INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO DO ESPÍRITO SANTO
MESTRADO PROFISSIONAL EM EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
CAMILA MARIA DIAS PAGUNG
CONSTRUÇÃO DO CONCEITO DE FUNÇÃO EM UM AMBIENTE DE MODELAGEM MATEMÁTICA: ESTUDO DA RENDA DE UMA ASSOCIAÇÃO DE
RECICLAGEM DE RESÍDUOS SÓLIDOS
Vitória 2016
CONSTRUÇÃO DO CONCEITO DE FUNÇÃO EM UM AMBIENTE DE MODELAGEM MATEMÁTICA: ESTUDO DA RENDA DE UMA ASSOCIAÇÃO DE
RECICLAGEM DE RESÍDUOS SÓLIDOS
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Educação em Ciências e Matemática do Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Vitória, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Educação em Ciências e Matemática.
Orientador:
Prof. Dr. Oscar Luiz Teixeira de Rezende
Vitória 2016
(Biblioteca Nilo Peçanha do Instituto Federal do Espírito Santo) P139c Pagung, Camila Maria Dias.
Construção do conceito de função em um ambiente de modelagem matemática: estudo da renda de uma associação de reciclagem de resíduos sólidos / Camila Maria Dias Pagung. – 2016.
131 f. : il. ; 30 cm
Orientador: Oscar Luiz Teixeira de Rezende. Coorientador: Luciano Lessa Lorenzoni.
Dissertação (mestrado) – Instituto Federal do Espírito Santo, Programa de Pós-graduação em Educação em Ciências e Matemática, Vitória, 2016.
1. Matemática - Estudo e ensino. 2. Funções (Matemática). 3. Modelos matemáticos. 4. Catadores de lixo – Guarapari (ES). I. Rezende, Oscar Luiz Teixeira de. II. Lorenzoni, Luciano Lessa. III. Instituto Federal do Espírito Santo. IV. Título.
Declaro, para fins de pesquisa acadêmica, didática e técnico-científica, que esta Dissertação pode ser parcialmente utilizada, desde que se faça referência à fonte e ao autor.
Ao meu querido Rodrigo, amigo e companheiro em todos os momentos.
no momento de chegada.
A minha família, especialmente minha mãe Thereza, que entendeu minhas ausências e me motivou a chegar até aqui. Ao meu saudoso pai que muito se alegraria com mais uma vitória.
Ao meu prezado orientador Oscar Luiz Teixeira de Rezende que, embora contasse com meu pessimismo, sempre buscava alternativas para motivar-me a seguir adiante. O seu otimismo me fez refletir sobre a importância da motivação no desenvolvimento do aluno. Também agradeço por me fazer conhecer a Modelagem Matemática e aprofundar meus estudos. Com seu auxílio pude percorrer caminhos nunca imaginados. Ao meu coorientador Luciano Lessa Lorenzoni que veio contribuir com nosso trabalho e me fez refletir mais sobre minha prática e investigação. Meus sinceros agradecimentos a vocês, meus orientadores, pela paciência.
Aos professores do Educimat, pela oportunidade e por compartilharem comigo seu conhecimento, especialmente, à professora Maria Alice Veiga Ferreira de Souza que me apresentou de maneira tão brilhante a teoria de Vygotski, seus estudos e pesquisas. Sua atitude tão singela contribuiu de maneira muito significativa em minha vida acadêmica e profissional. Ao pedagogo Alessandro Poleto, tão atencioso e disposto a resolver todos os problemas.
Aos colegas da turma 2013/2 do Educimat pelos momentos de aprendizagem, debates e congressos. Especialmente à grande amiga Flávia Nessrala que desde o processo seletivo para o Mestrado me incentivou a prosseguir; que durante o curso foi companheira nos trabalhos e, diante das dificuldades, quando a insegurança ascendia, ajudou-me a superá-las. Foi um prazer conhecer pessoas tão queridas.
Aos caros alunos da E.M.E.I.E.F. “Professora Maria Luíza Flores”, cuja participação permitiu que esta pesquisa acontecesse.
Ao Estado do Espírito Santo, por me conceder afastamento para os estudos do Mestrado.
Ao Município de Anchieta, por possibilitar liberação para minha participação em congressos que contribuíram em meu aprendizado e conclusão do curso.
Ao meu esposo e companheiro Rodrigo, pelo apoio constante e compreensão em todos os momentos superados no Mestrado e pelo incentivo em alçar voos mais altos.
Uma palavra que não representa uma ideia é uma coisa morta, da mesma forma que uma ideia não incorporada em palavras não passa de uma sombra. (Vygotski, 2002)
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO DO ESPÍRITO SANTO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
RESUMO
Pesquisas em Educação Matemática revelam a necessidade de abordar conteúdos matemáticos de maneira mais crítica e reflexiva a fim de possibilitar o desenvolvimento das potencialidades dos estudantes e tornar o processo de ensino e aprendizagem mais interessante. O presente estudo investigou as contribuições da Modelagem Matemática para a construção do conceito de função, fundamentado na teoria histórico-cultural de Vygotski e observando-se os pressupostos da Educação Matemática Crítica. Para explorar a atividade de Modelagem foi construído, interdisciplinarmente, um ambiente de aprendizagem sob a concepção de Barbosa, destacando uma reflexão sobre a ideologia do consumo e a importância da reciclagem como alternativa para minimizar os impactos da geração de lixo, demonstrando sua relação com a aferição de renda a partir da atividade econômica de uma associação de catadores de resíduos sólidos do município de Guarapari, no Estado do Espírito Santo. Como instrumentos de análise dos dados da pesquisa foram utilizados questionário, entrevista coletiva por meio de grupo de discussão e observações da pesquisadora em triangulação, cujos resultados mostraram indícios de aprendizagem do tema na perspectiva dos referenciais utilizados. Como produto educacional, foi construído um guia didático para o ensino do conceito de funções, que pode oferecer aos professores e alunos a oportunidade de interagir e construir conhecimentos a partir de uma situação concreta presente no cotidiano, desenvolvida em um ambiente de Modelagem Matemática.
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO DO ESPÍRITO SANTO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
ABSTRACT
Researches in mathematical education reveal the need to approach mathematical subjects in a more critical and reflective way in order to enable the development of students’s potencialities and make the teaching and learning process more interesting. This study investigated the contributions of Mathematical Modeling to build the concept of function, based on Vygotsky’s historical-cultural theory observed the assumptions of Critical Mathematics Education. To explore the modeling activity a learning environment was built interdisciplinary based on Barbosa’s conception, highlighting the reflection on the ideology of consumption and the importance of recycling as alternative an to minimize the impacts of waste of generation. Demonstrating its relationship to scouting income from the economic activity of an association of waste pickers in the city of Guarapari, Espirito Santo. As tools for the survey data analysis were used questionnaire, conference through group discussion and observations of researcher in triangulation, whose results showed theme's learning evidence in view of the references used. As educational product, it was built a didactic guide for teaching the concept of functions, which can offer teachers and students the opportunity to interact and build knowledge from the concrete situation this in daily life, developed into a mathematical modeling environment.
