Estat´ıstica para Psicologia
Elementos de probabilidade
Jo˜ao Batista M. Pereira DME - UFRJ joao@dme.ufrj.br
Probabilidade
• Em pesquisas na ´area de Psicologia, geralmente se est´a
interessado em avaliar a efic´acia de um procedimento, a validade de uma teoria, a viabilidade de hip´oteses levantadas a respeito de um fenˆomeno observado
• Entretanto, como em qualquer pesquisa cient´ıfica, quase nunca podemos dizer com certeza absoluta como um fenˆomeno de interesse se comportar´a ou que estamos 100% certos a respeito de uma teoria ou hip´oteses que tenhamos levantado
• O que podemos avaliar, na verdade, s˜ao que evidˆencias os dados fornecem para dizermos, com certo grau de certeza ou confian¸ca, que um procedimento ´e eficaz, que uma teoria ´e v´alida ou que hip´oteses s˜ao vi´aveis
Probabilidade
• Em pesquisas na ´area de Psicologia, geralmente se est´a
interessado em avaliar a efic´acia de um procedimento, a validade de uma teoria, a viabilidade de hip´oteses levantadas a respeito de um fenˆomeno observado
• Entretanto, como em qualquer pesquisa cient´ıfica, quase nunca podemos dizer com certeza absoluta como um fenˆomeno de interesse se comportar´a ou que estamos 100% certos a respeito de uma teoria ou hip´oteses que tenhamos levantado
• O que podemos avaliar, na verdade, s˜ao que evidˆencias os dados fornecem para dizermos, com certo grau de certeza ou confian¸ca, que um procedimento ´e eficaz, que uma teoria ´e v´alida ou que hip´oteses s˜ao vi´aveis
Probabilidade
• Em pesquisas na ´area de Psicologia, geralmente se est´a
interessado em avaliar a efic´acia de um procedimento, a validade de uma teoria, a viabilidade de hip´oteses levantadas a respeito de um fenˆomeno observado
• Entretanto, como em qualquer pesquisa cient´ıfica, quase nunca podemos dizer com certeza absoluta como um fenˆomeno de interesse se comportar´a ou que estamos 100% certos a respeito de uma teoria ou hip´oteses que tenhamos levantado
• O que podemos avaliar, na verdade, s˜ao que evidˆencias os
dados fornecem para dizermos, com certo grau de certeza ou confian¸ca, que um procedimento ´e eficaz, que uma teoria ´e v´alida ou que hip´oteses s˜ao vi´aveis
Probabilidade
• Geralmente, um conjunto de dados ´e composto de
observa¸c˜oes de vari´aveis com comportamento imprevis´ıvel, observa¸c˜oes de fenˆomenos aleat´orios
• Enretanto, apesar da imprevisibilidade de tais fenˆomenos, com
suposi¸c˜oes adequadas, podemos criar (propor) um modelo te´orico que descreva de maneira razo´avel a distribui¸c˜ao ou comportamento de vari´aveis de interesse
• Tais modelos s˜ao denominadosmodelos de probabilidade, modelos probabil´ısticos oumodelos estoc´asticos
Probabilidade
• Geralmente, um conjunto de dados ´e composto de
observa¸c˜oes de vari´aveis com comportamento imprevis´ıvel, observa¸c˜oes de fenˆomenos aleat´orios
• Enretanto, apesar da imprevisibilidade de tais fenˆomenos, com
suposi¸c˜oes adequadas, podemos criar (propor) um modelo te´orico que descreva de maneira razo´avel a distribui¸c˜ao ou comportamento de vari´aveis de interesse
• Tais modelos s˜ao denominadosmodelos de probabilidade, modelos probabil´ısticos oumodelos estoc´asticos
Probabilidade
• Geralmente, um conjunto de dados ´e composto de
observa¸c˜oes de vari´aveis com comportamento imprevis´ıvel, observa¸c˜oes de fenˆomenos aleat´orios
• Enretanto, apesar da imprevisibilidade de tais fenˆomenos, com
suposi¸c˜oes adequadas, podemos criar (propor) um modelo te´orico que descreva de maneira razo´avel a distribui¸c˜ao ou comportamento de vari´aveis de interesse
• Tais modelos s˜ao denominadosmodelos de probabilidade, modelos probabil´ısticos oumodelos estoc´asticos
Probabilidade
• O conceito mais importante no estudo de modelos
probabil´ısticos ´e o deprobabilidade em si
• A probabilidade ´e muito importante para a inferˆencia estat´ıstica e tem sido estudada por matem´aticos e fil´osofos durante s´eculos
• Exemplo: Considere o lan¸camento de uma moeda comum com
o objetivo de registrarmos a face que ela apresentar´a ao cair
• O resultado ´e incerto; podemos construir um modelo de
probabilidade para este experimento com base em algumas premissas
Probabilidade
• O conceito mais importante no estudo de modelos
probabil´ısticos ´e o deprobabilidade em si
