ORIENTADOR METODOLÓGICO: UNIDADES E MEDIDAS
Praticando:
1) 2 500m 2) a) 0,150 km b) 15.000cm c) 150 000mm 3) a) 3210m b) 0,0321m c) 0,00321m 4) a) 3 600s b) 5 400s c) 5 100s 5) D 6) a) Cinco b) 3, 2, 8 e 3 c) 7 d) 3,2837 x 102m 7) a) 61,92s b) 354,2km/h c) 8,56m2 8) a) 10-5km2 b) 108m 9) C 10) E 11) A 12) D 13) B 14) C 15) EAprofundando:
1) B - Zero à esquerda não conta como alga-rismo significativo. 2) C 3) B 4) B 5) D 6) B 7) A 8) BDesafiando
:Se eu já tenho dúvida no algarismo de uma casa, como vou avaliar o algarismo da casa da direita que é dez vezes menor.
Pesquisando:
1015 TERRAS.ORIENTADOR METODOLÓGICO: ESTUDANDO FORÇAS
ORIENTADOR METODOLÓGICO
Estudando forças
Objetivo:
• Conceituar força e definir sua unidade no Sistema Internacional; • Determinar a resultante de sistemas simples de forças: de mesmo sentido, de senti-dos opostos e perpendiculares entre si; • Compreender o conceito de inércia, identificando-os a situações diárias; • Associar os conceitos de velocidade e aceleração às Leis de Newton, resolvendo pro-blemas simples de Segunda Lei; • Identificar um par de forças ação e reação; • Distinguir massa de peso e identificar as forças mais usuais da Mecânica; • Representar (Isolar) as forças que agem sobre um corpo, identificando-as; • Resolver corretamente exercícios com polias (roldanas) fixas e móveis associadas; • Identificar as Máquinas Simples (Alavancas), solucionando problemas simples com elas.Sugestões didáticas:
• Abordar diretamente a questão da resultante vetorial, utilizando o vetor força, uma vez que o objetivo do módulo é introduzir o estudo da Dinâmica. • Sugerimos discutir, sempre que possível, a primeira e a terceira leis relacionando-as a situações do cotidiano, como: aceleração e freada de ônibus (1ª lei), cortada de vôlei ou golpe de karatê (3ª lei), força de atrito na caminhada (3ª lei), lançamento de foguetes (3ª lei) etc. Vale também uma discussão sobre a distinção entre • Uma sugestão que consideramos importante é chamar cada força pelo seu “nome” completo, exemplos: - Peso: força da Terra sobre o corpo. - Força Elástica: orça da mola sobre o corpo. Observe que desse modo fica mais fácil, no futuro, o aluno identificar a reação a cada força. • Sugere-se enfatizar a distinção dos papéis da polia fixa (alterar a direção da força de tração) e da polia móvel (reduzir a tração à metade) num sistema de roldanas associadas. • Sugere-se abordar a questão do braço de rotação a partir de exemplos do cotidiano, como a localização mais favorável da maçaneta numa porta ou a posição mais favorável da mão de quem empunha um alicate ou tesoura de modo a fazer a menor força possível.ORIENTADOR METODOLÓGICO: ESTUDANDO FORÇAS
Praticando:
1) a) Tempo, massa comprimento, tempera-tura, energia etc. Dar ênfase ao tempo. b) Deslocamento, velocidade, aceleração, força etc. Dar ênfase à força. 2) a) b) c) 3N 8N 3N d) 5Ne) zero f) g) 12N
10N
3) C
4) As forças do par ação-reação agem em corpos diferentes, mas considerando o bur-ro e a carroça como um só corpo, uma anula a outra mas, o burro empurra o chão para trás com as patas, o chão reage e empurra o burro para frente fazendo com que ele ar-raste a carroça. 5) D 6) B 7) C 8) A 9) a) 3 m/s2 b) 15 N 10) 4 N 11) B 12) a) 200N b) 100N c) 150N d) 50N 13) O bloco ligado ao cilindro de maior diâ-metro. Pois o cilindro mais grosso recolherá corda mais rapidamente. 14) a) 200N b) 5N c) 3N d) 300N 15) a) Inter-resistente b) 30N 16) a) interpotente b) 30 N
Aprofundando:
1) 20N 2) E 3) E 4) B 5) C 6) B 7) a) zero, pois os corpos estão em repouso b) 15N c) 15N 8) BDesafiando
: Um número positivo, no caso a massa (m) quando multiplica um vetor, no caso a ( a ), o resultado será sempre outro vetor de mes- ma direção e sentido com o módulo multipli-cado pelo valo da massa..Pesquisando:
a) Quatro b) A Força Gravitacional c) A Força Eletromagnética d) A Força nuclear Forte e) Não. A Força GravitacionalO PLANETA TERRA
ORIENTADOR METODOLÓGICO
O planeta Terra
Conteúdo:
• O Planeta Terra no Sistema Solar; • Os planetas do Sistema Solar; • Os principais movimentos da Terra; • Solstício e Equinócio; • O mecanismo das estações do ano e a duração dos dias; • Orientação, coordenadas geográficas e fusos horários.Objetivos:
• Compreender o funcionamento do Sistema Solar e a diferença entre os planetas; • Perceber como os movimentos da Terra influenciam nas nossas vidas; • Entender como funcionam os dias e as noites, as estações do ano e o movimento aparente do sol; • Analisar as diferentes formas de se localizar e se movimentar no globo, estudando, a partir disso, as coordenadas geográficas; • Aprender a se localizar utilizando as coordenadas geográficas; Identificar como fun-ciona a divisão dos fusos horários no mundo e no Brasil.Sugestões Didáticas:
Recomenda-se especial atenção aos movimentos exercidos pela Terra e suas consequên--cias para as nossas vidas, desenvolvendo o entendimento das dinâmicas que formam os dias e as noites, o movimento aparente do sol e as estações do ano. A partir disso, desenvol-ver os conteúdos de localização e movimentação no globo, realizando exercícios.Praticando:
1) Os planetas rochosos são Mercúrio, Vênus, Terra e Marte; são pequenos, densos e estão próximos do sol. Os planetas gasosos são Júpiter, Saturno, Urano e Netuno; são grandes, tem baixa densidade e estão distantes do sol. 2) Não. O planeta Terra é levemente achatado nos polos, tendo a forma de geoide. 3) É o movimento que o sol aparenta exercer, de leste para o oeste, a partir do nosso ponto de observação. 4) Os hemisférios apresentam uma maior iluminação em uma época do ano e menor em outra, invertendo de 6 em 6 meses.O PLANETA TERRA 5) Solstício de verão do hemisfério sul, no dia 21 de Dezembro. 6) Coordenadas geográficas são o encontro de latitudes e longitudes, permitindo encontrar um ponto específico do globo. 7) São utilizadas para localizar pontos na superfície e para facilitar a movimentação. 8) Servem para estabelecer horários globais, de acordo com a faixa longitudinal, facilitando a movimentação de pessoas e os fluxos de mercadoria. 9) Porque os fusos práticos nos permitem adaptar o orário de acordo com os limites terri-toriais.
Aprofundando:
1) Júpiter. 2) Vênus e Marte. 3) a) Ano-luz e uma unidade de medida de acordo com a velocidade da luz. Se uma viagem durou 10 anos-luz, significa que ela durou 10 anos viajando na velocidade da luz. b) No ano 515. 4) a) De oeste para leste. b) Aproximadamente 24 horas. c) Manutenção dos dias e noites. 5) Maior iluminação em uma época do ano e menor em outra. 6) V – F – V – V - F 7) Linha do Equador, Trópico de Câncer, Trópico de Capricórnio, Círculo Polar Ártico e Círculo Polar Antártico. 8) São o ponto de encontro entre latitudes e longitudes. 9) a) 50º Sul; 120º Leste. b) 60º Norte; 0º.O PLANETA TERRA
Desafiando:
1) E 2) CPesquisando:
1) A noite polar é a noite que dura mais de 24 horas. O fenômeno oposto, quando o sol per-manece acima do horizonte por um longo tempo é chamado de dia polar. 2) A Terra deixaria de ter dias e noites e estações do ano. Uma face da Terra ficaria virada para o sol, sendo sempre iluminada e quente; a outra face da Terra não teria iluminação solar, sendo escura e fria.CARTOGRAFIA
ORIENTADOR METODOLÓGICO
Cartografia
Conteúdo:
• Tipos e classificações de projeções; • Escala e curva de nível.Objetivos:
• Entender a importância dos estudos cartográficos; • Estudar as diferentes projeções possíveis de um mapa e entender suas características; • Analisar as projeções cartográficas mais utilizadas; • Compreender a utilização de curvas de nível; • Aprender a utilizar escala para calcular distâncias.Sugestões Didáticas:
Sugere-se desenvolver com atenção o conteúdo de escala, já que de modo geral os alu-nos tem uma maior dificuldade. O uso de exercícios é essencial para o entendimento do conteúdo.Praticando:
1) O movimento aparente do Sol resulta do movimento de rotação da Terra. Outras conse-quências da rotação da Terra traduzem-se na sucessão do dia e da noite e na variação da temperatura do ar ao longo das 24 horas do dia. Com este simulador podemos visualizar o movimento aparente do Sol na esfera celeste, quer ao longo do dia, quer ao longo do ano. 2) Uma das técnicas mais fiáveis e seguras de orientação ( exceptuando os dias com nuvens e nevoeiro) é a orientação pela posição do Sol, da Lua ou das estrelas. Com efeito, a posição do Sol na abóbada celeste à medida que se movimenta de Este para Oeste fornece inúmeras formas de determinação dos pontos cardeais. ( Não esquecer que os astros se movimentam na elíptica a 15º por hora, ou seja, a distân-cia aproximada da largura da PALMA DA MÃO com o braço esticado). Voltando à determinação dos pontos cardeais, por exemplo, a sombra do sol projetada no solo pode nos indicar a direção a tomar, bastando cravar uma VARA NA VERTICAL no solo, coloque um mercador, e aguarde cerca de 15 minutos, até a sombra se deslocar alguns centímetros, então coloque um segundo marcador na extremidade da nova sombra . A linha que une estes dois pontos é o eixo ESTE-OESTE. O primeiro ponto marcado indica sempre o lado ocidental nos dois hemisférios. Ao meio-dia solar, a sombra da vara aponta para norte. . O céu noturno, sobretudo numa noite limpa, oferece-nos imensas referências de orientação.CARTOGRAFIA Uma vez localizada a estrela Polar e depois de conhecida a direção a tomar pode realizar um percurso linear, tomando de referência uma estrela e caminhando rumo a esta. Tenha em atenção que as estrelas rodam em torno da estrela polar 15 graus por hora e terá que atualizar a posição da estrela meia em meia hora. Também pode orientar-se pelas FASES DA LUA. Citando alguns exemplos, à meia-noite a lua cheia indica o sul; em quarto crescente indica o oeste e em quarto minguante, o este. 3) Estará a sua esquerda, andando para a direita. 4) Os mapas servem para desenvolver o conhecimento territorial e facilitar deslocamentos. 5) A importância da latitude e da longitude está relacionada com a localização de pontos no globo, através das coordenadas geográficas. 6) As curvas de nível são usadas para marcar pontos de altura no relevo. 7) 120.000.000 x 2 = 240.000.000 8) A escala do Rio de Janeiro é maior pois apresenta maior detalhamento.
