Fábio Henrique de Sousa Coelho. Avaliação de opções exóticas por Simulação de Monte Carlo com Técnicas de Redução de Variância

(1)

Fábio Henrique de Sousa Coelho

Avaliação de opções exóticas por Simulação de Monte

Carlo com Técnicas de Redução de Variância

COPPEAD / UFRJ

2004

(2)

Avaliação de opções exóticas por Simulação de Monte

Carlo com Técnicas de Redução de Variância

Fábio Henrique de Sousa Coelho

Universidade Federal do Rio de Janeiro

Instituto COPPEAD de Administração

Orientador: Eduardo Saliby, Ph.D

Rio de Janeiro

Novembro de 2004

(3)

Avaliação de opções exóticas por Simulação de Monte

Carlo com Técnicas de Redução de Variância

Fábio Henrique de Sousa Coelho

Dissertação de Mestrado apresentada ao Instituto COPPEAD de Administração da Universidade Federal do Rio de Janeiro – UFRJ, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Mestre.

Rio de Janeiro, 18 de Novembro de 2004

Aprovada por:

Rio de Janeiro

Novembro de 2004

_______________________________ Eduardo Saliby, Ph.D – Orientador (COPPEAD/UFRJ)

_______________________________ Eduardo Facó Lemgruber, Ph.D

(COPPEAD/UFRJ)

_______________________________ Regis da Rocha Motta, Ph.D

(4)

Coelho, Fábio Henrique de Sousa

Avaliação de opções exóticas por Simulação de Monte Carlo com Técnicas de Redução de Variância / Fábio Henrique de Sousa Coelho. Rio de Janeiro, 2004.

xx, 105 f.

Dissertação (Mestrado em Administração) – Universidade Federal do Rio de Janeiro, Instituto COPPEAD de Administração, 2004.

Orientador: Eduardo Saliby

1. Simulação de Monte Carlo. 2. Técnicas de Redução de variância. 3.Opções Exóticas 4.Finanças – Teses.

I.Saliby, Eduardo (Orient.). II. Universidade Federal do Rio de Janeiro. Instituto COPPEAD de Administração. III. Título.

(5)

(6)

"A sabedoria não nos é dada; é preciso descobri-la por nós

mesmos depois de uma viagem que ninguém nos pode

poupar ou fazer por nós."

M. Proust

1871-1922

"Ninguém pode construir em seu lugar as pontes que

precisarás passar para atravessar o rio da vida, ninguém,

exceto você."

F. Nietzsche

1844-1900

(7)

AGRADECIMENTOS

Este trabalho é resultado da contribuição de diversas pessoas. Entretanto, não posso deixar de agradecer à sociedade pela oportunidade de realizar um curso de alto gabarito em uma instituição pública.

Agradeço à FAPERJ, pelo auxílio financeiro prestado.

Aos meus pais, Ana e Henrique, pelo apoio incondicional.

Deixo meus sinceros agradecimentos ao amigo Eduardo Saliby, pela paciência demonstrada na orientação deste trabalho.

Aos amigos do COPPEAD, pela experiência compartilhada, pelo convívio e pelo companheirismo.

Ao amigo Márcio Bologna, pelos conselhos e pela paciência.

Aos amigos Gilberto Teixeira e Marcelo Queiroz, pela irreverência e humor cativantes.

Ao amigo Bruno Maletta, pelo apoio e parceria.

Agradeço todas as pessoas e Instituições mencionadas, na certeza de que a colaboração estabelecida não será esquecida.

(8)

RESUMO

COELHO, Fábio Henrique de Sousa. Avaliação de opções exóticas por

Simulação de Monte Carlo com Técnicas de Redução de Variância.

Orientador: Eduardo Saliby. Dissertação (Mestrado em Administração). Instituto COPPEAD de Administração, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2004.

Este trabalho examina as técnicas de redução de variância na obtenção de estimativas de prêmios por simulação de monte Carlo para algumas opções exóticas. Os resultados dessas estimativas foram analisados comparativamente aos resultados de prêmios obtidos pelas respectivas soluções analíticas das opções exóticas. O objetivo precípuo deste trabalho consiste na análise dos efeitos de alguns parâmetros de cálculo da precificação sobre os resultados das estimativas de prêmio. Os parâmetros utilizados para as simulações foram definidos de forma que se pudessem avaliar seus efeitos sobre as estimativas de prêmio em situações muito distintas. Foram utilizadas as técnicas de Amostragem aleatória simples, Hipercubo Latino, Amostragem Descritiva, Moment Match do primeiro momento, Moment Match do segundo momento e variáveis antitéticas na amostragem dos números aleatórios para a estimação dos prêmios das opções. As opções utilizadas neste trabalho foram as do tipo barreira, asiática, binária, além das opções européias. Os resultados mostram que reduções significativas de variância só podem ser obtidas para opções dentro do dinheiro, exceto para as opções binárias, as quais não apresentaram nenhum ganho significativo de redução de variância.

(9)

ABSTRACT

COELHO, Fábio Henrique de Sousa. Avaliação de opções exóticas por

Simulação de Monte Carlo com Técnicas de Redução de Variância.

Orientador: Eduardo Saliby. Dissertação (Mestrado em Administração). Instituto COPPEAD de Administração, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2004.

This work examines variance reduction techniques in the generation by Monte Carlo Simulation of premium estimates for some exotic options. The results of these estimates were comparatively analyzed with the premium obtained by the analytic solution of the exotic options. The main objective of this thesis is to analyze the effects of some pricing computation parameters over the results of premium estimates. The parameters used in the simulation were defined aproprately for its effects over the premium estimates to be aprraised in different situations. The study evaluated the techniques of simple random sampling, Latin Hypercube, Descriptive Sampling, Moment match for the first moment, Moment match for the second moment and Antithetic Variates in the sampling of random numbers for the estimation of option premiums. The options implemented in this work were barrier, asian, binary, and plain vanilla options. The results show that significant variance reduction can only be obtained for in-the-money options, except for the binary options, which did not present any significant variance reduction gain.

(10)

LISTA DE SIGLAS E ABREVIAÇÕES

CBOE Chicago Board of Options Exchange SMC Simulação de Monte Carlo

AAS Amostragem Aleatória Simples VA Variáveis Antitéticas

HL Hipercubo Latino

AD Amostragem Descritiva

MM1 Moment Matching do primeiro momento MM2 Moment Matching do segundo Momento

(11)

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

TABELA 2.1 – EXPOSIÇÕES À PERDA DAS PARTES ENVOLVIDAS NA NEGOCIAÇÃO DE OPÇÕES EUROPÉIAS... 4 TABELA 2.2 – EXEMPLO DE APLICAÇÃO DA FÓRMULA DE BLACK & SCHOLES PARA A

PRECIFICAÇÃO DE UMA OPÇÃO DE COMPRA... 16

TABELA 4.1 – MÉDIA DOS RESULTADOS OBTIDOS PARA UM LANÇAMENTO DE UMA MOEDA

REALIZADO N VEZES. ... 30 TABELA 4.2–NÚMEROS RECORRENTES UTILIZADOS PARA DEMONSTRAÇÃO DO MÉTODO... 31 TABELA 4.3–NÚMEROS ALEATÓRIOS ORIGINADOS PELO MÉTODO DE CONGRUÊNCIA LINEAR A

PARTIR DOS NÚMEROS RECORRENTES DA TABELA 4.2 ... 32 TABELA 4.4–PARÂMETROS PARA PRECIFICAÇÃO DE UMA OPÇÃO EUROPÉIA DE COMPRA... 34 TABELA 4.5 – RESULTADOS DA SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO PARA OS PARÂMETROS DA

TABELA 4.4 DE FORMA A EXEMPLIFICAR O FUNCIONAMENTO DO MÉTODO... 35

TABELA 5.1 – NÚMEROS ALEATÓRIOS GERADOS POR HIPERCUBO LATINO PARA DUAS

DIMENSÕES... 41 TABELA 5.2–NÚMEROS ALEATÓRIOS GERADOS POR AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES PARA

DUAS DIMENSÕES... 41 GRÁFICO 5.1 – HIPERCUBO UNITÁRIO BIDIMENSIONAL PARA AMOSTRAGEM POR HIPERCUBO

LATINO... 42 GRÁFICO 5.2–HIPERCUBO UNITÁRIO BIDIMENSIONAL PARA AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES. 42 TABELA 5.3– NÚMEROS ALEATÓRIOS GERADOS POR AMOSTRAGEM DESCRITIVA PARA DUAS

DIMENSÕES... 44 GRÁFICO 5.3–HIPERCUBO UNITÁRIO BIDIMENSIONAL PARA AMOSTRAGEM DESCRITIVA... 44 TABELA 6.1.1– PARÂMETROS DE CÁLCULO DAS OPÇÕES DE COMPRA EUROPÉIAS UTILIZADAS