• A probabilidade ´e muito importante para a inferˆencia estat´ıstica e tem sido estudada por matem´aticos e fil´osofos durante s´eculos
• Exemplo: Considere o lan¸camento de uma moeda comum com
o objetivo de registrarmos a face que ela apresentar´a ao cair
• O resultado ´e incerto; podemos construir um modelo de
probabilidade para este experimento com base em algumas premissas
Probabilidade
• Exemplo (cont.): Primeiramente, supomos que podem ocorrer
somente duas faces poss´ıveis: cara e coroa
• Se supormos que a moeda ´e honesta (nenhuma face ´e
favorecida), para um n´umero grande de poss´ıveis lan¸camentos, esperamos que a frequˆencia de cada face seja parecida
• Em outras palavras, esperamos que a frequˆencia relativa de
cada face se aproxime de 1/2 conforme o n´umero de lan¸camentos aumenta
• Assim, um modelo te´orico (de probabilidade) para o
experimento ´e
Face Cara Coroa
Probabilidade
• Exemplo (cont.): Primeiramente, supomos que podem ocorrer
somente duas faces poss´ıveis: cara e coroa
• Se supormos que a moeda ´e honesta (nenhuma face ´e
favorecida), para um n´umero grande de poss´ıveis lan¸camentos, esperamos que a frequˆencia de cada face seja parecida
• Em outras palavras, esperamos que a frequˆencia relativa de
cada face se aproxime de 1/2 conforme o n´umero de lan¸camentos aumenta
• Assim, um modelo te´orico (de probabilidade) para o
experimento ´e
Face Cara Coroa
Probabilidade
• Exemplo (cont.): Primeiramente, supomos que podem ocorrer
somente duas faces poss´ıveis: cara e coroa
• Se supormos que a moeda ´e honesta (nenhuma face ´e
favorecida), para um n´umero grande de poss´ıveis lan¸camentos, esperamos que a frequˆencia de cada face seja parecida
• Em outras palavras, esperamos que a frequˆencia relativa de
cada face se aproxime de 1/2 conforme o n´umero de lan¸camentos aumenta
• Assim, um modelo te´orico (de probabilidade) para o
experimento ´e
Face Cara Coroa
Probabilidade
• Antes de apresentarmos formalmente o conceito de
probabilidade, precisamos definir outros conceitos
• Espa¸co amostral: E o conjunto de todos os resultados´ poss´ıveis de um experimento ou fenˆomeno sob investiga¸c˜ao. Ser´a denotado aqui por Ω
• Exemplo: No exemplo anterior, o espa¸co amostral ´e
Ω = {cara, coroa}
• Exemplo: Se o experimento consiste em lan¸car duas moedas
com o objetivo de observarmos as faces, o espa¸co amostral pode ser
Probabilidade
• Antes de apresentarmos formalmente o conceito de
probabilidade, precisamos definir outros conceitos
• Espa¸co amostral: E o conjunto de todos os resultados´ poss´ıveis de um experimento ou fenˆomeno sob investiga¸c˜ao. Ser´a denotado aqui por Ω
• Exemplo: No exemplo anterior, o espa¸co amostral ´e
Ω = {cara, coroa}
• Exemplo: Se o experimento consiste em lan¸car duas moedas
com o objetivo de observarmos as faces, o espa¸co amostral pode ser
Probabilidade
• Antes de apresentarmos formalmente o conceito de
probabilidade, precisamos definir outros conceitos
• Espa¸co amostral: E o conjunto de todos os resultados´ poss´ıveis de um experimento ou fenˆomeno sob investiga¸c˜ao. Ser´a denotado aqui por Ω
• Exemplo: No exemplo anterior, o espa¸co amostral ´e
Ω = {cara, coroa}
• Exemplo: Se o experimento consiste em lan¸car duas moedas
com o objetivo de observarmos as faces, o espa¸co amostral pode ser
Probabilidade
• Antes de apresentarmos formalmente o conceito de
probabilidade, precisamos definir outros conceitos
• Espa¸co amostral: E o conjunto de todos os resultados´ poss´ıveis de um experimento ou fenˆomeno sob investiga¸c˜ao. Ser´a denotado aqui por Ω
• Exemplo: No exemplo anterior, o espa¸co amostral ´e
Ω = {cara, coroa}
• Exemplo: Se o experimento consiste em lan¸car duas moedas
com o objetivo de observarmos as faces, o espa¸co amostral pode ser
Probabilidade
• Exemplo: Um dado honesto ´e lan¸cado com o objetivo de
registrarmos o n´umero da face que ela apresentar´a ao cair. O espa¸co amostral pode ser
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Exemplo: Pergunta-se a uma pessoa quantos parceiros ela idealmente gostaria de ter nos pr´oximos 5 anos. O espa¸co amostral pode ser
Ω = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
• Exemplo: Observa-se o tempo de resposta em segundos de
uma pessoa em um determinado teste. O espa¸co amostral pode ser
Probabilidade
• Exemplo: Um dado honesto ´e lan¸cado com o objetivo de