Aprofundando:
1) A 2) B 3) E 4) A 5) B 6) A 7) E 8) D 9) a) Em uma carta topográfica, a menor distancia entre as curvas de nível é indica maior de-clividade e, portanto, a vertente que apresenta a maior inclinação é a vertente 2, identificada pelo segmento b – b’.CARTOGRAFIA b) A equidistância apresentada entre as curvas de nível é de 50 metros. c) O morro mais alto da figura está representado em A, haja vista estar acima da curva de 350 metros. 10) D 11) E
Desafiando:
1) A maioria dos mapas apresenta como ponto cardeal de referência o norte, porém, isto é uma convenção consolidada ao longo dos últimos séculos devido à hegemonia da Europa sobre o restante do mundo, a partir da expansão do capitalismo comercial e do colonialismo. Por isso, a maioria dos mapas do mundo ser eurocêntrica. Posteriormente, outras potências capitalistas, como os Estados Unidos e o Japão, surgiram no hemisfério norte, reforçando a posição privilegiada da direção setentrional. No entanto, do ponto de vista científico, os ma-pas podem ser produzidos utilizando qualquer ponto cardeal como referência. No caso do mapa do Brasil apresentado, o ponto cardeal de referência é o sul, trata-se apenas de uma visão de mundo diferente da convencional. 2) a) A escala do mapa é de 1:7.700.000, o que significa que 1 cm do mapa equivale a 7.700.000 do tamanho real, portanto: A distância real entre Rio de Janeiro e Vitória é: 1 ––––––––––– 7.700.000 5 ––––––––––– x x – 7.700.000 x 5 x = 38.500.000 cm ou 385 km. A distância real entre Vitória e Belo Horizonte é: 1 ––––––––––– 7.700.000 4,5 ––––––––––– x x = 7.700.000 x 4,5 x = 34.650.000 cm ou 346,5 km. b) De Rio de Janeiro à Vitória a direção será no sentido nordeste e de Vitória à Belo Horizonte no sentido oeste.Pesquisando:
1) Diversos mapas podem ser apresentados. O símbolo da ONU e a “América Invertida” de Torres Garcia são exemplos de mapas pedidos na questão.INDUSTRIALIZAÇÃO
ORIENTADOR METODOLÓGICO
Industrialização
Conteúdo:
• Os tipos de indústria; • A Primeira Revolução Industrial; • A Segunda Revolução Industrial; • A Terceira Revolução Industrial; • Industrialização brasileira: do impulso industrial até os dias de hoje.Objetivos:
• Compreender a diferença do artesanato para a manufatura; • Entender a diferença entre os tipos de indústria; • Analisar os fatores que levaram ao processo de Revolução Industrial; • Entender a importância da relação de ciência com a técnica para a Revolução Indus-trial; • Compreender os fatores locacionais para as indústrias;• Compreender a importância dos avanços comunicacionais para a globalização na
Terceira Revolução Industrial; • Desenvolver o conhecimento sobre o processo de industrialização brasileira; • Compreender a relação da agricultura cafeeira com a industrialização brasileira; • Entender os diferentes períodos de industrialização que ocorreram no Brasil; • Analisar as características econômicas dos principais governos brasileiros.
Sugestões Didáticas:
No presente capítulo, é ideal que o aluno desenvolva o conhecimento sobre os fatores que levaram ao processo de industrialização, compreendendo as importantes mudanças na estrutura social e econômica dos países, que com a industrialização passaram por um pro-cesso de urbanização intensa e incluíram-se no mercado mundial e na globalização.Praticando:
1) Indústria automobilística, alimentícia, têxtil e de eletrodomésticos. 2) É a indústria que extrai e elabora a matéria prima para ser usada em outras indústrias. 3) Indústria de base. 4) Juscelino Kubitschek.INDUSTRIALIZAÇÃO 5) Significa vender uma empresa pública para uma instituição privada.
Aprofundando:
1) A 2) D 3) D 4) C 5) D 6) E 7) DDesafiando:
1) Na Primeira Revolução Industrial, a localização da indústria deveria ser próxima ao merca-do consumidor e à retirada de matéria prima. Após a Segunda Revolução Industrial, com o advento dos meios de transporte, a indústria criou a necessidade de estar mais distante dos grandes centros urbanos, onde tenho disponibilidade de mão de obra barata. 2) A) Mão de obra abundante, proximidade com o mercado consumidor, proximidade com o porto de santos e boa malha viária. B) Encarecimento do solo urbano de São Paulo e encarecimento da mão de obra, além da Guerra Fiscal dos outros estados. 3) A) A indústria siderúrgica é responsável por produzir aço, que será utilizada por outras indústrias. B) A sua implementação se deu na década de 30, quando Getúlio Vargas implementou a política de substituição de importações.Pesquisando:
1) Entre as várias descobertas e invenções realizadas durante a Segunda Revolução Indus-trial estão: • novos processos de fabricação do aço, permitindo sua utilização na construção de pontes, máquinas, edifícios, trilhos, ferramentas etc;INDUSTRIALIZAÇÃO • invenção da lâmpada incandescente; • surgimento e avanço dos meios de transporte (ampliação das ferrovias seguida das invenções do automóvel e do avião; • invenção dos meios de comunicação (telégrafo, telefone, televisão e cinema); • avanço da química, com a descoberta de novas substâncias; a descoberta do múltiplo aproveitamento do petróleo e seus derivados como fonte de energia e lubrificantes; o surgi-mento dosplásticos; desenvolvimento de armamentos como o canhão e a metralhadora; a descoberta do poder explosivo da nitroglicerina, etc; • na medicina surgiram os antibióticos, as vacinas, novos conhecimentos sobre as do-enças e novas técnicas de cirurgia.
