(Nova) Matemática, Licenciatura Módulo de Pesquisa: Práticas de ensino em matemática, contextos e metodologias Disciplina: Fundamentos de Matemática III
Unidade de Aprendizagem: Descomplexificando o estudo de trigonometria, dos números complexos e polinômios. Quest(iv)
Arco da Circunferência
Consideramos arco de uma circunferência uma parte dessa circunferência determinada por dois pontos. Faça dois pontos nessa circunferência, chamados A e B:
Representamos o arco dessa forma:
A e B são as extremidades de um arco. Se
A
B
temos:Esse é o ângulo de uma volta, ou seja, _______ ou
arco nulo. Ângulo central
Ligue, com uma reta, os pontos A e B do arco ao centro (C) da circunferência correspondente.
Dessa maneira teremos um ângulo que chamaremos de ângulo central
A ˆ
C
B
. A medida de um arco é igualà medida do ângulo central correspondente.
mAB =
mA ˆ
C
B
Observando a figura abaixo, podemos dizer que a medida de um arco representa a medida do comprimento desse arco?
Unidades de medida de arcos
Para se medir os arcos e ângulos, usaremos o grau e o radiano.
Grau: chamamos de grau o arco unitário igual a
360
1
da circunferência. O arco que da uma volta completa (A
= B) tem 360° e é chamado de Circunferência.
Radianos: Considere uma circunferência de centro C e
um arco AB nessa circunferência. Se o arco AB tem comprimento igual ao raio, dizemos que ele mede 1 radiano.
Portanto, radiano é a medida de um arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que contém o referido arco.
A B C A B C D Comprimento igual ao raio r A B C 1 rad
Você se lembra o do Pi (
)?Se dividirmos o valor do comprimento de uma circunferência qualquer pelo valor de seu diâmetro, encontraremos 3,14159265..., que é chamado de Pi (
).Como o diâmetro é igual a duas vezes o raio (
d
2
r
), podemos considerar:
r
C
2
ou, isolando-se a circunferência (C) na equação, temos que:
r
C
2
Como o raio tem a mesma medida de um radiano (
rad
r
1
), podemos dizer que uma circunferência (ou arco de uma volta) mede2
rad (360
2
rad).De acordo com as afirmações estabelecidas acima, monte essa tabela de medidas:
Graus, minutos e segundos
Se dividirmos uma circunferência em 360 partes iguais, cada uma delas será chamada de grau. Cada grau, por sua vez, é dividido em minutos como em um relógio, e os minutos são divididos em segundos.
- Um minuto é igual a
60
1
do grau; - Um segundo é igual a60
1
minuto. Símbolos: - Grau: ° - Minutos: , - Segundos: ,, Exemplo:Observando o relógio, nota-se que o ponteiro maior marca 5 minutos. Qual é o grau formado pelo ponteiro das horas com o ponteiro dos minutos?
Resolvendo: 1 min
60
1
do grau 5 min x do grau60
5
60
1
.
5
.
1
x
x
12
1
x
do grau Logo:
360
30
12
1
Exercícios 1) converta em radianos: a) 60º b) 45º c) 41º15’ d) 300º2) Qual é o comprimento de um arco correspondente a um ângulo central de 45º contido numa circunferência de raio 2 cm? 3) expresse em graus: a)
rad
6
b)rad
8
3
c)rad
6
5
d)rad
4
4) Um pêndulo de 15 cm de comprimento e, no seu movimento, suas posições extremas formam um ângulo de 60º. Qual é o comprimento do arco que a
extremidade do arco descreve? Unidad e Amplitudes Grau 0º 90° 180° 270° 360° Radiano r C
5) O ponteiro dos minutos de um relógio de parede mede 12 cm. Quantos centímetros sua extremidade percorre durante 25 minutos?
Arcos Trigonométricos
Vamos considerar uma circunferência onde o raio é uma unidade de comprimento e na qual o sentido positivo é anti-horário.
A essa circunferência de centro 0 vamos associar um sistema de coordenadas cartesianas.
