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Estatística para Psicologia

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Academic year: 2021

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(1)

Estat´ıstica para Psicologia

Elementos de probabilidade

Jo˜ao Batista M. Pereira DME - UFRJ joao@dme.ufrj.br

(2)

Probabilidade

Em pesquisas na ´area de Psicologia, geralmente se est´a

interessado em avaliar a efic´acia de um procedimento, a validade de uma teoria, a viabilidade de hip´oteses levantadas a respeito de um fenˆomeno observado

• Entretanto, como em qualquer pesquisa cient´ıfica, quase nunca podemos dizer com certeza absoluta como um fenˆomeno de interesse se comportar´a ou que estamos 100% certos a respeito de uma teoria ou hip´oteses que tenhamos levantado

• O que podemos avaliar, na verdade, s˜ao que evidˆencias os dados fornecem para dizermos, com certo grau de certeza ou confian¸ca, que um procedimento ´e eficaz, que uma teoria ´e v´alida ou que hip´oteses s˜ao vi´aveis

(3)

Probabilidade

Em pesquisas na ´area de Psicologia, geralmente se est´a

interessado em avaliar a efic´acia de um procedimento, a validade de uma teoria, a viabilidade de hip´oteses levantadas a respeito de um fenˆomeno observado

• Entretanto, como em qualquer pesquisa cient´ıfica, quase nunca podemos dizer com certeza absoluta como um fenˆomeno de interesse se comportar´a ou que estamos 100% certos a respeito de uma teoria ou hip´oteses que tenhamos levantado

• O que podemos avaliar, na verdade, s˜ao que evidˆencias os dados fornecem para dizermos, com certo grau de certeza ou confian¸ca, que um procedimento ´e eficaz, que uma teoria ´e v´alida ou que hip´oteses s˜ao vi´aveis

(4)

Probabilidade

Em pesquisas na ´area de Psicologia, geralmente se est´a

interessado em avaliar a efic´acia de um procedimento, a validade de uma teoria, a viabilidade de hip´oteses levantadas a respeito de um fenˆomeno observado

• Entretanto, como em qualquer pesquisa cient´ıfica, quase nunca podemos dizer com certeza absoluta como um fenˆomeno de interesse se comportar´a ou que estamos 100% certos a respeito de uma teoria ou hip´oteses que tenhamos levantado

O que podemos avaliar, na verdade, s˜ao que evidˆencias os

dados fornecem para dizermos, com certo grau de certeza ou confian¸ca, que um procedimento ´e eficaz, que uma teoria ´e v´alida ou que hip´oteses s˜ao vi´aveis

(5)

Probabilidade

Geralmente, um conjunto de dados ´e composto de

observa¸c˜oes de vari´aveis com comportamento imprevis´ıvel, observa¸c˜oes de fenˆomenos aleat´orios

Enretanto, apesar da imprevisibilidade de tais fenˆomenos, com

suposi¸c˜oes adequadas, podemos criar (propor) um modelo te´orico que descreva de maneira razo´avel a distribui¸c˜ao ou comportamento de vari´aveis de interesse

• Tais modelos s˜ao denominadosmodelos de probabilidade, modelos probabil´ısticos oumodelos estoc´asticos

(6)

Probabilidade

Geralmente, um conjunto de dados ´e composto de

observa¸c˜oes de vari´aveis com comportamento imprevis´ıvel, observa¸c˜oes de fenˆomenos aleat´orios

Enretanto, apesar da imprevisibilidade de tais fenˆomenos, com

suposi¸c˜oes adequadas, podemos criar (propor) um modelo te´orico que descreva de maneira razo´avel a distribui¸c˜ao ou comportamento de vari´aveis de interesse

• Tais modelos s˜ao denominadosmodelos de probabilidade, modelos probabil´ısticos oumodelos estoc´asticos

(7)

Probabilidade

Geralmente, um conjunto de dados ´e composto de

observa¸c˜oes de vari´aveis com comportamento imprevis´ıvel, observa¸c˜oes de fenˆomenos aleat´orios

Enretanto, apesar da imprevisibilidade de tais fenˆomenos, com

suposi¸c˜oes adequadas, podemos criar (propor) um modelo te´orico que descreva de maneira razo´avel a distribui¸c˜ao ou comportamento de vari´aveis de interesse

• Tais modelos s˜ao denominadosmodelos de probabilidade, modelos probabil´ısticos oumodelos estoc´asticos

(8)

Probabilidade

O conceito mais importante no estudo de modelos

probabil´ısticos ´e o deprobabilidade em si

• A probabilidade ´e muito importante para a inferˆencia estat´ıstica e tem sido estudada por matem´aticos e fil´osofos durante s´eculos

Exemplo: Considere o lan¸camento de uma moeda comum com

o objetivo de registrarmos a face que ela apresentar´a ao cair

O resultado ´e incerto; podemos construir um modelo de

probabilidade para este experimento com base em algumas premissas

(9)