FIGURA 1 - Ciclo de Modelagem de Blum e Leib (2005) ... 40
FIGURA 2 – Pontos de convergência entre a Modelagem Matemática e a Teoria Histórico-Cultural..42
FIGURA 3 – Transição de registros: da representação verbal para representação analítica...76
FIGURA 4 – Transição de registros: representação verbal (aritmética/algébrica)...76
FIGURA 5 – Mudança de registro: da representação tabular para algébrica...77
FIGURA 6 – Percentual das respostas obtidas na assertiva 1 do questionário...79
FIGURA 7 – Percentual das respostas obtidas nas assertivas 2 do questionário...80
FIGURA 8 – Percentual das respostas obtidas na assertiva 3 do questionário...81
FIGURA 9 – Percentual das respostas obtidas nas assertivas 4 e 5 do questionário...85
FIGURA 10 – Registro tabular das primeiras ideias de função...88
FIGURA 11 – Representação algébrica da renda da associação realizada por um aluno...91
FIGURA 12 – Determinação do domínio e imagem da função estudada...93
FIGURA 13 – Percentual das respostas obtidas na assertiva 6 do questionário...94
FIGURA 14 – Conversão de representação gráfica para tabular...96
FIGURA 15 – Representação dos alunos ao questionamento “a” da atividade 3...98
FIGURA 16 – Representação dos alunos ao questionamento “a” da atividade 4...100
FIGURA 17 - Percentual das respostas obtidas nas assertivas 7 e 8 do questionário...101
FIGURA 18 - Percentual das respostas obtidas na assertiva 9 do questionário...106
LISTA DE QUADROS
QUADRO 1 – Ambientes de aprendizagem (Skovsmose, 2000, p. 8) ...28 QUADRO 2 – Organização da atividade de Modelagem conforme o grau de autonomia dos alunos no
processo (Barbosa, 2001a, p. 40; 2009 p. 22) ...38 QUADRO 3 – Parâmetros da pesquisa associados aos critérios para uma atividade de Modelagem ...54 QUADRO 4 – Relação das questões da entrevista com os parâmetros adotados ...54 QUADRO 5 – Roteiro da entrevista agrupado em blocos de avaliação da atividade de Modelagem....56 QUADRO 6 – Síntese da metodologia da pesquisa...57 QUADRO 7 – Sequência didática formulada...68
1.1 QUESTÃOORIENTADORADAPESQUISA ... 18
1.2 OBJETIVOS ... 18
1.2.1 Objetivo Geral ... 18
1.2.2 Objetivos específicos no percurso da pesquisa ... 18
1.3 ORGANIZAÇÃODOESTUDO ... 18
2 FUNDAMENTOS TEÓRICOS ... 20
2.1 DATEORIAHISTÓRICO-CULTURALDEVYGOTSKI ... 20
2.2 DAEDUCAÇÃOMATEMÁTICACRÍTICA ... 24
2.3 DAMODELAGEMMATEMÁTICA ... 30
2.4 DOCICLODEMODELAGEMDEBLUMELEIΒ... 39
2.4.1 O Ciclo de Modelagem de Blum e Leiβ e sua relação com a Teoria Histórico-Cultural de Vygotski ... 41
2.5 DOCONCEITODEFUNÇÃO ... 44
2.6 AMODELAGEMMATEMÁTICACOMOALTERNATIVAPARAOENSINODE FUNÇÃO:UMAREFLEXÃOACERCADEPESQUISASREALIZADAS ... 46
3 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS ... 51
3.1 OESTUDO ... 51
3.1.1 Observações presentes no diário de bordo ... 52
3.1.2 O questionário ... 53
3.1.3 Entrevista semiestruturada ... 55
3.2 LOCALDAPESQUISA ... 59
3.3 CARACTERIZAÇÃODOSSUJEITOSDAPESQUISA ... 60
3.3.1 Da classe acompanhada ... 61
3.3.2 Das docentes colaboradoras ... 62
3.3.3 Da Associação como espaço de Educação não formal ... 63
3.3.4 Da atividade ... 64
3.4 DASEQUÊNCIADIDÁTICAPROPOSTA ... 66
4 DAS ANÁLISES ... 74
4.1 ENVOLVIMENTO COM A ATIVIDADE ... 74
5 CONSIDERAÇÕESFINAIS ... 109
REFERÊNCIAS ... 116
ANEXOA-AUTORIZAÇÃO CONDICIONADA DA INSTITUIÇÃO ESCOLAR ... 122
APÊNDICEA- QUESTIONÁRIO DE AVALIAÇÃO DA ATIVIDADE ... 123
APÊNDICEB- SEQUÊNCIA DIDÁTICA PARA ENSINO-APRENDIZAGEM DE FUNÇÃO ... 124
1 INTRODUÇÃO
Questionamentos acerca da necessidade do estabelecimento de novas práticas pedagógicas têm se tornado cada vez mais frequentes, de modo que se faz cogente que a Educação Matemática seja mais crítica, reflexiva e acessível aos sujeitos da aprendizagem. A minha experiência, que se aproxima de 20 anos de trabalho docente em instituições da rede pública de ensino do Estado do Espírito Santo, ratificada por trabalhos publicados por importantes autores (SKOVSMOSE, 2000; MATTOS; PEREIRA; ALBUQUERQUE, 2011; BARBOSA, 2003; SILVA, 2013; SCHÖNARDIE, 2011; ROSA; OREY, 2012), permite constatar que ainda existem profissionais que desenvolvem práticas pedagógicas que valorizam, principalmente, o ensino da Matemática centrado na transmissão massiva de conteúdos, cujas aulas se restringem a explicações seguidas de listas de exercícios voltadas para a memorização, sem a devida preocupação com o desenvolvimento do pensamento autônomo e crítico. Freire (2011) questionava práticas semelhantes quando se referia ao processo de educação bancária, que transformava os estudantes em indivíduos autômatos, meros depositários de conhecimentos científicos.
Com a ascensão da Educação Matemática, a cultura produzida pelo ensino da Matemática nas escolas não pode ser confundida com aquela desenvolvida pelos matemáticos na academia. É uma cultura que, no entendimento de Miguel (2005), passa a ser vista como um sistema normativo e público de signos estruturados através da produção matemática realizada por diferentes comunidades, como a de educadores matemáticos, e não apenas pela comunidade de matemáticos profissionais.
Sob esse enfoque, o professor deve orientar seu trabalho cotidiano, observando como a prática social pode contribuir para o ensino e a aprendizagem da Matemática, considerada por décadas uma ciência pura, universal, absoluta e neutra, não sujeita a intervenções do meio e tampouco da interação entre os sujeitos do processo.
Nesse cenário, a escola deve criar ambientes de aprendizagem que transformem o ensino do saber erudito em instrumentos de educação voltados para a solução de problemas sociais. Diante dessa realidade, Chervel trata a escola como
(...) um lugar de produção de cultura, de uma cultura escolar, de conteúdos de ensino, de “disciplinas”. É preciso, portanto, apresentar outro quadro teórico no qual se possa conceber a escola como criadora de “conteúdos culturais”. Mas é preciso, antes de mais nada, delimitar o domínio: aquele em que os ensinamentos são “disciplinas”, isto é, conteúdos direcionados às crianças ou aos adolescentes em um processo que não é somente um processo de instrução, mas também de educação (CHERVEL, 1992, p. 197 apud MIGUEL, 2005, p. 144-145).
À vista disso, esta pesquisadora observou, enquanto professora, que além das dificuldades habituais na aprendizagem de cada aluno, como a carência na compreensão e na interpretação de problemas e ausência de competências e habilidades mínimas das séries iniciais do Ensino Fundamental, há conteúdos matemáticos cuja dificuldade é mais acentuada, dentre os quais, destacamos o conteúdo de função.
Embora seja um assunto bastante presente na realidade, apontado em diversas situações do cotidiano, se constituindo, pois, numa poderosa ferramenta para o estudo dos mais diversos fenômenos naturais e humanos, os alunos, muitas vezes, apresentam dificuldades na compreensão de aspectos do conceito, na transição entre as formas de representação (escrita, gráfica e analítica) e em relacionar o conteúdo a fatos da vida real. Tais limitaçõesprejudicam a assimilação do tema, grande preocupação de muitos educadores reverterem quadros análogos.
Trindade (1996) adverte, em análise epistemológica, que a introdução do conceito de função como conjunto de pares ordenados ou como caso particular de relação não parece a melhor opção no campo didático. Isso porque - corroboro com o autor -, ignora as razões que determinaram o surgimento do conceito e, conforme Caraça (1958) o descreve de maneira peculiar. Em outras palavras, para os autores, o estudo de função deve estar vinculado à necessidade de analisar fenômenos, descrever regularidades, interpretar interdependências e generalizar.
