Desenvolvendo Algoritmos Quˆanticos Utilizando uma
Linguagem Funcional
Marcos B. Cardoso∗, Renata H. S. Reiser , Antˆonio C. R. Costa 1Escola de Inform´atica - Universidade Cat´olica de Pelotas (UCPel)
Rua Felix da Cunha, 412 - 96010-000- Pelotas - RS - Brasil {mbcardo,reiser,rocha}@atlas.ucpel.tche.br
Abstract. This article approaches the functional modeling for the quantum
com-putation. This approach is based in the work developed for AMR SABRY and intends besides implementing what SABRY suggested, develop more quantum algorithms to execute tests in the model.
Resumo. Este artigo aborda a modelagem funcional para a computac¸˜ao
quˆantica. A mesma est´a baseada no trabalho desenvolvido por AMR SABRY e pretende al´em de implementar o que por SABRY foi sugerido desenvolver mais algoritmos quˆanticos para executar testes no modelo.
1. Introduc¸˜ao
O desenvolvimento e a an´alise de novos algoritmos que possam usufruir dos benef´ıcios providos pelo paralelismo quˆantico [Rieffel and Polak, 2000] desperta grande interesse da comunidade cient´ıfica, como intuito de aproveitar todo o poder computacional provido pelo computador quˆantico. Este trabalho prop˜oe o estudo e implementac¸˜ao destes algo-ritmos, teoricamente mais r´apidos que os algoritmos desenvolvidos para os computadores convencionais, denominados de algoritmos quˆanticos.
Embora a grande maioria dos algoritmos quˆanticos desenvolvidos atualmente uti-lizem linguagens de programac¸˜ao imperativa, neste trabalho segue-se a proposta intro-duzida em [Sabry, 2003], de aplicac¸˜ao da programac¸˜ao funcional na modelagem das computac¸˜oes quˆanticas. Mais especificamente, na implementac¸˜ao de algoritmos b´asicos da computac¸˜ao quˆantica faz-se uso da linguagem funcional Haskell [Bird, 1988], cuja semˆantica acess´ıvel utiliza construc¸˜oes l´ogicas do C´alculo Lambda (λ-Calculus).
Ciente de que a programac¸˜ao puramente funcional n˜ao possui estruturas de con-trole, este trabalho utiliza-se do conceito de mˆonadas [Wadler, 1995], viabilizando a pos-sibilidade de discretizar passos de um programa, lidando com transformac¸˜oes de estados, excec¸˜oes e continuac¸˜oes.
Tendo em vista que todo modelo de computac¸˜ao quˆantica deve comprometer-se com a interpretac¸˜ao da Mecˆanica Quˆantica [Hirvensalo, 2001], a metodologia sugerida por Amr Sabry [Sabry, 2003] para modelagem de algoritmos quˆanticos engloba efeitos colaterais globais, podendo ou n˜ao estarem relacionados com a “realidade f´ısica”.
Nesta abordagem, para a representac¸˜ao de qubits (bits quˆanticos) define-se um novo tipo de dado na linguagem, interpretando o vetor quˆantico como um estado de mem´oria. Esta interpretac¸˜ao deixa impl´ıcita a superposic¸˜ao de estados, ou seja, a pos-sibilidade de um bit quˆantico assumir mais de um valor (Falso, Verdadeiro ou Falso e Verdadeiro), simultanemente.
A partir desta representac¸˜ao pode-se ser explorado o paralelismo quˆantico e torna-se vi´avel o tratamento das operac¸˜oes b´asicas como a negac¸˜ao de operadores e o operador and, ambos caracterizados como operadores revers´ıveis.
Com base nestes resultados, o objetivo deste trabalho foi estender a implementac¸˜ao introduzida em [Sabry, 2003] para outros algoritmos b´asicos da Computac¸˜ao Quˆantica.
