Identificação de sistemas,
Modelos de função de transferência
Ângelo David Reis Gonçalves
Dissertação submetida à
Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro
Para obtenção do grau de Mestre em Engenharia Electrotécnica e de Computadores, de acordo, com o disposto no DR-I série A, decreto-lei no¯74/2006 de 24 de Março no Regulamento de Estudos Pós-Graduados da UTAD DR, 2a¯ série-Deliberação no¯ 149-Regulamento no¯470/2011 de 4 de Agosto de 2011 DR, 2a¯ série-Declaração de retificação
Ângelo David Reis Gonçalves
Orientador: Professora Doutora Teresa Paula Coelho Azevedo Perdicoúlis Co-Orientador: Professor Doutor Paulo Jorge de Azevedo Lopes dos Santos
Dissertação submetida à
Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro
Para obtenção do grau de Mestre em Engenharia Electrotécnica e de Computadores, de acordo, com o disposto no DR-I série A, decreto-lei no¯74/2006 de 24 de Março no Regulamento de Estudos Pós-Graduados da UTAD DR, 2a¯ série-Deliberação no¯ 149-Regulamento no¯470/2011 de 4 de Agosto de 2011 DR, 2a¯ série-Declaração de retificação
Orientação científica por:
Doutora Teresa Paula Coelho Azevedo Perdicoúlis
Professora Auxiliar com Agregação da
Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro
Doutor Paulo Jorge de Azevedo Lopes dos Santos
Professor Auxiliar da Universidade do Porto
UNIVERSIDADE DE TRÁS-OS-MONTES E ALTO DOURO
Mestrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores
Os membros do júri recomendam à Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro a aceitação da dissertação intitulada "Identificação de sistemas, Modelos de função de transferência" realizada por Ângelo David Reis Gonçalves para a satisfação parcial dos requisitos do grau de Mestre.
4 de Junho de 2014
Presidente: Doutor José Paulo Barroso de Moura Oliveira,
Professor Associado com Agregação da
Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro.
Vogais do júri: Doutora Maria do Rosário Fernandes Teixeira Pinho,
Professora Associada da Universidade do Porto.
Doutora Teresa Paula Coelho Azevedo Perdicoúlis, Professora Auxiliar com Agregação da
Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro.
Doutor Paulo Jorge de Azevedo Lopes dos Santos, Professor Auxiliar da Universidade do Porto.
Submetido à Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro, para obtenção do grau Mestre em Engenharia Electrotécnica e de Computadores
Ângelo David Reis Gonçalves
Resumo — Os modelos matemáticos que representem a dinâmica de sistemas são de grande utilidade e objecto de muitos estudos, tanto nas universidades como na indústria. Porém, na prática, não é simples obter modelos para sistemas di-nâmicos, pois a modelação destes sistemas envolve princípios físicos que podem dificultar a obtenção de uma solução analítica. Para solucionar tal problema, os métodos de identificação de sistemas, ou experimentais, apresentam-se como uma alternativa para a obtenção de modelos matemáticos simplificados de sistemas dinâmicos.
No presente trabalho abordamos conteúdos que dizem respeito à identificação e modelação de sistemas, a partir de dados de entrada/saída de sistemas de con-trolo discretos no tempo e sujeitos a perturbações aleatórias. As técnicas usadas são baseadas na aproximação dos mínimos quadrados, que consiste na escolha do modelo que minimiza o erro médio de previsão. Sendo o seu objectivo principal conhecer alguns dos aspectos teórico-práticos da estimação de modelos contínuos a partir de dados discretos.
Na identificação de sistemas contínuos a partir de dados discretos são usadas duas abordagens distintas. Na primeira, designada por método indirecto, começa por discretizar-se o modelo contínuo e faz-se a estimação dos parâmetros do modelo discreto associado, que são depois convertidos nos do modelo contínuo. Na se-gunda, designada por método directo, faz-se a estimação directa dos parâmetros do modelo contínuo.
Neste trabalho, estudam-se como métodos de estimação de parâmetros de mode-los discretos os mínimos quadrados simples, o das variáveis instrumentais e os mínimos quadrados totais. Na estimação de parâmetros de modelos contínuos, os dados são filtrados antes de se proceder à estimação dos parâmetros, utilizando a versão contínua dos mínimos quadrados simples e/ou o das variáveis instrumen-tais. A saída do sistema simulada pela versão contínua dos métodos implemen-tados é comparada com a obtida pelos métodos equivalentes do Contsid, apresen-tando resultados muito semelhantes.
Palavras chave: Erro médio de previsão, identificação de sistemas contínuos, mínimos quadrados, mínimos quadrados totais, variáveis instrumentais.
System identification, Transfer function models
Submitted to the University of Trás-os-Montes and Alto Douro in partial fulfillment of the requirements for the degree of Master of Science in Electrical Engineering and
Computers
Ângelo David Reis Gonçalves
Abstract — Mathematical models, that represent the system dynamics, are of great use and also the object of many studies at both the university and industry. However, in practice, it is not simple to obtain a model for a dynamic system whose analytical solution is possible to calculate, since this requires the modelling of physical principles from which a very complex model may result. To solve this problem, system identification methods are used instead to obtain mathematical models whose solution may be calculated.
In this work we discuss issues related to system identification and modelling using discrete input/output data from control systems and subject to noise. The appro-ximation techniques used are based on the least squares, whose aim is to choose the model that best fits the collected data, based on the prediction mean error minimisation. The main objective of the work is to become familiar with some of the aspects of continuous system identification.
To estimate the parameters of a continuous system from discrete data, two dif-ferent approaches are used. An indirect approach where the system is first dis-cretised and then the parameters of the discrete-time system are estimated and converted into their continuous counterpart. A direct approach where the para-meters of the continuous-time system are directly estimated.
In this work, simple least squares methods as well as the instrumental variables and total least squares are used to estimate the parameters of discrete systems. In the direct approach, the data is filtered and then the parameters are estimated using a continuous version of either simple least squares or instrumental varia-bles. The simulated output obtained with our implementations is compared with the one obtained when using the equivalent methods of Contsid and showed simi-lar performance.
Keywords: Prediction mean error, continuous-time domain system identification, least squares, total least squares, instrumental variables.
e Alto Douro, Professor Doutor António Fontaínhas Fernandes, ao director de curso Professor Doutor Paulo Moura Oliveira, bem como a todos os professores que me acompanharam ao longo desta caminhada.
Esta dissertação é resultado de muito esforço e dedicação, e não poderia deixar de registar aqui a minha sincera gratidão a todos que, diretamente ou indiretamente, estiveram ao meu lado para a concretização deste trabalho.
Primeiramente gostaria de agradecer a Deus por guiar a minha vida, pois sem ele nada seria possível, por ter me dado esta oportunidade e também saúde, coragem, persistência e sabedoria para poder chegar a mais esta conquista.
Agradeço especialmente à minha orientadora, Professora Doutora Teresa Paula Perdicoúlis por toda a disponibilidade, pela sua forma amiga, apoio, atenção, in-centivo e energia investida na coordenação e orientação dos trabalhos conducen-tes à elaboração desta dissertação, sem ela certamente este trabalho não teria sido possível. Não posso também deixar de agradecer todo o esforço desenvolvido na leitura e as sugestões de revisão que permitiram o enriquecimento do texto desta dissertação. Obrigado pela confiança e, espero, que de certa forma se sinta realizada, com o trabalho aqui apresentado.
De igual modo agradeço ao meu co-orientador Professor Doutor Paulo Lopes dos Santos, pelas suas sugestões e o seu auxílio, bem como total disponibilidade em me ajudar, pois acredito estar muito orgulhoso de mim.
Agradeço a todos os professores, colegas, amigos e funcionários da UTAD, pelo auxílio e atenção ao longo destes últimos anos, que sempre me incentivaram e apoiaram durante toda a duração deste trabalho, destacando-os pela coragem e de certa forma paciência nos meus momentos mais difíceis.
Por último, mas não menos importante, agradeço à minha família. Agradeço aos meus pais por nunca desistirem de mim, pelo imenso amor e dedicação que sempre recebi e por acreditarem e investirem em mim durante toda a minha vida, pela sólida formação e educação que me foi dada, por terem dado o melhor de si para que eu pudesse me tornar quem sou hoje, pelo incentivo e apoio incondicional que sempre me ajudaram em minhas conquistas. À minha irmã e à minha namorada pelo amor, admiração e respeito, pelo incansável apoio durante o desenvolvimento deste trabalho, por sua paciência e compreensão reveladas, pois cada uma delas contribuiu, à sua maneira, para tornar este trabalho realidade. Muito obrigado por existirem na minha vida. O muito obrigado a todos!
