FABIO GRANGEIRO RODRIGUES
SOBRE CÁLCULO FRACIONÁRIO E
SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO DE BESSEL
CAMPINAS 2015
Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Ana Regina Machado - CRB 8/5467
Rodrigues, Fabio Grangeiro,
R618s RodSobre cálculo fracionário e soluções da equação de Bessel / Fabio Grangeiro Rodrigues. – Campinas, SP : [s.n.], 2015.
RodOrientador: Edmundo Capelas de Oliveira.
RodTese (doutorado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.
Rod1. Cálculo fracionário. 2. Equações diferenciais fracionárias. 3. Bessel,
Equação de. I. Oliveira, Edmundo Capelas de,1952-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.
Informações para Biblioteca Digital
Título em outro idioma: About fractional calculus and solutions of the Bessel's equation Palavras-chave em inglês:
Fractional calculus
Fractional differential equations Bessel equations
Área de concentração: Matemática Aplicada Titulação: Doutor em Matemática Aplicada Banca examinadora:
Edmundo Capelas de Oliveira [Orientador] Jayme Vaz Junior
João Mauricio Rosário Bruto Max Pimentel Escobar Igor Leite Freire
Data de defesa: 12-02-2015
Programa de Pós-Graduação: Matemática Aplicada
Abstract
In this thesis we discuss the solvability of the Bessel’s differential equation of order p, which is a particular case of the confluent hypergeometric equation, from the perspective of the theory of calculus of arbitrary order, also commonly known as fractional calcu-lus. In particular, we expose some misconceptions encountered in the literature and we raise some questions about interpretations of the Riemann-Liouville operators when acting on certain types of functions. In order to do so, we present the main fractional operators (Riemann-Liouville, Caputo and Grünwald-Letnikov) as well as the fractional integrodifferential operator, which is an unified view of both integration and differen-tiation under a single operator. We also show the main properties of these operators and mention some of its applications in Mathematics, Physics and Engeneering.
Keywords: Fractional calculus, Fractional differential equations, Bessel’s equation.
Resumo
Neste trabalho é apresentado um modo de se obter soluções de um caso particular da equação hipergeométrica confluente, a equação de Bessel de ordem p, utilizando-se da teoria do cálculo de ordem arbitrária, também conhecido popularmente por cálculo fra-cionário. Em particular, discutimos alguns equívocos identificados na literatura e levan-tamos questionamentos sobre algumas interpretações a respeito dos operadores formula-dos segundo Riemann-Liouville quando aplicaformula-dos a certos tipos de funções. Para tanto, apresentamos inicialmente os operadores de integração e diferenciação fracionárias se-gundo as formulações mais clássicas (Riemann-Liouville, Caputo e Grünwald-Letnikov) e, em seguida, apresentamos o operador de integrodiferenciação fracionária que é a ten-tativa de unificar as operações de integração e diferenciação sob um único operador. Ao longo do texto indicamos as principais propriedades destes operadores e citamos algu-mas das suas aplicações comumente encontrados na Matemática, Física e Engenharias. Palavras-chave: Cálculo fracionário, Equações diferenciais fracionárias, Equação de Bessel.
Sumário
Dedicatória xi
Agradecimentos xiii
Introdução 1
1 Preliminares 5
1.1 Notações, Terminologias e Resultados Clássicos . . . 5
1.2 Funções Especiais do Cálculo Fracionário . . . 11
1.2.1 Funções Generalizadas: Distribuição δ-Dirac . . . 11
1.2.2 A Função Gama Γ(z) . . . 17
1.2.3 Funções de Mittag-Leffler . . . 22
1.2.4 Funções Hipergeométricas . . . 24
2 Introdução ao Cálculo de Ordem Fracionária 29 2.1 Integral e Derivada de Riemann-Liouville . . . 31
2.1.1 Propriedades das IFRL e DFRL . . . 47
2.2 Derivada de Caputo . . . 72
2.3 Derivada de Grünwald-Letnikov . . . 76
2.4 Operador de Integrodiferenciação . . . 82
2.4.1 Derivada de Marchaud . . . 89
3 Soluções da Equação de Bessel via Cálculo Fracionário 95 3.1 Resolução da Equação de Bessel . . . 96 3.2 Soluções Obtidas . . . 99 3.3 Verificação do caso D−12−p 0+ D 1 2+p 0+ g = g . . . 104 3.4 Resultados e Conclusões . . . 108 Considerações Finais 117 A Apêndice 121
A.1 Prova dos Resultados Eq.(2.31a) e Eq.(2.31c) . . . 121 A.2 Prova do Corolário 2.1 . . . 122 A.3 Prova da Eq.(2.62) . . . 124 A.4 Casos D−12∓p 0+ D 1 2±p 0+ g = g . . . 125 Referências Bibliográficas 135
Aos meus queridos pais, Waldyr e Fátima, pelo imenso carinho, amor e compromisso com a minha formação. Aos meus familiares e amigos pelo apoio e compreensão.
Agradecimentos
- Primeiramente, gostaria de agradecer ao Prof. Edmundo Capelas de Oliveira por ter aceitado ser o meu orientador neste programa de doutorado. Além da sua colaboração com o trabalho de pesquisa, demonstrou enorme paciência comigo o tempo todo. - Agradeço também aos meus familiares e a minha companheira Dayane pelo constante incentivo e apoio emocional para o término deste trabalho.
- Finalmente quero agradecer aos órgãos financiadores durante o programa de doutorado, a Capes e a PRPG da Unicamp pelas bolsas PED.
INTRODUÇÃO
Atualmente, a chamada teoria do cálculo fracionário1 é uma área da Matemática com
grande potencial de ascensão e dizemos isso no entendimento de que é evidente, pelo menos para os estudiosos desta área, que o número de trabalhos (artigos, relatórios, livros, etc... [4, 5, 6, 19, 26, 36, 50, 51, 54, 59]) que estão sendo publicados nestas últimas cinco décadas [56, 57] a respeito, tanto do desenvolvimento rigoroso da teoria descrita em termos da análise funcional [13, 25, 32, 41, 48], assim como das inúmeras aplicações em diversas áreas do conhecimento têm se tornado cada vez mais substan-cial [1, 11, 12, 21, 22, 29, 55, 61]. Entretanto, o assunto ainda é desconhecido para a grande maioria dos acadêmicos e, ainda mais intrigante, existe uma quantidade enorme de definições distintas de operadores fracionários2 que “circulam” pela literatura.
Inda-gando sobre quais propriedades de fato definem uma derivada fracionária3, os autores
de [36] buscam estabelecer critérios que possam ser usados como referências de par-tida para se definir um operador fracionário. Em particular, mostram que as definições “mais clássicas” como as de Grünwald-Letnikov, Riemann-Liouville e Caputo satisfazem os critérios (segundo a nomenclatura por eles estabelecidas) de linearidade, identidade
1Ao longo deste trabalho iremos denotar, indiferentemente, cálculo de ordem arbitrária, cálculo de
ordem fracionária ou simplesmente, cálculo fracionário, como a teoria dos operadores de diferenciação e integração de ordem ν ∈ K, onde K = R ou C.
2Apenas para citar os mais conhecidos temos, Liouville, Riemman, Riemann-Liouville, Caputo,
Grünwald-Letnikov, Riesz, Weyl, Marchaud, Miller-Ross (sequenciais), entre outros.
3Os autores usam a palavra derivada fracionária, mas deixam claro que se a ordem α deste operador
for negativa, então trata-se de um operador de integração (indefinida), i.e., o processo de se obter uma primitiva.
(i.e., operador de ordem zero é o operador de identidade), compatibilidade reversa (i.e., quando é escolhida uma ordem inteira, então o caso se reduz ao caso clássico de derivação e integração), leis de índice (i.e., propriedade de semigrupo, quando restrito a ordens negativas) e uma regra de Leibniz generalizada (para se computar o operador aplicado ao produto de duas funções).
É claro que uma das maiores motivações no desenvolvimento de uma nova teoria matemática é a busca contínua por novos métodos e aplicações a problemas práticos e teóricos, sejam estes provenientes de novos desafios matemáticos da ciência contem-porânea ou mesmo provenientes de “problemas clássicos”, ou seja, aqueles que já foram exaustivamente estudados sob a ótica das diversas teorias até então difundidas. Assim, nosso intuito neste trabalho foi o de produzir um texto útil para a divulgação, explo-ração e verificação de resultados até então propostos para a teoria do cálculo fracionário e agregar valor ao uso desta nova área, identificando em parte original no Capítulo 3 alguns equívocos que encontramos na literatura a respeito da obtenção das soluções da equação de Bessel via uma metodologia do cálculo fracionário. Inclusive, tais in-vestigações nos levaram a questionar sobre uma nova interpretação para os chamados operadores de Riemann-Liouville quando aplicados a certos tipos de funções.