NO EXPERIMENTO... 46 TABELA 6.1.2–PRÊMIOS DA OPÇÃO EUROPÉIA DE COMPRA OBTIDOS VIA EXPRESSÃO DE BLACK

&SCHOLES PARA DIFERENTES VOLATILIDADES ANUAIS E PREÇOS DE EXERCÍCIOS, SENDO OS DEMAIS PARÂMETROS DESCRITOS NA TABELA 6.1.1 ... 47 GRÁFICO 6.1.1 – ERRO-PADRÃO DAS ESTIMATIVAS DE PRÊMIO DAS OPÇÕES DE COMPRA, POR

DIFERENTES TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM, EM FUNÇÃO DOS PREÇOS DE EXERCÍCIO. OS

DEMAIS PARÂMETROS SÃO APRESENTADOS NA TABELA 6.1.1, CONSIDERANDO UMA

TRAJETÓRIA COM 1 DIMENSÃO PARA O ATIVO-OBJETO. A) VOLATILIDADE DE 10% A.A PARA O ATIVO-OBJETO E B)VOLATILIDADE DE 20% A.A PARA O ATIVO-OBJETO... 48

(12)

GRÁFICO 6.1.2 – ERRO-PADRÃO DAS ESTIMATIVAS DE PRÊMIO DAS OPÇÕES DE COMPRA POR DIFERENTES TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM, EM FUNÇÃO DOS PREÇOS DE EXERCÍCIO. OS

DEMAIS PARÂMETROS SÃO APRESENTADOS NA TABELA 6.1.1, CONSIDERANDO UMA

TRAJETÓRIA COM 1 DIMENSÃO PARA O ATIVO-OBJETO. A) VOLATILIDADE DE 30% A.A PARA O ATIVO-OBJETO E B)VOLATILIDADE DE 40% A.A PARA O ATIVO-OBJETO... 48 GRÁFICO 6.1.3 – ERRO-RELATIVO, EM FUNÇÃO DOS PREÇOS DE EXERCÍCIOS, ENTRE AS

ESTIMATIVAS DE PRÊMIO DAS OPÇÕES DE COMPRA OBTIDAS POR SIMULAÇÃO E OS

VALORES OBTIDOS VIA SOLUÇÃO DE BLACK & SCHOLES PARA OS PARÂMETROS

APRESENTADOS NA TABELA 6.1.1, CONSIDERANDO UMA TRAJETÓRIA COM 1 DIMENSÃO PARA O ATIVO-OBJETO. A) VOLATILIDADE DE 10% A.A PARA O ATIVO-OBJETO E B) VOLATILIDADE DE 20% A.A PARA O ATIVO-OBJETO... 49 GRÁFICO 6.1.4 – ERRO-RELATIVO, EM FUNÇÃO DOS PREÇOS DE EXERCÍCIO, ENTRE AS

ESTIMATIVAS DE PRÊMIO DAS OPÇÕES DE COMPRA OBTIDAS POR SIMULAÇÃO E OS

VALORES OBTIDOS VIA SOLUÇÃO DE BLACK & SCHOLES PARA OS PARÂMETROS

APRESENTADOS NA TABELA 6.1.1, CONSIDERANDO UMA TRAJETÓRIA COM 1 DIMENSÃO PARA O ATIVO-OBJETO. A) VOLATILIDADE DE 30% A.A PARA O ATIVO-OBJETO E B) VOLATILIDADE DE 40% A.A PARA O ATIVO-OBJETO... 49 TABELA 6.1.5 - PARÂMETROS DE CÁLCULO DAS OPÇÕES DE COMPRA EUROPÉIAS UTILIZADAS

NESTE EXPERIMENTO... 51 GRÁFICO 6.1.5 – ERRO-PADRÃO PARA AS ESTIMATIVAS DE PRÊMIO DAS OPÇÕES DE COMPRA

OBTIDAS POR SIMULAÇÃO PARA OS PARÂMETROS APRESENTADOS NA TABELA 6.1.5,

CONSIDERANDO UMA TRAJETÓRIA COM 42 DIMENSÕES PARA O ATIVO-OBJETO. A) VOLATILIDADE DE 10% A.A PARA O ATIVO-OBJETO E B)VOLATILIDADE DE 20% A.A PARA O ATIVO-OBJETO. ... 52 GRÁFICO 6.1.6 – ERRO PADRÃO PARA AS ESTIMATIVAS DE PRÊMIO DAS OPÇÕES DE COMPRA

CONSIDERANDO UMA TRAJETÓRIA COM 42 DIMENSÕES PARA O ATIVO-OBJETO. A) VOLATILIDADE DE 30% A.A PARA O ATIVO-OBJETO E B)VOLATILIDADE DE 40% A.A PARA O ATIVO-OBJETO. ... 52 GRÁFICO 6.1.7–ERRO RELATIVO PARA AS ESTIMATIVAS DE PRÊMIO DAS OPÇÕES DE COMPRA

OBTIDAS POR SIMULAÇÃO E OS VALORES OBTIDOS VIA SOLUÇÃO DE BLACK &SCHOLES

PARA OS PARÂMETROS APRESENTADOS NA TABELA 6.1.5, CONSIDERANDO UMA

TRAJETÓRIA COM 42 DIMENSÕES PARA O ATIVO-OBJETO. A) VOLATILIDADE DE 10% A.A PARA O ATIVO-OBJETO E B)VOLATILIDADE DE 20% A.A PARA O ATIVO-OBJETO. ... 53 GRÁFICO 6.1.8–ERRO RELATIVO PARA AS ESTIMATIVAS DE PRÊMIO DAS OPÇÕES DE COMPRA

OBTIDAS POR SIMULAÇÃO E OS VALORES OBTIDOS VIA SOLUÇÃO DE BLACK &SCHOLES

(13)

TRAJETÓRIA COM 42 DIMENSÕES PARA O ATIVO-OBJETO. A) VOLATILIDADE DE 30% A.A PARA O ATIVO-OBJETO E B)VOLATILIDADE DE 40% A.A PARA O ATIVO-OBJETO. ... 53 GRÁFICO 6.1.9 – ERRO-PADRÃO PARA AS ESTIMATIVAS DE PRÊMIO DAS OPÇÕES DE COMPRA

CONSIDERANDO UMA TRAJETÓRIA COM 42 DIMENSÕES PARA O ATIVO-OBJETO. A) VOLATILIDADE DE 10% A.A PARA O ATIVO-OBJETO E B)VOLATILIDADE DE 20% A.A PARA O ATIVO-OBJETO ... 54 GRÁFICO 6.1.10 –ERRO-PADRÃO PARA AS ESTIMATIVAS DE PRÊMIO DAS OPÇÕES DE COMPRA

CONSIDERANDO UMA TRAJETÓRIA COM 42 DIMENSÕES PARA O ATIVO-OBJETO. A) VOLATILIDADE DE 30% A.A PARA O ATIVO-OBJETO E B)VOLATILIDADE DE 40% A.A PARA O ATIVO-OBJETO ... 54 TABELA 6.2.1–PARÂMETROS UTILIZADOS PARA AS SIMULAÇÕES DAS OPÇÕES COM BARREIRA

DO TIPO UP AND OUT ... 56 TABELA 6.2.2 –PRÊMIOS DAS OPÇÕES COM BARREIRA OBTIDOS POR SOLUÇÃO ANALÍTICA. A

TABELA FOI CONSTRUÍDA PARA BARREIRA NO NÍVEL DE $60 PARA DIFERENTES

VOLATILIDADES ANUAIS DO ATIVO OBJETO NAS COLUNAS E PARA DIFERENTES PREÇOS DE EXERCÍCIO NAS LINHAS.OS DEMAIS PARÂMETROS DA SIMULAÇÃO SÃO APRESENTADOS NA TABELA 6.2.1... 57 TABELA 6.2.3 –PRÊMIOS DAS OPÇÕES COM BARREIRA OBTIDOS POR SOLUÇÃO ANALÍTICA. A

VOLATILIDADES ANUAIS DO ATIVO OBJETO NAS COLUNAS E PARA DIFERENTES PREÇOS DE EXERCÍCIO NAS LINHAS.OS DEMAIS PARÂMETROS DA SIMULAÇÃO SÃO APRESENTADOS NA TABELA 6.2.1 ... 57 TABELA 6.2.4 –PRÊMIOS DAS OPÇÕES COM BARREIRA OBTIDOS POR SOLUÇÃO ANALÍTICA. A

VOLATILIDADES ANUAIS DO ATIVO OBJETO NAS COLUNAS E PARA DIFERENTES PREÇOS DE EXERCÍCIO NAS LINHAS.OS DEMAIS PARÂMETROS DA SIMULAÇÃO SÃO APRESENTADOS NA TABELA 6.2.1... 58 TABELA 6.2.5 –PRÊMIOS DAS OPÇÕES COM BARREIRA OBTIDOS POR SOLUÇÃO ANALÍTICA. A