Conteúdo
1 Introdução 1
1.1 Sistema dinâmico . . . 3
1.2 Modelo de um sistema . . . 4
1.3 Identificação de sistemas . . . 10
1.3.1 Processamento dos dados . . . 13
1.3.2 Determinação da ordem do modelo . . . 15
1.4 Abordagens da IS contínuos . . . 16
1.5 Principais objectivos . . . 19
1.6 Metodologia adoptada . . . 19
1.7 Estrutura da dissertação . . . 20
2 Conceitos de Álgebra Linear Numérica 22 2.1 Normas vectoriais e matriciais . . . 22
2.2 Discussão do sistema Y =ΦΘ . . . 24
2.2.1 Matriz pseudo-inversa . . . 25
2.2.2 Condicionamento de matrizes . . . 25
2.3 Solução numérica do sistema Y =ΦΘ. . . 26
2.3.1 Decomposição QR . . . 27
2.3.1.1 Cálculo da pseudo-inversa usando QR . . . 29
2.3.2 Decomposição SVD . . . 29
2.3.2.1 Cálculo da pseudo-inversa usando SVD . . . 32
2.3.2.2 Número de condição usando SVD . . . 33
3 Modelos Polinomiais 35 3.1 Modelos ARMA . . . 35 3.2 Modelo ARMAX . . . 36 3.3 Modelo OE . . . 40 3.4 Modelo BJ . . . 42 3.5 Observações finais . . . 43
4.2 Propriedades estatísticas do estimador dos MQ . . . 53 4.2.1 Ortogonalidade . . . 53 4.2.2 Polarização . . . 54 4.2.3 Outras propriedades . . . 56 4.3 Complicações nos MQ . . . 59 4.4 Avaliação do modelo . . . 60
4.4.1 Avaliação do número de parâmetros do modelo . . . 62
4.5 Identificação de um modelo ARX . . . 63
4.5.1 Simulações . . . 67
4.5.1.1 ARX com erro de equação . . . 69
4.5.1.2 ARX com erro de saída . . . 73
4.5.2 Observações finais . . . 78
5 Variações dos Mínimos Quadrados 79 5.1 Variáveis Instrumentais discretas . . . 79
5.1.1 Simulação . . . 85
5.2 Modelo ARMAX . . . 88
5.2.1 Simulação . . . 89
5.3 O problema Error in Variables (EIV) . . . 91
5.3.1 Simulação . . . 94
6 Identificação de Sistemas Contínuos 96 6.1 Método LSSVF . . . 98
6.1.1 Simulações . . . 102
6.1.1.1 LSSVF com erro de equação . . . 103
6.1.1.2 LSSVF com erro de saída . . . 105
6.2 Método SRIVC . . . 107
6.2.1 Simulação . . . 110
7 Conclusão 112 7.1 Síntese conclusiva . . . 112
7.2 Avaliação e principais contribuições . . . 113
7.3 Perspectivas para trabalho futuro . . . 114
A Rotinas de IS implementadas 115 A.1 IS discretos . . . 115
A.1.1 ARX com erro de equação usando os MQ . . . 115
A.1.3 ARX com erro de saída usando VI . . . 121
A.1.4 ARX com erro de saída usando os MQE . . . 123
A.1.5 ARX com EIV usando os MQ . . . 126
A.1.6 ARX com EIV usando os TLS . . . 129
A.1.6.1 Rotina TLS para qualquer ordem do modelo . . . 131
A.2 IS contínuos . . . 132
A.2.1 ARX com erro de equação usando LSSVF . . . 132
A.2.2 ARX com erro de saída usando LSSVF . . . 135
A.2.3 ARX com erro de saída usando SRIVC . . . 139
A.3 Rotina MQ para qualquer ordem do modelo . . . 142
A.3.1 Rotina VI para qualquer ordem do modelo . . . 144
1.1 Tipos de sistemas. . . 4
1.2 Tipos de modelação. . . 4
1.3 Tipos de modelos. . . 7
1.4 Sistema SISO com perturbação. . . 10
1.5 Fluxograma das etapas do procedimento feito na IS. . . 12
1.6 Tipo de sinal de excitação. . . 13
1.7 Estimação da ordem do modelo. . . 15
1.8 Identificação indirecta e directa de sistemas contínuos. . . 17
1.9 Amostragem do sinal com o interpolador ZOH. . . 18
2.1 Sistema linear Y =ΦΘ. . . 24
2.2 Decomposição QR. . . 28
2.3 Decomposição SVD. . . 29
2.4 Decomposição SVD em diagrama de blocos. . . 32
3.1 Modelo AR. . . 36
3.2 Modelo MA. . . 36
3.3 Modelo ARMA. . . 36
3.4 Identificação com o modelo ARX. . . 37
3.5 Filtro FIR. . . 39
3.6 Modelo FIR. . . 39
3.7 Identificação com o modelo OE. . . 41
3.8 Modelo OE. . . 41
3.9 Modelo BJ. . . 42
4.1 Regressão linear com os MQ. . . 48
4.2 Estimação dos parâmetros com os MQ. . . 51
4.3 Interpretação geométrica dos MQ. . . 52
4.4 Estimação não enviesada com variância mínima. . . 55
4.6 Representação do modelo ARX. . . 64
4.7 Modelo ARX. . . 65
4.8 Modelo ARX de 1a¯ ordem. . . 67
4.9 Modelo ARX de 1a¯ ordem com erro de equação. . . 70
4.10 Sinais da entrada ( ), saída perturbada ( ) e ruído ( ) a 0 dB. 70 4.11 Consistência dos MQ com erro de equação no modelo ARX. . . 71
4.12 Saída sem ruído ( ) e estimada ( ) com erro de equação usando os MQ. . . 72
4.13 Modelo ARX de 1a¯ ordem com erro de saída. . . 74
4.14 Consistência dos MQ com erro de saída no modelo ARX. . . 76
4.15 Saída sem ruído ( ) e estimada ( ) com erro de saída usando os MQ. . . 77
5.1 Variáveis Instrumentais. . . 79
5.2 Método das VI baseado num modelo auxiliar. . . 82
5.3 Fluxograma do algoritmo das variáveis instrumentais. . . 83
5.4 Consistência das VIs com erro de saída no modelo ARX. . . 86
5.5 Saída sem ruído ( ) e estimada ( ) com erro de saída usando as VIs. . . 87
5.6 Modelo ARMAX. . . 88
5.7 Consistência dos parâmetros usando o modelo ARMAX. . . 89
5.8 Saída sem ruído ( ) e estimada ( ) com o modelo ARMAX. . . . 90
5.9 Erros nas variáveis (EIV). . . 91
5.10 Representação dos TLS. . . 93
5.11 Sinais da entrada perturbada ( ), saída perturbada ( ) e ruído na saída ( ) a 15 dB. . . 94
5.12 Saída sem ruído ( ) e estimada ( ) com os TLS. . . 95
6.1 Representação do sistema (6.3). . . 97
6.2 Minimização do erro da estimativa. . . 98
6.3 Método directo da IS contínuos. . . 100
6.4 Abordagem indirecta de IS contínuos para um sistema de 2a¯ ordem. 101 6.5 Procedimento do método LSSVF. . . 101
6.6 Identificação de um sistema contínuo de 2a¯ ordem. . . 102
6.7 Determinação da frequência de corte do sistema (6.26). . . 102
6.8 Resposta ao degrau do sistema (6.26). . . 103
6.9 Sinais da entrada, saída e ruído a 0 dB. . . 103
6.10 Modelo com erro de equação na IS contínuos. . . 104
6.11 Saída estimada com erro de equação usando LSSVF. . . 104
6.12 Modelo com erro de saída na IS contínuos. . . 105
6.17 Etapas do procedimento do algoritmo SRIVC. . . 110 6.18 Resposta ao degrau com erro de saída usando SRIVC. . . 110 6.19 Cancelamento dos pólos/zeros usando o método SRIVC. . . 111
Lista de Tabelas
1.1 Comparação entre modelos analíticos e experimentais. . . 5
1.2 Classificação de modelos por tipologia. . . 9
1.3 Resumo dos passos efectuados na IS. . . 12
3.1 Representação dos diferentes tipos de modelos polinomiais. . . 43
3.2 Características dos modelos polinomiais autoregressivos. . . 44
3.3 Erro de previsão para diferentes tipos de modelos autoregressivos. . 45
4.1 Parâmetros médios estimados pelos MQ com erro de equação. . . 71
4.2 Parâmetros médios estimados pelos MQ com erro de saída. . . 76
5.1 Algoritmo das Variáveis Instrumentais discretas. . . 84
5.2 Parâmetros médios estimados pelas VI com erro de saída. . . 86
5.3 Parâmetros médios estimados pelo ARMAX com erro de saída. . . . 89
5.4 Parâmetros médios estimados pelos MQ, VI e ARMAX com erro de saída. . . 91
5.5 Parâmetros médios estimados pelos MQ e TLS com erro de equação. 95 6.1 Parâmetros médios estimados pelo LSSVF com erro de saída. . . 106
Acrónimo Definição
ACR Análise de Correlação
AE Análise Espectral
ARMAX AutoRegressivo de Média Variável com Entrada Exógena
ARX AutoRegressivo com Entrada Exógena
Ct Sistema Contínuo
Dt Sistema Discreto