Probabilidade

O conceito mais importante no estudo de modelos

probabil´ısticos ´e o deprobabilidade em si

• A probabilidade ´e muito importante para a inferˆencia estat´ıstica e tem sido estudada por matem´aticos e fil´osofos durante s´eculos

Exemplo: Considere o lan¸camento de uma moeda comum com

o objetivo de registrarmos a face que ela apresentar´a ao cair

O resultado ´e incerto; podemos construir um modelo de

probabilidade para este experimento com base em algumas premissas

(10)

Probabilidade

Exemplo (cont.): Primeiramente, supomos que podem ocorrer

somente duas faces poss´ıveis: cara e coroa

Se supormos que a moeda ´e honesta (nenhuma face ´e

favorecida), para um n´umero grande de poss´ıveis lan¸camentos, esperamos que a frequˆencia de cada face seja parecida

Em outras palavras, esperamos que a frequˆencia relativa de

cada face se aproxime de 1/2 conforme o n´umero de lan¸camentos aumenta

Assim, um modelo te´orico (de probabilidade) para o

experimento ´e

Face Cara Coroa

(11)

Probabilidade

Exemplo (cont.): Primeiramente, supomos que podem ocorrer

somente duas faces poss´ıveis: cara e coroa

Se supormos que a moeda ´e honesta (nenhuma face ´e

favorecida), para um n´umero grande de poss´ıveis lan¸camentos, esperamos que a frequˆencia de cada face seja parecida

Em outras palavras, esperamos que a frequˆencia relativa de

cada face se aproxime de 1/2 conforme o n´umero de lan¸camentos aumenta

Assim, um modelo te´orico (de probabilidade) para o

experimento ´e

Face Cara Coroa

(12)

Probabilidade

Exemplo (cont.): Primeiramente, supomos que podem ocorrer

somente duas faces poss´ıveis: cara e coroa

Se supormos que a moeda ´e honesta (nenhuma face ´e

favorecida), para um n´umero grande de poss´ıveis lan¸camentos, esperamos que a frequˆencia de cada face seja parecida

Em outras palavras, esperamos que a frequˆencia relativa de

cada face se aproxime de 1/2 conforme o n´umero de lan¸camentos aumenta

Assim, um modelo te´orico (de probabilidade) para o

experimento ´e

Face Cara Coroa

(13)

Probabilidade

Antes de apresentarmos formalmente o conceito de

probabilidade, precisamos definir outros conceitos

Espa¸co amostral: E o conjunto de todos os resultados´ poss´ıveis de um experimento ou fenˆomeno sob investiga¸c˜ao. Ser´a denotado aqui por Ω

Exemplo: No exemplo anterior, o espa¸co amostral ´e

Ω = {cara, coroa}

Exemplo: Se o experimento consiste em lan¸car duas moedas

com o objetivo de observarmos as faces, o espa¸co amostral pode ser

(14)

Probabilidade

Antes de apresentarmos formalmente o conceito de

probabilidade, precisamos definir outros conceitos

Espa¸co amostral: E o conjunto de todos os resultados´ poss´ıveis de um experimento ou fenˆomeno sob investiga¸c˜ao. Ser´a denotado aqui por Ω

Exemplo: No exemplo anterior, o espa¸co amostral ´e

Ω = {cara, coroa}

Exemplo: Se o experimento consiste em lan¸car duas moedas

com o objetivo de observarmos as faces, o espa¸co amostral pode ser

(15)

Probabilidade

Antes de apresentarmos formalmente o conceito de

probabilidade, precisamos definir outros conceitos

Espa¸co amostral: E o conjunto de todos os resultados´ poss´ıveis de um experimento ou fenˆomeno sob investiga¸c˜ao. Ser´a denotado aqui por Ω

Exemplo: No exemplo anterior, o espa¸co amostral ´e

Ω = {cara, coroa}

Exemplo: Se o experimento consiste em lan¸car duas moedas

com o objetivo de observarmos as faces, o espa¸co amostral pode ser

(16)

Probabilidade

Antes de apresentarmos formalmente o conceito de

probabilidade, precisamos definir outros conceitos

Espa¸co amostral: E o conjunto de todos os resultados´ poss´ıveis de um experimento ou fenˆomeno sob investiga¸c˜ao. Ser´a denotado aqui por Ω

Exemplo: No exemplo anterior, o espa¸co amostral ´e

Ω = {cara, coroa}

Exemplo: Se o experimento consiste em lan¸car duas moedas

com o objetivo de observarmos as faces, o espa¸co amostral pode ser

(17)

Probabilidade

Exemplo: Um dado honesto ´e lan¸cado com o objetivo de

registrarmos o n´umero da face que ela apresentar´a ao cair. O espa¸co amostral pode ser

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

• Exemplo: Pergunta-se a uma pessoa quantos parceiros ela idealmente gostaria de ter nos pr´oximos 5 anos. O espa¸co amostral pode ser

