O relógio atômico: Uma análise da Física atômica na medição do tempo

Texto

(1)UNIVERSIDADE ESTADUAL DA PARAÍBA CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE FÍSICA CURSO DE LICENCIATURA PLENA EM FÍSICA. ANDRÉ DE LIMA ALVES. O RELÓGIO ATÔMICO: UMA ANÁLISE DA FÍSICA ATÔMICA NA MEDIÇÃO DO TEMPO. CAMPINA GRANDE 2014.

(2) ANDRÉ DE LIMA ALVES. O RELÓGIO ATÔMICO: UMA ANÁLISE DA FÍSICA ATÔMICA NA MEDIÇÃO DO TEMPO. Monografia apresentada à banca examinadora do Departamento de Física da Universidade Estadual da Paraíba, em cumprimento ao Trabalho de Conclusão de Curso (TCC), como exigência para obtenção do grau de Licenciado em Física. Orientadora: Profa Dra Tâmara Pereira Ribeiro de Oliveira Lima e Silva / UEPB. CAMPINA GRANDE 2014.

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(5) À minha família que, com muito carinho e apoio, não mediram esforços para que eu chegasse até esta etapa de minha vida, DEDICO..

(6) AGRADECIMENTOS. Primeiramente agradeço à minha orientadora, Profa Tâmara, pelo apoio, confiança e empenho dedicado à elaboração deste trabalho. À minha mãe dona Ana, pelo amor, incentivo e apoio incondicional nas horas difíceis. Ao meu pai Severino Cassimiro, In memoriam; sua presença significou segurança e a certeza de que não estou sozinho nessa caminhada e, apesar de todas as dificuldades, me fortaleceu; você foi, em todos os momentos da minha vida, o meu maior mestre. A meus irmãos Aelson e Adriano, pela alegria e felicidade que vocês me proporcionam em todos os momentos. Aelson obrigado pela ajuda nas figuras. A todos os meus familiares por acreditarem em mim, muito obrigado pela força e carinho que todos vocês me transmitem. À minha namorada Adriele, obrigado pela paciência e compreensão durante todos esses semestres, obrigado por sua capacidade de me trazer paz na correria do dia-a-dia, com você tenho me sentido vivo de verdade. Aos meus amigos que conquistei no curso (aqui não comento o nome de todos para não correr o risco de esquecer algum), por todos os momentos que passamos juntos ao longo dessa vida acadêmica. A experiência adquirida com vocês foi única. A meu amigo Sebastião Pinto, amizade construída durante o curso; aquele livro de física que peguei com você não devolverei nem que você se converta. Ao Professor Rafael (UFCG-Cuité), pela ajuda frequente no transcorrer do curso. À professora Diana, diretora do colégio em que trabalho, pela confiança repassada para assumir uma sala de aula; essa experiência que tive foi muito importante em minha formação. À turma do 3ºA (2012), turma em que ministrei minha primeira aula; aprendi muito com vocês. A todos os professores e funcionários da Universidade Estadual da Paraíba, que oportunizaram a janela de onde hoje vislumbro um horizonte superior..

(7) “O oposto de uma afirmação correta é uma afirmação falsa. Mas o oposto de uma verdade profunda pode ser outra verdade profunda". Niels Bohr..

(8) RESUMO. Desde a invenção do laser, suas aplicações na ciência e tecnologia foram ser tornando cada vez mais importantes. Atualmente o laser, um dispositivo cujo princípio de funcionamento está baseado nas leis da Física Atômica, vem sendo utilizado nas mais diversas áreas de pesquisa. Neste trabalho de conclusão de curso destaca-se o comportamento qualitativo do relógio atômico de césio. (. 133. ). Cs , que tem por base o bombeamento óptico ou. uma armadilha por feixes de laser. Para isso, é apresentada uma revisão bibliográfica sobre Física Atômica, desde a equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio até o conceito de estrutura hiperfina. Neste ponto, destaca-se o caso do átomo de césio no estado fundamental,. 62S1/ 2 , que se desdobra em dois estados hiperfinos, um com f = 3 e outro com f = 4 ( f é o número quântico associado ao momento angular total do átomo). Como a frequência de transição entre esses dois níveis é bem determinada, ela se torna um padrão essencial para ser utilizada para marcar o tempo com precisão.. Palavras-chaves: Relógio atômico. Estrutura hiperfina. Lasers..

(9) ABSTRACT. Since the invention of laser, its applications in science and technology have become more and more important. Nowadays the laser, a device whose functioning principle is based on the laws of Atomic Physics, has been used in various research fields. In this final paper, we highlight the qualitative behavior of cesium. (. 133. ). Cs atomic clock, which is based on optical. pumping or trap by laser beams. To this purpose, a literature review on Atomic Physics is presented, from the Schrödinger equation of the hydrogen atom to the concept of hyperfine structure. Based on this point of view, it is highlighted the case of cesium atom in the 2. fundamental state, i.e., 6 S1/ 2 , which spreads out in two hyperfine states, one with f = 3 and another with f = 4 ( f is the quantum number associated with the total angular momentum of the atom). Considering that a transition frequency between these two levels is well established, it becomes an essential standard to be used in order to mark time accurately.. Keywords: Atomic clock. Hyperfine structure. Lasers..

(10) LISTA DE ILUSTRAÇÕES. Figura 1: Representação dos níveis de energia dos átomos do meio ativo, que recebe radiação incidente na cavidade óptica. Processo do decaimento rápido dos elétrons do estado de vida curta para o metaestável (inversão de população) (a); emissão da luz laser a partir do decaimento dos elétrons do estado metaestável (b). ................................................................. 13 Figura 2: Relações geométricas entre coordenadas esféricas e cartesianas.............................. 15 Figura 3: Níveis de energia e degenerescência para os átomos de um elétron. ........................ 21 Figura 4: Espectro de emissão (a) e absorção (b) do átomo de hidrogênio. ............................. 22 Figura 5: Diagrama de níveis de energia (série de Balmer) do átomo de hidrogênio, mostrando as transições que obedecem à regra de seleção para ∆l . ......................................................... 24 r. r. Figura 6: Elétron em uma órbita circular com µ e L antiparalelos. ......................................... 26 Figura 7: Ilustração da precessão de Larmor (a) e do momento magnético em torno de um r campo magnético B externo (b). ω L é a frequência de Larmor. .............................................. 28 Figura 8: Desdobramento dos níveis de energia do césio na presença de um campo magnético. .................................................................................................................................................. 30 Figura 9: Desdobramento de níveis de energia para uma transição de l=2 para l=1. ............... 31 Figura 10: Diagrama de níveis de energia mostrando o desdobramento fino do césio. ........... 34 Figura 11: Movimento orbital atômico em dois referenciais: do núcleo (a); e do elétron (b). 34. r r r Figura 12: Precessão L de e S ao redor de J . ........................................................................... 36 r r r Figura 13: Diagramas vetoriais para construções de J e µ J (a); e construção de µz (b). .. 39 Figura 14: Efeito da interação hiperfina para o estado. 6 2 S1 / 2. do césio, e a frequência. correspondente ao intervalo de tempo de 1s, medida pelo relógio atômico. ............................ 45 Figura 15: Primeiros relógios construídos para marcação do tempo; relógio de Sol (a), ampulheta (b) e clepsidra (c). ................................................................................................... 46 Figura 16: Precisão de diferentes relógios utilizados no dia a dia [BAGNATO 2012]. .......... 48 Figura 17: Primeiro relógio atômico brasileiro. ....................................................................... 50.

(11) Figura 18: Diagrama do relógio atômico a feixe térmico de césio. .......................................... 51 Figura 19: Diagrama das transições envolvidas na detecção dos átomos. Somente os átomos que saírem no estado 6 2S 1 ( f = 4) absorverão os fótons desta radiação e decairão emitindo 2. radiação espontaneamente. ....................................................................................................... 52 Figura 20: Franjas de Ramsey do relógio atômico de feixe térmico. ....................................... 52 Figura 21: Primeiro relógio atômico modelo chafariz do Brasil. ............................................. 53 Figura 22: Representação do funcionamento do relógio atômico de átomos frios. ................. 54 Figura 23: Poço de potencial infinito de largura L ................................................................... 62 Figura 24: Três primeiros níveis discretos de energia (a); três autofunções para a partícula em um poço de potencial infinito (b). ............................................................................................ 64.

