Universidade de São Paulo Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz. Modelagem de mortalidade natural e superdispersão em dados entomológicos

(1)

Escola Superior de Agricultura “Luiz de Queiroz”

Modelagem de mortalidade natural e superdispersão em dados

entomológicos

Mariana Ragassi Urbano

Tese apresentada para obtenção do título de Doutor em Ciências. Área de concentração: Estatística e Experimentação Agronômica

Piracicaba

2012

(2)

Bacharel em Estatística

Modelagem de mortalidade natural e superdispersão em dados entomológicos

Orientadora: Prof ª. Drª. CLARICE GARCIA BORGES DEMÉTRIO

Tese apresentada para obtenção do título de Doutor em Ciências. Área de concentração: Estatística e Experimentação Agronômica

Piracicaba 2012

(3)

DadosInternacionais de Catalogação na Publicação DIVISÃO DE BIBLIOTECA - ESALQ/USP

Urbano, Mariana Ragassi

Modelagem de mortalidade natural e superdispersão em dados entomológicos / Mariana Ragassi Urbano.- - Piracicaba, 2012.

117 p: il.

Tese (Doutorado) - - Escola Superior de Agricultura “Luiz de Queiroz”, 2012. 1. Modelos mistos 2. Bioensaios 3. Análise de dados 4. Modelos lineares generalizados 5. Mortalidade natural I. Título

CDD 519.5 U72m

(4)

Dedicat´oria

A Deus,

pois sem Ele nada teria acontecido.

Aos meus pais,

Jos´e Adilso Urbano e Maria Luiza Ragassi Urbano, e

a minha irm˜a N´adia Ragassi Urbano, que se doaram por

inteiro e muitas vezes renunciaram aos pr´oprios sonhos para que eu pudesse realizar o meu.

Aos meus orientadores,

Profa_{. Dr}a_{. Clarice Garcia Borges Dem´}_{etrio e Prof.}

John Hinde, por sempre me ajudarem, por abrirem muitas

(5)

(6)

AGRADECIMENTOS

Desejo manifestar os meus agradecimentos, aos meus pais, Jos´e Adilso

Ur-bano e Maria Luiza Ragassi UrUr-bano, e a minha irm˜a N´adia Ragassi Urbano, o incentivo,

a valoriza¸cão de minhas decisões pessoais e profissionais, a ajuda em todos os momentos,

e a alegria de tˆe-los ao meu lado sempre.

`

As minhas tias Maria da Gra¸ca Urbano, Helena Maria Urbano, Lucr´ecia

Fernanda Ragassi e Maria Henriqueta Urbano Salviato, às minhas avós, Rita de Cássia

Ragassi e Aparecida Ventura Urbano, e avˆos Luiz Paulino Urbano (in memoriam) e Pedro

Luiz Ragassi (in memoriam), o incentivo, o amor incondicional e o apoio em todas as horas. `

A Profa_{. Dr}a_{. Clarice Garcia Borges Dem´}_{etrio, a compreens˜}_{ao, a paciˆ}_encia,

a exigˆencia nesses 6 anos de conv´ıvio, por tudo que me ensinou, e por todas as

oportuni-dades que me deu, e principalmente, a orienta¸c˜ao na elabora¸c˜ao deste trabalho, e por sua

for¸ca admir´avel em sempre querer o aprimoramento do Departamento.

Ao Prof. John Hinde, a valiosa orienta¸c˜ao durante a minha estada em

Galway, por tudo que me ensinou, pela paciˆencia e amizade, e pelo prazer de trabalhar

ao seu lado.

Aos professores Dr. Silvio Sandoval Zocchi e Dra. Roseli Aparecida Leandro,

por terem sido meus professores, e pela amizade.

Ao Prof. Dr. Gauss Moutinho Cordeiro, que n˜ao participou diretamente

da elabora¸c˜ao desse trabalho, mas com quem sempre aprendi v´arias coisas durante todo

o per´ıodo de p´os gradua¸c˜ao.

Ao meu amigo Rodrigo Rossetto Pescim, por sempre estar disposto a me ajudar, aos nossos momentos tristes e felizes que sempre se encerraram em pizzas ou pub-crawl, e apesar de sermos muito diferentes, isso nunca foi um empecilho para nossa amizade.

Ao meu amigo Everton Batista da Rocha, pelo seu jeito irreverente, e pelas

nossas hist´orias e risadas inesquec´ıveis e ao meu amigo Pedro Henrique Ramos Cerqueira,

pela sua amizade, pelas conversas e situa¸c˜oes engra¸cadas, e aos demais colegas de estudo

do mestrado e do doutorado.

Aos meus amigos jauenses Andr´e Ferruchi, Diego Bonfante Zago e Camila

(7)

Aos meus amigos Ana Julia Righetto e Luiz Ricardo Nakamura pela

con-vivˆencia agrad´avel, e minha amiga Elizabeth Hashimoto, que desde os tempos de

gra-dua¸c˜ao sempre me ajudou.

`

As minhas amigas que conheci em Galway, Caroline Forde, Clionadh O’

Keeﬀe, Emma Br¨annlund, Erika Zanotti, Andrea Torres Glez-Zabaleta, Maria Garc´ıa

Flores e Christina Folsom, por terem tornado a minha estada l´a muito mais agrad´avel.

Aos professores do Departamento de Ciˆencias Exatas da ESALQ/USP, Dr.

Carlos Tadeu dos Santos Dias, Dr. D´ecio Barbin, Dra_{. Sˆ}_{onia Maria Stefano Piedade,}

Dr. Edwin Moises Marcos Ortega, Dra_{. Taciana Villela Savian e Dr. Idemauro Antonio}

Rodrigues de Lara.

Aos funcion´arios do Departamento de Ciˆencias Exatas da ESALQ/USP,

Solange de Assis Paes Sabadin, Jorge Alexandre Wiendl e Eduardo Bonilha, os aux´ılios

permanentes, mas, principalmente, à secretária Luciane Brajão, por toda sua ajuda

fun-damental no meu processo de pedido de bolsa sandu´ıche. `

A Coordena¸c˜ao de Aperfei¸coamento de Pessoal de N´ıvel Superior (CAPES),

e ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Cient´ıﬁco e Tecnol´ogico (CNPq) o aux´ılio

(8)

SUM ÁRIO RESUMO . . . 9 ABSTRACT . . . 11 LISTA DE FIGURAS . . . 13 LISTA DE TABELAS . . . 17 1 INTRODUÇ ÃO . . . 19 2 DESENVOLVIMENTO . . . 23

2.1 Revisão Bibliográfica . . . 23

2.1.1 Modelos lineares generalizados . . . 23

2.1.2 Algoritmo EM . . . 28

2.1.3 Modelos lineares generalizados mistos e procedimento de estima¸c˜ao dos parˆametros, usando-se o algoritmo EM . . . 30

2.1.4 Ensaio do tipo dose-resposta . . . 34

2.1.5 Mortalidade natural . . . 35

2.1.6 Mortalidade natural e fator de heterogeneidade . . . 36

2.1.7 Teste da raz˜ao de verossimilhan¸cas e AIC . . . 36

2.1.8 Gráfico semi-normal de probabilidade com envelope de simula¸cão . . . 37

2.2 Metodologia . . . 39

2.2.1 Mortalidade natural e efeito aleat´orio - desenvolvimento do modelo . . . 39

2.2.2 Ajuste do modelo binomial que leva em conta a ocorrˆencia de mortalidade natural . . . 40

2.2.2.1 Estima¸c˜ao dos parˆametros, usando-se o algoritmo de Newton Raphson . . . . 40

2.2.2.2 Estima¸c˜ao dos parˆametros, usando-se o algoritmo EM . . . 42

2.2.3 Ajuste do modelo binomial que leva em conta a ocorrência de mortalidade natural e a inclusão de um efeito aleatório no preditor linear . . . 45

2.2.3.1 Estima¸c˜ao dos parˆametros, usando-se o algoritmo Newton Raphson-EM . . . 46

2.2.3.2 Estima¸c˜ao dos parˆametros, usando-se o algoritmo EM em duas etapas . . . 49

2.2.4 Dose efetiva . . . 52

2.2.4.1 Modelo binomial com ou sem, mortalidade natural . . . 52

2.2.4.2 Modelo binomial com ou sem, mortalidade natural e efeito aleat´orio . . . 53

(9)

2.2.6 Verifica¸cão de ajuste dos modelos, usando o gráfico semi-normal de

probabi-lidade com envelope de simula¸c˜ao . . . 56

2.2.6.1 Modelo padr˜ao de mortalidade natural . . . 56

2.2.6.2 Modelo de mortalidade natural com fator de heterogeneidade . . . 57

2.2.6.3 Modelo de mortalidade natural com efeito aleat´orio . . . 58

2.2.7 Aplica¸cão da metodologia proposta a três conjuntos de observa¸cões . . . 59

3 RESULTADOS E DISCUSS ˜AO . . . 67

3.1 Granulov´ırus para controle de tra¸ca da batata . . . 67

3.2 Granulov´ırus formulado para controle de larvas de tra¸ca da batata . . . 79

3.3 Esporos de Nosema para controle de lagartas de Diatraea saccharalis . . . 83

4 CONSIDERAC¸ ˜OES FINAIS . . . 93

REFER ˆENCIAS . . . 95

(10)

RESUMO

Modelagem de mortalidade natural e superdispers˜ao em dados entomol´ogicos

Para dados provenientes de bioensaios entomol´ogicos, na maioria das vezes,

´

e necessário levar em considera¸cão a ocorrência de mortalidade natural e a

superdis-pers˜ao. Para incorporar a mortalidade natural, pode-se utilizar a f´ormula de Abbott,

que associada ao modelo binomial, caracteriza o modelo padr˜ao de mortalidade natural.