EE Espaço de Estados
EMQ Erro Médio Quadrático ou Valor Eficaz
FAC Função de AutoCorrelação
FCC Função de Correlação Cruzada
FT Função de Transferência
IDFT Transformada Discreta de Fourier Inversa
IGU Interface Gráfica do Utilizador
MEP Método do Erro de Previsão
MES Modelo do Erro de Saída
MQE Mínimos Quadrados Extendidos
MQG Mínimos Quadrados Generalizados
MQR Mínimos Quadrados Recursivos
MQT Mínimos Quadrados Totais
MVICR Método das Variáveis Instrumentais Contínuas Refinado
QR Decomposiçao QR
RSR Relação Sinal Ruído
TDF Transformada Discreta de Fourier
SEQ Soma do Erro Quadrático
SLIT Sistema Linear Invariante no Tempo
VI Variáveis Instrumentais
Símbolo Definição
A+ Matriz pseudo-inversa de A
kAkF Norma de Frobenius da matriz A
E{·} Valor esperado ou esperança matemática
G Função de transferência do sistema
H Função de transferência do ruído
N Número de dados
na Número de pólos ou ordem do modelo
nb Número de zeros do modelo
np Número de parâmetros
q−1 Operador de atraso
Ts Tempo de amostragem
u Sinal da entrada do sistema
VN Função custo de minimização do erro quadrático
wc Largura de banda ou frequência de corte
y Sinal da saída real do sistema
by Sinal da saída estimada do modelo
ZN Conjunto de N amostras de dados
ξ Perturbação do sistema
b
Θ Vector de parâmetros estimados
varX Variância de X
σX Desvio padrão de X
µX Média de X
1
Capítulo
Introdução
Na indústria os processos são cada vez mais complexos. Logo, é de extrema impor-tância o uso de modelos matemáticos capazes de auxiliarem na análise, no projeto e no entendimento do funcionamento dos sistemas. A obtenção de um modelo que reproduza exactamente o comportamento de um sistema é algo impossível, pois quanto mais preciso é esse modelo, maior é o esforço requerido na obtenção de uma solução. Na prática, selecciona-se um modelo que se aproxime satisfatori-amente do comportamento do sistema para uma determinada aplicação e numa faixa de operação limitada.
A identificação de sistemas (IS) consiste em estimar os parâmetros de um mo-delo usando dados empíricos do sistema, sem a necessidade do conhecimento das leis físicas que o regem e a capacidade de se prever o seu comportamento. De-pendendo de factores como a complexidade do sistema em análise ou a aplicação desejada, poder-se-ão construir modelos de diversos tipos, com diferentes técnicas de identificação [108], sendo fundamental que estes representem as característi-cas essenciais do sistema. A identificação de um sistema real pode ser ainda um processo iterativo, onde se parte de alguns pressupostos para determinar um mo-delo do sistema, que pode ou não cumprir com os critérios de validação. Sempre que os critérios de validação não são verificados, deve-se então modificar-se os pa-râmetros ou a estrutura do modelo, ou mesmo voltar à fase de testes, para obter novos dados experimentais que permitam recuperar eventuais falhas. Assim, os seus parâmetros são adaptados segundo um determinado critério, com o intuito de se obter uma representação final capaz de reproduzir com sucesso os dados em-píricos.
De uma forma geral, a IS é utilizada para [110]
Prever o comportamento dinâmico de um sistema.
conse-Optimizar o desempenho do sistema. Sintonizar controladores de diversos tipos.
Sintonizar algoritmos de controlo, dado a maioria dos métodos de síntese e sintonia de controladores, necessitarem de um modelo do sistema em estudo. O uso generalizado de tecnologia digital e a amostragem de dados em muito con-tribuíram para o grande enfoque no estudo e uso de modelos de sistemas discretos. Diferentes métodos para a estimação de parâmetros de modelos lineares discretos têm sido estudados, sendo o mais conhecido o estimador dos mínimos quadrados uma vez que é a base para o desenvolvimento de outros métodos de identifica-ção. No entanto, existem algumas vantagens em descrever sistemas reais através de modelos contínuos, ainda que com consequente discretização desses mesmos modelos, dado os sistemas contínuos permitirem uma boa compreensão das pro-priedades do sistema descritas pelas leis físicas. Dado o presente estado da arte da tecnologia digital permitir frequências de amostragem suficientemente gran-des (Ts pequeno), ou seja, T1s sendo Ts o intervalo de tempo que decorre entre
duas amostras consecutivas e que é designado por tempo de amostragem, e sendo a modelação de sistemas físicos no contínuo natural e não possuindo os sistemas físicos uma dinâmica muito rápida, facilmente se justifica a adopção de uma for-malização matemática em tempo contínuo.
Posto isto, o problema da IS contínuos consiste em estimar os parâmetros de um modelo contínuo a partir de dados amostrados (logo discretos) [21]. Como muitos dos sistemas de engenharia são intrinsecamente contínuos e os dados experimen-tais são maioritariamente discretos, torna-se pertinaz o estudo deste problema. Os métodos indirectos fazem a estimação dos parâmetros de um modelo discreto, obtido ou não a partir de um modelo contínuo, convertendo-os posteriormente nos do modelo contínuo. A recuperação dos parâmetros físicos pode conter erros, prin-cipalmente quando se trabalha com modelos discretos, pois a recuperação do sinal original envolve o período de amostragem, o que não é fácil de estimar quando não se tem informação a priori sobre o sistema. A somar, os modelos discretos não são de fácil interpretação como os modelos contínuos devido à maioria dos sistemas com que lidamos ser de natureza contínua. Recentemente tem-se desenvolvido muito trabalho em IS contínuos com Garnier e Wang, entre outros [21].
1.1. Sistema dinâmico
teóricos e práticos relacionados com a IS contínuos a partir de dados discretos, em particular sobre a formulação de modelos e estimação de parâmetros, dando-se especial ênfase à técnica dos mínimos quadrados (MQ) e suas variações, com vista na utilização do modelo estimado no projecto de sistemas de controlo.
Para tal tomar-se-à contacto com alguns dos algoritmos de identificação para mo-delos em função de transferência, primeiro considerando a variação discreta no tempo e depois a variação contínua. Para tal, far-se-á a implementação em Ma-tlab dos principais algoritmos de identificação. No caso contínuo, comparar-se-ão os resultados obtidos com os de uma toolbox disponível à comunidade científica, o Contsid.
1.1
Sistema dinâmico
Um sistema é um conjunto de elementos relacionados entre si, que opera sobre en-tradas e processa saídas. Exemplos de sistemas são o automóvel, o corpo humano, o computador ou uma empresa. As interacções de um sistema com o ambiente recaem naturalmente em duas categorias: (i) as variáveis que podem ser contro-ladas (estimulações externas) e influenciam o comportamento deste, designadas entradas, e as variáveis determinadas pelo sistema, e que podem influenciar o comportamento do mesmo, designadas saídas; (ii) as variáveis que não podem ser manipuladas são chamadas de perturbações ou ruído.