VOLATILIDADES ANUAIS DO ATIVO OBJETO NAS COLUNAS E PARA DIFERENTES PREÇOS DE EXERCÍCIO NAS LINHAS.OS DEMAIS PARÂMETROS DA SIMULAÇÃO SÃO APRESENTADOS NA TABELA 6.2.1... 58

(14)

TABELA 6.2.6 –PRÊMIOS DAS OPÇÕES COM BARREIRA OBTIDOS POR SOLUÇÃO ANALÍTICA. A

VOLATILIDADES ANUAIS DO ATIVO OBJETO NAS COLUNAS E PARA DIFERENTES PREÇOS DE EXERCÍCIO NAS LINHAS.OS DEMAIS PARÂMETROS DA SIMULAÇÃO SÃO APRESENTADOS NA TABELA 6.2.1... 59 GRÁFICO 6.2.1 – ERRO PADRÃO PARA AS ESTIMATIVAS DE PRÊMIO DAS OPÇÕES BARREIRAS

OBTIDAS POR SIMULAÇÃO PARA DIVERSAS TÉCNICAS DE REDUÇÃO DE VARIÂNCIA,

VARIANDO-SE OS PREÇOS DE EXERCÍCIO E PARA OS PARÂMETROS APRESENTADOS NA

TABELA 6.2.1, CONSIDERANDO UMA TRAJETÓRIA COM 42 DIMENSÕES PARA O ATIVO

-OBJETO E A BARREIRA COMO SENDO $60. A) VOLATILIDADE DE 10% A.A PARA O ATIVO

-OBJETO E B)VOLATILIDADE DE 20% A.A PARA O ATIVO-OBJETO ... 60 GRÁFICO 6.2.2 – ERRO PADRÃO PARA AS ESTIMATIVAS DE PRÊMIO DAS OPÇÕES BARREIRAS

-OBJETO E B)VOLATILIDADE DE 40% A.A PARA O ATIVO-OBJETO... 60 GRÁFICO 6.2.3 – ERRO PADRÃO PARA AS ESTIMATIVAS DE PRÊMIO DAS OPÇÕES BARREIRAS

-OBJETO E B)VOLATILIDADE DE 20% A.A PARA O ATIVO-OBJETO. ... 61 GRÁFICO 6.2.4 – ERRO PADRÃO PARA AS ESTIMATIVAS DE PRÊMIO DAS OPÇÕES BARREIRAS

(15)

GRÁFICO 6.2.6 – ERRO PADRÃO PARA AS ESTIMATIVAS DE PRÊMIO DAS OPÇÕES BARREIRAS

-OBJETO E B)VOLATILIDADE DE 40% A.A PARA O ATIVO-OBJETO... 62 GRÁFICO 6.2.7 – ERRO PADRÃO PARA AS ESTIMATIVAS DE PRÊMIO DAS OPÇÕES BARREIRAS

-OBJETO E A BARREIRA COMO SENDO $100. A)VOLATILIDADE DE 10% A.A PARA O ATIVO

-OBJETO E A BARREIRA COMO SENDO $100. A)VOLATILIDADE DE 30% A.A PARA O ATIVO

-OBJETO E B)VOLATILIDADE DE 40% A.A PARA O ATIVO-OBJETO ... 64 TABELA 6.3.1–PARÂMETROS DE CÁLCULO ... 66 TABELA 6.3.2–PRÊMIOS DAS OPÇÕES BINÁRIAS OBTIDOS SEGUNDO SOLUÇÃO ANALÍTICA COM

VARIAÇÃO DA VOLATILIDADE ANUAL DO ATIVO OBJETO NAS COLUNAS E VARIAÇÃO DOS

PREÇOS DE EXERCÍCIO NAS LINHAS, SENDO OS DEMAIS PARÂMETROS DEFINIDOS NA

(16)

TABELA 6.3.3–PRÊMIOS DAS OPÇÕES BINÁRIAS OBTIDOS SEGUNDO SOLUÇÃO ANALÍTICA COM VARIAÇÃO DA VOLATILIDADE ANUAL DO ATIVO OBJETO NAS COLUNAS E VARIAÇÃO DOS

TABELA 6.3.1... 67 GRÁFICO 6.3.1 – ERRO PADRÃO PARA AS ESTIMATIVAS DE PRÊMIO DAS OPÇÕES BINÁRIAS

OBTIDAS POR SIMULAÇÃO PARA DIVERSAS TÉCNICAS DE REDUÇÃO DE VARIÂNCIA E COM VARIAÇÃO DOS PREÇOS DE EXERCÍCIO, SENDO OS DEMAIS PARÂMETROS APRESENTADOS NA TABELA 6.3.1, CONSIDERANDO UMA TRAJETÓRIA COM 42 DIMENSÕES PARA O ATIVO

-OBJETO. A) VOLATILIDADE DE 10% A.A PARA O ATIVO-OBJETO E B) VOLATILIDADE DE

20% A.A PARA O ATIVO-OBJETO. ... 68 GRÁFICO 6.3.2 – ERRO PADRÃO PARA AS ESTIMATIVAS DE PRÊMIO DAS OPÇÕES BINÁRIAS

40% A.A PARA O ATIVO-OBJETO ... 68 GRÁFICO 6.3.3 – ERRO PADRÃO PARA AS ESTIMATIVAS DE PRÊMIO DAS OPÇÕES BINÁRIAS

20% A.A PARA O ATIVO-OBJETO ... 69 GRÁFICO 6.3.4 – ERRO PADRÃO PARA AS ESTIMATIVAS DE PRÊMIO DAS OPÇÕES BINÁRIAS

-OBJETO. A)VOLATILIDADE DE 30% A.A PARA O ATIVO-OBJETO E B)VOLIDADE DE 40% A.A PARA O ATIVO-OBJETO ... 69 TABELA 6.4.1–PARÂMETROS UTILIZADOS PARA AS SIMULAÇÕES DAS OPÇÕES ASIÁTICAS COM

MÉDIA GEOMÉTRICA. ... 71 TABELA 6.4.2 – PRÊMIOS DAS OPÇÕES ASIÁTICAS OBTIDAS POR SOLUÇÃO ANALÍTICA COM

VARIAÇÃO DA VOLATILIDADE ANUAL DO ATIVO OBJETO NAS COLUNAS E VARIAÇÃO DOS

(17)

GRÁFICO 6.4.1 – ERRO PADRÃO PARA AS ESTIMATIVAS DE PRÊMIO DAS OPÇÕES ASIÁTICAS

OBTIDAS POR SIMULAÇÃO PARA OS PARÂMETROS APRESENTADOS NA TABELA 6.1,

CONSIDERANDO UMA TRAJETÓRIA COM 42 DIMENSÕES PARA O ATIVO-OBJETO. A) VOLATILIDADE DE 10% A.A PARA O ATIVO-OBJETO E B)VOLATILIDADE DE 20% A.A PARA O ATIVO-OBJETO. ... 73 GRÁFICO 6.4.2 – ERRO PADRÃO PARA AS ESTIMATIVAS DE PRÊMIO DAS OPÇÕES ASIÁTICAS

CONSIDERANDO UMA TRAJETÓRIA COM 42 DIMENSÕES PARA O ATIVO-OBJETO. A) VOLATILIDADE DE 30% A.A PARA O ATIVO-OBJETO E B)VOLATILIDADE DE 40% A.A PARA O ATIVO-OBJETO ... 73 GRÁFICO 6.4.3 – ERRO PADRÃO PARA AS ESTIMATIVAS DE PRÊMIO DAS OPÇÕES ASIÁTICAS

CONSIDERANDO UMA TRAJETÓRIA COM 42 DIMENSÕES PARA O ATIVO-OBJETO. A) VOLATILIDADE DE 10% A.A PARA O ATIVO-OBJETO E B)VOLATILIDADE DE 20% A.A PARA O ATIVO-OBJETO. ... 74 GRÁFICO 6.4.4 – ERRO PADRÃO PARA AS ESTIMATIVAS DE PRÊMIO DAS OPÇÕES ASIÁTICAS

CONSIDERANDO UMA TRAJETÓRIA COM 42 DIMENSÕES PARA O ATIVO-OBJETO. A) VOLATILIDADE DE 30% A.A PARA O ATIVO-OBJETO E B)VOLATILIDADE DE 40% A.A PARA O ATIVO-OBJETO ... 74 TABELA 6.1.3–APRESENTA OS RESULTADOS PARA OS PRÊMIOS OBTIDOS POR SIMULAÇÃO DE

MONTE CARLO PARA AS DIFERENTES TÉCNICAS DE REDUÇÃO DE VARIÂNCIA,

VOLATILIDADES E PREÇOS DE EXERCÍCIOS, BEM COMO OS RESPECTIVOS ERROS-PADRÃO DE CADA ESTIMATIVA PARA O CASO UNIDIMENSIONAL.OS PARÂMETROS DA SIMULAÇÃO SÃO APRESENTADOS NA TABELA 6.1.1... 84 TABELA 6.1.4 – DIFERENÇAS PERCENTUAIS ENTRE AS ESTIMATIVAS POR SIMULAÇÃO E A