Modelos padr˜oes de superdispers˜ao incluem os modelos beta-binomial, log´ıstico normal,

misturas discretas e o uso do fator de heterogeneidade. Como alternativa aos modelos

padr˜ao de mortalidade natural, e de mortalidade natural com o fator de heterogeneidade,

foi desenvolvido o modelo de mortalidade natural com a inclus˜ao de um efeito aleat´orio

no preditor linear, para melhor acomodar a superdispers˜ao. Para obter as estimativas

dos parˆametros desse novo modelo, foram usados os algoritmos de Newton Raphson e

EM. Para a verifica¸cão dos ajustes dos modelos foram usados gráficos semi-normais de

probabilidade com envelopes de simula¸c˜ao, e para realizar a compara¸c˜ao entre os modelos

foram utilizados o teste da raz˜ao de verossimilhan¸cas e o crit´eiro AIC. A seguir, foram

cal-culadas as estimativas das doses efetivas. Os procedimentos foram todos implementados

no software R. Como aplica¸c˜ao, foram analisados trˆes conjuntos de dados, provenientes de

ensaios entomol´ogicos. Para os trˆes conjuntos de dados, concluiu-se que o modelo de

mor-talidade natural com efeito aleatório é superior aos procedimentos padrões, geralmente,

utilizados.

Palavras-chaves: Algoritmo de Newton Raphson; Algoritmo EM; Bioensaio; Efeito

aleat´orio; Modelos lineares generalizados; Modelos lineares generalizados mistos;

(11)

(12)

ABSTRACT

Modelling natural mortality and overdispersion in entomologic data When ﬁtting dose-response models to entomological data it is often

necessary to take account of natural mortality and/or overdispersion. The standard

approach to handle natural mortality is to use Abbott’s formula, which allows for a constant underlying mortality rate. Standard overdispersion models include beta-binomial models, logistic-normal, discrete mixtures and the use of the heterogeneity factor. We extend the standard natural mortality model and include a random effect to handle the overdispersion. To obtain the parameters estimates of this new model, two algorithms were used: the Newton Raphson and the EM. For the application, were used three data sets. We introduce the likelihood ratio test, effective dose, and simulated envelope for the natural mortality model with a random effect. The procedures are implemented in the R system. For the three the data sets studied, a significant further improvement in the fit is possible by using the random-effect model.

keywords: Bioassay; EM algorithm; Generalized linear models; Generalized linear mixed models; Natural mortality; Newton Raphson algorithm; Random eﬀect

(13)

(14)

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - Gr´aﬁco das propor¸c˜oes de mortalidade de larvas de Phthorimaea

oper-culella nas batatas versus o logaritmo na base 10 das concentra¸c˜oes do

granulov´ırus PhopGV (OBs/ml) . . . 61

Figura 2 - Gr´aﬁco das propor¸c˜oes de mortalidade de larvas de Phthorimaea

oper-culella nas batatas versus o logaritmo na base 10 das concentra¸c˜oes de

formula¸c˜ao viral (OBs/grama) . . . 63

Figura 3 - Gr´aﬁco das propor¸c˜oes de mortalidade de lagartas de Diatraea

saccharalis nas placas de Petri versus o logaritmo na base 10 das

con-centra¸c˜oes de esporos de Nosema/ml em solu¸c˜ao salina . . . 65

Figura 4 - Gráficos semi-normais de probabilidade com envelopes de simula¸cão,

considerando-se o modelo binomial padr˜ao, utilizando-se as fun¸c˜oes de

liga¸c˜ao log´ıstica (a) e complemento log-log (b) . . . 68

Figura 5 - Gr´aﬁcos das propor¸c˜oes de mortalidade de larvas de Phthorimaea

oper-culella nas batatas versus o logaritmo na base 10 das concentra¸c˜oes do granulov´ırus PhopGV (OBs/ml) e curvas ajustadas, considerando-se o

modelo binomial padrão, utilizando-se as fun¸cões de liga¸cão log´ıstica (a)

e complemento log-log (b) . . . 68

Figura 6 - Gráficos semi-normais de probabilidade com envelopes de simula¸cão

considerando-se os modelos I (a), II (c) e III (e), utilizando-se a fun¸c˜ao

de liga¸c˜ao log´ıstica, e os modelos I (b), II (d) e III (f), utilizando-se a

fun¸c˜ao de liga¸c˜ao complemento log-log . . . 69

oper-culella nas batatas versus o logaritmo na base 10 das concentra¸c˜oes do granulov´ırus PhopGV (OBs/ml) e curvas ajustadas, considerando-se o

modelo binomial padrão, utilizando-se as fun¸cões de liga¸cão log´ıstica (a)

e complemento log-log (b) . . . 70

Figura 8 - Gráficos semi-normais de probabilidade com envelopes de simula¸cão para

os modelos IV (a), VI (c) e VIII (e) utilizando-se a fun¸c˜ao de liga¸c˜ao

log´ıstica, e para os modelos IV (b), VI (d) e VIII (f), utilizando-se a

(15)

oper-culella nas batatas versus o logaritmo na base 10 das concentra¸c˜oes do granulov´ırus PhopGV (OBs/ml) e curvas ajustadas para os modelos IV

e VIII, utilizando-se as fun¸c˜oes de liga¸c˜ao log´ıstica (a) e complemento

log-log (b) . . . 77

formula¸c˜ao viral (OBs/grama) e curvas ajustadas, considerando-se o

mo-delo binomial padrão, utilizando-se as fun¸cões de liga¸cão log´ıstica (a) e

complemento log-log (b) . . . 80

Figura 12 - Gráficos semi-normais de probabilidade com envelopes de simula¸cão para

os modelos I (a), II (c) e III (e) utilizando-se a fun¸c˜ao de liga¸c˜ao log´ıstica,

e para os modelos I (b), II (d) e III (f), utilizando-se fun¸c˜ao de liga¸c˜ao

complemento log-log . . . 82

formula¸c˜ao viral (OBs/grama) e curvas ajustadas para os modelos I e III,

utilizando-se as fun¸c˜oes de liga¸c˜ao log´ıstica (a) e complemento log-log (b) 84

Figura 15 - Gr´aﬁcos das propor¸c˜oes de mortalidade de lagartas de Diatraea

concen-tra¸c˜oes de esporos de Nosema/ml em solu¸c˜ao salina e curvas ajustadas

(16)

Figura 16 - Gráficos semi-normais de probabilidade com envelopes de simula¸cão

considerando-se os modelos I (a), II (c) e III (e), com fun¸c˜ao de liga¸c˜ao

log´ıstica, e para os modelos I (b), II (d) e III (f), com fun¸c˜ao de liga¸c˜ao

complemento log-log . . . 87

Figura 17 - Gr´aﬁcos das propor¸c˜oes de mortalidade de lagartas de Diatraea

concen-tra¸c˜oes de esporos de Nosema/ml em solu¸c˜ao salina e curvas ajustadas

considerando-se os modelos I e III, utilizando-se as fun¸c˜oes de liga¸c˜ao

(17)

(18)

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 - Concentra¸c˜oes do granulov´ırus PhopGV (OBs/ml) (di), n´umero de larvas

mortas (yij) e n´umero total de larvas (mij) . . . 60

Tabela 2 - Estimativas de m´axima verossimilhan¸ca (E.M.V.) dos parˆametros (Par.)

e erros padr˜oes estimados (e.p.), considerando-se os modelos I, II e III,

utilizando-se a fun¸c˜ao de liga¸c˜ao log´ıstica . . . 71

utilizando-se a fun¸c˜ao de liga¸c˜ao complemento log-log . . . 71

Tabela 4 - Valores das estat´ısticas: −2 logaritmo da fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca

(−2 log ˆΛ) e AIC, considerando-se os modelos IV, V, VIII e IX,

Tabela 5 - Valores das estat´ısticas: −2 logaritmo da fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca

(−2 log ˆΛ) e AIC, considerando-se os modelos IV, V, VIII e IX,

e erros padr˜oes estimados (e.p.), considerando-se os modelos IV, VI e

VIII, utilizando-se a fun¸c˜ao de liga¸c˜ao log´ıstica . . . 73

e erros padr˜oes estimados (e.p.), considerando-se os modelos IV, VI e

VIII, utilizando-se a fun¸c˜ao de liga¸c˜ao complemento log-log . . . 74

e erros padr˜oes estimados (e.p.), considerando-se os modelos V, VII e

IX utilizando-se a fun¸c˜ao de liga¸c˜ao log´ıstica . . . 74

e erros padr˜oes estimados (e.p.), considerando-se os modelos V, VII e

IX, utilizando-se a fun¸c˜ao de liga¸c˜ao complemento log-log . . . 75

Tabela 10 -Estimativas das doses efetivas ( dDE100p), nas escalas original e

lo-gar´ıtmica, considerando-se os modelos I, III, IV e VIII, utilizando-se

(19)

Tabela 11 -Estimativas das doses efetivas ( dDE100p), nas escalas original e lo-gar´ıtmica, considerando-se os modelos I, III, IV e VIII, utilizando-se

a fun¸c˜ao de liga¸c˜ao complemento log-log . . . 78

Tabela 12 -Estimativas de m´axima verossimilhan¸ca (E.M.V.) dos parˆametros (Par.)

Tabela 14 -Estat´ısticas: −2 logaritmo da fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca (−2 log bΛ) e

AIC considerando-se os modelos I e III, utilizando-se as fun¸c˜oes de

liga¸c˜ao log´ıstica e complemento log-log . . . 83

lo-gar´ıtmica, considerando-se os modelos I e III, utilizando-se as fun¸c˜oes

de liga¸c˜ao log´ıstica e complemento log-log . . . 85

Tabela 18 -Estat´ısticas: −2 logaritmo da fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca (−2 log ˆΛ) e

AIC considerando-se os modelos I e III, utilizando-se as fun¸c˜oes de

liga¸c˜ao log´ıstica e complemento log-log . . . 89

lo-gar´ıtmica, considerando-se os modelos I e III, utilizando-se as fun¸c˜oes

(20)

1 INTRODUC¸ ˜AO

Segundo Collett (2003), modelos para resposta na forma bin´aria e binomial,

foram, originariamente, desenvolvidos pela necessidade de an´alise de dados de um tipo

de experimento, conhecido como ensaio biol´ogico ou bioensaio (FINNEY, 1980). Para a

realiza¸cão de um bioensaio, diferentes concentra¸cões de determinado est´ımulo são

aplica-das a grupos de indiv´ıduos, e o n´umero de indiv´ıduos em cada grupo que respondem ao

est´ımulo ´e registrado. Esses valores podem ser considerados como observa¸c˜oes de uma

vari´avel resposta que segue distribui¸c˜ao binomial.

Grande parte da metodologia referente aos bioensaios foi desenvolvida por

David John Finney, que realizou o processo de estima¸c˜ao de registros individuais da rela¸c˜ao

entre dose e resposta quantal (FINNEY, 1947a), descreveu os princ´ıpios do bioensaio

(FIN-NEY, 1947b), desenvolveu os passos para a estima¸cão dos parâmetros das distribui¸cões

de tolerˆancia (FINNEY, 1949) e a estima¸c˜ao da dose letal 50 para o modelo log´ıstico

(FINNEY, 1952) e discutiu como alguns aspectos do bioensaio auxiliaram a pr´atica da

inferˆencia estat´ıstica (FINNEY, 1979).

Em muitos bioensaios, a resposta da unidade experimental pode n˜ao ocorrer

somente devido ao est´ımulo que foi aplicado. Em um bioensaio entomol´ogico, em que os

indiv´ıduos s˜ao insetos, e o est´ımulo a ser aplicado, pode ser determinado inseticida, alguns

insetos podem morrer durante o per´ıodo experimental, mesmo quando n˜ao s˜ao expostos ao

inseticida, ou os insetos que foram expostos podem morrer devido a causas desconhecidas,

e n˜ao devido ao inseticida. Em situa¸c˜oes como essa, os indiv´ıduos apresentam resposta

natural ou mortalidade natural. Para a aplica¸c˜ao de m´etodos padr˜oes, como, por exemplo,

a utiliza¸c˜ao do modelo binomial, a mortalidade natural n˜ao deve ser maior do que 10% e,

preferivelmente, n˜ao mais do que 5%, representando, ocasionalmente, um indiv´ıduo fraco

no grupo. Quando a mortalidade natural excede esse valor, ´e necess´ario ser levada em

considera¸c˜ao, e, geralmente, utiliza-se a f´ormula de Abbott (ABBOTT, 1925).

A f´ormula de Abbott foi utilizada em diversos trabalhos, por exemplo,

Fin-ney (1944) usou o modelo probito para analisar dados de toxicidade que apresentavam

mortalidade nos controles, e Hoekstra (1987) mostrou a superioridade de m´etodos de

análise que consideram a mortalidade natural em rela¸cão aos que não a consideram.

Faddy et al. (2009) desenvolveram um modelo estoc´astico bivariado, para preda¸c˜ao e

(21)

Fenlon e Faddy (2006).

Em um bioensaio, al´em da ocorrˆencia de mortalidade natural, os dados,

geralmente, exibem variabilidade de grupo a grupo de indiv´ıduos, como resultado de

va-ria¸cão não explicável entre os indiv´ıduos que pertencem ao mesmo grupo. Assim sendo,

é necessário estender o modelo, para que leve em considera¸cão esse efeito, incluindo um

ou mais parâmetros adicionais. A varia¸cão adicional, pode ser atribu´ıda a variáveis

ex-planatórias relevantes, que não foram levadas em considera¸cão durante a realiza¸cão do

bioensaio, ou, devido à inclusão no modelo de certas variáveis que não foram

adequada-mente medidas ou controladas. Todas essas poss´ıveis causas, entre outras, podem gerar

um fenômeno conhecido como superdispersão (HINDE e DEMÉTRIO, 1998). Dentre as

metodologias dispon´ıveis para a an´alise de dados que apresentam mortalidade natural,

muito pouco foi desenvolvido sobre a ocorrˆencia conjunta de mortalidade natural e

su-perdispers˜ao. Para contornar esse problema, na maioria das vezes, s˜ao utilizados modelos

de quase-verossimilhan¸ca, como, por exemplo, os usados por Raymond et al. (2006) e

Mascarin et al. (2010). Uma alternativa, para acomodar a superdispersão, é a inclusão

de um efeito aleat´orio no preditor linear, isto ´e, modelos mistos podem ser utilizados para

levar em conta a superdispers˜ao (COLLETT, 2003).

O objetivo principal deste trabalho foi incluir um efeito aleat´orio no preditor

linear do modelo padr˜ao de mortalidade natural, para melhor acomodar a variabilidade

que ocorre nas respostas, enquanto se estima, conjuntamente, a mortalidade natural.

Para realizar a estima¸c˜ao dos parˆametros do modelo com, e sem efeito

aleatório, foi usado o método da máxima verossimilhan¸ca, utilizando-se o algoritmo EM

(DEMPSTER et al. 1977) usado na an´alise de dados de bioensaios que apresentam

mortalidade natural por Barlow e Feigl (1985), e o algoritmo de Newton Raphson

des-crito em Finney (1980). Utilizando-se o algoritmo EM, s´o s˜ao obtidas as estimativas dos

parâmetros, e para o cálculo da matriz de variâncias e covariâncias das estimativas dos

parâmetros, algum método auxiliar deve ser utilizado, como os métodos de Louis (1982)

e de Oakes (1999). Por outro lado, o algoritmo de Newton Raphson al´em das estimativas

dos parâmetros, fornece, diretamente, a matriz de variâncias e covariâncias das estimativas

dos parˆametros. Os dois algoritmos de estima¸c˜ao levam aos mesmos resultados.

Como ilustra¸cão, foram feitas análises para três conjuntos de dados,

(22)

morta-lidade natural com fator de heterogeneidade e de mortamorta-lidade natural com efeito aleat´orio

no preditor linear. Para verificar o ajuste dos modelos, foram usados gráficos semi-normais

de probabilidade com envelopes de simula¸c˜ao, e para comparar os modelos, foram

utili-zados o teste da raz˜ao de verossimilhan¸cas e o crit´erio AIC. A seguir, foram calculadas as

(23)

(24)

2 DESENVOLVIMENTO

2.1 Revis˜ao Bibliogr´afica

2.1.1 Modelos lineares generalizados

Nelder e Wedderburn (1972) desenvolveram a teoria dos modelos lineares

generalizados, que são uma extensão dos modelos lineares clássicos. De forma diferente

dos modelos normais lineares, não são necessárias as pressuposi¸cões de normalidade e

homocedasticidade para a vari´avel resposta, que deve pertencer `a fam´ılia exponencial

de distribui¸c˜oes, mas assim como nos modelos normais lineares, as observa¸c˜oes devem

ser independentes, e trabalha-se com os dados em sua forma original, ou seja, n˜ao h´a

necessidade de fazer transforma¸c˜oes (MCCULLAGH e NELDER, 1989).