O comportamento dos sistemas pode ser considerado estático ou dinâmico. Um sistema é considerado estático (ou instantâneo) quando a saída num determinado instante depende apenas da entrada no mesmo instante. Esta definição é válida tanto para sistemas monovariáveis (SISO, Single Input Single Output) como tam-bém para sistemas multivariáveis (MIMO, Multiple Input Multiple Output). Ao contrário dos sistemas estáticos, um sistema é considerado dinâmico quando, num determinado instante de tempo, as saídas de um sistema dependem da entrada naquele mesmo instante e também de dados de entrada e saída (E/S) recolhidos em instantes anteriores. As saídas dos sistemas dinâmicos guardam informação do que ocorreu no passado, por isso estes sistemas são ditos sistemas com memó-ria. O corpo humano é um exemplo de sistema dinâmico, após um dia de trabalho exaustivo, este dará sinais de cansaço. Já uma resistência é um exemplo de um sistema estático, pois a tensão nos seus terminais depende unicamente do valor instantâneo da corrente fornecida. Os sistemas com dinâmica relativamente rá-pida são muitas vezes considerados estáticos, dependendo do contexto em questão. No domínio dos tempos, os sistemas dinâmicos contínuos são representados por equações diferenciais e os discretos por equações às diferenças. Por sua vez, um
sistema estático pode ser representado por um conjunto de equações algébricas. Estes sistemas podem ainda ser considerados sistemas dinâmicos sem memória. Um sistema é dito autónomo quando é representado por equações diferenciais ou equações às diferenças que não dependem explicitamente da variável tempo, t. As entradas não observadas pelo sistema dinâmico são chamadas de entradas exó-genas e constituem uma série temporal. Na prática, os sistemas reais são todos dinâmicos, mas para uma dada análise a dinâmica do sistema pode ser desprezível por ser muito rápida ou muito lenta comparada com a escala de tempo utilizada. Sistemas dinâmicos cujo valor da saída actual depende apenas das entradas e saídas até esse instante, dizem-se sistemas causais.
Sistema Discreto/ Contínuo Causal/ Não Causal Com Memória/ Sem Memória Estático/ Dinâmico
Figura 1.1: Tipos de sistemas.
1.2
Modelo de um sistema
Sistema Leis da física Identificação de sistemas ModeloFigura 1.2: Tipos de modelação.
Os modelos são representações, matemáticas ou gráficas, de observações do mundo real úteis na descrição/previsão do comportamento estático e dinâmico e das ca-racterísticas essenciais de um sistema, ajudando o homem a entender melhor um fenómeno com determinadas condições operacionais e a usá-lo em seu favor. Como
1.2. Modelo de um sistema
por exemplo ajustar controladores ou estudar formas de melhorar o seu desempe-nho através da simulação de alguns modelos. Dependendo do sistema que se de-seja modelar, e de acordo com as circunstâncias, existirá uma interpretação mate-mática que será mais adequada ao contexto do que outra. Por exemplo em controlo óptimo, é adequado usar modelos mais precisos tais como espaço de estados, mas se o estudo abordar a resposta transitória de um sistema, é mais conveniente utilizar uma representação de função de transferência. Um modelo matemático expressa um conjunto de equações que relacionam as saídas, o ruído e as entradas do sistema dinâmico entre si da forma o mais precisa possível.
A escolha do modelo a utilizar é baseada no conhecimento prévio do sistema e das perturbações que o afectam. Os modelos podem ser obtidos através de duas abordagens distintas:
Modelação física do sistema (ou modelação analítica), que envolve a análise da dinâmica do sistema físico e o conhecimento das leis da física que regem o sistema. Nos modelos analíticos, (também chamados de modelos de caixa-branca) enquanto representação das leis físicas do sistema, existe o total conhecimento das suas entradas, saídas e da dinâmica interna. Este tipo de modelação apresenta dificuldades no tratamento de sistemas complexos e/ou de grande dimensão.
Identificação de sistemas (ou modelação experimental), que envolve a aqui-sição e o processamento de dados experimentais com as características de E/S do sistema e sua utilização para a determinação de um modelo mate-mático que melhor se aproxime do comportamento observado no sistema. O modelo empírico obtido é designado por caixa-preta, uma vez que exprime unicamente as relações entre os dados de E/S do sistema, ignorando-se o que se passa no seu interior, isto é, não pressupõe qualquer conhecimento prévio do sistema em causa.
A Tabela 1.1 resume as principais características entre os modelos analíticos e os modelos experimentais.
Modelo analítico Modelo experimental Parâmetros têm significado concreto não têm significado concreto Esforço na simulação demorado e dispendioso rápido e mais fácil
Informaçãoa priori considerada não considerada Domínio de validade elevado restrito
Tabela 1.1: Comparação entre modelos analíticos e experimentais.
coinci-dente com a do modelo escolhido. Na modelação experimental, os desvios podem ser originados durante a aquisição dos dados do sistema devido a irregularidades intrínsecas aos equipamentos de medida (i.e., ruído nas medições), a não line-aridades do sistema, entradas não medidas, erros de modelação, imprecisões nos sensores e nos conversores, variações na carga, factores externos não controláveis, desgastes e falhas naturais do sistema devido ao uso ao longo do tempo, interac-ções com o meio ambiente, ou mesmo por perturbainterac-ções inesperadas.
Como já foi referido, para um dado sistema o modelo matemático não é único, sabendo-se que a complexidade aumenta com a precisão e modelos complexos nor-malmente apresentam termos não lineares, os quais trazem severas restrições no processo de identificação. Daí a necessidade de uma relação de compromisso entre a capacidade de descrição da dinâmica essencial do sistema e um número ade-quado de parâmetros que possibilite o menor esforço computacional por algorit-mos de identificação. É preferível começar com um modelo simples para descrever um comportamento básico do sistema e, posteriormente, testar o modelo obtido; caso não represente convenientemente o comportamento do sistema, aumenta-se gradualmente a complexidade da estrutura do modelo inicial.
Há diversas maneiras de representar matematicamente um sistema dinâmico, como por exemplo
Funções de transferência. Espaço de estados.
Modelos polinomiais, como o AR, ARX, ARMAX, OE e BJ1. Funções lineares parametrizadas, como por exemplo os MQ.
Os modelos podem ser classificados com base nas relações matemáticas utilizadas Lineares/Não Lineares, de acordo com a natureza das relações entre as va-riáveis do sistema.
Discretos/Contínuos, caso o modelo assuma tempo discreto ou contínuo. Variantes/Invariantes, se os parâmetros utilizados no modelo apresentarem alguma dependência temporal.
Determinísticos/Estocásticos, se a sua caracterização for feita sem qualquer espécie de ambiguidade ou se for requerida a inclusão de informação proba-bilística (por exemplo, a caracterização das perturbações).
1.2. Modelo de um sistema Modelo Linear/ Não Linear Estático/ Dinâmico Contínuo/ Discreto Tempo/ Frequência Determinístico/ Estocástico Caixa-Branca/ Caixa-Preta
Figura 1.3: Tipos de modelos.
Um modelo é dito linear quando satisfaz o princípio da sobreposição, isto é, para uma combinação linear das entradas, a saída é uma combinação linear das saí-das para cada entrada individualmente. Para modelos não lineares este princípio não é válido. Matematicamente, se considerarmos o sistema y(t) = ku(t), onde u(t) é a entrada do sistema e y(t) a saída, tem-se que com u(t) = u1(t) + u2(t) vem
y(t) = k y1(t) + k y2(t).
Os modelos lineares permitem definir uma relação causal entre a entrada e a saída e caracterizam-se por representar adequadamente sistemas de baixa ordem. Estes podem ser escritos na forma de espaço de estados ou em funções de transfe-rência, nos quais a taxa de variação dos estados depende linearmente dos estados passados e das entradas. A vantagem em descrever-se o modelo como linear é a facilidade na sua identificação. Como há menos relações entre as variáveis, os mé-todos para obtenção dos parâmetros têm comportamento mais bem condicionado, evitando discrepâncias nos resultados. Mesmo perante sistemas aparentemente complexos ou não lineares, a primeira estrutura a utilizar deve ser linear em torno de um ponto de operação, visto que estas estruturas possuem técnicas simples e robustas de estimação dos parâmetros gerando estruturas de baixa complexidade. Só devem ser utilizados modelos não lineares quando os modelos lineares não verificarem os critérios de validação predefinidos. No caso em que as não linea-ridades são totalmente desconhecidas, utilizam-se também modelos não lineares. Os modelos não lineares são utilizados na modelação de situações complexas, logo tendem a ser de ordem elevada, como acontece em vários sistemas de potência,
in-dústria química e sistemas com comportamento caótico. Estes modelos implicam estruturas matemáticas mais complexas e métodos de optimização não lineares, que influenciam a complexidade do algoritmo e a interpretabilidade do modelo. A dificuldade maior prende-se com a análise da convergência dos parâmetros. En-quanto que para técnicas de optimização lineares, como o estimador dos MQ, há resultados estabelecidos em termos de convergência e variância, o mesmo não se verifica para a optimização não linear. De facto, nesta situação os parâmetros de um modelo poderão convergir para um óptimo local e não para o óptimo global. A escolha entre modelos lineares e não lineares depende do comportamento do sis-tema em estudo ou do rigor da aproximação pretendida.
