
8.1.2. Tipos de Vigas Estaticamente Indeterminadas
Na Fig.8.1 estão representados os casos mais comuns de vigas
estaticamente indeterminadas e que ilustram bem a natureza dum sistema
hiperstático. No caso da Fig 8.1(a), por exemplo, trata-se de uma viga
encastrada numa das extremidade e apoiada na outra, muitas vezes
também designada por viga em consola apoiada. As reacções, neste
caso, são as forças vertical e horizontal no apoio A, um momento nesse
mesmo apoio e uma força vertical no suporte B. Como se dispõe apenas
de três equações de equilíbrio estático, há uma reacção a mais e a viga
diz-se que é estaticamente indeterminada do primeiro grau.
As reacções em excesso são chamadas reacções redundantes e têm de
ser seleccionadas caso a caso. Por exemplo, na situação representada na
Fig.8.1(a), pode optar-se por escolher R
Bcomo a única reacção
redundante ou, em alternativa, o momento de encastramento M
A. Na
primeira opção, o apoio em B deverá ser removido e substituído pela
reacção correspondente como mais uma força externa, Fig. 8.2(a), que
tratada como uma incógnita do problema. Caso se escolha a segunda
opção, o encastramento em A deverá substituído por um apoio simples e
incluir mais uma solicitação externa como incógnita, correspondente ao
momento de encastramento M
A, conforme indicado na Fig.8.2(b).
Fig. 8.2 – Viga em consola apoiada e respectivas primárias 1 P A 2 P q 1 P A 2 P q 1 P A 2 P q B A B M B R B ) (a (b) A H A R A M B R
Fig. 8.1 – Vigas estaticamente indeterminadas 1 P P2 q A B C ) (d A R B R C R 1 P P2 q A B ) (c A M A H A R RB B H B M 1 P P2 q A B ) (b A H A R A M B R k 1 P A B ) (a A H A R A M B R 2 P q
A estrutura que resulta da remoção das ligações redundantes diz-se a
estrutura livre ou estrutura primária. Esta deve constituir sempre uma
estrutura estaticamente determinada ou isostática, permitindo a obtenção
dos esforços internos, tensões e deslocamentos em função das reacções
redundantes que foram libertadas.
A situação representada na Fig.8.1(b) corresponde a uma viga consola
com apoio elástico ou flexível na extremidade B e é semelhante ao caso
anterior, com a única diferença de que a reacção em B é proporcional ao
deslocamento nesse ponto. As reacções indeterminadas são novamente
R
A, H
A, M
Ae R
B, dispondo-se também e apenas das mesmas três
equações da estática.
Na Fig.8.1(c) está representada uma viga encastrada nas duas
extremidades (viga bi-encastrada), tendo como reacções desconhecidas
quatro forças (R
A, H
A, R
Be H
B) e dois momentos (M
Ae M
B). As
habituais três equações da estática têm de ser complementadas, neste
caso, por outras três equações baseadas na deformação da viga. Diz-se
que a viga é estaticamente indeterminada do terceiro grau. Possíveis
vigas primárias para este caso podem ser consideradas, por exemplo,
qualquer uma das situações representadas na Fig.8.3.
Se forem seleccionadas como redundantes as três reacções na
extremidade B, por exemplo, e removidas as restrições correspondentes,
obter-se-á uma viga primária em consola, Fig.8.3(a). No caso de se optar
por escolher como redundantes os dois momentos de encastramento e a
reacção horizontal em B, a viga primária correspondente é uma viga
simplesmente apoiada, Fig. 8.3(b).
B
H
Fig. 8.3 – Viga bi-encastrada e respectivas primárias 1 P A 2 P q 1 P A 2 P q 1 P A 2 P q B A B M B R B ) (a (b) A H A R A M B R B M B M B H B M B H
Finalmente, a viga representada na Fig.8.1(d) é um exemplo de uma viga
contínua, caracterizada por ter mais de um vão e ser contínua nos
suportes intermédios. O grau de hiperstaticidade de uma viga contínua é
igual ao número dos seus suportes intermédios. No caso particular
ilustrado na Fig.8.1(d), trata-se duma viga estaticamente indeterminada
do primeiro grau. Como viga primária desta viga contínua, poderá ser
adoptada qualquer uma das situações representadas na Fig. 8.4.
Em qualquer dos casos acima considerados, e sempre que o
carregamento é vertical, não haverá reacções horizontais. Mas, em
contrapartida, as equações da estática reduzem-se, nesse caso, a apenas
duas equações de equilíbrio. Uma vez conhecidas as reacções
redundantes, todas as restantes reacções, esforços internos, deflexões,
etc., podem ser calculados utilizando os métodos descritos e
exemplificados nos capítulos anteriores para análise de vigas isostáticas.
Nos três parágrafos a seguir, serão apresentados três dos métodos mais
correntemente utilizados para determinar as reacções redundantes em
vigas estaticamente indeterminadas.
8.1.3. Método da Sobreposição
Como em qualquer outro método de análise de vigas hiperstáticas, no
método da sobreposição começa-se por identificar o grau de
indeterminação do sistema e seleccionar as reacções redundantes. Como
o próprio nome sugere, este método baseia-se no princípio geral de
Fig. 8.4 – Viga contínua e respectivas primárias ' A θ A 2 P q 1 P A 2 P q 1 P A 2 P q B B ) (a (b) A R RB C C R A H B B R C C C R
sobreposição da teoria da elasticidade, conforme referido no Capítulo III.
Basicamente, a sua aplicação consiste das seguintes etapas:
1)- Identificar o grau de hiperstatividade da estrutura, seleccionar as
reacções redundantes e definir a configuração da viga primária.
2)- Considerar o carregamento da viga primária com as forças/momentos
redundantes em simultâneo com as forças/momentos que constituem o
carregamento real da viga original.
3)- Calcular as deflexões da viga primária (que é sempre isostática…)
para cada um dos carregamentos redundantes e para o carregamento real,
em separado.