HISTÓRIA – 9
oANO
OS ANOS INICIAIS DA REPÚBLICA NO BRASIL
ORIENTADOR METODOLÓGICO
Os anos iniciais da epública no rasil
R
B
Conteúdo:
• A crise da monarquia no Brasil; • A República da Espada; • Principais aspectos políticos e econômicos da República Oligárquica; • A crise da República Oligárquica.Objetivos:
• Identificar as razões que levaram à crise da monarquia no Brasil; • Analisar os aspectos fundamentais da República da Espada; • Discutir as principais características da Constituição de 1891; • Compreender o funcionamento da “política do café com leite” e da “política dos go-vernadores”; • Caracterizar o coronelismo enquanto fenômeno político e social; • Analisar a situação econômica durante a República Oligárquica, destacando a cafei-cultura, a industrialização e a produção da borracha na Amazônia; • Identificar as principais razões que resultaram na crise da República Oligárquica.Praticando:
1) Os cafeicultores do Oeste paulista desejavam o federalismo, para que São Paulo tivesse mais autonomia. Já os cafeicultores do Vale do Paraíba se sentiram traídos pelo fato do go- verno imperial ter abolido a escravidão, sem lhes garantir o direito a qualquer tipo de indeni-zação. As classes médias, por sua vez, eram contrárias ao voto censitário, enquanto a Igreja Católica estava descontente com a sua subordinação ao Estado. O Exército brasileiro, enfim, após participar da Guerra do Paraguai, constatou o quanto os exércitos dos países vizinhos, todos republicanos, eram mais valorizados e mais respeitados do que o Exército brasileiro. 2) Por causa do domínio político exercido pelos militares nesse período, sendo os nossos primeiros presidentes membros da mais alta patente do Exército. 3) De acordo com o sistema federalista, cada estado passava a ter mais autonomia, de ma-neira que o poder deixava de ficar totalmente concentrado no Rio de Janeiro. 4) O fechamento do Congresso foi considerado uma medida extremamente autoritária, que, portanto, gerou forte insatisfação entre deputados e senadores. Estes, juntamente com ou-tros grupos, passaram a pressionar o presidente, exigindo a sua renúncia – num episódioOS ANOS INICIAIS DA REPÚBLICA NO BRASIL 5) O seu autoritarismo e a sua postura rígida diantedas revoltas ocorridas durante o seu governo. 6) Porque “República Oligárquica” significa “governo de poucos” e nessa época, o governo no Brasil era controlado por um pequeno, porém poderoso grupo, formado pelas oligarquias agrárias, especialmente pelos grandes cafeicultores. 7) A política do café com leite era um acordo político entre os estados de São Paulo e Minas Gerais (os dois maiores produtores de café), que garantia a vitória dos candidatos indicados pelas oligarquias cafeeiras dos dois estados na presidência a república. 8) Para garantir que a oposição não chegasse ao poder, devendo permanecer no governo apenas os políticos dispostos a agir de acordo com os interesses das oligarquias agrárias. 9) Clientelismo é a troca de votos por favores oferecidos pelos candidatos. 10) A superprodução de café e o aumento da dívida externa. 11) São Paulo, Minas Gerais e Rio de Janeiro, que eram os três maiores produtores de café do país. 12) Os volumos os empréstimos estrangeiros, os investimentos realizados com os lucros resultantes da economia cafeeira, além do incentivo à substituição das importações durante a Primeira Guerra Mundial. 13) O apogeu da borracha esteve relacionado à demanda pelo produto gerada a partir do crescimento da indústria automobilística e pneumática, enquanto a sua decadência resultou da forte concorrência inglesa. 14) A crise da República Oligárquica foi resultado dediferentes fatores, a exemplo do colapso do modelo econômico baseado na cafeicultura, especialmente apósa crise de 29; o fortaleci-mento dos grupos sociais urbanos devido ao processo de industrialização e ao crescimento urbano desordenado, além da insatisfação das oligarquias regionais prejudicadas com a hegemonia política exercidapor São Paulo e Minas Gerais.
Aprofundando:
1) Porque Deodoro havia ficado no poder por apenas nove meses e, de acordo com a Cons-tituição de 1891, ovice-presidente só governaria, de fato, se o presidente renunciasse ao poder após cumprir mais da metade do mandato que era de quatro anos.
OS ANOS INICIAIS DA REPÚBLICA NO BRASIL 2) Porque, embora o voto deixasse de ser censitário, excluía mulheres e analfabetos, sendo esta característica comum a maior parte da população na época. 3) Os “maragatos” ou federalistas defendiam um governo descentralizado e eram contra o governo de Floriano Peixoto, enquanto os “pica-paus” (republicanos) apoiavam a centraliza-ção do poder no Rio de Janeiro. 4) Através do voto de cabresto (aberto), do clientelismo e das constantes fraudes. 5) Durante o período da Primeira Guerra Mundial, o Brasil, assim como os demais países da América Latina, experimentou um considerável crescimento industrial, uma vez que seus principais fornecedores de artigos industrializados estavam envolvidos diretamente no con-flito, o que obrigou o Brasil a realizar um política de substituição das importações. 6) E 7) A 8) B 9) B 10) A 11) B 12) D
Desafiando:
1) a) D. Pedro II ficou politicamente isolado porque o regime monárquico passava a ser visto, cada vez mais, como um modelo de governo atrasado que precisava ser superado, gerando a insatisfação de diferentes grupos, como a Igreja, o Exército, as camadas médias urbanas, a burguesia cafeeira e os grandes senhores escravocratas que se sentiram traídos diante da abolição da escravidão, já que eles não foram indenizados. b) Porque o café passou a ocupar o primeiro lugarna economia brasileira, fortalecendo a oligarquia cafeeiraque procurou usar o Estado como instrumento dos seus interesses. 2) A charge ironiza o fato do voto ser controlado pelos coronéis, através das ameaças e daOS ANOS INICIAIS DA REPÚBLICA NO BRASIL
Pesquisando:
1) Na República Oligárquica, o voto, além de ser aberto, era proibido para mulheres e anal-fabetos, enquanto nos dias atuais, as mulheres também conquistaram o direito (e o dever) de votar, ele tornou-se secreto e é facultativo aos analfabetos.
REBELIÕES NA REPÚBLICA OLIGÁRQUICA
ORIENTADOR METODOLÓGICO
Rebeliões na república oligárquica
Conteúdo:
• Guerra de Canudos; • Guerra do Contestado; • Revolta do Juazeiro; • Cangaço; • Revolta da Vacina; • Revolta da Chibata; • Movimento Operário; • Tenentismo e Coluna Prestes.Objetivos:
• Compreender as razões que levaram as autoridades a investirem na destruição da comunidade de Canudos; • Analisar a motivação e o desfecho da Guerra do Contestado; • Identificar os interesses envolvendo a Revolta do Juazeiro; • Discutir as diferentes visões relacionadas aos cangaceiros; • Destacar os fatores que provocaram a Revolta da Vacina e a Revolta da Chibata; • Relacionar o crescimento industrial e o desenvolvimento do Movimento Operário, tanto no Rio de Janeiro como em São Paulo; • Compreender o objetivo do Tenentismo e da Coluna Prestes.Sugestões Didáticas:
Exibição de trechos do filme Guerra de Canudos ou Sonhos Tropicais, sendo este relaciona-do às reformas do prefeito Pereira Passos.
Praticando:
1) Porque foi comandada por um líder religioso que pregava que o Messias, ou seja, o liber-tador (Jesus Cristo) estava prestes a vir a Terra para libertar o povo sofrido e explorado pelos coronéis. 2) A principal razão para a eclosão da Guerra do Contestado foi a insatisfação de campone- ses expulsos das terras em que viviam, as quais foram tomadas por fazendeiros ou concedi-das pelo governo para empresas estrangeiras.REBELIÕES NA REPÚBLICA OLIGÁRQUICA 4) Os cangaceiros eram considerados por muitos como justiceiros porque, em alguns casos, tiveram a coragem de lutar contra a autoridade e o poder dos coronéis, vingando-se daque-les que no passado haviam prejudicado suas famílias. Mas, de modo geral, são vistos como bandidos violentos que roubavam e matavam pessoas não só em grandes fazendas como também em vilarejos pobres. 5) O estopim para a Revolta da Vacina foi a decretação da vacinação obrigatória. 6) A principal motivação para a Revolta da Chibata foi a insatisfação relacionada aos castigos físicos aplicados contra os marinheiros que cometiam faltas disciplinares. 7) A elaboração de uma legislação trabalhista que garantisse aos operários os seus direitos. 8) O principal objetivo do movimento tenentista era derrubar o governo, para, assim, acabar com as fraudes e com o controle político exercido pelas oligarquias.
Aprofundando:
1) Não. Afinal sua principal reivindicação foi atendida: o fim dos castigos físicos na Marinha. 2) O desenvolvimento industrial e urbano ocorrido no Rio de Janeiro, no início do séculoXX, fortaleceu o proletariado, de maneira que os operários passaram a organizar a luta pela ampliação dos seus direitos, já que não havia uma legislação trabalhista que atendesse aos seus interesses. 3) O anarquismo pregava o fim da sociedade capitalista através da revolução popular que instalaria uma sociedade de justiça e liberdade, sem a necessidade de governo, patrões, polícia ou qualquer outra organização que controlasse os indivíduos. 4) O “bota abaixo” prejudicou a população mais pobre da cidade do Rio de Janeiro, que foi obrigada a se deslocar para o subúrbio. Tal programa, portanto, gerou grande insatisfação que, somada à decretação da vacinação obrigatória, culminou numa grande revolta. 5) O Padre Cícero é considerado uma figura contraditória porque ao mesmo tempo que favorecia a população mais pobre, apoiava os coronéis responsáveis pela sua exploração. 6) Tais movimentos ocorreram no contexto da República Oligárquica, marcada pela con-centração de poder nas mãos dos grandes fazendeiros e pela marginalização dos grupos sertanejos, dominados e explorados pelos coronéis.7) a) Mandões. b) Gaviões. c) Pintinhos.
REBELIÕES NA REPÚBLICA OLIGÁRQUICA 8) A 9) C 10) C 11) E 12) D 13) D 14) B 15) C 16) B
Desafiando:
1) Com o crescimento da comunidade de Canudos, os coronéis estavam perdendo mão de obra, enquanto a Igreja perdia os seus fiéis que deixavam de frequentar as paróquias e pagar-lhe o dízimo para seguir o beato Antônio Conselheiro. 2) Lampião foi o mais famoso líder do Cangaço,movimento que atuou no Nordeste brasileiro durante a República Oligárquica. Embora ele e os demais cangaceiros sejam, na maioria das vezes, vistos como bandidos, no poema, Lampião é considerado uma vítima da sociedade. Afinal, os sertanejos acabavam, muitas vezes, integrando o Cangaço por causa das poucas oportunidades que lhes eram oferecidas, num contexto marcado pela miséria da maioria da população e pela exploração exercida pelos coronéis.