Ω = {0, 1, 2, 3, 4, ...}

Exemplo: Observa-se o tempo de resposta em segundos de

uma pessoa em um determinado teste. O espa¸co amostral pode ser

(18)

Probabilidade

Exemplo: Um dado honesto ´e lan¸cado com o objetivo de

registrarmos o n´umero da face que ela apresentar´a ao cair. O espa¸co amostral pode ser

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

• Exemplo: Pergunta-se a uma pessoa quantos parceiros ela idealmente gostaria de ter nos pr´oximos 5 anos. O espa¸co amostral pode ser

Ω = {0, 1, 2, 3, 4, ...}

Exemplo: Observa-se o tempo de resposta em segundos de

uma pessoa em um determinado teste. O espa¸co amostral pode ser

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Probabilidade

Exemplo: Um dado honesto ´e lan¸cado com o objetivo de

registrarmos o n´umero da face que ela apresentar´a ao cair. O espa¸co amostral pode ser

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

• Exemplo: Pergunta-se a uma pessoa quantos parceiros ela idealmente gostaria de ter nos pr´oximos 5 anos. O espa¸co amostral pode ser

Ω = {0, 1, 2, 3, 4, ...}

Exemplo: Observa-se o tempo de resposta em segundos de

uma pessoa em um determinado teste. O espa¸co amostral pode ser

(20)

Probabilidade

Evento: E qualquer subconjunto do espa¸´ co amostral. ´E denotado por uma letra mai´uscula

Exemplo: No exemplo do lan¸camento de duas moedas, o

evento sair pelo menos uma cara ´e

A = {(cara, cara), (cara, coroa), (coroa, cara)}

Exemplo: No exemplo do lan¸camento do dado, o evento sair

uma face com n´umero par ´e

A = {2, 4, 6}

Exemplo: No exemplo do n´umero de parceiros, o evento

desejar menos de 3 parceiros nos pr´oximos 5 anos ´e A = {0, 1, 2}

(21)

Probabilidade

Evento: E qualquer subconjunto do espa¸´ co amostral. ´E denotado por uma letra mai´uscula

Exemplo: No exemplo do lan¸camento de duas moedas, o

evento sair pelo menos uma cara ´e

A = {(cara, cara), (cara, coroa), (coroa, cara)}

Exemplo: No exemplo do lan¸camento do dado, o evento sair

uma face com n´umero par ´e

A = {2, 4, 6}

Exemplo: No exemplo do n´umero de parceiros, o evento

desejar menos de 3 parceiros nos pr´oximos 5 anos ´e A = {0, 1, 2}

(22)

Probabilidade

Evento: E qualquer subconjunto do espa¸´ co amostral. ´E denotado por uma letra mai´uscula

Exemplo: No exemplo do lan¸camento de duas moedas, o

evento sair pelo menos uma cara ´e

A = {(cara, cara), (cara, coroa), (coroa, cara)}

Exemplo: No exemplo do lan¸camento do dado, o evento sair

uma face com n´umero par ´e

A = {2, 4, 6}

Exemplo: No exemplo do n´umero de parceiros, o evento

desejar menos de 3 parceiros nos pr´oximos 5 anos ´e A = {0, 1, 2}

(23)

Probabilidade

Evento: E qualquer subconjunto do espa¸´ co amostral. ´E denotado por uma letra mai´uscula

Exemplo: No exemplo do lan¸camento de duas moedas, o

evento sair pelo menos uma cara ´e

A = {(cara, cara), (cara, coroa), (coroa, cara)}

Exemplo: No exemplo do lan¸camento do dado, o evento sair

uma face com n´umero par ´e

A = {2, 4, 6}

Exemplo: No exemplo do n´umero de parceiros, o evento

desejar menos de 3 parceiros nos pr´oximos 5 anos ´e A = {0, 1, 2}

(24)

Probabilidade

Exemplo: No exemplo do tempo de resposta, o evento tempo

de resposta menor que 3 segundos ´e A = (0, 3)

Um espa¸co amostral pode ser finito ou infinito, enumer´avel ou

n˜ao enumer´avel

Al´em disso, se o espa¸co amostral ´e finito e todos os seus

elementos s˜ao equiprov´aveis, ele ´e dito uniforme

Neste caso, podemos utilizar o conceito cl´assico de

(25)

Probabilidade

Exemplo: No exemplo do tempo de resposta, o evento tempo

de resposta menor que 3 segundos ´e A = (0, 3)

Um espa¸co amostral pode ser finito ou infinito, enumer´avel ou

n˜ao enumer´avel

Al´em disso, se o espa¸co amostral ´e finito e todos os seus

elementos s˜ao equiprov´aveis, ele ´e dito uniforme

Neste caso, podemos utilizar o conceito cl´assico de

(26)

Probabilidade

Exemplo: No exemplo do tempo de resposta, o evento tempo

de resposta menor que 3 segundos ´e A = (0, 3)

Um espa¸co amostral pode ser finito ou infinito, enumer´avel ou

n˜ao enumer´avel

Al´em disso, se o espa¸co amostral ´e finito e todos os seus

elementos s˜ao equiprov´aveis, ele ´e dito uniforme

Neste caso, podemos utilizar o conceito cl´assico de

(27)

Conceito cl´

assico de probabilidade

Seja Ω o espa¸co amostral uniforme. Ent˜ao a probabilidade de

um evento A de Ω ´e definida como P(A) = #A

#Ω =

n´umero de elementos em A n´umero de elementos em Ω

Exemplo: No exemplo do lan¸camento de uma moeda, qual a

probabilidade de ocorrer cara?

