RESUMO
ABSTRACT Palavras-chave:
Keywords
Iniciais na Resolução de Problema
Combinatório
1Sandra Maria Pinto Magina, 2Alina Galvão Spinillo, 3Lianny Milenna de Sá Melo
Este artigo descreve uma pesquisa realizada com 269 estudantes das 2a, 3a, e 4a séries (referentes aos atuais 3o, 4o e 5o anos do
Ensino Fundamental), a qual investigou as estratégias utilizadas por esses estudantes ao resolver um problema de combinatória no âmbito do produto de medidas. O estudo utiliza como aporte teórico a teoria de Vergnaud e, ainda as ideias de Piaget e Inhelder no que tange ao raciocínio combinatorio. Para a análise, lançou-se mão da análise proposta por Silva e Spinillo, no que se refere aos tipos de estratégias pelos estudantes ao resolver problemas de combinatória. Os resultados apontam que o crescimento no percentual de sucesso de um ano para outro é pífio, porém há uma diferença estatisticamente significativa no uso da estratégia "combinatória", a qual aumenta da 2a para a 4a série. O estudo conclui que devido à sua natureza, os problemas de combinatória, enquanto produto cartesiano, embora envolvam as operações de multiplicação ou divisão para a sua solução são um caso à parte e não podem ser tratados simplesmente como mais um problema desses tipos de operações.
This paper describes a study which involved 269 students from 2nd, to 4th grades (corresponding to 3th, 4th and 5th elementary school years), which investigated the strategies used by these students to solve a combinatorial problem within the product measures. The research used as theoretical contribution Vergnaud's theory as well as the Piaget and Inhelder ideas with concerns to combinatory reasoning. For the analysis, it employed the analysis proposed by Silva and Spinillo, regarding to the types of strategies used by students whilst they were solving combinatorial problems. The results show that students' success from one year to another was very poor. However there is a statistically significant difference related to the use of the "combinatory" strategy, which increases from the 2nd to the 4th grade. The study concludes that because of its nature, combinatorial problems, as Cartesian product, although involving the multiplication operations or division to their solution, are a special case which should not be treated as a simple problem of these types of operations.
1Universidade Estadual de Santa Cruz – Brasil sandramagina@gmail.com
2Universidade Federal de Pernambuco – Brasil alinaspinillo@hotmail.com
3Universidade Federal de Pernambuco – Brasil lianny_melo@hotmail.com
Estudo descritivo; Combinatória; Anos Iniciais; Produto Cartesiano.
Descriptive Study; Combinatory; Elementary School; Cartesian Product
Os problemas de combinatória constitui um dos núcleos da Matemática discreta e é parte importante da Probabilidade. Do ponto de vista psicológico, a combinatória é um esquema operacional fundamental para o desenvolvimento do pensamento lógico, ou seja, um modo de raciocinar.
A relevância do raciocínio combinatório há muito foi enfatizada por Piaget (INHELDER; PIAGET, 1976; PIAGET; INHELDER, 1951) cujos estudos mostraram que este raciocínio permite diferenciar o real do possível, de forma que o indivíduo se torna capaz de considerar todas as possibilidades de uma dada situação, ainda que de forma hipotética, relacionando a emergência da noção de chance à compreensão da ideia de permutação e à estimativa de probabilidade.
Do ponto de vista educacional, a Combinatória é considerada um dos mais difíceis tópicos para ensinar e para aprender. Apesar desta complexidade, muitos pesquisadores e educadores defendem a ideia de incluir a combinatória no currículo desde cedo no ensino fundamental (e.g., ENGLISH, 1993), alguns deles ressaltam que a resolução de problemas combinatórios pode facilitar o raciocínio dos alunos na resolução de problemas de modo geral (NUNES; BRYANT, 2001; PESSOA; BORBA, 1009).
De acordo com Vergnaud (1983), os problemas de produto cartesiano, ou de combinatória, faz parte das relações ternárias, estando inserido no eixo Produtos de Medidas que, assim como os de isomorfismo de medidas e os de proporções simples, duplas e múltiplas, pertencem ao campo mais amplo das estruturas multiplicativas (VERGNAUD, 1993, 1998). Dentre os problemas de Combinatória - arranjo, combinação, permutação e produto cartesiano (ver BORBA; PESSOA, 2013), esses últimos são os menos complexos e mais investigados em pesquisas com crianças. Esses problemas se configuram como uma combinação entre elementos de dois ou mais conjuntos distintos, formando-se um novo conjunto, sendo a tabela cartesiana de dupla entrada sua forma mais usual de representação.