Pesquisando:
1) O aluno pode citar, por exemplo: fixação do salário mínimo e da jornada máxima de tra- balho, descanso semanal, férias remuneradas, licença maternidade e paternidade, indeni-zação por acidente no trabalho, direito à previdência social, proteção do trabalho feminino e infantil, além da isonomia salarial.A PRIMEIRA GUERRA MUNDIAL
ORIENTADOR METODOLÓGICO
A primeira guerra mundial
Conteúdo:
• Principais antecedentes da Primeira Guerra Mundial; • O desenvolvimento do conflito; • 1917: uma nova fase na guerra; • A rendição alemã e o Tratado de Versalhes; • Principais consequências da guerra.Objetivos:
• Analisar alguns dos principais antecedentes da Primeira Guerra Mundial, destacando o clima de tensão envolvendo as diferentes nações, especialmente no continente europeu, desde fins do século XIX; • Compreender o assassinato do herdeiro do Império Austro-Húngaro não como a ra-zão principal para o conflito, mas como o estopim, ou seja, a motivação que faltava para dar início a uma guerra que se revelava cada vez mais inevitável; • Analisar as diferentes fases da guerra; • Compreender a importância do Tratado de Versalhes, destacando o seu caráter hu-milhante; • Identificar as principais consequências do conflito.Sugestões Didáticas:
Exibição do filme Fly boys.Praticando:
1) A dominação imperialista ocorria através da intervenção armada ou da dependência eco-nômica. 2) Porque o rápido crescimento econômico experimentado por esse país, logo após a sua unificação, fez com que ele não aceitasse a divisão imperialista realizada anteriormente en- tre as principais potências, gerando um forte clima de tensão, o qual foi agravado pela rivali-dade decorrente da sua competição com a Inglaterra, que até então dominava grande parte dos mercados, ocupando a posição de maior potência mundial. 3) A derrota francesa na Guerra Franco-Prussiana quando a França teve que entregar pra Alemanha o território da Alsácia-Lorena.A PRIMEIRA GUERRA MUNDIAL 5) Pangermanismo foi um movimento político-nacionalista iniciado no século XIX e liderado pela Alemanha, que defendia a unidade de todos os povos de origem germânica em um único Estado. 6) A crescente dominação exercida pelo Império Austro-Húngaro sobre diferentes regiões eslavas, contrariando o ideal do pan-eslavismo defendido pela Rússia e pela Sérvia. 7) Tríplice Aliança – formada pela Alemanha, Império Austro-Húngaro e Itália – e Tríplice En-tente, composta por Inglaterra, França e Rússia. 8) Porque embora a guerra não tivesse sido declarada, havia um forte clima de tensão de-corrente dos investimentos realizados na indústria bélica, que apontavam para a eclosão de um grandioso conflito. 9) O assassinato do herdeiro do Império Austro-Húngaro por um terrorista sérvio. 10) O ataque alemão aos navios estadunidenses. 11) O tratado foi assinado para reconhecer a saída pacífica da Rússia da Primeira Guerra. 12) O Tratado de Versalhes foi o “acordo” de paz imposto à Alemanha ao final da Primeira Guerra, estabelecendo cláusulas punitivas e humilhantes a este país, como a desmilitariza-ção, perdas territoriais e a obrigatoriedade do pagamento de uma pesada indenização aos países vencedores do conflito. 13) O objetivo da Liga das Nações era garantir a paz mundial, mas ela fracassou devido a não participação de países importantes, como o próprio Estados Unidos, sendo incapaz de evitar novos conflitos, especialmente a Segunda Guerra Mundial.
Aprofundando:
1) Os interesses das principais potências em aumentar o seu poder e riquezas através do do- mínio de outras regiões, onde pudessem conquistar mercado consumidor, locais para inves-tir seus capitais excedentes, além de mão de obra e matérias-primas baratas, fizeram com que as rivalidades entre esses países se acirrassem, motivando a Primeira Guerra Mundial. 2) Sim, já que países poderosos, em especial os EUA, mantém políticas intervencionistas em nações consideradas mais fracas e muitas vezes deles dependentes economicamente. 3) O objetivo da Alemanha era obter o petróleo do Golfo Pérsico, ameaçando o controle inglês na região.A PRIMEIRA GUERRA MUNDIAL 4) Não, já que desde o início, os EUA apoiavam a Tríplice Entente, participando do conflito de forma indireta, através de empréstimos e envio de mercadorias, especialmente armas, para os países desta aliança. 5) Na Primeira Guerra, os EUA não tiveram seu território atingido, só entraram diretamente no conflito no final e lucraram desde o início com vendas de produtos em sistema de crédito, além dos empréstimos concedidos durante e após a guerra para auxiliar na reconstrução dos países envolvidos. Assim, os EUA se tornaram o maior credor dos países europeus e uma grande potência mundial. 6) A humilhação imposta à Alemanha por meio do Tratado de Versalhes acabou gerando um sentimento revanchista que culminou na eclosão da Segunda Guerra. 7) A 8) B 9) E 10) E
Desafiando:
1) a) As guerras após 1914 são consideradas guerras de massa porque houve a participação, direta ou indireta, dos diferentes setores sociais. b) A mulher teve uma participação indireta, mas de grande importância, na Primeira Guer-ra Mundial, através da sua entrada no mercado de trabalho, atuando, portanto, na indústria têxtil, armamentista e de alimentos. 2) a) A necessidade de se ampliar a utilização da mão de obra feminina devido à mobilização de um grande número de homens para combaterem na guerra. b) Com a Primeira Guerra Mundial, o Brasil, assim como os demais países da América Latina, não pôde mais importar produtos industrializados dos países envolvidos no conflito, passando a desenvolver as indústrias nacionais através de uma política de substituição de importações.Pesquisando:
1) O Remembrance Day é celebrado no dia 18 de novembro e marca a data em que, no ano de 1918, os exércitos pararam de lutar na Primeira Guerra Mundial. A data, portanto, é ce-lebrada como o dia em que a Grande Guerra terminou e é utilizada para lembrar, todos osA PRIMEIRA GUERRA MUNDIAL
2) Os Flanders Fields (ou campos Flanders), na Inglaterra, foi o palco de uma sangrenta ba-talha da Primeira Guerra. Vários soldados ali morreram e foram enterrados. Algum tempo depois brotaram um monte de papoulas na região. O vermelho forte das flores foi então poeticamente comparado ao sangue derramado no território.
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ORIENTADOR METODOLÓGICO
Aprendendo técnicas de produtos notáveis e fatoração
Objetivos (títulos de destaque):
• Compreender principais produtos notáveis e seus desenvolvimentos;
• Aprender a identificar fatores comuns e padrões algébricos para realizar processos de fatoração de expressões.