PRECIFICAÇÃO POR BLACK & SCHOLES SEGUNDO OS PARÂMETROS DE CÁLCULO DA TABELA 6.1.1.AS SIMULAÇÕES FORAM REALIZADAS PARA 1 DIMENSÃO NA TRAJETÓRIA DO ATIVO-OBJETO... 85 TABELA 6.1.6- APRESENTA OS RESULTADOS PARA OS PRÊMIOS OBTIDOS POR SIMULAÇÃO DE

MONTE CARLO PARA AS DIFERENTES TÉCNICAS DE REDUÇÃO DE VARIÂNCIA,

VOLATILIDADES E PREÇOS DE EXERCÍCIO, BEM COMO OS RESPECTIVOS ERROS-PADRÃO DE

CADA ESTIMATIVA PARA O PROBLEMA COM 42 DIMENSÕES. OS PARÂMETROS DA

(18)

TABELA 6.1.7 - DIFERENÇAS PERCENTUAIS ENTRE AS ESTIMATIVAS POR SIMULAÇÃO E A PRECIFICAÇÃO POR BLACK &SCHOLES PARA OS PARÂMETROS DE CÁLCULO DA TABELA

6.1.5, UTILIZANDO-SE 42 DIMENSÕES PARA A TRAJETÓRIA DO ATIVO-OBJETO...87

TABELA 6.1.8- APRESENTA OS RESULTADOS PARA OS PRÊMIOS OBTIDOS POR SIMULAÇÃO DE

MONTE CARLO PARA AS DIFERENTES TÉCNICAS DE REDUÇÃO DE VARIÂNCIA, BEM COMO OS RESPECTIVOS ERROS-PADRÃO DE CADA ESTIMATIVA UTILIZANDO-SE 42 DIMENSÕES PARA A TRAJETÓRIA DO ATIVO E UM INTERVALO MAIOR PARA OS PREÇOS DE EXERCÍCIO. OS DEMAIS PARÂMETROS DA SIMULAÇÃO SÃO APRESENTADOS NA TABELA 6.1.5...88

TABELA 6.2.7-ESTIMATIVAS DOS PRÊMIOS E ERROS-PADRÃO DAS OPÇÕES COM BARREIRA DO TIPO UP AND OUT OBTIDAS POR SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO PARA DIVERSAS TÉCNICAS DE REDUÇÃO DE VARIÂNCIA COM VARIAÇÃO DAS VOLATILIDADE DO ATIVO OBJETO E DOS PREÇOS DE EXERCÍCIO.A BARREIRA FOI ESTABELECIDA EM $60 E OS DEMAIS PARÂMETROS SÃO APRESENTADOS NA TABELA 6.2.1...89

TABELA 6.2.11-ESTIMATIVAS DOS PRÊMIOS E ERROS-PADRÃO DAS OPÇÕES COM BARREIRA DO TIPO UP AND OUT OBTIDAS POR SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO PARA DIVERSAS TÉCNICAS DE REDUÇÃO DE VARIÂNCIA COM VARIAÇÃO DAS VOLATILIDADE DO ATIVO OBJETO E DOS PREÇOS DE EXERCÍCIO.A BARREIRA FOI ESTABELECIDA EM $100 E OS DEMAIS

(19)

TABELA 6.3.4 - RESULTADO DAS ESTIMATIVAS DOS PRÊMIOS E ERROS-PADRÃO DAS OPÇÕES BINÁRIAS OBTIDAS POR SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO PARA DIVERSAS TÉCNICAS DE REDUÇÃO DE VARIÂNCIA, PREÇOS DE EXERCÍCIOS E VOLATILIDADES. A TABELA FOI

CONSTRUÍDA PARA 42 DIMENSÕES E OS DEMAIS PARÂMETROS DA SIMULAÇÃO SÃO

APRESENTADOS NA TABELA 6.3.1...94

TABELA 6.3.5 - RESULTADO DAS ESTIMATIVAS DOS PRÊMIOS E ERROS-PADRÃO DAS OPÇÕES BINÁRIAS OBTIDAS POR SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO PARA DIVERSAS TÉCNICAS DE REDUÇÃO DE VARIÂNCIA, PREÇOS DE EXERCÍCIOS E VOLATILIDADES. A TABELA FOI

CONSTRUÍDA PARA 42 DIMENSÕES E OS DEMAIS PARÂMETROS DA SIMULAÇÃO SÃO

APRESENTADOS NA TABELA 6.3.1...95

TABELA 6.4.3 - PRÊMIOS DAS OPÇÕES ASIÁTICAS, COM MÉDIA GEOMÉTRICA, OBTIDAS POR SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO PARA DIVERSOS PREÇOS DE EXERCÍCIOS E VOLATILIDADES.

A TABELA APRESENTA OS RESULTADOS PARA DIFERENTES TÉCNICAS DE REDUÇÃO DE

VARIÂNCIA. OS DEMAIS PARÂMETROS DA SIMULAÇÃO SÃO APRESENTADOS NA TABELA

6.4.1...96

TABELA 6.4.4 - PRÊMIOS DAS OPÇÕES ASIÁTICAS, COM MÉDIA GEOMÉTRICA, OBTIDAS POR SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO PARA DIVERSOS PREÇOS DE EXERCÍCIOS E VOLATILIDADES.

A TABELA APRESENTA OS RESULTADOS PARA DIFERENTES TÉCNICAS DE REDUÇÃO DE

VARIÂNCIA. OS DEMAIS PARÂMETROS DA SIMULAÇÃO SÃO APRESENTADOS NA TABELA

(20)

CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO ... 1

CAPÍTULO 2 - OPÇÕES: INTRODUÇÃO ... 3

2.1–INTRODUÇÃO... 3

2.2–CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA OS PRÊMIOS... 5

2.3-PUT-CALL PARITY... 7

2.4–MODELAGEM DOS PREÇOS DOS ATIVOS... 8

2.5–LEMA DE ITO... 10

2.6–MODELO DE BLACK &SCHOLES... 13

CAPÍTULO 3 - OPÇÕES EXÓTICAS ... 18

3.1–OPÇÕES DEPENDENTES DO CAMINHO (PATH-DEPENDENT OPTIONS)... 18

3.1.1 – Opçõe com Barreiras ... 19

3.1.2 – Opções LookBack... 20

3.1.3 – Opções Asiáticas ... 22

3.2–PATH INDEPENDENT... 24

3.2.1 – Opções Binárias... 24

CAPÍTULO 4 - SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO ... 26

4.1–INTRODUÇÃO... 26

4.2–DESCRIÇÃO DO MÉTODO... 27

4.3–AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES (AAS) ... 30

4.3.1 – Precificação de opções européias com AAS ... 33

CAPÍTULO 5 - TÉCNICAS DE REDUÇÃO DE VARIÂNCIA... 36

5.1–VARIÁVEIS ANTITÉTICAS... 36

5.2– MATCH DE MOMENTOS... 37

5.3–VARIÁVEL CONTROLE... 39

5.4–HIPERCUBO LATINO... 40

5.5–AMOSTRAGEM DESCRITIVA... 43

CAPÍTULO 6 - EXPERIMENTOS E RESULTADOS... 45

6.1–OPÇÃO EUROPÉIA PLAIN VANILLA... 45

6.1.1 – Opção Européia plain vanilla: Experimento 1 ... 46

6.1.2 – Opção Européia plain vanilla: Experimento 2 ... 51

6.2–OPÇÃO COM BARREIRA... 56

6.3–OPÇÃO BINÁRIA OU DIGITAL... 66

6.4–OPÇÃO ASIÁTICA... 71

CAPÍTULO 7 - CONCLUSÃO ... 76

CAPÍTULO 8 - BIBLIOGRAFIA... 79

(21)

Capítulo 1

Introdução

A simulação de Monte Carlo, desenvolvida durante a segunda guerra mundial, encontrou um enorme campo de aplicação na área de finanças. Especificamente para os contratos de opções, a simulação de Monte Carlo tem sido aplicada na precificação e análise destes. Com a evolução do mercado de derivativos e sua difusão, as opções tradicionais – plain vanilla – sofreram modificações e adaptações de forma a atender às necessidades específicas dos traders. Assim surgiram os chamados contratos exóticos, que embora ainda não tenham um grande volume de negociação nas bolsas de valores internacionais, podem ser realizados no mercado de balcão.

Hoje, em contratos mais complexos, muitas vezes sem solução analítica fechada, a técnica de simulação de Monte Carlo tem sido empregada para precificar esses contratos.