Observando-se as carências entre os estudantes em relação à aprendizagem de funções e as dificuldades de professores em promover com eficácia o seu ensino, acreditamos ser necessário o desenvolvimento de alternativas pedagógicas que possibilitem o ensino e a aprendizagem dessa temática com base na dimensão relatada por Caraça (1958) e conforme apontam diversas pesquisas (VENÂNCIO, 2010; REZENDE; LORENZONI, 2013; SILVA, 2013; RODRIGUES, 2007; ALQUIMIN; PAIVA, 2013; SCHÖNARDIE, 2011; SILVA, 2011;
DELGADO, 2010; ABREU, 2011), a fim de não corromper as ideias iniciais que visavam estabelecer relações entre as grandezas envolvidas.
Nesse sentido, aulas baseadas nos pressupostos da Educação Matemática Crítica - diálogo, reflexão crítica e democracia - têm se mostrado uma opção viável na tentativa de superar o ensino estritamente tradicional da Matemática, pois esse viés imprime uma forte preocupação com a função social da Educação Matemática, numa afirmativa de que ela deve estar voltada para o cumprimento do currículo oficial, observando-se o contexto sociocultural em que o indivíduo está inserido.
À Educação Matemática Crítica atribui-se uma competência democrática e reflexiva: nela, os alunos assumem o papel de participantes na consolidação de uma aprendizagem voltada para a compreensão e a leitura do mundo, baseadas em experiências que consideram interessantes e relevantes ao processo educativo.
O ensino de função sob esse enfoque mostra-se promissor, uma vez que orienta o trabalho cotidiano do professor pela perspectiva da observação de como a prática social pode contribuir para a construção conceitual do tema e requer a adoção de práticas pedagógicas mais reflexivas e voltadas para a compreensão da realidade.
Groenwald et al (2004) ressaltam que a Educação Matemática vem desenvolvendo concepções de ensino e aprendizagem que têm encontrado grande receptividade entre os educadores matemáticos e que atendem aos pressupostos da Educação Matemática Crítica supramencionados. Dentre essas tendências contemporâneas, destacam-se
[...] o ensino da Matemática pela sua própria gênese, a Educação Matemática orientada pela resolução de problemas, o ensino da Matemática orientado por objetivos formativos, Educação Matemática do ponto de vista das aplicações e da modelagem, ensino baseado em projetos, ensino e aprendizagem baseado em planos semanais, a aprendizagem livre e, finalmente, a Educação Matemática com recurso da informática. Essas concepções estão muitas vezes relacionadas umas com as outras e podem ser aplicadas indistintamente pelos professores durante o desenvolvimento de atividades de ensino e aprendizagem ao longo do ano escolar (GROENWALD; SILVA; MORA, 2004, p. 38).
Especificamente, a Modelagem Matemática tem se mostrado uma alternativa com possibilidades de tornar o ensino da Matemática mais próximo do contexto em que está inserido o aluno, haja vista que transforma “situações da realidade em problemas matemáticos cujas soluções devem ser interpretadas na linguagem usual” (BASSANEZI, 2006).
Diversos autores descrevem o desenvolvimento de uma atividade de Modelagem a partir de ciclos, englobando um conjunto de fases ou etapas. De modo geral, todos os ciclos, de uma forma ou de outra, contêm três fases comuns: a tradução de um problema para um modelo matemático; a solução do problema matemático e; a interpretação da solução para o contexto original do problema. Dentre os diversos ciclos pesquisados, optamos por utilizar o ciclo de Modelagem proposto por Blum e Leiβ (2005), em razão de seu caráter orientador que, em nossa avaliação, pode ser considerado metodologicamente mais apropriado ao sujeito que pretende iniciar um trabalho voltado para o ensino da Matemática por meio dessa proposta. Logo, o uso do ciclo, ainda que não seja uma regra engessada, possibilita conduzir didaticamente o trabalho do docente que apresenta pouca ou nenhuma experiência com práticas de Modelagem.
Isso posto, apresenta-se uma pesquisa em Educação Matemática que almejou investigar o processo de aprendizagem do conceito de funções e que teve por consequência a construção de um ambiente de Modelagem1. O universo deste trabalho foi constituído pelos alunos do 9° ano da Escola Municipal de Educação Infantil e Ensino Fundamental Professora Maria Luiza Flores, em que se investigou, de maneira interdisciplinar, a realidade de uma associação de reciclagem de resíduos sólidos no município de Guarapari, no Estado do Espírito Santo, promovendo a realização de um estudo de sua renda mensal, atividade que, em nosso entendimento, proporcionou situações que possibilitaram aos estudantes estabelecer relações entre o problema real e o modelo construído, resultando no estudo de função.
Cumpre ressaltar que a escolha da instituição de ensino e dos sujeitos envolvidos justificou-se em razão de serem esses, respectivamente, o espaço onde e o público com o qual a pesquisadora desenvolve suas atividades laborativas, o que lhe favorece, uma vez que mantém um relacionamento afetivo bem consolidado com os sujeitos da aprendizagem. Entendemos que essa aproximação poderia promover maiores possibilidades de êxito no trabalho a ser realizado.
1.1 QUESTÃO ORIENTADORA DA PESQUISA
Pretendia-se, a partir da análise das informações coletadas no percurso da pesquisa, encontrar subsídios que possibilitem responder à seguinte questão: Em que medida a atividade de Modelagem Matemática, tendo como pressupostos os princípios orientadores da Educação Matemática Crítica, contribui para a construção do conceito de funções?
1.2 OBJETIVOS 1.2.1 Objetivo Geral
O objetivo deste estudo foi investigar as possíveis contribuições da Modelagem Matemática à construção do conceito de função, a partir dos princípios orientadores da Educação Matemática Crítica.
1.2.2 Objetivos específicos no percurso da pesquisa
Construir um ambiente interdisciplinar de aprendizagem que possibilitasse o uso da Modelagem Matemática como forma de intervir na construção do conceito de função;
Identificar as contribuições e os obstáculos que forem encontrados com o uso da Modelagem Matemática no processo de construção do conceito de função por parte dos alunos e do professor;
Produzir um guia didático voltado para a construção do conceito de função, observando os pressupostos da Educação Matemática Crítica.
1.3 ORGANIZAÇÃO DO ESTUDO
A organização deste estudo compreende cinco capítulos. Neste primeiro capítulo, ressaltou-se a pertinência do tema, a questão norteadora e os objetivos desta investigação.
No segundo capítulo, foram abordados os principais aspectos sob o ponto de vista teórico: a teoria histórico-cultural de Vygotski e suas contribuições para o avanço das pesquisas referentes ao processo de ensino e aprendizagem; a Educação Matemática Crítica e; a
Modelagem Matemática como proposta didática com possibilidades de atender aos ditames da Educação Matemática Crítica. Destacou-se, ainda, nesse capítulo, a importância do conceito de função para a Matemática e para outras Ciências expondo, em linhas gerais, alguns dos principais obstáculos que, na visão de Sierpinska (1992), dificultam a compreensão desse assunto. Apresentamos, também, como outras pesquisas têm discutido a mesma temática.
O capítulo 3 abordou os procedimentos metodológicos utilizados, as técnicas de coleta de dados e as principais ações almejadas. Caracterizamos, também, o local onde se realizaram os trabalhos e os colaboradores da ação. Apresentamos, em linhas gerais, a atividade realizada, justificando a escolha do tema e o processo de construção do produto educacional da pesquisa, considerando o trabalho interdisciplinar desenvolvido com fundamento nos critérios estabelecidos por Zabala (1998) e voltados para a diversidade.
Apresentamos, no capítulo 4, atentando-se aos critérios de Barbosa (2004), as discussões e as análises que ressaltaram a conveniência de uma atividade de Modelagem Matemática em sala de aula.
2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS
2.1 DA TEORIA HISTÓRICO-CULTURAL DE VYGOTSKI
Esta pesquisa teve como um de seus pressupostos teóricos a Teoria Histórico-Crítico-Social, mais conhecida como sociointeracionista, formulada por Lev Semionovich Vygotski, da década de 1930. Seus trabalhos teóricos e suas pesquisas empíricas declinaram pelas questões semióticas, relativas à estrutura e às funções dos signos, símbolos e imagens, voltadas para uma concepção histórico-cultural do desenvolvimento humano, por sua vez fundada no estudo da consciência e do psiquismo, produtos de uma gênese social e cultural.