4)- Pelo principio geral da sobreposição, as somas das deflexões
calculadas isoladamente na fase anterior devem ser iguais às deflexões
na viga original, as quais são nulas ou têm valores conhecidas em todos
os pontos em que foram removidas as restrições. Obtém-se, assim, um
conjunto de equações lineares em que as forças/momentos redundantes
são as quantidade desconhecidas.
5)-Com as reacções redundantes já conhecidas, determinar todas as
restantes reacções, esforços transversos e momentos flectores a partir
das equações de equilíbrio.
Para exemplificar o método da sobreposição, considera-se a sua
aplicação ao caso simples duma viga em consola apoiada, sujeita a um
carregamento uniforme q(x)=−q
o, conforme representado na Fig.8.5(a).
(i)-Análise com a reacção redundante R
BTrata-se duma viga hiperstática do primeiro grau. Seleccione-se, por
exemplo, a reacção no apoio B (R
B) como a única reacção redundante
Fig. 8.5 – Viga em consola apoiada com uma reacção redundante em B ) (a (b) B R 1 A) ( H 1 A) (R 1 A) (M 2 A) (H 2 A) (R 2 A) (M ) (c (d) A B A H A R A M B R ) (l A B A H A R A M B R o q q=− q=−qo o q q=− 2 B) (δ 1 B) (δ
do sistema. Resolvendo as equações de equilíbrio estático sobre a viga
primária com o carregamento real mais a força redundante (R
B),
Fig.8.5(b), obtêm-se as restantes reacções nos apoios expressas em
termos da força redundante R
B:
l
R
l
q
M
R
l
q
R
A A B 2 o B o2
+
−
=
−
=
(a)
Considerando agora o carregamento da viga primária com a solicitação
real uniforme q
o, Fig.8.5(c), seja (
δB
)
1a deflexão correspondente no
ponto B. E seja (
δB
)
2a deflexão da mesma viga primária no ponto B,
quando carregada com a força redundante R
B, Fig.8.5(d). Utilizando as
fórmulas disponíveis na
Tabela G-1 do Apêndice G
, por exemplo,
obtém-se:
( )
( )
EI
l
R
EI
l
q
3
8
3 B 2 B 4 o 1 B+
=
−
=
δ
δ
Adicionando estes dois deslocamentos e igualando a zero, por ser nula a
deflexão real em B:
( ) ( )
0
3
8
3 B 4 o 2 B 1 B B=
+
=
−
+
=
EI
l
R
EI
l
q
δ
δ
δ
donde a reacção redundante em B:
8
3
o Bl
q
R =
As restantes reacções (R
Ae M
A) podem agora ser calculadas, por
substituição nas equações de equilíbrio (a):
8
8
5
2 o A o Al
q
M
l
q
R
−
=
=
Uma vez são já conhecidas todas as reacções, podem agora obter-se os
esforços transversos e os momentos flectores ao longo de todo o
comprimento da viga. De facto, tem-se:
8
8
5
2
2
)
(
8
5
)
(
2 o o 2 o A A 2 o o o A ol
q
lx
q
x
q
M
x
R
x
q
x
M
l
q
x
q
R
x
q
x
V
−
+
−
=
+
+
−
=
−
=
−
=
Os correspondentes diagramas estão representados na Fig.8.6
Podem também determinar-se as deflexões e inclinações da viga original
recorrendo ao princípio da sobreposição. Para isso, basta somar os
deslocamentos e as inclinações da viga primária para cada um dos dois
tipos de carregamento em separado, isto é o carregamento real e o
carregamento com a força redundante R
B. Das fórmulas dadas na na
Tabela G-1 do Apêndice G
, por exemplo, obtém-se:
(
)
(
)
(
l
x
)
EI
lx
q
x
l
EI
x
R
x
y
l
lx
x
EI
x
q
x
y
−
=
−
=
+
−
−
=
3
16
3
6
)
(
6
4
24
)
(
2 o 2 B 2 2 2 2 o 1Adicionando agora as duas expressões anteriores para y
1(x) e y
2(x):
(
2 2)
2 o 2 12
5
3
48
)
(
)
(
)
(
x
lx
l
EI
x
q
x
y
x
y
x
y
=
+
=
−
−
+
Esta é a equação da curva de deflexão da viga original estaticamente
indeterminada.
x x V M 8 5qol VA =− 8 3qol VB = 8 5l 8 2 ol q MA=− 128 9qol2 Mmax = 8 5l 4 l(i)-Análise com a reacção redundante M
AA mesma viga em consola apoiada pode também ser resolvida tomando
como reacção redundante o momento M
Ana secção de encastramento A.
Resolvendo as equações de equilíbrio estático sobre a viga primária com
o carregamento real mais o momento redundante (M
A), Fig.8.7(b),
obtêm-se as restantes reacções nos apoios expressas em termos desse
momento redundante M
A:
l
M
l
q
R
l
M
l
q
R
B A A o A o2
2
+
=
−
=
Considerando agora o carregamento da viga primária simplesmente
apoiada com a solicitação real uniforme q
o, Fig.8.6(c), seja (
θA
)
1a
inclinação correspondente no ponto A. E seja (
θA
)
2a inclinação no
mesmo ponto A, quando carregada com o momento redundante M
A,
Fig.8.6(d). Utilizando as fórmulas da
Tabela G-2 do Apêndice G
, por
exemplo, obtém-se:
( )
( )
EI
l
M
EI
l
q
3
24
A 2 A 3 o 1 A−
=
−
=
θ
θ
Adicionando estas duas rotações e igualando a zero, por ser nula a
rotação real em A:
Fig. 8.5 – Viga em consola apoiada com um momento redundante em A ) (a (b) B R 1 A) (H 1 A) (R 1 A) (M 2 A) (H 2 A) (R 2 A) (M ) (c (d) A B A H A R A M B R ) (l A B A H A R A M B R o q q=− q=−qo o q q=− 1 A) (θ (θA)2
( ) ( )
0
3
24
A 3 o 2 A 1 A A=
+
=
−
−
=
EI
l
M
EI
l
q
θ
θ
θ
donde o momento redundante em A:
8
2 o Al
q
M
=
−
Este resultado está de acordo com solução obtida anteriormente, quando
foi seleccionada como redundante a reacção em B.