Temos que

Ω = {cara, coroa} e A = {cara}. Logo,

P(A) = #A #Ω =

1 2 = 0, 5

(28)

Conceito cl´

assico de probabilidade

Seja Ω o espa¸co amostral uniforme. Ent˜ao a probabilidade de

um evento A de Ω ´e definida como P(A) = #A

#Ω =

n´umero de elementos em A n´umero de elementos em Ω

Exemplo: No exemplo do lan¸camento de uma moeda, qual a

probabilidade de ocorrer cara?

Temos que

Ω = {cara, coroa} e A = {cara}. Logo,

P(A) = #A #Ω =

1 2 = 0, 5

(29)

Conceito cl´

assico de probabilidade

Exemplo: No exemplo do lan¸camento de duas moeda, qual a

probabilidade de ocorrer pelo menos uma cara?

Temos que

Ω = {(cara, cara), (cara, coroa), (coroa, cara), (coroa, coroa)} e

A = {(cara, cara), (cara, coroa), (coroa, cara)}. Logo,

P(A) = #A #Ω =

3

(30)

Conceito cl´

assico de probabilidade

Exemplo: No exemplo do lan¸camento de duas moeda, qual a

probabilidade de ocorrer pelo menos uma cara?

Temos que

Ω = {(cara, cara), (cara, coroa), (coroa, cara), (coroa, coroa)} e

A = {(cara, cara), (cara, coroa), (coroa, cara)}. Logo,

P(A) = #A #Ω =

3

(31)

Conceito cl´

assico de probabilidade

Exemplo: No exemplo do lan¸camento do dado, qual ´e a

probabilidade de ocorrer uma face com n´umero par?

• Temos que Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e A = {2, 4, 6}. Logo, P(A) = #A #Ω = 3 6 = 1 2 = 0, 5

• Qual ´e a probabilidade de ocorrer uma face com n´umero maior que 4? • Temos que B = {5, 6}. Logo, P(B) = #B #Ω = 2 6 = 1 3 = 0, 3333...

(32)

Conceito cl´

assico de probabilidade

Exemplo: No exemplo do lan¸camento do dado, qual ´e a

probabilidade de ocorrer uma face com n´umero par?

• Temos que Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e A = {2, 4, 6}. Logo, P(A) = #A #Ω = 3 6 = 1 2 = 0, 5

• Qual ´e a probabilidade de ocorrer uma face com n´umero maior que 4? • Temos que B = {5, 6}. Logo, P(B) = #B #Ω = 2 6 = 1 3 = 0, 3333...

(33)

Conceito cl´

assico de probabilidade

Exemplo: No exemplo do lan¸camento do dado, qual ´e a

probabilidade de ocorrer uma face com n´umero par?

• Temos que Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e A = {2, 4, 6}. Logo, P(A) = #A #Ω = 3 6 = 1 2 = 0, 5

• Qual ´e a probabilidade de ocorrer uma face com n´umero maior que 4? • Temos que B = {5, 6}. Logo, P(B) = #B #Ω = 2 6 = 1 3 = 0, 3333...

(34)

Conceito cl´

assico de probabilidade

Exemplo: No exemplo do lan¸camento do dado, qual ´e a

probabilidade de ocorrer uma face com n´umero par?

• Temos que Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e A = {2, 4, 6}. Logo, P(A) = #A #Ω = 3 6 = 1 2 = 0, 5

• Qual ´e a probabilidade de ocorrer uma face com n´umero maior que 4? • Temos que B = {5, 6}. Logo, P(B) = #B #Ω = 2 6 = 1 3 = 0, 3333...

