Henrique de Souza Vieira
Estabilização e controle
H
∞
por realimentação de
estados para sistemas lineares politópicos
utilizando desigualdades matriciais com escalares
Campinas
2015
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação
Henrique de Souza Vieira
Estabilização e controle
H
∞por realimentação de estados
para sistemas lineares politópicos utilizando desigualdades
matriciais com escalares
Dissertação apresentada à Faculdade de Enge-nharia Elétrica e de Computação da Univer-sidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Mestre em Engenharia Elétrica, na Área de Automação.
Orientador: Prof. Dr. Ricardo C. L. F. Oliveira
Este exemplar corresponde à versão final da dissertação defendida pelo aluno Henrique de Souza Vieira, e orientada pelo Prof. Dr. Ricardo C. L. F. Oliveira
Campinas
2015
Ficha catalográfica
Universidade Estadual de Campinas Biblioteca da Área de Engenharia e Arquitetura
Luciana Pietrosanto Milla - CRB 8/8129
Vieira, Henrique de Souza, 1989-V673e
lineares politópicos utilizando desigualdades matriciais com escalares / Henrique de Souza Vieira. – Campinas, SP : [s.n.], 2015.
VieOrientador: Ricardo Coração de Leão Fontoura de Oliveira.
VieDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação.
Vie1. Controle Robusto. 2. Realimentação. 3. Sistemas lineares. I. Oliveira, Ricardo Coração de Leão Fontoura de,1978-. II. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação. III. Título.
Informações para Biblioteca Digital
Título em outro idioma:
Palavras-chave em inglês:
Robust control Feedback Linear systems
Área de concentração: Automação Titulação: Mestre em Engenharia Elétrica Banca examinadora:
Ricardo Coração de Leão Fontoura de Oliveira [Orientador] Edvaldo Assunção
Paulo Augusto Valente Ferreira
Data de defesa: 30-01-2015
Programa de Pós-Graduação: Engenharia Elétrica
Estabilização e controle H por realimentação de estados para sistemas
Stabilization and H control by state feedback for polytopic linear systems using matrix inequalities with scalars
Resumo
Os problemas de estabilização e controle H∞ robustos por realimentação de estados para
sistemas lineares incertos em domínios politópicos são investigados nesta dissertação. São propostas novas técnicas de síntese baseadas em condições LMIs com busca em escalares, abordando de maneira unificada sistemas contínuos e discretos no tempo. A principal no-vidade da técnica proposta é o uso efetivo de matrizes de Lyapunov polinomiais de grau arbitrário para certificar a estabilidade robusta do sistema em malha fechada. A segunda vantagem da abordagem proposta é que as melhores condições de síntese por realimentação de estados atualmente disponíveis na literatura podem ser reproduzidas por meio de escolhas particulares dos parâmetros escalares. Para o problema de controle H∞ também é proposto
um procedimento iterativo como alternativa à busca dos escalares. Experimentos numéricos ilustram o potencial e a eficácia da técnica proposta.
Palavras-chaves: Sistemas lineares politópicos; Realimentação de estados; Estabilização robusta; Controle H∞; Desigualdades matriciais lineares.
Abstract
The problems of robust stabilization and H∞ control by state-feedback for uncertain linear
systems in polytopic domains are investigated in this dissertation. New synthesis techniques based on LMI conditions with scalar searches, addressing in a unified way continuous and discrete-time systems, are proposed. The main novelty of the proposed method is the effective use of polynomial Lyapunov matrices of arbitrary degree to certify the robust stability of the closed-loop system. The second advantage of the proposed approach is that the best currently available state-feedback synthesis conditions in the literature can be reproduced by particular choices of the scalars. Regarding the H∞ control problem, an iterative procedure
is also proposed as an alternative to the scalar searches. Numerical experiments illustrate the potential and efficacy of the proposed methods.
Keywords: Polytopic linear systems; State-feedback; Robust stabilization; H∞control; LMIs.