Praticando (títulos de destaque):
1) a2 + 2ab + b2 = (a + b)2, logo, temos que
adicionar a expressão b2 2) a2 + b2 = 34 e ab = 15, logo: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 = 3 4 + 2.15 = 34 + 30 = 64 3) a2 + b2 = 100 e (a + b)2 = 196 => a2 + 2ab + b2 = 196 => 100 + 2ab = 196 => 2ab = 96 => ab = 48. 4) E = 2x + 3 => E2 = (2x + 3)2 = 4x2 + 12x + 9 Gabarito: D 5) X – y = 7 e xy = 60 => (x – y)2 = 72 => x2 + y2 - 2xy = 49 => x2 + y2 – 2.60 = 49 => x2 + y2 = 49 + 120 => x2 + y2 = 169. Gabarito: C
6) (a – b)2 = a2 – 2ab + b2, logo: devemos
sub-trair a expressão 2ab
7) (2a – 3b)2 = 4a2 – 12ab + 9b2 Gabarito: D 8) X + y = 11 e x – y = 5 => x2 – y2 = (x + y).(x – y) = 11.5 = 55 Gabarito: B 9) (3x + 5).(3x – 5) = (3x)2 – 52 = 9x2 – 25 Gabarito: C
10) Calculando de acordo com o modelo, temos:
a) 41.39 = (40 + 1).(40 – 1) = 402 – 12 = 1600 – 1 = 1599 b) 57.63 = 63.57 = (60 + 3).(60 – 3) = 602 – 32 = 3600 – 9 = 3591 c) 42.34 = (38 + 4).(38 – 4) = 382 – 42 = 1444 – 16 = 1428 d) 32.28 = (30 + 2).(30 – 2) = 302 – 22 = 900 – 4 = 896 11) (x2 + 1)3 = x6 + 3x4 + 3x2 + 1 Gabarito: C 12) (1 + xy)3 = 1 + 3xy + 3x2 y2 + x3 y3 Gabarito: A 13) a) 8x3 + 60x2 + 150x + 125 b) x3 + 3x + 3/x + 1/x3 14) (2 – m)3 = 8 – 12m + 6m2 – m3 Gabarito: D 15) (- c – d)3 = - c3 – 3c2d - 3cd2 – d3 Gabarito: D
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16) Calculando o cubo da diferença, temos:
a) (x2 - 3x)3 = x6 – 9x5 + 27x4 – 27x3
b) (3x – 2)3 = 27x3 – 54x2 + 36x – 8
17) Calculando os produtos, temos:
a) (x + 2).(x + 4) = x2 + 6x + 8
b) (x – 5).(x – 3) = x2 – 8x + 15
c) (x + ½).(x – ¼) = x2 +( ¼)x – 1/8
d) (x + a).(x – 2b) = x2 + x(a – 2b) – 2ab
18) Desenvolvendo as expressões, temos:
a) (2x + y – z)2 = 4x2 + y2 + z2 + 4xy – 4xz – 2yz b) (x + 2y + 3)2 = x2 + 4y2 + 9 + 4xy + 6x + 12y c) (2x – 3y – z2)2 = 4x2 + 9y2 + z4 – 12xy – 4xz2 + 6yz2 19) X + y = 15 => 4x + 4y = 4.(x + y) = 4.15 = 60 Gabarito: C 20) – 18a – 27c = - 9.(2a + 3c) Gabarito: D 21) 2πR - 2πr = 2π.( R – r) Gabarito: D 22) 22x2y2 – 11xy2 = 11xy2 (2x – 1) Gabarito: A 23) a + b = 15 e x + y = 6, então: ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (x + y).(a + b) = 6.15 = 90
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24) a + b = 12 e x + y = 4, então:
ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (x + y).(a + b) = 4.12 = 48
25) 7x + 7y + 7z – ax – ay – az = 7(x + y + z) – a(x + y + z) = (x + y + z).(7 – a) Gabarito: D
26) Fatorando as expresses, temos:
a) x2 – 64 = x2 – 82 = (x + 8).(x – 8)
b) 4a2 – 1962n = (2a)2 – (14n)2 = (2a + 14n).(2a – 14n); OBS => Substituir 496 por 196
c) 1 – a14 = 12 – (a7)2 = (1 + a7).(1 – a7) d) a10 - 25b12 = (a5)2 – (5b6)2 = (a5 + 5b6). (a5 - 5b6) e) (a + b)2 – c2 = (a + b + c).(a + b – c) f) x2 – (a + 1)2 = (x + a + 1).(x – a – 1) g) (x + 3)2 – (3x – 4)2 = (x + 3 + 3x – 4).(x + 3 – 3x + 4) = (4x - 1).(- 2x + 7) h) a2 – (b – c)2 = (a + b – c).(a – b + c) 27) Fatorando, temos: a) x3 – 8 = x3 – 23 = (x – 2).(x2 + 2x + 4) b) a3 – 1 = a3 – 13 = (a – 1).(a2 + a + 1) c) a2m - 1 = (am)2 – 12 = (am + 1).(am – 1) d) 8x3 + y3 = (2x)3 + y3 = (2x + y).(4x2 – 2xy + y2) e) (2m + 1)3 + (m + 2)3 = (2m + 1 + m + 2).[(2m + 1)2 – (2m+1).(m+2) + (m+2)2] = 3.(m + 1).(3m2 + 3m + 3) = 3.(m + 1).3(m2 + m + 1) = 9.(m + 1).(m2 + m + 1) f) y3 – x3 = (y – x).(y2 + xy + x2)
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28) Fatorando as expresses, temos:
a) x2 + 6x + 5 = (x + 1).(x + 5)
b) x2 – 6x – 16 = (x + 2).(x – 8)
c) x2 + 5x – 50 = (x + 10).(x – 5)
d) x2 – 14x + 33 = (x – 11).(x – 3)
Aprofundando:
1) a2 + 2ab + b2 = (a + b)2, logo, temos que
adicionar a expressão 2ab
2) (2a + 3b)2 = 4a2 + 12ab + 9b2 Gabarito: D 3) (10x + 0,1)2 = 100x2 + 2x + 0,01 Gabarito: B 4) (1 + xyz)2 = 1 + 2xyz + x2 y2 z2 Gabarito: D 5) (- 2x – 3)2 = 4x2 + 12x + 9 Gabarito: A
6) (2a2 + b/3). (2a2 + b/3) = 4a4 + (4a2b)/3 + b2/9
7) a2 + b2 + c2 = (a + c)2 = a2 + 2ac + c2 => b2 = 2ac
=> b = √2ac
Gabarito: E (OBS: trocar a letra E pela ex-pressão: √2ac) 8) x + 1/x = 10 => (x + 1/x)2 = 102 => x2 + 2 + 1/x2 = 100 => x2 + 1/x2 = 100 – 2 ⇒ x2 + 1/x2 = 98 9) (x – y)2 – (x + y)2 = (x – y + x + y).(x – y – x – y) = (2x).(-2y) = - 4xy Gabarito: D
10) Considerando as expresses, temos:
I) (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 ≠ a2 – b2 (F)
II) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 => a2 + b2 = (a + b)2 –
2ab (V)
III) (a + b)2 – (a – b)2 = (a + b + a – b).(a + b –a + b) =
2ª.2b = 4ab (V) Gabarito: C
11) (2a + b)2 – (a – b)2 = (2a + b + a – b).(2a + b
–a + b) = 3a.(a + 2b) = 3a2 + 6ab
Gabarito: B
12) (3x)2 + (10 + 3x).(10 – 3x) = 9x2 + 100 –
9x2 = 100 Gabarito: C
13) Simplificando as expressões, temos:
a) (a – 3)2 + (a – 3).(a + 3) = a2 – 6a + 9 + a2 – 9 =
2a2 – 6a = 2a.(a – 3)
b) (2x + 7y).(2x – 7y) + (x – 7y)2 = 4x2 - 49y2 + x2 –
14y + 49y2 = 5x2 – 14y
c) (a – 2)2 + (a + 2).(a – 2) – (a + 2)2 = (a – 2 + a + 2).(a –
2 – a – 2) + a2 – 4 = 2a.(-4) + a2 – 4 = a2 – 8a – 4
d) (3x – y)2 – x.(x – y).(x + y) + x.(x2 + 6y) = (9x2
– 6xy + y2) – x.(x2 – y2) + x.(x2 + 6y) = (9x2 – 6xy
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14) Calculando os produtos, temos:
a) (x + 3).(x – 3) = x2 – 9
b) (a – 1).(a + 1) = a2 – 1
c) (3x + 2).(3x – 2) = 9x2 – 4
d) (5a + b).(5a – b) = 25a2 – b2
e) (a2 – 5).(a2 + 5) = a4 – 25 f) [(3/4).x + y].[(3/4).x – y] = (9/16). x2 – y2 g) [(3/4) + (b/3)].[(3/4) – (b/3)] = (9/16) – (b2/9) 15) a = (√2 + 1)3 e b = (√2 - 1)3 => a + b = (√2 + 1)3 + (√2 - 1)3 = ((√2 + 1) + (√2 - 1)).( (√2 + 1)2 - (√2 + 1). (√2 - 1) + (√2 - 1)2) = 2√2.(2 + 2√2 + 1 -2 + 1 + 2 - 2√2 + 1) = 2√2.5 = 10√2 a – b = ((√2 + 1) - (√2 - 1)).( (√2 + 1)2 + (√2 + 1). (√2 - 1) + (√2 - 1)2) = 2.(2 + 2√2 + 1 +2 - 1 + 2 - 2√2 + 1) = 2.7 = 14
16) (a – 2)3 = a3 -6a2 + 12a – 8 e (a + 3)3 = a3 + 9a2 + 27a + 27 => temos que adicionar o
poli-nômio: 15a2 + 15a + 35 ao cubo da diferença (a – 2)3
