Tábuas logarítmicas babilônicas
A primeira evidência histórica sobre os logaritmos encontra-se em antigos tabletes de argila encontrados na região da Mesopotâmia, atual Iraque e Oriente Médio. Sabe-se que os matemáticos babilônicos eram bastante hábeis na computação de seus dados devido a elaboração de vários tipos de tábuas contendo seqüências numéricas. Entre estas tábuas encontram-se tabelas contendo potências sucessivas de um dado número, semelhantes às nossas tábuas de logaritmos (ou antilogaritmos). Tabelas exponenciais (ou logarítmicas) foram encontradas em que são dadas as dez primeiras potências para as bases 9, 16, 1,40 e 3,45. Alguns problemas encontrados nestas tábuas assemelham-se ao nosso problema de elevar uma certa base a um expoente para resultar num certo dado. As principais diferenças entre as tábuas babilônicas e as atuais, além da linguagem e da notação sexagesimal, são: a não utilização de uma base sistemática para seus cálculos;
as grandes lacunas apresentadas entre um resultado e outro;
a utilização das tabelas restringia-se a fins específicos e não ao cálculo geral.
Mesmo possuindo grandes lacunas os matemáticos babilônicos não hesitavam em interpolar por partes proporcionais para obter valores intermediários aproximados, fato comum na regra de três. Em certo problema referente a quanto tempo demora para certa quantia de dinheiro dobrar a 20% ao ano, o escriba deixa claro que para chegar ao resultado 3; 47, 13, 20 foi utilizado a interpolação linear entre os valores (1; 12)3 e (1; 12)4, além da utilização de um processo que assemelharia a nossa fórmula para juros compostos
ni C
J 1 .
Depois desta evidência os logaritmos tiveram que aguardar muito tempo até um místico monge relacionar as idéias de progressão aritmética com a de progressão geométrica...
Michael Stifel
( em 1487 in Esslingen, Alemanha – † em 19 de Abril de 1567 em Jena, Alemanha)
Costuma-se apresentar Stifel como sendo o maior algebrista alemão do século XVI. Sua obra mais conhecida Arithmetica integra foi publicada originalmente em 1553 é dividida em três partes dedicadas aos números racionais, aos números irracionais e à álgebra. Na primeira parte o matemático mostra as vantagens de associar uma progressão aritmética à uma geométrica, prenunciando um século antes aquilo que viria ser o conceito de logaritmo. Nessa parte ele também desenvolveu os coeficientes binomiais até o de ordem dezessete. A segunda parte do livro consiste, basicamente, numa apresentação algébrica do Livro X dos Elementos de Euclides, enquanto que a terceira parte se ocupa de equações. As raízes negativas de uma equação continuam sendo descartadas, mas usa-se os sinais de +, – e e representa-se, as vezes, a incógnita de uma equação por uma letra.
Originalmente Stifel ordenou-se monge mas acabou tornando-se um reformador fanático depois de convertido por Marinho Lutero. Por possuir um espírito visionário Stifel enveredou-se várias vezes ao misticismo (aritmografia) tanto que profetizou o fim do mundo para 3 e outubro de 1533. O rebate falso fez com que Stifel buscasse refúgio numa prisão tamanha era a indignação entre os prejudicados. Outro exemplo referente ao seu misticismo foi profetizar que o papa Leão X era a besta mencionada no Apocalipse. Imbuído pela passagem “Quem tem sabedoria que conte o número da besta: pois o número de um homem, e esse número é seiscentos e sessenta e seis.”, Stifel verificou que considerando apenas os algarismos romanos significativos de LEO DECIMVS, teríamos L, D, C, I, M, V. Acrescentou X pois Leo Decimvs possui dez letras, retirou M porque representa mysterium e reorganizou as letras para DCLXVI (666).