Para tanto, nos organizamos da seguinte forma: o capítulo inicial, além de fixar as principais notações usadas, apresenta uma revisão dos principais conceitos da análise funcional e definições auxiliares que serão constantemente referenciados ao longo do texto. No capítulo dois, introduzimos os operadores de integração e diferenciação fracionários, restringindo-nos às versões mais conhecidas, a saber, Riemann-Liouville, Caputo e Grünwald-Letnikov, investigando os critérios de compatibilidade entre estas definições. Também discutimos na Seção 2.4 o que denominamos de operador de in-tegrodiferenciação fracionária, que é a tentativa de descrever sob um único símbolo as operações de derivação e integração e, com bases nestas ideias expostas, na Subseção 2.4.1 traçamos um paralelo a respeito da formulação conhecida como derivada fra-cionária de Marchaud. Ainda no contexto da Seção 2.4, apresentamos uma das versões da chamada regra de Leibniz fracionária. No capítulo três, apresentamos uma abor-dagem simples, através do cálculo fracionário, como alternativa ao conhecido método de Frobenius, para abordar a conhecida equação de Bessel, frequentemente encontrada
INTRODUÇÃO
no estudo dos fenômenos de propagação de ondas, de condução de calor e de equilíbrio eletrostático em domínios cilíndricos:
z2d2w
dz2 + z
dw
dz + z
2− p2 w = 0, z > 0 (1)
onde w = w(z) e p é um parâmetro. A metodologia desenvolvida foi inicialmente proposta pelos autores de [35], no entanto, ao analisar aquele artigo observamos al-gumas inconsistências na metodologia usada pelos autores ao tentar obter a segunda solução linearmente independente para o caso em que o parâmetro p não é um inteiro. Discutimos com detalhes as causas de tais inconsistências e encontramos as devidas limitações ao método empregado pelos autores, sugerindo um formalismo consistente para a solução de problemas análogos.
Por fim, encerramos o trabalho com as considerações finais, sintetizando os resulta-dos investigaresulta-dos e apresentando alguns tópicos que sugerem novos esturesulta-dos e trabalhos. Esta tese também contempla um apêndice, sendo este um espaço reservado para in-cluirmos alguns resultados e/ou demonstrações “secundários”, normalmente laboriosos e eventualmente “inconvenientes” para serem incluídos no corpo textual principal.
Cap´ıtulo
1
Preliminares
Este capítulo é necessário para estabelecermos as notações que serão utilizadas ao longo do trabalho, assim como exibirmos alguns resultados conhecidos da análise funcional e ainda, relembrarmos certas funções especiais da Física-Matemática, visto que estas terão papel fundamental ao longo do desenvolvimento deste trabalho.
1.1 Notações, Terminologias e Resultados Clássicos
Para iniciarmos a nossa discussão, convém fixarmos algumas das principais notações e terminologias que faremos uso. Denotamos:Notação 1.1 N0 := N ∪ {0}, sendo N = {1, 2, 3, . . .} o conjunto dos números naturais.
Notação 1.2 Z−
0 := Z − N = {0, −1, −2, . . .}, sendo Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} o
conjunto dos números inteiros.
Notação 1.3 F ≡ F (Ω) denota a classe de todas as funções definidas no conjunto Ω ⊆ K (K = R ou C). Sendo R e C os conjuntos dos números reais e complexos, respectivamente.
Notação 1.4 Cn≡ Cn(Ω) ⊂ F, n ∈ N
0 denotam as classes de funções continuamente
F define a classe de funções contínuas em Ω e se n = ∞, C∞≡ C∞(Ω) define a classe
de funções infinitamente diferenciáveis, também chamado de espaço das funções suaves. Notação 1.5 Cp ≡ Cp(Ω) ⊂ F denota a classe de funções contínuas por partes em Ω.
Notação 1.6 AC (Ω) denota a classe de funções absolutamente contínuas em Ω, onde, f ∈ AC (Ω) se, dado ǫ > 0 existir δ > 0 tal que para qualquer conjunto finito de intervalos [ak, bk] ⊂ Ω, k = 1, 2, . . . , n, dois a dois disjuntos,
n k=1 (bk− ak) < δ ⇒ n k=1 |f (bk) − f (ak)| < ǫ. Notação 1.7 ACn ≡ ACn
(Ω) ⊂ F, n ∈ N, denotam as classes de funções f (x) conti-nuamente diferenciáveis até ordemn − 1 em Ω e com f(n−1)∈ AC (Ω). Em particular, Ω = [a, b], AC1(Ω) ≡ AC [a, b].
Notação 1.8 Lp[a, b] := f : [a, b] → R; f é mensurável em [a, b] e f p < ∞ .
Sendo que f p = b a |f(t)| pd t 1 p , 1 ≤ p < ∞ f ∞ = ess sup a≤x≤b|f(x)| ,
onde ess sup |f(x)| denota o supremo essencial da função |f(x)| [25].
Quando p = 1, L1[a, b] é normalmente dito o espaço das funções Lebesgue-integráveis
em Ω = [a, b]. Observamos ainda que, formalmente, os elementos de Lp[Ω] são, na
verdade, classes de equivalência, no sentido de que duas funções mensuráveis em Ω: f(x) e g(x) são indistinguíveis em Lp[Ω] se, e só se, coincidirem em quase todos os pontos1
de Ω. Ou seja, f ∈ [f] é “igual” a outra função g ∈ [f] a menos de um subconjunto de Ω com medida nula. Logo, por abuso de notação, toda vez que for mencionado que f ∈ Lp[a, b] estaremos de fato tomando um certo f (x) para representar a classe [f ].
1Uma propriedade é dita válida "em quase todos os ponto de Ω" quando ela é verdadeira em todo
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Lembramos de um resultado clássico da análise [25, 48] que nos garante que f ∈ AC [a, b] ⇔ f(x) = c +
x
a ϕ(t)dt, ϕ ∈ L
1[a, b],
i.e., o espaço AC [a, b] coincide com o espaço das primitivas de funções ϕ que estão em L1[a, b]. Note que da equivalência acima, se f ∈ AC [a, b], então f′(x) = ϕ (x) em quase
todos os pontos de Ω com c = f (a). E mais geralmente, temos o seguinte lema. Lema 1.1 O espaço ACn[a, b] é formado pelas funções f (x), que podem ser
represen-tadas pela forma
f (x) = Ia+n ϕ (x) + n−1
k=0
ck(x − a)k, (1.1)
onde ϕ ∈ L1[a, b], ck (k = 0, 1, . . . , n − 1) são constantes arbitrárias e
Ia+n ϕ (x) = 1 (n − 1)! x a (x − t) n−1 ϕ(t)dt.
E mais, se f (x) tem a forma da Eq.(1.1), então f ∈ ACn[a, b].
Note que segue da Eq.(1.1) que ϕ (t) = f(n)(t) e ck=
f(k)(a)
k! (k = 0, 1, , . . . , n − 1) .
Para futuras referências, recordemos agora a famosa Desigualdade de Hölder [2, 48]: Teorema 1.1 (Desigualdade de Hölder) Sejam f ∈ Lp[a, b] e g ∈ Lq[a, b] onde p,
q ∈ [1, ∞]2 satisfazendo a relação 1p + 1q = 1. Então f g 1 ≤ f p g q.
Corolário 1.1 Sejam f ∈ L1[a, b] e g ∈ L∞[a, b], i.e., g(x) é essencialmente limitada
em[a, b], então o produto (f g) ∈ L1[a, b].
2O sentido de [1, ∞] vem do fato de considerarmos, quando necessário, o conjunto dos números
Notação 1.9 Denotaremos o espaço das funções localmente integráveis em Ω por L1,loc(Ω) = {f : Ω → R; f mensurável em Ω e f|U ∈ L1(U ) , ∀U ⊂ Ω} ,
sendo que f |U é a restrição de f a um subconjunto compacto U .
Notação 1.10 O operador de diferenciação (no sentido usual) D ≡d
dx : C 1 −→ F, definido por d dxf (x) = f′(x), aplica funções f ∈ C 1 na sua derivada f′ ∈ F. Em particular, se f ∈ Cn, então Dnf (x) = d dx· · · d dx n [f(x)] = d n dxnf (x) = f (n)(x) é bem definido.
Além disso, para funções suficientemente bem comportadas, e.g, f ∈ Cm+n, também
vale a propriedade de semigrupo3
DmDnf (x) = DnDmf (x) = Dm+nf (x) .
Notação 1.11 O operador de integração I : L1[a, b] −→ AC [a, b], definido por
(Iaf) (x) = x a
f (t)dt = F (x)
para x ∈ [a, b] mapeia funções f ∈ L1[a, b] na sua primitiva F ∈ AC [a, b]. Em
parti-cular, se f ∈ L1[a, b], então por um resultado clássico da teoria da integração [2, 27],
Iaf = F ∈ C [a, b] ⊂ L1(a, b), donde segue que a expressão a seguir é bem definida:
· · ·
n
f = (Inf ) .
3Um semigrupo é uma estrutura algébrica consistindo de um conjunto munido de uma operação
binária (fechada) associativa. Assim, no contexto dos operadores de diferenciação e integração, a operação binária em questão é a composição.
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Além disso, para funções integráveis, também vale a propriedade de semigrupo ImInf (x) = InImf (x) = Im+nf (x) .
Notação 1.12 Para unificação simbólica4, usamos a letra Dν para denotar o operador
de integrodiferenciação fracionária de ordemν > 0 do seguinte modo:
Dν : Dom(D) ⊂ F → F,
onde D−ν ≡ Iν e Dν
= Dν
≡ dν
dxν denotam a integral e a derivada de ordens arbitrárias5
ν ∈ R (ou C), respectivamente. Em particular, Dn = dn
dxn e D−n = I
n quando
n ∈ N. Também iremos denotar, por conveniência, D0 ≡ I o operador identidade.