8.1.4. Aplicação do Teorema de Castigliano
As reacções nos apoios duma estrutura elástica estaticamente
indeterminada podem também ser determinadas por aplicação do
Teorema de Castigliano. Tal como no método anterior da sobreposição,
começa-se por seleccionar as reacções redundantes, X
1, X
2, ... X
N, e
eliminar ou modificar os correspondentes apoios em conformidade. As
reacções redundantes são depois tratadas como cargas desconhecidas
que, juntamente com a solicitação externa aplicada, produzem
deformações que deverão ser compatíveis com os apoios originais.
Calcula-se a energia elástica de deformação U do sistema devido à acção
combinada das cargas aplicadas e das reacções redundantes. Finalmente,
deriva-se a expressão da energia U sucessivamente em relação a cada
uma das reacções redundantes e iguala-se a zero:
0
...
0
0
2 1=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
NX
U
X
U
X
U
Obtém-se, assim, um sistema de equações em número igual ao das
reacções
redundantes,
cuja
solução
produz
exactamente
as
forças/momentos redundantes da estrutura. Também como no método
anterior da sobreposição, as restantes reacções poderão então ser obtidas
a partir das equações de equilíbrio estático.
Para exemplificar o método, considere-se a sua aplicação ao mesmo caso
simples duma viga em consola apoiada, sujeita a um carregamento
uniforme q(x)=−q
o, em que se selecciona como redundante a reacção R
Bem B, conforme representado na Fig.8.7(a).
De acordo com o Teorema de Castigliano pode escrever-se:
dx
R
M
EI
M
R
U
y
l B 0 B B=
∂
∂
=
∫
∂
∂
(a)
Ora, o momento flector à distância x da extremidade A é:
2 o B(
)
2
1
)
(
)
(
x
R
l
x
q
l
x
M
=
−
−
−
e a sua derivada em relação à força redundante R
Bé:
) ( ) ( x l x x M − = ∂ ∂
Substituindo em (a), obtém-se:
−
=
−
−
−
=
∫
8
3
1
)
(
2
1
)
(
1
o 4 3 B 0 3 o 2 B Bl
q
l
R
EI
dx
x
l
q
x
l
R
EI
y
lFinalmente, fazendo y
B= 0 e resolvendo em ordem a R
B, obtém-se:
8
3
o Bl
q
R =
Uma vez obtida a reacção redundante R
B, pode proceder-se ao cálculo
das restantes reacções, dos esforços internos e das deformações seguindo
a metodologia habitual.
Fig. 8.7 – Viga em consola apoiada com uma reacção redundante em B ) (a A B l o q q=− ) (b RB 0 B= y o q q=− l A B
8.1.5. Método dos Três Momentos para Vigas Contínuas
No caso duma viga contínua de comprimento total l e com N apoios
intermédios, Fig.8.8(a), normalmente o primeiro apoio é fixo, enquanto
que todos os restantes apoios permitem o movimento livre da viga na
direcção axial. Nestas condições, cada um dos apoios intermédios
representa uma restrição redundante, de tal modo que o sistema
apresenta um grau de indeterminação N, igual ao número de apoios
intermédios. Sejam l
1, l
2, ..., l
Nos comprimentos dos diversos segmentos
de viga entre apoios consecutivos, numerados de 0 a N+1, conforme
indicado na Fig.8.8(a).
Uma vez seleccionadas como redundantes as reacções verticais X
1, X
2,
X
3, ..., X
N, nos apoios intermédios, Fig.8.8(b), segue-se a metodologia
habitual de calcular as deflexões correspondentes
δ1
,
δ2
,
δ3
, ...,
δN
e
impor que são todas iguais a zero. Recorrendo à aplicação do teorema de
Castigliano, por exemplo, pode escrever-se:
0
...
0
0
N 0 N 2 0 2 1 0 1=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
∫
∫
∫
dx
X
M
EI
M
X
U
dx
X
M
EI
M
X
U
dx
X
M
EI
M
X
U
l l l 1 0 2 3 N N +1 ... 1 X X2 X3 ... XN ) (b 1 l l2 l3 ... lN ) (a 1 0 2 3 N N +1 ...Estas N equações, juntamente com as três equações de equilíbrio estático
global do sistema serão suficientes para determinar as N+3 reacções em
todos os apoios da viga contínua.
Embora formalmente simples, este processo nem sempre é fácil de levar
a cabo, sobretudo quando o número de apoios intermédios é elevado,
implicando que a resolução do sistema de equações supra possa ser
demorado e muito complicado. Um método alternativo mais simples
para resolver vigas contínuas consiste em seccionar a viga em cada um
dos apoios intermédios e introduzir aí os momentos M
1, M
2, M
3, ..., M
N,
como esforços redundantes. Desta forma, a estrutura primária reduz-se a
um conjunto de N vigas simplesmente apoiadas de comprimentos l
1, l
2,
l
3, ..., l
N. Na Fig. 8.9(a) estão representadas duas vigas consecutivas
desse conjunto, correspondentes aos apoios (n-1), (n) e (n+1).