Um modelo que descreve a relação entre sinais de tempo contínuos é designado de contínuo e é representado por equações diferenciais. Em modelos contínuos, as equações diferenciais são representadas por funções de transferência definidas em s através da transformada de Laplace. Na prática os sinais são frequentemente obtidos na forma discreta, através de relações entre as entradas e as saídas, em instantes de tempo sucessivos, descritas por equações às diferenças, cujo intervalo entre os instantes será constante e definido pelo período de amostragem do sinal real. Nos modelos discretos, as equações às diferenças são representadas por fun-ções de transferência em z através da transformada-z.
Tipicamente, os métodos no domínio dos tempos são mais utilizados em situações em que os sinais de excitação são genericamente arbitrários. Pelo contrário, as técnicas de identificação no domínio das frequências partem do pressuposto que os sinais de entrada e saída do sistema a identificar são periódicos ou limitados no tempo dentro do período de observação. Nesta dissertação são apenas conside-rados métodos no domínio dos tempos.
Classifica-se ainda o modelo relativamente ao tratamento do ruído. Denomina-se por modelo determinístico um modelo caracterizado por relações exactas en-tre as variáveis medidas em cada instante e expressas sem incerteza. São pouco imunes ao ruído e só apresentam bons resultados quando a relação sinal/ruído (SNR, Signal Noise Ratio) é elevada (isto é, baixo ruído). A grande limitação no uso de técnicas determinísticas é a possibilidade de se ter estimativas polariza-das, ou seja, estimativas que não convirjam para os valores reais dos parâmetros do sistema (ver Subsecção 4.2.2). Um modelo diz-se estocástico ou aleatório se é caracterizado com conceitos de incerteza e probabilidade. Aqui são considera-das perturbações que tornam o cálculo da saída não determinístico. Na prática, existe sempre ruído nos dados ou incerteza na medição, de forma que os modelos
1.3. Identificação de sistemas
estocásticos são mais adequados à identificação de sistemas. Estes modelos tra-tam o ruído com filtragem ou modelação, diminuindo a dependência da relação sinal/ruído para uma boa identificação. Este segundo tipo de modelos será usado neste trabalho, visto que as medições, mesmo que tratadas na identificação podem apresentar ruído significativo levando a uma identificação não eficiente feita por modelos determinísticos.
Para descrever um sistema podem usar-se modelos paramétricos ou não paramé-tricos. Dos primeiros fazem parte os modelos de funções de transferência, espaço de estados, onde é necessário ter de especificar a sua ordem. A resposta impulsio-nal, os diagramas de Bode, pertencem à segunda categoria.
Nesta dissertação toda a atenção estará reservada aos modelos paramétricos. Através deles é possível fazer um controlo mais eficaz do sistema devido à pre-sença de relações matemáticas que permitem o uso de técnicas de identificação. Na identificação paramétrica, os modelos podem ser divididos em
Modelos de E/S (representação externa).
Modelos em espaço de estados (representação interna).
Os modelos de E/S descrevem a saída do sistema em função da entrada através de funções de transferência. Estes modelos não possuem nenhuma informação das variáveis internas do sistema. Nestes modelos, existem métodos de identificação que garantem a convergência dos parâmetros para o mínimo global de uma dada função de custo como, por exemplo, o método dos MQ não recursivo para sistemas não variantes no tempo e o método dos MQ recursivo para sistemas variantes no tempo. Já os modelos em espaço de estados, além da entrada e saída, permitem estimar o comportamento de variáveis internas para uma dada região de operação e representar sistemas MIMO.
A Tabela 1.2 apresenta uma classificação geral dos tipos de modelos [28]
Classificação Descrição
Contínuos Representação contínua no tempo, descrita por equações diferenciais. Discretos Representação em instantes de tempo, descrita por equações às diferenças. Lineares Obedecem ao princípio da sobreposição.
Não lineares Não obedecem ao princípio da sobreposição. Monovariáveis Apresentam uma única entrada e uma única saída. Multivariáveis Apresentam mais de uma entrada ou mais de uma saída. Determinísticos Variáveis não são aleatórias.
Estocásticos Tratam estatisticamente a aleatoriedade das variáveis. Paramétricos São representados por parâmetros.
Não paramétricos São representados graficamente.
1.3
Identificação de sistemas
? Ruído Entrada Saída ξ u yFigura 1.4: Sistema SISO com perturbação.
A identificação de sistemas consiste na estimação dos parâmetros de um modelo matemático de um sistema, a partir da observação dos seus dados de E/S, de acordo com um determinado critério de optimização [68]. Estes modelos, que po-dem ser contínuos ou discretos, descrevem a variação temporal ou espacial das variáveis de interesse no sistema, podendo ser usados, por exemplo, em simula-ções ou no dimensionamento de controladores. É muito útil nos casos em que o sistema é muito complexo e se torna difícil determinar um modelo a partir das leis físicas que o regem. Para uma identificação adequada devem ser tomados alguns cuidados a ter tais como
A escolha de uma taxa de amostragem conveniente.
O sinal de entrada persistemente excitado para abrangir todas as faixas de frequências e todos os modos do sistema.
A escolha da ordem do modelo.
Obter um número de amostras suficientemente elevado para ser represen-tativo da resposta global do sistema.
O ponto de operação do modelo sobre o sistema.
De acordo com Aguirre em [1], três considerações capazes de simplificar o mo-delo, e que são usualmente levadas em conta quando se refere à identificação de sistemas, são
A linearidade, em que o sistema é considerado linear numa região próxima do ponto de operação observado.
A invariância no tempo, em que a dinâmica do sistema não varia significati-vamente ao longo do tempo considerado.
A concentração de parâmetros, em que as variáveis de interesse do sistema variam apenas com o tempo.
1.3. Identificação de sistemas
As medições da E/S do sistema são designadas por dados de identificação e são obtidos através da medição simultânea da resposta do sistema, y(t), a um sinal pré-determinado de entrada, u(t). O modelo só reproduzirá as características do sistema se este estiver adequadamente excitado pelo sinal de entrada. Os dados podem ser extraídos no domínio do tempo ou da frequência, de acordo com o mé-todo de identificação utilizado. Enquanto no domínio dos tempos, a resposta a um sinal temporal é utilizada para a realização do procedimento de identificação, no domínio das frequências, é utilizado um conjunto de pontos da curva de resposta em frequência (diagramas de Bode).
As etapas fundamentais da IS são as seguintes [25]
1. Recolha e processamento de dados—Nesta etapa é necessário recolher um conjunto de dados que contenha informação suficientemente à extracção máxima da dinâmica do sistema. É de grande importância a definição dos sinais de entrada a aplicar ao sistema e a escolha das variáveis que devem ser medidas ou controladas.
2. Escolha da estrutura do modelo—Nesta etapa, é seleccionada a estru-tura do modelo a usar mediante os dados gerados para a descrição do sis-tema. Ela deve ser fundamentada no conhecimento do processo de identifi-cação, bem como no conhecimento a priori sobre o sistema a ser identificado. 3. Estimação de parâmetros do modelo—Uma vez escolhida a estrutura do modelo, a etapa seguinte consiste em calcular os parâmetros dessa es-trutura, usando um algoritmo adequado, a fim de que o modelo reproduza o comportamento do sistema original. Nesta etapa escolhe-se o algoritmo a utilizar na estimação dos parâmetros do modelo.
4. Validação do modelo identificado—Por último, é necessário examinar o modelo usando um conjunto de testes de validação, verificando a sua quali-dade e avaliando o seu desempenho, isto é, analisar se as características de interesse do sistema original a ser identificado estão representadas. É im-portante comparar a saída do modelo com a saída real do sistema, com base no critério de desempenho escolhido, usando dados não empregados durante a estimação dos parâmetros, ou seja, dados de validação. Se os resultados não forem satisfatórios, é preciso refazer o procedimento da identificação. A qualidade do modelo pode ainda ser avaliada através dum conjunto de pro-priedades estatísticas, tais como: o intervalo de confiança dos parâmetros (desvio padrão), a independência entre os resíduos e a entrada.
