Análise de Aerofólios Gerados pela Transformação Generalizada de
Joukowski
Patrícia F. Doern de Almeida a , Rubén Panta Pazos b Mestrado em Sistemas e Processos Industriais – PPGSPSI,
96815-900, Av. Independência, 2293, Santa Cruz do Sul, RS a. e-mail: patriciaa@mx2.unisc.br
b. e-mail: rpp@impa.br
1. Introdução
As soluções exatas para problemas com valores de contorno em regiões simples, tais como círculos, quadrados, anéis, podem ser determinadas de forma relativamente fácil, ainda se as condições na fronteira tiverem algum grau de complexidade.
Para as mencionadas regiões conhecem-se bem as correspondentes funções de Green. Mas quando a região possui uma estrutura de maior complexidade, a solução do problema de valores de contorno pode atingir níveis de muita dificuldade, mesmo para um problema simples como o problema de Dirichlet. Uma forma de resolver estes problemas bem mais complexos é empregar os métodos da transformação conforme. Isto significa não só trabalhar em outra região com as condições associadas de contorno, senão mexer nas equações governantes. Por isso a transformação conforme de regiões multiplamente conexas tem severas limitações. Tais situações podem ser superadas mediante os métodos da chamada transformação conforme computacional.
Sejam D e G duas regiões de C 1. Uma transformação f : D → G: é conforme quando é
bijetora e analítica. Como conseqüência, em uma transformação conforme se preserva ângulos entre as curvas.
Figura 1. Transformação Conforme aplicado a f(z) = z ²
A transformação mais antiga foi a projeção estereográfica, empregada por Cláudio Ptolomeo (aproximadamente 150 DC), visando representar a esfera celestial.
1 C representa o conjunto de todos os números complexos.
Figura 2. Considerando o ponto (N, pólo norte), gera-se um segmento de reta com um ponto da superfície esférica. O ponto P sobre o plano equatorial representa o ponto vermelho do hemisfério sul. Igual construção adota-se ao considerar S (pólo sul) como pivô. O ponto Q sobre o plano equatorial é o associado ao ponto vermelho sobre o hemisfério norte.
Depois, com um enfoque diferente, Gerhardus Mercator projetou a esfera terrestre, após cortá-la com um meridiano, numa faixa do plano. Mercator, nome latinizado do geógrafo holandês Gerhard Kremer, publicou o primeiro mapa mundial em 1569 usando essa projeção.
Figura 3. Projeção de Mercator: Uma esfera é cortada ao longo de um meridiano para depois ser projetada num plano como revela a figura da esquerda.
Existem aplicações da transformação conforme em diversas áreas da ciência e técnica.
É visto que a cada dia são utilizadas novas técnicas, experimentos, inovações que envolvem a matemática. As soluções exatas de problemas de valores na fronteira para regiões simples, tais como círculos, quadrados e anéis, podem ser determinadas com relativa simplicidade incluindo o caso de condições de fronteira de maior complexidade. A transformação conforme representa uma técnica para resolver problemas com domínios mais complexos que tem sido aplicada com sucesso em diversas áreas da engenharia, tais como aerodinâmica,
N
S P
hidrodinâmica, dinâmica dos fluidos ou equações diferenciais parciais. A função empregada é
( )
z z z f = +1 , a soma da identidade com a inversa multiplicativa. Assim, para a circunferência unitária centrada na origem definida como o conjunto dos pontos da forma z=eiθ, com0 < θ < 2π , tem-se f
( )
z =eiθ +e−iθ= 2 cos(θ)= 2 Re( eiθ). A circunferência unitária transforma-se
num segmento no eixo real do plano complexo.
Figura 4. Transformação do círculo unitário num segmento mediante a função ( )
z z z f = +1.
Suponha-se que o círculo unitário experimente uma pequena dilatação e um deslocamento do centro ao longo do eixo real. Define-se então a função: p(δ, t) = - δ + (1 + δ) eit.
Um dos aspectos de alto conteúdo prático na teoria da transformação conforme foi o desenvolvimento da teoria de aerofólios usando uma função de variável complexa, iniciada por Joukowski (1890). Aplica-se à circunferência cujo centro é deslocado da origem do plano complexo.