Lembremos que o Teorema Fundamental do Cálculo (Clássico) nos dá o seguinte resultado:
Teorema 1.2 (TFC - Clássico) Seja f ∈ C[a, b]. Defina F : [a, b] −→ R por F (x) =
x a
f (t)dt,
para todox ∈ [a, b]. Então, F é contínua em [a, b], diferenciável em (a, b) e F′ = f . Ou seja, o teorema estabelece uma relação íntima entre os operadores de integração e diferenciação. Na nossa notação, este resultado fica escrito como (DI) f = f.
Corolário 1.2 Seja f ∈ L1[a, b], então
(Dn
Inf ) (x) = f (x) . (1.2)
Prova. De fato, a Eq.(1.2) pode ser provada por indução.
4Explicaremos com mais detalhes esta ideia na Seção 2.4.
5Neste momento, ainda não é feito distinção entre as diferentes formas de se definir os operadores
Para n = 1 o resultado é o próprio Teorema 1.2. Suponha, por hipótese indutiva, que o resultado seja válido para n, então:
Dn+1In+1 f (x) = [D (Dn
In
) If] (x) = [DIIf] (x)
= f (x) donde se conclui a prova.
Corolário 1.3 Seja f ∈ Cn[a, b], então
(In Dn f ) (x) = f (x) − n−1 k=0 f(k) a+ x k k!. Prova. A prova também é feita por indução. Para n = 1, temos
(IDf) (x) =
x a+
f′(t) dt = f (x) − f a+ .
Agora suponha, por hipótese indutiva, a validade do resultado para n, então: In+1Dn+1f = I (InDnf′) = I f′− n−1 k=0 f(k+1) a+ x k k! = If′− I n−1 k=0 f(k+1) a+ x k k! = f (x) − f a+ − n−1 k=0 f(k+1) a+ x k+1 (k + 1)! = f (x) − n k=0 f(k) a+ x k k! donde se conclui a prova.
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Portanto, se a ideia do cálculo fracionário é obter uma generalização dos operadores de integração e diferenciação para ordens ν arbitrárias, devemos procurar estabelecer condições para que estas relações continuem válidas em um sentido generalizado, e.g., se C ⊂ Dom(D) denotar a classe de funções para o qual vale um resultado generalizado do Teorema 1.2, então será que
DνD−ν f = Dν−νf = D0f = f ?
1.2 Funções Especiais do Cálculo Fracionário
Dedicamos esta seção para relembrarmos de algumas funções e algumas de suas pro-priedades que devido a sua importância no contexto do estudo do cálculo fracionário, merecem o crédito de serem nomeadas segundo a nomenclatura acima.
1.2.1 Funções Generalizadas: Distribuição δ-Dirac
Começamos relembrando que apesar da nomenclatura “funções generalizadas”, o termo a que nos referimos não trata verdadeiramente de funções no sentido usual, mas sim de uma classe de funcionais lineares contínuos agindo em um certo espaço de funções “sufi-cientemente bem comportadas”. Então para introduzirmos formalmente estes conceitos [3, 10, 18, 52, 58], começamos com a recordação de algumas definições.
Definição 1.1 Seja ϕ : Ω → R, ϕ ∈ C∞(Ω). O suporte de ϕ (x) em Ω é o fecho do
subconjunto A ⊂ Ω para o qual ϕ (x) = 0. Nessas condições, ϕ (x) é dita com suporte
compacto em A ⊂ Ω se
ϕ (x) = 0, x /∈ A.
Note que, se Ω = [a, b] ⊂ R, então como ϕ ∈ C∞(Ω) é contínua, segue que ela é
limitada em Ω e, consequentemente, ϕ (x) < ∞, x ∈ A.
Definição 1.2 Denotaremos por D (Ω) o conjunto de todas as funções suaves e com suporte compacto emΩ, i.e.,
Os elementos de D (Ω) são usualmente denominados de funções teste e, neste tra-balho, adotaremos esta mesma nomenclatura.
Um exemplo de função teste é a função ϕǫ(x) = cǫexp − ǫ 2 ǫ2 −x2 , |x| < ǫ, 0, |x| > ǫ. (1.3)
É fácil mostrar que D (Ω) é fechado com respeito a (i) operação de soma e (ii) multiplicação por escalar
(i) ϕ, φ ∈ D (Ω) ⇒ (ϕ + φ) ∈ D (Ω) ,
(ii) ϕ ∈ D (Ω) e λ ∈ K = R (ou C) ⇒ λϕ ∈ D (Ω)
e que estas operações satisfazem os axiomas canônicos sobre espaço linear, logo D (Ω) é um espaço linear sobre o corpo
K
.Definição 1.3 Dizemos que ϕn(x) → ϕ (x) ∈ D (Ω), se dada uma sequência de funções
teste {ϕn(x)}n∈N, existir algum A ⊂ Ω limitado, tal que para todo n ∈ N,
(i) ϕn(x) = 0, x /∈ A,
(ii) ϕ(k)n (x) → ϕ(k)(x) , ∀k ∈ N,
sendo que em(ii) a convergência exigida é a uniforme.
Definição 1.4 Um funcional linear contínuo sobre o espaço D (Ω) é uma aplicação f: D (Ω) → R que associa a cada ϕ ∈ D (Ω) um número real f [ϕ] ≡ (f, ϕ) e que satisfaz as seguintes propriedades:
(i) f é linear; (ii) f é contínuo.
Especificamente, a condição (i) da Definição 1.4, significa que dados α, β ∈ K = R (ou C) e ϕ, φ ∈ D (Ω), então
(f, αϕ + βφ) = (f, αϕ) + (f, βφ) = α (f, ϕ) + β (f, φ) .
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Já a condição (ii) da mesma definição, significa que ϕn→ ϕ ⇔ (f, ϕn) → (f, ϕ) .
O espaço de todos os funcionais lineares sobre D (Ω) também é um espaço linear so-bre o corpo K = R (ou C) e pode ser mostrado que ele é o dual de D (Ω) e, portanto, será denotado por D∗(Ω) e os elementos deste novo espaço linear são usualmente chamados
de funções generalizadas [18, 58].
Dentro de D∗(Ω), podemos categorizar dois tipos de funções generalizadas: as
regu-lares e as singuregu-lares.
Definição 1.5 (Funções Generalizadas Regulares) Seja f (x) ∈ L1,loc(Ω) e
con-sidere o funcional linear e contínuo f∈ D∗(Ω) definido por f[ϕ (x)] = (f, ϕ) :=
Ωf (x) ϕ (x) dx, ϕ (x) ∈ D (Ω) .
(1.4)
Então f é dito uma função generalizada regular. E mais, toda função generalizada de D∗(Ω) que puder ser definida em termos de uma função f localmente integrável segundo a fórmula Eq.(1.4) é dita regular.
Note que a linearidade de f advém da linearidade da integral e a continuidade de f advém do fato de que ϕn → ϕ uniformemente sendo que cada ϕntem suporte compacto
em Ω. Observe também que cada f ∈ D∗(Ω) é identificada univocamente com uma
f ∈ L1,loc(Ω).
Observação 1.1 Aproveitamos para chamar atenção a respeito da notação utilizada:
devido ao fato de que para cada função generalizada regular f corresponde uma f ∈
L1,loc(Ω) (e viceversa), muitos livros que tratam sobre a teoria de funções generalizadas
(distribuições), e.g., os clássicos [18, 52, 58], não utilizam como apresentado neste trabalho, duas nomenclaturas f ∈ D∗(Ω) e f ∈ L1,loc(Ω) para distinguir uma função
generalizada regular f da função f que define o modo como f age sobre ϕ (x) por meio da integral de f (x) ϕ (x). Portanto, é comum na nomenclatura tradicional reescrever
f[ϕ] ≡ (f, ϕ) por (f, ϕ) ou ainda (f(x), ϕ(x)) (para explicitar a variável independente)
e simplesmente usar o símbolo f = f (x) para denotar tanto a função generalizada
quanto a função localmente integrável associada, distinguindo-as formalmente segundo o contexto e tendo sempre em mente que não há sentido algum em avaliar uma função generalizada em um dado ponto x.
Definição 1.6 (Funções Generalizadas Singulares) As demais funções generaliza-das de D∗(Ω) que não são regulares, são ditas singulares.
Note que do modo como foi definida uma função generalizada singular, é impossível identificá-la com uma função f localmente integrável e o exemplo clássico que podemos mencionar é a chamada função generalizada δ-Dirac, ou ainda, distribuição δ-Dirac, δ = δ(x), cuja principal propriedade é que
δ [ϕ (x)] = (δ (x) , ϕ (x)) = ϕ (0) , (1.5)
ou mais geralmente, δa= δ (x − a)
δa[ϕ (x)] = (δ (x − a) , ϕ (x))
= ϕ (a) , a ∈ Ω.
De fato, suponha que exista uma função f ∈ L1,loc(Ω) tal que para todo ϕ ∈ D (Ω)
tenhamos
Ω
f (x) ϕ (x) dx = ϕ (0) .
Em particular, tomando como função teste a ϕǫ(x) definida na Eq.(1.3), temos
Ω f (x) ϕǫ(x) dx = Ω f (x) cǫexp − ǫ2 ǫ2 − x2 dx (1.6) = ϕǫ(0) = cǫe−1. (1.7)
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
No entanto, se ǫ → 0 então ϕǫ(x) → 0 e a integral da Eq.(1.6) converge para zero, o
que contradiz o resultado da Eq.(1.7).