Os carregamentos representados na Fig. 8.9(a) produzem os diagramas
de momentos flectores representados na Fig.8.9(b), onde as áreas
triangulares correspondem aos momentos nas extremidades (momentos
redundantes) e as áreas sombreadas correspondem aos carregamento
externos em cada um dos segmentos. Para estas últimas, os pontos G
assinadalos são os respectivos centros de gravidade. Tais carregamentos
produzem deformações em cada um dos segmentos, designadamente
rotações
θ
n'e
θ
n"nas duas extremidades sobre o mesmo apoio (n),
conforme ilustrado na Fig.8.9(a). Para que seja assegurada a
1 − n n n n+1 n l ln+1 1 − n M Mn Mn Mn+1 ' n θ '' n θ ) (a 1 − n M Mn Mn 1 + n M n G Gn+1 n a bn an+1 bn+1 ) (b
continuidade da deformação da viga real, é necessário que essas duas
rotações sejam iguais, isto é:
" '
n n
θ
θ
=
(8.10)
Tais rotações podem exprimir-se em termos do carregamento externo e
dos momentos redundantes sobre cada um dos dois segmentos de viga
em questão, podendo, para isso, usar-se o método da viga conjugada
descrito no capítulo VI. Assim, tendo por base os diagramas dos
momentos flectores representados na Fig.8.9(b), pode escrever-se:
EI
l
a
A
EI
l
M
EI
l
M
n n n n n n n n=
+
−+
6
3
1 'θ
(8.11)
EI
l
b
A
EI
l
M
EI
l
M
n n n n n n n n 1 1 1 1 1 1 "6
3
+ + + + + +−
−
−
=
θ
(8.12)
onde A
1e A
2são as áreas sombreadas na Fig. 8.9(b). Substituindo (8.11)
e (8.12) em (8.10), obtém-se:
1 1 1 1 1 1 16
6
)
(
2
+ + + + + + −+
+
+
=
−
−
n n n n n n n n n n n n nl
b
A
l
a
A
l
M
l
l
M
l
M
(8.13)
Esta é a chamada equação dos três momentos, podendo escrever-se uma
equação deste tipo para cada um dos apoios intermédios da viga
contínua. Resolvendo o sistema de N equações que assim resultam,
obtêm-se os momentos redundantes em correspondência com os apoios
intermédios da viga.
Nos casos de um ou ambos os apoios das extremidades serem
encastrados, o número de redundâncias será, naturalmente, superior ao
número de apoios intermédios. Em tais casos, para cada um dos apoios
encastrados pode escrever-se uma equação adicional. Por exemplo, se o
apoio (0) for um encastramento, a equação adicional a escrever será:
EI
l
b
A
EI
l
M
EI
l
M
1 1 1 1 1 1 o o6
3
−
−
−
=
θ
onde
θo
é o ângulo de rotação da tangente no apoio esquerdo. Impondo a
condição de ser igual a zero, obtém-se:
2 1 1 1 1 o
3
2
l
b
A
M
M
=
−
−
(8.14)
No caso de ser encastrado o apoio da direita (N+1), já a equação
adicional a escrever será:
EI
l
a
A
EI
l
M
EI
l
M
n n 1 1 1 N 1 N N 1 N 1 N 1 N6
3
+ + + + + + +=
+
+
θ
onde
θn+1
é o ângulo de rotação da tangente no apoio extremo direito.
Impondo a condição dessa rotação ser igual a zero, obtém-se:
2 1 N 1 N 1 N N 1 N
3
2
+ + + +=
−
−
l
a
A
M
M
(8.15)
Uma vez obtidos os momentos flectores para todos os apoios da viga
contínua, poderão então ser calculadas as reacções nesses mesmos
apoios. Com efeito, considerando de novo dois quaisquer segmentos
adjacentes, Fig.8.9(a), sejam
R
n'e
R
n"as reacções no apoio (n), para
cada um dos segmentos l
ne l
n+1, respectivamente, quando carregados
exclusivamente com as forças externas aplicadas. A essas duas reacções
deverá ser adicionada a reacção
R
n"'produzida pela aplicação dos
momentos M
n-1, M
ne M
n+1, isto é:
1 1 1 ' " + + −−
+
−
+
=
n n n n n n nl
M
M
l
M
M
R
A reacção total R
nno apoio (n) é, portanto:
1 1 1 " ' + + −
−
+
−
+
+
+
=
n n n n n n n n nl
M
M
l
M
M
R
R
R
(8.16)
Conhecidos os momentos e as reacções em todos os apoios, poderão
então ser construídos sem qualquer dificuldade os diagramas dos
esforços transversos e dos momentos flectores ao longo de todo o
comprimento da viga contínua.
8.1.6. Encurvadura de Peças Lineares. Teoria de Euler
No cálculo de peças lineares simultaneamente solicitadas à compressão e
à flexão é habitual adicionar-se algebricamente as tensões de compressão
com as tensões devidas à flexão, como aliás foi já ilustrado no parágrafo
§5.1.5, a propósito da compressão axial da viga por uma carga
excêntrica. Esta metodologia simples tem o seu fundamento no princípio
da sobreposição dos esforços, partindo do pressuposto de que a
geometria da peça deformada é exactamente a mesma que a do corpo
original.
No entanto, uma análise tão simplista nem sempre é aceitável, conforme
se pode facilmente pôr em evidência através do raciocínio seguinte, com
base na viga representada na Fig.7.4, carregada simultaneamente com
forças transversais q(x) e com forças axiais N.
Considerando apenas o carregamento transversal, este provoca uma
deformação da viga que se traduz por um deslocamento vertical, que é
descrito pela respectiva equação da elástica:
)
(
1 1f
x
y =
Aplicando de seguida a solicitação axial de compressão N, esta dá
origem a um momento flector:
1 1
N
y
M =
que, por sua vez, induz na barra uma deformação transversal adicional:
)
(
2 2f
x
y =
de que resulta outro momento flector :
Fig. 7.4-Flexão e compressão duma barra
) (x q x N N N N 1 y 2 y 3 y
2 2
N
y
M =
e assim sucessivamente...
Se
o
processo
de
deformação
for
limitado,
a
série
...
3 2
1
+
+
+
=
∑
y
y
y
y
é convergente e a peça assume uma
configuração estável bem definida. Se, pelo contrário, aquela série for
divergente, a geometria da peça torna-se instável sob a acção das forças
aplicadas e o corpo entra em colapso.
Esta situação de instabilidade pode mesmo ocorrer em peças lineares
estritamente sujeitas a uma solicitação de compressão simples, como no
caso dos pilares, por exemplo. A solução deste problema, habitualmente
referido pela designação de fenómeno de encurvadura ou empenamento,
foi pela primeira vez proposta por Euler em 1774.
Considere-se então uma peça prismática
simplesmente apoiada nas extremidades e
sujeita a uma compressão N, conforme
ilustrado na Fig. 7.5. Numa secção à
distância x da extremidade A o momento
flector é dado por:
M
−
=
N
y
.