(35)

Conceito cl´

assico de probabilidade

Exemplo: Em um grupo de 10 pacientes, 5 sofrem de um

determinado transtorno A, 3 sofrem de um determinado transtorno B e 2 sofrem de um determinado transtorno C

No grupo, nenhum paciente sofre de mais de um transtorno

• Suponha que um paciente seja selecionado ao acaso do grupo e observa-se quem ele ´e

O espa¸co amostral do experimento ´e ent˜ao

Ω = {A1, A2, A3, A4, A5, B1, B2, B3, C1, C2},

(36)

Conceito cl´

assico de probabilidade

Exemplo: Em um grupo de 10 pacientes, 5 sofrem de um

determinado transtorno A, 3 sofrem de um determinado transtorno B e 2 sofrem de um determinado transtorno C

No grupo, nenhum paciente sofre de mais de um transtorno • Suponha que um paciente seja selecionado ao acaso do grupo

e observa-se quem ele ´e

O espa¸co amostral do experimento ´e ent˜ao

Ω = {A1, A2, A3, A4, A5, B1, B2, B3, C1, C2},

(37)

Conceito cl´

assico de probabilidade

Exemplo: Em um grupo de 10 pacientes, 5 sofrem de um

determinado transtorno A, 3 sofrem de um determinado transtorno B e 2 sofrem de um determinado transtorno C

No grupo, nenhum paciente sofre de mais de um transtorno • Suponha que um paciente seja selecionado ao acaso do grupo

e observa-se quem ele ´e

O espa¸co amostral do experimento ´e ent˜ao

Ω = {A1, A2, A3, A4, A5, B1, B2, B3, C1, C2},

(38)

Conceito cl´

assico de probabilidade

Exemplo (cont.): Qual ´e a probabilidade do paciente

selecionado sofrer do transtorno A?

Seja A o evento correspondente ao paciente sofrer do

transtorno A. Assim,

P(A) = #A #Ω =

5

10 = 0, 5

De forma an´aloga, temos que

P(B) = 3

10 = 0, 3 e P(C ) = 2

(39)

Conceito cl´

assico de probabilidade

Exemplo (cont.): Qual ´e a probabilidade do paciente

selecionado sofrer do transtorno A?

Seja A o evento correspondente ao paciente sofrer do

transtorno A. Assim,

P(A) = #A #Ω =

5

10 = 0, 5

De forma an´aloga, temos que

P(B) = 3

10 = 0, 3 e P(C ) = 2

(40)

Conceito cl´

assico de probabilidade

Exemplo (cont.): Qual ´e a probabilidade do paciente

selecionado sofrer do transtorno A?

Seja A o evento correspondente ao paciente sofrer do

transtorno A. Assim,

P(A) = #A #Ω =

5

10 = 0, 5

De forma an´aloga, temos que

P(B) = 3

10 = 0, 3 e P(C ) = 2

(41)

Opera¸c˜

oes com eventos

Exemplo: No exemplo do lan¸camento do dado, qual evento

corresponde a ocorrer uma face com n´umero par ou ocorrer uma face com n´umero maior que 4?

Em outras palavras, qual evento corresponde a ocorrer pelo

menos um dos eventos: ocorrer uma face com n´umero par ou ocorrer uma face com n´umero maior que 4?

• Temos que o primeiro e segundo eventos s˜ao, respectivamente, A = {2, 4, 6} e B = {5, 6}

O evento de interesse ´e

C = {2, 4, 5, 6},

que pode ser escrito como auni˜aodos eventos A e B, ou seja, C = A ∪ B

(42)

Opera¸c˜

oes com eventos

Exemplo: No exemplo do lan¸camento do dado, qual evento

corresponde a ocorrer uma face com n´umero par ou ocorrer uma face com n´umero maior que 4?

Em outras palavras, qual evento corresponde a ocorrer pelo

menos um dos eventos: ocorrer uma face com n´umero par ou ocorrer uma face com n´umero maior que 4?

• Temos que o primeiro e segundo eventos s˜ao, respectivamente, A = {2, 4, 6} e B = {5, 6}

O evento de interesse ´e

C = {2, 4, 5, 6},

que pode ser escrito como auni˜aodos eventos A e B, ou seja, C = A ∪ B

(43)

Opera¸c˜

oes com eventos

Exemplo: No exemplo do lan¸camento do dado, qual evento

corresponde a ocorrer uma face com n´umero par ou ocorrer uma face com n´umero maior que 4?

Em outras palavras, qual evento corresponde a ocorrer pelo

menos um dos eventos: ocorrer uma face com n´umero par ou ocorrer uma face com n´umero maior que 4?

• Temos que o primeiro e segundo eventos s˜ao, respectivamente, A = {2, 4, 6} e B = {5, 6}

O evento de interesse ´e

C = {2, 4, 5, 6},

que pode ser escrito como auni˜aodos eventos A e B, ou seja, C = A ∪ B

(44)

Opera¸c˜

oes com eventos

De forma geral, o evento ocorrer o evento A ou ocorrer o evento B (ocorrer pelo menos um dos eventos: A ou B) corresponde `a uni˜ao dos eventos A e B

(45)

Opera¸c˜

oes com eventos

Exemplo: No exemplo do lan¸camento do dado, qual evento

corresponde a ocorrer uma face com n´umero par e ocorrer uma face com n´umero maior que 4?

• Em outras palavras, qual ´e a probabilidade de ocorrer uma face com n´umero par e maior que 4?