O gráfico no plano complexo é uma circunferência cujo centro é deslocado δ unidades
a esquerda sobre o eixo real e com raio 1 + δ. O
conjunto transformado com a função de Joukoswski é o aerofólio mostrado na figura 5 2.
Figura 5. Transformação do círculo unitário deslocado e dilatado apropriadamente no aerofólio.
Deslocando o círculo unitário δ unidades a direita sobre o eixo real e β unidades para cima sobre o eixo real com raio 1 + δ, resultante o aerofólio da figura 6.
Figura 6. Transformação de Joukowski – Círculo unitário deslocado da origem.
Aplicando a transformação de Joukowski nos modelos matemáticos de aerofólios sobre um cilindro (ou circulo no caso bidimensional), os engenheiros aeronáuticos estabelecem previsões das forças de sustentação e arrasto nas asas de um avião cujas seções transversais possuem certas formas de aerofólios. Empregando sistemas de computação algébrica, tais como Maple ou
MatLab podem criar-se e explorar-se diversos
modelos de aerofólios e incluso “obtendo curvas interessantes do ponto de vista estético e podendo chegar a ter um comportamento aparentemente caótico”, segundo Olive (2002).
2. Transformação Generalizada de Joukowski
A Transformação Conforme de Joukowski pode ser generalizada. Para isso se acrescentam inversões de maior ordem, termos do tipo cj / z j . A Transformação Generalizada de Joukowski 1 se escreve:
( )
= + = max 1 , n k k k z a z z a J (1)sendo a = [a1, a2, a3, ..., an], e se aplica ao círculo cujo centro está deslocado da origem.
Figura 7. Aerofólios gerados pela Transformação Generalizada de Joukowski.
Com o propósito de realizar uma análise em relação aos aerofólios gerados pela Transformação Generalizada de Joukowski até a segunda ordem de inversão, se procede da seguinte forma:
Procura dos pontos singulares, para evitá-los;
Decomposição de J
(
[
a1,a2]
,z)
numa seqüência de transformações conformes elementares.Análise dos coeficientes das inversões de primeira e segunda ordem;
Análise de fluxos em torno ao aerofólio. Condições de tipo aerodinâmico. Ensaios experimentais em túnel de vento.
2.1. Busca dos pontos singulares
Primeiro se procura as raízes da derivada (isto é, os pontos singulares) de cada função. Foram trabalhados em forma particular dois casos: o primeiro tendo o círculo do domínio fixo e o segundo tendo o aerofólio fixo.
Como a transformação conforme deve ser analítica 2 e bijetora, devemos analisar a derivada da função. Se J’ (z0) = 0, deixa de ser bijetora,
logo deixa de ser uma transformação conforme. Em particular na transformação generalizada de Joukowski com inversão até segunda ordem, para encontrar os pontos singulares a derivada é:
[
]
(
)
32 2 1 2 1 2 1 , , z a z a z a a J dz d = − − (2)E para encontrar as raízes da derivada deve-se resolver a equação cúbica seguinte:
0 2 2 1
3−a z− a =
z (3)
Para análise das raízes da derivada existem diversos enfoques, um clássico elementar onde se utiliza a chamada fórmula de Cardano, que serve para encontrar uma raiz de uma equação cúbica. Cardano foi pioneiro em chamar números complexos, mas Bombelli teve o engenho de estabelecer regras para operar com esses números, contribuindo em forma decisiva para o desenvolvimento. Veja a seguir a fórmula de Cardano visando encontrar uma raiz da equação
. 0 3+pz+q= z : 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 2+ + + − − + − = q q p q q p z (4)
Uma das raízes z0 de (3) é obtida usando a equação (5). As outras raízes são obtidas dividindo o polinômio cúbico z3+pz+q=0
2 Uma função analítica num ponto x0 é uma função cujas derivadas de qualquer ordem existem nesse ponto.
por (z – z0), que resulta em um polinômio de 2º
grau, tornando a resolução possível pela fórmula de Bháskara.