registrarmos o n´umero da face que ela apresentar´a ao cair. O espa¸co amostral pode ser
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Exemplo: Pergunta-se a uma pessoa quantos parceiros ela idealmente gostaria de ter nos pr´oximos 5 anos. O espa¸co amostral pode ser
Ω = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
• Exemplo: Observa-se o tempo de resposta em segundos de
uma pessoa em um determinado teste. O espa¸co amostral pode ser
Probabilidade
• Exemplo: Um dado honesto ´e lan¸cado com o objetivo de
registrarmos o n´umero da face que ela apresentar´a ao cair. O espa¸co amostral pode ser
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Exemplo: Pergunta-se a uma pessoa quantos parceiros ela idealmente gostaria de ter nos pr´oximos 5 anos. O espa¸co amostral pode ser
Ω = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
• Exemplo: Observa-se o tempo de resposta em segundos de
uma pessoa em um determinado teste. O espa¸co amostral pode ser
Probabilidade
• Evento: E qualquer subconjunto do espa¸´ co amostral. ´E denotado por uma letra mai´uscula
• Exemplo: No exemplo do lan¸camento de duas moedas, o
evento sair pelo menos uma cara ´e
A = {(cara, cara), (cara, coroa), (coroa, cara)}
• Exemplo: No exemplo do lan¸camento do dado, o evento sair
uma face com n´umero par ´e
A = {2, 4, 6}
• Exemplo: No exemplo do n´umero de parceiros, o evento
desejar menos de 3 parceiros nos pr´oximos 5 anos ´e A = {0, 1, 2}
Probabilidade
• Evento: E qualquer subconjunto do espa¸´ co amostral. ´E denotado por uma letra mai´uscula
• Exemplo: No exemplo do lan¸camento de duas moedas, o
evento sair pelo menos uma cara ´e
A = {(cara, cara), (cara, coroa), (coroa, cara)}
• Exemplo: No exemplo do lan¸camento do dado, o evento sair
uma face com n´umero par ´e
A = {2, 4, 6}
• Exemplo: No exemplo do n´umero de parceiros, o evento
desejar menos de 3 parceiros nos pr´oximos 5 anos ´e A = {0, 1, 2}
Probabilidade
• Evento: E qualquer subconjunto do espa¸´ co amostral. ´E denotado por uma letra mai´uscula
• Exemplo: No exemplo do lan¸camento de duas moedas, o
evento sair pelo menos uma cara ´e
A = {(cara, cara), (cara, coroa), (coroa, cara)}
• Exemplo: No exemplo do lan¸camento do dado, o evento sair
uma face com n´umero par ´e
A = {2, 4, 6}
• Exemplo: No exemplo do n´umero de parceiros, o evento
desejar menos de 3 parceiros nos pr´oximos 5 anos ´e A = {0, 1, 2}
Probabilidade
• Evento: E qualquer subconjunto do espa¸´ co amostral. ´E denotado por uma letra mai´uscula
• Exemplo: No exemplo do lan¸camento de duas moedas, o
evento sair pelo menos uma cara ´e
A = {(cara, cara), (cara, coroa), (coroa, cara)}
• Exemplo: No exemplo do lan¸camento do dado, o evento sair
uma face com n´umero par ´e
A = {2, 4, 6}
• Exemplo: No exemplo do n´umero de parceiros, o evento
desejar menos de 3 parceiros nos pr´oximos 5 anos ´e A = {0, 1, 2}
Probabilidade
• Exemplo: No exemplo do tempo de resposta, o evento tempo
de resposta menor que 3 segundos ´e A = (0, 3)
• Um espa¸co amostral pode ser finito ou infinito, enumer´avel ou
n˜ao enumer´avel
• Al´em disso, se o espa¸co amostral ´e finito e todos os seus
elementos s˜ao equiprov´aveis, ele ´e dito uniforme
• Neste caso, podemos utilizar o conceito cl´assico de
Probabilidade
• Exemplo: No exemplo do tempo de resposta, o evento tempo
de resposta menor que 3 segundos ´e A = (0, 3)
• Um espa¸co amostral pode ser finito ou infinito, enumer´avel ou
n˜ao enumer´avel
• Al´em disso, se o espa¸co amostral ´e finito e todos os seus
elementos s˜ao equiprov´aveis, ele ´e dito uniforme
• Neste caso, podemos utilizar o conceito cl´assico de
Probabilidade
• Exemplo: No exemplo do tempo de resposta, o evento tempo
de resposta menor que 3 segundos ´e A = (0, 3)
• Um espa¸co amostral pode ser finito ou infinito, enumer´avel ou
n˜ao enumer´avel
• Al´em disso, se o espa¸co amostral ´e finito e todos os seus
elementos s˜ao equiprov´aveis, ele ´e dito uniforme
• Neste caso, podemos utilizar o conceito cl´assico de
Conceito cl´
assico de probabilidade
• Seja Ω o espa¸co amostral uniforme. Ent˜ao a probabilidade de
um evento A de Ω ´e definida como P(A) = #A
#Ω =
n´umero de elementos em A n´umero de elementos em Ω
• Exemplo: No exemplo do lan¸camento de uma moeda, qual a
probabilidade de ocorrer cara?