Novamente, temos que o primeiro e segundo eventos s˜ao,

respectivamente,

A = {2, 4, 6} e B = {5, 6}

O evento de interesse ´e

D = {6},

que pode ser escrito como a interse¸c˜ao dos eventos A e B, ou seja,

(46)

Opera¸c˜

oes com eventos

Exemplo: No exemplo do lan¸camento do dado, qual evento

corresponde a ocorrer uma face com n´umero par e ocorrer uma face com n´umero maior que 4?

• Em outras palavras, qual ´e a probabilidade de ocorrer uma face com n´umero par e maior que 4?

Novamente, temos que o primeiro e segundo eventos s˜ao,

respectivamente,

A = {2, 4, 6} e B = {5, 6}

O evento de interesse ´e

D = {6},

que pode ser escrito como a interse¸c˜ao dos eventos A e B, ou seja,

(47)

Opera¸c˜

oes com eventos

Exemplo: No exemplo do lan¸camento do dado, qual evento

corresponde a ocorrer uma face com n´umero par e ocorrer uma face com n´umero maior que 4?

• Em outras palavras, qual ´e a probabilidade de ocorrer uma face com n´umero par e maior que 4?

Novamente, temos que o primeiro e segundo eventos s˜ao,

respectivamente,

A = {2, 4, 6} e B = {5, 6}

O evento de interesse ´e

D = {6},

que pode ser escrito como ainterse¸c˜ao dos eventos A e B, ou seja,

(48)

Opera¸c˜

oes com eventos

De forma geral, o evento ocorrer o evento A e ocorrer o evento B (ocorrer os dois eventos: A e B) corresponde `a interse¸c˜ao dos eventos A e B

(49)

Opera¸c˜

oes com eventos

Exemplo: No exemplo do lan¸camento do dado, qual evento

corresponde a n˜ao ocorrer uma face com n´umero par?

Se o evento ocorrer uma face com n´umero par ´e

A = {2, 4, 6}, ent˜ao evento de interesse ´e

E = {1, 3, 5},

que pode ser denotado como o complementardo evento A, que denotaremos como

(50)

Opera¸c˜

oes com eventos

Exemplo: No exemplo do lan¸camento do dado, qual evento

corresponde a n˜ao ocorrer uma face com n´umero par?

Se o evento ocorrer uma face com n´umero par ´e

A = {2, 4, 6}, ent˜ao evento de interesse ´e

E = {1, 3, 5},

que pode ser denotado como o complementardo evento A, que denotaremos como

(51)

Opera¸c˜

oes com eventos

De forma geral, o evento n˜ao ocorrer o evento A corresponde ao seu complementar (“tudo em Ω que n˜ao ´e A”)

(52)

Eventos especiais

O evento Ω (espa¸co amostral) ´e chamadoevento certo

O evento ∅ (conjunto vazio) ´e chamado evento imposs´ıvelSe os eventos A e B s˜ao tais que

A ∩ B = ∅,

(53)

Eventos especiais

O evento Ω (espa¸co amostral) ´e chamadoevento certoO evento ∅ (conjunto vazio) ´e chamado evento imposs´ıvel

Se os eventos A e B s˜ao tais que

A ∩ B = ∅,

(54)

Eventos especiais

O evento Ω (espa¸co amostral) ´e chamadoevento certoO evento ∅ (conjunto vazio) ´e chamado evento imposs´ıvelSe os eventos A e B s˜ao tais que

A ∩ B = ∅,

(55)

Axiomas da probabilidade

Seja Ω um espa¸co amostral e seja A um evento de Ω. A probabilidade do evento A, P(A), satisfaz:

1 0 ≤ P(A) ≤ 1

2 P(Ω) = 1 (P(∅) = 0)

3 Se A e B s˜ao mutuamente exclusivos, ent˜ao P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

4 De forma geral, para eventos A1, A2, A3, . . . mutuamente

exclusivos dois a dois, a probabilidade da uni˜ao de todos os eventos ´e igual `a soma das probabilidades dos mesmos

(56)

Axiomas da probabilidade

Seja Ω um espa¸co amostral e seja A um evento de Ω. A probabilidade do evento A, P(A), satisfaz:

1 0 ≤ P(A) ≤ 1

2 P(Ω) = 1 (P(∅) = 0)

3 Se A e B s˜ao mutuamente exclusivos, ent˜ao P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

4 De forma geral, para eventos A1, A2, A3, . . . mutuamente

exclusivos dois a dois, a probabilidade da uni˜ao de todos os eventos ´e igual `a soma das probabilidades dos mesmos

(57)

Axiomas da probabilidade

Seja Ω um espa¸co amostral e seja A um evento de Ω. A probabilidade do evento A, P(A), satisfaz:

1 0 ≤ P(A) ≤ 1

2 P(Ω) = 1 (P(∅) = 0)

3 Se A e B s˜ao mutuamente exclusivos, ent˜ao P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

4 De forma geral, para eventos A1, A2, A3, . . . mutuamente

exclusivos dois a dois, a probabilidade da uni˜ao de todos os eventos ´e igual `a soma das probabilidades dos mesmos