17) x3 – (x – 1)3 = x3 – (x3 – 3x2 + 3x – 1) = 3x2 – 3x + 1
Gabarito: B
18) Calculando os produtos, temos:
a) (x – 1).(x + 7) = x2 + 6x – 7
b) (x – 8).(x – 10) = x2 – 18x + 80
c) (x + 2a).(x + 3a) = x2 + 5ax + 6a2
d) (x + ¾).(x – 1/3) = x2 + (5/12).x – ¼
19) 19) Desenvolvendo as expressões, temos:
a) (x2 + x + 6)2 = x4 + x2 + 36 + 2x3 + 12x2 + 12x = x4 + 2x3 + 13x2 + 12x + 36
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c) (2x – y – 1)2 = 4x2 + y2 + 1 – 4xy – 4x + 2y = 4x2 + y2 – 4xy – 4x + 2y + 1
d) (x – 4y + 3)2 = x2 + 16y2 + 9 – 8xy + 6x – 24y = x2 + 16y2 – 8xy + 6x – 24y + 9
20) Fatorando as expresses, temos: a) 19x + 19y = 19.(x + y) b) 6x3 – 5x2 = x2.(6x – 5) c) 4x – 3y + 6 = 4x + 3(2 – y) d) 6x – 8y – 10z = 2.(3x – 4y – 5z) Gabarito: C 21) x3 + x4 – x5 = x3.(1 + x – x2) Gabarito: C 22) Xy = 20 e x – y = 8 => x2y – xy2 = xy.(x – y) = 20.8 = 160 Gabarito: D 23) Xy = 10 e 2x – y = 6 => 2x2y – xy2 = xy.(2x – y) = 10.6 = 60 24) (1/3).x + (1/9).x2 = (1/3).x[1 + (1/3).x] Gabarito: B
25) Fatorando as expressões, temos: a) – 80x2 + 50x = 10x.( - 8x + 5) b) 3a/7 – 3c/7 + 3/7 = (3/7).(a – c + 1) c) (1/2).x2 + (1/4).x – (1/8) = (1/2).(x2 + (½).x – (1/4)) d) x5y3z2 + x2y4z5 = x2y3z2(x3 + yz3) e) – 4x5 – 8x4 – 5x3 = - x3.(4x2 + 8x + 5) f) 4πg + 12π = 4π(g + 3)
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26) ax – a – x + 1 = a.(x – 1) – (x – 1) = (a – 1).(x – 1) OBS: ax – a – x + 1 => expressão correta
Gabarito: B
27) a + 2b = 5 e 2x – y = 2, então: 2ax – ay + 4bx – 2by = a.(2x – y) + 2b.(2x – y) = (a + 2b).(2x – y) = 5.2 = 10
28) Fatorando as expressões, temos:
a) am + bm + an + bn = m(a + b) + n( a + b) = (a + b).(m + n) b) ax + 5x + ay + 5y = x(a + 5) + y(a + 5) = (x + y).(a + 5) c) 3ax – 3a + bx – b = 3a(x – 1) + b(x – 1) = (x – 1).( 3a + b) d) 3a – 3b + am – bm = 3(a – b) + m(a – b) = (a – b).(3 + m)
e) x3 + 3x2 + 2x + 6 = x2(x + 3) + 2(x + 3) = (x2 + 2).(x + 3)
f) ax + 2bx + ay + 2by = x(a + 2b) + y(a + 2b) = (x + y).(a + 2b)
g) a3 – a2 + a – 1 = a2 (a – 1) + 1.(a – 1) = (a2 + 1).(a – 1)
h) x3 + x2 + X + 1 = x2 (x + 1) + (x + 1) = (x + 1).(x2 + 1)
i) 10ab – 2b + 15a – 3 = 2b(5a – 1) + 3(5a – 1) = (2b + 3)(5a – 1) 29) Fatorando as expressões, temos:
a) x2 + 10x + 25 = (x + 5)2
b) 64x2 + 80x + 25 = (8x)2 + 2.8x.5 + 52 = (8x + 5)2
c) y2 + 5y + 6 = (y + 3).(y + 2)
d) 1 – 10xy2 + 25x2 y4 = 12 – 2.1.5xy2 + (5xy2) 2 = (1 – 5xy2)2
e) x2 – 2x – 15 = (x – 5).(x + 3)
f) 4 – 5a + a2 = (a – 1).(a – 4)
g) a2 + 2ab + b2 + a + b = (a + b)2 + (a + b) = (a + b).(a + b + 1)
h) a2 + 2ab + b2 – 1 = (a + b)2 – 12 = (a + b + 1).(a + b – 1)
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30) Fatorando as expressões, temos:
a) x5 – 9x3 = x3.(x2 – 9) = x3.(x + 3).(x – 3)
b) 2m3 – 686 = 2.(m3 – 73) = 2.(m - 7).(m2 + 7m + 49)
c) x6 – 64 = (x2)3 – (22)3 = (x2 – 22).(x4 + 4x2 + 16) = (x + 2).(x – 2).(x4 + 4x2 + 16)
d) a2 – 1 + 2ab + b2 = (a + b)2 – 1 = (a + b + 1).(a + b – 1)
31) Fatorando as expressões, temos:
a) c2 – 2bc – a2 + b2 = (c – b)2 – a2 = (c – b + a).(c – b – a)
b) 4a2 c2 - a4 + 2a2 b2 - b4 = (2ac)2 – (a2 – b2)2 = (2ac + a2 – b2).(2ac – a2 + b2)
c) x2 y2 + xy – 12 = x2 y2 – 9 + xy – 3 = (xy)2 – 32 + (xy – 3) = (xy + 3).(xy – 3) + (xy – 3).1 = (xy – 3).
(xy + 3 + 1) = (xy – 3).(xy + 4).
d) a4 + a2 + 1 = (a2 + 1)2 – a2 = (a2 + a + 1).(a2 – a + 1)
e) 4a4 + 8a2b2 + 9b4 = (2a2)2 + 12a2b2 + (3b2)2 – (2ab)2 = (2a2 + 3b2)2 – (2ab)2 = (2a2 + 3b2 + 2ab).
(2a2 + 3b2 – 2ab)
f) a3 – 3a + 2 = (a3 – a) + (- 2a + 2) = a.(a2 – 1) – 2.(a – 1) = a.(a + 1).(a – 1) – 2.(a – 1) = (a – 1).(a2 + a – 2)
g) 2x3 – 3x2 – 27 = x3 – 3x2 + x3 – 33 = x2.(x – 3) + (x – 3).(x2 + 3x + 9) = (x – 3).(x2 + x2 + 3x + 9) =
(x – 3).(2x2 + 3x + 9)
Desafiando (títulos de destaque):
1) (x2y + 1/2)2 = x4 y2 + x2y + 1/4 , logo: devemos somar x2y.
2) (2a – 3ab)2 = 4a2 – 12a2b + 9a2b2. Logo: devemos somar 3a2 + 3a2b2.
Gabarito: A
3) (2x – 1)3 + (x – 1)2 = 8x3 – 12x2 + 6x – 1 + x2 – 2x + 1 = 8x3 – 11x2 + 4x.
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4) 3a2 x2 + 3ax3 = 3ax2(a + x) = 3.14.9 = 378.
5) Fatorando as expressões, temos:
a) – c5 – c4 - 5c3 - 5c2 = - c4(c + 1) – 5c2(c + 1) = (c + 1).(c4 + c2).(-1) = (-1).c2.(c + 1).(c2 + 1).
b) Ac + 2bc – ad – 2bd = a.(c – d) + 2b.(c – d) = (a + 2b).(c – d) c) Xz + y + x + yz = x.(z + 1) + y.(z + 1) = (z + 1).(x + y)
d) P3 – 5p2 + 4p – 20 = p2.(p – 5) + 4.(p – 5) = (p – 5).(p2 + 4).
e) xy + x/2 + y/2 + 1/4 = (4xy + 2x + 2y + 1)/4 = [2x.(2y + 1) + (2y + 1).1]/4 = [(2x + 1).(2y + 1)]/4
f) C2 – c + cx – x = c.(c – 1) + x.(c – 1) = (c + x).(c – 1).
6) Fatorando as expressões, temos:
a) 25.(x – y)2 – 4.(x + y)2 = [5(x – y)]2 – [2(x + y)]2 = (5x – 5y)2 – (2x + 2y)2 = (5x – 5y + 2x + 2y).
(5x – 5y – 2x – 2y) = (7x – 3y).(3x – 7y). b) X8 – y8 = (x4)2 – (y4)2 = (x4 + y4).((x2)2 – (y2)2) = (x4 + y4).(x2 + y2).(x + y).(x – y). c) 16x6m – 4y4a = (4x3m)2 – (2y2a)2 = (4x3m + 2y2a).(4x3m – 2y2a) d) 2x3 – 3x2 – 27 = x3 – 3x2 + x3 – 33 = x2.(x – 3) + (x – 3).(x2 + 3x + 9) = (x – 3).(x2 + x2 + 3x + 9) = (x – 3).(2x2 + 3x + 9). e) 8x3 – y15 = (2x)3 – (y5)3 = (2x – y5).(4x2 + 2xy5 + y10)
f) X2 y3 /4 – 25a2y = y.(xy/2)2 – y.(5a)2 = y.[(xy/2)2 – (5a)2] = y.[(xy/2 + 5a).(xy/2 – 5a)] = y/4.(xy +
10a).(xy – 10a).
g) 2a6b – 16a3b = 2a3b.(a3 – 23) = 2a3b.(a – 2).(a2 + 2a + 4).
h) X9 + 1 = (x3)3 + 13 = (x3 + 1).(x6 – x3 + 1) = (x + 1).(x2 – x + 1).(x6 – x3 + 1).
ORIENTADOR METODOLÓGICO: MÚLTIPLOS E DIVISORES: SUAS CARACTERÍSTICAS E APLICAÇÕES
ORIENTADOR METODOLÓGICO
Múltiplos e divisores
Objetivos (títulos de destaque):
• Estabelecer critérios de divisibilidade para um conjunto determinado de divisores; • Apresentar um método para o cálculo de múltiplos e divisores de um número; • Entender o que é um número primo;
• Expressar um número qualquer a partir do produto de fatores primos;
• Identificar o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) e/ou o Máximo Divisor Comum (MDC) en-tre dois ou mais números.