• Temos que
Ω = {cara, coroa} e A = {cara}. Logo,
P(A) = #A #Ω =
1 2 = 0, 5
Conceito cl´
assico de probabilidade
• Seja Ω o espa¸co amostral uniforme. Ent˜ao a probabilidade de
um evento A de Ω ´e definida como P(A) = #A
#Ω =
n´umero de elementos em A n´umero de elementos em Ω
• Exemplo: No exemplo do lan¸camento de uma moeda, qual a
probabilidade de ocorrer cara?
• Temos que
Ω = {cara, coroa} e A = {cara}. Logo,
P(A) = #A #Ω =
1 2 = 0, 5
Conceito cl´
assico de probabilidade
• Exemplo: No exemplo do lan¸camento de duas moeda, qual a
probabilidade de ocorrer pelo menos uma cara?
• Temos que
Ω = {(cara, cara), (cara, coroa), (coroa, cara), (coroa, coroa)} e
A = {(cara, cara), (cara, coroa), (coroa, cara)}. Logo,
P(A) = #A #Ω =
3
Conceito cl´
assico de probabilidade
• Exemplo: No exemplo do lan¸camento de duas moeda, qual a
probabilidade de ocorrer pelo menos uma cara?
• Temos que
Ω = {(cara, cara), (cara, coroa), (coroa, cara), (coroa, coroa)} e
A = {(cara, cara), (cara, coroa), (coroa, cara)}. Logo,
P(A) = #A #Ω =
3
Conceito cl´
assico de probabilidade
• Exemplo: No exemplo do lan¸camento do dado, qual ´e a
probabilidade de ocorrer uma face com n´umero par?
• Temos que Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e A = {2, 4, 6}. Logo, P(A) = #A #Ω = 3 6 = 1 2 = 0, 5
• Qual ´e a probabilidade de ocorrer uma face com n´umero maior que 4? • Temos que B = {5, 6}. Logo, P(B) = #B #Ω = 2 6 = 1 3 = 0, 3333...
Conceito cl´
assico de probabilidade
• Exemplo: No exemplo do lan¸camento do dado, qual ´e a
probabilidade de ocorrer uma face com n´umero par?
• Temos que Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e A = {2, 4, 6}. Logo, P(A) = #A #Ω = 3 6 = 1 2 = 0, 5
• Qual ´e a probabilidade de ocorrer uma face com n´umero maior que 4? • Temos que B = {5, 6}. Logo, P(B) = #B #Ω = 2 6 = 1 3 = 0, 3333...
Conceito cl´
assico de probabilidade
• Exemplo: No exemplo do lan¸camento do dado, qual ´e a
probabilidade de ocorrer uma face com n´umero par?
• Temos que Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e A = {2, 4, 6}. Logo, P(A) = #A #Ω = 3 6 = 1 2 = 0, 5
• Qual ´e a probabilidade de ocorrer uma face com n´umero maior que 4? • Temos que B = {5, 6}. Logo, P(B) = #B #Ω = 2 6 = 1 3 = 0, 3333...
Conceito cl´
assico de probabilidade
• Exemplo: No exemplo do lan¸camento do dado, qual ´e a
probabilidade de ocorrer uma face com n´umero par?
• Temos que Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e A = {2, 4, 6}. Logo, P(A) = #A #Ω = 3 6 = 1 2 = 0, 5
• Qual ´e a probabilidade de ocorrer uma face com n´umero maior que 4? • Temos que B = {5, 6}. Logo, P(B) = #B #Ω = 2 6 = 1 3 = 0, 3333...