(58)

Axiomas da probabilidade

Exemplo: Voltando ao exemplo dos pacientes, suponha agora

que um paciente seja selecionado ao acaso do grupo e observa-se de qual transtorno ele sofre

O espa¸co amostral do experimento ´e ent˜ao

Ω = {A,B,C}, correspondendo a cada um dos transtornos

Um modelo de probabilidade para o experimento ´e

Transtorno A B C

(59)

Axiomas da probabilidade

Exemplo: Voltando ao exemplo dos pacientes, suponha agora

que um paciente seja selecionado ao acaso do grupo e observa-se de qual transtorno ele sofre

O espa¸co amostral do experimento ´e ent˜ao

Ω = {A,B,C}, correspondendo a cada um dos transtornos

Um modelo de probabilidade para o experimento ´e

Transtorno A B C

(60)

Axiomas da probabilidade

Exemplo: Voltando ao exemplo dos pacientes, suponha agora

que um paciente seja selecionado ao acaso do grupo e observa-se de qual transtorno ele sofre

O espa¸co amostral do experimento ´e ent˜ao

Ω = {A,B,C}, correspondendo a cada um dos transtornos

Um modelo de probabilidade para o experimento ´e

Transtorno A B C

(61)

Axiomas da probabilidade

Exemplo (cont.): Sejam A, B e C os eventos correspondentes

ao paciente selecionado sofrer dos transtornos A, B e C, respectivamente

Qual ´e a probabilidade de um paciente sofrer dos transtornos

A e B?

Como nenhum paciente sofre de mais de um transtorno, A e

B s˜ao mutuamente exclusivos. Logo P(A ∩ B) = P(∅) = 0

(62)

Axiomas da probabilidade

Exemplo (cont.): Sejam A, B e C os eventos correspondentes

ao paciente selecionado sofrer dos transtornos A, B e C, respectivamente

Qual ´e a probabilidade de um paciente sofrer dos transtornos

A e B?

Como nenhum paciente sofre de mais de um transtorno, A e

B s˜ao mutuamente exclusivos. Logo P(A ∩ B) = P(∅) = 0

(63)

Axiomas da probabilidade

• Exemplo (cont.): Qual ´e a probabilidade de um paciente sofrer dos transtornos A ou B?

• Como A e B s˜ao mutuamente exclusivos, a probabilidade da uni˜ao ´e a probabilidade da soma, ou seja,

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 0, 5 + 0, 3 = 0, 8

Qual ´e a probabilidade de um paciente n˜ao sofrer do

transtorno A?

(64)

Axiomas da probabilidade

• Exemplo (cont.): Qual ´e a probabilidade de um paciente sofrer dos transtornos A ou B?

• Como A e B s˜ao mutuamente exclusivos, a probabilidade da uni˜ao ´e a probabilidade da soma, ou seja,

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 0, 5 + 0, 3 = 0, 8

Qual ´e a probabilidade de um paciente n˜ao sofrer do

transtorno A?

(65)

Axiomas da probabilidade

• Exemplo (cont.): Qual ´e a probabilidade de um paciente sofrer dos transtornos A ou B?

• Como A e B s˜ao mutuamente exclusivos, a probabilidade da uni˜ao ´e a probabilidade da soma, ou seja,

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 0, 5 + 0, 3 = 0, 8

Qual ´e a probabilidade de um paciente n˜ao sofrer do

transtorno A?

(66)

Axiomas da probabilidade

• Exemplo (cont.): Qual ´e a probabilidade de um paciente sofrer dos transtornos A ou B?

• Como A e B s˜ao mutuamente exclusivos, a probabilidade da uni˜ao ´e a probabilidade da soma, ou seja,

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 0, 5 + 0, 3 = 0, 8

Qual ´e a probabilidade de um paciente n˜ao sofrer do

transtorno A?

(67)

Probabilidade da uni˜

ao de eventos

Exemplo: Em uma popula¸ao, 50% das pessoas apresentam

uma determinada caracter´ıstica gen´etica A, 80% apresentam uma determinada caracter´ıstica gen´etica B e 40% apresentam as duas caracter´ısticas

Uma pessoa ´e escolhida ao acaso desta popula¸ao. Qual ´e a

probabilidade dela apresentar pelo menos uma caracter´ıstica?

• Sejam A e B os eventos correspondentes `a pessoa apresentar as caracter´ısticas A e B, respectivamente

Temos que

(68)

Probabilidade da uni˜

ao de eventos

Exemplo: Em uma popula¸ao, 50% das pessoas apresentam

uma determinada caracter´ıstica gen´etica A, 80% apresentam uma determinada caracter´ıstica gen´etica B e 40% apresentam as duas caracter´ısticas

• Uma pessoa ´e escolhida ao acaso desta popula¸c˜ao. Qual ´e a probabilidade dela apresentar pelo menos uma caracter´ıstica?