(12) SUMÁRIO. INTRODUÇÃO ................................................................................................................... 12 1.. O ELÉTRON NO ÁTOMO DE HIDROGÊNIO .................................................. 14. 1.1. SOLUÇÃO GERAL PARA A EQUAÇÃO RADIAL .............................................. 18. 1.2. REGRAS DE SELEÇÃO DO DIPOLO ELÉTRICO................................................ 22. 1.3. O SPIN E AS INTERAÇÕES MAGNÉTICAS ........................................................ 25. 1.4. O EFEITO ZEEMAN E O SPIN ELETRÔNICO ..................................................... 29. 1.5. A INTERAÇÃO SPIN-ÓRBITA DA ESTRUTURA FINA ..................................... 34. 1.6. O EFEITO ZEEMAN ANÔMALO ........................................................................... 38. 1.7. A ESTRUTURA HIPERFINA .................................................................................. 41. 2.. O. RELÓGIO. ATÔMICO:. UMA. APLICAÇÃO. NA. CIÊNCIA. E. TECNOLOGIA ................................................................................................................... 46 2.1. EVOLUÇÃO DAS MEDIDAS DE TEMPO ............................................................ 46. 2.2. O RELÓGIO ATÔMICO DE FEIXE EFUSIVO DE CÉSIO ................................... 49. 2.3. O RELÓGIO ATÔMICO DE CHAFARIZ DE ÁTOMOS FRIOS .......................... 53. 3.. CONSIDERAÇÕES FINAIS .................................................................................. 56. APÊNDICE: UM POUCO DE FÍSICA MODERNA ...................................................... 57 A FUNÇÃO DE ONDA E A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER........................................ 58 EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER INDEPENDENTE DO TEMPO................................... 60 O POÇO DE POTENCIAL INFINITO E OS NÍVEIS DE ENERGIA ............................... 61 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .............................................................................. 66.

(13) INTRODUÇÃO Einstein, em um artigo publicado em 1917, sustentou que um campo de radiação obriga um átomo no estado de energia superior a fazer uma transição para um estado inferior com uma taxa proporcional à densidade de radiação, um processo que chamou de emissão estimulada [KLEPPNER, 2004]. Na verdade, os estudos de Einstein previam a Física de um dispositivo, construído em 1960 primeiramente por Theodore H. Maimann, que emitia um feixe de luz visível altamente concentrado: o laser, sigla formada pelas iniciais de Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation, ou amplificação de luz por emissão estimulada de radiação [PIMENTA, 2010], cujo princípio básico de funcionamento está baseado nas leis fundamentais da interação da radiação luminosa com a matéria [BAGNATO, 2005]. Um dispositivo laser é constituído por três partes principais: um meio ativo (material cujos átomos são responsáveis pela emissão estimulada), a cavidade óptica (onde os fótons que emergem do meio ativo sofrem sucessivas reflexões, servindo de fonte para produzir mais emissão estimulada), um mecanismo de bombeamento (mecanismo pelo qual a inversão de população é obtida) [BAGNATO, 2005]. Para que ocorra o efeito laser é necessário uma inversão de população no meio ativo (quando levamos um meio a ter uma população n 2 de átomos no estado excitado maior que a população. n1. de átomos no estado de equilíbrio térmico) [RESENDE, 1996]; para inverter. as populações desses níveis é preciso fornecer energia ao sistema através de um mecanismo externo (lâmpada de flash, por exemplo). Assim, os elétrons passam de um estado fundamental com energia E 1 para um estado excitado com energia E 3 (estado de vida curta) [HALLIDAY e RESNICK, 1984], do qual decaem rapidamente para um estado de energia. E 2 (estado meta estável). Este processo continua até a inversão de população ser obtida entre os níveis de energia E 1 e E 2 , como visto na Figura 1. Quando um desses elétrons retorna para seu estado fundamental emite dois fótons, um devido à radiação incidente e outro devido ao seu decaimento, desencadeando todo o processo de emissão. As radiações emitidas são refletidas continuamente pela cavidade óptica e o processo se repete e se amplifica (efeito cascata), havendo emissão de mais fótons e a produção da luz laser. 12.

(14) Figura 1: Representação dos níveis de energia dos átomos do meio ativo, que recebe radiação incidente na cavidade óptica. Processo do decaimento rápido dos elétrons do estado de vida curta para o metaestável (inversão de população) (a); emissão da luz laser a partir do decaimento dos elétrons do estado metaestável (b).. Essa luz produzida possui certas características em particular [PIMENTA, 2010]; ela é monocromática uma vez que os fótons emitidos possuem a mesma energia estimulante, onde. h. hυ. que o fóton. é a constante de Planck e υ é a frequência óptica da emissão,. relacionada ao comprimento de onda. λ. por υ = c [LLEWELLYN e TIPLER, 1978]. O feixe λ. laser possui comprimento de onda definido pelo meio de geração (ou meio ativo), e é um feixe coerente (todas as radiações emitidas estão em fase), polarizado (a energia dos fótons se propaga numa direção específica), e colimado (o feixe se propaga por grandes distâncias sem divergências), o que nos permite focalizá-lo com precisão e, dessa forma, aumentar sua intensidade sem modificar sua potência de saída [HALLIDAY e RESNICK, 1984]. Nos próximos tópicos deste Trabalho de Conclusão de Curso serão discutidos tópicos 133 sobre Física Atômica, dando destaque à estrutura eletrônica do átomo de césio ( Cs) , e ao. funcionamento do relógio atômico (tema central deste trabalho), o qual representa uma aplicação muito interessante da Óptica Quântica relacionada à medição do tempo.. 13.

(15) 1. O ELÉTRON NO ÁTOMO DE HIDROGÊNIO. Aqui será estudada uma das aplicações mais importante da mecânica quântica, o átomo de hidrogênio. Este foi o primeiro sistema que Schrödinger tratou com sua teoria [RESNICK e EISBERG, 1979]. A concordância obitida com os autovalores de energia previstos pela teoria para o átomo de hidrogênio estavam de acordo com os valores previstos pelo modelo de Bohr. Isso constituiu o primeiro teste importante da validade do que previa Schrödinger [RESENDE, 1996]. De acordo com a referência [TIPLER e LLEWELYN, 1978], a quantização da energia e do momento angular são consequências naturais das condições de aceitabilidade das funções de onda. Este problema é muito importante porque as soluções obtidas servem como ponto de partida para soluções aproximadas para átomos de muitos elétrons. O átomo de hidrogênio é constituído de um elétron, de carga negativa, em torno de um próton, de carga positiva, sobre a influência de uma força coulombiana atrativa. A energia potencial eletrostática entre as cargas é dada por [GRIFFITHS, 2011]:. Ze 2 V (r ) = − , 4πε 0 r. (1). onde r é a distância que separa o elétron do núcleo, Z é número atômico, e é o módulo da carga do elétron. (e = 1,6 ⋅10−19 C ) e. ε0 é a permissividade elétrica do vácuo.. Como se trata de um sistema de duas partículas se movendo em um espaço tridimensional, o potencial atrativo V (r ) faz com que o sistema apresente uma simetria esférica. Para o átomo monoeletrônico pode-se escrever a equação de Schrödinger em coordenadas esféricas (r,θ ,ϕ ) [TIPLER e LLEWELYN, 1978]. A Figura 2 ilustra a relação entre as coordenadas cartesianas e esféricas.. 14.