Conceito cl´
assico de probabilidade
• Exemplo: Em um grupo de 10 pacientes, 5 sofrem de um
determinado transtorno A, 3 sofrem de um determinado transtorno B e 2 sofrem de um determinado transtorno C
• No grupo, nenhum paciente sofre de mais de um transtorno
• Suponha que um paciente seja selecionado ao acaso do grupo e observa-se quem ele ´e
• O espa¸co amostral do experimento ´e ent˜ao
Ω = {A1, A2, A3, A4, A5, B1, B2, B3, C1, C2},
Conceito cl´
assico de probabilidade
• Exemplo: Em um grupo de 10 pacientes, 5 sofrem de um
determinado transtorno A, 3 sofrem de um determinado transtorno B e 2 sofrem de um determinado transtorno C
• No grupo, nenhum paciente sofre de mais de um transtorno • Suponha que um paciente seja selecionado ao acaso do grupo
e observa-se quem ele ´e
• O espa¸co amostral do experimento ´e ent˜ao
Ω = {A1, A2, A3, A4, A5, B1, B2, B3, C1, C2},
Conceito cl´
assico de probabilidade
• Exemplo: Em um grupo de 10 pacientes, 5 sofrem de um
determinado transtorno A, 3 sofrem de um determinado transtorno B e 2 sofrem de um determinado transtorno C
• No grupo, nenhum paciente sofre de mais de um transtorno • Suponha que um paciente seja selecionado ao acaso do grupo
e observa-se quem ele ´e
• O espa¸co amostral do experimento ´e ent˜ao
Ω = {A1, A2, A3, A4, A5, B1, B2, B3, C1, C2},
Conceito cl´
assico de probabilidade
• Exemplo (cont.): Qual ´e a probabilidade do paciente
selecionado sofrer do transtorno A?
• Seja A o evento correspondente ao paciente sofrer do
transtorno A. Assim,
P(A) = #A #Ω =
5
10 = 0, 5
• De forma an´aloga, temos que
P(B) = 3
10 = 0, 3 e P(C ) = 2
Conceito cl´
assico de probabilidade
• Exemplo (cont.): Qual ´e a probabilidade do paciente
selecionado sofrer do transtorno A?
• Seja A o evento correspondente ao paciente sofrer do
transtorno A. Assim,
P(A) = #A #Ω =
5
10 = 0, 5
• De forma an´aloga, temos que
P(B) = 3
10 = 0, 3 e P(C ) = 2
Conceito cl´
assico de probabilidade
• Exemplo (cont.): Qual ´e a probabilidade do paciente
selecionado sofrer do transtorno A?
• Seja A o evento correspondente ao paciente sofrer do
transtorno A. Assim,
P(A) = #A #Ω =
5
10 = 0, 5
• De forma an´aloga, temos que
P(B) = 3
10 = 0, 3 e P(C ) = 2
Opera¸c˜
oes com eventos
• Exemplo: No exemplo do lan¸camento do dado, qual evento
corresponde a ocorrer uma face com n´umero par ou ocorrer uma face com n´umero maior que 4?
• Em outras palavras, qual evento corresponde a ocorrer pelo
menos um dos eventos: ocorrer uma face com n´umero par ou ocorrer uma face com n´umero maior que 4?
• Temos que o primeiro e segundo eventos s˜ao, respectivamente, A = {2, 4, 6} e B = {5, 6}
• O evento de interesse ´e
C = {2, 4, 5, 6},
que pode ser escrito como auni˜aodos eventos A e B, ou seja, C = A ∪ B
Opera¸c˜
oes com eventos
• Exemplo: No exemplo do lan¸camento do dado, qual evento
corresponde a ocorrer uma face com n´umero par ou ocorrer uma face com n´umero maior que 4?
• Em outras palavras, qual evento corresponde a ocorrer pelo
menos um dos eventos: ocorrer uma face com n´umero par ou ocorrer uma face com n´umero maior que 4?
• Temos que o primeiro e segundo eventos s˜ao, respectivamente, A = {2, 4, 6} e B = {5, 6}
• O evento de interesse ´e
C = {2, 4, 5, 6},
que pode ser escrito como auni˜aodos eventos A e B, ou seja, C = A ∪ B
Opera¸c˜
oes com eventos
• Exemplo: No exemplo do lan¸camento do dado, qual evento
corresponde a ocorrer uma face com n´umero par ou ocorrer uma face com n´umero maior que 4?
• Em outras palavras, qual evento corresponde a ocorrer pelo
menos um dos eventos: ocorrer uma face com n´umero par ou ocorrer uma face com n´umero maior que 4?
• Temos que o primeiro e segundo eventos s˜ao, respectivamente, A = {2, 4, 6} e B = {5, 6}
• O evento de interesse ´e
C = {2, 4, 5, 6},
que pode ser escrito como auni˜aodos eventos A e B, ou seja, C = A ∪ B
Opera¸c˜
oes com eventos
De forma geral, o evento ocorrer o evento A ou ocorrer o evento B (ocorrer pelo menos um dos eventos: A ou B) corresponde `a uni˜ao dos eventos A e B
Opera¸c˜
oes com eventos
• Exemplo: No exemplo do lan¸camento do dado, qual evento
corresponde a ocorrer uma face com n´umero par e ocorrer uma face com n´umero maior que 4?
• Em outras palavras, qual ´e a probabilidade de ocorrer uma face com n´umero par e maior que 4?