Outro método é o de Newton-Raphson, que gera uma seqüência a partir de um valor inicial z0, na vizinhança da raiz. A fórmula iterativa é
) , (' ) ( 1 z z g z g z z j j j j+ = − (5)
Exemplo 2.1.Tome-se como exemplo o caso elementar
de
(
[ ]
)
z z z
J 1,0, = +1. Sua derivada resulta 1 12
z − , cujas raízes são 1 e – 1. Na figura 8 aparecem o aerofólio de Joukowski e os respectivos pontos singulares da transformação de Joukowski.
Figura 8 – Raízes da transformação de Joukowski Exemplo 2.2. Se agora se considera a = [ 1, – 0 .47], a
transformação adota a forma
[
]
(
1, 0.47 ,)
1 0.472 z z z z J − = + − (6)Cuja derivada resulta 1 12 0.943
z z − − , e seus pontos singulares são: -1.310459988 − 0.6552299940 0.5366367814I + 0.6552299940 0.5366367814I
Na Fig.9 pode-se visualizar o aerofólio gerado, além da localização das raízes no plano complexo
Figura 9 – Raízes da transformação generalizada de Joukowski
2.2. Decomposição de
J
(
[
a
1,
a
2]
,
z
)
A fórmula da transformação generalizada de Joukowski sob consideração é com inversão até 2ª ordem, é uma Série de Laurent truncada,2 2 1 ) ( z a z a z z
um tipo de frações contínuas de z, da seguinte maneira:
[
]
(
)
2 1 2 2 2 1 2 1 2 1, , a z a a a z a a z z a a J + + − + = (7)A equação 8 será analisada passo a passo. Estágio 1: 2 1 2 2 a z a a + : Transformação de Moebius Estágio 2: 2 1 2 2 2 1 a z a a a z a + + − : Combinação de
uma Transformação de Moebius e outra Linear.
Figura 10. Esquema demonstrando transformações ocorridas com centro deslocado da origem.
Na figura 10, podem ser visualizadas as transformações que ocorrem na circunferência unitária inicial com centro deslocado da origem (representada pela cor vermelha) até se transformar em um aerofólio mediante transformação generalizada de Joukowski. A primeira transformação é uma Transformação de Moebius Elíptica, apresenta um círculo azul. A segunda transformação é uma combinação de uma Moebius e outra linear, gerando uma figura semelhante a um aerofólio (tipo gota), porém mais dilatado, visto na cor verde. E finalmente a transformação generalizada de Joukowski, que representa um aerofólio com coeficientes 1 e -0,47, para as inversões de primeira e segunda ordem, respectivamente.
Observação: Esta em fase de desenvolvimento a
análise de fluxos em torno aos aerofólios gerados pela transformação generalizada de Joukoswki com inversões de até segunda ordem.
2.3. Análise visual mudando o centro da circunferência original
O próximo passo foi analisar como acontece a transformação de cada aerofólio modificando a origem da circunferência unitária inicial.
Análise de inversões de primeira ordem: Caso 1: Circunferência com centro em (1,0)
Caso 2: Circunferência centrada em (– 0.2 ,0)
Análise de inversões de segunda ordem: Caso 1: Circunferência com centro na origem
Caso 2: Circunferência com centro deslocado para cima
Caso 3: Circunferência com centro deslocado para lado (negativo) e para baixo
A decomposição da fórmula da transformação generalizada de Joukowski em frações continuas gera uma cadeia de decomposições que nos permiti melhor análise das transformações do círculo inicial até a forma de aerofólios.
Referências
1. PAZOS, Ruben Panta e ALMEIDA, Patricia F. Doern de. Transformação Generalizada de Joukowski, XXVII CNMAC, 2004.
2. PAZOS, Ruben Panta and ALMEIDA, Patricia F. Doern de. Generalized Joukowski Mapping, Maple Conference, 2005.
3. G. K. Batchelor. An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge Mathematical Library, Cambridge, UK, 2000.
4. Prem K. Kythe, Computational Conformal Mapping, Springer Verlag, New York, 1998.
5. Gérard Couchet, Les Profiles em
aérodynamique instationnaire et la cdondition de Joukowski, avec une note sur la dynamique