Outros grandes matemáticos também enveredaram pelo caminho de Stifel para descobrir a identidade da besta do apocalipse. Napier, considerado como o inventor dos logaritmos, mostrou que a besta era o papa de Roma enquanto o padre Bongus, jesuíta da mesma época, concluiu que ele representava Martinho Lutero. Segue-se o raciocínio do padre Bongus: de A a I associa-se os números de 1 a 9, de K a S relaciona-se de 10 a 90 (de dez em dez) e de T a Z temos de 100 a 500 (de cem em cem). No alfabeto latino não existe o j e o w e para maiúsculas o U figura como V. Desta forma obtemos:
M A R T I N L V T E R A
30 1 80 100 9 40 20 200 100 5 80 1
Durante a Primeira Guerra Mundial chegou-se a conclusão que 666 representava o número do cáiser Guilherme, do mesmo modo que depois mostrou ser o número de Hitler. Outras incursões na aritmografia mostraram que no alfabeto aramaico, em que foi escrito originalmente o Apocalipse, 666 se traduz numericamente com o nome de César Nero.
John Napier (ou Neper)
( em 1550 no Castelo de Merchiston, Edimburgo, Escócia – † em 4 de Abril de 1617 em Edimburgo, Escócia) Muitos dos campos nos quais os cálculos numéricos são necessários como na astronomia, na navegação no comércio e na guerra mostram a urgência para cálculos cada vez mais precisos e rápidos. Quatro notáveis invenções vieram atendem estas crescentes necessidades: a notação indo-arábica, as frações decimais, a invenção do logaritmo e a criação dos modernos computadores. Chegou o momento de investigarmos a fundo o surgimento dos logaritmos no início do século XVII por um rico barão escocês.
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Mathematicians/Napier.html
Napier nasceu quando seu pai tinha apenas dezesseis anos de idade e viveu a maior parte de sua vida na rica propriedade da família, o castelo de Merchiston próximo a Edimburgo na Escócia atribulado com controvérsias políticas e religiosas. Declaradamente anticatólico publicou vários libelos contra a Igreja de Roma propondo provar que o papa era o anticristo e que o Criador iria por fim ao mundo entre os anos de 1688 e 1700, tornando-se extremamente popular para sua época. Também idealizou o que viria a ser séculos depois a metralhadora, o submarino e o tanque de guerra.
Tamanha era a imaginação de Napier que muitos acreditavam que ele fosse mentalmente desequilibrado chegando ao ponto de originar histórias infundadas a seu respeito. Uma delas diz respeito ao seu galo preto que teria informado ao dono quais de seus empregados não eram confiáveis. Um a um, cada empregado foi enviado a um quarto escuro com a tarefa de tocar no dorso do galo: aqueles que voltassem com a mão enegrecida seriam os culpados. Sem que soubessem, Napier cobriu o galo com uma fuligem para observar cada reação de honestidade. Outra ocasião conta que cansado com a algazarra que os pombos de seu vizinho faziam, Napier ameaçou a apreender os pombos caso seu dono não restringisse seus vôos. O vizinho não se fez de rogado, pensando que era improvável que alguém pudesse limitar o vôo dos pássaros liberou a possibilidade de prisão para Napier. Qual foi a surpresa do vizinho ao ver no outro dia o gramado repleto de pombos cambaleantes e Napier os recolhendo num saco. Simplesmente o matemático tinha embebido de conhaque várias ervilhas e dado aos pombos.
Para se “descontrair” de suas disputas políticas e religiosas Napier dedicava tempo de seus estudos à matemática e à ciência. Dentre todos seus trabalhos mais notáveis destacam-se:
a invenção dos logaritmos;
um dispositivo mnemônico chamado regra das partes circulares utilizado para resolução de triângulos esféricos; pelo menos duas fórmulas trigonométricas conhecidas como analogias de Napier;
a invenção de um instrumento conhecido como barras de Napier ou ossos de Napier usado para efetuar mecanicamente multiplicações, divisões e extrair raízes quadradas de números.
Logaritmos
Atualmente sabe-se que o poder dos logaritmos como instrumento de cálculo repousa no fato de que eles reduzem multiplicações e divisões a simples operações de adição e subtração. Fórmulas trigonométricas como
) cos( ) cos( cos cos
2 A B AB AB bem conhecida na época de Napier é visivelmente predecessora dessa
idéia. Conhecidas como fórmulas de Werner em homenagem ao matemático alemão Johannes Werner (1468 – 1528) estas identidades trigonométricas eram amplamente utilizadas por astrônomos como um método de conversão de produtos em somas e diferenças. Este método ficou conhecido como método da prostaférese, a partir de uma palavra grega que significa “adição e subtração” e sabemos que Napier o conhecia.