Vygotski (1991) encarou o desenvolvimento como processo histórico, fruto de uma dinâmica interna complexa em que as relações sociais se transformam em novas funções psíquicas graças à sua interiorização e adotou o conceito de mediação instrumental no qual é no mundo social que se situa a origem da consciência e das funções psíquicas superiores tais como memória, atenção voluntária e linguagem, defendendo, efetivamente, a ideia de que não se pode explicar as funções psíquicas superiores reduzindo-as a processos elementares.
Do mesmo modo, para o pesquisador, pensamento e consciência não constituem características puramente internas, já que são elaborados a partir de atividades externas e objetivas, realizando-se em determinado ambiente social.
Na concepção de Vygotski (2002), atividade é a ligação entre o mundo externo e a pessoa e não mera adaptação ao meio. É uma verdadeira transformação do meio pelo ser humano, na qual ele transforma a si próprio. A atividade se concretiza pela mediação de instrumentos, isto é, símbolos e signos, como a linguagem, chamados por ele de instrumentos psicológicos. O uso de signos conduz os seres humanos a uma estrutura específica de comportamento que se destaca do desenvolvimento biológico e cria novas formas de processos psicológicos, enraizados na cultura.
Constitui-se, desta forma, a natureza social do pensamento: permitir, através de interações sociais, que ferramentas semióticas possam interiorizar-se e modificar a organização e o funcionamento do pensamento.
Em suas pesquisas, Vygotski (1991) sustentava que todo conhecimento é construído socialmente, no âmbito das relações humanas. Isto implica dizer que a interação existente entre os sujeitos do processo de ensino e aprendizagem2, - sob a mediação do professor, que buscará meios de alcançar seu aluno -, favorecerá o desenvolvimento da linguagem e de funções mentais superiores que atingirão a maturação através do aprendizado realizado em ambiente formal, que possibilitará o desenvolvimento dos processos internos do indivíduo.
A construção do conhecimento é complexa, resultado de um prolongado processo de evolução psicológica. Assim, a aquisição de nova bagagem cognitiva por parte do sujeito ocorre por meio da interação deste com o meio físico e cultural em que está inserido, mediado por ferramentas culturais, que facilitarão seu desenvolvimento psíquico e social.
Essa mediação compreende os mecanismos de intervenção nas relações diretas entre os indivíduos e o meio, podendo ocorrer por meio de instrumentos na transformação e no controle da natureza, e de signos, como ferramentas de natureza semiótica, incorporados à atividade psicológica do indivíduo (OLIVEIRA, 1993).
Ressalte-se que muitas vezes, para a consolidação dos processos de internalização do aprendiz, do plano real para o simbólico, é de essencial relevância a intervenção do ensinante e a existência de interação social, que viabilizarão o funcionamento dessas ferramentas através de uma atividade significativa, possibilitando internalização gradativa e reestruturação das formas primitivas de pensamento.
Este, que por sua vez atua, a priori, apenas na resolução de problemas do mundo concreto, juntamente com a linguagem, inicialmente restrita à função de intercâmbio social, apesar de terem gêneses diferentes, alcança um estágio de convergência, considerado o aspecto mais substancial no desenvolvimento psicológico do indivíduo,
[...] o momento de maior significado no curso do desenvolvimento intelectual, que dá origem às formas puramente humanas de inteligência prática e abstrata, acontece quando a fala e a atividade prática, então duas linhas completamente independentes de desenvolvimento, convergem (VYGOTSKI, 1991, p. 21).
2 Consideramos sujeitos do processo de ensino e aprendizagem, alunos, professores e todos aqueles que contribuem para o desenvolvimento do processo.
Esse processo de elevada relevância para o desenvolvimento e a aprendizagem sofre intermediação dos demais elementos sociais presentes no cotidiano do sujeito, mais amadurecido psicologicamente e portador de linguagem e pensamento mais estruturados.
Nesse ínterim, é necessário que sejam estabelecidas redes de desenvolvimento cognitivo através do contato ou no envolvimento com indivíduos de níveis de aprendizagem diferentes, a fim de alcançar novos patamares de aprendizagem. Essa transposição ocorre à medida que a educação favorece a apropriação de ferramentas culturais capazes de ativar o desenvolvimento do aprendiz, estabelecendo relações dinâmicas entre aprendizado e desenvolvimento.
Para Vygotski (1991, p. 62), “aprendizado não é desenvolvimento; entretanto adequadamente organizado, resulta em desenvolvimento mental e põe em movimento vários processos de desenvolvimento que, de outra forma, seriam impossíveis de acontecer”. Cada situação de aprendizado tem uma história prévia, por isso a importância de se observar o contexto em que o indivíduo está inserido, a fim de lhe proporcionar uma aprendizagem com significado.
E complementa que, diferentemente do que muitos admitem, “o aprendizado escolar produz algo fundamentalmente novo no desenvolvimento da criança. [...] O aprendizado deve ser combinado de alguma maneira com o nível de desenvolvimento da criança” (VYGOTSKI, 1991, p. 58).
O que Vygotski (1991) vem nos alertar diz respeito à existência de dois níveis de desenvolvimento que aflorarão em algum momento da formação psicológica do indivíduo, conforme os processos de interação social nos quais estarão envolvidos.
O primeiro é o nível de desenvolvimento real, presente no “desenvolvimento das funções mentais da criança que se estabeleceram como resultado de certos ciclos de desenvolvimento já completados”. Trata-se das “funções que já amadureceram, ou seja, os produtos finais do desenvolvimento” (VYGOTSKI, 1991, p. 58-59).
O segundo é o nível de desenvolvimento potencial, “determinado através da solução de problemas sob a orientação de um adulto ou em colaboração com companheiros mais capazes” (VYGOTSKI, 1991, p. 59).
Explica, ainda, que entre essas duas regiões encontram-se aquelas “funções que ainda não amadureceram, mas que estão em processo de maturação, funções que amadurecerão, mas que estão presentemente em estado embrionário” (VYGOTSKI, 1991, p. 59-60). A essas funções, nomeou zona de desenvolvimento proximal, importante instrumento para entender o curso interno do desenvolvimento do indivíduo.
O nível de desenvolvimento do sujeito, sob a intervenção cultural do meio, em especial, do ambiente escolar, permite potencializar o desenvolvimento do indivíduo. A abordagem do professor nesse processo pode levar o aluno a ter papel mais ativo, criando uma cultura de participação, estimulando atividades conjuntas, partilha de conhecimentos e trabalho em grupo, de modo a promover o diálogo crítico e construtivo.
O progresso cognitivo do aprendiz observa o seu nível de desenvolvimento, que não ocorre de forma equânime em todos os indivíduos do mesmo meio social, mas vai sendo determinado na proporção em que se tornam capazes de superar os problemas, em que passam a resolvê-los por meio da utilização da mediação participativa. A possibilidade de o indivíduo evoluir suas funções mentais será tão determinante quanto o nível de apoio recebido em seu processo educativo.
Isso não minimiza o papel do educando que para consolidar a construção de suas estruturas mentais terá que compreender o próprio pensamento, de seus pares e mediadores, inseridos em um contexto sociocultural, a fim de refletir sobre seus próprios procedimentos. Por esse fato, a dimensão social da aprendizagem não se reduz apenas às interações interpessoais, pois todo conhecimento é socialmente situado e não pode se dissociar da cultura em que está inserido, tampouco das ferramentas de que dispõe (GAUTHIER; TARDIFF, 2013). Logo, não se podem isolar os conhecimentos dos contextos em que foram elaborados, bem como separar sua abordagem dos aspectos em que estão situados.
Nesse sentido, Vygotski (1991) explica que a aprendizagem deve ser social e individualmente significativa, a fim de possibilitar ao educando atingir níveis de desenvolvimento mais elevados. A escola, por consequência, deve ser concebida como um ambiente em que a aprendizagem se desenvolva em clima de cooperação recíproca.