Novamente chamando atenção para a nomenclatura, devemos ter em mente que δ = δ (x) não é uma função no sentido usual, mas sim um funcional linear contínuo que age em funções testes ϕ (x) ∈ D (Ω) e seguindo a nomenclatura (e a definição da Eq.(1.4)) advinda das funções generalizadas regulares, alguns autores costumam escrever
ϕ (0) = (δ (x) , ϕ (x)) =
Ω
δ (x) ϕ (x) dx. (1.8)
No caso específico de funções generalizadas singulares como a δ-Dirac, em geral, a integral do lado direito da igualdade acima não tem nenhum significado no sentido usual, mas observamos que a Eq.(1.8) pode ter sentido matemático rigoroso introduzindo-se a chamada medida de Dirac “dδ (x)”, como observado pelo autor em [14].
Para terminarmos esta seção, comentamos sobre a diferenciabilidade e integrabili-dade das funções generalizadas. É conhecido que nem todas as funções (ordinárias) são diferenciáveis e, de fato, uma infinidade delas não são nem contínuas, no entanto, de acordo com a definição que daremos de diferenciação de funções generalizadas, veremos que toda f ∈ D∗(Ω) é diferenciável e ainda mais, infinitamente diferenciável.
Seja f ∈ C1(Ω), assim considere o funcional linear f′ ∈ D∗(Ω) definido por
f′[ϕ (x)] = (f′, ϕ) (1.9) = (f′(x) , ϕ (x)) = ∞ −∞ f′(x) ϕ (x) dx.
Integrando por partes e lembrando que como ϕ (x) ∈ D (Ω), então ϕ (x) = 0 fora do intervalo Ω = [a, b], daí podemos reescrever a Eq.(1.9) como
(f′(x) , ϕ (x)) = f (x) ϕ (x)|∞−∞− ∞ −∞ f (x) ϕ′(x) dx = − ∞ −∞ f (x) ϕ′(x) dx = − (f (x) , ϕ′(x)) . (1.10)
Ou seja, (f′, ϕ) = (f′(x) , ϕ (x)) = − (f (x) , ϕ′(x)) e, de modo geral, uma trivial
prova por indução nos garante o seguinte resultado f(k)[ϕ (x)] = f(k)(x) , ϕ (x) = (−1)k
f (x) , ϕ(k)(x) . (1.11)
Note que da propriedade Eq.(1.5) da função δ-Dirac e do resultado recém apresen-tado sobre a diferenciabilidade das funções generalizadas, segue que
(δ′(x) , ϕ (x)) = − (δ (x) , ϕ′(x)) = ϕ′(0) ,
δ(k)(x) , ϕ (x) = (−1)k δ (x) , ϕ(k)(x) = (−1)kϕ(k)(0) , onde δ(k)
= Dkδ.
Agora, vejamos como a integrabilidade das funções generalizadas pode ser definida. Obviamente, motivados pelo Teorema 1.2 e da propriedade da derivação Eq.(1.11) gostaríamos de ter válido, para f ∈ D∗(Ω), f ∈ L
1,loc(Ω) e denotando f(−1) uma
primi-tiva de f, os seguintes resultados (i) d
dxf(−1) = f,
(ii) (f′(x) , ϕ (x)) = − (f (x) , ϕ′(x)) .
Ou seja, aplicando ambos os funcionais lineares em cada lado da igualdade (i) numa função teste ϕ ∈ D (Ω) e depois usando o resultado (ii) obtemos
d dxf (−1)[ϕ (x)] = f [ϕ (x)] d dxf (−1)(x) , ϕ (x) = (f (x) , ϕ (x)) − f(−1)(x) , ϕ′(x) = (f (x) , ϕ (x)) f(−1)(x) , ϕ′(x) = − (f (x) , ϕ (x)) . (1.12)
Agora, será que podemos escrever
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
com c ∈ K = R (ou C) e de modo que ψ′(x) ∈ D (Ω) ⇒ ψ (x) ∈ D (Ω)?
Observe que se tivermos a seguinte condição, ϕ0(x) ∈ D (Ω) tal que ∞ −∞ ϕ0(x) dx = 1 e escrevermos ϕ (x) = ψ′(x) + ϕ0(x) ∞ −∞ ϕ (ξ) dξ, (1.14) então definindo ψ (x) := x −∞ ϕ (ξ) − ϕ0 (ξ) ∞ −∞ ϕ (η) dη dξ,
teremos que ψ (x) ∈ D (Ω), pois claramente ψ (x) é infinitamente diferenciável e terá
suporte compacto em Ω, uma vez que ϕ e ϕ0têm suporte compacto em Ω.
Comparando-se as Eq.(1.13) e Eq.(1.14) conclui-Comparando-se que c = (1, ϕ0(x)) =
∞ −∞
ϕ (ξ) dξ. Desta investigação, podemos concluir que
f(−1)(x) , ϕ (x) = f(−1)(x) , ψ′(x) + cϕ0(x) = f(−1)(x) , ψ′(x) + f(−1)(x) , cϕ0(x) = − dxd f(−1)(x) , ψ (x) + (1, ϕ0(x)) c0 = − (f (x) , ψ (x)) + (c0, ϕ (x)) , onde c0 = f(−1), ϕ0 .
1.2.2 A Função Gama Γ(z)
Nesta seção apresentamos a função gama e algumas de suas propriedades e sua relação com outras funções especiais.
de Euler de segunda espécie, Γ(z) =
∞ 0
xz−1e−xdx, Re (z) > 0, (1.15)
onde xz−1 = e(z−1) ln x, sendo que a integral da Eq.(1.15) converge absolutamente para
todo z ∈ C, Re (z) > 0 e, portanto, Γ(z) é contínua para todo z ∈ C, Re (z) > 0. Observe que se integrarmos a Eq.(1.15) por partes, nós obtemos uma das principais propriedades da função gama, a saber
Γ(z) = ∞ 0 xz−1e−xdx = −e−xx z z ∞ 0 + 1 z ∞ 0 xze−xdx = 1 zΓ(z + 1), ou ainda, zΓ(z) = Γ(z + 1). (1.16)
Uma prova simples por indução, nos permite verificar que a função gama é uma extensão para as variáveis contínuas do fatorial n! valendo a seguinte relação quando z = n ∈ N
Γ(n + 1) = n!. (1.17)
De fato, para z = 1, temos Γ(1) =
∞ 0
e−xdx = −e−x ∞
0 = 1.
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
e vamos prová-la para z = n + 1: Γ(n + 2) = ∞ 0 xn+1e−xdx = −xn+1e−x ∞0 + (n + 1) ∞ 0 xne−xdx = (n + 1) Γ(n + 1) = (n + 1) n! = (n + 1)!.
A fórmula da Eq.(1.16) é conhecida como fórmula da redução e a partir desta relação, podemos estender o domínio de definição da função gama para o semiplano Re (z) ≤ 0 do seguinte modo
Γ(z) = Γ(z + n)
(z)n , Re (z) > −n ∈ N0, z /∈ Z
−
0, (1.18)
onde (z)ndenota o símbolo de Pochhammer (ascendente), definido para z ∈ C e n ∈ N0
como
(z)0 = 1, (1.19)
(z)n = z (z + 1) · · · (z + n − 1) . (1.20)
Por completude, também mencionamos o símbolo de Pochhammer (descendente), definido para z ∈ C e n ∈ N0 como
(z)0 = 1, (1.21)
(z)−n = z (z − 1) · · · (z − n + 1) . (1.22)
iden--5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -10 -5 5 10 Re(z)
Figura 1.1: Gráfico da função gama ao longo do eixo real com descontinuidades (infini-tas) nos valores de z ∈ Z−
0. tidades a seguir[25, 35] (z)n = Γ(z + n) Γ(z) , (1.23) (z)−n = Γ(z + 1) Γ(z − n + 1) (1.24) e (−z)−n = (−1) n (z)n, (1.25) (−z)n = (−1) n (z)−n. (1.26)
Note que a Eq.(1.18) claramente nos mostra que se z ∈ Z−
0, então Γ(z) = ±∞,
i.e., a função gama apresenta polos simples nestes pontos. Entretanto, a razão entre funções gama avaliadas em inteiros negativos resulta em valores finitos [35]. De fato,
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
sejam m, n ∈ N com m − n = p > 0, então usando a Eq.(1.23) temos Γ (−n) Γ (−m) = Γ (−m + p) Γ (−m) = (−m)p = −m (−m + 1) · · · (−m + p − 1) = −m (−m + 1) · · · (−n − 1) = (−1)p[m (m − 1) · · · (n + 1)] = (−1)m−nm! n!, e, portanto, deste último resultado6
Γ (−m)
Γ (−n) = (−1)
m−n n!