Porém para reduzir a quantidade de operações necessárias para seus cálculos Napier teve uma grande idéia associar uma progressão geométrica
b, b2, b3, b4, ..., bm, ..., bn, ...
aos termos de uma progressão aritmética
1, 2, 3, 4, ..., m, ..., n, ... desta forma o produto m n m n
b b
b de dois termos da primeira seqüência está associado a soma m + n dos termos
correspondentes da segunda progressão. Para manter os termos da progressão geométrica suficientemente próximos de modo que se possa usar interpolação para preencher lacunas entre os termos da correspondência precedente, deve-se escolher o número b bem próximo a 1. Com essa finalidade Napier tomou 1 – 10 – 7 = 0,9999999 para b. Para evitar números decimais, ele multiplicava cada potência por 10 7. Então, se
L
N 107(1107) ele chamava L de “logaritmo” do número N.
Exemplificando a teoria dos logaritmos de Napier
Tenha um pouco de calma e vamos recapitular passo-a-passo o raciocínio de Napier através de exemplificações. Napier tinha tomado conhecimento das associações feitas por Stifel com uma tabela ajeitada para substituir multiplicações e divisões por adições e subtrações.
O que Napier chamava de logaritmos era uma tabela de duas colunas (ou duas linhas), colocando em correspondência os termos de uma progressão geométrica (potências de um certo número) com os de uma progressão aritmética. Abaixo temos um exemplo simples de uma tábua de logaritmos:
1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Repare que esta “tábua de logaritmos” tem a seguinte estrutura:
b0 b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7 b8 b9 b10 b11 b12 b13 b14
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
sendo, no exemplo, b = 2.
Para multiplicar, por exemplo, o número 32 por 256, procuramos na tabela os números correspondentes na segunda linha, que são 5 e 8. Somando-se 5 e 8 obtemos 13. Localizando a soma 13 na segunda linha, vemos que seu correspondente na primeira linha é 8 192. Concluímos que 32 x 256 = 8 192.
Para dividir 2 048 por 128, tomamos os números correspondentes, 11 e 7 e calculamos 11 – 7 = 4. O número da primeira linha correspondente a 4 é 16. Portanto 2 048 : 128 = 16.
O sucesso do método provém das conhecidas leis
n m n m b b b e bm:bn bmn Assim, 8192 2 2 2 2 256 32 5 8 58 13 e 16 2 2 2 : 2 128 : 2048 11 7 117 4
O problema de nossa tábua é que ela nos permite um número restrito de multiplicações e divisões. Isto porque as potências de 2 crescem muito rapidamente. Napier então pensou em considerar um número bem próximo a 1, cujas potências crescessem lentamente, proporcionando um grande número de produtos e quocientes “instantâneos”. Como àquela época, os valores numéricos que os astrônomos mais manipulavam eram valores de senos e cossenos, seria interessante, pensou Napier, uma tábua com grande quantidade de números entre 0 e 1.
A construção da primeira tábua de logaritmos
Para construir a primeira tábua de logaritmos, Napier considerou as potências de um número bem próximo a 1, o número 1 – 10 – 7 = 0,9999999. Para simplificar os cálculos consideremos o número b como sendo b = 1 – 10 – 3 = 0,999, em lugar de 1 – 10 – 7. Indicaremos por Nap log b o logaritmo de b segundo Napier.
Inicialmente Napier definiu
0,999
3 log0,999 3 1 3 log 2 1 2 999 , 0 log 2 999 , 0 log 1 999 , 0 log 3 2 Nap Nap Nap Nap Nape assim por diante.
Como o cálculo das potências de 0,999 através de multiplicações é trabalhoso Napier teve uma idéia simplificadora. Ele notou que b = 0,999 = 1 – 10 – 3, então:
1000 1000 1 1 10 1 1 10 1 1000 1000 1 1 10 1 1 10 1 2 2 2 3 2 3 2 2 3 3 3 2 b b b b b b b b b b b b b b b b e assim por diante.