Neste trabalho foram estudados os conceitos fundamentais da linguagem Haskell incluindo a aplicac¸˜ao da t´ecnica de valores virtuais para implementac¸˜ao de algorit-mos quˆanticos, com an´alise e especificac¸˜ao de tipos de dados quˆanticos (cl´assicos, sobreposic¸˜ao e emaranhados), atribuic¸˜ao de valores, transformac¸˜oes un´arias e modelgem de medidas.
2. Computac¸˜ao Quˆantica
A evoluc¸˜ao dos processadores com chips cada vez menores e mais r´apidos, converge para o estudo da nanˆotecnologia. Isso significa que estamos nos aproximando dos lim-ites f´ısicos da mat´eria e para continuarem os avanc¸os, ser´a preciso abandonar o uso de transistores e partir para alguma estrutura mais eficiente, justificando-se o interesse pela Computac¸˜ao Quˆantica [Rieffel and Polak, 2000].
A Computac¸˜ao Quˆantica consiste em um modelo de computac¸˜ao baseado nas leis da Mecˆanica Quˆantica [Oliveira et al., 2003]. S˜ao significaticvos os casos estudados, onde os procedimentos e os c´alculos quˆanticos mostram-se capazes de realizar, em minutos ou horas, tarefas que levariam bilh˜oes de anos em computadores cl´assicos. Estes resulta-dos despertam um grande entusiasmo na comunidade cient´ıfica e ao mesmo tempo uma grande busca pela compreens˜ao e manipulac¸˜ao da chamada informac¸˜ao quˆantica.
2.1. O Computador Quˆantico
O tempo que leva uma certa computac¸˜ao pode ser diminu´ıdo atrav´es da utilizac¸˜ao de processadores paralelos. Para realizar uma reduc¸˜ao exponencial no tempo ´e requerido um incremento no n´umero de processadores, e conseq¨uentemente, implica em um aumento exponencial na quantia de espac¸o f´ısico requerido. Contudo, em um sistema quˆantico, o aumento na quantia f´ısica implica apenas em um aumento exponencial do paralelismo no sistema. Assim, para se obter um aumento exponencial relacionado ao paralelismo ´e necess´ario apenas um aumento linear na quantia de espac¸o f´ısico, efeito este chamado paralelismo quˆantico.
Em um computador temos, por exemplo, capacitores que carregados est˜ao repre-sentando 1, e quando descarregados, representam 0. A partir disso, pode-se lidar com as informac¸˜oes. Quando utilizamos ´atomos, f´otons, ou outros sistemas desse tipo, podemos aproveitar as propriedades da Mecˆanica Quˆantica para construirmos computadores mais r´apidos que os atuais.
2.2. O Funcionamento do Computador Quˆantico Funciona
Uma part´ıcula quˆantica ´e similar a um el´etron ou n´ucleo atˆomico, onde o mesmo aceita dois estados ao mesmo tempo, ou seja, com seu giro(spin) positivo e negativo. Assim, a construc¸˜ao do bit quˆantico, ou qubit, ´e obtida. Quando o spin est´a positivo, o ´atomo pode ser lido como 1, e quando o spin for negativo, o ´atomo pode ser lido como 0. Isto corre-sponde ao sistema digital de 1s e 0s que os computadores tradicionais utilizam. O giro de um ´atomo para positivo ou negativo ´e o mesmo que mudar o estado de um transistor de ligado para desligado, onde ambos representam dados em termos de 1s e 0s.
Os qubits diferem dos bits dos computadores digitais tradicionais, porque um ´atomo ou n´ucleo pode estar em um estado de “superposic¸˜ao”, representando simultanea-mente ambos 0 e 1 e tudo entre os mesmos.
A combinac¸˜ao de superposic¸˜oes [de Lima et al., 2003] e correlac¸˜oes permitem um computador quˆantico ter um enorme poder computacional, permitindo e execuc¸˜ao c´alculos em paralelo, de maneira n˜ao-linear e, exponencialmente, mais r´apido que os computadores convencionais.