• Novamente, temos que o primeiro e segundo eventos s˜ao,
respectivamente,
A = {2, 4, 6} e B = {5, 6}
• O evento de interesse ´e
D = {6},
que pode ser escrito como a interse¸c˜ao dos eventos A e B, ou seja,
Opera¸c˜
oes com eventos
• Exemplo: No exemplo do lan¸camento do dado, qual evento
corresponde a ocorrer uma face com n´umero par e ocorrer uma face com n´umero maior que 4?
• Em outras palavras, qual ´e a probabilidade de ocorrer uma face com n´umero par e maior que 4?
• Novamente, temos que o primeiro e segundo eventos s˜ao,
respectivamente,
A = {2, 4, 6} e B = {5, 6}
• O evento de interesse ´e
D = {6},
que pode ser escrito como a interse¸c˜ao dos eventos A e B, ou seja,
Opera¸c˜
oes com eventos
• Exemplo: No exemplo do lan¸camento do dado, qual evento
corresponde a ocorrer uma face com n´umero par e ocorrer uma face com n´umero maior que 4?
• Em outras palavras, qual ´e a probabilidade de ocorrer uma face com n´umero par e maior que 4?
• Novamente, temos que o primeiro e segundo eventos s˜ao,
respectivamente,
A = {2, 4, 6} e B = {5, 6}
• O evento de interesse ´e
D = {6},
que pode ser escrito como ainterse¸c˜ao dos eventos A e B, ou seja,
Opera¸c˜
oes com eventos
De forma geral, o evento ocorrer o evento A e ocorrer o evento B (ocorrer os dois eventos: A e B) corresponde `a interse¸c˜ao dos eventos A e B
Opera¸c˜
oes com eventos
• Exemplo: No exemplo do lan¸camento do dado, qual evento
corresponde a n˜ao ocorrer uma face com n´umero par?
• Se o evento ocorrer uma face com n´umero par ´e
A = {2, 4, 6}, ent˜ao evento de interesse ´e
E = {1, 3, 5},
que pode ser denotado como o complementardo evento A, que denotaremos como
Opera¸c˜
oes com eventos
• Exemplo: No exemplo do lan¸camento do dado, qual evento
corresponde a n˜ao ocorrer uma face com n´umero par?
• Se o evento ocorrer uma face com n´umero par ´e
A = {2, 4, 6}, ent˜ao evento de interesse ´e
E = {1, 3, 5},
que pode ser denotado como o complementardo evento A, que denotaremos como
Opera¸c˜
oes com eventos
De forma geral, o evento n˜ao ocorrer o evento A corresponde ao seu complementar (“tudo em Ω que n˜ao ´e A”)
Eventos especiais
• O evento Ω (espa¸co amostral) ´e chamadoevento certo
• O evento ∅ (conjunto vazio) ´e chamado evento imposs´ıvel • Se os eventos A e B s˜ao tais que
A ∩ B = ∅,
Eventos especiais
• O evento Ω (espa¸co amostral) ´e chamadoevento certo • O evento ∅ (conjunto vazio) ´e chamado evento imposs´ıvel
• Se os eventos A e B s˜ao tais que
A ∩ B = ∅,
Eventos especiais
• O evento Ω (espa¸co amostral) ´e chamadoevento certo • O evento ∅ (conjunto vazio) ´e chamado evento imposs´ıvel • Se os eventos A e B s˜ao tais que
A ∩ B = ∅,
Axiomas da probabilidade
Seja Ω um espa¸co amostral e seja A um evento de Ω. A probabilidade do evento A, P(A), satisfaz:
1 0 ≤ P(A) ≤ 1
2 P(Ω) = 1 (P(∅) = 0)
3 Se A e B s˜ao mutuamente exclusivos, ent˜ao P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
4 De forma geral, para eventos A1, A2, A3, . . . mutuamente
exclusivos dois a dois, a probabilidade da uni˜ao de todos os eventos ´e igual `a soma das probabilidades dos mesmos
Axiomas da probabilidade
Seja Ω um espa¸co amostral e seja A um evento de Ω. A probabilidade do evento A, P(A), satisfaz:
1 0 ≤ P(A) ≤ 1
2 P(Ω) = 1 (P(∅) = 0)
3 Se A e B s˜ao mutuamente exclusivos, ent˜ao P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
4 De forma geral, para eventos A1, A2, A3, . . . mutuamente
exclusivos dois a dois, a probabilidade da uni˜ao de todos os eventos ´e igual `a soma das probabilidades dos mesmos
Axiomas da probabilidade
Seja Ω um espa¸co amostral e seja A um evento de Ω. A probabilidade do evento A, P(A), satisfaz:
1 0 ≤ P(A) ≤ 1
2 P(Ω) = 1 (P(∅) = 0)
3 Se A e B s˜ao mutuamente exclusivos, ent˜ao P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
4 De forma geral, para eventos A1, A2, A3, . . . mutuamente
exclusivos dois a dois, a probabilidade da uni˜ao de todos os eventos ´e igual `a soma das probabilidades dos mesmos
Axiomas da probabilidade