Como b = 0,999 e b / 1000 = 0,000999, substituindo na expressão acima, temos: b2 = b – b / 1000 = 0,999000 - 0,000999 = 0,998001 b3 = b2 – b2 / 1000 = 0,998001000 - 0,000998001 = 0,997002999 0,997003
Napier então calculou as potências de b = 0,999 de b2 até b50, fazendo subtrações sucessivas. Logo, temos:
0,999
50 log0,951206 50 log ... 3 997006 , 0 log 3 999 , 0 log 2 998001 , 0 log 2 999 , 0 log 1 999 , 0 log 50 3 2 Nap Nap Nap Nap Nap Nap NapNapier construiu uma tabela de logaritmos como a seguinte, emparelhando cada número com seu Nap log, a primeira tabela de logaritmos que se tem notícia na história.
A interpretação cinemática de Napier
Segundo Napier conta o trabalho da invenção dos logaritmos demorou durante vinte anos antes de publicar seus resultados em 1614 no livro Minfici logarithmorum canonis descriptio (Descrição da Maravilhosa Lei dos Logaritmos), fato que colocaria suas idéias em aproximadamente 1594. A explanação dos princípios de seu trabalho são estritamente geométrica como se segue. Considere um segmento de reta AB e uma semi-reta DE, de origem D, conforme a figura abaixo:
Suponhamos que os pontos C e F se ponham em movimento simultaneamente a partir de A e D, respectivamente, ao longo dessas linhas. A velocidade de C será variável decrescendo proporcionalmente à sua distância de B enquanto que a velocidade de F é sempre constante e igual à velocidade inicial de C. Napier chamava a distância DF o logaritmo da distância CB. Apesar de sua interpretação geométrica, as tabelas feitas por Napier eram construídas numericamente.
A princípio Napier chamou seus índices de potências “números artificiais”, mais tarde ele fez a composição de duas palavras gregas logos (λογος - razão) e arithmos (αριθμomicronς - números), ou seja, um número que indica a razão e a proporção.
Historicamente é incorreto dizer que os atuais logaritmos neperianos (cuja base é o número transcendente e = 2,7182...) foram os utilizados por Napier pois até mesmo o conceito de base de sistema de logaritmos não tinha sido formulado, nem o uso dos expoentes como hoje utilizamos havia sido instituído.
http://www.ru.nl/w-en-s/gmfw/bronnen/napier1.html As Barras de Napier
Em 1617 Napier publicou uma obra de grande sucesso intitulada Rabdologiae onde, entre outros tópicos apresentava um método mecânico para efetuar multiplicações e divisões. Os princípios desta invenção conhecida como barras de Napier ou ossos de Napier não difere do método árabe utilizado para efetuar multiplicações, contudo o processo de Napier é posto em prática com a ajuda de tiras de ossos, metal, madeira ou cartão, preparadas anteriormente. Para cada um dos 10 dígitos deve-se ter algumas tiras contendo os múltiplos do dígito. Como exemplo, efetuaremos a multiplicação de 1615 por 365.
coloque as tiras 1, 6, 1 e 5 uma ao lado da outra nesta ordem;
leia os resultados da multiplicação de 1615 nas linhas 3, 6 e 5 (em alguns casos é necessário adicionar 2 dígitos das diagonais);
adicionamos os resultados das multiplicações iniciando pelo 5 (unidades), 6 (dezenas) e 3 (centenas) para encontramos o produto desejado.
8 0 7 5 9 6 9 0 4 8 4 5
5 8 9 4 7 5
Henry Briggs
( Fevereiro de 1561 em Warleywood, Yorkshire, Inglaterra – † 26 de janeiro de 1630, Oxford, Inglaterra)
Certamente não era nada confortável uma viagem de Londres a Edimburgo no distante ano de 1615. Em veículos puxados a cavalos, por estradas esburacadas e poeirentas, o percurso parecia interminável. Mas o eminente professor Henry Briggs, que ocupava no Gresham College de Londres a primeira cátedra de matemática criada na Inglaterra, valia a pena o sacrifício. Certa vez escreveu: “espero ver Napier este verão, se Deus quiser, porque nunca encontrei um livro que mais me agradasse ou me despertasse maior admiração”. Briggs estava se referindo ao Descriptio que Napier tinha publicado a apenas um ano onde divulgou a sua criação dos logaritmos. Foi durante esta visita que Napier e Briggs concordaram que as tábuas seriam mais úteis se fossem alteradas de modo que o logaritmo de 1 fosse 0 e o logaritmo de 10 fosse uma potência de 10, nascendo assim os logaritmos briggsianos ou comuns, os logaritmos dos dias atuais. Esses logaritmos, que são essencialmente os logaritmos da base 10, devem sua superioridade aos cálculos numéricos ao fato de que o nosso sistema de numeração é decimal.