(16) Figura 2: Relações geométricas entre coordenadas esféricas e cartesianas.. A equação de Schrödinger independente do tempo, em coordenadas esféricas, assume a seguinte forma [RESENDE, 1996]:.  h 2 1  ∂  2 ∂Ψ  2 − r  + Λ Ψ  + V ( r ) Ψ = EΨ , 2  2 µ r  ∂r  ∂r  . onde. (2). µ é a massa reduzida do elétron e Λ2 é o operador que atua na função de onda Ψ e . 2 representa a dependência angular desta função  Λ =. . 1 1 ∂  ∂2 ∂  +  senθ  . 2 2 senθ ∂θ  ∂θ   sen θ ∂ϕ. Como o potencial V (r ) depende apenas da variável r, utilizando o método de separação de variáveis, a função de onda pode ser escrita como o produto das funções. Ψ(r,θ ,ϕ) = R(r )Υ(θ ,ϕ ) [BREHM e MULLIN, 1989], onde R depende apenas de r, e Υ depende de θ e ϕ de forma que Υ = Θ(θ ) Φ(ϕ ) . Com esse método, manipulando a equação (2), chegamos a um conjunto de três equações diferenciais ordinárias, cada uma delas dependendo somente de uma das coordenadas esféricas:. −. 1 d 2Φ = m2 , Φ dϕ 2. (3) 15.

(17) 1 d dΘ  m 2  senθ + λ− Θ = 0, senθ dθ dθ  sen 2 Θ . d  2 dR  2 µ 2 r [V ( r ) − E ]R = l (l + 1) R, r − dr  ∂r  h 2. (4). (5). onde m representa o número quântico azimutal, λ é uma constante de separação, E é o autovalor de energia e l é o número quântico secundário . Resolvendo essas equações, encontramos que a equação para Φ(ϕ ) só apresenta soluções aceitáveis para certos valores de m . Usando esses valores de m na equação para Θ(θ ), ocorre que essa equação também só apresenta soluções aceitáveis para certos valores. de l . E usando os valores de l na equação para R (r ), vemos que essa equação só tem soluções aceitáveis para certos valores da energia total E ; isto é, a energia do átomo é quantizada. [RESNICK e EISBERG, 1979]. A solução da equação (3) possui a forma dada por [EISBERG e RESNICK, 1988]. Φ (ϕ ) = e imϕ .. (6). Matematicamente está função é válida para quaisquer valores de m . Entretanto, fisicamente, deve-se considerar a imposição de que as autofunções sejam unívocas, uma vez que os valores de. ϕ (ϕ = 0,2π ,4π ,6π ...) devem ser múltiplos pares de 2π [RESENDE,. 1996]; isto requer que m tenha um dos seguintes valores:. m = 0,±1,±2,±3...,. (7). isto é, m só pode ser um número inteiro positivo ou negativo; m é denominado número quântico azimutal.. 16.

(18) As soluções da equação (4) para a função Θ(θ ) são os chamados polinômios de Legendre associados [AFKEN, 1995], e valem desde que l seja um número inteiro positivo, com m ≤ l [LLEWELLYN e TIPLER, 1978], ou seja: (8). m = −l ,−l + 1,..., l − 1, l . Dessa forma a solução geral para a dependência angular da autofunção Ψ(r,θ ,ϕ ) é. (9). Υlm (θ , ϕ ) = Θ lm (θ )e imϕ .. As funções Υlm são chamadas de harmônicos esféricos, com l representado o número quântico secundário e m o número quântico azimutal [BREHM e MULLIN, 1989]. Essas autofunções se referem a certos estados quânticos estacionários de átomos monoeletrônicos e são normalizadas de forma que. ∫ |Υ Ω. lm. (θ , ϕ ) | 2 dΩ = 1,. (10). onde d Ω é o elemento de ângulo solido dado por dΩ = senθ dθ dϕ , com 0 ≤ θ ≤ π e. 0 ≤ ϕ ≤ 2π . As soluções da equação radial (5) são os polinômios de Laguerre [AFKEN, 1995], e somente são aceitáveis se a energia total tiver um dos valores En [EISBERG e RESNICK, 1988] como sendo. µ Z 2e4 En = − 2 . 2h ( 4πε 0 ) 2 n 2. (11). onde n , número quântico principal, é um número inteiro dado por n = l + 1, l + 2, l + 3,.. Os valores de En na equação (11) representam os autovalores de energia da função de onda do átomo de hidrogênio, o que significa que a energia do seu único elétron é quantizada [BREHM e MULLIN, 1989]. 17.

(19) Substituindo as constantes Z = 1, hidrogênio),. h = 0,6582 × 10. − 15. µ = 9,10458 × 10 −31 Kg. eVs , e = 1,602 × 10. −19. (para o átomo de. C , ε 0 = 8,85 × 10. −12. C2 Nm 2. [HALLIDAY e ESNICK, 2009], na equação (41) a energia, em eV , é expressa como sendo. En = −. 13,6 eV . n2. (12). Estes valores de energia são idênticos aos valores encontrados no modelo de Bohr. A solução geral da equação de Schrödinger para o elétron no átomo de hidrogênio é dado pelo produto das três funções nas variáveis (r,θ ,ϕ ) [GRIFFITHS, 2011]. Assim o estado estacionário completo, Ψ(r,θ , ϕ, t ), de um átomo monoeletrônico depende dos números quânticos n, l , m tal que:. Ψnlm = Rnl ( r ) Υlm (θ , ϕ )e iE nt / h ,. onde En aparece no termo de dependência temporal de. (13). Ψnlm .. Embora os autovalores de energia só dependam do número quântico principal, as autofunções de onda dependem também de l e m [BREHM e MULLIN, 1989]. Conclui-se que vários estados de. Ψnlm degeneram-se numa mesma energia E n .. 1.1 SOLUÇÃO GERAL PARA A EQUAÇÃO RADIAL. Nesta seção queremos completar o problema para o átomo de um elétron, encontrando os estados estacionários do átomo (para isso resolvemos a equação radial dada pela equação (5)), isto é, queremos encontrar. 18.

(20) (14). Ψnlm ( r , θ , ϕ , t ) = Rnl ( r ) Υlm (θ , ϕ )e iE nl t / h .. Para isto, partindo da situação com l = 0 e m = 0 uma vez que, nesse caso, o esférico. r. harmônico Υ00 (θ ,ϕ ) = 1/ 4π é a única possibilidade para o momento angular L constante [BREHM e MULLIN, 1989], rescrevemos a equação (5) como sendo. −. h 2  d 2 R 2 dR  Ze 2  − + R = ER, 2λ  ∂r 2 r dr  4πξ 0 r. (15). A solução desta equação deve se aproximar de zero quando r → ∞; para isto, ela deve apresentar a forma de uma exponencial decrescente R(r ) = Ae − r / a [BREHM e MULLIN, 1989], onde a possui unidade de comprimento. Utilizando está condição na equação (15) e impondo condições para que a energia E não tenda ao infinito quando r → 0, chegaremos à energia para o estado fundamental ( n = 1) , dada por. E=. µ m. z 2 E0 ,. (16). 2.  e2  m  [EISBERG e RESNICK, 1988]. onde E0 é a energia de Rydberg, E0 =  2  4πε 0  2h A equação (16) é semelhante à de Bohr para o estado fundamental, onde consideramos o raio atômico de Bohr como parâmetro para que a energia E não tenda ao infinito quando. r → 0 [GASIOROWICZ, 1979]. Para o caso dos números quânticos do momento angular. l = 0 e m = 0 temos a solução. Ψ100 =. e −r / a. πa. 3. e −iE10t / h .. (17). Para chegamos à solução geral da equação radial, admite-se uma solução da forma [BREHM e MULLIN, 1989]. 19.

(21) R( ρ ) = e onde η e. − p /η. F (ρ ). ρ. (18). ,. ρ = r / a são, respectivamente, um autovalor e uma variável adimensional.. A função F ( ρ ) satisfaz a condição F (0) = 0 para que a função radial R( ρ ) permaneça finita na origem; isso só é possível quando F (r / a) = 0 . A função da equação (18) é representada por uma série de potências, em que. η = 1 / n com n = 1,2,3... Esta. condição não só serve para l = 0 mas para qualquer l ≠ 0 , implicando que os valores de energia não dependem do número quântico l , somente do número quântico principal n [BREHM e MULLIN, 1989]. Temos agora todas as soluções radiais da equação (5) escritas como. Rnl = e − p / η. com. Fnl ( ρ ). ρ. ,. (19). ρ = r/a. No caso do átomo de hidrogênio ( Z = 1, n = 1 e a = a0 ), o estado estacionário. Ψ100 (r,θ ,ϕ, t ) é dado por:. Ψ100 =. 2 a. 3. e − r / a0 e −iE0t / h .. (20). 0. Para outros átomos, temos:. Ψnlm = e − r / na. Fnl ( r / a ) Υlm (θ ,ϕ )e −iEnt / h , r/a. (21). 20.