Um modelo linear generalizado tem dois componentes e uma rela¸c˜ao

funci-onal entre eles (CORDEIRO e DEM´ETRIO, 2007):

i) Componente aleatório do modelo: a variável resposta é representada por um

con-junto de vari´aveis aleat´orias independentes Y1, ..., Yn com distribui¸c˜ao que pertence

`

a fam´ılia exponencial de distribui¸c˜oes de m´edias µ1, ..., µn ou seja, E(Yi) = µi,

i = 1, 2, ..., n;

ii) Componente sistemático: é constitu´ıdo pelas variáveis explicativas que entram na

forma de uma soma linear de seus efeitos

ηi = p

∑

j=1

xijβj = xTi β ou η = Xβ

em que X=(x1, ..., xn)T ´e a matriz do modelo com elementos xi = (x11, . . . , xip)T,

β=(β1, ..., βn)T ´e o vetor de parˆametros e η=(η1, ..., ηn)T ´e o preditor linear;

iii) Fun¸cão de liga¸cão: relaciona o componente aleatório ao componente sistemático,

isto ´e,

ηi = g(µi),

sendo g(·) uma fun¸cão monótona e diferenciável, que determina a escala em que

a linearidade é suposta. Os parˆametros β1, ..., βp não são sujeitos a restri¸cões, e,

portanto, g(µi) pode assumir qualquer valor em (−∞, ∞), e assim, a forma da

(25)

varia¸c˜ao de µi = E(Yi). Para observa¸c˜oes estritamente positivas como no caso de

contagens, a m´edia deve ﬁcar restrita a (0,∞) (HINKELY et al. 1991). Utiliza-se

g(µi) = ηi =

p

∑

j=1

xijβj, (1)

para descrever a rela¸c˜ao entre os componentes do modelo linear generalizado, sendo

g(·) a fun¸c˜ao de liga¸c˜ao e ηi o preditor linear associado a Yi.

Seja a vari´avel aleat´oria Yi, cuja fun¸c˜ao densidade de probabilidade para o

caso cont´ınuo, ou fun¸c˜ao de probabilidade para o caso discreto, que pode ser escrita na

forma: f (yi; θi, ϕ) = exp { ϕ−1[yiθi− b(θi)] + c(yi, ϕ) } , (2)

sendo b(·) e c(·) fun¸c˜oes conhecidas e ϕ > 0, considerado conhecido. A classe de modelos

de dispers˜ao exponencial (JORGENSEN, 1997) inclui situa¸c˜oes em que ϕ ´e desconhecido.

Em (2), tem-se a fam´ılia exponencial na forma canˆonica, com parˆametro

canˆonico ou natural θi. Se a fun¸c˜ao de liga¸c˜ao for escolhida de tal forma que g(µi) = θi =

ηi, o preditor linear modela diretamente o parâmetro canˆonico θi, e a fun¸cão de liga¸cão é

denominada canônica e os modelos correspondentes são modelos canônicos.

O valor esperado e a variˆancia de Yi com distribui¸c˜ao pertencente `a fam´ılia

(2) s˜ao

E(Yi) = µi = b′(θi) e Var(Yi) = ϕb′′(θi), (3)

em que ϕ ´e um parˆametro de dispers˜ao do modelo, e seu inverso ϕ−1, uma medida de

precis˜ao.

A fun¸c˜ao que relaciona a m´edia µi com a variˆancia ´e denotada por b′′(θi) =

V (µi), denominada fun¸cão de variância. Note que as distribui¸cões da fam´ılia exponencial

têm rela¸cão conhecida entre a média e a variância, denotada por:

Var(Yi) = ϕV (µi).

Como exemplo de distribui¸c˜ao pertencente `a fam´ılia exponencial, tem-se a

distribui¸c˜ao binomial. Se a vari´avel aleat´oria Yi tem distribui¸c˜ao binomial B(mi, πi), com

probabilidade de sucesso πi, então, sua fun¸cão de probabilidade é expressa por

P (Yi = yi) = ( mi yi ) πyi i (1− πi)mi−yi, yi = 0, 1, 2, ..., mi, (4)

(26)

em que 0 < πi < 1, e mi ´e um inteiro positivo.

Desenvolvendo-se (4), obt´em-se

f (yi; πi) = exp [ log ( mi yi ) + yilog πi + (mi− yi) log(1− πi) ] , = exp [ yilog ( πi 1− πi ) + milog(1− πi) + log ( mi yi )] ,

e, comparando-se com (2), tem-se: ϕ = 1, θi = log

( πi 1− πi ) = log ( µi mi− µi ) ⇒ µi = mieθi (1 + eθi₎, b(θi) =−milog(1− πi) = milog(1 + e θi_{), e c(y} i; ϕ) = log ( mi yi ) .

Portanto, a distribui¸c˜ao binomial pertence `a fam´ılia exponencial de

distri-bui¸c˜oes, com E(Y ) = b′(θ) = me

θi 1 + eθi = µi, Var(Yi) = ϕb ′′_(θ i) = mieθi (1 + eθi₎2 = µi mi (1− µi) = V (µi).

Para a estima¸c˜ao dos parˆametros lineares β1, ..., βp do modelo linear

genera-lizado, o método mais comumente utilizado é o da máxima verossimilhan¸ca. O logaritmo

da fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca como fun¸c˜ao apenas de β (considerando-se o parˆametro de

dispers˜ao ϕ conhecido) dado o vetor Y de observa¸c˜oes, ´e deﬁnido por (CORDEIRO e

DEM´ETRIO, 2007): l(β) = ϕ−1 n ∑ i=1 [yiθi− b(θi)] + n ∑ i=1 c(yi, ϕ), em que θi = q(µi), µi = g−1(ηi) e ηi = ∑p r=1xirβj.

O vetor escore ´e formado pelas derivadas parciais de primeira ordem do

logaritmo da fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca, em que

Uj = ∂l(β) ∂βj = n ∑ i=1 dli dθi dθi dµi dµi dηi dηi dβj = n ∑ i=1 ϕ−1[yi− b′(θi)] 1 dµi dθi dµi dηi xij, = n ∑ i=1 ϕ−1(yi− µi) 1 V (µi) dµi dηi xij, (5) pois E(Yi) = µi = b′(θi) e dµi dθi = V (µi).

A estimativa de m´axima verossimilhan¸ca, ˆβ, do vetor de parˆametros β ´e

obtida, igualando-se Uj = 0 para j = 1, ..., p. Como na maioria das vezes, as equa¸c˜oes

Uj = 0 são equa¸cões não lineares, elas são resolvidas numericamente, utilizando-se o

(27)

O objetivo, ´e obter a solu¸c˜ao do sistema de equa¸c˜_{oes Uβ =} [ dl(β) dβ ] = 0 e,

utilizando-se a vers˜ao multivariada do algoritmo de Newton-Raphson, tem-se:

β(r+1) = β(r)+ (I−1₀ )(r)U(r),

em que β(r)e β(r+1) s˜ao os vetores de parˆametros estimados nos passos (r) e (r + 1), U(r)

o vetor escore, ou seja, o vetor de derivadas parciais de primeira ordem de l(β), com

elementos ∂l(β)/∂βj, avaliados no passo (r) e (I−10 )(r) a inversa da matriz de derivadas

parciais de segunda ordem de l(β), com elementos−∂

2_l[β(r)_]

∂βj∂βk

, avaliada no passo (r).

Quando as derivadas de 2a _{ordem s˜}_{ao obtidas facilmente, o algoritmo de}

Newton-Raphson é bastante útil. Acontece, porém, que isso nem sempre ocorre, e no caso

dos modelos lineares generalizados, usa-se o algoritmo escore de Fisher que, em geral, ´e

mais simples (coincidindo com o algoritmo de Newton-Raphson no caso das fun¸c˜oes de

liga¸cão canônicas). Esse algoritmo envolve a substitui¸cão da matriz de derivadas parciais

de 2a ordem pela matriz de valores esperados das derivadas parciais, isto ´e, a substitui¸c˜ao

da matriz de informa¸c˜ao observada, I0, pela matriz de informa¸c˜ao esperada de Fisher, K.