Postal (2009) destaca a necessidade de uma aprendizagem com significado e formativa e, para tanto, requer ação e reflexão do aprendiz e não pode ocorrer em um ambiente que obste o aluno de se manifestar e interagir com seus pares. Deve, portanto, revelar-se em meio democrático e participativo, onde o diálogo entre os sujeitos prevaleça durante o processo de ensino, possibilitando a emergência de novos significados, interagidos com ideias relevantes presentes na estrutura cognitiva do indivíduo.
2.2 DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA CRÍTICA
A Matemática está presente em todos os níveis escolares e associada a outras áreas do conhecimento. No entanto, no cotidiano escolar, comumente é considerada, juntamente com as demais Ciências, mais uma disciplina componente do currículo, estando dissociada da realidade dos estudantes.
Mizukami (1986) relata que, por muito tempo, a sociedade manteve um sistema de ensino que tinha como objetivo primordial garantir a aquisição do patrimônio cultural por meio de apropriação do conhecimento, baseada na transmissão de conteúdos e na confrontação com modelos e demonstrações. Esse sistema foi designado por Freire (2011) como “educação bancária”, uma crítica à abordagem tradicionalista que almejava transformar o aluno em um ser passivo, em um depósito de informações escolhidas e elaboradas por outros indivíduos, e que a ele atribuía
[...] o papel insignificante na elaboração e aquisição do conhecimento, competindo apenas, memorizar definições, enunciados de leis, sínteses e resumos que lhe são oferecidos no processo de educação formal a partir de um esquema atomístico (MIZUKAMI, 1986, p. 11).
Historicamente, novos movimentos começaram a se desenvolver a partir das lacunas deixadas pelo ensino tradicional e, mais especificamente, na Matemática, abordagens contemporâneas têm tentado reestruturar seu ensino, preocupadas em reconhecer a natureza crítica da Educação Matemática. Um desses movimentos é o da Educação Matemática Crítica que, na concepção de Skovsmose (2007), não deveria ser identificado como um ramo especial da Educação Matemática e, tampouco, como uma determinada metodologia de aula, dotada de currículo específico.
Segundo Skovsmose (2007), a Educação Matemática Crítica está relacionada aos possíveis papéis e/ou competências que a Educação Matemática poderia desempenhar junto a contextos sociopolíticos, considerando, tanto as necessidades básicas, quanto as superiores, de uma Educação que pode se tornar estratificadora, seletiva, determinadora e legitimadora de inclusões ou exclusões, de acordo com os objetivos que se almejam alcançar, podendo implicar no empobrecimento do processo de aprendizagem e, em particular, da aprendizagem matemática, uma vez que, para a Educação Matemática Crítica não basta ensinar Matemática aos indivíduos, mas é preciso desenvolver cidadãos críticos que não apenas se vejam afetados pelo processo político, mas que sejam igualmente participantes desse processo (SKOVSMOSE, 2007).
Em nossa percepção, a Educação Matemática Crítica pode ser entendida como a articulação entre três vertentes: democracia, reflexão e diálogo que, quando associadas, pretendem desenvolver nos sujeitos uma atitude democrática para, por meio da Matemática e favorecer uma relação de parceria e igualdade. Por esta razão, conforme afirma Skovsmose (2007), o processo educacional deve ser entendido como um diálogo que possibilite um maior envolvimento dos estudantes no processo educativo. No mesmo sentido, Freire afirma que
É através deste [do diálogo] que se opera a superação de que resulta um termo novo: não mais educador do educando, não mais educando do educador, mas educador-educando com educador-educando-educador. Desta maneira, o educador já não é o que apenas educa, mas o que, enquanto educa, é educado, em diálogo com o educando que, ao ser educado, também educa. Ambos, assim, se tornam sujeitos do processo em que crescem juntos e em que os “argumentos de autoridade” já não valem. Em que, para ser-se, funcionalmente, autoridade, se necessita de estar sendo com as liberdades e não contra elas (FREIRE, 2011, p. 96).
Logo, o diálogo com o professor, associado aos interesses dos alunos, vai possibilitar o direcionamento do processo de ensino e aprendizagem, que ocorrerá por meio da inserção crítica do educando em sua realidade, a fim de problematizá-la e transcendê-la, objetivando uma aproximação com problemas sociais efetivamente existentes.
A relação estreita com a realidade permite minimizar a disfuncionalidade social que a Matemática, tradicionalmente e ao longo dos anos, tem representado a um número considerável de sujeitos que a veem como uma série de comandos envolvendo letras e números, muitas vezes destituídos de significado, uma simples atividade apartada, que estabelece padrões de rigor e significado (SKOVSMOSE, 2007).
Nesse contexto, Skovsmose (2000) ressalta a importância do desenvolvimento da materacia, competência similar à literacia3 estabelecida por Paulo Freire e um dos pressupostos da Educação Matemática Crítica, relacionada não apenas às habilidades matemáticas do indivíduo, mas também à sua capacidade de interpretar e agir numa situação social e política estruturada pela Matemática.
Para atingir esse fim, é necessário que as aulas de Matemática se tornem momentos dotados de democracia. Para a Educação Matemática Crítica, a democracia se consagra quando a Matemática é vista não somente como uma disciplina dotada de conteúdos a serem ensinados e aprendidos, mas como um tópico sobre o qual se faz necessário refletir.
Destacam-se, então, na Educação Matemática Crítica, as competências democrática e reflexiva, especialmente no que concerne aos alunos, que assumem o papel de participantes na consolidação de uma aprendizagem voltada para a compreensão e a leitura do mundo. Freire observa que
[...] ensinar não pode ser um puro processo, [...] de transferência de conhecimento do ensinante ao aprendiz. Transferência mecânica de que resulte a memorização maquinal [...]. Ao estudo crítico corresponde um ensino igualmente crítico que demanda necessariamente uma forma crítica de compreender e de realizar a leitura da palavra e a leitura do mundo, leitura do contexto (FREIRE, 2001, p. 264).
Assim, na intenção de alcançar uma leitura crítica do mundo, deve-se partir da realidade cultural do aprendiz e dos interesses que nortearão a construção do conhecimento matemático, visando ao desenvolvimento de uma consciência reflexiva que, segundo Freire (2011), assume caráter problematizador à medida que os sujeitos vão refletindo sobre si e sobre o mundo, ampliando seu campo de percepção e destaque, pois
Enquanto na concepção bancária [...] o educador vai “enchendo” os educandos de falso saber, que são os conteúdos impostos, na prática problematizadora, vão os educandos desenvolvendo o seu poder de captação e de compreensão do mundo que lhes aparece, em suas relações com ele, não mais como uma realidade estática, mas como uma realidade em transformação, em processo (FREIRE, 2011, p. 100).
A prática problematizadora propõe aos sujeitos da aprendizagem sua própria situação como problema, possibilitando ao aprendiz lidar com noções matemáticas, aplicando-as em diferentes contextos e refletindo sobre essas aplicações. É o que Skovsmose (2001) denomina
3 Paulo Freire designa literacia como a competência de um indivíduo em promover leitura da palavra e a leitura
em Educação Matemática Crítica, competência crítica, ou seja, a possibilidade de levar os estudantes a se envolverem no controle do processo.
Araújo (2012) sustenta que organizar ambientes de aprendizagem segundo os princípios da Educação Matemática Crítica, implica propor aos alunos que utilizem a Matemática para resolver problemas com origem na realidade, de tal forma que essa resolução seja problematizada e questionada. Ou seja, a Matemática
[...] ao mesmo tempo em que é usada para resolver algum problema, é também questionada sobre a forma em que é usada, tanto pelo grupo quanto pela sociedade, de maneira geral. É o uso da matemática da forma que é possível pelo grupo, mas em constante questionamento (ARAÚJO, 2009, p. 65).
E o uso da Matemática sob essa conotação vem ao encontro do que Skovsmose (2000) denomina de cenário para investigação, “um ambiente que pode dar suporte a um trabalho de investigação” (SKOVSMOSE, 2000, p. 3), isto é, o meio que permitirá aos estudantes formularem e investigarem questões, de modo a buscarem explicações para problemas extraídos da sua própria realidade.