SUMÁRIO
Introdução . . . . 1 1 Conceitos e Definições . . . . 4 1.1 Definição do Problema . . . 4 1.2 Métodos de Estabilização . . . 8 1.3 Métodos de Controle H∞ . . . 9 2 Estabilização Robusta . . . 122.1 Síntese robusta com matrizes polinomiais . . . 12
2.2 Exemplos Numéricos . . . 17 2.2.1 Simulações Exaustivas . . . 18 2.3 Conclusões Parciais . . . 24 3 Controle H∞ . . . 25 3.1 Resultado Principal . . . 25 3.2 Exemplos Numéricos . . . 35 3.2.1 Simulações Exaustivas . . . 35 3.2.2 Sistema de Satélite . . . 39 3.2.3 Sistema Massa-Mola-Amortecedor . . . 43 3.3 Conclusões Parciais . . . 44 Conclusão . . . 45 ix
Referências . . . 47 A Forma programável do Teorema 2.1 . . . 53
Dedico este mestrado, à Deus, a minha família, aos amigos, aos colegas de trabalho e orientador pelo apoio, companheirismo e amizade. Sem eles nada disso seria possível.
AGRADECIMENTOS
Aos meus Pais,
Ubirajara Castro Vieira (in memorian) e Benedita de Melo Souza, em especial meu pai, que hoje se encontra com Deus, mas sempre me incentivou na continuação dos estudos. Eles são verdadeiros amigos, companheiros e confidentes, que hoje sorriem orgulhosos ou choram emocionados. Muitas vezes, na tentativa de acertar, cometeram falhas, mas inúmeras vezes foram vitoriosos. Doaram-se por inteiro e renunciaram aos seus sonhos, para que, muitas vezes, eu pudesse realizar o meu sonho.
Aos meus Irmãos,
Pablo Michel de Melo Souza e Tácia Maria Souza Vieira, que mesmo entre brigas, estavam sempre prontos a me ajudar.
À minha Namorada,
Ana Heloíza Simas da Silva, que sempre me incentivou e acreditou no meu potencial. Ao Prof. Dr. Ricardo Coração de Leão Fontoura de Oliveira,
Um agradecimento carinhoso por todos os momentos de paciência, compreensão e competência, que me conduziu nos caminhos da pesquisa de forma brilhante, além de ter compartilhado comigo seu conhecimento.
À Faculdade de Engenharia Elétrica e Computação - FEEC - UNICAMP,
Em especial ao Programa de Pós-Graduação da FEEC, representado pelo Prof. Dr. Pedro Luis Dias Peres, coordenador do programa, no qual tive a oportunidade de estudar em uma ótima infraestrutura e com excelentes professores.
A todos Amigos,
Em especial aos que se encontram em Campinas (Ozenir, Cesár, Victor, Raimundo, Alan e Cássio), aos novos colegas que tive o prazer de conhecer durante o período de discipli-nas e pesquisa, a todos do laboratório (LE-16) em particular Márcio Lacerda, Márcio Braga, Cecília Morais, Luciano Frezzatto e Renato Silva que proporcionaram ao mesmo tempo di-versão e aprendizado.
À agência,
FAPEAM (Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado do Amazonas) pelo recurso fornecido.
“Muito a aprender você ainda tem.” (Mestre Yoda)
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1.1 – Esquema elétrico de um circuito RLC. . . . 5 Figura 1.2 – Vértices do politopo p1, p2, p3 e p4. . . 6
Figura 2.1 – Autovalores do sistema em malha aberta (a) e em malha fechada (b) para o projeto realizado no Exemplo 2.1. . . 20 Figura 2.2 – Valores de σmáxobtidos nas comparações numéricas realizadas no Exemplo
2.2. . . 22 Figura 2.3 – Valores de σmáxobtidos nas comparações numéricas realizadas no Exemplo
2.3. . . 23 Figura 3.1 – Comparação relativa entre T3.1 (12 combinações dadas em (3.14)) e (XIE,
2008, Teorema 4.1) XIE (15 combinações dadas em (2.7)) para 100 sistemas instáveis em malha aberta de dimensões n = 2, N = 2. . . . 36 Figura 3.2 – Comparação relativa entre o Algoritmo 1 (limitado com 5 iterações) e T3.1
(12 combinações dadas em (3.14)) para 100 sistemas instáveis em malha aberta de dimensões n = 2, N = 2. . . . 37 Figura 3.3 – Valores de σ e os custos garantidos fornecidos pelo Teorema 3.1 no projeto
realizado no Exemplo 3.1. . . 38 Figura 3.4 – Valores de σ e os custos garantidos fornecidos pelo Teorema 3.1 no projeto