Problemas de produto cartesiano envolvem formas de resolução que requerem a multiplicação ou a divisão. Segundo Vergnaud (1991), problemas resolvidos a partir da multiplicação são denominados problemas diretos e seus enunciados apresentam o valor das medidas elementares (saias, blusas, meninas, meninos), sendo requerido o valor da medida produto (trajes, pares), por exemplo: Maria tem 2 saias e 3 blusas. De quantas maneiras Introdução
diferentes ela pode se arrumar?). Já os problemas de produto cartesiano solucionados através da divisão são denominados problemas inversos e seus enunciados apresentam o valor da medida produto e de uma medida elementar, sendo solicitado encontrar o valor da segunda medida elementar, por exemplo: Numa festa de São João, formou-se 12 pares diferentes para dançar. Se havia 3 meninas e todos os presentes dançaram, havia quantos meninos?.
A resolução de problemas de produto cartesiano, portanto, requer compreender que cada elemento do conjunto elementar pode aparecer em diversas combinações com elementos do outro conjunto elementar, princípio este que caracteriza a correspondência um-para-muitos (uma blusa para todas as saias). Piaget e Szeminska (1971) definem que o esquema de correspondência se desenvolve de maneira gradual, iniciando-se com a correspondência um-para-um (ou correspondência termo a termo), desenvolvendo-se na direção de um esquema de correspondência um-para-muitos (ou correspondência múltipla), que é fundamental ao raciocínio multiplicativo, em especial ao raciocínio combinatório.
Recentes estudos realizados com crianças analisam o desempenho e as estratégias de resolução adotadas em função da idade, escolaridade, rendimento escolar em matemática e conhecimento sobre combinatória (e.g., ENGLISH, 1993; GITIRANA; CAMPOS; MAGINA; SPINILLO, 2014; TAXA-AMARO, 2006; TEIXEIRA; VASCONCELOS; GUIMARÃES, 2011). Outros procuram caracterizar o desenvolvimento a partir do aumento da idade e da escolaridade (MORO; SOARES, 2006a; 2006b; PESSOA; BORBA, 2009; 2010). Há, ainda, pesquisas em que se compara o desempenho em diferentes tipos de problemas (e.g., PESSOA; BORBA, 2008).
Analisando-se esses estudos, verifica-se que há um maior interesse dos pesquisadores em investigar problemas de produto cartesiano que requerem a multiplicação para sua resolução (problemas diretos) do que problemas que requerem a divisão (problemas inversos). O presente estudo também tem o foco no problema direto de combinatória e toma por objetivo examinar o raciocínio combinatório de estudantes dos 3o, 4o e 5o anos do Ensino Fundamental ao resolver um problema direto.
Participaram do estudo 269 estudantes do ensino fundamental de uma escola pública estadual da cidade de São Paulo, divididos em três grupos em função da escolaridade: 86 alunos da 2ª série, 94 alunos da 3a série e 89 alunos da 4ª série(referentes aos atuais 3o, 4o e 5o anos do Ensino Fundamental).
Cada participante resolveu por escrito o problema de produto cartesiano1 apresentado por escrito dentro de um bojo de problemas, um em cada página, compondo um pequeno caderno, cuja resolução requeria a multiplicação (ver Figura 1). A aplicação foi conduzida de forma coletiva pela professora em sala de aula, na presença de três pesquisadores que a auxiliavam na realização desta atividade. A professora lia em voz alta o problema e, caso necessário, esclarecia as dúvidas relativas a seu enunciado e sua diagramação. A resolução era individual.
Os resultados apontam que os estudantes dos anos iniciais tem pouco sucesso ao resolver problema de combinatória, como mostra o Gráfico 1 a seguir:
1O problema fazia parte de um instrumento composto por 13 problemas de natureza multiplicativa. Para a presente investigação foram analisados apenas dois desses problemas, como descrito adiante.
Problema: O parque de diversão abaixo tem 2 entradas (A e B) e 4 saídas (1, 2, 3 e 4).
Pense em todas as diferentes maneiras que você pode-ria entrar e sair desse parque.
Quantas são essas maneiras?
Resposta: _________________
Parque de diversão
Figura 1: Problema combinatória, com as partes conhecidas e todo desconhecido
Resultados
Notamos que embora haja um crescimento no percentual de sucesso dos estudantes a medida que os anos escolares avançam, esse crescimento é pífio. Para entender o porquê de um crescimento tão pequeno, focamos nas estratégias utilizadas por esses estudantes ao resolver o problema. Assim, realizaremos uma análise qualitativa, tomando por base o sistema de análise proposto por Spinillo e Silva (2010). As estratégias, que expressam diferentes níveis de raciocínio combinatório, foram classificadas por meio de discussão entre dois juízes com experiência de pesquisa neste campo do conhecimento e em análises desta natureza até chegarem a um consenso quando existiam discordâncias na classificação.