Substituindo na equação da elástica (6.88),
I
E
M
dx
y
d
2 2=
, obtém-se:
0
2 2 2=
+
k
y
dx
y
d
(7.4)
onde k
2=N/EI. A solução geral da equação
diferencial (7.4) é:
)
(
)
(
a
sen
kx
b
cos
kx
y
=
+
(7.5)
Na expressão (7.5), a e b são duas constantes de integração, cujos
valores se podem calcular a partir das condições fronteira nas
extremidades A e B. Isto é, deverá ser y = 0 para x = 0 e para x = l. Da
primeira destas condições resulta b = 0, ficando a solução (7.5) reduzida
à forma:
)
(
kx
sen
a
y =
Fig. 7.5 – Encurvadura A B x l y y N N xImpondo agora a segunda condição (y = 0, para x = l), obtém-se:
0
)
(
kl
=
sen
a
Descartando a solução trivial a = 0, que corresponde à situação em que a
peça permanece rectilínea, terá então que ser, necessariamente:
0
)
(
kl
=
sen
Donde:
k l = n π (com n inteiro!)
ou seja:
l
n
k
=
π
Substituindo k
2por N/EI, resulta:
2 2 2
l
EI
n
N
=
π
(7.6)
Para n = 0, a força de compressão N é nula e a peça permanece,
evidentemente, rectilínea. Para que a mesma possa permanecer flectida é
preciso, portanto, que n seja, pelo menos, igual a 1. O menor valor de N
para o qual a peça flectida está em equilíbrio é, então:
2 2
l
EI
N
cr=
π
(7.7)
Esta é a carga crítica de encurvadura de Euler. Atingido este valor
crítico, a coluna entra em regime de instabilidade, assumindo a forma de
uma meia sinusóide:
)
(
)
(
l
x
sen
a
kx
sen
a
y
=
=
π
em que a amplitude a do deslocamento transversal é indeterminado.
Após encontrar a carga crítica para uma coluna, a tensão crítica
correspondente obtém-se da maneira habitual, dividindo a força pela área
da secção recta da peça:
2 2
Al
EI
A
N
cr crπ
σ
=
=
onde I é, naturalmente, o momento de inércia da secção relativamente ao
eixo principal sobre o qual ocorre a encurvadura. A equação anterior
pode escrever-se sob uma forma alternativa mais conveniente:
( )
2 2/ r
l
E
crπ
σ
=
(7.8)
onde r é o raio de giração da secção relativamente ao eixo principal de
encurvadura (correspondente ao momento de inércia menor):
A
I
r =
A relação
λ
= l/r é uma grandeza adimensional, característica da secção,
a que se dá o nome de coeficiente de esbelteza, ou simplesmente
esbelteza, da barra em consideração:
r
l
=
λ
As cargas críticas para outras condições nas extremidades da viga podem
obter-se a partir da solução para o caso fundamental que se acabou de
analisar. Assim, para o caso duma coluna encastrada na secção A e livre
na extremidade B, Fig. 7.6, a situação corresponde ao problema
fundamental de Euler, em que o comprimento da viga de Euler
equivalente é igual ao dobro do comprimento da viga encastrada, isto é,
igual a 2
xl.
Fig.7.6-Um extremo encastrado Fig.7.7-Duplo encastramento
y N y N N N l 2 4 / l 4 / l 4 / l 4 / l l A A B B B'
Nesta situação obtém-se:
2 2 2 24
)
2
(
'
l
EI
l
EI
N
cr=
π
=
π
(7.9)
Finalmente, no caso duma coluna encastrada nas duas extremidades,
Fig.7.7, a situação corresponde ao problema fundamental de Euler, em
condições tais que o comprimento de Euler é igual a metade do
comprimento da viga real, a que corresponde uma carga crítica dada pela
seguinte expressão:
2 2 2 2 "4
)
2
/
(
l
EI
l
EI
N
crπ
π
=
=
(7.10)
Tendo em conta as diversas possibilidades de condições nas
extremidades, é habitual introduzir-se a noção de comprimento efectivo
da coluna:
Kl le=
Onde l é o comprimento real e K é o factor de comprimento efectivo. O
comprimento efectivo l
ecorresponde ao comprimento de uma coluna
equivalente simplesmente apoiada em ambas as extremidades, de tal
forma que pode aplicar-se sempre a fórmula única seguinte:
( )
2 2Kl
EI
N
cr=
π
(7.11)
O factor K acima definido é igual a 1 no caso do problema fundamental
de Euler (barra com um pino em cada extremidade), é igual a 2 para uma
barra encastrada numa das extremidades e livre na outra, e é igual a 1/2
quando se trata duma barra duplamente encastrada.
NOTA IMPORTANTE: Das análise da equação (7.11) pode
constatar-se que o carregamento crítico à encurvadura é directamente proporcional
à rigidez à flexão EI e inversamente proporcional ao quadrado do
comprimento l. De particular interesse é o facto de que a resistência do
material, representada pela tensão limite de cedência, por exemplo, não
intervém naquelas equações. Por isso, aumentar a resistência do material
não aumenta a carga crítica duma barra esbelta à compressão.
8.1.7. Fórmula da Secante para Barras à Compressão
Considere-se uma barra bi-articulada, inicialmente rectilínea, sujeita a
uma força de compressão excêntrica, conforme ilustrado
esquemática-mente na Fig. 7.8.
Fig.7.8-Barra sujeita a compressão excêntrica
A equação diferencial da barra, na sua configuração deformada é:
Ny
x
y
EI
=
−
∂
∂
2 2Integrando a equação, obtém-se:
+
=
x
EI
N
cos
C
x
EI
N
sen
C
y
1 2As constante de integração C
1e C
2calculam-se a partir das condições
fronteira nas secções extremas (x = ±l/2), onde é y = e:
=
=
2
2 1l
EI
N
cos
e
C
C
donde:
=
x
EI
N
cos
l
EI
N
cos
e
y
2
A deflexão máxima ocorre na secção central, isto é, para x = 0:
=
2
l
EI
N
sec
e
y
max e N N x y l C A BOu seja, introduzindo o valor da carga crítica dado pela equação (7.7):
=
cr maxN
N
sec
e
y
2
π
A deflexão máxima torna-se muito grande à medida que a carga aplicada
tende para o valor da carga crítica. Assim, as deflexões laterais
aumentam gradualmente e não subitamente, como acontece no caso da
encurvadura. A tensão de compressão máxima ocorre no lado côncavo
da barra, na secção média C, e é dada pela expressão:
+
=
+
=
cr max maxN
N
sec
I
Nev
A
N
I
M
A
N
2
π
σ
onde v representa a distância do eixo neutro às fibras exteriores do lado
em compressão. Introduzindo o raio de giração r da secção transversal,
tem-se:
+
=
EA
N
r
l
sec
r
ev
A
N
max2
1
2σ
(7.12)
Esta é a chamada fórmula da secante para uma barra carregada
axialmente com uma carga excêntrica. Na equação (7.12), N/A
representa a tensão média de compressão produzida pela carga axial N.