m!. (1.27)
Outras fórmulas conhecidas e que valem serem mencionadas para uso futuro são a famosa fórmula de reflexão
Γ(z)Γ(1 − z) = sen πzπ (1.28)
e a identidade, conhecida pelo nome de fórmula de duplicação
Γ 3 2 + k Γ (2k + 2) = √ π 22k+1Γ (k + 1), k ∈ N0. (1.29)
Recordamos agora a função beta definida em termos da integral de Euler de primeira espécie B (p, q) = 1 0 zp−1(1 − z)q−1dz = Γ (p) Γ (q) Γ (p + q), p, q /∈ Z − 0 (1.30)
e também da chamada função gama incompleta γ∗ definida em termos da série de
potências γ∗(ν, z) = e−z ∞ k=0 zk Γ (ν + k + 1), (1.31)
que é inteira com respeito aos parâmetros ν e z. No caso em que Re (z) > 0, então
6Note que (−1)n−m
γ∗(ν, z) possui a representação integral γ∗(ν, z) = 1 Γ (ν) zν z 0 tν−1e−tdt. (1.32)
Por fim, mencionamos que é possível descrever os coeficientes binomiais generaliza-dos reais7 em termos da função gama
α
β =
Γ (α + 1)
Γ (α − β + 1) Γ (β + 1), (1.33)
válida para α, β ∈ R (arbitrários) com a restrição de que α = −1, −2, . . ., se β /∈ Z. Observe que β > α implica que
α
β = 0
e que o caso particular, α = m e β = n, m, n ∈ N se reduz ao caso clássico bem conhecido m n = m! (m − n)!n!. (1.34)
1.2.3 Funções de Mittag-Leffler
Da mesma forma que a função exponencial ex desempenha um papel de destaque no
cálculo clássico de ordem inteira, as funções de Mittag-Leffler desempenham um papel destacado análogo no cálculo de ordem arbitrária. O que queremos denotar por esta afirmação é que assim como se faz necessário um bom entendimento da exponencial para o estudo e aplicações do cálculo diferencial e integral clássicos o mesmo pode ser dito para aqueles que desejam se aventurar pelo cálculo fracionário. De fato, não é incomum ao resolvermos equações diferenciais de ordem fracionária, obtermos soluções que se não diretamente expressas em termos de uma função de Mittag-Leffler, então ao menos se relacionam com ela através de alguma identidade. Nesta seção dedicamos algumas palavras para introduzir as funções de Mittag-Leffler e algumas de suas propriedades.
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Definição 1.7 Sejam Re (α) > 0 e z ∈ C. A função Eα definida pela série
Eα(z) = ∞
k=0
zk
Γ (αk + 1) (1.35)
é chamada de função de Mittag-Leffler de ordem α, as vezes também denotada por
função de Mittag-Leffler de um parâmetro.
Esta função foi introduzida e suas propriedades básicas estudadas pelo matemático sueco Gösta Mittag-Leffler (1846 - 1927). Tomando α = 1, segue imediatamente a identidade E1(z) = ∞ k=0 zk Γ (k + 1) = ∞ k=0 zk k! = e z. (1.36)
As seguintes funções, apesar de não terem sidos formalmente apresentadas por Mittag-Leffler também recebem o seu nome por serem generalizações diretas da função da Eq.(1.35):
Definição 1.8 Sejam Re (α) > 0, γ > 0 e z, β ∈ C. As funções definidas pelas séries Eα,β(z) = ∞ k=0 zk Γ (αk + β) (1.37) e Eα,βγ (z) = ∞ k=0 (γ)kzk k!Γ (αk + β) (1.38)
são chamadas de funções de Mittag-Leffler de dois e três parâmetros, respectivamente.
As funções de Mittag-Leffler de um, dois e três parâmetros são funções inteiras em C. De fato, podemos provar que os seus respectivos raios de convergência são infinitos, aplicando o teste da razão para a séries ∞
k=0|u
k|, onde uk são os coeficientes das séries
Por, exemplo, tomando uk = z k Γ(αk+1), temos uk+1 uk = z k+1 Γ (αk + α + 1) Γ (αk + 1) zk = zΓ (αk + 1) Γ (αk + α + 1) = |z| 1 (αk + 1)α ,
donde segue que lim k→∞ uk+1 uk = lim k→∞|z| 1 (αk + 1)α = |z| limk→∞ 1 (αk + 1)α = 0, ∀z ∈ C
e, portanto, a série para Eα(z) converge absolutamente para todo z ∈ C. As
demons-trações para Eα,β(z) e Eα,βγ (z) são feitas de modo similar.
Nós vimos que a exponencial é um caso particular da função Eα(z) quando
es-colhemos α = 1. Outras identidades entre as funções de Mittag-Leffler e as funções trigonométricas clássicas também são trivialmente obtidas como mostrado a seguir
E2,1 z2 = ∞ k=0 z2k Γ (2k + 1) = ∞ k=0 z2k (2k)! = cosh (z) , (1.39) E2,2 z2 = ∞ k=0 z2k Γ (2k + 2) = ∞ k=0 z2k+1 z (2k + 1)! = senh (z) z , (1.40) E2,1 −z2 = ∞ k=0 (−1)kz2k Γ (2k + 1) = ∞ k=0 (−1)kz2k (2k)! = cos (z) , (1.41) E2,2 −z2 = ∞ k=0 (−1)kz2k Γ (2k + 2) = ∞ k=0 (−1)kz2k+1 z (2k + 1)! = sen (z) z . (1.42)
1.2.4 Funções Hipergeométricas
Nesta seção relembramos as definições das funções hipergeométricas e algumas das suas propriedades.
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Dada uma equação diferencial, ordinária, linear, homogênea e de segunda ordem d2u (z)
dz2 + p(z)
du(z)
dz + q(z)u(z) = 0, (1.43)
com p(z), q(z) ∈ C para a qual se impõe que ela admita três pontos singulares regulares, incluindo um no infinito, então é sempre possível, através de uma série de transformações de variáveis, reduzi-la à forma [7]
z (1 − z)d
2u(z)
dz2 + [c − (a + b + 1)]
du(z)
dz − abu(z) = 0, (1.44)
que é a chamada equação hipergeométrica.
Observando que a equação hipergeométrica possui singularidades regulares nos pon-tos z = 0, z = 1 e z = ∞, podemos obter uma solução nas proximidades da origem, utilizando-se o método de Frobenius [7, 8], a saber:
u1(z) = 2F1(a, b; c; z) (1.45) = Γ(c) Γ(a)Γ(b) ∞ k=0 Γ(a + k)Γ(b + k) Γ(c + k)k! z k = ∞ k=0 (a)k(b)k (c)k zk k!,
conhecida como função hipergeométrica de Gauss. Ela é absolutamente convergente8
no disco |z| < 1 e com a, b ∈ C; c ∈ C \ Z−
0 e para os demais valores de z a função
hipergeométrica é definida pela continuação analítica da série, sendo um dos métodos para tal extensão obtida pela representação integral
2F1(a, b; c; z) = Γ (c) Γ (b) Γ (c − b) 1 0 tb−1(1 − t)c−b−1(1 − zt)−adt, (1.46) com 0 < Re (b) < Re (c) e |arg (1 − z)| < π. A condição no argumento de (1 − z) significa que a função é considerada no plano complexo com um corte ao longo de (1, ∞)
8A série também é condicionalmente convergente para |z| = 1 quando Re (c − a − b) > 0 ou |z| = 1
e que o ramo principal escolhido é (1 − zt)−a = e−a ln(1−zt), para o qual ln(1 − zt) ∈ R
para z ∈ [0, 1].
Uma segunda solução linearmente independente a u1(z) quando c ∈ C \ Z−0 é dada
por
u2(z) = z1−c[2F1(a − c + 1, b − c + 1; 2 − c; z)] .
Dentre as várias propriedades encontradas na literatura [7, 8, 25] para a função hipergeométrica, listamos algumas:
2F1(a, b; c; z) = 2F1(b, a; c; z), 2F1(a, b; b; z) = (1 − z)−a, 2F1(a, b; c; 0) = 2F1(0, b; c; z) = 1, 2F1(a, b; b; 1) = Γ (c) Γ(c − a − b) Γ(c − a)Γ(c − b), Re [c − a − b] > 0, dk dzk[2F1(a, b; c; z)] = (a)k(b)k (c) k [2F1(a + k, b + k; c + k; z)] .
Função Hipergeométrica Confluente
A chamada função hipergeométrica confluente 1F1 (ou função de Kummer) é obtida
a partir da função hipergeométrica apresentada na equação Eq.(1.45) tomando-se o seguinte limite 1F1(a; c; z) = lim b→∞ 2F1(a, b; c; z b) = ∞ k=0 (a)k (c)k zk k!, |z| < ∞ (1.47)
e assim como a função hipergeométrica, também possui uma representação integral:
1F1(a; c; z) = Γ(c) Γ(c − a) 1 0 ta−1 (1 − t)c−a−1eztdt, para 0 < Re (a) < Re (c).
dife-CAPÍTULO 1. PRELIMINARES rencial zd 2u(z) dz2 + (c − z) du(z) dz − au(z) = 0, (1.48)
chamada de equação hipergeométrica confluente.
Observamos que as funções de Bessel são casos particulares das funções hipergeo-métricas confluentes9 e são dadas por
1F1 ν + 1 2; 2ν + 1; 2iz = Γ (1 + ν) e iz z 2 −ν Jν(z),
onde Jν(z) é a função de Bessel de primeira espécie e de ordem ν, a qual sabemos ter
a seguinte representação em série de Frobenius: Jν(z) = ∞ k=0 (−1)k z2 ν+2k Γ (ν + k + 1) k!.
9Na verdade as funções de Bessel também podem ser escritas em termos das funções
hipergeométri-cas segundo a relação Jν(z) = (
z 2) ν Γ(ν+1) 0F1 ν + 1; − z2 4 [25].
Cap´ıtulo
2
Introdução ao Cálculo de Ordem
Fracionária
Neste capítulo apresentamos1 as diversas definições dos operadores de integração e
diferenciação fracionários e para cada caso enunciamos propriedades, proposições, lemas e teoremas que quando não demonstrados explicitamente, serão indicados pelas devidas referências bibliográficas.