Como as opções plain vanilla, a simulação de Monte Carlo também evoluiu, uma vez que novas técnicas de amostragem foram desenvolvidas de maneira a reduzir o tempo de processamento e aumentar a precisão das estimativas. Essas novas técnicas de amostragem, também chamadas de técnicas de redução de variância, são discutidas neste trabalho em um contexto de precificação de contratos de opções exóticas.

O foco deste trabalho, então, recai na aplicação da simulação de Monte Carlo com técnicas de redução de variância na precificação de alguns contratos de opções exóticas. O objetivo, mais especificamente, seria o de avaliar os ganhos de redução de variância nas estimativas de prêmios das opções, variando-se alguns paramentos de calculo das opções. Uma delimitação de estudo a ser destacada é que este trabalho não se propões a exaurir as técnicas de amostragem que podem ser utilizadas na simulação, tampouco se propõe a avaliar o ganho de processamento computacional que existe entre as técnicas utilizadas.

No capítulo 2, faz-se uma introdução ao estudo de opões, sendo analisados os conceitos fundamentais e abordados os aspectos referentes a precificação de opções plain

(22)

No capítulo 3, desenvolve-se uma introdução e revisão da literatura sobre as opções exóticas. Abordam-se aqui questões como a classificação destas opções e apresentam-se, também, as soluções analíticas de algumas opções exóticas.

O capítulo 4 apresenta uma revisão de literatura sobre a simulação de Monte Carlo, onde são discutidos aspectos como a origem do método, a amostragem aleatória simples e os números aleatórios.

O capítulo 5 discute técnicas de amostragem mais eficientes para a simulação de Monte Carlo. Neste capítulo apresentam-se os aspectos técnicos e teóricos da aplicação destas técnicas na simulação de opções exóticas.

O capítulo 6 apresenta os experimentos e os resultados obtidos nos experimentos de precificação de algumas opções exóticas segundo as técnicas de redução de variância apresentadas no capítulo 5.

O capítulo 7 apresenta as conclusões, considerações finais e as sugestões para trabalhos futuros, encerrando este trabalho.

(23)

Capítulo 2

Opções: Introdução

2.1 – Introdução

Uma opção é um contrato que confere o direito, mas não a obrigação, de se comprar ou vender um ativo por um determinado preço em uma data estabelecida.

Uma call é um tipo de opção que dá ao seu portador o direito de se comprar um ativo objeto por uma quantia determinada em uma data determinada. Uma Put dá ao seu portador o direito de vender um ativo objeto, por uma certa quantia, em uma data especificada. O preço estabelecido no contrato é conhecido como preço de exercício da opção (strike price) e a data estabelecida no contrato é conhecida como data de vencimento da opção. As opções do tipo americana são aquelas que podem ser exercidas a qualquer tempo até o seu vencimento, enquanto que as opções européias só podem ser exercidas na data de vencimento da opção. As opções se diferenciam dos contratos futuros e dos contratos a termo pelo fato do portador das opções não ser obrigado a realizar o contrato na data estabelecida. Assim, o portador de uma opção só exercerá o seu direito quando lhe for vantajoso, pagando por esse direito uma quantia em dinheiro que é conhecida como prêmio da opção. Assim, nas situações não vantajosas, a opção não é exercida e o portador perde somente o prêmio pago previamente.

Na realização de um contrato de opções existem duas partes interessadas: o vendedor e o comprador deste produto.

Sendo K o preço de exercício e ST o preço de um ativo objeto na data de

vencimento da opção, o payoff da opção, isto é, os resultados prováveis de pagamento da opção podem ser descritos como:

} 0 , max{S K C= _T − + (2.1)

(24)

Assim, de acordo a expressão 2.1, uma posição comprada em uma opção de compra nunca pagará um valor negativo e que esta só será exercida se ST ≥ . O vendedor de uma K Call terá o payoff inverso:

} 0 , min{ } 0 , max{ST K K ST C=− − = − − (2.2)

De maneira análoga, o payoff de uma Put para uma posição comprada e vendida, respectivamente, será dado por:

} 0 , max{K ST P= − + (2.3) } 0 , min{ } 0 , max{K S S K P=− − T = T − − (2.4)

Das expressões anteriores, pode-se observar que as posições compradas em opções possuem uma perda limitada e um lucro ilimitado. Já nas posições vendidas, a situação é invertida, ou seja, a perda é ilimitada e o lucro é limitado. Estas propriedades das opções fazem com que estes contratos não sejam muito indicados para investidores conservadores ou com pouco conhecimento sobre o funcionamento do instrumento.

A tabela 2.1 resume as exposições à perda de cada uma das partes da negociação da opção.

Tabela 2.1 – Exposições à perda das partes envolvidas na negociação de opções

Comprador Vendedor

Call Perda Limitada ao

valor do prêmio Perda Ilimitada

Put Perda Limitada ao

valor do prêmio Perda Ilimitada

Os contratos de opções são bastante utilizados como instrumentos de hedge e de especulação financeira. Sabe-se que os riscos associados às opções são bastante elevados, o que se reflete na possibilidade de ganhos extraordinários, assim como perdas exorbitantes.

(25)

As especulações dos investidores podem se traduzir como uma expectativa de elevação ou queda no preço das ações do ativo objeto. Se a expectativa for de elevação de preços, um investidor pode realizar lucros comprando ações ou opções de ações sobre este ativo. De maneira análoga, se a expectativa for de uma queda dos preços de um ativo, o especulador pode realizar um lucro vendendo ações ou comprando puts. Entretanto, os riscos associados são bastante distintos entre uma ação e uma opção sobre a ação.

O fato dos contratos de opções dependerem do valor do ativo objeto (St) faz com que estes instrumentos financeiros sejam chamados de contratos derivativos, assim como os

swaps, os futuros e os contratos a termo.

2.2 – Condições de contorno para os prêmios

A modelagem exposta nesta seção é bastante difundida no mundo financeiro, entretanto, torna-se útil a sua apresentação para facilidade de compreensão dos próximos capítulos.

Adota-se nesta seção, c como o preço de uma opção de compra do tipo européia e C como uma opção de compra do tipo americana.

Apresentam-se aqui as condições de contorno a que os preços das opções de compra estão submetidas.

A primeira condição de contorno para as opções é que o seu valor nunca pode ser negativo, ou seja:

0 ≥

c e C≥0 (2.5)

Tem-se, também, que o preço de uma Call nunca pode exceder o preço do ativo objeto, pois não faria sentido se pagar um valor superior a um direito sobre determinado bem do que o próprio valor do bem, então:

S

c≤ e C≤ (2.6) S

Da aplicação da teoria da arbitragem, sabe-se que não existe investimento que propicie um lucro sem risco, pois o seu aparecimento seria instantaneamente extinto pelas

(26)

forças de mercado. Assim, para que não ocorra arbitragem, uma call sempre valerá, a qualquer tempo, mais do que a diferença entre o preço do ativo nesta data e o valor presente do preço de exercício. Então:

) (K

PV S

c≥ − (2.7)

A última condição de contorno é aplicada somente às opções americanas, que são aquelas opções que podem ser exercidas durante qualquer período de sua vida. Essa especificidade faz com que esta opção deva sempre valer mais do que a diferença entre o ativo em qualquer data e o preço de exercício da data de vencimento. Assim:

K S

C≥ − (2.8)

De maneira semelhante, as condições de contorno para uma Put são:

0 ≥ p e P≥0 (2.9) K p≤ e P≤ K (2.10) S K VP p≥ ( )− (2.11) S K P≥ − (2.12)

Ressalta-se que p é o preço de uma Put européia e P refere-se à Put americana. Observa-se que uma Put também não pode assumir um valor negativo e nem exceder o preço de exercício

Intuitivamente, pode-se avaliar que o valor de uma opção americana deva sempre ser superior ao de uma opção européia como os mesmo parâmetros. Isto se deve ao fato de que um portador de uma opção americana possuir mais direitos que um portador de uma opção européia (direito de exercício antecipado), fazendo com que esta opção tenha um custo também superior. Entretanto, esta particularidade só é válida para opções de venda, pois as opções de compra européias e americanas possuem o mesmo valor.

(27)

2.3 - Put-Call Parity

Embora uma Call e uma Put apresentem diferenças em seus contratos, elas apresentam uma correlação perfeita que se traduz através da expressão apresentada por Stoll (1969) e conhecida como Put-Call Parity.

Supondo um portfólio representado por Π , no tempo t = 0, composto por uma posição comprada em uma ação, uma posição comprada em uma Put e uma posição vendida em uma Call, tem-se:

c p

S+ −

=

Π (2.13)

Sendo S o preço da ação, p o preço da put e c o preço da Call, todos na data t=0. Assume-se que as opções do portfólio são feitas sobre a mesma ação presente no portfólio e que os preços de exercício das opções, bem como o período até o vencimento sejam os mesmos.