• Exemplo: Voltando ao exemplo dos pacientes, suponha agora
que um paciente seja selecionado ao acaso do grupo e observa-se de qual transtorno ele sofre
• O espa¸co amostral do experimento ´e ent˜ao
Ω = {A,B,C}, correspondendo a cada um dos transtornos
• Um modelo de probabilidade para o experimento ´e
Transtorno A B C
Axiomas da probabilidade
• Exemplo: Voltando ao exemplo dos pacientes, suponha agora
que um paciente seja selecionado ao acaso do grupo e observa-se de qual transtorno ele sofre
• O espa¸co amostral do experimento ´e ent˜ao
Ω = {A,B,C}, correspondendo a cada um dos transtornos
• Um modelo de probabilidade para o experimento ´e
Transtorno A B C
Axiomas da probabilidade
• Exemplo: Voltando ao exemplo dos pacientes, suponha agora
que um paciente seja selecionado ao acaso do grupo e observa-se de qual transtorno ele sofre
• O espa¸co amostral do experimento ´e ent˜ao
Ω = {A,B,C}, correspondendo a cada um dos transtornos
• Um modelo de probabilidade para o experimento ´e
Transtorno A B C
Axiomas da probabilidade
• Exemplo (cont.): Sejam A, B e C os eventos correspondentes
ao paciente selecionado sofrer dos transtornos A, B e C, respectivamente
• Qual ´e a probabilidade de um paciente sofrer dos transtornos
A e B?
• Como nenhum paciente sofre de mais de um transtorno, A e
B s˜ao mutuamente exclusivos. Logo P(A ∩ B) = P(∅) = 0
Axiomas da probabilidade
• Exemplo (cont.): Sejam A, B e C os eventos correspondentes
ao paciente selecionado sofrer dos transtornos A, B e C, respectivamente
• Qual ´e a probabilidade de um paciente sofrer dos transtornos
A e B?
• Como nenhum paciente sofre de mais de um transtorno, A e
B s˜ao mutuamente exclusivos. Logo P(A ∩ B) = P(∅) = 0
Axiomas da probabilidade
• Exemplo (cont.): Qual ´e a probabilidade de um paciente sofrer dos transtornos A ou B?
• Como A e B s˜ao mutuamente exclusivos, a probabilidade da uni˜ao ´e a probabilidade da soma, ou seja,
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 0, 5 + 0, 3 = 0, 8
• Qual ´e a probabilidade de um paciente n˜ao sofrer do
transtorno A?
Axiomas da probabilidade
• Exemplo (cont.): Qual ´e a probabilidade de um paciente sofrer dos transtornos A ou B?
• Como A e B s˜ao mutuamente exclusivos, a probabilidade da uni˜ao ´e a probabilidade da soma, ou seja,
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 0, 5 + 0, 3 = 0, 8
• Qual ´e a probabilidade de um paciente n˜ao sofrer do
transtorno A?
Axiomas da probabilidade
• Exemplo (cont.): Qual ´e a probabilidade de um paciente sofrer dos transtornos A ou B?
• Como A e B s˜ao mutuamente exclusivos, a probabilidade da uni˜ao ´e a probabilidade da soma, ou seja,
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 0, 5 + 0, 3 = 0, 8
• Qual ´e a probabilidade de um paciente n˜ao sofrer do
transtorno A?
Axiomas da probabilidade
• Exemplo (cont.): Qual ´e a probabilidade de um paciente sofrer dos transtornos A ou B?
• Como A e B s˜ao mutuamente exclusivos, a probabilidade da uni˜ao ´e a probabilidade da soma, ou seja,
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 0, 5 + 0, 3 = 0, 8
• Qual ´e a probabilidade de um paciente n˜ao sofrer do
transtorno A?
Probabilidade da uni˜
ao de eventos
• Exemplo: Em uma popula¸c˜ao, 50% das pessoas apresentam
uma determinada caracter´ıstica gen´etica A, 80% apresentam uma determinada caracter´ıstica gen´etica B e 40% apresentam as duas caracter´ısticas
• Uma pessoa ´e escolhida ao acaso desta popula¸c˜ao. Qual ´e a
probabilidade dela apresentar pelo menos uma caracter´ıstica?
• Sejam A e B os eventos correspondentes `a pessoa apresentar as caracter´ısticas A e B, respectivamente
• Temos que
Probabilidade da uni˜
ao de eventos
• Exemplo: Em uma popula¸c˜ao, 50% das pessoas apresentam
uma determinada caracter´ıstica gen´etica A, 80% apresentam uma determinada caracter´ıstica gen´etica B e 40% apresentam as duas caracter´ısticas
• Uma pessoa ´e escolhida ao acaso desta popula¸c˜ao. Qual ´e a probabilidade dela apresentar pelo menos uma caracter´ıstica?