Logo,

β(r+1) = β(r)+ (K−1₀ )(r)U(r), (6)

sendo que K tem elementos dados por

κt,s=−E [ ∂2_l(β) ∂βt∂βs ] = E [ ∂l(β) ∂βt ∂l(β) ∂βs ] ,

que ´e a matriz de covariˆancia dos U_j′s.

Multiplicando-se ambos os membros de (6) por K(r), tem-se

K(r)β(r+1) = K(r)β(r)+ U(r). (7)

Assim, usando-se (5), obt´em-se

κt,s = E(UtUs) = n ∑ i=1 1 ϕ2E(Yi− µi) 2 1 [V (µi)]2 ( dµi dηi )2 xitxis, = n ∑ i=1 1 ϕ2ϕV (µi) 1 [V (µi)]2 ( dµi dηi )2 xitxis, = n ∑ i=1 1 ϕ 1 V (µi) ( dµi dηi )2 xitxis.

(28)

Logo, a matriz de informa¸c˜ao de Fisher para β tem a forma

K = ϕ−1XTWX,

sendo W = diag{w1, ..., wn} uma matriz diagonal de pesos com elementos wi =

1 V (µi) ( dµi dηi )2 .

O vetor escore U = U(β) com componentes em (5) pode, ent˜ao, ser expresso

na forma U = ϕ−1XTWG(y− µ), com G = diag ( dη1 dµ1 , ..., dη2 dµ2 ) = diag[g′(µ1), ..., g′(µn)]. Substituindo K e U em (7), tem-se XTW(r)Xβ(r+1) = XTW(r)Xβ(r)+ XTW(r)G(r)(y− µ(r)), ou, ainda, XTW(r)Xβ(r+1) = XTW(r)[η(r)+ G(r)(y− µ(r))].

Deﬁnindo-se a vari´avel dependente ajustada z = η + G(y− µ), tem-se

XTW(m)Xβ(r+1) = XTW(r)z(r),

ou ainda,

β(r+1) = (XTW(r)X)−1XTW(r)z(r).

O processo iterativo, inicia-se, especiﬁcando-se uma estimativa inicial β(0)

que, sucessivamente, é alterada até a convergência ser obtida. Cada observa¸cão pode ser

considerada como uma estimativa do seu valor m´edio, isto ´e, ˆµi = yi e, portanto,

ˆ

ηi = g(ˆµi) = g(yi).

Usando-se ˆη como a vari´avel dependente e X, a matriz do modelo, obt´em-se

o vetor β(0). A seguir, o algoritmo de estima¸c˜ao pode ser resumido nos seguintes passos

1) obter as estimativas η(r)_i = p ∑ j=1 xijβ (r) j e µ(r)_i = g−1 ( η_i(r) ) ;

(29)

2) obter a vari´avel dependente ajustada z_i(r) = η_i(r)+ ( yi− µ (r) i ) g′ ( µ(r)_i ) e os pesos w(r)_i = 1 V (µi) ( dµi dηi )2 ; 3) calcular β(r+1)=(XTW(r)X)−1XTW(r)z(r),

voltar ao primeiro passo com β(r) = β(r+1) e repetir o processo at´e a convergˆencia,

obtendo-se ˆβ = β(r+1).

Para verificar a convergência, um critério a ser utilizado pode ser

p ∑ i=1 ( β(r+1)_j − β(r)_j β(r)_j )2 < ξ,

sendo que ξ ´e um valor suﬁcientemente pequeno. Na maioria das vezes, esse algoritmo ´e

robusto e converge rapidamente.

2.1.2 Algoritmo EM

A utiliza¸cão de algoritmos iterativos para a solu¸cão de sistema de equa¸cões

n˜ao-lineares, como o de Newton-Raphson ou o escore de Fisher, j´a estava bem estabelecida

na década de 70. Entretanto, em situa¸cões que envolviam dados incompletos, a utiliza¸cão

desses algoritmos para realizar a estima¸c˜ao dos parˆametros era comprometida, pois para

esses algoritmos tradicionais poderem ser utilizados, n˜ao pode haver dados incompletos.

Dessa forma, outro algoritmo computacional tornava-se necess´ario.

Dados incompletos podem ser considerados dados faltantes, truncados,

cen-surados, provenientes de misturas de popula¸c˜oes, dentre v´arios outros tipos. Levando-se

esses aspectos em considera¸c˜ao, Dempster et al. (1977) propuseram um algoritmo

uniﬁ-cado, denominado algoritmo EM, para obter as estimativas de m´axima verossimilhan¸ca

de dados incompletos. O nome “EM”, deve-se `as duas fases iterativas do algoritmo: a

fase E consiste em estimar os dados incompletos e a fase M maximiza a fun¸c˜ao de

ve-rossimilhan¸ca que considera as estat´ısticas suﬁcientes dos dados completos. O processo

(30)

A originalidade desse m´etodo se deve `a sua simplicidade, e ao grande

espec-tro de aplica¸cões do algoritmo (que vão bem além do caso espec´ıfico das distribui¸cões da

fam´ılia exponencial) e das fortes propriedades de convergˆencia que o m´etodo apresenta.

No mesmo artigo, s˜ao descritos alguns exemplos de modelagem envolvendo

i) dados perdidos para amostras multinomiais, modelos lineares com distribui¸c˜ao

nor-mal e amostragem de popula¸c˜ao normal multivariada;

ii) dados agrupados, censurados e truncados;

iii) mistura ﬁnita de popula¸c˜oes;

iv) estima¸c˜ao de componentes de variˆancia em modelos mistos;

v) substitui¸c˜ao do algoritmo de m´ınimos quadrados reponderados iterativamente, na

presen¸ca de dados incompletos.

Descri¸c˜ao do algoritmo EM

Seja x o vetor de dados completos, f (x; δ) sua fun¸c˜ao densidade de

probabi-lidade, y o vetor de dados incompletos e g(y; δ) a fun¸c˜ao densidade de probabilidade de y.

S˜ao considerados dois espa¸cos amostrais, ΩX (espa¸co amostral para os dados completos)

e ΩY (espa¸co amostral para os dados incompletos). ´E assumida a rela¸c˜ao de y→ y(x) de

ΩX a ΩY. Assim sendo, a fun¸c˜ao densidade de probabilidade de y, g(y; δ), ´e denotada

por (DEMPSTER et al., 1977)

g(y; δ) =

∫ ΩY (y)

f (x; δ)dx, (8)

em que ΩY(y) ´e uma sub-amostra do espa¸co de ΩX. Se f (x; δ) for uma distribui¸c˜ao

discreta, a integral em (8) ´e substitu´ıda por um somat´orio.

Sejam lc(δ; x) = log f (x; δ) o logaritmo da fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca,

baseado nos dados completos, e l(δ; y) = log(y; δ) o logaritmo da fun¸c˜ao de

verossimi-lhan¸ca, baseado nos dados incompletos. O objetivo do algoritmo EM ´e encontrar a

esti-mativa de m´axima verossimilhan¸ca de δ.

Utilizando-se o algoritmo EM, realiza-se a maximiza¸c˜ao de l(δ; y),

(31)

observáveis, são substitu´ıdos pela esperan¸ca condicional, dados as observa¸cões e os

valo-res correntes dos parˆametros,

δ(r+1) = E[lc(δ; x)|y, δ(r)]. (9)

A equa¸c˜ao (9) pode ser resolvida, usando-se os passos E e M, que se seguem.

Passo E: calcular a esperan¸ca condicional do logaritmo da fun¸c˜ao de

ve-rossimilhan¸ca dos dados completos, lc(δ; x), dados o vetor de observa¸c˜oes y e os r-´esimos

valores tempor´arios do parˆametro δ(r):

Q(δ; δ(r)) = E[lc(δ; x)|y, δ(r)].

Passo M: encontrar δ(r+1) para maximizar Q(δ; δ(r)), obtido no passo E:

Q(δ(r+1); δ(r))≥ Q(δ; δ(r)).

Os passos E e M são repetidos até a convergência ser obtida, isto é, até que

a diferen¸ca entre lc(δ(r+1); x) e lc(δ(r); x) seja neglig´ıvel.

2.1.3 Modelos lineares generalizados mistos e procedimento de estima¸c˜ao dos

parˆametros, usando-se o algoritmo EM

Ap´os realizar o ajuste de um modelo linear generalizado a determinado

conjunto de observa¸c˜oes, como, por exemplo, o ajuste de um modelo binomial, se forem

inclu´ıdas todas as vari´avies explanat´orias consideradas importantes, ainda assim a

va-ria¸cão residual poderá ser maior do que a varia¸cão que pode ser acomodada pelo modelo.

Isso poderá indicar a ocorrência de superdispersão (HINDE e DEMÉTRIO, 1998).