Tomando para tensão máxima a tensão de cedência do material (
σ
p), por
exemplo, a correspondente tensão média de compressão que produz
cedência é então dada pela equação:
+
=
EA
N
r
l
sec
r
ev
A
N
p p p2
1
2σ
Para cada valor de ev/r
2, a equação anterior pode ser resolvida
iterativamente. Pode, assim, estabelecer-se uma relação entre N/A e l/r, a
fim de obter o valor de N/A para o qual a cedência ocorre nas fibras
exteriores em compressão.
8.2. PROBLEMAS RESOLVIDOS
PROBLEMA – 8.2.1.
Considere uma viga ABC, encastrada na extremidade A, simplesmente apoiada na secção intermédia B e sujeita a uma força vertical de intensidade P aplicada na extremidade livre C, conforme ilustrado na figura. A viga tem uma rigidez à flexão uniforme (EI) e a sua geometria axial está também indicada na figura. Determine:
a)- A reacção no apoio B.
b)- A deflexão vertical da extremidade livre C.
RESOLUÇÃO:
a)- A reacção no apoio B
Trata-se duma viga estaticamente indeterminada de grau 1. Tomando a reacção em B como redundante, a viga primária correspondente está esquematicamente representada na figura a seguir.
Resolvendo as equações de equilíbrio estático sobre a viga primária com o carregamento real mais a força redundante (RB), obtém-se a reacção vertical (RA) no apoio A e o momento de encastramento na mesma secção, ambos expressos em termos da força redundante RB:
a R b a P M R P R A A B B ) ( + + − = − = (a)
Aplicando o método da sobreposição, por exemplo, considere-se separadamente o carregamento da viga primária com a solicitação real P em C e com a força redundante RB em B. Seja (δB)1 e (δB)2 as deflexões da viga primária no ponto B devido a cada um desses carregamentos, respectivamente. De acordo com a equação da elástica para uma viga em consola (Tabela G-1 do Apêndice G Timoshenko 212) obtém-se:
( )
( )
EI a R b a EI Pa 3 ) 3 2 ( 6 3 B 2 B 2 1 B + = + − = δ δ A B C P a b B R A R A M A B C P a l bAdicionando estes dois deslocamentos e igualando a zero, por ser nula a deflexão real em B:
( ) ( )
0 3 ) 3 2 ( 6 3 B 2 2 B 1 B B= + =− + + = EI a R b a EI Pa δ δ δdonde a reacção redundante em B:
+ = a b P R 2 3 1 B
As restantes reacções (RA e MA) podem agora ser calculadas, por substituição nas equações de equilíbrio (a):
2 2 3 A A Pb M a Pb R = − = b)- Deflexão vertical em C
As deflexões e inclinações da viga original podem também calcular-se por recurso ao princípio da sobreposição. Para isso, basta somar os deslocamentos e as inclinações da viga primária para cada um dos dois tipos de carregamento em separado, isto é o carregamento real e o carregamento com a força redundante RB. Das fórmulas dadas na Tabela G-1 do Apêndice G, por exemplo, obtém-se:
(
l x)
EI Px x y =− 3 − 6 ) ( 2 1 para 0 ≤ x ≤l (b)(
)
(
a x)
aEI x b a P x a EI x R x y = − = + 3 − 12 ) 3 2 ( 3 6 ) ( 2 2 B 2 para 0 ≤ x ≤a (c)(
)
(
x a)
EI a b a P a x EI a R x y = − = + 3 − 12 ) 3 2 ( 3 6 ) ( 2 B 2 para a ≤ x ≤l (d)Adicionando agora as expressões (b) e (d), para x = l, obtém-se:
[
2 3]
2 1 B (2 3 ) 4 12 ) ( ) ( a a b l EI P l y l y + = + − = δPROBLEMA – 8.2.2.
Considere uma viga bi-encastrada AB, sujeita a uma força vertical de intensidade P aplicada numa secção intermédia C, conforme ilustrado na figura. A viga tem uma rigidez à flexão uniforme (EI) e a sua geometria axial está definida na figura.
Determine:
a)- Os momentos em A e B. b)- A deflexão vertical na secção C.
RESOLUÇÃO:
a)- Momentos de encastramento
Trata-se duma viga estaticamente indeterminada de grau 2. Tomando os momentos de encastramento em A e B como redundantes, a viga primária correspondente é simplesmente apoiada como esquemática-mente representada na Fig.(a) a seguir.
Os carregamentos representados na Fig.(a) produzem os diagramas de momentos flectores representados na Fig.(b), onde as áreas triangulares rectas (1) e (2) correspondem aos momentos redundantes nas extremidades e a área sombreada (3) corresponde ao carregamento externo P. As rotações θA e
θB nas extremidades da viga representada na Fig(a) podem ser calculadas, por exemplo, recorrendo à utilização combinada dos métodos da sobreposição e da viga conjugada. Para isso, considera-se essa viga conjugada solicitada por uma distribuição de cargas proporcional ao momento flector, conforme ilustrado na Fig.(c).