Lembremo-nos que o cálculo diferencial é um ramo do cálculo e é a Matemática que usamos para lidar com problemas envolvendo taxas de variação, por exemplo: per-mite calcular coeficientes angulares de curvas, velocidades e acelerações de objetos em movimento, como e.g.: a localização de corpos celestes usando-se a teoria Newtoni-ana da gravitação (e a teoria de sistemas dinâmicos), dentre tantas outras aplicações numa disciplina quantitativa. Desenvolvido por Newton e Leibniz2 no final do século
XVII, a formalização desta nova área serviu de catalizador para que outros matemáticos investigassem a abrangente aplicabilidade desta nova ferramenta matemática.
O primeiro texto de cálculo formalmente publicado, Analyse des Infiniment Petits pour l’Intelligence des Lignes Courbes, foi escrito pelo matemático francês Guillaume François Antoine (1661-1704), também conhecido como o marquês de L’Hospital [16].
1Conteúdos desta seção faz parte de um trabalho [44] a ser submetido para publicação.
2Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) rivais na invenção do cálculo
de ordem3 n:
dxn, segundo a notação de Leibniz, quando n fosse uma fração e não um
inteiro positivo. Neste mesmo período, numa carta de Leibniz para Johan Bernoulli (1667-1748), foi mencionado pela primeira vez o termo derivada de ordem arbitrária e alguns anos mais tarde, em correspondência com John Wallis (1616-1703), onde dis-cutiam sobre a representação de 1
2π por produtos infinitos, Leibniz afirmou que este
resultado poderia ter sido obtido por meio do cálculo diferencial e usou a notação d1
2y
para designar a derivada de ordem 1 2.
Portanto, como mostra a própria história do Cálculo, desde debates iniciais, o tema sobre as derivadas de ordem não inteira chamou a atenção de vários matemáticos famosos tais como, Euler (1707 - 1783), Laplace (1749 - 1827), Fourier (1768 - 1830), Abel (1802 1829), Liouville (1809 1882), Riemann (1826 1866) e Laurent (1813 -1854), dentre outros. Foi somente a partir de 1884 que a teoria dos operadores, um dos ramos da análise funcional, atingiu um nível suficiente para ser usado como ponto de partida para matemáticos modernos. Desde então, a teoria incorporou a notação Dν, donde ν pode ser um número real ou complexo arbitrário e, nesse sentido, talvez o
nome cálculo fracionário não seja mais apropriado, a não ser por motivos de tradição histórica. Neste trabalho, como já mencionado, usaremos indiscriminadamente, o nome clássico cálculo fracionário e suas variantes.
Alguns matemáticos, como Sonin, Letnikov e Laurent, consideraram uma abor-dagem através dos operadores diferencial e integral de ordens fracionárias, os quais se baseiam essencialmente na famosa fórmula integral de Cauchy-Goursat. Demonstraram os benefícios e a versatilidade do cálculo fracionário na obtenção de soluções particulares de famílias de equações diferenciais ordinárias (EDOs) e equações diferenciais parciais (EDPs) homogêneas e não homogêneas, dentre elas uma célebre equação que aparece em inúmeros problemas de Física-Matemática, a equação de Bessel Eq.(1).
Além das teorias das equações diferenciais, das equações integrais e das funções especiais da Física-Matemática, algumas das áreas de aplicação moderna do cálculo fracionário incluem dinâmica de fluidos [55], teoria de grupos [21], mecânica quântica
3Em 1695, L’Hospital escreveu uma carta a Leibniz perguntando-lhe “e se n = 1
2?” e a resposta que
CAPÍTULO 2. INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DE ORDEM FRACIONÁRIA
[21], física nuclear [12, 21], probabilidade e estatística [12, 55], processamento de sinais [12, 51], entre outros.
Nas seções a seguir, introduzimos as definições e algumas propriedades das integrais e derivadas fracionárias segundo Riemann-Liouville, Caputo, Grünwald-Letnikov e por último, apresentamos a tentativa de unificar os operadores de integração e diferenciação (segundo Riemann-Liouville) num único operador de integrodiferenciação referenciando, logo em seguida, esta abordagem com a formulação proposta por Marchaud [30]. Em cada caso, discutimos as condições para que as definições façam sentido e a classe de funções que podemos operar. A nossa meta nesta primeira parte é poder verificar se há algum tipo de relação entre as diferentes definições, ou seja, queremos responder as seguintes perguntas: será que existe alguma equivalência entre elas? Se sim, como podemos obter uma definição a partir da outra?
2.1 Integral e Derivada de Riemann-Liouville
Devido a razões históricas, é interessante começar a nossa investigação pelas definições de integrais fracionárias, atualmente conhecidas como integrais de Riemann-Liouville. A partir delas, definimos posteriormente as derivadas fracionárias de Riemann-Liouville.
Definição 2.1 Seja Ω = [a, b] ⊂ R um intervalo finito. As expressões para Iν
a+f e Iν b−f conforme as identidades: Iν a+f (x) ≡ 1 Γ (ν) x a (x − t) ν−1 f (t) dt, (2.1) comx > a, Re (ν) > 0 e Iν b−f (x) ≡ 1 Γ (ν) b x (t − x) ν−1f (t) dt, (2.2)
com x < b, Re (ν) > 0, onde Γ (ν) é a função gama, definem as integrais fracionárias
de Riemann-Liouville (IFRL) de ordem ν ∈ C num intervalo real finito. As integrais
em Eq.(2.1) e Eq.(2.2) são chamadas de integrais fracionárias à esquerda e à direita, respectivamente.
Alguns autores (e.g. [32])4 apresentam uma definição um pouco mais particular do
que as versões acima, denotando por IFRL o caso em que R ∋ x > 0: (Iν f) (x) ≡ 1 Γ (ν) x 0 (x − t) ν−1f (t) dt, (2.3) com Re (ν) > 0.
A primeira consideração que fazemos a respeito dessas definições é que se ν = n ∈ N, então as definições Eq.(2.1), Eq.(2.2) e Eq.(2.3) coincidem com as integrais iteradas de ordem n: Ia+n f (x) = 1 (n − 1)! x a (x − t) n−1f (t) dt, (2.4a) In b−f (x) = 1 (n − 1)! b x (t − x)n−1f (t) dt. (2.4b)
Para convencer o leitor disso, mostraremos como obter Eq.(2.4a) a partir da integral iterada de ordem n ∈ N e depois fazendo n → ν ∈ C, com Re (ν) > 0.
Suponha f(x) contínua em R. Então, pelo teorema fundamental do cálculo d dx[Ia+f (x)] = d dx x a f (t) dt = f (x), onde Ia+f (a) = a a f (t) dt = 0.
Usando uma hipótese indutiva, suponha a fórmula válida para um n ∈ N qualquer, provaremos então a validade para n + 1 ∈ N usando a regra da cadeia. Para isso, considere a função auxiliar
g(x1, x2) = 1 n! x1 a (x2− t)nf (t) dt
4Este autor, junto com [21], distinguem a nomenclatura, baseando-se nos limites inferior e superior
das integrais. Segundo suas nomenclaturas, Eq.(2.1) e Eq.(2.2) são chamadas de versão segundo Riemann; e quando a = −∞, denotam por versão segundo Liouville.
CAPÍTULO 2. INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DE ORDEM FRACIONÁRIA
com x2 ∈ R fixo. Então,
∂ ∂x1 g(x1, x2) = 1 n!(x2− x1) nf (x 1) . (2.5)
Por outro lado, derivando agora com respeito a variável x2, e mantendo x1 ∈ R fixo
temos ∂ ∂x2 g(x1, x2) = ∂ ∂x2 1 n! x1 a (x2− t)nf (t) dt = 1 n! x1 a ∂ ∂x2 [(x2− t)nf (t)] dt = 1 n! x1 a n(x2− t)n−1f (t) dt = 1 (n − 1)! x1 a (x2− t)n−1f (t) dt. (2.6)
Portanto, segue pelas Eq.(2.5) e Eq.(2.6) d dx I (n+1) a+ f(x) = ∂ ∂x1 g(x1, x2) + ∂ ∂x2 g(x1, x2) x1=x=x2 In a+f(x) = 1 n!(x − x) nf (x) + 1 (n − 1)! x a (x − t) n−1f (t) dt = 0 + 1 (n − 1)! x a (x − t) n−1 f (t) dt. Além disso, I(n+1) a+ f (a) = n!1 a a (x − t) nf (t) dt = 0. Portanto, Ia+n f (x) = 1 (n − 1)! x a (x − t) n−1 f (t) dt = 1 Γ(n) x a (x − t) n−1 f (t) dt (2.7) é a n−ésima antiderivada de f e Ik a+f (a) = 0, k = 1, 2, . . . , n.
Claramente, a expressão Eq.(2.7) é válida mesmo no caso em que n → ν ∈ C, com Re (ν) > 0, desde que a integral convirja.
A segunda consideração é que as definições Eq.(2.1) e Eq.(2.2) podem ser obtidas através de abordagens distintas. Citamos a seguir, algumas delas.
Por exemplo, partindo-se da fórmula integral de Cauchy5. Sabemos que para uma
função f : Ω → C analítica em uma região aberta Ω do plano complexo e A ⊂ Ω uma região aberta tal que C seja uma curva suave fechada delimitando a fronteira de A, então
f (z) = 1
2πi C
f (ζ)
(ζ − z)dζ (2.8)
para z ∈ A. Usando a Eq.(2.8), deriva-se a expressão para a fórmula de Cauchy para derivadas de ordem n ∈ N:
D(n)f (z) = n!