(22)  n = l + 1, l + 2 , l + 3 ,...  com  l = 0 ,1, 2 , 3 ,..., n − 1 .  m = − l , − l + 1,..., l − 1, l . . Os átomos de um elétron são todos aqueles da família 1A da tabela periódica: H, Li, Na, K, Rb, Cs e Fr. Para o átomo de Césio (Cs), que apresenta número atômico Z= 55 [ATKINS. e. JONES,. 2011],. a. distribuição. eletrônica. de. Pauli. é. dada. por. Cs( z = 55) : 1s 2 2s 2 2 p 6 3s 2 3 p 6 4s 2 3d 10 4 p 6 5s 2 4d 10 5 p 6 (6s 1 ) . Vemos que no césio só existe um elétron na última camada, ou seja, na camada de valência, com número quântico principal n = 6 e subnível s, correspondendo ao número quântico orbital l = 0 . A Figura 3 mostra uma representação de níveis de energia e degenerescência para os átomos de um elétron de valência. Figura 3: Níveis de energia e degenerescência para os átomos de um elétron.. A introdução do número quântico principal n, para nivelar cada uma das possíveis soluções. Rnl. associadas a l = 0 , garante soluções aceitáveis para a equação radial, como foi 21.

(23) dito anteriormente. Os estados estacionários de um átomo monoeletrônico dependem dos três números quânticos (n, l , m) . As degenerescências de. Ψnlm ,. decorrentes dos números. quânticos (n, l ) aparecem devido à simétrica esférica do potencial coulombiano V (r ) .. 1.2 REGRAS DE SELEÇÃO DO DIPOLO ELÉTRICO Os estados de um átomo revelam sua existência através da radiação emitida ou absorvida em transições entre pares de níveis de energia. As transições estão associadas a frequências discretas que constituem as linhas do espectro de emissão e absorção do átomo [BREHM e MULLIN, 1989]. A Figura 4 mostra o espectro de emissão e absorção do átomo de hidrogênio.. Figura 4: Espectro de emissão (a) e absorção (b) do átomo de hidrogênio [OLIVEIRA, 2006].. A quantização observada nos espectros de emissão e absorção tem origem nas transições entre pares de energia que obedecem a regras de seleção, que estabelecem para quais valores de números quânticos dos estados inicial e final do átomo as transições são permitidas. Para determinar essas regras de transição eletrônica considera-se uma função de onda constituída a partir da superposição de dois estados estacionários [NUSSENZVEIG, 1998].. Ψ = cΨnlm e − iEnt / h + c ' Ψn 'l 'm ' e − iEn 't / h , sendo. En > En´ e. c e c'. (22). sendo constantes.. 22.

(24) A função de onda Ψ dada pela equação (22) descreve um átomo em transição entre os estados com energia. En. e. En´ . As regras de seleção do dipolo elétrico estão associadas à. parte angular da função Ψ (equação (22)) da seguinte forma:.  Υ * l 'm ' sen θ cos ϕΥlm dΩ, ∫ ∞  * * 3 ∫0 R n 'l ' R Rnl dr ∫ Υ l 'm ' senθ senϕΥlm dΩ,  *  ∫ Υ l 'm ' cos θ Υlm dΩ,. (23). A equação (23) representa a amplitude de transição (n l m) → (n' l ' m' ) do dipolo elétrico e cada uma das três componentes é responsável por uma transição radioativa. As integrais das partes angulares só não são nulas se os números quânticos (n l m) e (n' l ' m' ) se relacionarem por regras de seleção do dipolo elétrico [GOHEN-TANNOUDJI, 1977]. Considerando a função (9) e rescrevendo sen ϕ e cosθ nas suas formas complexas, a solução das integrais da equação (23) diz que, para que o valor esperado do momento de dipolo não se anule, é necessário que as transições eletrônicas satisfaçam a seguinte regra de seleção [EISBERG e RESNICK, 1988]:. ∆m = 0. ou. ∆ m = ±1.. (24). A regra de seleção para ∆m expressa a mudança permitida para o número quântico azimutal do átomo em uma transição acompanhada da emissão de radiação de um dipolo elétrico. A regra de seleção para as transições associada à coordenada polar θ da equação (23) é obtida a partir das seguintes integrais [BREHM e MULLIN, 1989]:. 23.

(25) π. ∫Θ. l 'm '. senθ Θ lm senθdθ ,. (25.a). cos θ Θ lm senθdθ .. (25.b). l 'm '. 0. π. ∫Θ 0. O cálculo destas integrais envolvem os polinômios de Legendre, Plm cosθ ; as integrais só são nulas se l e l ' diferirem de uma unidade, ou seja, a segunda regra de seleção para o dipolo elétrico é dada por:. ∆l = ±1. (26). O fato de que o número quântico l deve variar de ± 1 quando o átomo emite ou absorve um fóton está relacionada à conservação do momento angular, já que o fóton possui um momento angular intrínseco igual a 1h [LLEWELLYN e TIPLER, 1978]. A Figura 5 mostra o diagrama de níveis de energia do átomo de hidrogênio.. Figura 5: Diagrama de níveis de energia (série de Balmer) do átomo de hidrogênio, mostrando as transições que obedecem à regra de seleção para. ∆l .. 24.

(26) No diagrama da Figura 5 são mostradas as transições que obedecem à regra de transição ∆l = ±1 . Os estados com o mesmo valor de n, mas com valores diferentes de l , têm a mesma energia, e são indicados separadamente. Na Figura 7 existem três transições distintas com o mesmo comprimento de onda: de ( n = 3, l = 0 ) para ( n = 2, l = 1 ), de ( n = 3, l = 1 ) para ( n = 2, l = 0 ), de ( n = 3, comprimentos de onda da linha. l = 2 ) para ( n = 2, l = 1 ). São os. α da série de Balmer [LLEWELLYN e TIPLER, 1978]. As. transições dos estados com subníveis s, d e f são proibidas para n = 1.. 1.3 O SPIN E AS INTERAÇÕES MAGNÉTICAS. Quando as linhas do hidrogênio ou de outros átomos são observadas em alta resolução percebe-se que as mesmas são alargadas de forma a se observar multipletos, ou seja, as linhas são constituídas por duas ou mais linhas muito próximas, mesmo na ausência de um campo magnético aplicado. Tal comportamento ficou conhecido como estrutura fina [BREHM e MULLIN, 1989]. Para explicar a estrutura fina W. Pauli sugeriu que, além dos números quânticos. n, l , m, o elétron possuía um quarto número quântico que poderia assumir apenas dois valores [LLEWELLYN e TIPLER, 1978]. Ele observou que átomos da mesma família da tabela periódica apresentavam multipletos de estrutura semelhantes que só podiam ser explicados quanticamente. Pauli ainda não sabia, mas estava prevendo o quarto número quântico: o spin eletrônico. Para compreender os desdobramentos dos níveis de energia associados à estrutura fina, trataremos o átomo como um sistema de partículas carregadas e associamos um momento. r. magnético µ a uma energia de interação magnética [GRIFFITHS, 2011], dada por:. r r VM = − µ ⋅ B.. (27). r. r. O momento magnético µ relaciona-se à estrutura magnética do átomo e B é o campo. r. r. magnético externo aplicado. O comportamento de µ é influenciado por L (momento angular 25.

(27) orbital eletrônico); essa relação é determinada usando como exemplo o átomo de um elétron. Considerando o elétron movendo-se em uma órbita circular e o núcleo atômico praticamente fixo em relação a esse elétron a massa reduzida, nesse caso, equivale à massa do elétron,. me. [EISBERG e RESNICK, 1988]. O módulo do momento magnético é dado por órbita e. υ. magnético. r | µ |= π r 2 eυ ,onde r é. o raio da. é a frequência do movimento. Como o elétron tem carga negativa, o momento. r. µ. é antiparalelo a seu momento angular orbital, cujo módulo é. r | L |= 2π r 2 meυ [LLEWELLYN e TIPLER, 1978], como indica a Figura 6.. Figura 6: Elétron em uma órbita circular r r com µ e L antiparalelos.. r. Isto nos permite escrever. µ. como uma equação vetorial da forma. r. µ=−. e r L. 2m. (28). A equação (28) é válida para qualquer sistema de partículas e qualquer movimento,. r. r. contanto que a razão entre | µ | e | L | seja a mesma para todo o sistema [BREHM e 26.