2.3. Princ´ıpio da Incerteza
Uma das afirmac¸˜oes feitas pela Mecˆanica Quˆantica ´e de que n˜ao podemos determinar ao certo a trajet´oria de uma part´ıcula.Esta inseguranc¸a em n˜ao saber como administrar algo que n˜ao pode ser determinado ´e denominada Princ´ıpio da Incerteza.
O conte´udo f´ısico de uma part´ıcula livre com momento linear preciso e com en-ergia precisa, n˜ao possui localizac¸˜ao espac¸o-temporal 1, ou seja, existe uma imprecis˜ao infinita sobre a sua posic¸˜ao. Em Mecˆanica Quˆantica, mantendo a precis˜ao sobre o mo-mento, perdemos toda a precis˜ao na posic¸˜ao.
2.3.1. Superposic¸˜ao Coerente
Outro fato bastante interessante e relevante da Mecˆanica Quˆantica ´e o de possuir part´ıculas (f´otons, el´etrons, etc) em mais de um estado diferente ao mesmo tempo. Este fenˆomeno ´e chamado de fenˆomeno da superposic¸˜ao.
O experimento apresentado na Figura 1 mostra a reflex˜ao um ´unico f´oton em um espelho semiprateado, ou seja, um espelho que reflete exatamente metade da luz que o atinge, enquanto que o restante da luz passa atrav´es dele.
Figure 1:F ´oton refletido em um espelho semi-prateado.
Parece sensato afirmar que o f´oton est´a tanto no feixe transmitido quanto no feixe refletido, com a mesma probabilidade. Na verdade, se colocarmos 2 fotodetectores al´em do espelho semiprateado, em linha reta com os dois feixes, o f´oton ser´a registrado com a mesma probabilidade tanto no detector 1 quanto no detector 2.
Na verdade o f´oton toma os dois caminhos de uma vez. Isto pode ser demonstrado recombinando os dois feixes com a ajuda de dois espelhos completamente prateados e colocando outro espelho semiprateado no ponto de encontro dos feixes, com mais dois fotodetectores na linha direta dos feixes, como mostra-se na Figura 2.
Parece-nos ´obvio que o f´oton deve de alguma forma ter viajado nas duas rotas de uma s´o vez, pois se uma tela absorvente for colocada no caminho de alguma das duas rotas, ent˜ao a probabilidade do detector 1 e do detector 2 ser atingido tornar-se-´a igual. Podemos observar este fenˆomeno na Figura 3.
Figure 2:F ´oton refletido em um espelho semiprateado e dois completa-mente prateados.
Figure 3:F ´oton refletido em um espelho semiprateado, um prateado ob-stru´ıdo e outrto n ˜ao.
Bloqueando um dos caminhos, permite-se que os dois detectores sejam atingidos. Se as duas rotas estiverem abertas, o f´oton, de alguma forma, sabe que n˜ao lhe ´e permitido atingir o detector 2.
´
E, entretanto, perfeitamente leg´ıtimo afirmar que entre os dois espelhos semiprateados o f´oton tomou os dois caminhos: o refletido e o transmitido, ou seja, o f´oton est´a em uma superposic¸˜ao coerente, entre estar no feixe transmitido e no feixe re-fletido simultaneamente.
2.4. Notac¸˜ao
O qubit ´e representado por um sistema quˆantico[Sch¨uler and Alvares, 2001] de dois es-tados que ´e constitu´ıdo por apenas uma part´ıcula. Um sistema quˆantico de dois eses-tados ´e descrito por um vetor unit´ario complexo no espac¸o de Hilbert C2. O espac¸o de Hilbert ´e um espac¸o vetorial complexo. Os dois estados do sistema quˆantico s˜ao representados por: |0> e |1>. O estado |0> ´e representado pelo vetor complexo (1,0) em C2 enquanto que o estado |1> ´e representado pelo vetor (0,1). Os vetores (1,0) e (0,1) ou |0> e |1> constituem a base ortogonal no espac¸o de Hilbert.