A tabela 1.3 descreve resumidamente os passos feitos na IS
Construção dos dados Determinação do sinal de entrada e do
de identificação tempo de amostragem. Aquisição dos sinais de E/S.
Pré-processamento Processamento dos sinais.
Eliminação dos enviesamentos e dos dados extremos.
Estrutura do modelo Selecção da estrutura e da ordem do modelo.
Estimação dos parâmetros Aplicação de um algoritmo de identificação.
Validação do modelo Comparação das saídas, cancelamento dos pólos/zeros.
Tabela 1.3: Resumo dos passos efectuados na IS.
Dados de identificação Preparação dos dados Selecção do modelo Estimação dos parâmetros Validação do modelo Modelo é
adequado? Adaptar o modelo
Aplicação do modelo b Θ adequado? Modelo adequado? Filtro adequado? u(t) e Tsadequados? Escolha de u(t) e de Ts
Filtragem dos dados
Ordem do modelo Cálculo do estimadorΘb Critérios de desempenho Não Sim Sim Não Sim Não Sim Não Sim Não Não Dados de validação
1.3. Identificação de sistemas
1.3.1
Processamento dos dados
Ts −1 1 Tempo [s] Amplitude Entrada u(t) PRBS
Figura 1.6: Tipo de sinal de excitação.
No sentido de se conseguir obter dados de boa qualidade, é necessário garantir que as condições experimentais sejam favoráveis, ou seja, condições de baixo ruído, au-sência de perturbações significativas e o máximo de riqueza informativa possível nos dados de E/S sobre as propriedades do sistema na presença de distúrbios des-conhecidos.
A escolha do sinal a ser utilizado na entrada do sistema que se deseja identificar é um factor crítico na qualidade do modelo obtido. O sinal de entrada é respon-sável por excitar, juntamente com a taxa de amostragem, as dinâmicas internas do sistema na faixa de operação desejada. Um sinal mal projetado pode não re-velar o comportamento do sistema num dado regime de operação, levando a uma validação deficiente do modelo. Os sinais de entrada devem apresentar um espec-tro suficientemente amplo de frequências e uma gama de amplitudes abrangente, de forma que percorra o sistema pelas regiões de operação de interesse. Sendo assim, é necessário que o sinal de excitação possua elevada persistência na ex-citação, percorra toda a faixa de operação que se deseja modelar e o tempo de amostragem seja compatível com as constantes de tempo envolvidas.
O procedimento habitual consiste em utilizar, como sinal excitador, sinais brancos ou aleatórios. O espectro de potência deste tipo de sinais está uniformemente dis-tribuído numa ampla faixa de frequências escolhida permitindo que essas mesmas frequências se revelem na saída. Pode ainda pretender-se que se obtenham sinais de saída com variações semelhantes às registadas durante a excitação do sistema, tais como o sinal de degrau, o impulso, o pseudo-aleatório ou o sinusóide. Embora o ruído branco seja rico em frequências, e portanto tenha excitação persistente de qualquer ordem, por vezes poderá não ser fácil de gerar, quando por exemplo es-tamos a trabalhar com um microcontrolador de baixo poder de cálculo. Uma alter-nativa será a utilização de sequências binárias pseudo-aleatórias (PRBS, Pseudo Random Binary Signal), pois são fáceis de serem gerados. Um sinal PRBS per-turba o sistema em torno de um ponto de operação em regime permanente, sem o
desviar significativamente desse valor. Esta é uma vantagem, pois permite que o sistema continue a funcionar na sua região de operação enquanto é feita a identi-ficação, o que é particularmente importante em processos lentos, onde a execução dos testes requer um longo tempo. Estes sinais são bastante utilizados na prá-tica de identificação de sistemas pois, quando bem dimensionados, podem excitar o sistema em diversas faixas de frequência e detectar não linearidades. Duas ca-racterísticas interessantes deste sinal no uso em IS são o facto que a sua média tender assimptoticamente para zero e a sua covariância se aproximar da do ruído branco quando o número de amostras é elevado. Estas características garantem uma distribuição aproximadamente constante para o espectro de potência.
Outro factor a ter em conta no projecto do sinal de excitação é a sua amplitude, sendo ela responsável por levar o sistema a diferentes regiões de operação. Con-vém fazer uma limitação do ritmo de transição do sinal de entrada, de forma a adequá-lo às características do sistema, e garantir que a saída irá ser representa-tiva. No caso linear, a amplitude do sinal de excitação deverá ser a mais pequena possível, pois geralmente estamos a tentar encontrar uma aproximação linear em torno de um ponto de funcionamento de um sistema que é não linear. No entanto, essa amplitude deverá também ser suficientemente elevada de modo a que a rela-ção sinal/ruído à saída do sistema seja conveniente, ou seja, que se consiga distin-guir perfeitamente a resposta ao sinal de excitação de eventuais ruídos existentes.
Finalmente, após a fase de aquisição de dados é necessário prepará-los para fazer o treino dos modelos. Um aspecto a ter em consideração prende-se com o facto dos dados experimentais de um processo real estarem contaminados por ruído. Ge-ralmente, os parâmetros do modelo são calculados com o pressuposto de que aos dados está associado ruído branco, o que nem sempre é verdade. Como a quali-dade dos dados afecta o desempenho do estimador dos parâmetros do modelo, é fundamental caracterizar estatisticamente os dados e o erro associado ao modelo. Além disso, deverá fazer-se um pré-processamento dos dados de modo a reduzir os efeitos negativos que as perturbações de alta frequência ou os dados inconsis-tentes (devido a avaria momentânea num sensor), tenham sobre a qualidade da estimação dos parâmetros do modelo e da validação do mesmo. Os filtros passa-baixo usados sobre os dados de E/S devem ser escolhidos por forma a remover o ruído de medida de alta frequência sem alterar a informação real da dinâmica do sistema. Em resumo, o pré-processamento dos dados refere-se a um conjunto de operações que podem ser executadas sobre os dados adquiridos, de forma a melho-rar os resultados obtidos com a aplicação de algoritmos para a obtenção do modelo do sistema.
1.3. Identificação de sistemas
Os dados devem ser divididos em dois grupos, dados de treino e dados de teste. Os dados de treino, também designados como dados de identificação, são utilizados para o treino dos modelos e os dados de teste, também designados como dados de validação, são utilizados na fase de validação e verificação da capacidade de generalização e inovação dos modelos. É suposto que estes dois grupos de sinais sejam semelhantes, isto é, tenham formas e gamas de variação idênticas.
1.3.2
Determinação da ordem do modelo
np
No¯ de parâmetros Ordem do modelo
Variância Viés
Figura 1.7: Estimação da ordem do modelo.
A obtenção de um bom modelo depende da escolha adequada da ordem do mesmo, que idealmente deve ser igual à do sistema. Como na maior parte das situações esse conhecimento não existe, foi necessário desenvolver métodos que permitam testar a adaptação do mesmo ao sistema. Depois de escolhido o tipo de modelo, é essencial determinar a sua ordem, ou seja, determinar qual a ordem das equa-ções necessária para caracterizar o sistema com determinado grau de exactidão ou encontrar um ponto de equilíbrio entre a facilidade de estabelecer o modelo e a sua exactidão. Um modelo sub-parametrizado possui menos parâmetros do que os necessários para representar a dinâmica do sistema sendo incapaz de descrevê-la adequadamente. Já um modelo sobre-parametrizado é um modelo desnecessari-amente complexo, acabando por descrever mais do que a dinâmica do sistema e passando a descrever também a realização específica do ruído que incidiu sobre o sistema durante o ensaio. Este fenómeno ocorre, por exemplo, devido ao facto do número de graus de liberdade do modelo, isto é, o número de parâmetros a ajustar, ser superior ao número de amostras. Para resolver este problema, pode determinar-se a localização dos pólos e zeros e averiguar sobre a existência de pa-res de singularidades próximas, indicador de que a ordem do modelo deve ser re-duzida. O modelo ideal situa-se na fronteira entre um modelo sub-parametrizado
e um modelo sobre-parametrizado.