• Sejam A e B os eventos correspondentes `a pessoa apresentar as caracter´ısticas A e B, respectivamente
• Temos que
Probabilidade da uni˜
ao de eventos
• Exemplo: Em uma popula¸c˜ao, 50% das pessoas apresentam
uma determinada caracter´ıstica gen´etica A, 80% apresentam uma determinada caracter´ıstica gen´etica B e 40% apresentam as duas caracter´ısticas
• Uma pessoa ´e escolhida ao acaso desta popula¸c˜ao. Qual ´e a probabilidade dela apresentar pelo menos uma caracter´ıstica?
• Sejam A e B os eventos correspondentes `a pessoa apresentar as caracter´ısticas A e B, respectivamente
• Temos que
Probabilidade da uni˜
ao de eventos
• Exemplo: Em uma popula¸c˜ao, 50% das pessoas apresentam
uma determinada caracter´ıstica gen´etica A, 80% apresentam uma determinada caracter´ıstica gen´etica B e 40% apresentam as duas caracter´ısticas
• Uma pessoa ´e escolhida ao acaso desta popula¸c˜ao. Qual ´e a probabilidade dela apresentar pelo menos uma caracter´ıstica?
• Sejam A e B os eventos correspondentes `a pessoa apresentar as caracter´ısticas A e B, respectivamente
• Temos que
Probabilidade da uni˜
ao de eventos
• Exemplo (cont.): Queremos calcular P(A ∪ B)
• Assim,
Probabilidade da uni˜
ao de eventos
• Exemplo (cont.): Queremos calcular P(A ∪ B)
• Assim,
Probabilidade da uni˜
ao de eventos
• Exemplo (cont.): Queremos calcular P(A ∪ B)
• Assim,
Probabilidade da uni˜
ao de eventos
• Exemplo (cont.): Queremos calcular P(A ∪ B)
• Assim,
Probabilidade da uni˜
ao de eventos
Exemplo (cont.): Os eventos A e B n˜ao s˜ao mutuamente
exclusivos; portanto a probabilidade da uni˜ao n˜ao ´e simplesmente a soma das probabilidades
Probabilidade da uni˜
ao de eventos
Probabilidade da uni˜
ao de eventos
Probabilidade da uni˜
ao de eventos
Probabilidade da uni˜
ao de eventos
Probabilidade da uni˜
ao de eventos
• Exemplo (cont.): A probabilidade de uma pessoa apresentar pelo menos uma caracter´ıstica ´e, portanto,
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 0, 5 + 0, 8 − 0, 4 =0, 9
• Esta ´e a regra geral para calcularmos a probabilidade da uni˜ao
de dois eventos
• No caso de eventos mutuamente exclusivos, a regra tamb´em
vale, pois ter´ıamos
Probabilidade da uni˜
ao de eventos
• Exemplo (cont.): A probabilidade de uma pessoa apresentar pelo menos uma caracter´ıstica ´e, portanto,
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 0, 5 + 0, 8 − 0, 4 =0, 9
• Esta ´e a regra geral para calcularmos a probabilidade da uni˜ao
de dois eventos
• No caso de eventos mutuamente exclusivos, a regra tamb´em
vale, pois ter´ıamos
Probabilidade do complementar de um
evento
• Exemplo (cont.): Qual ´e a probabilidade da pessoa
selecionada n˜ao apresentar a caracter´ıstica A?
• A regra, neste caso, ´e simples e intuitiva:
Probabilidade do complementar de um
evento
• Exemplo (cont.): Qual ´e a probabilidade da pessoa
selecionada n˜ao apresentar a caracter´ıstica A?
• A regra, neste caso, ´e simples e intuitiva:
Probabilidade de outros eventos
Exemplo (cont.): Qual ´e a probabilidade da pessoa selecionada n˜ao apresentar nenhuma caracter´ıstica?
Probabilidade de outros eventos
Exemplo (cont.): Qual ´e a probabilidade da pessoa selecionada n˜ao apresentar nenhuma caracter´ıstica?
Outros c´
alculos de probabilidade
Exemplo (cont.): Qual ´e a probabilidade da pessoa selecionada apresentar somente a caracter´ıstica A?
Outros c´
alculos de probabilidade
Exemplo (cont.): Qual ´e a probabilidade da pessoa selecionada apresentar somente a caracter´ıstica A?
Outros c´
alculos de probabilidade
Exemplo (cont.): Qual ´e a probabilidade da pessoa selecionada apresentar somente uma das caracter´ısticas?
P(A ∩ BC) ∪ (AC ∩ B)= P(A ∪ B) − P(A ∩ B) = 0, 9 − 0, 4 = 0, 5