Para ilustrar, abordaremos um registrador quˆantico de 3 qubits. Esse registrador ´e representado pela superposic¸˜ao linear de seus oito autoestados como segue:
c1|000> + c2|001> + c3|010> + c4|011> + c5|100> +c6|101> + c7|110> + c8|111>. Para reduzir a notac¸ao notac¸˜ao, considera-se x1 = |000>, x2|001>, x3 = |010> ... x8= |111>. Sejam c1..c8s˜ao amplitudes de probabilidade, ent˜aoP8
j=1(|Cj|)2=1.
O estado de um registrador quˆantico de n qubits ´e a superposic¸˜ao linear de 2n autoestados. Uma superposic¸˜ao uniforme de autoestados ´e uma superposic¸˜ao linear de estados onde todos os autoestados apresentam a mesma amplitude de probabilidade.
Comprimento do N´umero a ser Fatorado (em Bits)
Tempo de Fatorac¸˜ao por Algoritmo Cl´assico
Tempo de Fatorac¸˜ao com o Algoritmo de Shor
512 4 dias 34 segundos
1024 100 mil anos 4,5 minutos
2048 100 mil bilh˜oes de anos 36 minutos
4096 100 bilh˜oes de quadrilh˜oes de anos
4,8 horas
Table 1: Comparac¸ ˜oes entre os tempos estimados para fatorac¸ ˜ao de n ´umeros de comprimentos diferentes com um algoritmo cl ´assico e com o de Shor
3. Algoritmo Quˆantico
Algoritmos Quˆanticos s˜ao desenvolvidos de forma que se possa minimizar a complexi-dade do c´odigo e aumentar a eficiˆencia computacional, quando comparados com algorit-mos rodados em computadores convencionais [Emberson, 2002].
Dentre os algoritmos quˆanticos j´a definidos, ser˜ao comentandos nesta sec¸˜ao, dois dos algoritmos mais conhecidos: o algoritmo de Shor e o algoritmo de Grover [Hirvensalo, 2001].
3.1. Algoritmo de Shor
Em 1994, Peter Shor [Shor, 1994] desenvolveu um algoritmo para fatorar em tempo poli-nomial (ou probabil´ıstico) n-d´ıgitos em um computador quˆantico. Um dos algoritmos cl´assicos mais eficiente atualmente, tem seu tamanho de entrada exponencial.
A relevˆencia do algoritmo de Shor [Hayward, 1999b] esta em apresentar a pos-sibilidade de aplicac¸˜ao da Computac¸˜ao Quˆantica em relevantes ´areas da Ciˆencia da Computac¸˜ao, como a Criptografia e a Codificac¸˜ao de Dados.
O algoritmo de Shor prop˜oe a fatorac¸˜ao de n´umeros grandes utilizados na maioria dos mundos sistemas de criptografia. Se um m´etodo eficiente de fatorar n´umeros grandes ´e implementado, a maioria das cenas de encriptac¸˜ao atuais seriam quase que in´uteis na protec¸˜ao de dados.
A tabela 1 mostra algumas comparac¸˜oes entre esses tempos estimados para fatorac¸˜ao de n´umeros de comprimentos distintos. No caso do algoritmo cl´assico (col-una do meio), o tempo ´e estimado com base na velocidade dos processadores atuais.
Acreditava-se que nenhum algoritmo seria eficiente o bastante a ponto de poder quebrar a seguranc¸a de sistemas criptogr´aficos. Dentro desta perspectiva, tem-se como exemplo, o algoritmo de RSA, extensamente usado na codificac¸˜ao de protocolos, e cuja seguranc¸a se baseia na dificuldade da soluc¸˜ao para este problema.