(28) MULLIN, 1989]. Para uma distribuição de cargas Q e massa M em rotação, a equação (28) pode ser reescrita como:. r. µ=. gQ r L, 2M. (29). onde g é o fator orbital. Aplicando este resultado ao átomo de hidrogênio (g=1, Q= -e e. r M=me) e substituindo o modulo de L pelos seus autovalores temos:. r. (30). µ = − gµ B l (l + 1),. onde. µB =. eh 2me. 24. é conhecido como magneton de Bohr, cujo valor é 9,27 ⋅ 10 J / T e me é a. massa do elétron. Levando em conta apenas a componente z do momento angular (em termos do número quântico m) temos:. r. µ z = − gµ B m. (31). Para permitir que a equação (28) seja usada em situações mais complexas, o momento. r. magnético é expresso em termos de µ B e do fator orbital g , de forma que [GASIOROWICZ, 1972]: (32). gµ r µ = − B L. h r. r. r. O sinal negativo nas equações (31) e (32) se devem ao fato dos vetores µ e L serem antiparalelos. As equações (30) e (32) mostram que a quantização do momento angular leva à quantização do momento magnético.. 27.

(29) r. r. Na presença de um campo magnético externo B , o momento magnético µ sofre um. r. r. r. τ = µ × B,. torque. r que reflete na variação de L no tempo (da mesma forma como o eixo de. rotação de um pião ou de um giroscópio precessiona em torno da direção do campo gravitacional) [LLEWELLYN e TIPLER, 1978], como mostra a Figura 7.. Figura 7: Ilustração da precessão de Larmor (a) e do r momento magnético em torno de um campo magnético B externo (b).. ωL. é a frequência de Larmor.. Assim:. r r dL r = ω L × L, dt. r. onde ω L =. (33). e r B (para o caso de g=1). 2me r. O efeito descrito pela equação (33) é conhecido como precessão de Larmor, sendo ωL denominado de frequência de Larmor. Considerando um intervalo de tempo dt, e um. r. correspondente incremento angular dϕ , o módulo da velocidade angular processional de µ é [BREHM e MULLIN, 1989]: 28.

(30) ωL =. dϕ . dt. (34). r. r. A precessão de µ em torno do campo B faz com que a órbita eletrônica funcione. r. como uma espira que se movimenta com o campo B , como mostra a Figura 9(b).. 1.4 O EFEITO ZEEMAN E O SPIN ELETRÔNICO O desdobramento das linhas espectrais do átomo por ação de campos magnéticos externos foi observado pela primeira vez por Zeeman e, por essa razão, ficou conhecido como efeito Zeeman. De acordo com a teoria quântica, a mudança da frequência associada a uma linha espectral indica que houve uma variação do nível de energia de um dos estados, ou de ambos, envolvida na transição [BREHM e MULLIN, 1989]. Na seção anterior, foi visto que o momento magnético determina o comportamento de um átomo na presença de um campo. r r. r. magnético externo aplicado através da interação − µ ⋅ B, e que a quantização de µ é. r consequência da quantização de L .. r Na presença de um campo magnético B orientado ao longo do eixo z , a energia de interação magnética VM pode ser reescrita como [TANNOUDJI, 1991]:. < VM > = gµ B mB ,. (35). r onde B é o modulo de B na direção do eixo z .. r. O efeito do campo B aplicado é produzir um shift discreto na energia para cada 2l +1 valores de m em qualquer configuração orbital nl, ou seja, cada nível de energia é desdobrado 29.

(31) em 2l +1 subníveis; devido a isso, m também é chamado de número quântico magnético. Esse shift de energia vale. (36). δ E M = g µ B B.. r. A Figura 8 mostra um exemplo para o átomo de césio (Cs) . O campo B aplicado quebra a degenerescência dos estados no que diz respeito ao número quântico azimutal m . A distância entre níveis com m adjacentes é sempre δEM , independente dos valores de n e l . O símbolo ↑ denota spin-up correspondente a ms = 1/ 2 , e o símbolo ↓ denota spin-down e corresponde a ms = −1/ 2 [BREHM e MULLIN, 1989].. Figura 8: Desdobramento dos níveis de energia do césio na presença de um campo magnético.. r Na presença de B , além da regra de seleção para o número quântico secundário. ∆l = ±1, existe a regra para o numero quântico magnético, ∆m = 0, ± 1. A Figura 11 30.

(32) mostra o desdobramento dos níveis de energia no caso de uma transição de um estado inicial. l = 2 para l = 1. A regra de seleção para ∆m limita as transições nas nove linhas mostradas.. Figura 9: Desdobramento de níveis de energia para uma transição de l=2 para l=1.. Na Figura 9, verificam-se que os desdobramentos do estado inicial e do estado final são os mesmos, e existe somente três diferentes energias de transição (independentemente dos. r valores de l no estado inicial e final). Na presença de B aplicado, temos fótons emitidos relacionados às energias ∆E + δ EM e ∆E −δ EM , devido à quebra de degenerescência de L . No caso mais geral, um elétron em um átomo tem um momento angular orbital, caracterizado pelo número quântico l , e um momento angular intrínseco, ou spin, caracterizado pelo número quântico s . Se o átomo estiver num estado quântico genérico, os. r. r. vetores correspondentes aos momentos angulares orbital (L) e do spin (S ) do elétron devem. r. ser considerados para formar um momento angular total (J ) dado por [GASIOROWICZ, 1972]:. r r r J = L + S.. r. r. (37). r. Da mesma forma que L e S , o vetor J é um momento angular quântico; assim as. r. r. quantidades J e J z obedecem a regras de quantização similares a L e S . Nesse caso, o 31.

(33) módulo do momento angular total é. J = j( j +1)h. Cada valor de. está associado a 2 j + 1 números quânticos. mj. j do momento angular total. [BREHM e MULLIN, 1989],ou seja,. m j = − j ,− j + 1,..., j − 1, j.. (38). onde j é dado por:. 1 j=l+ . 2 A equação (39) representa o valor máximo de priori como o número quântico máximo do sistema, e spin. s . Os valores de. j. (39). j. uma vez que o valor de. l. é dado a. 1 é o valor fixo do número quântico de 2. devem diferir de um número inteiro, pertencendo a uma série. 1 2. 1 2. 3 2. decrescente [NUSSENZVEIG, 1998], do tipo j = l + , l − , l − ,... . O limite desta série. r r. r. pode ser determinado utilizando as desigualdades entre os módulos dos vetores L , S e J , 2    j( j + 1) ≥  l(l + 1) − 3   ,onde mostra que somente os dois primeiros termos da série satisfaz   2     . a essa desigualdade [NUSSENZVEIG, 1998], isto é. j = 1/ 2. , para l=0. (40.a). , para l ≠ 0 .. (40.b). e. j = l + 1 / 2, l − 1 2. 32.

(34) Essas regras de quantização podem ser representadas por regras de adição vetorial, cujos comprimentos dos vetores são proporcionais aos valores dos números quânticos e. l, s. j. Os estados quânticos para um átomo de um elétron têm sido organizados pelos. n, l , ml. números quânticos. e. ms ;. e suas funções de onda expressa por. Ψn l ml ms. [EISBERG e RESNICK, 1988]. Esses estados podem ser representados adotando-se os números quânticos. j e m j em vez de ml e ms . Assim os estados quânticos se baseiam em. uma função de onda da forma Ψn l j m j . Nessa nova descrição, é conveniente introduzir a notação espectroscópica de Russel-Saunders [LLEWELLYN e TIPLER, 1978] para representação dos níveis de energia En e estados degenerados de Ψn l j m j . Assim, por exemplo, o estado fundamental do césio é representado pela notação. n. 62 S1 2 , onde o valor de. é escrito como prefixo e o valor do número quântico associado ao momento angular. total. j , como índice inferior. O spin total (2s+1) aparece como índice superior. Neste caso,. para um elétron no nível modo. que. n = 6 , o momento angular orbital l , pode ser igual a 0, 1 ou 2, de existem. cinco 2. 2 2 2 6 2S 1/ 2 , 6 P1/ 2 , 6 P 3/ 2 , 6 D5/ 2 , 6 D3/ 2. estados. possíveis:. [LLEWELLYN e TIPLER, 1978].. Figura 10 mostra o desdobramento fino do átomo de césio; verifica-se que o nível com j = tem energia ligeiramente maior que o nível j =. A. 3 2. 1 . Em consequência, a linha espectral 2. associada à transição de 6S para 6P também se desdobra em duas linhas de comprimentos de onda ligeiramente diferentes.. 33.