Skovsmose (2000) elenca, nas atividades escolares, três diferentes contextos ou referências que apresentam relevância na formação de ambientes para aprendizagem: a Matemática Pura, referência às atividades matemáticas que pertencem integralmente ao campo da Matemática produzida pelas Academias, sem qualquer contextualização; a semi-realidade, que não se trata de uma realidade de fato, mas de uma construída com elementos do cotidiano, como se observa nas atividades produzidas por autores de livros didáticos e; finalmente, a realidade, na qual se descrevem situações presentes na vida real de alunos e professores, que possibilitam trabalhar com tarefas presentes em situações do cotidiano.
Estas três referências relacionam-se com dois paradigmas, o do exercício e o da investigação, que poderão ampliar o nível de criticidade do ambiente de aprendizagem, conforme a concepção adotada. O paradigma do exercício, segundo o pesquisador, está fundamentado na tradição, em que o objetivo principal é alcançar uma resposta única e certa. Ou seja, a Matemática é a ciência da exatidão. Em contraposição a esse paradigma, o da investigação propõe uma abordagem mais dinâmica e reflexiva, que pode dar suporte a um trabalho de verificação.
Diante dessas três referências e do resultado de seu relacionamento com os dois paradigmas vigentes, Skovsmose (2000) mostra a possibilidade de se compor seis diferentes ambientes (Quadro 1) que, em nossa percepção, podem caracterizar o nível de competência crítica presente no processo de ensino e aprendizagem.
Quadro 1 - Ambientes de aprendizagem
EXERCÍCIOS CENÁRIO PARA INVESTIGAÇÃO
Referências à Matemática Pura (1) (2)
Referências à semi-realidade (3) (4)
Referências à realidade (5) (6)
Fonte: Skovsmose (2000, p. 8)
No ambiente do tipo (1) predominam atividades matemáticas de caráter mecânico, que não requerem reflexão dos estudantes e, tampouco, sua associação com assuntos relativos ao cotidiano. Segundo Schönardie (2011), apesar do seu não relacionamento com a aplicabilidade do conteúdo, esses exercícios têm sua utilidade na compreensão de métodos e na fixação dos conteúdos em estudo.
O ambiente do tipo (2) está inserido em uma proposta de cenário para investigação, uma vez que, apesar de ainda não se fazer totalmente presente a contextualização no cotidiano dos conteúdos a serem aprendidos, o aluno já começa a refletir sobre o estudo. Skovsmose (2000) o descreve como um ambiente que envolve números e figuras geométricas e a associação entre esses elementos.
O terceiro ambiente constitui-se por exercícios presentes em uma semi-realidade. O aluno faz uso da Matemática Pura para buscar resolver problemas com dados extraídos de uma investigação não empírica. Para Skovsmose (2000) as situações são artificiais, de modo a não se considerarem quaisquer situações que extrapolem os limites propostos no problema. A informação quantitativa é exata e somente as quantidades medidas são relevantes.
Apesar de presente em uma semi-realidade, o quarto ambiente atrai para si um cenário para investigação. Nesse caso, há um convite aos alunos para se promover a investigação e a
explicação de situações propostas que podem levá-los ao desenvolvimento de estratégias de resolução.
O quinto ambiente assemelha-se ao terceiro, no entanto com um diferencial: os problemas estudados são obtidos a partir de situações reais.
Por fim, no sexto e último ambiente, as referências também são reais, porém não apenas as variáveis quantitativas são relevantes, mas estas e todo o contexto de investigação que permeia a atividade proposta. Não há apenas uma única resposta correta e o problema permite a reflexão sobre os resultados. “A reflexão crítica sobre Matemática e modelação matemática ganha um novo significado” (SKOVSMOSE, 2000, p. 13) e as práticas de sala de aula baseadas num cenário para investigação apresentam um diferencial fortemente notável daquelas baseadas apenas em exercícios (SKOVSMOSE, 2000, p. 7).
Todos os contextos apresentam sua relevância e podem se articular entre si, favorecendo o processo de ensino e aprendizagem. No entanto, de acordo com os princípios da Educação Matemática Crítica, a realidade, enquanto referência, possibilita a estudantes e professores manterem uma distância crítica dos conteúdos curriculares, orientando-os para situações externas à sala de aula (problemas reais), comumente presentes em ambientes de educação não formalizados (metodologia de projetos).
A proposta desta pesquisa envolve aspectos dos três contextos pesquisados por Skovsmose (2000), mas enquadra-se, especialmente, no sexto ambiente de aprendizagem, já que visa à aproximação dos estudantes com um contexto real para o ensino da Matemática, que tratará de explicar essa realidade, com a participação ativa dos sujeitos nela inseridos, em um ambiente de investigação e reflexão.
Pesquisas que se baseiam no sexto ambiente de aprendizagem favorecem a presença de uma característica bastante peculiar, concebida por Barbosa (2001a) como sociocrítica, já que dispõe de oportunidades para potencializar as reflexões sobre a Matemática e seu significado na sociedade contemporânea.
Fundamentados nessa concepção e direcionados a uma Educação Matemática Crítica, destacam-se os estudos em Modelagem Matemática, proposta pedagógica que sugere operar com conceitos formais, presentes na tradição matemática, associados à realidade do mundo empírico aplicável e sob uma acepção sociocrítica.
As potencialidades da Modelagem Matemática, sob a perspectiva sociocrítica de Barbosa (2001a), também são destacadas por Silva e Kato (2012), uma vez que estão voltadas não somente para o ensino e aprendizagem de conceitos matemáticos, mas para a formação cidadã dos estudantes.
Para as pesquisadoras “atividades de Modelagem, nessa perspectiva, podem ser conduzidas de forma que, por meio da Matemática, o aluno identifique outras formas de ver o mundo em que vive, ampliando seu espectro de possibilidades de ação e interação na sociedade” (SILVA; KATO, 2012, p. 819), o que pode conduzi-lo à conscientização acerca de seu papel na sociedade, bem como, nas discussões em sala de aula, provocar mudanças em sua forma de compreender o mundo.
2.3 DA MODELAGEM MATEMÁTICA
O ensino da Matemática tem passado por processos de reformulação curricular que apontam para novas propostas pedagógicas que, por sua vez, requerem não somente o domínio de conhecimentos específicos da disciplina, mas também o desenvolvimento de habilidades que possibilitem preparar o aluno para resolver problemas com criatividade, iniciativa e autonomia (GROENWALD; SILVA; MORA, 2004).
Dentre as tendências de ensino que vêm encontrando grande receptividade pelos educadores matemáticos, a Modelagem Matemática tem se destacado nos meios acadêmicos, apresentando-se como uma proposta pedagógica que, associada à problematização e investigação, pode contemplar um enfoque sociointeracionista4, atribuindo papel relevante à apropriação de instrumentos semióticos fornecidos pela cultura e mostrando-se eficaz no desenvolvimento das potencialidades dos estudantes.
4 Na seção 2.4.1 abordaremos com mais propriedade como a Modelagem Matemática apresenta uma relação
Groenwald et al. (2004) relatam que George Polya, desde 1948, impulsionava discussões almejando o desenvolvimento de novas propostas para o ensino e aprendizagem de Matemática, dentre as quais, ressaltava-se a Educação Matemática do ponto de vista das aplicações e da modelagem, cujos resultados se mostravam expressivos em diferentes publicações acadêmicas.
Biembengut (2009) citando Pollack (2001) destaca a presença de evidências encontradas nos Estados Unidos em uma coleção de textos preparados entre 1958 e 1965, nos trabalhos realizados pelo School Mathematics Study Group (SMSG) entre os anos de 1966 e 1970, no 69°anuário da National Society for the Study of Education e no New Trends in Mathematics Teaching IV, baseado nos anais do ICME III (3rd International Congress on Mathematical Education), em que o capítulo “The Interaction Between Mathematics and Other School Subjects” apresenta um panorama sobre as aplicações matemáticas no ensino e detalha o processo de construção de modelos.