As reacções
( )
Rc A e( )
Rc B calculam-se sem qualquer tipo de dificuldades:( )
( )
lEI a l Pab EI l M EI l M R lEI b l Pab EI l M EI l M R c c 6 ) ( 3 6 6 ) ( 6 3 B A B B A A + − − − = + − − − = (a) A C B P a l b P l A B C a b B R A R A M MB A M MB l Pab/ A B ) (a ) (b ) (c ) 1 ( (2) ) 3 ( A C B a b ( )RcA EI MA EI MB EIl Pab/ ) 1 ( (2) ) 3 ( ( )Rc BOs esforços transversos na viga conjugada em A e B são, respectivamente:
( )
( )
( )
( )
lEI a l Pab EI l M EI l M R V lEI b l Pab EI l M EI l M R V c c c c 6 ) ( 3 6 6 ) ( 6 3 B A B B B A A A + − − − = = + + + = − =Onde, cada um dos termos dos segundos membros corresponde a cada uma das solicitações MA, MB e P, respectivamente
De acordo com a teoria da viga conjugada, as inclinações do eixo da viga real deformada são numericamente iguais aos simétricos dos valores dos esforços transversos na viga conjugada. Como aquelas inclinações são nulas, porque a viga real é bi-encastrada, pode então escrever-se:
( )
( )
0 6 ) ( 3 6 0 6 ) ( 6 3 B A B B B A A A = + + + = − = = + − − − = − = lEI a l Pab EI l M EI l M V lEI b l Pab EI l M EI l M V c c θ θDonde, resolvendo em ordem a MA e MB, se obtêm os momentos nas duas secções de encastramento: 2 2 B 2 2 A l b Pa M l Pab M − = − = (b)
Um método alternativo, e porventura mais fácil para este caso, seria recorrer a resultados que estejam já disponíveis para solicitações típicas de vigas isostáticas, como, por exemplo, as fórmulas da tabela G-1 do Apêndice G. Assim, referindo novamente a Fig.(a) atrás, os momentos redundantes MA e MB
produzem rotações
θ
A' eθ
B' em cada um dos apoios, respectivamente, Fig.(d), e a força aplicada P produz as rotaçõesθ
A"eθ
B" nesses mesmos apoios, Fig.(e), respectivamente. Da tabela G-1 do Apêndice G pode tirar-se, directamente: EI l M EI l M EI l M EI l M 3 6 6 3 B A ' B B A ' A=− − θ = + θ ' A θ " A θ ' B θ " B θ A A B B ) (d ) (ee lEI a l Pab lEI b l Pab 6 ) ( 6 ) ( " B " A + = + − = θ θ
Impondo, agora que as rotações globais em A e B são nulas:
0 6 ) ( 3 6 0 6 ) ( 6 3 B A " B ' B B B A " A ' A A = + + + = + = = + − − − = + = lEI a l Pab EI l M EI l M lEI b l Pab EI l M EI l M θ θ θ θ θ θ e resolvendo em ordem a MA e MB: 2 2 B 2 2 A l b Pa M l Pab M − = − = (b) b)- Deflexão vertical em C
Tal como no problema anterior, também aqui as deflexões e as inclinações da viga original podem calcular-se por recurso ao princípio da sobreposição. Para isso, basta somar os deslocamentos e as inclinações da viga primária para cada um dos dois tipos de carregamento em separado, isto é o carregamento real e os carregamentos com os momentos redundantes MA e MB.
(i)- Uso de fórmulas para casos típicos:
O método mais simples e directo será recorrer, uma vez mais, às fórmulas disponíveis na Tabela G-1 do Apêndice G, para casos os casos mais típicos de solicitação de vigas em flexão. Assim, para cada um dos carregamentos P, MA e MB obtém-se, respectivamente:
(
2 2 2)
6 ) ( l x b lEI Pbx x yP =− − − para 0 ≤ x ≤ a(
)
(
)
− + − − − = 3 2 2 3 6 ) ( x a l b x x b l lEI Pb x yP para a ≤ x ≤ l lEI l lx x x M x yM 6 ) 2 3 ( ) ( 2 2 A A + − − = lEI l x x M x yM 6 ) ( ) ( 2 2 B B − =lEI a b ab M lEI b a ab M lEI b Pa a y a y a yP M M 6 ) 2 ( 6 ) 2 ( 3 ) ( ) ( ) ( B A 2 2 C A B + − + − − = + + = δ
ou seja, substituindo MA e MB pelos respectivos valores, conforme calculados na alínea anterior: EI l b Pa l b a a l b a b lEI b Pa 3 3 3 2 2 2 2 C 6 ) 2 ( ) 2 ( 2 6 =− − + − + − = δ
(ii)- Método da viga conjugada:
Se, porventura, não se dispusesse dos dados da tabela G-1, poderia sempre lançar-se mão dos procedimentos básicos para calcular a deflexão na secção C. Por exemplo, recorrendo à teoria da viga conjugada, a deflexão da viga real em C, Fig.(a), é numericamente igual ao valor momento flector da viga conjugada carregada conforme indicado na Fig.(c). Assim, pode escrever-se:
( )
( )
3 2 3 2 3 2 3 2 B A A C a a lEI Pab a a l a EI M b b l b EI M l a l EI M a R Mc c A + + + − + =Substituindo na expressão anterior o valor de
( )
R
c Adado pela equação (a)supra, obtém-se:
( )
lEI b Pa l a EI al M l b EI bl M lEI b Pa lEI a M lEI b M EI l M EI al M lEI b l b Pa EI al M EI al M Mc 3 1 6 1 6 6 6 6 6 2 6 ) ( 6 3 2 2 2 2 B 2 2 A 3 3 B 3 A 2 A A 2 B A C − − − − − = + + + − + + − − − =e substituindo os valores de MAe MBdados pelas equações (b) supra obtém-se, finalmente:
( )
EI l b Pa lEI b Pa l a lEI b Pa l b lEI Pab Mc 3 3 3 2 2 2 2 3 2 2 3 C 6 3 1 6 1 6 − =− − + − =Donde, de acordo com a teoria da viga conjugada:
( )
EI l b Pa Mc 3 3 3 C C 6 − = = δ(iii)- Método da energia:
Uma outra alternativa seria recorrer aos métodos energéticos. Para isso há que, primeiro, determinas a expressão para a energia elástica de flexão. Neste caso particular, as equações para o momento flector obtêm-se facilmente, por exemplo, adicionando as três áreas triangulares representadas na Fig.(b) supra:
l x Pb l x M l x M x M( )= A(1− )+ B + , para 0 ≤ x ≤ a ) 1 ( ) 1 ( ) ( A B l x Pa l x M l x M x M = − + + − , para a ≤ x ≤ l
ou seja, substituindo nestas expressões os valores de MAe MBdados pelas equações (b) supra: P b l a x l b a x M( ) (3 3 ) 2 2 + − = , para 0 ≤ x ≤ a P a l b a x l a b x M( ) (3 3 ) 22 2 − + + + = , para a ≤ x ≤ l
A energia de deformação elástica obtém-se usando a equação habitual:
+ − + + + − = =
∫
∫
∫
l a a l dx l b a x l a b a dx l a x l b a b EI P dx x M EI U 2 2 3 4 0 2 2 3 4 2 0 2 2 ) 3 ( ) 3 ( 2 ) ( 2 1donde, depois de calculados os integrais, se obtém:
EI l b a P U 3 3 3 2 12 =
Finalmente, por aplicação do Teorema de Clapeyron (uma vez que P á a única força aplicada sobre a viga…):
EI l b Pa P U 3 3 3 C 6 2 = = δ
Aqui o sinal é positivo porque o deslocamento calculado através do Teorema de Capeyron é medido positivamente no sentido da força (sentido descendente, no caso do problema em análise…).