O payoff deste portfólio na data de vencimento das opções, t = T, é:

⎩ ⎨ ⎧ ≥ ≤ = − − − + = Π K S se K K S se K K S S K S T T T T T , , } 0 , max{ } 0 , max{ (2.14)

Então, na data t = T, este portfólio garante o valor de K independente do preço da ação do ativo objeto. Ainda segundo a teoria de não arbitragem, tem-se que o valor presente deste portfólio no tempo t, para t pertencente a [0,T], é Ke−rT, com r sendo a taxa de juros livre de risco. Assim sendo, tem-se:

) (T t r Ke c p S+ − = − − (2.15)

A expressão 2.15 é conhecida como Put-Call parity e é válida somente para opções do tipo européia, uma vez que as Puts americanas possuem um valor superior às Puts européias. Nota-se que o valor de uma Call pode ser obtido a partir de Put, e vice versa, se estes contratos forem feitos sobre o mesmo preço de exercício e data de vencimento.

(28)

2.4 – Modelagem dos preços dos Ativos

A precificação de um contrato de opções requer o conhecimento do preço ou da distribuição de probabilidade dos preços do ativo-objeto na data de vencimento. Como o futuro é desconhecido, faz-se necessário utilizar um modelo que apresente a trajetória dos preços ou retornos do ativo-objeto até a data de vencimento da Opção.

As condições de contorno dos preços das opções, conforme discussão anterior, são úteis, mas não suficientes para a determinação do preço justo de um contrato. Nos mercados reais, é de suma importância a determinação dos preços das opções de forma mais precisa. Esta parte da dissertação apresenta uma revisão da teoria de precificação de opções, apresentando a modelagem de preços dos ativos e a apresentação da solução analítica proposta por Black & Scholes (1973) para as opções européias plain vanilla. Ressalta-se que em nenhum momento foi adotado o rigor matemático necessário para o desenvolvimento das expressões apresentadas, uma vez que este não é o foco do trabalho. Entretanto, de maneira a facilitar a compreensão das expressões, adota-se que todas as funções apresentadas neste capítulos sejam definidas, contínuas e diferenciáveis, parcialmente e totalmente, no plano R x R e para o intervalo de tempo [0,T].

A hipótese básica para o comportamento dos preços nos mercados é que estes refletem toda a informação disponível sobre determinado ativo. Esta hipótese faz parte da teoria dos mercados eficientes, que também prega que os preços passados não apresentam qualquer influencia na determinação dos preços futuros.

Estas premissas permitem que os preços dos ativos possam ser modelados segundo um processo de Markov, que é um tipo particular de processo estocástico onde somente o valor presente da variável tem relevância para a predição do futuro. Toda a informação passada da variável é irrelevante.

Assim como Black & Scholes (1973), admitiu-se neste trabalho que o retorno do ativo-objeto segue o movimento geométrico browniano, processo utilizado na física para descrever o movimento de uma partícula sujeita a choques de outras moléculas. O movimento geométrico browniano é expresso como um processo de Wiener, que é um tipo particular dos processos de Markov.

Sendo Z uma variável que siga o processo de Wiener e ∆ Z sua mudança durante um intervalo de tempo ∆ t, tem-se:

(29)

t

Z = ∆

∆ ε (2.16)

Sendo ε uma variável aleatória com distribuição normal φ(0,1).

Assim, ∆ Z é considerada uma variável com distribuição Normal com média igual a

zero e variância igual a ∆ t. Um processo de Wiener para uma variável Y pode ser descrito em termos de ∆ Z, de uma maneira mais geral e utilizando-se o conceito de limite, como sendo: bdz adt dY = + (2.17) dt b adt dY = + ε (2.18)

Nas expressões anteriores, 2.17 e 2.18, a e b são constantes.

A equação 2.18 mostra que a variação da variável Y é composta por dois termos, sendo o primeiro determinístico - conhecido como drift - que se traduz como sendo o valor

esperado de dY após um período de dt. O segundo termo é uma variável aleatória que segue o Processo de Wiener e informa que o desvio padrão de dY é b dt , ou seja, representa a variação da variável dY sobre a tendência do drift.

Supondo que o preço dos ativos seja representado pela variável S, e que esta siga um processo de Wiener generalizado, conforme expressão 2.18, tem-se:

dt b adt

dS = + ε (2.19)

Onde o primeiro termo representa o valor esperado de S após um intervalo infinitesimal de tempo. Dessa forma, tem-se que:

µ

=

a S (2.20)

Onde µ representa a taxa de retorno esperada do ativo S, considerada constante e expressa como taxa de juros contínuos em sua forma decimal.

(30)

O segundo termo prevê mudanças no preço do ativo causadas por fatores externos, como a aparição de notícias inesperadas pelo mercado, funcionando como uma medida da volatilidade dos preços. Tem-se que:

σ

=

b S (2.21)

Onde σ representa o desvio padrão da variável S, que é a medida mais aceita para a volatilidade desta variável.

De maneira agregada, tem-se:

S dS =µ dt + Sσ dz (2.22) µ = S dS dt + σdz (2.23) Lembrando que dz = ε dt.

As expressões anteriores, 2.22 e 2.23, apresentam a modelagem de preços dos ativos conhecida como movimento geométrico browniano. Infere-se que os retornos dos ativos possuem uma distribuição normal, ou seja,

S dS

~ φ( dt, µ σ dt).

2.5 – Lema de Ito

O lema de Ito é uma das ferramentas mais importantes na manipulação de variáveis aleatórias do mundo matemático financeiro. Supondo uma variável aleatória x seja descrita por: ) , (x t a dx= dt + b(x,t)dz (2.24)

Sendo a e b funções em termos de x e t, com dz = ε dt descrevendo um processo de Wiener. Assim, a variável x apresenta um drift de a e uma variância de b . A expressão 2

(31)

acima é conhecida como o processo de Ito, que serve de suporte para o desenvolvimento do Lema de Ito.

Supondo agora a existência de uma função G(x,t), tem-se que dG será dado por:

) , ( ) , (x dx t dt G xt G dG = + + − (2.25)

Considerando uma expansão de Taylor para termos de segunda ordem, tem-se:

dG = +ξ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 ) ( 2 1 ) ( 2 1 dt t G dx x G dx x G dt t G (2.26)

Eliminando os termos de ordens superiores, ξ, e desprezando o termo de ordem 2 para a variável tempo, pode-se escrever:

dG= ₂ 2 2 ) ( 2 1 dx x G dx x G dt t G ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ (2.27)

Embora a expressão anterior seja uma forma aproximada para o cálculo de dG, adota-se a igualdade sem maiores prejuízos na análise. Da expressão 2.24, tem-se que:

2 2 ) ) , ( ) , ( ( ) (dx = a x t dt+b x t ε dt (2.28)

Desprezando-se os termos de segunda ordem para dt e sabendo que E(ε2)

=1, tem-se: dt t x b dt t x b dx) ( , ) ( , ) ( 2 = 2 ε2 = 2 (2.29)

Substituindo a expressão 2.24 em 2.27, e agregando-se a expressão 2.29, tem-se:

dG = b x t dt x G dz t x b dt t x a x G dt t G ) , ( 2 1 ] ) , ( ) , ( [ ₂ 2 2 ∂ ∂ + + ∂ ∂ + ∂ ∂ (2.30)

(32)

Rearranjando a expressão 2.28 para os termos em dt e dz, tem-se a expressão conhecida como Lema de Ito:

dG = b x t dz x G dt t x b x G t G t x a x G ) , ( )] , ( 2 1 ) , ( [ 2 2 2 ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ (2.31)

Como aplicação do Lema de Ito, considere as funções:

) ( ) , (S t Ln S G = S dS =µ dt + σSdz (2.32)

Então, calculando-se as derivadas parciais da função G(S,t) com relação a S e t, e substituindo estes valores em 2.31, obtém-se:

dz dt dG = µ−σ ) +σ 2 ( 2 (2.33)

O que equivale a dizer que o taxa de retorno dos preços segue uma distribuição normal descrita por:

) (ST Ln ~ )( ); ( )] 2 ( ) ( [ 2 t T t T S Ln t + − − σ − σ µ φ (2.34) Onde: T

S representa o preço futuro na data t=T, t

S representa o preço do ativo em uma data qualquer 0≤t≤T,

Se considerarmos a presença da neutralidade de risco, ou seja, se o retorno esperado para os ativos for a taxa livre de risco, tem-se que µ =rf . Então, na data t = T:

) (ST Ln ~ ) ; ] 2 ( ) ( [ 2 0 r T T S Ln f σ σ φ + − (2.35)

(33)

Pode-se, então, escrever a expressão de recorrência do preço do ativo, em t = T, a partir do seu preço inicial (S ): 0

i f T TZ r T

S

e

S

=

−2σ ) +σ 1 ( 0 2 (2.36)

Ou, de maneira mais geral:

i f t tZ r t t

S

e

S

₊

=

−2σ ) +σ 1 ( 1 2 (2.37)