3.2. Algoritmo de Procura de Grover
Grover [Hirvensalo, 2001] desenvolveu um algoritmo para ser utilizado na procura de dados n˜ao ordenados em base de dados. Embora esse algoritmo n˜ao possua uma eficiˆencia t˜ao grande quanto o algoritmo de Shor, ele permite a soluc¸˜ao de problemas que seriam n˜ao comput´aveis em computadores cl´assicos.
Suponha que vocˆe tem um sistema com N = 2nestados, etiquetado S
1, S2, . . . SN. Estes estados de tamanho 2n s˜ao representados por strings de n bit’s. Suponha que h´a um elemento marcado Sm que satisfac¸a a condic¸˜ao C(Sm) = 1, e que, para todos esta-dos restantes C(S) = 0. Al´em disso, suponha que C pode ser avaliado em um tempo unit´ario [Hayward, 1999a].
A id´eia do algoritmo de Grover ´e colocar o registo em uma superposition igual de todos os estados, e ent˜ao, inverter seletivamente a fase do estado marcado. Neste momento, o algoritmo e executa uma invers˜ao sobre uma operac¸˜ao m´edia um n´umero de vezes. A invers˜ao seletiva do estado marcado segue pela invers˜ao sobre as etapas m´edias e tem o efeito de aumentar a amplitude do estado marcado por O(1/√N ). Con-seq¨uentemente, ap´os O(√N ) operac¸˜oes de probabilidade a medic¸˜ao de todos os estados marcados aproxima-se a 1.
4. Computac¸˜ao Quˆantica em Haskell
O trabalho de SABRY [Sabry, 2003] se baseia na forte conex˜ao entre programac¸˜ao fun-cional pura e a Computac¸˜ao Quˆantica. A programac¸˜ao funfun-cional se mostra interes-sante para esta abordagem, pois a mesma inclui a noc¸˜ao pr´e-definida de paralelismo (mesmo que essa noc¸˜ao seja qualitativamente diferente) e est´a baseada em fundamen-tos matem´aticos (espac¸os vetoriais, ´algebra de matrizes, etc.) que podem ser modelados de forma elegante em uma linguagem funcional.
O modelo de Computac¸˜ao Quˆantica em Haskell possui dois objetivos maiores: • Explicar a Computac¸˜ao Quˆantica em um n´ıvel de abstrac¸˜ao familiar `a comunidade
de linguagem de programac¸˜ao, aos inv´es dos modelos usados pelos f´ısicos. • Elicitar as conex˜oes entre Computac¸˜ao Quˆantica e programac¸˜ao funcional e
avaliar a adequac¸˜ao das abstrac¸˜oes funcionais ao dom´ınio da Computac¸˜ao Quˆantica.
Como qualquer outro, este modelo operacional da Computac¸˜ao Quˆantica tamb´em se compromete com a interpretac¸˜ao da Mecˆanica Quˆantica, a qual tem sido, e ainda ´e, assunto de debate entre os f´ısicos. O modelo implementa o mecanismo de colapso da func¸˜ao de onda, inerente `a medic¸˜ao.
Contrariamente a investigac¸˜oes preliminares, as abstrac¸˜oes da programac¸˜ao fun-cional (tais como realizadas em Haskell) n˜ao s˜ao t˜ao adequadas assim `a Computac¸˜ao Quˆantica. Os desacordos s˜ao, entretanto, bastante instrutivos. Primeiro, eles expli-cam alguma coisa da essˆencia da Computac¸˜ao Quˆantica, naquilo em que ela difere da programac¸˜ao funcional.
De modo muito significativo, ao contr´ario do que acontece com programas fun-cionais, o racioc´ınio sobre sistemas quˆanticos ´e n˜ao-composicional, o que exige novas abstrac¸˜oes.
4.1. Dados Quˆanticos
Os blocos b´asicos da Computac¸˜ao Quˆantica s˜ao os qubits. Depois de definidos os qubits, como um tipo de dado similar ao tipo cl´assico Bool, generaliza-se a construc¸˜ao para outros tipos de dados.