A obtenção de valores elevados para o desvio padrão dos parâmetros pode também constituir um indicador de que a ordem do modelo é elevada. Esta situação tam-bém ocorre quando não existe informação persistente nos dados. O objectivo dos testes da ordem do modelo é determinar o menor número de parâmetros neces-sário à descrição do sistema. Estes testes consistem em processos iterativos, nos quais se comparam modelos com ordens diferentes, testando-se se vale a pena ou não aumentar o número de parâmetros. Existe uma grande variedade de testes da ordem do modelo, alguns nem sempre quantificáveis em termos estatísticos. Em todos os testes há uma probabilidade de erro e, por isso, é aconselhável utilizar diferentes testes sobre o mesmo conjunto de dados. Por outro lado, o resultado da estimativa dos parâmetros pode dar um excelente resultado mas apenas para o conjunto de dados utilizado no cálculo dessa mesma estimativa. Para avaliar a qualidade do modelo obtido é conveniente repetir os testes com os dados de valida-ção [1]. Para decidir sobre a adequavalida-ção do modelo, pode recorrer-se aos critérios de avaliação descritos na Subsecção 4.4. Eles atribuem um índice de desempenho ao modelo, penalizando por um lado o mau ajuste aos dados e por outro o excesso de parâmetros. O modelo ideal será aquele com o menor valor do critério de avaliação utilizado de entre todos os modelos candidatos.
1.4
Abordagens da IS contínuos
Existem duas abordagens distintas para identificar um sistema contínuo (Ct) Os métodos indirectos que dividem o problema da identificação de um mo-delo contínuo em duas etapas: (i) Estimação de um momo-delo discreto a partir dos dados experimentais. (ii) Conversão do modelo discreto estimado num modelo contínuo equivalente.
Os métodos directos que consistem em algoritmos de estimação dos parâme-tros de um modelo contínuo a partir de dados experimentais.
Uma das vantagens da abordagem indirecta é a decomposição do problema inicial em dois problemas simples. Esta divisão conceptual é vantajosa por duas razões. A primeira deve-se ao facto de as técnicas de IS de sistemas discretos estarem já muito bem estudadas e popularizadas; a segunda reside no facto de os dados de E/S estarem usualmente disponíveis sobre a forma de um conjunto discreto de si-nais. Relativamente aos inconvenientes desta abordagem, a primeira dificuldade resulta do facto de a precisão dos resultados ser fortemente dependente da escolha do período de amostragem. A segunda dificuldade reside na conversão dos
parâ-1.4. Abordagens da IS contínuos ZN = {u(tk); y(tk)} Dados de E/S Gd(z,Θd) = Y (z) U(z) Filtro Conversão de z para s Gc(s,Θc) = Y (s) U(s)
Método indirecto Método directo
Tsadequado
Figura 1.8: Identificação indirecta e directa de sistemas contínuos.
metros do modelo discreto para os do modelo contínuo. O período de amostragem é ainda determinante na recuperação do modelo contínuo a partir da estimação dos parâmetros discretos [47]. Primeiro de tudo, essa frequência de amostragem terá de ser constante, o que nem sempre acontece nos sistemas dinâmicos. Os parâmetros do modelo discreto são funções que dependem do intervalo de amos-tragem e, como tal, tendem a ser diferentes para cada intervalo [45]. Ao contrário, os parâmetros do modelo contínuo mantém-se constantes, pois não dependem do tempo de amostragem. Este facto traduz-se em diferenças no padrão dos erros, pois um pequeno erro de modelação pode levar a um grande erro na estimação dos parâmetros. Este problema torna-se premente ao tentar identificar parâmetros perto do ponto 1+0 j (fora do círculo unitário no plano z), caso em que um pequeno erro de modelação pode levar à estimação de um parâmetro inaceitável.
A sensibilidade numérica de um modelo discreto aumenta quando o intervalo de amostragem se torna demasiado pequeno quando comparado com as constantes de tempo de um sistema. Por exemplo, pode acontecer que os pólos e zeros se con-centrem em torno do ponto −1+0 j [45]. Isto faz com que existam pólos e zeros que, por se cancelarem mutuamente, não possam ser estimados, fazendo com que uma parte da dinâmica do sistema não seja representada e por sua vez possa ocorrer sobreposição do espectro (designado de aliasing), tendo como consequência não ser possível recuperar o sinal original. Tais situações requerem especial cuidado no tratamento do erro de truncatura. O cancelamento de pólos e zeros pode ainda levar à perda de propriedades de controlabilidade ou observabilidade [46]. Torna-se ainda muito difícil identificar sistemas que tenham simultaneamente modos
dinâmicos lentos e rápidos, pois tais sistemas exigem frequências de amostragem elevadas que empurram os pólos/zeros mais lentos para o ponto −1 + 0 j.
Ts −1 1 Amostras Amplitude Amostragem do sinal ZOH Sinal Amostra
Figura 1.9: Amostragem do sinal com o interpolador ZOH.
Nos métodos directos, a determinação dos parâmetros do modelo contínuo é feita a partir do processamento de sinais de E/S, sem a necessidade de identificar um modelo discreto. Nestes métodos, os dados são previamente filtrados através da frequência de amostragem do sistema, o que faz com que se torne mais eficiente estimar os parâmetros do modelo do sistema. A ideia principal associada a esta abordagem é os parâmetros serem estimados pelo processamento das equações originais através da utilização de filtros ou outros operadores diferenciais line-ares (descritos por aproximações em tempo discreto). Após os sinais de E/S do sistema serem processados por esses filtros, o segundo passo consiste em estimar os parâmetros desconhecidos e relacioná-los com os coeficientes originais da equa-ção diferencial do sistema.
Existem vários métodos directos de IS contínuos, em que as principais diferenças residem na forma de implementação dos filtros, tais como a utilização de inte-gradores, filtros passa-baixo ou funções de Laguerre [107]. Uma outra possível abordagem à IS contínuos é calcular as derivadas contínuas através de métodos numéricos com diferenças discretas de ordem elevada. Obviamente que este úl-timo tipo de método depende muito da habilidade numérica da pessoa que esteja a implementá-los, pois a sensibilidade numérica dos métodos tem de ser mantida dentro de determinados limites.
Em síntese, justifica-se a necessidade de estudar nesta dissertação métodos de IS contínuos uma vez que os parâmetros estimados por estes estão directamente liga-dos com os parâmetros físicos do sistema ao passo que nos discretos são afectaliga-dos pelo tempo de amostragem nos dados usados na identificação.
1.5. Principais objectivos
1.5
Principais objectivos
Tendo como base as ideias formuladas anteriormente, os principais objectivos deste trabalho são
Familiarizar com conceitos fundamentais sobre identificação de sistemas contínuos usando modelos E/S.
Estimar os parâmetros de modelos que descrevam o sistema através das técnicas dos MQ, variáveis instrumentais (VI) e mínimos quadrados totais (TLS) em tempo discreto.
Estimar os parâmetros de modelos através dos MQ e variáveis instrumen-tais em tempo contínuo.
Distinguir e comparar as duas diferentes abordagens de IS contínuos atrás mencionadas.
Identificar alguns sistemas utilizando os métodos implementados. Discutir os resultados e validar os métodos implementados.
1.6
Metodologia adoptada
Uma abordagem geral de identificação, devida sobretudo a Ljung em [31], é a minimização do critério quadrático do erro de previsão. O erro de previsão é a diferença entre o valor real no instante t e a sua previsão para o instante passado t − 1, matematicamente ξ(t) = y(t) − ˆy(t − 1). Estimadores deste tipo têm propri-edades estatísticas muito boas e, no caso das perturbações serem variáveis alea-tórias gaussianas, são assimptoticamente óptimos, na medida em que não existe nenhum outro com menor erro médio quadrático. A desvantagem deste tipo de estimadores reside no facto de, na maioria das vezes, o erro não ser uma função linear dos parâmetros o que implica a existência de vários mínimos locais. Por este motivo, muitas vezes o erro de previsão é substituído por um erro linear nos parâmetros e as estimativas dos parâmetros são obtidas por um simples estima-dor de MQ. Embora não sejam tão exactas, estas estimativas são frequentemente suficientes para se atingirem os objectivos que se tem em vista. Quando não são suficientes, podem servir de valores iniciais para os algoritmos de optimização da minimização do erro de previsão (PEM, Prediction Error Minimization). A maio-ria dos erros de modelação vão originar interferência com o modelo de saída, que cria um erro aleatório designado de ruído branco, que é removido através da com-binação de técnicas de filtragem estabelecidas nos dados de E/S do sistema.
Na primeira parte da dissertação, estamos interessados em sistemas discretos no tempo, usualmente obtidos por amostragem de sistemas contínuos e cuja relação entre os dados de E/S seja linear, ou aproximadamente linear, e contenha uma componente aleatória a que chamamos perturbação ou ruído. Por este motivo o comportamento do sistema deve também ser investigado sob o ponto de vista es-tatístico usando critérios ou funções de erro que avaliam a minimização do erro de previsãoξ(t) descritos na Secção 4.4. Os modelos que vamos estimar consistem em equações às diferenças a partir das quais se podem obter facilmente funções de transferência (FT), sendo estes últimos designados como modelos de E/S. As técnicas mais usuais para a resolução deste problema baseiam-se no princípio da aproximação dos MQ e nas variáveis instrumentais que serão abordadas nos Ca-pítulos 4 e 5, respectivamente.
Na segunda parte desta dissertação, são estimados os parâmetros de um modelo contínuo utilizando o mesmo tipo de métodos. O desempenho dos métodos im-plementados foi comparado com os métodos equivalentes das toolboxes de IS do Matlab, nomeadamente a System Identification Toolbox para sistemas discretos e o Contsid (Continuous-Time System Identification) para sistemas contínuos, de-senvolvidas por Ljung e Garnier respectivamente [19, 31].
Optou-se por explicar primeiro os métodos de IS no discreto, por serem mais popu-lares e para ter uma noção dos principais conceitos teórico-práticos envolvidos na identificação de sistemas, e posteriormente fazer a sua extensão para os métodos contínuos.
1.7
Estrutura da dissertação
Esta dissertação encontra-se estruturada em sete Capítulos e dois Apêndices.
O Capítulo 1 descreveu a motivação para a realização deste trabalho, os objecti-vos bem como a estrutura da dissertação. Neste capítulo foi também efectuado um extenso levantamento bibliográfico sobre as várias abordagens de identifica-ção de sistemas dinâmicos, os seus conceitos fundamentais, as principais famílias de modelos polinomiais usadas na identificação, o conjunto de procedimentos que é necessário realizar na identificação de um dado sistema e descreve, em particu-lar, as características do sinal de entrada, designadamente, os requisitos para que o sinal que estimula o sistema seja de excitação persistente, uma abordagem sobre os principais métodos de determinação dos parâmetros e as principais técnicas de validação de modelos, de modo a garantir uma melhor contextualização e
compre-1.7. Estrutura da dissertação
ensão ao longo desta dissertação. Justifica ainda a necessidade de usar/estudar métodos de IS contínuos.
O Capítulo 2 revê alguns conceitos de Álgebra Linear, tendo em vista a resolução numérica robusta de sistemas lineares.
O Capítulo 3 revê os vários tipos de modelos polinomiais que podem ser usados na IS.
O Capítulo 4 descreve o método dos MQ e revê algumas das propriedades estatís-ticas do seu estimador. O seu uso na IS é exemplificado através de um exemplo ARX.
O Capítulo 5 aborda os métodos das VI e dos erros nas variáveis, que é resolvido através do algoritmo dos mínimos quadrados totais (TLS, Total Least Squares). O primeiro é usado quando o ruído de saída é colorido, enquanto que o segundo é utilizado quando existem erros em ambas as variáveis de E/S do sistema.
O Capítulo 6 descreve sobre a IS contínuos usando os métodos LSSVF (Least Squares State Variable Filter method) e SRIVC (Simple Refined Instrumental Va-riable method for Continuous-time systems), sendo este último usado quando o erro de equação no sistema não é branco.
Este estudo conclui com o Capítulo 7 onde estão apresentadas as principais con-tribuições desta tese e retiradas algumas conclusões sobre o trabalho realizado, apontando algumas perspectivas de trabalho futuro, no sentido de ser dada uma resposta a algumas das questões que ficaram por responder.
A tese tem ainda um apêndice que contém o código em Matlab da implementação dos métodos descritos nos diferentes capítulos.
Para facilitar a leitura da presente dissertação, são fornecidas listas de figuras e tabelas, bem como dos símbolos e dos acrónimos utilizados, para além da lista com as referências bibliográficas, apresentada no fim da dissertação.
2
Conceitos de Álgebra
Linear Numérica
Neste capítulo serão vistos alguns tópicos de álgebra linear numérica, em particu-lar as normas vectoriais e matriciais, o condicionamento de matrizes e a solução numérica do sistema Y =ΦΘusando as decomposições QR e SVD.
2.1
Normas vectoriais e matriciais
Considerando o espaço vectorial Rnp, seja u = [u
1,. . . , unp]
T ∈ Rnp, u
i ∈ R e i =
1,. . . , np. Chamamos norma de um vector u ∈ Rnp a uma aplicação k · k:Rnp→ R+0,
tal que
kuk = kuTk, ∀u ∈ Rnp.
kuk = 0 ⇔ u = 0.
kuk ≥ 0, ∀u ∈ Rnp (positividade).
kαuk = |α|kuk, ∀α ∈ R e ∀u ∈ Rnp (homogeneidade positiva).
ku + vk ≤ kuk + kvk, ∀u, v ∈ Rnp (desigualdade triangular).
Alguns exemplos de normas vectoriais são kuk1= |u1| + · · · + |unp| =
np
P
i=1|ui|, norma 1 (ou norma absoluta).
kuk2= q u2 1+ · · · + u 2 np= s np P i=1 u2 i = p
u · uT=p〈u, u〉, norma 2 (ou norma
eu-clideana).
kuk∞= max
i=1,...,np
2.2. Discussão do sistema Y =ΦΘ
O operador 〈.,.〉 representa o produto interno entre dois vectores.
Considerando MN×np(R) o conjunto das matrizes de dimensão N × np, chamamos
norma de uma matrizΦ∈ MN×np(R) a uma aplicação k·k:MN×np(R) → R+0, tal que
kΦk = kΦTk, ∀Φ∈ MN×np(R). kΦk = 0 ⇔Φ= 0. kΦk ≥ 0, ∀Φ∈ MN×np(R). kαΦk = |α|kΦk, ∀α ∈ R e ∀Φ∈ MN×np(R). kΦ+Ψk ≤ kΦk + kΨk, ∀Φ,Ψ∈ MN×np(R). kΦΨk ≤ kΦkkΨk, ∀Φ,Ψ∈ MN×np(R).
Ao considerar as normas de matrizes induzidas pelas normas vectoriais (ou nor-mas naturais), a norma continua a medir a magnitude, agora de matrizes, sendo definida como kΦkp= max Θ∈Rn p\{0} kΦΘkp kΘkp = maxkΘkp=1 kΦΘkp, p = 1,2,∞. (2.1)
Alguns exemplos de normas matriciais induzidas são kΦk1= max kΘk1=1 kΦΘk1= max 1≤ j≤np N P i=1|φi j|. kΦk2= max kΘk2=1 kΦΘk2. kΦk∞= max kΘk∞=1 kΦΘk∞= max 1≤i≤N np P j=1|φi j|.
Adicionalmente, definimos ainda a norma de Frobenius como
kΦkF= v u u t N X i=1 np X j=1 φ2 i j= q tr¡ ΦΦT¢, (2.2)
2.2
Discussão do sistema Y
=
ΦΘ
Consideremos o seguinte sistema φ(11)θ1+ φ(12)θ2+ · · · + φ(1np)θnp= y(1) φ(21)θ1+ φ(22)θ2+ · · · + φ(2np)θnp= y(2) .. . φ(N1)θ1+ φ(N2)θ2+ · · · + φ(Nnp)θnp= y(N), (2.3)
onde N é o número de equações e npo número de incógnitas, Y = [y(1), y(2),..., y(N)]T
é o vector dos termos independentes. Este sistema pode ser escrito na forma ma-tricial ΦΘ= Y ⇔ φ(11) φ(12) ··· φ(1np) φ(21) φ(22) ··· φ(2np) .. . ... . .. ... φ(N1) φ(N2) ··· φ(Nnp) θ1 θ2 .. . θnp = y(1) y(2) .. . y(N) , (2.4)
em que a matriz Φ∈ RN×np é formada pelos elementos φ
i j ∈ R, i = 1, . . . , N e
j = 1,..., np e chama-se matriz dos coeficientes do sistema. A solução do sistema
(2.4) consiste na determinação do vectorΘ= [θ1,θ2,. . . ,θnp]
T que verifica
simulta-neamente as N equações. Φ N np dados Θ np 1 parâmetros = N Y 1 saída
Figura 2.1: Sistema linear Y =ΦΘ.
A determinação da solução de um sistema de equações lineares pode colocar ques-tões inesperadas, como por exemplo certas escolhas dos coeficientes que podem levar a problemas mal condicionados, ou seja, quando pequenos erros nos dados geram grandes erros nos resultados. Outra dificuldade é a existência de sistemas de grande dimensão, resultantes de aplicações, como por exemplo de sistemas de