Praticando (títulos de destaque):
1) Aplicando os critérios de forma correta, temos: Por 2: 29543/2 => R = 1Por 3: (2 + 9 + 5 + 4 + 3) => 23/3 => R = 2 Por 4: 43/4 => R = 3
Por 5: Verificando o algarismo de 1ª ordem: 3 < 5 => R = 3 Observando a sequência, temos: 1, 2, 3, 3
Gabarito: D
2) Aplicando os critérios de forma correta, temos: Por 2: 29543/2 => R = 1
Por 3: (2 + 9 + 5 + 4 + 3) => 23/3 => R = 2 Por 4: 43/4 => R = 3
Por 5: Verificando o algarismo de 1ª ordem: 3 < 5 => R = 3 Por 8: 543/8 => R = 7
Observando a sequência, temos: 1, 2, 3, 3, 5, 7, ... Gabarito: B
3) 222222222N => 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + N = 18 + N = 21 => N = 3
4) Utilizando o algoritmo da divisão, temos: 18095/7 => R = 0 (095 – 18 = 77/7 = 11 e R = 0) 18095/11 => R = 0 [(5 + 0 + 1) – (8 + 9) = - 11/11 = 1 e R = 0)
5) Fatorando o número 400, temos:
400 = 24.52 => (4 + 1).(2 + 1) = 5.3 = 15 divisores Gabarito: D
ORIENTADOR METODOLÓGICO: MÚLTIPLOS E DIVISORES: SUAS CARACTERÍSTICAS E APLICAÇÕES 6) N = 25.3k => (5 + 1).(k + 1) = 48 => k + 1 = 48/6 => k + 1 = 7 => k = 6 N = 25.36 = 32.729 = 23328 Gabarito: A 7) 2x.32.5(possui 18 divisores) => (x + 1).(2 + 1).(1 + 1) = 18 => x + 1 = 18/6 => x = 2 Gabarito: B 8) Fatorando 2860, encontramos: 2860 = 22.5.11.13
Calculando somente os divisores impares, temos: (1 + 1).(1 + 1).(1 + 1) = 2.2.2 = 8
Gabarito: D
9) Fatorando 800, temos: 800 = 25.52
Calculando somente os divisores pares, te-mos: 5.(2 + 1) = 5.3 = 15 Gabarito: A 10) Fatorando 45, encontramos: 45 = 32.5 => (2 + 1).(1 + 1) = 3.2 = 6 divisores, logo: P =(√45)6 = 453 = 91125 Gabarito: C 11) Fatorando 64, encontramos: 64 = 26 => (6 + 1) = 7divisores, logo: P = (√64)7 = 87 = 221 Gabarito: B
12) Fatorando os números indicados, encon-tramos:
2460 = 22.3.5.41
2640 =24.3.5.11
820 = 22.5.41, Logo: O MDC(2460, 2640, 820)
= 22.5 = 20
13) Aplicando o método das divisões suces-sivas, temos:
1 2 3
x y 120 40
120 40 0
De acordo com os dados da tabela, temos: Y = 120.2 + 40 = 280 X = y.1 + 120 = 280 + 120 = 400 Gabarito: B 14) 14) A = 2m – 1 .32.5m 9000 = 23.32.53 MDC(A, 900) = 45 = 32.51, logo: m = 1 Gabarito: A
15) Fatorando os valores, encontramos:
168 = 23.3.7
264 = 23.3.11
312 = 23.3.13, logo:
MDC(168, 264, 312) = 23.3 = 8.3 = 24 (compri-mento de cada parte)
168/24 = 7; 264/24 = 11 e 312/24 = 13, logo: 7 + 11 + 13 = 31 partes
Gabarito: D
16) De acordo com as informações do pro-blema, temos que:
X + y = 168 = 23.3.7 = 23.3.(2 + 5)
MDC(x, y) = 24 = 23.3, logo:
X = 23.3.2 = 24.3= 48
Y = 23.3.5 = 120
17) De acordo com as informações do pro-blema, temos que:
x.y = 11340 = 22.34.5.7 = 2.32.(2.32.5.7)
MDC(x, y) = 18 = 2.32
Logo: Os números podem ser:
ORIENTADOR METODOLÓGICO: MÚLTIPLOS E DIVISORES: SUAS CARACTERÍSTICAS E APLICAÇÕES
18) Fatorando os números, temos: 24 = 23.3
36 = 22.32 70 = 2.5.7, logo: MMC(24, 36, 70) = 23.32.5.7= 2520 Gabarito: B 19) MMC(120, 180) = 360, logo: 360 – 7 = 353 Gabarito: A 20) 20) A = 22.33 e B = 23.32.11 MMC(A, B) = 23.33.11 = 2376 MDC(A, B) = 22.32 = 36 2376/36 = 66 = 2.3.11 Gabarito: C 21) 12 = 22.3 40 = 23.5 48 = 24.3 MMC(12, 40, 48) = 24.3.5 = 240 => 240 – 7 = 233 Gabarito: D 22) MMC(A, B) = 9000 = 23.32.53 Sendo B = 500 = 22.53 => A = 23.32 = 8.9 = 72
Aprofundando:
1) De acordo com as informações do pro-blema, temos que: Se somarmos 3 unidades teremos um número múltiplo de 6 e adicio-nando uma unidade, teremos um número múltiplo de 8. Logo:
Gabarito: D
2) 5_6 => Múltiplos de 6 e 4 => 5 + x + 6 = x + 11 = 12 => x = 1;
X + 11 = 15 => x = 4; x + 11 = 18 => x = 7. De acordo com as opções, temos x = 7 Gabarito: D
3) 70ab => 7 + 0 + a + b = 9 => a + b = 2; a + b = 18 – 7 = 11 (a = 5 e b = 6)
Gabarito: E
4) 21316 => 2 + 1 + 3 + 1 + 6 = 13
Para ser divisível por 5, o valor deve terminar em 0 ou 5 e para ser divisível por 9, a soma dos valores deve ser um múltiplo de 9. De acordo com as opções, podemos ter: 31 ou 36; 32316 – 31 = 21285 (2+1+2+8+5 = 18) Gabarito: B
5) De acordo com as informações do pro-blema, o resto da divisão com o novo número deve ser igual a 4. Como 8746 = 11.795 + 1 => Para o resto dá 4, basta somarmos 3 unidades. Gabarito: A
6) De acordo com as informações do proble-ma, o número em questão é ímpar e duas unidades acima de um determinado múltiplo de 7, que também deve ser ímpar. Esse núme-ro poderia ser 23, 37, 51, ... E o resto da divisão de todos esses valores por 14 é igual a 9. Gabarito: E
7) 14351 – X = 99k, então: 99k deve ser um múltiplo de 99 bem próximo de 14351. Esse nú-mero seria 14256, logo: X = 14351 – 14256 = 95 Gabarito: E
8) 500241_ => 5+0+0+2+4+1 = 12 => 12 + 6 = 18. Ou seja, colocando o número 6, o núme-ro seria divisível por 2, 3, 4 e 9.
Gabarito: E
9) 81A3A2/11 deixa resto 10 ( o maior possí-vel). Logo: 81A3A3 é divisível por 11 => |8 + 2A – 7| = 11 => 2A = 10 => A = 5 Gabarito: E
ORIENTADOR METODOLÓGICO: MÚLTIPLOS E DIVISORES: SUAS CARACTERÍSTICAS E APLICAÇÕES
10) N = 52.73OBS:(Faltando dados na questão)
11) 4n.3.5n => 22n.3.5n => (2n + 1).(1 + 1).(n + 1) = 56 => (2n + 1).(n + 1) = 28 (2n + 1).(n + 1) = 7.4 => 2n + = 7 => n = 3 e n + 1 = 4 => n = 3, logo: n = 3 Gabarito: D 12) D(108) = {1,2,3,4,6,9,12,18,27,36,54,108}. Dentre esses divisores, são primos: 2, 3 Gabarito:A 13) X = 2.3.5.7.11... => (1 + 1).(1 + 1).(1 + 1)... = 2.2.2.2.2.2.... = 241 Gabarito: B 14) N = 2.3.5.7.11... => (1 + 1).(1 + 1).(1 + 1)... = 2.2.2.2.2.2.... = 2k Gabarito: D 14) N = 2.3.5.7.11... => (1 + 1).(1 + 1).(1 + 1)... = 2.2.2.2.2.2.... = 2k Gabarito: D 15) N = 24.35.56 => Divisores de 10, 4.6.(5 + 1) = 4.6.6 = 144 Gabarito: D
16) De acordo com as informações do pro-blema, temos:
3 6 1 3
X = 340 Y = 108 16 12 4
16 12 4 0
Gabarito: 340 e 108
17) 17) De acordo com as informações do problema, temos que:
1 1 2
X = 80 Y = 48 32 16
32 16 0
Gabarito: E
18) De acordo com as informações do pro-blema, temos que:
2 1 3 2
X = 500 Y = 180 140 40 20
140 40 20 0
19) De acordo com as informações do pro-blema, temos: 1 2 6 X = 1368 Y = 936 432 72 432 72 0 X + y = 1368 + 936 = 2304 Gabarito: D 20) 20) 756 = 22.33.7; N = 2x.3y MDC(756, N) = 75
OBS: Questão faltando dados ou com dados equivocados
21) 21) 301 = 5 + 296 = 5 + 8.37
411 = 4 + 407 = 4 + 11.37; logo, o maior valor encontrado, seria 37
Gabarito: B
22) 22) 1233 = 9 + 1224 = 9 + 72.17
511 = 7 + 504 = 7 + 72.7; logo, o maior valor seria 72 Gabarito: B 23) 240 = 24.3.5 270 = 2.33.5 300 = 22.3.52 MDC(240, 270, 300) = 2.3.5 = 30 cm
ORIENTADOR METODOLÓGICO: MÚLTIPLOS E DIVISORES: SUAS CARACTERÍSTICAS E APLICAÇÕES 24) 300 = 22.3.52 MDC(300, X) = 75 = 3.52 => X = 32.52 = 9.25 = 225, pois X > 75 Logo: X = 225 25) MDC(X/7, Y/7) = 29 X = 3Y => MDC(X, Y) = Y =>MDC(3Y/7, Y/7) = Y/7 = 29 => Y = 29.7 = 203 e X = 3.203 = 609 26) MDC(A, B, C) = 96 = 25.3 MDC(A/48, B/48, C/48) = 2 27) N = 3.52.2a + 1 96 = 25.3 240 = 24.3.5 MDC(N, 96, 240) = 24 = 23.3
De acordo com as informações: N = 23.3.52
=> 2a + 1 = 3 => a = 1 Gabarito: B
28) 28) X.Y = 2304 e MDC(X, Y) = 12 = 22.3 =>
MMC(X, Y) = 2304/12 = 192 = 26.3
Logo: Podemos ter X = 12 e Y = 192 => X + Y = 204 Gabarito: E 29) 29) X – Y = 126 e MDC(X, Y) = 18 = 2.32. Podemos ter: Y = 18 e X = 126 + 18 = 144 30) X.Y = 825 = 3.52.11 => X = 3.5 = 15 e Y = 5.11 = 55 por exemplo. Logo: MDC(X, Y) = 5 Gabarito: C 31) X.Y = 1944 = 23.35 e MDC(X, Y) = 18 = 2.32
De acordo com as informações, podemos ter: Y = 36 e X = 54
32) X – Y = 135 e MDC(X, Y) = 5; Sendo X = 135 + Y. De acordo com as informações, X só será múltiplo de Y, se Y = 5. Para Y = 5 => X = 140; Para Y = 10 => X = 145.