Den-tre v´arias das poss´ıveis causas da superdispers˜ao, duas delas podem ser o processo de

realiza¸c˜ao do experimento e o processo de coleta dos dados. Quando ocorre a

superdis-persão, devem-se procurar variáveis explanatórias adicionais, ou incluir no modelo uma

fonte adicional de varia¸c˜ao que a acomode. Segundo Collett (2003), uma das maneiras de

se acomodar a superdispersão é incluir um efeito aleatório no modelo.

Nos modelos mistos normais, os componentes aleat´orios s˜ao adicionados no

modelo da mesma forma que os efeitos ﬁxos. A interpreta¸c˜ao de um efeito como sendo

fixo, ou aleatório, depende do objetivo da análise. Se os n´ıveis particulares de um fator

(32)

se for verificado que os n´ıveis do fator são uma sele¸cão aleatória de uma popula¸cão com

determinados n´ıveis, assume-se que o fator ´e aleat´orio. Dependendo do contexto, o mesmo

fator pode ser considerado ﬁxo ou aleat´orio. Para o modelo normal misto, assume-se que a

distribui¸c˜ao do vetor de resposta Y, condicional ao efeito aleat´orio Z∗, possui distribui¸c˜ao

normal,

Y|Z∗ ∼ N(Xβ + Z∗, γ2I)

em que β ´e o vetor de efeitos ﬁxos associado a matriz de delineamento X e γ2_{I a matriz}

de variˆancias e covariˆancias do modelo.

Na teoria de modelos lineares generalizados, quando se deseja melhor

aco-modar a variabilidade presente nas observa¸c˜oes, uma das alternativas ´e incluir um efeito

aleat´orio no preditor linear. Assim, por exemplo, se Yi representa a vari´avel aleat´oria

n´umero de sucessos em mi ocorrˆencias e Zi∗ um efeito aleat´orio no preditor linear, tem-se

que Yi|Zi∗ ∼ Binomial(mi, πi), e ηi = logit(πi) = log ( πi 1− πi ) = xT_i β + z_i∗.

Na maioria das vezes, sup˜oe-se que o efeito aleat´orio Z_i∗ segue distribui¸c˜ao

normal com m´edia zero e variˆancia σ2_{, em que σ}2_´_{e desconhecido. Outra forma de nota¸c˜}_ao,

´

e substituir Z_i∗ por σZi, em que se sup˜oe que Zi segue distribui¸cão normal padrão, isto é

ηi = xTi β + σzi = g(µi), (10)

em que g(·) é a fun¸cão de liga¸cão.

Se o efeito aleat´orio Zina express˜ao (10) fosse conhecido, e n˜ao apenas a sua

distribui¸c˜ao, o parˆametro σ poderia ser estimado conjuntamente com β, de maneira

con-vencional, correspondendo a ajustar um modelo, considerando-se Z uma vari´avel aleat´oria

extra. Normalmente, Zi ´e desconhecido e o problema torna-se um candidato para o uso

do algoritmo EM (ANDERSON e HINDE, 1988; AITKIN et al. 2009).

Sejam δ = (β, σ), o vetor de parˆametros de interesse, e δ(r) = (β(r), σ(r)₎T_,

o vetor das estimativas dos parˆametros na r-´esima itera¸c˜ao. Os passos para a realiza¸c˜ao

do algoritmo EM s˜ao:

Passo E: Calcular Q(δ|δ(r)) = E[log f (y, z|δ)|y, δ(r)],

Passo M: Escolher δ(r+1) para maximizar Q(δ|δ(r)).

Considerando-se apenas uma ´unica observa¸c˜ao Yi e um efeito aleat´orio Zi,

Q(δ|δ(r)) =

∫ _∞

−∞

(33)

´e uma fun¸c˜ao de δ(r) e n˜ao de δ. Assumindo-se que se podem derivar os elementos que

constituem a integral em (11), para o v-´esimo elemento de δ, o passo M ﬁca

∂Q(δ|δ(r)) ∂δv = s−1 ∫ _∞ −∞ ∂ log f (yi, zi|δ) ∂δv f (yi|zi, δ(r))f (zi)dzi, sendo que

log(yi, zi|δ) = log[f(yi|zi, δ)f (zi)] = log f (yi|zi, δ) + log f (zi).

Se a distribui¸c˜ao de Zi ´e conhecida e sem parˆametros desconhecidos,

log f (zi) ´e independente de δ, e, portanto,

∂Q(δ|δ(r)) ∂δv = s−1 ∫ _∞ −∞ log f (yi|zi, δ) ∂δv f (yi|zi, δ(r))f (zi)dzi. (12)

A integral em (12) não tem solu¸cão anal´ıtica e há necessidade de se usar um

método de integra¸cão num´erica. Em particular, como Zi tem distribui¸cão normal padrão

pode-se utilizar o m´etodo de quadratura Gaussiana (STROUD e SECREST, 1966), com

K-pontos Z1, . . . , Zke pesos associados α1, . . . , αk. Isso consiste em se substituir a integral

em (12) por uma soma, isto ´e,

(34)

s˜ao as probabilidades “a posteriori” de Zk dados Yi e δ(r).

Realizar a maximiza¸c˜ao de Q(δ|δ(r)) em (13) ´e equivalente a maximizar uma

soma ponderada dos logaritmos da fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca da distribui¸c˜ao condicional

da vari´avel resposta, dada a vari´avel de mistura (efeito aleat´orio Zi). Para a classe dos

modelos lineares generalizados, a vari´avel aleat´oria Yi tem fun¸c˜ao densidade de

probabili-dade, para o caso cont´ınuo, ou fun¸c˜ao de probabilidade, para o caso discreto, da seguinte

forma f (Yi = yi; θi, ϕ) = exp { ϕ−1[yiθi− b(θi)] + c(yi, ϕ) } i = 1, 2, . . . , n. (15)

Para estender (15), por meio da inclus˜ao de um efeito, assim como em (10),

deve-se considerar θi como fun¸c˜ao de σ e Zi. Logo,

log f (y|z) = ϕ−1

n

∑

i=1

{[yiθi− b(θi)] + c(yi, ϕ)} . (16)

Derivando-se (16) em rela¸c˜ao a δ, obt´em-se

∂ log f (y|z) ∂δv = ϕ−1 n ∑ i=1 [ yi ∂θi ∂δv − ∂b(θi) ∂δv + ∂c(yi, ϕ) ∂δv ] = ϕ−1 n ∑ i=1 [ yi ∂θi ∂δv − ∂b(θi) ∂δv ] . (17)

Substituindo-se (17) em (13), e igualando-se a zero, obt´em-se

n ∑ i=1 K ∑ k=1 wik ∂θi ∂δv [yi− b′(θi)] = 0. (18)

Nota-se que (18) representa uma soma ponderada das fun¸c˜oes escores de

um modelo linear generalizado padr˜ao. Portanto, segundo Hinde (1982) o processo de

estima¸c˜ao, procede, ajustando-se um modelo linear generalizado ponderado com pesos

wik aos dados expandidos (K-c´opias dos dados originais). Esses pesos s˜ao fun¸c˜oes de Zk,

Yi, σ e β, e devem ser estimados iterativamente.

Logo, para se estimarem os parˆametros, utilizando-se o algoritmo EM,

de-vem ser seguidas as etapas:

1- Encontrar as estimativas de β ignorando-se Z, e ajustar um modelo linear

(35)

2- Expandir K vezes o vetor de observa¸c˜oes e a matriz X, isto ´e, y∗ = [yT_{, y}T_{, . . . , y}T_]T _{e X}∗ _{= [X}T_{, X}T_{, . . . , X}T_]T_{. Expandir z}

k, n vezes, isto ´e, z =

[z1, z1, . . . , z1, z2, z2. . . , z2, . . . , zk, zk, . . . , zk]T;

3- Fornecer um valor incial para σ, sendo que Anderson e Hinde (1988) sugerem σ = 1;

4- Passo E: Calcular os pesos wik, pela express˜ao (14);

5- Passo M: Resolver (18), utilizando-se wikcomo pesos a priori no ajuste de um modelo

linear generalizado ponderado;

6- Repetir os passos (4) e (5) at´e obter a convergˆencia.

Segundo Collett (2003), o n´umero K de pontos de quadratura Gaussiana

n˜ao precisa ser maior do que 20.

2.1.4 Ensaio do tipo dose-resposta

Em vários experimentos, o objetivo é verificar a rela¸cão entre a dose e

a resposta, procedimento conhecido como ensaio do tipo dose-resposta. “Dose” ´e um

termo geral que indica a magnitude de um est´ımulo (por exemplo, uma droga), aplicado a

determinado indiv´ıduo, ou a um grupo de indiv´ıduos, e a “resposta” ´e a medida do efeito

que o est´ımulo produz nesses indiv´ıduos.