(35) Figura 10: Diagrama de níveis de energia mostrando o desdobramento fino do césio.. 1.5 A INTERAÇÃO SPIN-ÓRBITA DA ESTRUTURA FINA. Na seção anterior foi discutido que estados atômicos com os mesmos valores de. l , mas diferentes valores de. n,. e. j , possuem energias ligeiramente diferentes por causa da. interação do spin do elétron com seu movimento em torno do núcleo. Como o campo magnético interno é consequência do momento angular orbital do elétron, essa interação é conhecida como interação spin-órbita. Essa interação está associada ao shift de energia devido à estrutura fina e explica o desdobramento fino associado às transições. 6P→6S do átomo de. césio na Figura 10. O efeito spin-órbita pode ser compreendido a partir do modelo simples de Bohr, mostrado na Figura 11.. Figura 11: Movimento orbital atômico em dois referenciais: do núcleo (a); e do elétron (b).. 34.

(36) Na Figura 11(a) o elétron está em movimento em uma órbita circular com velocidade. r v no sentido anti-horário em torno do núcleo. No referencial fixo do elétron, Figura 11(b), é o r núcleo que se move em uma orbita circular com velocidade −v , de modo que o elétron fica r. r. sujeito a um campo magnético B criado pelo núcleo. Lembramos que o campo B está. r E associado a um campo elétrico (no referencial da Figura 11(a), a carga ze está em repouso, r r vr×E r isto é, ela é a carga fonte geradora do campo E) por B = − 2 [GRIFFITHS, 2011]. c r. r. No referencial do elétron, o campo B é campo magnético interno Bint que pode ser escrito como [EISBERG e RESNICK, 1988]:. Bint. r Ze L = , 4πε 0 me c 2 r 3. (41). onde m e é a massa do elétron, c é a velocidade da luz e r é a distância do elétron ao núcleo.. r O momento magnético de spin do elétron, µ S , interage com o campo magnético interno,. r Bint ,. r r V = − µ de forma que a interação spin-órbita é dada por SL s ⋅ Bint , com. r r S µ s = − g s µ B e g s = 2 . Da equação (41) obtém-se [EISBERG e RESNICK, 1988]: h r. VSL. r r Ze 2 S ⋅ L = . 4πε 0 me2 c 2 r 3. (42). A equação (42) está relacionada ao referencial fixo no elétron; para reescrevê-la no referencial fixo do núcleo, um termo relativístico adicional deve ser adicionado a ela. Isso permite que o elétron passe a ter um movimento acelerado; esse termo é conhecido como precessão de Thomas, que se diferencia da precessão de Larmor pela presença de um fator 1 , 2. denominado de fator de Thomas [BREHM e MULLIN, 1989]. Como a interação spin-órbita é 35.

(37) um dos efeitos relativísticos que contribui para a estrutura fina, a equação (42) pode ser reescrita em função da constante da estrutura fina, α , de forma [TANNOUDJI, 1991] que:. V SL. onde. α=. e2 4π ε0 h c. r r Zα h S ⋅ L = , 2m e2 c r 3. (43). .. r r Como os vetores L e S precessionam em torno do eixo z, a interação spin-órbita está r r r relacionada à precessão de L e S ao redor de J , como mostra a Figura 12. Isto faz com que o momento angular total corresponda a diferentes valores de energia causando, assim, a degenerescência dos estados de. j. Ψnl j mj. para átomos de mesmo. n. e l , para diferentes valores. [BREHM e MULLIN, 1989]. É o que explica o diagrama de energia da Figura 10.. r. r. Figura 12: Precessão L de e S ao redor de. r J.. r2 r r 2 2 Usando a relação J = L + 2 L ⋅ S + S , a equação (43) pode ser escrita como:. V SL =. Zα h ( J 2 − L2 − S 2 ) . 4 mc2 c r3. (44). Calculando o valor esperado da interação spin-órbita obtém-se: 36.

(38) < VSL. Z 4α 4 [ j ( j + 1) − l (l + 1) − 3 / 4] > = E0 , 3 l (l + 1)( 2l + 1) n. (45).   α2  me c 2  . onde E 0 é a energia de Rydberg  dada por E0 = 2  . O valor esperado < VSL > é interpretado como sendo um shift dos níveis de energia. Nota-se que o termo entre colchetes na equação (45) se anula para o estado l = 0 pois, nesse caso,. j = 1/ 2 e, portanto, j( j + 1) = 3 / 4 ; ou seja, nesse estado a interação spin-órbita não. traz influência à energia do sistema [EISBERG e RESNICK, 1988]. No caso em que l ≠ 0 os estados com j = l −1/ 2 e. j = l +1/ 2. levam a um desdobramento de cada nível de energia. em dois outros níveis [BREHM e MULLIN, 1989]. Aplicando estas condições à equação (45) temos:. < VSL > =. < VSL. O shift de energia. Z 4α 2 E 0 , para j = l + 1/ 2 e n 3 (l + 1)( 2l + 1). Z 4α 2 E 0 > =− 3 , n l ( 2l + 1). δESL. para j = l + 1/ 2. (46). .. (47). associado à interação spin-órbita é obtido pela diferença. entre as equações (46) e (47), isto é:. δE SL. Z 4α 2 E 0 =− 3 . n l ( 2l + 1). (48). 37.

(39) Se o átomo estiver imerso num campo elétrico muito mais intenso que. r Bint (isto é,. r r Bext >> Bint ), a interação spin-órbita é negligível, e temos o efeito Zeeman normal (já abordado). Neste caso, o conjunto de números quânticos n, l , s, ml e ms são convenientes para descrever a função de onda. (Ψ. n l ml ms. ); caso contrário, a interação spin-órbita assume papel. de destaque e os números quânticos n, l , s, j, m j definem a melhor base para se representar a função de onda. (Ψ ) [BREHM e MULLIN, 1989]. nl j mj. 1.6 O EFEITO ZEEMAN ANÔMALO O efeito Zeeman anômalo ocorre quando o spin de um dos estados envolvidos na transição é diferente de zero. Este efeito está relacionado à existência de um campo magnético. r r. forte, que interage com o átomo de acordo com VM = −µ ⋅ B, e o momento magnético total é. r r. r. µ =µL + µS [GASIOROWICZ, 1972]. O efeito Zeeman associa-se a dois casos distintos: um caso em que o campo magnético externo aplicado é muito mais intenso que o campo magnético associado à interação spin-órbita, ou seja, magnético é. r r r Bext < Bint, mas Bext. No caso onde vetores. r r Bext >>Bint,. e outro, onde o campo. não é desprezível.. r r Bext >> Bint , a interação spin-órbita pode ser desprezada. Neste caso os. r r r L e S são desacoplados e precessionam independentemente em torno de B. Dessa. forma, a interação magnética é representada na base dos números quânticos n, l , s, ml , ms , que descrevem um estado atômico correspondente a uma função de onda. Ψnl ml ms , e os. valores esperados < Lz > = h ml e < S z > = h ms [TANNOUDJI, 1991] são usados para se obter:. < VM > = µ B Bext ( ml + 2 m s ).. (49). 38.