• Sejam A e B os eventos correspondentes `a pessoa apresentar as caracter´ısticas A e B, respectivamente

Temos que

(69)

Probabilidade da uni˜

ao de eventos

Exemplo: Em uma popula¸ao, 50% das pessoas apresentam

uma determinada caracter´ıstica gen´etica A, 80% apresentam uma determinada caracter´ıstica gen´etica B e 40% apresentam as duas caracter´ısticas

• Uma pessoa ´e escolhida ao acaso desta popula¸c˜ao. Qual ´e a probabilidade dela apresentar pelo menos uma caracter´ıstica?

• Sejam A e B os eventos correspondentes `a pessoa apresentar as caracter´ısticas A e B, respectivamente

Temos que

(70)

Probabilidade da uni˜

ao de eventos

Exemplo: Em uma popula¸ao, 50% das pessoas apresentam

uma determinada caracter´ıstica gen´etica A, 80% apresentam uma determinada caracter´ıstica gen´etica B e 40% apresentam as duas caracter´ısticas

• Uma pessoa ´e escolhida ao acaso desta popula¸c˜ao. Qual ´e a probabilidade dela apresentar pelo menos uma caracter´ıstica?

• Sejam A e B os eventos correspondentes `a pessoa apresentar as caracter´ısticas A e B, respectivamente

Temos que

(71)

Probabilidade da uni˜

ao de eventos

• Exemplo (cont.): Queremos calcular P(A ∪ B)

Assim,

(72)

Probabilidade da uni˜

ao de eventos

• Exemplo (cont.): Queremos calcular P(A ∪ B)

Assim,

(73)

Probabilidade da uni˜

ao de eventos

• Exemplo (cont.): Queremos calcular P(A ∪ B)

Assim,

(74)

Probabilidade da uni˜

ao de eventos

• Exemplo (cont.): Queremos calcular P(A ∪ B)

Assim,

(75)

Probabilidade da uni˜

ao de eventos

Exemplo (cont.): Os eventos A e B n˜ao s˜ao mutuamente

exclusivos; portanto a probabilidade da uni˜ao n˜ao ´e simplesmente a soma das probabilidades

(76)

Probabilidade da uni˜

ao de eventos

(77)

Probabilidade da uni˜

ao de eventos

(78)

Probabilidade da uni˜

ao de eventos

(79)

Probabilidade da uni˜

ao de eventos

(80)

Probabilidade da uni˜

ao de eventos

• Exemplo (cont.): A probabilidade de uma pessoa apresentar pelo menos uma caracter´ıstica ´e, portanto,

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 0, 5 + 0, 8 − 0, 4 =0, 9

Esta ´e a regra geral para calcularmos a probabilidade da uni˜ao

de dois eventos

No caso de eventos mutuamente exclusivos, a regra tamb´em

vale, pois ter´ıamos

(81)

Probabilidade da uni˜

ao de eventos

• Exemplo (cont.): A probabilidade de uma pessoa apresentar pelo menos uma caracter´ıstica ´e, portanto,

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 0, 5 + 0, 8 − 0, 4 =0, 9

Esta ´e a regra geral para calcularmos a probabilidade da uni˜ao

de dois eventos

No caso de eventos mutuamente exclusivos, a regra tamb´em

vale, pois ter´ıamos

(82)

Probabilidade do complementar de um

evento

Exemplo (cont.): Qual ´e a probabilidade da pessoa

selecionada n˜ao apresentar a caracter´ıstica A?

• A regra, neste caso, ´e simples e intuitiva:

(83)

Probabilidade do complementar de um

evento

Exemplo (cont.): Qual ´e a probabilidade da pessoa

selecionada n˜ao apresentar a caracter´ıstica A?

• A regra, neste caso, ´e simples e intuitiva:

(84)

Probabilidade de outros eventos

Exemplo (cont.): Qual ´e a probabilidade da pessoa selecionada n˜ao apresentar nenhuma caracter´ıstica?

(85)

Probabilidade de outros eventos

Exemplo (cont.): Qual ´e a probabilidade da pessoa selecionada n˜ao apresentar nenhuma caracter´ıstica?

(86)

Outros c´

alculos de probabilidade

Exemplo (cont.): Qual ´e a probabilidade da pessoa selecionada apresentar somente a caracter´ıstica A?

(87)

Outros c´

alculos de probabilidade

Exemplo (cont.): Qual ´e a probabilidade da pessoa selecionada apresentar somente a caracter´ıstica A?

(88)

Outros c´

alculos de probabilidade

Exemplo (cont.): Qual ´e a probabilidade da pessoa selecionada apresentar somente uma das caracter´ısticas?

P(A ∩ BC) ∪ (AC ∩ B)= P(A ∪ B) − P(A ∩ B) = 0, 9 − 0, 4 = 0, 5

Referências

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