2πi C
f (ζ)
(ζ − z)n+1dζ. (2.9)
Note que há uma certa semelhança entre a expressão em Eq.(2.9) com as definições apresentadas em Eq.(2.1), Eq.(2.2) e Eq.(2.3).
De fato, se ao invés de um natural n considerarmos um número complexo η, então no lugar de n! na Eq.(2.9) podemos usar a representação via função gama Γ (η + 1). Entretanto, para η /∈ Z, o ponto z ∈ C na Eq.(2.9) torna-se uma ramificação e não mais um simples polo de modo que não podemos mais usar uma curva C simples fechada ao redor de z ∈ C. O procedimento padrão nesse caso é fazer um “corte” ao longo do eixo real estendendo-se no semi-intervalo (−∞, z) (Figura 2.1).
Daí, consideramos o contorno orientado no sentido anti-horário formado pelas retas L1 e L2 e a circunferência γ centrada em z e a integral em Eq.(2.9) fica reescrita como:
D(η)f (z) = Γ (η + 1) 2πi γ(ζ − z) −η−1f (ζ) dζ (2.10) + L1 (ζ − z)−η−1f (ζ) dζ + L2 (ζ − z)−η−1f (ζ) dζ .
5O artigo On differentiation with arbitrary index, escrito por N. Ya. Sonin em 1869 foi pioneiro
no sentido de partir da fórmula integral de Cauchy para chegar na definição que hoje chamamos de Riemann-Liouville [32].
CAPÍTULO 2. INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DE ORDEM FRACIONÁRIA
Figura 2.1: Contorno de Hankel para evitar os pontos de ramificação partindo de z. Admitindo que z esteja sobre o semieixo real positivo, i.e., z = x > 0, então sobre γ, temos (ζ − x)−η−1= e(−η−1)(ln|ζ−x|+iθ). Sobre L1, θ = π, daí (ζ − x)−η−1 = e(−η−1)(ln|ζ−x|+iπ)= e(−η−1)[ln(x−ζ)+iπ] e sobre L2, θ = −π, donde (ζ − x)−η−1= e(−η−1)(ln|ζ−x|−iπ) = e(−η−1)[ln(x−ζ)−iπ]. Assim, se Re (η) < 0, a Eq.(2.10) fica6
D(η)f (z) = Γ (η + 1) 2πi γ(ζ − x) −η−1f (ζ) dζ (2.11) +e−i(η+1)π c x−r(x − t) −η−1f (t) dt + ei(η+1)π x−r c (x − t) −η−1f (t) dt , 6Ao longo de L
1e a variável x percorre o caminho de x−r até c → −∞. Ao longo de L2e a variável
onde t = Re (ζ). No entanto,
γ(ζ − x)
−η−1f (ζ) dζ = π
−π
r−η−1e−i(η+1)θf x + reiθ ireiθdθ
e, como γ (ζ − x)−η−1f (ζ) dζ ≤ r− Re(η) π −π f x + reiθ dθ, (2.12)
então quando r → 0, a expressão para D(η)f (z) na Eq.(2.11) fica
D(η)f (z) = Γ (η + 1) 2πi e i(η+1)π − e−i(η+1)π x c (x − t) −η−1f (t) dt = Γ (η + 1)
2πi {2i sen [(η + 1) π]}
x c (x − t) −η−1f (t) dt = Γ (η + 1) sen [(η + 1) π] π x c (x − t) −η−1f (t) dt = 1 Γ (−η) x c (x − t) −η−1f (t) dt, Re (η) < 0, (2.13)
ou ainda, chamando −η = ν ⇒ Re (ν) > 0 a expressão em Eq.(2.13) torna-se a própria definição da IFRL apresentada pela Eq.(2.1):
1 Γ (ν)
x
c (x − t)
ν−1f (t) dt, Re (ν) > 0.
Observamos ainda uma outra abordagem para as IFRL. Em homenagem aos autores de [18], as funções do tipo φλ(x) := xλ−1 Γ (λ), x > 0, 0, x ≤ 0, (2.14) com Re (λ) > 0 são usualmente denotadas funções de Gelf’and-Shilov. Assim, dada uma f (x) suficiententemente bem comportada e causal7 para x > a podemos considerar o
CAPÍTULO 2. INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DE ORDEM FRACIONÁRIA
produto de convolução (entre funções) f (x) ∗ φλ(x) = x a (x − t)λ−1 Γ (λ) f (t) dt (2.15) = 1 Γ (λ) x a (x − t)λ−1f (t) dt e a expressão obtida nada mais é do que Iλ
a+f (x).
Vejamos agora as definições para as derivadas fracionárias de Riemann-Liouville (DFRL) de ordem ν ∈ C, Re (ν) ≥ 0, num intervalo real finito.
Definição 2.2 Seja Ω = [a, b] ⊂ R um intervalo finito. As expressões Dν
a+f e Dνb−f : Da+ν f (x) ≡ D n a+ I n−ν a+ f (x) = d dx n Ia+n−νf (x) = 1 Γ (n − ν) d dx n x a (x − t) n−ν−1 f (t) dt, (2.16) comx > a e Dν b−f (x) ≡ D n b− I n−ν b− f (x) = − d dx n In−ν b− f (x) = 1 Γ (n − ν) − d dx n b x (t − x) n−ν−1 f (t) dt, (2.17)
com x < b, onde [Re (ν)] é a parte inteira de Re (ν) e n = [Re (ν)] + 1, definem as DFRL de ordem ν ∈ C (Re (ν) ≥ 0), à esquerda e à direita, respectivamente.
Novamente, observamos que se ν = n ∈ N, então as definições Eq.(2.16) e Eq.(2.17) coincidem com as derivadas usuais de ordem inteira:
Dn a+f (x) = d dx n In−n a+ f (x) (2.18a) = d dx n (Da+Ia+f ) (x) = f(n)(x)
e analogamente
Dn
b−f (x) = (−1) n
f(n)(x) , (2.19)
sendo que no caso em que ν = 0, temos simplesmente o operador de identidade, i.e., D0
a+f = f e D0b−f = f .
Se esquematizarmos, através de um diagrama de blocos, a ação deste operador diferencial fracionário, temos algo do tipo:
f −→ In−ν −→ In−ν f −→ Dn −→ Dn In−ν f = Dνf (2.20)
ou seja, integra-se n − ν vezes f segundo o método de IFRL e depois deriva-se (ordi-nariamente) n vezes o resultado da integração, i.e., Dν
= Dn
[In−ν
].
Assim como no caso da IFRL, podemos partir de outras abordagens para chegar nas DFRL. Por exemplo, novamente sob o ponto de vista das funções de Gelf’and-Shilov Eq.(2.14) e seguindo os passos da Eq.(2.15), ao tomarmos n = [Re (λ)] + 1 segue que
Dn a+ f (x) ∗ φn−λ(x) = D n a+ x a (x − t)n−λ−1 Γ (n − λ) f (t) dt (2.21) = 1 Γ (n − λ)D n a+ x a (x − t) n−λ−1 f (t) dt = Dna+Ia+n−λf (x) = Dλ a+f (x) , (2.22)
onde a integral na Eq.(2.21) claramente converge quando 0 < Re (λ) /∈ N. Já no caso em que λ = n ∈ N0, as funções de Gelf’and-Shilov precisam ser interpretadas como
funções generalizadas. Sabemos que dentre as propriedades investigadas em [18], temos o seguinte resultado lim λ→−nφλ(x) = tλ−1 Γ (λ) λ=−n = δ (n)(x) , (2.23)
onde δ(n)(x) é a n-ésima derivada (no sentido distribucional) da função generalizada
CAPÍTULO 2. INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DE ORDEM FRACIONÁRIA
ficar formalmente8 rigoroso com a teoria da análise funcional) como um produto de
convolução entre funções generalizadas, sendo que neste caso f = f (x) é a respectiva função generalizada (regular) associada à função f ∈ L1[a.b], isto é,
Dn (f (x) ∗ φ0(x)) = D n f (x) ∗ δ(0)(x) = Dn (f (x) ∗ δ (x)) = f (x) ∗ δ(n)(x) = f(n)(x) .
Uma outra abordagem que naturalmente leva aos conceitos de IFRL e DFRL é através da resolução da equação integral de Abel9
1 Γ (ν)
x
a (x − τ)
ν−1ϕ (τ ) dτ = f (x) , x > 0, (2.24)
onde 0 < ν < 1. Supondo que a > −∞ e que a Eq.(2.24) seja considerada no intervalo finito [a, b], então a sua solução pode ser obtida tomando-se os seguintes passos. Comece com as mudanças de variáveis x → t e τ → s, multiplique ambos os lados da Eq.(2.24) por Γ (ν) (x − t)−ν e integre-a com respeito a t, obtendo
x a (x − t)−νdt t a (t − s)ν−1ϕ (s) ds = Γ (ν) x a (x − t)−νf (t) dt. (2.25)
Agora usando o teorema de Fubini para trocar a ordem das integrais iteradas no lado esquerdo da Eq.(2.25), temos
x a ϕ (s) ds x a (x − t) −ν(t − s)ν−1d t = Γ (ν) x a (x − t) −νf (t) dt. (2.26)
8Uma descrição completa dos operadores de IFRL e DFRL em termos das funções generalizadas é
possível, mas tal abordagem nos levaria a desenvolver com mais cautela diversos aspectos das operações entre funções generalizadas, como os conceitos de produto direto e produto de convolução, além de um detalhamento sobre as condições em que tais operações no espaço das funções testes seriam válidas e tal caminho não faz parte deste trabalho.