Estratégia Tipo 1: formas de resolução não combinatórias que se caracterizam por ausência de resposta, por respostas em que não é possível identificar a resolução adotada e respostas inadequadas baseadas no uso de operação inapropriada. Exemplo:
Notamos na Figura 2 que a resolução se limita à repetição de parte do enunciado do problema, sem que qualquer procedimento de resolução seja encaminhado.
Estratégia Tipo 2: são resoluções que se baseiam em combinações fixas entre entradas e saídas, que não podem ser desfeitas, obtendo como resposta o menor valor presente no enunciado do problema. Embora esta estratégia já expresse a ideia de combinar elementos (no caso, formando pares entre entradas e saídas), ela ainda é inapropriada, pois se deriva de relações um-para-um que são insuficientes para a resolução de problemas de combinatória, como é o caso de problemas de produto cartesiano que requer o estabelecimento de relações
Figura 2: Extrato de protocolo que exemplifi-ca a estratégia do Tipo 1
um-para-muitos. O uso desta estratégia decorre no fato de haver elementos de um dado conjunto que não são combinados com elementos do outro conjunto. Abaixo está um exemplo desse tipo de estratégia:
Pela resposta dada e pelos grafismos produzidos, como mostrado na Figura 3, duas trajetórias foram estabelecidas: combinando-se a Entrada A com a Saída 1 e a Entrada B com a Saída 3. Estas são combinações fixas baseadas na correspondência um-para-um (uma entrada e uma saída) em que todas as entradas são consideradas na resolução, porém algumas saídas não o são, como é o caso da Saída 2 e da Saída 4.
Estratégia Tipo 3: essas estratégias expressam uma combinação flexível entre os elementos de um conjunto com os do outro, (no caso, formando pares entre entradas e saídas), uma vez que a criança aceita a ideia de que um elemento de um conjunto (Entrada A) pode combinar com mais de um elemento de outro conjunto (Saídas 1, 2 e 3), envolvendo todos os elementos dos dois conjuntos. Veja o exemplo a seguir:
Figura 3: Extrato de protocolo que exempli-fica a estratégia do tipo 2
Figura 4: Extrato de protocolo que exemplifica a estratégia do tipo 3
A Figura 4 deixa claro a emergência da correspondência um-para-muitos, sendo possível combinar uma entrada com duas saídas e outra entrada com outras duas saídas. Embora o estudante compreenda que uma entrada possa se combinar com mais de uma saída, sua compreensão está presa à ideia de que uma entrada não pode se combinar com a saída que está associada a outra entrada.
Estratégia Tipo 4: formas de resolução combinatórias que envolvem a correspondência um-para-muitos entre todos os elementos de um conjunto com todos os do outro conjunto de forma exaustiva. Nesse caso, a criança encontra todos os casos possíveis de combinação, aceitando que cada elemento de um conjunto pode ser combinado com todos os elementos do outro conjunto. A seguir apresentamos dois Exemplos desse tipo de estratégia:
A Figura 5 traz uma resolução que é representada por meio de diagrama, enquanto que a Figura 6 traz uma resolução que é representada através da escrita. Em comum esses exemplos ilustram a preocupação dos estudantes em exaurir todas as possibilidades de combinação quando toma um dos elementos de um conjunto e o combina de forma sistemática com todos os elementos do outro conjunto.
Figura 5: Extrato de protocolo que exemplifica a estra-tégia do tipo 4
Figura 6: Extrato de protocolo que exemplifica a estratégia do tipo 4.
Verifica-se que a estratégia Tipo 1 foi significativamente mais utilizada dos que as demais, conforme revelado pelo Teste de Wilcoxon (valores de p <.02). Olhando para os tipos de estratégias utilizadas pelos estudantes segundo a série escolar, observemos as frequências dos resultados dos estudantes apresentadas na Tabela 2 a seguir.
Ao proceder com uma análise comparativa entre os anos escolares, por meio do teste U de Mann-Whitney, os resultados revelaram diferenças significativas em relação às estratégias do Tipo 3 e Tipo 4. A estratégia Tipo 3 foi menos adotada pelas crianças da 4ª série (5,6%) do que pelas crianças da 2ª (16,3%) (U= 3419,0; p= .024) e da 3ª série (14,9%) (U= 3795,0; p= .040 ). Quanto à estratégia Tipo 4, a única diferença identificada foi em relação ao seu uso na 2ª série, que foi menos frequente do que na 4ª série (Z= 3329,0; p= .034), apontando um crescimento significativo no uso desse tipo de estratégia a media que os anos escolares avançam.