Briggs devotou todas as suas energias à construção de uma tábua com base na nova idéia, e em 1624 (dez anos após a publicação de Napier) publicou sua Arithmetica logarithmica, que continha uma tábua de logaritmos comuns, com quatorze casas decimais, dos números de 1 a 20 000 e de 90 000 a 100 000. A lacuna entre 20 000 e 90 000 fora preenchida posteriormente pela ajuda de Adriaen Vlacq (1600 – 1660) e Edmund Gunter (1581 – 1626), sendo superada apenas no século XX com novas tabelas com mais de vinte casas decimais.
Em sua Arithmetica Briggs introduziu o termo mantissa, que é um termo latino de origem etrusca que significa inicialmente “adição” ou “contrapeso”. A palavra característica também foi sugerida por Briggs em sua obra e utilizada por Vlacq. Nas primeiras tábuas de logaritmos vinham expressas tanto as mantissas quanto as características dos logaritmos, somente a partir do século XVIII é que as tabelas tomaram a forma que conhecemos.
Exemplificando a ajuda de Briggs à Napier
Como hoje sabemos, cada número real positivo x pode ser escrito em notação científica, ou seja, na forma
n
b
x 10 , sendo b um número real satisfazendo 1 b10 e n um expoente inteiro positivo. São exemplos de notação científica: 2 2 1 10 52 , 4 0452 , 0 10 5672 , 4 72 , 456 10 212 , 3 12 , 32
Briggs percebeu que, sendo n
b
x 10 a representação de x > 0 em notação científica, chamado log x o
logaritmo decimal de x, ou seja, o numero real log 10 x, teria
b
b b n b n b n n bx log 10n log log10n log log10 log 1 log log
sendo portanto suficiente conhecer os logaritmos dos números b satisfazendo 1 b10.
Ao logaritmo do número b, 1 b10, Briggs chamou de mantissa do logaritmo de x. Ao expoente de 10 na notação científica de x, Briggs chamou de característica do logaritmo de x. Assim, ficou log x = característica + mantissa.
Para construir uma tábua de mantissas, Briggs primeiramente considerou a seqüência de números reais
,... 10 10 , 10 , 10 4
calculando vários deles. Obteve a seguinte tabela
Para calcular, por exemplo, log 2, Briggs procedeu da seguinte maneira:
procurou na tabela acima a primeira raiz 2n-ésima de 10 imediatamente abaixo de 2, encontrando 4 1 10 77828 , 1 ; calculou então 2 : 1,77828 = 1,12468;
procurou na tabela a primeira raiz imediatamente abaixo de 1,12468, que é 32 1 10 07461 , 1 ; calculou então 1,12468 : 1,07461 = 1,04659;
procurou na tabela a primeira raiz imediatamente abaixo de 1,04659, que é 64 1 10 03663 , 1 ; calculou então 1,04659 : 1,03663 = 1,00961;
procurou na tabela a primeira raiz imediatamente abaixo de 1,00961, que é 256 1 10 00904 , 1 ; calculou então 1,00961 : 1,00904 =1,00056;
procurou na tabela a primeira raiz imediatamente abaixo ou igual à 1,00056, que é o próprio 4096 1
10 00056 ,
1 .