Ressalta ainda que, no princípio dos anos 60, Hans Freudenthal, liderando o grupo holandês IOWO (Instituut Ontwikkeling Wiskundeonderwijs – Instituto para Desenvolvimento de Educação Matemática), juntamente com outras equipes de pesquisadores da área, nortearam trabalhos voltados para um movimento utilitarista, o qual se destinava à aplicação prática dos conhecimentos matemáticos para a ciência e para a sociedade.
Verifica-se que é de longa data que pesquisadores têm destinado seus estudos para essa tendência contemporânea, apresentando consideráveis transformações no processo educativo. No cenário interno, convém enfatizar os trabalhos desenvolvidos por diversos estudiosos, dos quais se destacam Aristides Camargos Barreto e Rodney Carlos Bassanezi, precursores da Modelagem Matemática no Brasil. Segundo Biembengut (2009), o primeiro, começou a utilizar a modelagem em meados dos anos 70, em disciplinas dos cursos de Licenciatura em Matemática e no Cálculo Avançado em programas de pós-graduação para Engenharias; o segundo, já detinha esse conhecimento desde a década de 80, quando tratou do tema por meio da Matemática Aplicada, desenvolvendo seus primeiros trabalhos em cursos de formação de professores de instituições de Ensino Superior do país.
Considera-se, portanto, de acordo com Kaiser (2005), a presença de práticas de Modelagem Matemática em duas principais perspectivas:
A primeira perspectiva conhecida como pragmática, focada em objetivos práticos ou utilitaristas, ou seja, método de pesquisa da Matemática Aplicada e de áreas afins, como a Química, a Física, a Biologia, as Engenharias, a Economia, dentre outras, usada para resolver problemas práticos, como sugerido por Henry Pollack e Aristides Barreto, por exemplo;
A segunda, perspectiva científico-humanística, orientada para uma Matemática como ciência com ideais de educação humanísticos, focada nas habilidades de aprendizagem para criar relações entre a Matemática e a realidade. Apesar de apresentar algumas ramificações, pretendemos considerá-la como proposta pedagógica de ensino e aprendizagem de Matemática, conforme sugerido nos trabalhos iniciais de Hans Freudenthal e de Rodney Bassanezi, dentre outros estudiosos de novas tendências para a Educação Matemática.
Embora predominantes no meio matemático, há que se destacar a observação de Barbosa (2001a) de trabalhos de Modelagem que não se enquadravam nessas correntes, como aqueles de cunho antropológico, que visavam analisar estudos de Modelagem no Brasil e que seguem a perspectiva da Educação Matemática Crítica. Sob essa perspectiva, Barbosa considera legítima a presença de uma terceira corrente a que denomina “sócio-crítica”,
[...] cujas atividades buscam abranger o conhecimento de matemática, de modelagem e o reflexivo. São consideradas como um meio de indagar e questionar situações reais por meio de métodos matemáticos, evidenciando o caráter cultural e social da matemática. Esta é vista como “meio” em vez de “fim”. A ênfase está na compreensão do significado da matemática no contexto geral da sociedade. Diferentemente da corrente pragmática, que realça o desenvolvimento de atividades de Modelagem, a sócio-crítica enfatiza a matemática como um “instrumento” de questionamento das situações sociais (BARBOSA, 2001a, p. 29-30).
No tocante às segunda e terceira correntes supramencionadas, que entendem a Modelagem como perspectiva pedagógica, Araújo (2007) evidencia a presença de diferentes concepções de Modelagem na Educação Matemática que, embora apresentem pontos de convergência, também contam com aspectos que lhes são únicos.
Na pretensão de realizarmos um estudo direcionado para uma prática de Modelagem como proposta destinada ao ensino e aprendizagem de conteúdos matemáticos, ou seja, inserida no
campo da Educação Matemática, mas que também entenda a Matemática como ferramenta para o questionamento de situações sociais, desenvolvida a partir da construção de um ambiente propício à aprendizagem, mostramo-nos adeptos, em parte, à perspectiva de Modelagem de Bassanezi (2002) mas também, à concepção de Barbosa (2001a) por serem adequadas aos objetivos iniciais de nossa pesquisa, uma vez que pretendemos interligar o aprendizado de conteúdos matemáticos com o de outras ciências, por meio de uma investigação realizada pelos discentes, com o uso da Matemática como linguagem que permita compreender, simplificar e decidir com relação ao objeto em estudo.
Vislumbramos, inicialmente, a Modelagem como uma proposta que “consiste, essencialmente, na arte de transformar situações da realidade em problemas matemáticos, cujas soluções devem ser interpretadas na linguagem usual” (BASSANEZI, 2002, p. 24). Enquanto estratégia de ensino, uma atividade de Modelagem torna o aluno participativo e propicia a aprendizagem crítica, uma vez que é levado a investigar o papel da Matemática em um ambiente construído a partir de situações do seu cotidiano.
No que tange a construção desse ambiente, Barbosa (2001a, p. 31) fazendo referência a Skovsmose (2000, p. 1), caracteriza a Modelagem como “ambiente de aprendizagem, no qual os alunos são convidados a indagar e/ou investigar, por meio da Matemática, situações com referência na realidade”. É a oportunidade para os alunos indagarem sobre diferentes situações por intermédio da Matemática, sem procedimentos fixados previamente (BARBOSA, 2001 apud KLÜBER; BURAK, 2008, p. 28).
Segundo Skovsmose (2000), o professor organiza um ambiente de aprendizagem que busque explicações para questões formuladas, mas cujo processo de exploração e argumentação justificada somente acontece com o aceite dos alunos, simbolizado por seu “sim”, ou seja, um cenário para investigação. E complementa que o envolvimento do educando depende da relação do seu interesse com o “convite” apresentado pelo ambiente da modelagem. É como afirma Barbosa:
O ambiente é colocado aqui em termos de “convite” aos alunos, tomando por referência a argumentação de Skovsmose (ibid.). Segundo este autor, os alunos podem não se envolver nas tarefas sugeridas. O ambiente de aprendizagem que o professor organiza pode apenas colocar o convite. O envolvimento dos alunos ocorre na medida em que seus interesses se encontram com esse. (BARBOSA, 2001b, p. 6)
Trata-se de um “ciclo de etapas” que se inicia com o convite aos alunos para se envolverem na investigação de um problema não necessariamente matemático, extraído do mundo real, a ser interpretado pelo conhecimento matemático, porém, validado em linguagem natural, ao retornar ao mundo real. Por essa razão, Klüber e Burak (2008) advertem acerca da necessidade de que
[...] professor, aluno e ambiente interajam, construindo conhecimentos em conjunto, não havendo imposição da mera transmissão, mas sim diálogo e convite. É claro que isso ocorre quando há convergência dos interesses dos alunos ante a proposta do professor. (KLÜBER; BURAK, 2008, p. 30)
Nesse ambiente construído para a prática da Modelagem, os aprendizes tornam-se responsáveis pelo processo de ensino e aprendizagem. Como Freire (2011) e Skovsmose (2000) ressaltam, há a valorização da autonomia dos estudantes nas situações que são proporcionadas pela própria Modelagem, já que eles buscam encontrar soluções por meio de um modelo explicado pela Matemática. O professor, mediador desse cenário, os mobilizará no sentido de estabelecerem posturas mais ativas e independentes, do desenvolvimento do conhecimento reflexivo, bem como do acolhimento de iniciativas convergentes com esse propósito. “Quando os alunos assumem o processo de exploração e explicação, o cenário para investigação passa a constituir um novo ambiente de aprendizagem. No cenário para investigação, os alunos são responsáveis pelo processo” (SKOVSMOSE, 2000, p. 6).
Por ser também nosso objetivo a construção de um ambiente de aprendizagem na perspectiva acima tratada, entendemos que a concepção de Barbosa (2001a; 2001b), bem como a de Bassanezi (2002), mostram-se adequadas à nossa proposta, pois contam com a participação intensa do professor, interagindo com os alunos e formalizando procedimentos.