PROBLEMA – 8.2.3.
Uma viga encastrada numa das extremidades e com um apoio elástico na outra extremidade (ver figura a seguir) está sujeita a uma carga uniformemente distribuída q(x)=−qo (qo é uma quantidade positiva…). A constante da mola no apoio B é k=350 kN/m e, antes da aplicação da carga, a mola encontra-se na sua posição de indeformada. Nestas condições, determine:
a)- A deflexão no ponto B, em função da rigidez à flexão (EI) da viga, e as reacções em A.
b)- O valor numérico da deflexão em B, para um comprimento de viga l=3m, carga qo=5kN/m, tendo a rigidez (EI) da viga sido previamente determinada num teste em que uma força vertical concentrada P=1ton em B produz aí uma deflexão de 50mm.
RESOLUÇÃO:
a)- Cálculo da deflexão em B
Trata-se duma viga estaticamente indeterminada de grau 1. Tomando a reacção em B como redundante, a viga primária correspondente está esquematicamente representada na figura a seguir.
Resolvendo as equações de equilíbrio estático sobre a viga primária com o carregamento real mais a força redundante (RB), obtém-se a reacção vertical (RA) no apoio A e o momento de encastramento na mesma secção, ambos expressos em termos da força redundante RB: l R l q M R l q R A A B 2 o B o 2 + − = − = (a)
Aplicando o método da sobreposição, por exemplo, considere-se separadamente o carregamento da viga primária com a solicitação real distribuída qo e com a força redundante RB em B. Seja (δB)1 e (δB)2 as deflexões da viga primária no ponto B devido a cada um desses carregamentos, respectivamente. De acordo com a equação da elástica para uma viga em consola (Tabela G-1 do Apêndice G Timoshenko 212) obtém-se: A B l k o q q=− A B o q q=− l B R A R A M
( )
( )
EI l R EI l q 3 8 3 B 2 B 4 o 1 B + = − = δ δAdicionando estes dois deslocamentos e igualando a RB/k, por ser esta a resposta linear do apoio em B:
( ) ( )
k R EI l R EI l qo 4 B 3 B 2 B 1 B B 3 8 + =− − = + = δ δ δ (b)donde a reacção redundante em B:
EI kl kl q R 24 8 3 3 4 o B + = e, substituindo em (b): EI kl l q k R 24 8 3 3 4 o B B + − = − = δ (c)
As restantes reacções (RA e MA) podem agora ser calculadas, por substituição de (b) nas equações de equilíbrio (a):
EI kl kl q l q M EI kl kl q l q R 24 8 3 2 24 8 3 3 5 o 2 o A 3 4 o o A + + − = + − = (d)
b)- Valor numérico da deflexão vertical em B
A montagem utilizada para a calibração do sistema está representada na figura ao lado.
Resolvendo as equações de equilíbrio estático sobre a viga primária com o carregamento real P mais a força redundante (RB' ), obtém-se a reacção vertical (RA' ) no apoio A e o momento de encastramento (MA' ) na mesma secção, ambos expressos em termos da força redundante RB' : A B l k ton P=1 ' B δ A B ' B R ' A R ' A M ton P=1 ) (a ) (b ' B δ
l R Pl M R P R ' B ' A ' B ' A + − = − = (e)
Considerando o carregamento da viga primária com a solicitação (
R −
B'P
) em B, a deflexão correspondente tira-se da Tabela G-1 do Apêndice G:EI l P R 3 ) ( B' 3 ' B − = δ
(e)
donde: ' B 3 ' B 3 ) ( δ l P R EI= −ou, tendo em conta que RB' =−k
δ
B' :' B 3 ' B 3 ) ( δ δ Pl k EI=− +
Substituindo as diversas grandezas pelos respectivos valores numéricos:
2 6 3 3 4 3 5 10 35 , 1 ) 10 50 ( 3 3 ) 10 ) 10 50 ( 10 5 , 3 ( Nm EI = × × − × × + × − × × − = −−
Regressando agora ao problema inicial, basta substituir na expressão (c) o valor acabado de calcular para a rigidez à flexão da viga, bem assim como os restantes dados do problema: mm EI kl l q 3 , 11 10 35 , 1 24 3 10 3,5 8 3 10 5 3 24 8 3 6 3 5 4 3 3 4 o B = × × + × × × × × × − = + − = δ PROBLEMA – 8.2.4.
Considere a viga bi-encastrada AB, de comprimento l e rigidez à flexão EI, sujeita a uma carga uniforme q = −qo aplicada sobre uma extensão b a partir da extremidade B, conforme ilustrado na figura a seguir.
Determine:
a)- Os momentos e as reacções nas secções de encastramento A e B.
b)- A deflexão vertical máxima e a secção onde ocorre, para o caso particular de ser m=b/l=l/2. A C B o q q=− a l b
