Inform ´atica no Ensino de
Ci ˆencias
Inform ´atica no Ensino de Ci ˆencias
Sandra Amato
Instituto de F´ısica
Universidade Federal do Rio de Janeiro
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Movimento Orbital
Queremos obter a trajet ´oria da Terra em torno do Sol. Vamos considerar a posic¸ ˜ao do Sol na origem de um eixo de coordenadas.
O movimento ´e dado pela Segunda Lei de Newton e pela Lei da Gravitac¸ ˜ao Universal
MTerra
d2~r
dt2 = ~F = −
G MsolMTerra
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Movimento Orbital
Ü A partir dessa equac¸ ˜ao verifica-se as 3 Leis de Kepler
Ü Orbitas planet ´arias s ˜ao elipses com o Sol em um dos focos´
Ü trajet ´orias parab ´olicas e hiperb ´olicas tamb ´em s ˜ao poss´ıveis (movimento de cometas)
Ü De maneira geral, as trajet ´orias em campo gravitacional tem a forma de sec¸ ˜oes c ˆonicas, que em coordenadas polares:
r = d 1 − e cos θ onde d = r02v 2 0 GM e = r0v02 GM − 1
r0e v0raio e velocidade em um ponto em que
essas s ˜ao perpendiculares
excentricidade e = 0: circular, 0 < e < 1: elipse, e = 1: par ´abola, e > 1: hip ´erbole
Ü Obtenc¸ ˜ao desses resultados est ´a acima das possibilidades de aluno do EM, estudo costuma ser reduzido a ´orbitas circulares
Ü Podemos usar M ´etodos Num ´ericos para fugir da limitac¸ ˜ao e poder explorar, al ´em do movimento el´ıptico, as outras Leis de Kepler e movimento dos cometas
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Exerc´ıcio
Queremos fazer um gr ´afico da trajet ´oria da Terra em torno do Sol: y × x
Ü A equac¸ ˜ao ´ed
2~r
dt2 = −
G MS
r2 ˆr .
Ü Explique porque o movimento ´e plano.
Ü Mostre que separando em duas componentes temos: d2x dt2 = − G MSx r3 d2y dt2 = − G MSy r3 com r =px 2+y2
Ü Escrevendo cada equac¸ ˜ao de segunda ordem como duas de primeira: dx dt = vx (1) dvx dt = −GMS x (px2+y2)3 (2) dy dt = vy (3) dvy dt = −GMS y (px2+y2)3 (4)
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M ´etodo de Euler - Revis ˜ao
Ü Conhecemos:
x0(t) = f (t, x ) e x (t0)
Ü Aproximando a func¸ ˜ao por um segmento de reta:
x (t0+h) ≈ x (t0) +h f (t0,x0) ou
x1≈ x0+h f0
Ü Dando mais um passo: x2≈ x1+h f1
. . .
x (ti+1) ≈x (ti) +h f (ti,x (ti))ou
xi+1 =xi+h fi
Vamos implementar o m ´etodo para as quatro equac¸ ˜oes obtidas. Copie o seu programa Projetil.py para Kepler.py
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Algoritmo do M ´etodo de Euler
å Definir os valores de t0, tf
å Definir o valor de h
å Definir os valores de x0, y0, vx0, vy0, ax0, ay0
å imprimir x0, y0
å Enquanto t0for menor que tf
Ü Calcular x1= x0+ h ∗ vx0
Ü Calcular y1= y0+ h ∗ vy0
Ü Calcular vx1= vx0+ h ∗ ax0
Ü Calcular vy1= vy0+ h ∗ ay0
Ü Atualizar t0= t0+h
Ü atualizar ax0e ay0com os novos x1e y1
Ü Atualizar x0= x1, y0= y1, vx0= vx1, vy0= vy1
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Exerc´ıcio
Ü Escreva um programa (Kepler.py) que implemente o algoritmo do M ´etodo de Euler para calcular a trajet ´oria da Terra, dado que, em um momento inicial t=0, a Terra encontra-se a uma dist ˆancia x = 1.496 × 1011m do Sol, ou seja, na posic¸ ˜ao (x,0), com uma velocidade inicial igual a 2.97 × 104m/s (aproximadamente igual `a velocidade orbital m ´edia da Terra) na direc¸ ˜ao positiva do eixo y , de forma que o movimento se d ´a no plano x , y . O programa deve ler do teclado o valor do passo, e fazer o gr ´afico da trajet ´oria para valores de t de 0 at ´e 1 ano.
Ü Execute o programa para passos iguais a 1 dia, 1 hora e 1 minuto e salve os resultados em arquivos
kepler dia.png, kepler hora.png e kepler minuto.png. O que voc ˆe observa?
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M ´etodo de Euler
O M ´etodo de Euler usa apenas os valores no in´ıcio de cada intervalo. Sabendo (t0,x0), obtemos
x1=x0+f (t0,x0)∆t,
x2=x1+f (t1,x1)∆t, etc.
Üx1 ´e uma estimativa para o valor
da soluc¸ ˜ao em t = t1
Üf (t1,x1) ´e uma estimativa para a
derivada
da soluc¸ ˜ao naquele ponto. ÜOs erros s ˜ao acumulados.
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M ´etodo do Ponto Central ou M ´etodo de
Euler Modificado
Em vez de usarmos a derivada no ponto (t0,x0), usamos a derivada
no ponto intermedi ´ario tmed =t0+ ∆t/2.
xi+1=xi+f (tmed,xmed)∆t Mas n ˜ao sabemos xmed
ÜUsamos Euler simples: xmed =xi+f (ti,xi)∆t/2
(Usamos Euler simples duas vezes para ir de ti a ti+1)
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M ´etodo de Euler Aperfeic¸oado
Usa a derivada obtida pela m ´edia entre a derivada no in´ıcio e no fim do intervalo.
xi+1=xi+12(fi+fi+1)∆t
com fi =f (ti,xi)e fi+1=f (ti+1,xi+1)
e usa Euler simples primeiro para obter
xi+1=xi+fi∆t
(Tamb ´em usamos Euler simples duas vezes para ir de ti a ti+1)
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M ´etodo de Euler-Cromer
Para o movimento planet ´ario, podemos mostrar que um m ´etodo mais simples, o de Euler-Cromer? ´e bem eficiente
Ü Calcula-se primeiro a velocidade no ponto posterior
Ü Utiliza-se essa velocidade para o c ´alculo da posic¸ ˜ao
Ü Implemente este m ´etodo no seu programa Kepler.py e observe o resultado para o intervalo de tempo de 1 dia.
Ü Al ´em disso, calcule a excentricidade da ´orbita a partir das condic¸ ˜oes iniciais, compare com o da literatura
Ü Aproveite para observar a conservac¸ ˜ao do momento angular, imprimindo seu valor para cada ∆t.
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