Supondo que um est´ımulo ´e aplicado em diferentes doses di, i = 0, 1, . . . , D,

respectivamente, a j grupos de indiv´ıduos, sendo que j = 1, 2, . . . , ni, e cada indiv´ıduo,

responde ou n˜ao, ao est´ımulo aplicado, tal que a resposta ´e quantal (sucesso ou fracasso,

isto é, 1 ou 0). Após um per´ıodo especificado, obtém-se um n´umero yij de indiv´ıduos que

mudam de estado (ocorrˆencia de um sucesso) do total de mij indiv´ıduos. O exemplo mais

´

obvio ´e a morte, entretanto, quando se trabalha, por exemplo, com insetos ou larvas, pode

ser dif´ıcil decidir, precisamente, quando um inseto ou uma larva est˜ao mortos, ou talvez

quando tenham atingido um est´agio de inatividade seguido de morte. Em pesquisas

com fungicidas, a falha de um esporo em germinar ´e uma resposta quantal de grande

importˆancia, assim como em estudos sobre a potˆencia de drogas, a resposta pode ser a

cura de uma condi¸cão mórbida, sem cura parcial sob considera¸cão (FINNEY, 1980).

Dados resultantes desse tipo de ensaio podem ser considerados como

(36)

aleat´oria correspondente ao n´umero de sucessos Yij tem distribui¸c˜ao binomial B(mij, πij),

deﬁnida em (4) (CORDEIRO e DEM´ETRIO, 2007).

Em um bioensaio, se o est´ımulo aplicado aos indiv´ıduos s˜ao doses variadas

de determinado pesticida, se a dose administrada for muito pequena, nenhum indiv´ıduo

responderá, e se as doses forem altas, será fatal para todos. O objetivo é, em geral,

determinar a dose, que ocasiona a mortalidade de 100p% dos indiv´ıduos, em que 0 < p < 1, referida como “dose efetiva”, ou, “dose letal” no caso de morte. Trevan (1927) sugeriu

o cálculo da “dose letal mediana”, que irá produzir a resposta em metade da popula¸cão,

denominada DE50.

2.1.5 Mortalidade natural

Segundo Collett (2003), vários experimentos na área entomológica, mostram

evidˆencias de que as respostas (morte ou n˜ao dos indiv´ıduos) podem ocorrer mesmo

quando o est´ımulo n˜ao ´e administrado a determinado grupo de indiv´ıduos. Por exemplo,

quando se realiza um bioensaio, para testar a efetividade de determinado inseticida a ser aplicado em insetos, alguns insetos podem morrer durante o per´ıodo experimental, devido

a algum problema durante a execu¸c˜ao do experimento, ou devido a causas naturais. Assim,

os insetos podem morrer mesmo que n˜ao tenham recebido nenhuma dose do inseticida, e

parte dos insetos que morreram e que receberam determinada dose do inseticida, podem

n˜ao ter morrido devido `a dose de inseticida recebida. Esses insetos apresentam “resposta

natural”ou “mortalidade natural”.

A an´alise de dados de bioensaios que apresentam essa particularidade, deve

levar isso em considera¸c˜ao. Assim, assume-se que a porpor¸c˜ao ω, representa a taxa de

mortalidade natural. Para qualquer n´ıvel da dose di, a propor¸c˜ao esperada de indiv´ıduos

que morrem somente devido `a dose di, πij, não é diretamente observável. A propor¸cão

observ´avel, π∗_ij, corresponde `a propor¸c˜ao ω de indiv´ıduos que morrem naturalmente e da

propor¸c˜ao (1 − ω)πij de indiv´ıduos que morrem devido `a dose di. Assim sendo, πij∗ ´e

expressa por π_ij∗ =    ω i = 0, j = 1, . . . , n0 (grupo controle) ω + (1− ω)πij i = 1, . . . , D, j = 1, . . . , ni, (19)

resultado conhecido como f´ormula de Abbott (ABBOTT, 1925).

(37)

uma observa¸c˜ao de uma vari´avel aleat´oria Yij com distribui¸c˜ao binomial B(mij, πij∗), em

que πij é modelado como fun¸c˜ao da dose di, utilizando-se a fun¸cão de liga¸cão apropriada

(probito, log´ıstica ou complemento log-log). Utilizando-se a fun¸c˜ao de liga¸c˜ao log´ıstica e

um modelo linear em rela¸c˜ao `a dose di para πij, logit(πij) = β0+ β1di, a express˜ao para

π_ij∗ ﬁca π_ij∗ =    ω i = 0, j = 1, . . . , n0 (grupo controle) ω + (1− ω) exp(β0+β1di) 1+exp(β0+β1di) i = 1, . . . , D, j = 1, . . . , ni. (20)

2.1.6 Mortalidade natural e fator de heterogeneidade

A express˜ao (20) leva em conta a ocorrˆencia de mortalidade natural, mas

se a variabilidade das respostas observadas for maior do que a variabilidade predita pelo

modelo, o ajuste n˜ao ser´a bom, mostrando ind´ıcios de que a variabilidade presente nas

observa¸cões é maior do que a variabilidade que o modelo padrão de mortalidade natural

pode acomodar, ou seja, pode estar ocorrendo superdispers˜ao (HINDE e DEM´ETRIO,

1998). Na ocorrˆencia, ou n˜ao, de mortalidade natural, o modelo binomial que leva em

conta a ocorrˆencia de mortalidade natural, seria apropriado se os indiv´ıduos em cada

grupo respondessem independentemente e com as mesmas probabilidades de morte. Se

uma das pressuposi¸cões é violada, pode ocorrer a superdispersão. Uma maneira

sim-ples de contornar esse problema, ´e calcular o fator de heterogeneidade (MCCULLAGH e

NELDER, 1989), ˆ ϕ = 1 N − p D ∑ i=0 ni ∑ j=1 (yij− mijπˆ∗ij)2 mijπˆij∗(1− ˆπij∗) , (21)

em que N =∑D_i=0ni, é o número total de observa¸c˜oes e p ´e o número de parâmetros do

modelo (p = 3 para esse modelo padr˜ao). Em seguida, essa estimativa pode ser usada para

multiplicar as variâncias das estimativas dos parâmetros do modelo padrão de mortalidade

natural. Outra alternativa seria usar o modelo beta-binomial com mortalidade natural.

2.1.7 Teste da raz˜ao de verossimilhan¸cas e AIC

Ap´os realizar o ajuste de um modelo a determinado conjunto de observa¸c˜oes,

é necessário verificar se houve um bom ajuste, e se todos os parâmetros presentes no

modelo são necessários. Para realizar a compara¸cão entre modelos, na maioria das vezes

(38)

Seja o modelo I, com preditor linear ηij = β0+ β1di, que s´o envolve efeitos

ﬁxos. O modelo II, com preditor linear ηij = β0 + β1di + σzij ´e um modelo misto, que

envolve efeitos ﬁxos e um efeito aleat´orio aleat´orio (Zij).

A compara¸c˜ao entre os modelos I e II, equivale ao teste da hip´otese H0 : σ2 =

0, que ´e um teste no limite do espa¸co param´etrico (MCCULLOCH et al., 2008). Seja cL1 a

fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca maximizada sob o modelo I, e cL2 a fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca

maximizada sob o modelo II. Logo,

−2 log ˆΛ = 2[log(cL2)− log(cL1)],

tem uma distribui¸c˜ao assint´otica que ´e uma mistura 50:50 de χ2

0 e χ21. Portanto, para um

teste com n´ıvel α de significância, rejeita-se H0 se−2 log bΛ é maior do que 1₂χ2_1,1_−α.

Outro critério, que pode ser utilizado para a compara¸cão de modelos, é o

crit´erio AIC (Akaike Information Criterion) (SAKAMOTO et al., 1986), deﬁnido por

AIC = −2 log bΛ + 2npar,

em que npar é o número de parâmetros do modelo. Para realizar a compara¸cão entre os

modelos, quanto menor for o AIC, melhor ´e o ajuste fornecido pelo modelo.

2.1.8 Gr´afico semi-normal de probabilidade com envelope de simula¸c˜ao

Ao se utilizarem o teste da razão de verossimilhan¸cas e o critério AIC, só

´

e poss´ıvel verificar se um modelo é superior a outro. Entretanto, não é poss´ıvel concluir

se o modelo escolhido está bem ajustado ao conjunto de observa¸cões. Para verificar se

um modelo se ajusta bem a um conjunto de observa¸c˜oes, uma das alternativas ´e analisar

os res´ıduos do modelo, utilizando-se os gr´aﬁcos semi-normais de probabilidade com

enve-lopes de simula¸c˜ao (ATKINSON, 1985). Para o modelo binomial, os res´ıduos ordin´arios

(MCCULLAGH e NELDER, 1989) s˜ao deﬁnidos por

ˆ

rij = ˆµij −

yij

mij

,

em que ˆµij s˜ao os valores ajustados do modelo.