2.6 – Modelo de Black & Scholes

Assumindo que um ativo comporte-se segundo o movimento geométrico Browniano, e sendo C = f(S,t) o valor de uma call em termos de S e t, tem-se pelo Lema de Ito: dC= Sdz S C dt S S C t C S S C_µ _σ _σ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ] 2 1 [ 2 2 2 2 (2.38)

Black & Scholes (1973), com o intuito de eliminar o termo aleatório dz da expressão

anterior, consideraram a construção de uma carteira de ativos composta por uma posição comprada em uma call e uma quantia vendida no próprio ativo:

V = [ S] S C C ∂ ∂ − (2.39)

Os incrementos do portfólio construído são representados por:

dV = [ dS] S C dC ∂ ∂ − (2.40)

(34)

Substituindo as expressões 2.31 e 2.32 em 2.38, tem-se: dV = ] } [ ] 2 1 {[ ₂ 2 2 2 Sdz Sdt S C Sdz S C dt S S C t C S S C_µ _σ _σ _µ ₊_σ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ (2.41)

Rearranjando-se os termos, tem-se:

dV = dt S C t C ] 2 1 [ ₂ 2 ∂ ∂ + ∂ ∂ (2.42)

Considerando a neutralidade em relação ao risco deste mercado e a impossibilidade de arbitragens, tem-se que uma quantia V investida à taxa livre de risco por um período dt é espressa por:

dV = rfVdt (2.43)

Assim, substituindo a expressão 2.41 na expressão 2.40 tem-se:

Vdt r_f = dt S C t C ] 2 1 [ ₂ 2 ∂ ∂ + ∂ ∂ (2.44)

Substituindo a expressão 2.37 na expressão 2.42, tem-se:

0 2 1 2 2 2 2 = − ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ C r S r S C S S C t C f f σ (2.45)

A expressão 2.43 é conhecida como a equação diferencial de Black & Scholes. Esta expressão possui uma solução analítica conhecida e originária da equação física da transferência de calor. Assim, a resolução desta equação resulta na clássica expressão de Black & Scholes para a precificação de opções européias plain vanilla:

(35)

) ( ) ( ₁ ₂ 0N d Ke N d S C= − −RfT (2.46) sendo: T T r K S d f σ σ ) 2 1 ( ) / ln( 0 2 1 + + = (2.47) T d d2 = 1−σ (2.48) Onde:

C é o prêmio justo da opção européia de compra;

0

S é preço do ativo-objeto da opção no instante t = 0; f

r é a taxa anual de juros livre de risco composta continuamente;

σ é a volatilidade anual do ativo-objeto;

T é o prazo de vencimento da opção, expressa em anos com base em 252 dias úteis; K é preço de exercício da opção;

N(d ) = valor da função de distribuição acumulada Normal Padrão no ponto 1 d ; 1

N(d ) = valor da função de distribuição acumulada Normal Padrão no ponto 2 d . 2

Apresenta-se, a seguir, um exemplo numérico de aplicação da fórmula de Black & Scholes. Os dados apresentam-se resumidos na tabela 2.2.

(36)

Tabela 2.2 – Exemplo de aplicação da fórma de Black & Scholes para a precificação de uma opção de compra

Parâmetros de Entrada do Modelo 0 S _{50 $} f r (captitalização

discreta) 9,53 % a.a (10 % a.a)

σ 40 % a.a T 0,50 ano K 40 $ Parâmetros Intermediárioss 1 d _2,002 2 d _1,861 N(d₁) _0,977 N(d₂) _0,969

Valor do Prêmio da Opção

C 12,014 $

Este exemplo ilustra a precificação de uma opção sobre uma ação que apresenta um valor inicial de $50,0 e uma volatilidade histórica de 40% a.a. O contrato foi firmado para um preço de exercício de $40,0 e para um vencimento dentro de 6 meses. Considerando que na data de lançamento desse contrato a taxa livre de risco opera a 10% a.a, então o valor da opção de compra é avaliado por $ 12,014. Este valor será reavaliado durante a vida da opção, variando-se os parâmetros de tempo de vencimento. Entretanto, a volatilidade e a taxa de juros livre de risco, conforme condição de resolução da equação diferencial de Black & Scholes, são previstas como sendo constantes durante a vida da opção, apresentando, assim, uma deficiência desse modelo. Conforme o exposto, uma variação da volatilidade da ação durante a vida da opção faz com que o modelo não seja válido, embora ainda seja largamente utilizado nestas situações.

Outras críticas ao modelo de Black & Scholes existem no que diz respeito ao modelo de distribuição utilizada para os preços dos ativos. Conforme discussão anterior, a modelagem dos preços dos ativos foi feita segundo uma distribuição Lognormal e os

(37)

retornos como tendo uma distribuição normal. Sabe-se, entretanto, que a realidade difere dessa proposta, principalmente nos chamados eventos raros das distribuições. Outra motivo de críticas é a premissa do comportamento aleatório dos preços, supondo que estes não apresentem autocorrelações.

Cabe ressaltar que a taxa de juros aplicada no modelo apresenta uma composição contínua durante o tempo, ou seja, sua capitalização é feita de maneira exponencial e difere da maioria das taxas utilizadas no Brasil. Assim, a conversão dessas taxas pode ser assim expressa: ) 1 ( r Ln r_c = + (2.49)

Sendo r uma taxa com capitalização contínua e r uma taxa com capitalização c discreta. As premissas apresentadas para o modelo de Black & Scholes, salvo indicações em contrário, são estendidas para as demais opções apresentadas no decorrer deste trabalho.

As taxas apresentadas neste trabalho são taxas com capitalização discreta, entretanto,as taxa livre de risco, na expressão de Black & Scholes, são utilizadas com capitalização contínua obtida pela expressão de conversão 2.49. Assim, a taxa livre de risco da tabela 2.2, com capitalização discreta e valendo 10% a.a, deve ser utilizada na expressão de Black & Scholes como sendo ln(1+0,1).

(38)

Capítulo 3

Opções Exóticas

O Mercado de opções nos EUA se desenvolveu ainda na década de 1970, quando da

inauguração da CBOE (Chicago Board of Options Exchange) e da publicação de “The

Pricing of Options and Corporate Liabilities” por Black & Scholes. Neste sentido,

Zhang(1995) argumenta que o crescimento do entendimento sobre as opções gerou os primeiros conceitos sobre os contratos exóticos. Nas décadas de 1980 e 1990 os contratos exóticos ganharam importância e nesta época alguns contratos já eram relativamente populares no mercado americano.

Conceitualmente, as opções são ditas exóticas quando fogem dos padrões dos contratos Plain Vanilla, discutidas no capítulo anterior, cujo payoff é do tipo Max[St-K;0].

Existem diversos tipos de opções exóticas, mas suas construções, em geral, são variações dos payoffs das opções Plain Vanilla.

Ong (1996) indica que as opções com barreiras já eram disponíveis no mercado de balcão americano no final da década de 1960 e, que embora muitos trabalhos sobre precificação de contratos exóticos já haviam aparecido na década de 1970 e 1980, o termo exótico é atribuído a Mark Rubinstein quando da publicação, em 1990, de uma série de artigos que apresentavam, em sua maioria, soluções fechadas para alguns contratos.

A flexibilidade obtida com os contratos exóticos, juntamente com a vantagem

gerada pela economia na construção de payoffs, atraiu a atenção dos investidores.

Entretanto, hoje, poucas opções exóticas são negociadas em bolsas, tornando o mercado de balcão o palco de transação desses contratos.

3.1 – Opções dependentes do caminho (Path-Dependent Options)

As opções são ditas dependentes do caminho quando seus payoffs são representados em

(39)

Ong (1996) apresenta 3 subdivisões desta categórica: extremum-dependent que englobam,

dentre outras, as opções com barreiras e as opções Lookback; Average type que englobam

as chamadas opções asiáticas; e os chamados capped, que são variações das opções

barreiras. Este trabalho apresenta algumas particularidades das opções mais comuns. 3.1.1 – Opões com Barreiras

A opção com barreira é o tipo mais antigo de opção exótica, sendo que sua existência remonta ao final da década de 1960 no mercado americano. O payoff deste tipo de opção é idêntico ao payoff das opções Plain Vanilla, mas existem restrições ao exercício

das opções. Sabe-se, ainda, que as opções barreira são mais baratas que as opções Plain Vanilla, o que estimula ainda mais o seu uso.

As opções barreiras podem ser do tipo Knock-in ou Knock-out, quanto à forma de

validação do exercício da opção e Down ou Up, quanto á localização da barreira em relação

ao preço inicial do ativo objeto. Uma opção de compra Up-and-out Call (UOC) apresenta o

preço da barreira acima do valor inicial do ativo objeto, com a especificidade de que se em algum momento da vida da opção o preço do ativo objeto ultrapassar o valor da barreira, a opção terá um payoff nulo. Assim, para que a opção seja exercida, o preço do ativo objeto deve ser superior ao preço de exercício na data de vencimento – como uma opção Plain Vanilla - mas o preço do ativo objeto nunca pode ter sido superior à barreira durante a vida

da opção.