Os eixos x e y dividem a circunferência unitária em quatro partes congruentes que se chamam quadrantes, numerados de 1 a 4 e contados a partir do ponto (1,0), no sentido positivo. Esse ponto (0,1) é a origem de todos os arcos trigonométricos.
- 1º quadrante: entre 0º a 90º; - 2º quadrante: entre 90º a 180º; - 3º quadrante: entre 180º a 270º; - 4º quadrante: entre 270º a 360º.
Os arcos que medem 0º, 90º, 180º e 270º e seus côngruos não pertencem a nenhum dos quadrantes.
Arcos Côngruos
São aqueles que possuem a mesma origem e a mesma extremidade. 1 sentido positivo sentido negativo 0º x y 0 y x 0 0º x y
I
II
III
IV
- Na primeira figura, o ponto deslocou-se
3
ou 60º de A até B;
- Na segunda figura, o ponto deslocou-se um volta inteira (
2
ou 360º) e mais3
ou 60º, ou seja, deslocou-se3
7
ou 420º.Podemos escrever a seguinte relação:
2
3
k
ou 60º k
360
º
Onde k é o número de voltas inteiras
Então, dois arcos são côngruos ou congruentes quando suas medidas se diferem de um múltiplo de
rad
2
ou 360º.Como a cada ponto da circunferência podem estar associados infinitos arcos côngruos, dizemos que o arco da primeira volta positiva (entre 0 e
2
ou 0º e 360º ), associado a um ponto da circunferência, é a 1ª de qualquer arco côngruo associado ao mesmo ponto.
Exemplos:
a) Qual é a expressão geral dos arcos côngruos ao arco de 45º?
Expressão geral:
k
360
º
Sendo
45
º
temos,45
k
360
º
, comk
Z.b) Encontre a 1ª determinação do arco de 420º e o seu nº de.
Na prática, fazemos:
b) determine o quadrante onde está situado o arco de
rad
4
17
.º
765
4
º
180
17
4
17
rad
Logo,rad
4
17
pertence ao primeiro quadrante.
Obs: o sinal negativo em um arco significa que as
voltas são dadas no sentido horário. Nesse caso o arco é negativo.
Exercícios
A B
Ao nº está associado o ponto B.
Ao nº + também está associado o ponto B. B A
420º 360º
-360º
1
60º
nº de voltasarco a ser adicionado ( 1ª determinação do arco de 420º) A 420º 60º
765º 360º
-720º
2
45º
A 45º1) Escreva a expressão geral dos arcos congruentes. a) 120º b) 300º c)
rad
4
5
d)rad
6
11
2) Descubra a primeira determinação, ou seja, o menor valor não-negativo côngruo ao arco de:
a) 685º b) 1140º c) - 400º d)
rad
2
15
e)rad
2
9
3) Determine o quadrante onde estão situadas as extremidades dos seguintes arcos:
a) 210º b) -800º c)
rad
5
12
d) 1200º e)rad
3
11
Seno na Circunferência Trigonométrica
É a ordenada (eixo do y) da extremidade desse arco na circunferência trigonométrica.
OP
x
sen
, “lê-se seno de x”.Cosseno na Circunferência Trigonométrica
É a abscissa (eixo do x) da extremidade desse arco na circunferência trigonométrica .
OM
x
cos
, “lê-se cosseno de x”.Variação de sinal do seno e do cosseno
De acordo com os quadrantes, assim como no plano cartesiano, temos o sinal correspondente ao seno e ao cosseno. 1º Q 2º Q 3º Q 4º Q Sinal do seno Sinal do cosseno
Valores notáveis de seno e cosseno
Vejamos agora alguns valores de seno e cosseno que são considerados notáveis (importantes). Tomando x como a medida de um arco AP, os valores de sen x e
cos x são chamados valores notáveis quando
x
0
,6
x
,4
x
,3
x
,2
x
,x
,2
3
x
ou
2
x
.+
+
-
-
+
-
+
-
A B 0 P x A B 0 M xAgora, observe a circunferência trigonométrica abaixo e dê o seno e o cosseno para os outros valores de x completando a tabela: A 0 P 0 x y y x A 0 P 0 x y y
x 0