O gráfico semi-normal de probabilidade com envelope de simula¸cão, para

qualquer modelo só com efeitos fixos, é constru´ıdo da seguinte forma (HINDE e

(39)

i) Ajustar um modelo e calcular r(ij), os valores absolutos ordenados do res´ıduo que

est´a sendo utilizado;

ii) Simular pelo menos l = 19 amostras, utilizando-se como parˆametros os valores das

estimativas dos parˆametros do modelo ajustado em i) e os mesmos valores observados

das vari´aveis explanat´orias;

iii) Reajustar o mesmo modelo para cada amostra e calcular o valor absoluto ordenado dos res´ıduos, r_l(ij)∗ , l = 1, 2, . . . , 19, i = 1, 2, . . . , D, j = 1, 2, . . . , ni;

iv) Para cada ij, calcular a m´edia, o valor m´ınimo e o m´aximo de r∗_l(ij);

v) Plotar os valores de iv) e os valores de r(ij) versus os quantis da distribui¸c˜ao

semi-normal, tendo o envelope simulado como limites o n´umero m´ınimo e o m´aximo de

r_l(ij)∗ .

Se o modelo fornecer um bom ajuste, o envelope simulado ir´a conter a

grande maioria dos pontos, caso contr´ario, se muitos pontos estiverem fora do envelope

(40)

2.2 Metodologia

2.2.1 Mortalidade natural e efeito aleat´orio - desenvolvimento do modelo

Uma extens˜ao do modelo binomial que inclui um parˆametro para

mortali-dade natural, surge com a adi¸c˜ao de um efeito alet´orio no preditor linear. Esse modelo

levar´a em considera¸c˜ao a variabilidade que ocorre entre os indiv´ıduos que pertencem ao

mesmo grupo, e, conjuntamente, fornecer´a uma estimativa da propor¸c˜ao de mortalidade

natural. Assim, considerando-se que Yij ∼ Bin(mij, πij∗) e utilizando-se a fun¸c˜ao de liga¸c˜ao

log´ıstica, a probabilidade condicional π_ij∗ dado Zij, de os indiv´ıduos morrerem, ﬁca dada

por π_ij∗ =    ω i = 0, j = 1, . . . , n0 (grupo controle) ω + (1− ω) exp(β0+β1di+σzij) 1+exp(β0+β1di+σzij) i = 1, . . . , D, j = 1, . . . , ni, (22)

em que o efeito aleat´orio Zij, é assumido ser uma variável aleatória com distribui¸cão

nor-mal padrão, correspondendo à varia¸c˜ao do j-ésimo grupo, que recebeu o i-´esimo n´ıvel de

dose di. A expressão (22) é bastante flex´ıvel, pois pode ser modificada para outras fun¸cões

de liga¸cão e para incluir outros efeitos aleatórios, como, por exemplo, efeito aleatório no

n´ıvel das doses.

Para a estima¸cão dos parâmetros, pelo método da máxima verossimilhan¸ca,

para o modelo padr˜ao que inclui um parˆametro para mortalidade natural e aquele que,

além disso, leva em conta a superdispersão por meio da inclusão de um efeito aleatório

no preditor linear, ser˜ao usados dois algoritmos, o algoritmo EM e o de Newton Raphson.

O algoritmo EM fornece somente as estimativas dos parˆametros, e para calcular os erros

padrões das estimativas dos parâmetros, algum método auxiliar deve ser utilizado, como,

por exemplo, os m´etodos de Louis (1982) ou de Oakes (1999). O algoritmo de Newton

Raphson, al´em de fornecer as estimativas dos parˆametros, fornece diretamente a matriz

de variâncias e covariâncias das estimativas dos parâmetros. Outro algoritmo similar

ao de Newton Raphson, que, tamb´em, pode ser utilizado para a realizar estima¸c˜ao dos

parâmetros do modelo, é o algoritmo escore de Fisher, que envolve a substitui¸cão da matriz

de derivadas parciais de segunda ordem pela matriz de valores esperados das derivadas

parciais, mas coincide com o algoritmo de Newton Raphson no caso das fun¸c˜oes de liga¸c˜ao

canônica, como, por exemplo, quando é utilizada a fun¸cão de liga¸cão log´ıstica.

(41)

implemen-tados no software estat´ıstico R (R DEVELOPMENT CORE TEAM, 2012), utilizando-se

as fun¸c˜oes optim e glm para o modelo sem efeito aleat´orio. Para o modelo com efeito

aleat´orio, utiliza-se a fun¸c˜ao allvc do pacote npmlreg (EINBECK et al. 2007) do

software R, especialmente desenvolvido para estima¸cão não paramétrica de máxima

ve-rossimilhan¸ca para modelos com efeito aleat´orio. Os comandos utilizados encontram-se

no Apˆendice.

2.2.2 Ajuste do modelo binomial que leva em conta a ocorrˆencia de

mortali-dade natural

De forma reduzida, tem-se que para dados na forma de propor¸c˜oes com

mortalidade natural admite-se que Yij ∼ Bin(mij, πij∗), sendo πij∗ descrito por (19). Logo,

a fun¸cão de verossimilhan¸ca para o modelo padrão de mortalidade natural é expressa por

L(ω, β; y) = D ∏ i=1 ni ∏ j=1 ( mij yij ) [ω + (1− ω)πij]yij{(1 − ω) [1 − πij]}mij−yij × n0 ∏ j=1 ( m0j y0j ) ωy0j₍₁− ω)m0j−y0j_, ₍₂₃₎

em que yij, s˜ao os n´umeros de indiv´ıduos que morrem do total de mij indiv´ıduos, expostos `a

dose di, e y0j s˜ao os n´umeros de inv´ıduos que pertencem ao grupo controle, que morrem do

total de m0j indiv´ıduos. Se for utilizada a fun¸c˜ao de liga¸c˜ao log´ıstica, πij =

exp(β0+β1di)

1+exp(β0+β1di),

mas qualquer outra fun¸c˜ao de liga¸c˜ao pode ser utilizada. Para encontrar as estimativas

dos parâmetros do modelo, é necessário maximizar a fun¸cão de verossimilhan¸ca (23). A

seguir, são apresentadas duas alternativas para a estima¸cão dos parâmetros do modelo.

A primeira delas usando o algoritmo de Newton Raphson e a segunda usando o algoritmo EM.

2.2.2.1 Estima¸c˜ao dos parˆametros, usando-se o algoritmo de Newton

Raphson

O logaritmo da fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca (23), para o modelo binomial que

(42)

dado por l(ω, β; y) = D ∑ i=1 ni ∑ j=1 log ( mij yij ) + yijlog [ω + (1− ω)πij] + (mij − yij) log [(1− ω) (1 − πij)] + n0 ∑ j=1 log ( m0j y0j ) + y0jlog(ω) + (m0j − y0j) log(1− ω), (24) sendo que πij = exp(β0+ β1di) 1 + exp(β0+ β1di) .

Para encontrar os estimadores de m´axima verossimilhan¸ca dos parˆametros

ω, β0 e β1, é necessário calcular as derivadas de primeira ordem de (24), em rela¸cão aos

mesmos, isto ´e, ∂l(ω, β; y) ∂ω , ∂l(ω, β; y) ∂β0 e ∂l(ω, β; y) ∂β1 ,

igualar a zero e resolver o sistema de equa¸c˜oes.

Não há solu¸cão de forma fechada para o sistema de equa¸cões resultantes,

pois são equa¸cões não lineares. Logo, é necessário o uso de um processo iterativo, como

o algoritmo de Newton Raphson, para encontrar as estimativas dos parˆametros. Para

implementar o algoritmo de Newton Raphson, é necessário, então, resolver o sistema de

equa¸c˜oes      ω(r+1) β₀(r+1) β₁(r+1)     =      ω(r) β₀(r) β₁(r)     + A−1B, em que A =−         ∂2l(ω, β; y) ∂ω2 ∂2l(ω, β; y) ∂ω∂β0 ∂2l(ω, β; y) ∂ω∂β1 ∂2l(ω, β; y) ∂β0∂ω ∂2l(ω, β; y) ∂β2 1 ∂2l(ω, β; y) ∂β0∂β1 ∂2l(ω, β; y) ∂β1∂ω ∂2l(ω, β; y) ∂β1∂β0 ∂2l(ω, β; y) ∂β2 1         e B =        ∂l(ω, β; y) ∂ω ∂l(ω, β; y) ∂β0 ∂l(ω, β; y) ∂β1       

, sendo que A ´e a matriz Hessiana e B o vetor escore.

Para iniciar o processo iterativo, ´e necess´ario fornecer os valores iniciais ω(0)_,