4.1.1. Tipos de Dados Enumerados
Em Haskell, o tipo de dado booleano e seus construtores s˜ao definidos como segue:
data Bool = False | True
Um valor do tipo Bool pode ser ouFalseouTrue, mas nunca igual a ambos ao mesmo tempo. Em contraste, qubits ou booleanos quˆanticos, cujo tipo ´e denotado porQV Bool, s˜ao valores da seguinte forma geral:
α |Falsei + β |Truei
onde α e β s˜ao n´umeros complexos representando amplitudes de probabilidade, cada construtorc ´e interpretado como um vetor unit´ario |ci, e + ´e a adic¸˜ao de vetores. Tal valor booleano quˆantico ´e, de alguma maneira,FalseeTrueao mesmo tempo, e essa superposic¸˜ao pode ser explorada em computac¸˜oes quˆanticas. Por exemplo, a superposic¸˜ao poderia ser usada para explorar dois caminhos alternativos de uma computac¸˜ao em par-alelo.
O uso de n´umeros complexos para representar as amplitudes de probabilidade significa que as amplitudes de probabilidade tem uma fase e, portanto, podem se reforc¸ar uma `a outra ou cancelar uma `a outra durante computac¸˜oes intermedi´arias. Em ´ultima instˆancia, entretanto, os ´unicos observ´aveis s˜ao ainda apenas oFalsee oTrue.
4.2. Func¸˜oes/Operac¸˜oes
Na situac¸˜ao cl´assica, o ´unico operador un´ario n˜ao-trivial sobre booleanos ´e a func¸˜ao not definida como segue:
not False = True not True = False
A correspondente func¸˜ao sobre valores booleanos quˆanticos mapeia o valor geral
(α |Falsei+β |Truei)para(β |Falsei+α |Truei). Ela pode ser definida como segue:
qnotf :: QV Bool -> QV Bool
qnotf v = qv [(False, pr v True),
(True, pr v False)]
´
E f´acil verificar queqnotf qFalsetem o valorqTrue, e vice-versa. Natural-mente,qnotf tamb´em pode ser aplicado a valores mistos comoqFT.
Por causa da estrutura mais rica dos booleanos quˆanticos podem-se definir outras func¸˜oes, al´em do simplesqnotf.
4.3. Medic¸˜oes
Os valores, resultantes de Computac¸˜ao Cl´assica ou de Computac¸˜ao Quˆantica, devem ser observados no final para comunicar resultados para o mundo exterior.
Em um modelo de programac¸˜ao cl´assica, o processo de observar um valor, sim-plesmente retorna o valor. Em um modelo quˆantico, o processo de observac¸˜ao ´e um pouco mais complexo e o mesmo precisa ser tratado.
5. Conclus˜ao
O trabalho de pesquisa est´a inserido dentro de uma abordagem atual e muito interessante, exigindo uma sua base te´orica, tanto nos aspectos fundamentais da Computac¸˜ao Quˆantica quanto no paradigma da programac¸ao funcional. O trabalho ainda est´a na fase de estudo, an´alise, compreens˜ao e implementac¸˜ao de algoritmos b´asicos, centrado na metodologia proposta por AMR SABRY [Sabry, 2003].
O trabalho explica tamb´em como Amr Sabry definiu a Computac¸˜ao Quˆantica em conjunto com a linguagem funcional, incluindo exemplos de como os dados quˆanticos e func¸˜oes quˆanticas foram definidas.
As id´eias fundamentais da Computac¸˜ao Quˆantica foram brevemente discutidas, tornando explicitas as principais vantagens de sua utilizac¸˜ao, seu funcionamento e aspec-tos essenciais para sua aplicac¸˜ao.
Est´a previsto a realizac¸˜ao de aplicac¸˜oes e o desenvolvimento de testes para os algoritmos com int´uito de validar a implementac¸˜ao que est´a em desenvolvimento.
References
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