Logo: os menores números, seriam (5, 140); (10, 145).
33) BUC – conjunto dos múltiplos de 6 e A – Conjunto dos múltiplos de 8, logo:
A U (BUC) = MMC(8, 6) = 24
Gabarito: C
34) Se a é divisível por b, então a é múltiplo de b, logo: MMC(a, b) = a
Gabarito: B
35) 31 < MMC(6, K) < 41 => MMC(6, K) = 36. De acordo com as informações, temos que K = 36. Gabarito: B 36) MDC(X, Y) = 1 e MMC(X, Y) = 29403 = 35.112, sendo X = 121 = 112 =>121.Y = 1.29403 => Y = 29403/121 => Y = 35 Gabarito: D 37) 37) X.Y = 2160; MDC(X, Y) = 6 => MMC(X, Y) = 2160/6 = 360 Gabarito: B
38) MMC(A, B) = 90 e A.B = 1350 => MDC(A, B) = 1350/90 = 15
Gabarito: E
39) MMC(a, b) = 360 = 23.32.5 e a.b = 3600 = 24.32.52 => MDC(a, b) = 3600/360 = 10 = 2.5. De acordo com as informações, podemos
ter: a = 2.32.5 = 90 e b = 23.5 = 40
Logo: a + b = 90 + 40 = 130 Gabarito: B
ORIENTADOR METODOLÓGICO: MÚLTIPLOS E DIVISORES: SUAS CARACTERÍSTICAS E APLICAÇÕES
40) Sendo X, o número que queremos encontrar, então X – 5, será um múltiplo comum de 12, 14, 15 e 18, 12 = 22.3 14 = 2.7 15 = 3.5 18 = 2.32 logo: X – 5 = MMC(12, 14, 15, 18) = 22.32.5.7 = 1260 => X = 1260 + 5 = 1265 Gabarito: A
41) DE acordo com as informações, podemos ter como resultados, os números 233 e 363, pois são os únicos valores, dentre as opções que divididos por 10 deixa resto 3. Logo, o nú-mero que atende as restrições do problema é: 233
Gabarito: B
42) De acordo com as informações, temos dois candidatos: 235 e 245. Logo, o número que atende a todas as restrições: 235
Gabarito: B
43) 20 = 22.5
40 = 23.5
100 = 22.52
MMC(20, 40, 100) = 23.52 = 8.25 = 200 minutos = 3 horas e 20 minutos.
De 8 às 18, se passaram 10 horas = 600 minutos, logo, ocorreram 3 embarques Gabarito: A
44) MDC(X, Y) = 6 = 2.3 e MMC(X, Y) = 60 = 22.3.5. Sendo o menor deles Y => Y = 22.3 = 12, logo:
X = 2.3.5 = 30 (o maior deles) 45) X = 16.3K = 24.3K e Y = 2P.21 = 2P.3.7 MMC(X, Y) = 672 = 25.3.7, logo: P = 5 e K = 1 P – K = 5 – 1 = 4 = 4K Gabarito: E 46) MMC(X, Y) = 3690 = 2.32.5.41 e X/Y = 6/41 => X/Y = (2.3.3.5)/(3.5.41) => X = 2.32.5 = 90 e Y = 3.5.41 = 615
ORIENTADOR METODOLÓGICO: MÚLTIPLOS E DIVISORES: SUAS CARACTERÍSTICAS E APLICAÇÕES 47) 47) a>b; X = a2bc2 e Y = ab2 MDC(X, Y) = 21 = 3.7 e MMC(X, Y) =1764 = 22.32.72 MDC(X, Y) = a.b e MMC(X, Y) = a2.b2.c2 Logo: a = 3, b = 7 e c = 2 => a + b + C = 3 + 7 + 2 = 12 48) A = 2k .15 = 2k.3.5 e B = 4.3p = 22.3p MMC(A, B) = 360 = 23.32.5 MMC(A, B) = 2k.3p.5 => k = 3 e p = 2 K + p = 3 + 2 = 5 Gabarito: C
OBS: trocar no enunciado da questão: 2k por 2k e 3p por 3p
49) X + Y = 320 = 26.5 e MMC(X, Y) = 600 = 23.3.52
De acordo com as informações, podemos ter: 120 e 200. Nestecaso, o MDC(X, Y) = 23.5 = 40
Gabarito: D
Desafiando:
1) Sendo N = abcd, onde: a + b +c + d = 3.k c = d/2 => d = 2c e c = 2a => d = 4a
a + b + 2a + 4a = b + 7a = 3k. Sendo: a = 1 => c = 2 e d = 4 => b = 3k – 7, para k = 3 => b = 2 logo: N = 1224
Gabarito: A
2) A = 11k + 2 => A = 13 (o menor) e B = 11p + 3 => B = 14 (o menor)
A3 + B2 = 133 + 142 = 2197 + 196 = 2393, então: 2393 – X = 11t, ou seja, 11t deve ser o múltiplo
de 11 mais próximo de 2393, logo: 11t = 2387 => X = 2393 – 2387 = 6
Gabarito: B
3) a5 – 5a3 + 4a = a.(a4 – 5a2 + 4) = a.(a – 2).(a – 1).(a + 1).(a + 2)
Como a > 2 => a = 3 (menor valor inteiro que não zera a expressão) Logo: 3.1.2.4.5 = 120, então: o valor seria divisível por 60 também Gabarito: D
4) N = 2x – 1.5a.7x, possui 48 divisores ímpares, então:
ORIENTADOR METODOLÓGICO: MÚLTIPLOS E DIVISORES: SUAS CARACTERÍSTICAS E APLICAÇÕES
Total de divisores: (x – 1 + 1).(a + 1).( x + 1) = x.(a + 1).(x + 1) = x .48 Divisores pares: (x – 1). (a + 1).(x + 1) = (x – 1).48 => x > 1 => x = 2, 3, 4... Para x = 2, temos: (2 – 1).48 = 48
Para x = 3, temos: (3 – 1).48 = 96 De acordo com as alternativas Gabarito: B
5) Fatorando os valores disponíveis, encontramos apenas o número 6237 com estas carac-terísticas.
Gabarito: C
6) X + Y = 96 e MDC(X, Y) = 12 = 22.3
De acordo com as informações, podemos ter: X = 36e y = 60 Gabarito: C
7) 340 = 22.5.17
260 = 22.5.13
MDC(340, 260)= 22.5 = 4.5 = 20
ORIENTADOR METODOLÓGICO: POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
ORIENTADOR METODOLÓGICO
Potenciação e radiciação
Objetivos:
• Compreender o conceito de potenciação a partir da operação de multiplicação, e suas principais propriedades;
• Reconhecer a radiciação como processo inverso à potenciação, e verificar suas propriedades; • Utilizar os conceitos de potenciação e radiciação para desenvolver o processo de racionalização de frações com denominadores irracionais.
Praticando:
1) 210 = 1024 (2 multiplicado por ele mesmo 10 vezes)
38 = 6561 46 = 4096 55 = 3125 73 = 343 Gabarito: E 2) (-3)5 = -243 (-6)4 = 1296 (-2)9 = -512 (-5)6 = 15625 -34 = -81 Gabarito: D 3) (34)2 = 36 (F) -52 = -25 (F) -34 = -81 (F) 3-2 = 1/9 (F) 32.33 = 35 (F) 38:32 = 34 (V) 63:23 = 33 (V) 93:32 = 34 (F) 23.32 = 8.7 = 2.62 (V) 32.3-2 = 30 = 1 (V) Gabarito: D 4) 66 + 66 + 66 + 66 + 66 + 66 = 6.66 = 67 Gabarito: B 5) (-5)1 = -5 19920 = 1 2-2 = 1/4