A primeira conclusão que merece destaque é ressaltar que as estratégias identificadas são de natureza hierárquica, no sentido de expressarem diferentes níveis de compreensão a respeito da combinatória: as estratégias Tipo 2 e Tipo 3 revelam a emergência de raciocínio combinatório, aspecto este ausente na estratégia Tipo 1 e consolidado na estratégia Tipo 4 que revela o uso de solução combinatória. A partir disso, em uma perspectiva de desenvolvimento, identifica-se uma progressão no raciocínio combinatório que se manifesta na
Estratégias Problema Direto
(n=269)
Tipo 1 (Ausência de solução combinatória) 173 (64,4)
Tipo 2 (Combinação fixa) 8 (3)
Tipo 3 (Combinação flexível) 33 (12,2)
Tipo 4 (Solução combinatória) 55 (20,4)
Tabela 1: Frequência e percentual (entre parênteses) de estratégias
Estratégias 2ª Série
n = 86 3ª sérien = 94 4ª Sérien = 89 Tipo 1 (Ausência de solução combinatória) 56 (65,1) 58 (61,7) 59 (66,3) Tipo 2 (Combinação fixa) 4 (4,7) 3 (3,2) 1 (1,1) Tipo 3 (Combinação flexível) 14 (16,3) 14 (14,9) 5 (5,6) Tipo 4 (Solução combinatória) 12 (14) 19 (20,2) 24 (27)
Tabela 2: Frequência e percentual (entre parênteses) de estratégias em função do tipo de problema e série escolar.
resolução do problema.
Conforme proposto na Teoria dos Campos Conceituais (VERGNAUD, 1983, 1991, 1993, 1998), os conceitos se desenvolvem por um certo período de tempo sendo isso reiterado nos dados obtidos no presente estudo, uma vez que a forma de raciocinar mais elaborada (representada pela estratégia Tipo 4) foi mais frequentemente adotada pelos estudantes em anos escolares mais avançados. Ainda, dentro deste cenário teórico, a aquisição de conceitos ocorre de forma gradual, como ilustrado por meio das diferentes estratégias de resolução identificadas.
O desenvolvimento do raciocínio combinatório observado neste estudo também se assemelha à progressão apresentada por Moro e Soares (2006a; 2006b) e por English (1991; 1992). Entretanto nos estudos de Moro e Soares as autoras examinaram estudantes de anos mais avançados (com crianças entre 10 e 13 anos) , enquanto os estudos de English focaram em crianças entre 4 e 9 anos. Nosso estudo concentra-se no meio dessas idades (crianças entre 8 e 11 anos), mas tratou, como eles, de resoluções de problemas diretos. Assim, os resultados desta pesquisa tanto corroboram dados anteriormente documentados na literatura como também contribui com novas informações a respeito do raciocínio combinatório.
Para finalizar, de modo geral o estudo revela a grande dificuldade que os estudantes encontram frente a problemas que requerem raciocinar de forma combinatória. É preocupante verificar que esta dificuldade persiste mesmo entre aqueles que estão na 4ª série do ensino fundamental que já dominam as operações de multiplicação e de divisão, e que já foram formalmente instruídos a outros conceitos próprios do campo das estruturas multiplicativas. Seria importante saber quando, com que frequência e como os livros didáticos abordam problemas que envolvem o raciocínio combinatório. O que se deseja comentar é que além da complexidade inerente ao raciocínio combinatório, a pouca familiaridade com problemas deste tipo é uma fator adicional de dificuldade para o estudante. Assim, dois aspectos poderiam ser considerados no ensino de matemática a este respeito: expor os alunos a problemas de produto cartesiano e tornar explícitas as relações um-para-muitos (primeiro em problemas diretos e posteriormente em problemas inversos). Spinillo e Silva (2010), por exemplo, obtiveram um índice de sucesso expressivo na resolução de problemas diretos por crianças quando lhes eram explicitadas verbalmente as relações um-para-muitos. Segundo nossa análise, Azevedo e Borba (2013a, 2013b) também explicitaram essas relações ao explorarem a árvore de possibilidades na resolução de problemas de produto cartesiano.
Como comentário final, os problemas de produto cartesiano, devido à sua natureza, são um caso à parte e não podem ser tratados simplesmente como mais um problema de multiplicação ou de divisão. Na realidade, tais problemas, ainda que envolvam as mesmas operações que os problemas de isomorfismo de medidas, demandam formas de raciocinar mais complexas que precisam ser consideradas nas situações de ensino.
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