recompôs seus cálculos assim:
00056 , 1 00904 , 1 03633 , 1 07461 , 1 77828 , 1 2 00961 , 1 03633 , 1 07461 , 1 77828 , 1 04659 , 1 07461 , 1 77828 , 1 12468 , 1 77828 , 1 2
substituiu os valores decimais por potências de dez com expoentes fracionários:
4096 1 256 1 64 1 32 1 4 1 4096 1 256 1 64 1 32 1 4 1 10 2 10 10 10 10 10 00056 , 1 00904 , 1 03633 , 1 07461 , 1 77828 , 1 2
aplicando a definição de logaritmo temos:
4096 1 256 1 64 1 32 1 4 1 2 log10
observando a quarta coluna da tabela verifica-se que as frações estão convertidas em números decimais: 301025 , 0 2 log 000244 , 0 003906 , 0 015625 , 0 031250 , 0 250000 , 0 2 log10 10
Jobst Bürgi
( 28 de Fevereiro de 1552 em Lichtensteig,Suíça– † 31 de janeiro de 1632, Kassel, atual Alemanha)
O único rival de Napier quanto à propriedade da invenção dos logaritmos foi o suíço Jobst Bürgi, um construtor de instrumentos e relojoeiro. Bürgi concebeu e construiu uma tábua de logaritmos independente de Napier e publicou seus resultados em 1620 com o título de Arithmetische und geometrisch Progress Tabulen, seis anos depois de Napier revelar sua descoberta ao mundo. Embora os dois tenham concebido a idéia de logaritmos antes de publicá-la, acredita-se geralmente que Napier teve a ideia primeiro. Enquanto a abordagem de Napier era geométrica, a de Bürgi era algébrica. Hoje em dia, um logaritmo é universalmente considerado como um expoente; assim, se n = bx, dizemos que x é o logaritmo de n na base b. Dessa definição, as leis dos logaritmos decorrem imediatamente da lei dos expoentes. Uma das incongruências da história da matemática é que os logaritmos foram descobertos antes de se usarem expoentes.
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Mathematicians/Burgi.html
O suíço Bürgi era um homem eclético: era versado em matemática e astronomia, tendo mesmo colaborado com Kepler em Praga. Provavelmente, vem deste fato sua preocupação em criar os logaritmos, embora fosse um exímio calculista.
Também estimulado pelas idéias de Stifel, partiu de uma progressão aritmética de primeiro termo 0, razão 10 e último termo 32 000, cujos elementos chamou de números vermelhos (pela cor que os imprimiu). A progressão geométrica correspondente começa com 108 e sua razão é 1 + 10 – 4 (notação atual) – seus termos são chamados números negros. A partir daí, constrói o que na verdade é, na terminologia atual uma tábua de antilogaritmos: os números vermelhos (logaritmos) são escritos na primeira linha e na coluna da esquerda e os negros correspondentes distribuídos nas demais linhas e colunas. A escolha de 1,0001 como razão da P.G. objetivava fazer com que suas potências ficassem muito próximas entre si; e começar essa progressão com 108 era um expediente para evitar os números decimais. Observe a primeira parte da tabela de antilogaritmos de Bürgi (logaritmos em vermelho e antilogaritmos em preto): 0 500 1 000 1 500 2 000 0 100 000 000 100 501 227 101 004 966 101 511 230 102 020 032 10 .... 10 000 .... 11 277 .... 15 067 .... 21 381 .... 30 234 20 .... 20 001 .... 21 328 .... 25 168 .... 31 534 .... 40 437 30 .... 30 003 .... 31 380 .... 35 271 .... 41 687 .... 50 641
Bibliografia
BOYER, Carl B. – História da Matemática. São Paulo, Editora Edgard Blücher, 1996, 2ª edição. EVES, Howard – Introdução à História da Matemática. Campinas, Editora da Unicamp, 1995.
IEZZI, Gelson e outros – Fundamentos da Matemática Elementar vol. 2 logaritmos. São Paulo, Editora Atual, 1993. PEDROSO, Hermes Antônio – História da Matemática - Notas de aula nº 03. São José do Rio Preto, Unesp, 1995. SAMPAIO, João Carlos V. – John Napier, Henry Briggs e a Invenção dos Logaritmos. São Carlos, UFSC.
Sites utilizados
University of St Andrews, Scotland - School of Mathematics and Statisttics http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/BiogIndex.html
Wikipedia – A encyclopedia livre http://pt.wikipedia.org/wiki/Logaritmo