9Uma descrição muito bem detalhada desta abordagem, com provas sobre a existência e unicidade
Usando a mudança de variável t = s + z (x − s) e aplicando a definição da função beta dada pela Eq.(1.30), podemos escrever
x a (x − t) −ν(t − s)ν−1d t = 1 0 zν−1(1 − z)−νdz = B (ν, 1 − ν) = Γ (ν) Γ (1 − ν) , donde segue que a Eq.(2.26) fica
x a ϕ (s) ds = 1 Γ (1 − ν) x a (x − t) −νf (t) dt. (2.27)
Diferenciando a Eq.(2.27), obtemos finalmente a expressão
ϕ (x) = 1 Γ (1 − ν) d dx x a (x − t) −νf (t) dt, (2.28)
que é reconhecida como sendo a DFRL à esquerda Dν
a+f (x) de ordem 0 < ν < 1.
Em particular, se f ∈ AC [a, b], então a solução da Eq.(2.28) pode ser escrita como
ϕ (x) = 1 Γ (1 − ν) x a ∂ ∂x(x − t) −νf (t) dt = 1 Γ (1 − ν) x a − ν (x − t) −ν−1f (t) dt
cuja integração por partes fornece
ϕ (x) = 1 Γ (1 − ν) f (a) (x − a)ν + x a (x − t) −νf′ (t) dt .
Uma abordagem similar, pode ser feita para a equação integral de Abel da forma 1 Γ (ν) b x (τ − x) ν−1 ϕ (τ ) dτ = f (x) , x ≤ b, (2.29)
CAPÍTULO 2. INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DE ORDEM FRACIONÁRIA
resultando numa solução
ϕ (x) = − 1 Γ (1 − ν) d dx b x (t − x) −νf (t) dt (2.30)
reconhecida como sendo a DFRL à direita Dν
b−f (x) de ordem 0 < ν < 1.
O interessante desta abordagem é que formalmente o operador de IFRL surge da formulação da equação integral de Abel e a DFRL naturalmente surge como sendo o operador de inversão10 para a obtenção da solução, i.e., se ϕ (x) ∈ L
1[a, b], x > 0: Iν a+ϕ (x) = f (x) Dνa+ I ν a+ϕ (x) = D ν a+f (x) ϕ (x) = Dν a+f (x) . E analogamente, se ϕ ∈ L1[a, b], x ≤ b: Ibν−ϕ (x) = f (x) Dν b− Ibν−ϕ (x) = Dνb−f (x) ϕ (x) = (Db−f ) (x) .
Uma consequência peculiar das definições Eq.(2.16) e Eq.(2.17) é que ao contrário do resultado clássico do cálculo de ordem inteira de que a derivada de uma constante é necessariamente nula, em geral, temos que Dνk = 0, para k ∈ R. De fato, podemos
veri-ficar diretamente das definições apresentadas acima (IFRL e DFRL) que para funções do tipo potência (x − a)β−1
e (b − x)β−1 os operadores resultam em funções potências
10Na próxima seção, ao estudarmos as propriedades de composição das IFRL e DFRL,
do mesmo tipo, i.e.: se Re (ν) ≥ 0 e β ∈ C, Re (β) > 0, então11 Iν a+(t − a) β−1 (x) = Γ (β) Γ (β + ν)(x − a) β+ν−1 , (2.31a) Ibν−(b − t) β−1 (x) = Γ (β) Γ (β + ν)(b − x) β+ν−1, (2.31b) Dν a+(t − a) β−1 (x) = Γ (β) Γ (β − ν)(x − a) β−ν−1 , (2.31c) Dν b−(b − t) β−1 (x) = Γ (β) Γ (β − ν)(b − x) β−ν−1. (2.31d)
Logo, se β = 1 e 0 ≤ Re (ν) /∈ N, temos que (x − a)β−1
= (x − a)0 = 1 e, portanto: Dν a+1 (x) = (x − a) −ν Γ (1 − ν), D ν b−1 (x) = (b − x) −ν Γ (1 − ν) (2.32) e, em geral, para k ∈ R, Dν a+k (x) = k (x − a) −ν Γ (1 − ν) , D ν b−k (x) = k (b − x) −ν Γ (1 − ν) . (2.33)
Por outro lado, se 0 ≤ Re (ν) /∈ N, então para j = 1, 2, . . . , [Re (ν)] + 1, valem as igualdades Dνa+(t − a) ν−j (x) = Γ (ν − j + 1) Γ (−j + 1) (x − a) −j = 0 (2.34) Dνb−(b − t) ν−j (x) = Γ (ν − j + 1) Γ (−j + 1) (b − x) −j = 0, (2.35)
pois nesse caso, Γ(ν−j+1) Γ(−j+1) = 0.
Uma consequência das Eq.(2.34) e Eq.(2.35) é o seguinte resultado.
Corolário 2.1 Seja 0 < Re (ν) /∈ N, com n = [Re (ν)] + 1. Então as derivadas
Dν
a+f (x) e Dbν−f (x) se anulam se, e somente se, f (x) tiver uma das representações 11No Apêndice A.1, nós apresentamos uma dedução das expressões Eq.(2.31a) e Eq.(2.31c).
CAPÍTULO 2. INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DE ORDEM FRACIONÁRIA a seguir f (x) = n j=1 cj(x − a) ν−j ouf (x) = n j=1 dj(a − x) ν−j , (2.36)
comcj e dj constantes, respectivamente para as DFRL à esquerda e à direita.
Prova. Uma prova é apresentada no Apêndice A.2.
Note que o resultado do Corolário 2.1 nos mostra que funções do tipo Eq.(2.34) e Eq.(2.35) ou, mais geralmente, segundo as funções em Eq.(2.36) desempenham o mesmo papel para as DFRL que as constantes para as derivadas de ordem inteira.
Outras funções que convém apresentarmos as IFRL e DFRL são as das funções expo-nenciais eλ(x−a)e das funções trigonométricas sen (x − a) e cos (x − a), mas deixaremos
para apresentar estes resultados depois que indicarmos como integrar e diferenciar, fra-cionariamente, funções que possuam representação em séries de potências, o que é feito na Seção 2.1.1.
Para finalizarmos esta seção discutimos brevemente sobre as condições necessárias para que as definições apresentadas acima façam sentido e a respectiva classe de funções que podemos trabalhar com estes novos operadores.
Começando pelos operadores integrais, a primeira observação pertinente é que as definições Eq.(2.1), Eq.(2.2) e Eq.(2.3) só fazem sentido se as funções f ∈ F forem tais que o produto (x − t)ν−1f (t) seja integrável12no intervalo real fechado Ω = [a, b]. Mais
precisamente, se f for contínua em Ω e Re (ν) ≥ 1,
x
a (x − t)
ν−1f (t) dt (2.37)
existe como uma integral de Riemann para todo t ∈ [a, b]. Por outro lado, se f for contínua por partes em (a, b] e tiver um comportamento do tipo tλ para −1 < λ < 0
numa vizinhança da fronteira a e/ou se 0 < Re (ν) < 1, então Eq.(2.37) existe como uma integral imprópria de Riemann. Logo, as definições Eq.(2.1), Eq.(2.2) e Eq.(2.3) serão válidas - no sentido da integral de Riemann - para as funções f contínuas por partes em (a, b) e integráveis em [a, b].
No entanto, se considerarmos estas integrais fracionárias no sentido de Lebesgue, o seguinte teorema nos garante que as IFRLs existem e são bem definidas para as funções pertencentes a L1[a, b].
Teorema 2.1 Sejam f ∈ L1[a, b] e Re (ν) > 0. Então as IFRL definidas pelas equações
Eq.(2.1) e Eq.(2.2) existem para quase todos os pontos de [a, b]. Além disso, as próprias funções Ia+ν f (x) e Ibν−f (x) também pertencem a L1[a, b].
Prova. Dada f ∈ L1[a, b] e Re (ν) > 0, defina as seguintes funções auxiliares
φ1(u) = u ν−1, para 0 < u < b − a, 0, caso contrário, e φ2(u) = f (u) , para a < u < b, 0, caso contrário.
Então, por construção, estas funções são integráveis em (a, b) e, portanto, φj ∈
L1[a, b], j = 1, 2 para quase todos os pontos de [a, b]. Segue por um teorema da teoria
da integração de Lebesgue ([62], Teorema 4.2d), que a convolução entre estas funções φ1∗ φ2 = +∞ −∞ φ1(x − t)φ2(t)dt = x a (x − t) ν−1f (t)dt, (2.38)
existe e pertence a L1[a, b]. Note que, à menos da constante Γ(ν)1 , a expressão na
Eq.(2.38) é exatamente a IFRL de ordem ν da função f, donde segue o resultado desejado.
Quanto aos operadores de diferenciação fracionária, observe que apenas a con-tinuidade de f não garante a existência da derivada fracionária (Dνf ) (x) para ν ∈ C
com (Re (ν) ≥ 0). Em particular, quando ν = n ∈ N a derivada fracionária de f coin-cide com a derivada ordinária de f e pela teoria do cálculo de ordem inteira, sabemos que apenas a continuidade de uma função não garante sua diferenciabilidade. De fato, vejamos um contraexemplo:
