DISPOSITIVOS ELECTRÓNICOS. Problemas Resolvidos

DISPOSITIVOS ELECTRÓNICOS

Cap. 1 1

Problema SH1

Considerar uma resistência de germânio de tipo n com 1 mm2 de secção e 1 cm de comprimento que a 300 K apresenta uma resistência de 100 Ω.

a) Calcular o valor da densidade de impurezas, supondo que estas se encontram todas ionizadas.

b) Supondo que o ritmo de geração de pares electrão-buraco passa para o dobro, calcular os novos valores de equilíbrio das densidades e o novo valor da resistência.

c) Partindo da situação b), se o ritmo de geração passar instantaneamente para o seu valor em a), ao fim de quanto tempo a evolução da densidade de buracos difere menos de 1% do novo valor estacionário.

Dados Ge(300K) n_i =2, 4 10× 19m −3 2 1 1 0, 2 − − µ =p m V s 2 1 1 0, 4 − − µ =_n m V s 0, 66 = G W eV 10 τ =_p µs

Resolução

2 1 1 1 100 10 − − = = ⇒ σ = Ω σ R m A

a) Da expressão da condutividade de um semicondutor:

(

0 0

)

σ =q p µ + µp n n

e da expressão que relaciona as concentrações de electrões e de buracos em equilíbrio termodinâmico:

2 0 0= i

obtém-se: 21 3 0 17 3 0 1,56 10 3, 68 10 − − = × = × n m p m

O semicondutor é fortemente extrínseco do tipo n

(

n₀≅N_D+ e N_D+2>>4n_i2

)

, pelo que

21 3

0 1,56 10

−

= = ×

D

N n m , admitindo que todas as impurezas se encontram ionizadas.

b) Numa nova situação estacionária tem-se n p₀′ ′₀=G r sendo G' o novo ritmo de geração de ′

pares electrão-buraco. Admitindo que r não variou (o que não é inteiramente verdade se houver alteração da temperatura), tem-se:

2 2 + = = + i D np n n p N

com N_D+ =1,56 10× 21m−3, admitindo que não houve alteração da ionização de impurezas. Obtém-se:

21 3

1,56 10 −

≅ ×

n m e p≅7,36 10× 17 m −3

Uma vez que o semicondutor permanece fortemente extrínseco do tipo n, a condutividade

(

σ = µ + µqn _n qp _p

)

praticamente não varia, o mesmo sucedendo com a resistência

(

R= σ1 A

)

.

Nota: Se o ritmo G variou por alteração da temperatura é possível determinar, admitindo

como aproximação que r se mantém, qual a nova temperatura.

2 0 0 = = i n n p G r e 3 2' 2' 2' 2 0 0 2 2 exp i G i i i i G n T W T n p n n n r n T kTT ′ ⎛ ⎞′ ⎛ ∆ ⎞ ′ ′ = = ⇒ = ⇒ _{= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟} ′ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ sendo ∆ = −T T′ T e T =300k.

A condutividade do material será dada por σ =′ q n

(

′ ′µ + µ_n p′ ′_p

)

sendo:

2 2 21 3 2 1,56 10 − ′ ′= = ′ ′= ′+ × i i n p n n n p m cuja solução é n≅n₀=1,56 10× 21 m e −3 p≅2p₀=7,36 10× 17 m−3.

Cap. 1 3

′

µ_n e ′µ_p em ′σ representam as mobilidades à nova temperatura T′. Podem ser determinadas se se conhecer a lei de variação µ(T). A nova resistência é então obtida de

( )

1 ′= σ′

R A . Como o semicondutor se mantém fortemente extrínseco à nova temperatura verifica-se a seguinte relação:

′₌ σ ₌µ′ ′ σ µn_n R R c) Da equação da continuidade: 0 ( )− = − = − τp dp p t p G R dt obtém-se:

(

)

0 0 ( )= + − exp⎛⎜_⎜− ⎞⎟_⎟ τ ⎝ ⎠ in p t p t p p p

sendo p é a concentração de buracos calculada em a) e ₀ p a concentração de buracos _in

calculada em b) (ver Figura).

t

τ

p p pin

p0

O valor de t pedido, designado por τ, é dado pela solução da equação da continuidade quando:

(

)

(

)

0 0 0 0, 01 ( ) 0, 01 0, 01 exp ln ln 0, 005 5,3 ⎛ τ ⎞ ⎛ ⎞ τ − = ⇒ = − ⎜_⎜− ⎟_⎟⇒ τ = −τ _{⎜ ⎟}⇒ τ _⎝ − _⎠ ⎝ ⎠ ⇒ τ = −τ ≅ µ in p p in p p p p p p p p p p s

Problema SH2

Considerar uma resistência de germânio com 3 cm de comprimento e 1 mm2 de secção que a 300 K apresenta o valor de 1000 Ω.

a) Calcular o valor das densidades de portadores a 300 K supondo que se trata de um cristal do tipo n.

b) Determinar a que temperatura a resistência apresenta o valor de 40 Ω, supondo que a variação das densidades com a temperatura é apenas devida a factores exponenciais e que a variação das mobilidades é desprezável.

c) Supondo que num dos terminais da resistência se estabelece um excesso de portadores a que corresponde um fluxo de difusão de buracos com um ritmo, junto a essa superfície, de

20 2 1

2 10× m s , determinar o valor desse fluxo a 0,1 mm da superfície. Supor todo o − −

cristal a 300K. Dados: Ge(300K) n_i=2, 4 10× 19 m−3 µ =_p 0,15m V s 2 − −1 1 2 1 1 0,3 − − µ =_n m V s W_G=0, 66eV τ =_p 10µs

Resolução

A partir da expressão da resistência calcula-se o valor da condutividade.

1 1 1000 30 − − = = ⇒ σ = Ω σ l R m A a) De:

(

0 0

)

2 0 0 σ = µ + µ = p n i q p n n p n

Cap. 1 5 20 3 1 17 3 1 6,3 10 9, 2 10 − − = × = × n m p m 17 3 2 21 3 2 4, 6 10 1,3 10 − − = × = × n m p m

Como se trata de um cristal do tipo n, opta-se pela solução n₁, p₁

b) Sendo R′ a resistência apresentada pelo semicondutor à temperatura T′, tem-se: 25 ′ ′µ + µ′ ′ ′ σ = = = ′ σ µ + µ p n p n p n R R p n

Num semicondutor fortemente extrínseco as maiorias são aproximadamente dadas pela concentração de impurezas ionizadas, e estas não se alteram com o aumento da temperatura a partir de 300 K, desde que se admita que a esta temperatura já se encontram todas ionizadas. Atendendo a que a resistência passou para um valor 25 vezes menor e as mobilidades não variaram, a concentração das maiorias foi alterada. Deste modo o resultado só é possível se a subida de temperatura transformou o semicondutor de fortemente extrínseco à temperatura T para um semicondutor com comportamento praticamente intrínseco à temperatura ′T . Sendo assim:

′≅ ′≅ ′i n p n Nessas condições:

(

)

_{25 1, 04 10}22 −3 ′ µ + µ ′ = = ⇒ = × ′ µ + µ i n p i p n n R n m R p n

O resultado confirma o facto de se ter admitido um comportamento intrínseco para o material à temperatura T′. Com efeito ′n_i >>N . Atendendo à lei de variação da _D

concentração intrínseca com a temperatura:

exp 2 ′_≅ ⎛ ∆ ⎞ ⎜ _′⎟ ⎝ ⎠ i G i n W T n kTT obtém-se T′ =575 K , sendo ∆ = −T T′ T .

c) A variação da concentração das minorias ao longo do cristal em regime estacionário é dada pela equação da continuidade onde se desprezou o termo devido à condução:

2 0 2 0 − − = τ p p d p p p D dx

(

)

0 1 0 ( )= + − exp⎛⎜_⎜− ⎞⎟_⎟ ⎝ p⎠ x p x p p p L

onde p representa o valor de p para ₁ x=0; p é o valor de equilíbrio termodinâmico da ₀

concentração de buracos, L_p=

(

D_{p p}τ

)

1/ 2 é o comprimento de difusão de buracos e

= µ

p T p

D u é o coeficiente de difusão de buracos.

x p p1 p0 Lp Obtém-se assim:

(

)

(

)

4 4 0 1 0 1 0 10 10 ( ) − exp 0, 6 − = ⎛ ⎞ − = + − ⎜_⎜− ⎟_⎟≅ − ⎝ ⎠ x p p x p p p p p L

Por outro lado, o fluxo de partículas é dado por:

[

]

0 0 1 0 ( ) ( )= − = ( )− = (0)⎡_⎢ − ⎤_⎥ − ⎣ ⎦ p p p p p D dp p x p C x D p x p C dx L p p

Atendendo a que C_p(0)= ×2 1020m s , obtém-se: −2 −1

4 20 2 1 10 ( ) ₌ − =0,6 (0) 1, 2 10= × − − p x p C x C m s