Os alunos não devem ser guiados sobre como fazer, mas podem tentar produzir os próprios caminhos. Podem levantar hipóteses, coletar dados, organizá-los, estruturá-los etc., mas sem serem conduzidos por esquemas prévios ou pelo professor. Em outras palavras, a situação-problema deve ser um problema para os alunos. [...] Isso não significa o enfraquecimento da figura do professor no ambiente de aprendizagem, pois ele tem uma participação intensa, interagindo com os alunos por meio da colocação de questionamentos, comentários etc., ou mesmo, em certos momentos, arbitrando sobre questões ou formalizando posições (BARBOSA, 2009, p. 2-3).
Acerca do comportamento do professor, Rezende e Lorenzoni (2013) também advertem quanto à necessidade de se buscar ações pedagógicas que facilitem a compreensão dos conceitos matemáticos pelos alunos, de modo a propiciar condições para uma educação menos alheia e mais comprometida com a realidade dos indivíduos e das sociedades.
Recorrer a estratégias pedagógicas diferenciadas como a Modelagem para buscar explicações de fatos da realidade não implica renunciar à figura do professor e, tampouco, ao conhecimento matemático, em prol dos problemas que afligem os indivíduos em seus meios sociais, mas significa conduzir os estudantes na compreensão do papel que a Matemática desempenha em seu meio social. É como defende Barbosa:
Parece-me que, do ponto de vista da cidadania, há um argumento mais crucial: a necessidade de os alunos perceberem a natureza enviesada dos modelos matemáticos e o papel que eles podem ter na sociedade e nas ciências. Isso não significa o esquecimento do conteúdo matemático, mas seu posicionamento como um “meio” para convidar os alunos a enxergarem seu uso para além dos limites da disciplina escolar. (BARBOSA, 2009, p. 18)
Sob essa perspectiva, com a qual concordamos, de que a Matemática deve ser vista além dos limites da disciplina curricular capaz de possibilitar a ascensão do indivíduo que compreende seu papel sociocultural, Barbosa (2004) evidencia a presença de cinco argumentos que ressaltam a conveniência de uma atividade de Modelagem Matemática em sala de aula: motivação, facilitação da aprendizagem, preparação para utilizar a Matemática associada a diversas áreas, desenvolvimento de habilidades gerais de exploração e compreensão do papel sociocultural da Matemática. E ressalta, ainda, que todos apresentam um grau de relevância, porém, no último caso, a Modelagem Matemática pode propiciar muitas oportunidades em âmbito pedagógico, levando os estudantes a produzirem discussões acerca de seu cotidiano, destacando a conscientização sobre o seu papel na sociedade, bem como provocar mudanças na sua forma de ver o mundo.
No tocante a esse aspecto, Barbosa (2001b) destaca a importância da atividade de Modelagem como forma de explorar a Matemática como ferramenta capaz de contribuir para a transformação da realidade e refere-se a ela como meio de propiciar um ambiente de aprendizagem crítica, no qual
[...] as atividades de modelagem são consideradas como oportunidades para explorar os papéis que a matemática desenvolve na sociedade contemporânea. Nem matemática, nem modelagem são fins, mas sim, meios para questionar a realidade vivida. Isso não significa que os alunos possam desenvolver complexas análises sobre a matemática no mundo social, mas que modelagem possui o potencial de gerar algum nível de crítica (BARBOSA, 2001b, p. 4).
Fazendo uma interpretação matemática de fenômenos do mundo real, sob o olhar da Modelagem Matemática, estão sendo reinterpretados conceitos matemáticos construídos através dos tempos pela Matemática Pura e verificando se esses resultados se enquadram às
prévias observações empíricas que, conforme Barbosa (2001b) possibilitam indagações sem procedimentos fixados previamente e com possibilidades diversas de encaminhamento.
Como ressaltam Rosa e Orey (2007),o aspecto sociocrítico da modelagem fundamenta-se na ampliação da autonomia dos alunos, que tem como objetivo propiciar a leitura e a ampliação da visão de mundo, o desenvolvimento do pensamento autônomo, além de contribuir para o exercício pleno da cidadania (OREY; ROSA, 2007, p. 204), sendo o professor, como mediador, um facilitador dessa aprendizagem.
O professor não é o detentor do conhecimento, mas o aluno sabe que ele tem as ferramentas que podem auxiliá-lo na investigação, na construção do modelo e na resolução do problema em estudo. Por isso, deve respeitar as diferentes formas de abordar o tema, considerando os seus interesses e conhecimentos tanto científicos como empíricos.
Por isso, enquanto método de ensino, Burak (1992) estabelece que a Modelagem pressupõe princípios básicos para sua admissão. Não basta que haja vontade única e exclusiva do professor para a prática da Modelagem. O interesse deve partir do grupo de pessoas envolvidas no processo ensino-aprendizagem que buscarão informações e dados no ambiente pesquisado, ratificando os impactos da cultura dos sujeitos da aprendizagem na interpretação dos modelos matemáticos e permitindo uma discussão sobre o papel da Matemática na sociedade – de que forma é usada para interpretar e resolver problemas e como auxilia na tomada de decisões.
Esses critérios se articulam intimamente com uma sequência de procedimentos, sintetizados por Biembengut e Hein (2013) em três estágios comuns a toda atividade de modelagem que se inicia com a a) interação, na qual se reconhece a situação-problema, de modo a obter familiarização com o assunto a ser modelado; passa pela b) matematização, em que se formula o problema, levantando hipóteses e resolvendo-o em termos de modelo e; finaliza com o c) modelo matemático, interpretando-se a solução matematicamente e validando-a ante a situação real, visando à avaliação do processo.
Perrenet e Zwaneveld (2012) comungam entendimento análogo. Os pesquisadores afirmam que toda atividade de Modelagem Matemática basicamente se submete ao crivo dessas três
etapas – que não são imutáveis –, a partir de um padrão a ser seguido. Podem-se encontrar variações, ampliações e melhorias em relação a esse processo, no entanto, qualquer que seja a atividade de Modelagem realizada, há sempre a transição da situação real para uma situação-modelo (matemática), retornando para a situação real na qual o problema foi estruturado.
Ferri (2006) destaca o modelo como fase importante do processo de Modelagem, demonstrando que a transição entre a situação real e a situação-modelo é necessária para que os modeladores possam compreender a tarefa a ser executada. Essa representação do mundo real, enquanto elemento mediador, torna-se um elo nas relações complexas que levarão o indivíduo a compreender como a Matemática pode ser uma ferramenta eficaz para a resolução do problema. O modelo assume papel de destaque no decorrer da construção do conhecimento matemático e no desenvolvimento de competências e habilidades dos sujeitos, sendo determinante para o êxito do processo.
Deste modo, Bassanezi (2002) ressalta o caráter dinâmico da Modelagem Matemática utilizada para obtenção e validação de modelos matemáticos. É uma forma de abstração e generalização com a finalidade de previsão de tendências. (BASSANEZI, 2002, p. 24).
O modelo matemático, segundo Skovsmose (2007), não é capaz de retratar a realidade em sua totalidade sendo, portanto, um recorte dela, uma forma de representação, mas que, por meio da linguagem matemática, é capaz de apresentar diferentes aspectos da realidade. “Decerto, tal representação não pode ser completa. Como poderíamos sonhar em fazer uma representação completa da realidade? Mas a linguagem matemática pode representar diferentes aspectos da realidade” (SKOVSMOSE, 2007, p. 107).
Burak, por sua vez, convergindo com o entendimento de Skovsmose (2007), ressalta o papel desse importante recorte da realidade que é o modelo e estabelece ainda que
Permanece a impressão de que a aplicação da Matemática consiste, simplesmente, em aplicar fórmulas adequadas e encontrar determinadas respostas. [...] este processo emite um componente importante, sem o qual a aplicação pode conduzir a resultados estéreis. Este componente é a representação do “mundo real” em termos matemáticos para que se possa alcançar uma compreensão mais precisa de suas propriedades significativas e, com créditos, possibilitar alguma forma de predição de eventos futuros (BURAK, 1992, p. 60).