(40) Assim o desdobramento é semelhante ao que ocorre no efeito Zeeman normal e apenas três linhas são observadas. Em uma dada configuração orbital, com os números quânticos n e. l , têm-se 2(2l +1) subestados magnéticos diferentes. O shift nos estados de energia, associados à equação (79), só podem ser considerados se a interação spin-órbita for dominada por. VM , isto é, VM >> VSL ; esse efeito em campos magnéticos elevados é conhecido como. efeito Paschen-Back e é um caso especial do efeito Zeeman [BREHM e MULLIN, 1989].. r. r. No caso em que Bext < Bint (com o campo magnético externo não sendo desprezível) a interação spin-órbita impede que as precessões dos vetores momento magnéticos,. r. µL. r. e µ S , sejam independentes. Neste caso, as interações magnéticas devem ser representadas na base de números quânticos n, l , s, j , m j , associada a. Ψn l j m j [GASIOROWICZ,. 1972].. r. Nesse problema, o momento magnético total µ aponta numa determinada direção, e o estado. r. associado a Ψn l j m j , representado pelo momento angular total, tem o vetor J apontando numa direção diferente, como mostra a Figura (13a). (a). (b). r r r J e µ J (a); e construção de µz (b). r A componente de µ na direção de J é dado por [GASIOROWICZ, 1972]:. Figura 13: Diagramas vetoriais para construções r de. r. µJ = −. r. µB 2 hJ. (3J. 3. ). + S 2 − L2 ,. (50). 39.

(41) onde. r. µ B é o magneton de Bohr.. r. Como. µJ. precessiona mais rapidamente em torno de. tomamos a componente. r. r r J do que em torno de B ,. r. r. µ Z na direção de Bext , como indicado na Figura 13(b). Notamos que r. r. µ Z e µ J são distinguíveis, e para encontrar o valor de µ Z leva-se em conta os efeitos da interação spin-órbita. A componente. r. µ Z pode ser escrita de forma [BREHM e MULLIN,. 1989]:. < µ z >= − g. onde g =1+. µB h. < J z >,. (51). j( j +1) +s(s +1) −l (l +1) , denominado fator de Landé [TANNOUDJI, 1991]. 2 j( j +1). O desdobramento da energia resultante do efeito Zeeman anômalo é obtido usando a equação (51) na equação (49); assim temos:. < VM > = gµ B m j Bext .. (52). A equação (52) possui uma estrutura similar a equação (35), relacionada ao desdobramento da energia resultante do efeito Zeeman normal, e são equivalentes quando o átomo no estado. Ψn l j m j. não sofre a ação de um campo magnético externo, isto é,. r Bext = 0 [BREHM e MULLIN, 1989]. A equação (52) representa o efeito Zeeman anômalo e r mostra que, num campo magnético Bext ≠ 0 , cada nível de energia n L j será desdobrado em r (2 j +1) componentes, uma para cada valor de m j , com magnitude não muito maior que Bint , associado à interação spin-orbita e à estrutura fina. O efeito Zeeman anômalo também é. 40.

(42) chamado de efeito de campo fraco associado à estrutura fina [TANNOUDJI, 1991]. O campo. r. r. r. fraco não é Bint , é o Bext , que é dito fraco porque não é muito mais intenso que Bint .. 1.7 A ESTRUTURA HIPERFINA Nesta. seção,. vamos. nos. concentrar. na. interação. hiperfina. para. átomos. monoeletrônicos, para enfim compreendermos o funcionamento do relógio atômico e a definição do atual padrão de tempo. O próton, assim como o elétron, é uma partícula de spin 1, que possui um momento 2. magnético intrínseco. r. µ I , também chamado de momento magnético nuclear, o qual. estabelece um campo magnético permanente dentro do átomo e promove uma interação. r. Zeeman fraca com o momento magnético do elétron, µ. J. [PIZA, 2001]. Essa interação. magnética adicional no interior do átomo, identificada por um acoplamento entre o spin nuclear e o spin eletrônico, é conhecida como estrutura hiperfina, também associada ao efeito Zeeman. Na estrutura hiperfina, o desdobramento dos níveis de energia são ordens de magnitude menores que os desdobramentos spin-órbita associados à estrutura fina dos átomos [TANNOUDJI, 1991]. Vamos considerar a interação hiperfina para o estado com l = 0 e, depois, para o átomo de césio no estado fundamental. O núcleo atômico tem um spin nuclear representado. r por um momento angular I [GASIOROWICZ, 1972], cujos estados são identificados por um número quântico de spin nuclear i = 0,. 1 3 , 1, , 2,... de forma que 2 2. (53). I 2 = h 2 i (i + 1).. r r S Analogamente ao momento magnético de spin eletrônico, µs = −gs µB , a expressão h r. para o momento magnético devido ao spin nuclear é escrito como:. 41.

(43) r I µI = gI µN , h r. onde. µ N=. (54). eh 2 MP. , denominado magneton nuclear (com MP sendo a massa do próton),e. é o fator nuclear. Para o caso em que Z = 1 e i =. gI. gP 1 = 2,792847386 ,onde gp é tem-se 2 2. o fator g do próton [PIZA, 2001]. A interação hiperfina é do tipo spin-spin, pois envolve os momentos magnéticos de spin do núcleo e do elétron. Para um átomo no estado l = 0 essa interação é dada por [BREHM e MULLIN, 1989]:. V SS.  e 2 =− g s g I  2 4πε 0 c 3  2me 1. 2  me r r 2 1  S ⋅ I∇ , M r P . (55). onde c é a velocidade da luz, me e a massa do elétron, M P é a massa do próton g s é o fator orbital, g I é o fator nuclear. A equação (55) é uma analogia à interação spin-órbita VSL . Assim, um momento. r. r. r. r. r. angular total F pode ser definido agora como F = L + S + I . Para casos de estados com l = 0 temos [PIZA, 2001]:. r r r F = S + I,. (56). Dessa forma a interação VSS pode ser reescrita como. VSS. 1. gs gI =− 4πε 0 c 2 3.  e   2me. 2.  me 1  F 2 − S 2 − I 2 ∇2 , r  MP. (. ). (57). 42.

(44) 2. 2. com F = h f ( f + 1) , onde f é o número quântico associado ao momento magnético total. r F . Assim os estados da estrutura hiperfina para l = 0 são especificados por um número quântico principal n, um numero quântico orbital l = 0 , e um número quântico de momento angular total j = s =. 1 , de forma que [GASIOROWICZ, 1972]: 2. 1 f =i+ 2. f =i−. ou. 1 . 2. (58). Os dois valores para f correspondem a dois estados distintos do átomo, com energias diferentes, desdobradas pelo efeito da interação hiperfina. Para estados em que l = 0 os valores de < VSS > , que representa o shift da energia hiperfina [BREHM e MULLIN, 1989], são dados pela equação (59):. < V SS. e2. gS gI > = 4πε 0 3. . 2.  e  me  3    f ( f + 1) − − i (i + 1)  | R n 0 (0) | 2 ,  4   2me c  M P . 3 4. . 2 2 2 2 com F −S −I = h f (f +1 ) − − i (i +1 ) e. . . ∇2. (59). 1 = − | Rn 0 ( 0 )|2. r. Para o estado fundamental ( n = 1) de átomos monoeletrônicos, temos:. 3.  Zα m e c   , R10 (0) = 4  h   2. (60). 43.

(45) onde o raio de Bohr a é dado em termos da constante de estrutura fina α , isto é,. α=. h . Agora a equação (59) pode ser reescrita como [GASIOROWICZ, 1972]: Z a me c. < V SS. g S g I m e2 2  3  > = Z α c  f ( f + 1) − − i (i + 1) . 3 MP  4  3. 4. (61). O desdobramento das energias hiperfinas depende dos valores do número quântico f . As duas possibilidades para o termo entre colchetes na equação (61) são [GASIOROWICZ, 1972]:. i, para. f =i+. 1 2. −i −1, para. f =i+. 1 . 2. e. (62.a). (62.b). Assim, a diferença de energia entre os dois estados determina o desdobramento hiperfino. (δEHF ) : g S g I me2 2 δE = z α c ( 2i + 1). 3 MP 3. 2 O nível fundamental 6 S 1. nuclear i =. 4. 2. (63). do átomo de césio, com número quântico de spin. 7 , apresenta dois estados hiperfinos, um com f = 4 2. e outro com f = 3 ,. representado na Figura 14. De acordo com a equação (63), o desdobramento hiperfino em termos de frequência, é:. υ. HF. =. δE HF h. = 9,192631770 GHz ,. (64). 44.