Levando-se em consideração as opções de compra e venda, têm-se 8 tipos diferentes de opções com barreira. No entanto, muitas variações das opções com barreiras podem ser encontradas.

Douady (1998) apresenta algumas expressões para precificação das opções com barreiras e argumenta que embora existam soluções fechadas para algumas opções com barreiras, payoffs mais complicados ainda não tiveram soluções estabelecidas. Aqui,

apresenta-se a expressão para uma opção do tipo Up and Out Call, que será utilizada

posteriormente neste trabalho: UO C = ( '( )) ( 2 4 ( 5 7)) ) ( 8 6 3 1 0 ) ( N N N N K e N N N N S e µ−rT − −α − − µ−rT − −α − (3.1)

(40)

onde: 0 log 1 S H h σ = , 0 log 1 S K k σ = , 0 log 1 S L l σ = , 2 σ σ µ λ= − , 2 ' σ σ µ λ = + h

e

λ

α

=

2 , 2 0 2 ' 2

'

S

H

e

h

α

₌

λ

₌

Onde: UO

C = prêmio da opção com barreira Call up and out;

0

S = preço do ativo-objeto da opção no instante zero;

µ

= taxa anual de juros contínuos livre de risco;

σ = volatilidade anual do ativo-objeto;

T = prazo de vencimento da opção em anos (252 dias úteis); K = preço de exercício da opção;

) ( _i

i N d

N = = valor da função de distribuição acumulada Normal Padrão no ponto d ; _i

Grandes contribuições à Precificação destas opções foram feitas por Merton (1973), Goldman, Sosin & Shepp (1979) e Rubinstein & Reiner (1991).

3.1.2 – Opções LookBack

As opções LookBack são uma espécie de opções path dependents que apresentam seus payoffs como sendo dependentes do preço máximo ou mínimo do ativo objeto durante sua vida. Basicamente, na data de vencimento, o portador dessas opções pode avaliar a

T k T d1 =λ' − / T k T d2 =λ − / T h T d₃ =λ' − / T h T d₄ =λ − / T h T d5 =−λ − / T h T d6 =−λ' − / T k h T d7 =−λ −(2 − )/ T k h T d₈ =−λ' −(2 − )/

(41)

conveniência do seu exercício baseando-se no histórico de preços do ativo objeto. Usualmente, estas opções podem ser realizadas sobre calls e puts sob duas formas:

a) Strike fixo

Neste tipo de opção Lookback, o preço de exercício é definido a priori e, desta forma, o payoff de uma Call e uma Put são apresentados como se segue:

] ) ,..., , max( , 0 [ S0 S1 S K Max Cfix = T − (3.2) )] ,..., , min( , 0 [ 0 1 T fix Max K S S S P = − (3.3) b) Strike flutuante:

Neste tipo de opção Lookback, o preço de exercício é uma função dos preços do ativo objeto. Assim, os payoffs de uma Call e uma Put são apresentados como se segue:

)] ,..., , min( , 0 [ _T ₀ ₁ _T float Max S S S S C = − (3.4) ] ) ,..., , max( , 0 [ ₀ ₁ _T _T float Max S S S S P = − (3.5)

Originalmente, Goldman, Sosin & Gatto (1979) apresentaram as opções Lookback como uma forma de investimento onde se teria a ilusão de estar realizando uma compra na “baixa” e uma venda na “alta”, maximizando assim os portfólios. O paper, entitulado Path

Dependent Options: “Buy at the Low, Sell at the High” analisou o hedge, a precificação e

outras propriedades destas opções. Outros trabalhos importantes foram apresentados por Garman (1989) e Conze & Viswanathan (1991).

Goldman, Sosin & Gatto (1979) apresentam as expressões para uma call lookback do tipo strike flutuante com sendo:

)) ( ) ( 2 ) ( ( ) ( ) ( 2 ) ( ₃ 2 2 0 1 2 0 1 0 N a q a N e S a N q e S a N e S C_float qT qT rt − − − − − − − = − − − µ σ µ σ (3.6)

(42)

onde: T T q a σ σ µ ( 2)) ( 2 1 + − = e a2 =a1−σ T T T q a σ σ µ ( 2)) ( 2 3 + + − = float

C = prêmio da opção lookback com strike flutuante;

0

µ

= taxa anual de juros livre de risco;

σ = volatilidade anual do ativo-objeto;

T = prazo de vencimento da opção em anos (252 dias úteis); )

( i

i N a

N = = valor da função de distribuição acumulada Normal Padrão no ponto a ; i

3.1.3 – Opções Asiáticas

As opções asiáticas são uma espécie de path-dependents options cujo payoff é obtido por uma média de preços do ativo objeto ou do strike. A média pode ainda ser obtida de forma aritmética, que não possui uma solução analítica, e de forma geométrica. Menos comum, as médias podem ainda ser ponderadas, tanto na forma aritmética como na forma geométrica. Neste trabalho, considerou-se as opções asiáticas com média geométrica sem ponderação. Assim, os payoffs são:

] , 0 [ S K Max CAsian = − (3.7) Sendo:

S = média geométrica dos preços do ativo-objeto da opção entre a data inicial e a data de

vencimento da opção;

K = preço de exercício da opção.

Segundo Riskglossary (2004), o termo asiático refere-se tão somente ao fato de ter sido Tóquio a localidade onde foram desenvolvidas as primeiras fórmulas de uso comercial

(43)

para a precificação de opções sobre o preço de derivados do petróleo. Vorst (1996), entretanto, apresenta a origem do nome a transações feitas pelo Bankers Trust para com firmas japonesas. Vorst (1996) ainda apresenta as opções asiáticas como uma das opções exóticas mais populares desde a metade da década de 1980 e, mesmo no final da década de 1970, estas opções já se apresentavam como títulos ligados a commodities como os

petrobonds.

Kemna & Vorst (1990) apresentam as seguintes expressões para a precificação de opções asiáticas do tipo geométrico:

)

(

)

(

₁ ( 252) ₂ )) 252 ( ) (( 0

e

N

d

K

e

N

d

S

C

_Asian

=

−a T

−

−µT (3.8) Sendo: T T a K S d a a σ σ ) /252 5 . 0 ( ) / ln( 0 2 1 + + = e d2 =d1−σa T/252 ) 6 / ( 5 , 0 µ+σ2 = a e σa =σ/ 3 Onde: Asian

C = prêmio da opção com barreira up and out call;

0

µ

= taxa anual de juros contínuos livre de risco;

σ = volatilidade for a do ativo-objeto;

N(d1) = valor da função de distribuição acumulada Normal Padrão no ponto d1; N(d2) = valor da função de distribuição acumulada Normal Padrão no ponto d2.

Kemna & Vorst (1990), neste artigo clássico, ainda utilizam a solução pela média geométrica como um controle utilizado na simulação de Monte Carlo com Variáveis controles, de forma a se obter um valor aproximado para as opções asiáticas do tipo média aritmética.

(44)

3.2 – Path Independent

Diferentemente das opções path dependents, as opções do tipo path independents independem da trajetória de preços do ativo objeto até a data de vencimento da opção. Pode-se, então, precificar as opções baseando-se somente no preço do ativo objeto no dia do vencimento da opção. Este fato facilita as simulações quando da precificação de opções via simulação de Monte Carlo. Enquadram-se nesta categoria, dentre outras, as próprias opções plain vanilla e as opções binárias.

3.2.1 – Opções Binárias

As opções binárias, ou digitais, são opções que apresentam uma forte descontinuidade em seus payoffs. O tipo mais comum destas opções são as chamadas

cash-or-nothing, que pagam uma quantia fixa de dinheiro se as opções terminam dentro do

dinheiro ou não pagam nada caso terminem for a do dinheiro. As fórmulas de precificação destas opções são facilmente obtidas a partir das opções plain vanilla e foram, primeiramente, apresentadas por Reiner & Rubinstein (1991).

Hull (2003) chama atenção para o fato de que em um mundo neutro ao risco, a probabilidade do ativo objeto permanecer acima do strike na data de vencimento da opção é N(d2), que é a probabilidade usada por Black & Scholes em sua expressão para as opções

plain vanilla. Assim, considerando-se Q como a quantia a ser obtida em caso de exercício

da opção, tem-se: ) (d2 N Qe Cbin T µ − = (3.9) T T r K S d f σ σ ) 2 1 ( ) / ln( 2 0 1 + + = e d₂ =d₁−σ T sendo: bin

C = prêmio da opção binária do tipo cash-or-nothing;

0

S = preço do ativo-objeto da opção no instante zero; f

r = taxa anual de juros livre de risco;

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