(46) que corresponde a um comprimento de onda. λ ≈ 3,3 cm . O tempo que o elétron leva para. 9. efetuar 9,192631770 × 10 oscilações entre os estados hiperfinos f = 3 e f = 4 do estado fundamental do átomo de césio é a atual definição de segundo.. Figura 14: Efeito da interação hiperfina para o estado 6 2 S1 / 2 do césio, e a frequência correspondente ao intervalo de tempo de 1s, medida pelo relógio atômico.. 45.

(47) 2. O RELÓGIO ATÔMICO: UMA APLICAÇÃO NA CIÊNCIA E TECNOLOGIA. Neste tópico será abordado o comportamento qualitativo do relógio atômico, uma aplicação da Física Atômica muito importante na medição do tempo.. 2.1 EVOLUÇÃO DAS MEDIDAS DE TEMPO. Desde muito cedo o homem teve a necessidade de contar o tempo. Os primeiros relógios do mundo surgiram da sua necessidade de se localizar no tempo e no espaço e de organizar suas tarefas. Antes da invenção dos relógios as pessoas se baseavam em eventos regulares e naturais para manter o controle do tempo [OLIVEIRA, 2014]. Os primeiros relógios construídos tinham o movimento do sol como referência natural, onde um bastão era fincado no centro de uma superfície circular projetando uma sombra para indicar a hora, desde o nascer até o pôr do sol [ALLEN; 2014], como visto na Figura 15. A necessidade de medir a passagem do tempo com maior precisão, na área cientifica e em muitas necessidades humanas conforme a sociedade foi se organizando, permitiu o desenvolvimento de novos instrumentos capazes de dividir o dia em partes menores que se tornaram os minutos e segundos; assim foram surgindo novos dispositivos secundários que eram calibrados usando o Sol como padrão de tempo [BAGNATO, 2012]. Durante anos novos tipos de relógios foram desenvolvidos baseados em diferentes medidas de passagem de tempo, muitos deles utilizavam o escoar dos líquidos, areia ou a queima de fluidos para a contagem do tempo; no entanto, nenhum deles apresentava uma técnica mais apurada.. Figura 15: Primeiros relógios construídos para marcação do tempo; relógio de Sol (a), ampulheta (b) e clepsidra (c) [IMAGENS GOOGLE].. 46.

(48) O estabelecimento de padrões de medidas mais precisos data de pouco mais de três séculos. Avanços mais significativos surgiram entre os séculos XVI e XVII, onde exploradores navegavam em busca de riquezas em viagens que iam cada vez mais distantes. Tal fato exigia a melhoria do sistema de navegação marítima para que a posição do navio fosse determinada com menor margem de erro. Essa necessidade levou ao surgimento de relógios mecânicos mais precisos [BEBEACHIBULI, 2013]. Com o desenvolvimento tecnológico dos sistemas de radar e das telecomunicações, a demanda pela uniformidade nos padrões de medida cresceu, tornando a precisão dos relógios mecânicos insuficiente, levando ao desenvolvimento dos relógios de quartzo. Seu grande diferencial é a precisão; enquanto os antigos relógios mecânicos perdiam um décimo de segundo por dia, os de quartzo não erram mais do que um milésimo [DIMAS, 1976]. A substituição das oscilações mecânicas por oscilações eletrônicas, baseadas em certas propriedades elétricas desses cristais, permitiu tal aumento na precisão das medidas de tempo. Com o desenvolvimento da Física Atômica, notou-se que as frequências derivadas das transições ressoantes de átomos e moléculas oferecem larga vantagem sobre os demais métodos até então utilizados. A principal vantagem do relógio atômico é que qualquer transição não perturbada é idêntica de átomo a átomo e, dessa forma, relógios baseados na mesma transição podem gerar a mesma frequência sem alterar suas propriedades físicas com o tempo. Em 1949 foi desenvolvido, por Harold Lyons (no Instituto de Padrões e TecnologiaNIST), o primeiro relógio que utilizava o átomo como elemento básico para a contagem do tempo, usando moléculas de amônia [BAGNATO, 2012]. Em meados da década de 50, uma versão aprimorada baseada na transição do átomo de césio, construído por Louis Essen e John Parry (do Laboratório Nacional Britânico de Física), levou a uma nova definição aceita internacionalmente acerca do “segundo”. Em 1967, na 13ª Conferência Geral de Pesos e Medidas, o “segundo” foi definido na transição hiperfina do átomo de césio [BEBEACHIBULI, 2013]:. 47.

(49) O segundo é a duração de 9.192.631.770 períodos correspondentes à transição entre os dois níveis hiperfinos do estado fundamental do átomo de césio. 133. Cs [BEBEACHIBULI,. 2013], isto é, o segundo é o padrão de medida do tempo. A margem de erro de um relógio desses é de apenas alguns segundos em milhões de anos, contra um segundo por dia em um relógio de pulso comum [BAGNATO; 2012]. A Figura 16 apresenta a precisão de diferentes relógios utilizados no dia a dia. Para algumas aplicações exatidão da ordem de segundos em até alguns mil anos pode ser suficiente. Para outras, é necessário manter os relógios com precisão superiores.. Figura 16: Precisão de diferentes relógios utilizados no dia a dia [BAGNATO 2012].. Um dos mais importantes usos dos relógios atômicos ocorre no sistema de navegação. Na localização geográfica via satélite, as frações de segundos são imprescindíveis ao Sistema de Posicionamento Global (GPS), composto por 24 satélites que orbitam o planeta [BERNARDI e LANDIM, 2002]. Cada satélite contém um par de relógios atômicos; emissores de localização emitem sinais sincronizados e, em qualquer ponto na superfície da Terra, um receptor capta os sinais e mede a diferença de chegada de cada um deles; e por triangulação a posição do receptor é determinada. O relógio atômico é fundamental nesses sistemas, pois é a única maneira de medir com precisão a localização do receptor [SANTOS, 2008]. 48.

(50) Nas telecomunicações a sincronização do tempo é uma necessidade fundamental da rede, pois controla o tráfego de informações via fibras ópticas, mensura os fluxos de dados, mede a duração das transmissões e ajuda a direcionar as ligações. Na troca de dados e de voz o sincronismo garante o bom funcionamento do sistema. Sem tal sincronismo, corre-se o risco de erros que comprometem as ligações [OLIVEIRA, 2006]. Na indústria, os relógios atômicos são usados para calibrar geradores de frequência, sintetizadores, contadores e outros instrumentos que dependem de padrões de frequência. Vários países mantêm transmissão constante de tempo, com base em relógios atômicos, para que instrumentos e relógios públicos sejam calibrados, permitindo sincronismo em todo o seu território [BAGNATO 2012]. O panorama atual dos padrões de frequência torna realidade testes de Física Fundamental. Os cientistas do laboratório do NIST conseguiram, pela primeira vez, observar o fenômeno da dilatação do tempo previsto pela Teoria da Relatividade, em dimensões de cerca de 33cm, usando dois dos mais precisos relógios atômicos já construídos [WINELAND; 2010].. Atualmente diversos países dominam a tecnologia envolvida na construção dos padrões de frequência atômica. Os Estados Unidos, por exemplo, anunciaram, em 2013, a criação do relógio atômico mais preciso do mundo, que utiliza como matéria-prima o elemento químico itérbio (Yb), dez vezes mais preciso do que outros dispositivos já desenvolvidos, apresentando uma variação de menos de um segundo em 13,8 bilhões de anos, a idade estimada do universo [LUDLOW, 2013]. O Brasil, em 1998, iniciou um programa de metrologia de tempo e frequência quando o grupo de Óptica do Instituto de Física de São Carlos, e a atual CePOF (Centro de Pesquisa em Óptica e Fotônica), deram início à construção do primeiro relógio atômico com feixe de césio, e em seguida, à construção de um relógio tipo chafariz [BEBEACHIBULI 2013].. 2.2 O RELÓGIO ATÔMICO DE FEIXE EFUSIVO DE CÉSIO. Nesta seção discutiremos o princípio de funcionamento do relógio atômico de feixe térmico de césio, primeiro modelo construído pelo Programa Brasileiro de Metrologia de 49.