realizado no Exemplo 3.2. . . 39 Figura 3.5 – Um esboço do sistema de satélite (BIERNACKI et al., 1987). . . . 40 Figura 3.6 – Custos garantidos H∞ obtidos pelos Teoremas 3.1(a) e 3.2(b) com a
vari-ação de ǫ para o sistema de satélite. . . . 42 xvii
Figura 3.7 – Em círculos tem-se o ponto inicial dado como partida para o Algoritmo 1. Em triângulos tem-se o custo garantido obtido depois da execução do Algoritmo 1. . . 42 Figura 3.8 – Sistema Massa-Mola-Amortecedor. . . 43
LISTA DE TABELAS
Tabela 2.1 – Número de sistemas (dentre 100) estabilizados por meio de um ganho de realimentação de estados robusto utilizando o Lema 1.4 e o Lema 1.5 considerando dependência afim (g = 1), quadrática (g = 2) e cúbica (g = 3) nos parâmetros incertos para as variáveis do problema. . . 14 Tabela 2.1 – Número de sistemas (dentre 100) estabilizados por meio de um ganho de
realimentação de estados robusto utilizando o Lema 1.4 e o Teorema 2.1 considerando dependência afim (g = 1) e quadrática (g = 2) nos parâme-tros incertos para as variáveis do problema. . . 19 Tabela 2.2 – Tempos computacionais (em segundos) demandados pelo Teorema 2.1 e
pelo Lema 1.4 na solução do Exemplo 2.2. . . 22 Tabela 2.3 – Tempos computacionais (em segundos) médios (total de 39 valores) e
des-vios padrões demandados pelo Teorema 2.1 e pelo Lema 1.7 na solução do Exemplo 2.3. . . 24 Tabela 3.1 – Custos garantidos H∞obtidos com as condições propostas e alguns
méto-dos disponíveis na literatura para o sistema de satélite. . . 41 Tabela 3.2 – Custos garantidos H∞ obtidos pelas condições propostas e por alguns
métodos disponíveis na literatura para o sistema massa-mola-amortecedor. 44
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
R Conjunto dos números reais
1 Matriz de uns de dimensão apropriada
⋆ Representa um bloco simétrico nas matrizes
0 Matriz de zeros de dimensão apropriada
L <0 Uma matriz definida negativa
L >0 Uma matriz definida positiva
L′ (′), pós-posto a um vetor ou matriz, indica a operação de transposição
I Matriz Identidade de dimensão apropriada
LMIs em inglês, Linear Matrix Inequality (desigualdade matricial linear)
1
INTRODUÇÃO
A análise de estabilidade robusta e o projeto de controladores robustos para siste-mas lineares incertos invariantes no tempo são problesiste-mas de destaque para esta classe de sistemas (BOYD et al., 1994). Com relação ao problema de análise, são notórios os avan-ços produzidos desde o surgimento das técnicas que empregam matrizes de Lyapunov com dependência afim nos parâmetros incertos (FERON et al., 1996; GAHINET et al., 1996; GEROMEL et al., 1998) que podem ser completamente caracterizadas por procedimentos convexos de otimização baseados em relaxações LMIs (do inglês, Linear Matrix Inequalities – LMIs) (BOYD et al., 1994). Desde então, condições cada vez menos conservadoras foram aparecendo na literatura (PEAUCELLE et al., 2000; TROFINO; SOUZA, 2001; RAMOS; PERES, 2001; RAMOS; PERES, 2002; LEITE; PERES, 2003), culminando com as relaxa-ções LMIs convergentes baseadas em matrizes de Lyapunov com dependência polinomial nos parâmetros (BLIMAN, 2004a; CHESI et al., 2005; OLIVEIRA; PERES, 2007). Por outro lado, o problema de síntese (estabilização robusta) apresenta um cenário bem mais desafia-dor e os avanços observados são bem mais modestos. Um passo importante para a solução deste problema foi a estabilização quadrática (GEROMEL et al., 1991a), que consiste em parametrizar o ganho de controle por meio de uma matriz de Lyapunov fixa (independente de parâmetros). A técnica torna o problema convexo, isto é, resulta em um problema de factibilidade escrito em termos de um conjunto de LMIs definidas nos chamados vértices do sistema incerto (BOYD et al., 1994). Contudo, a estratégia utilizada para tornar o problema convexo introduz conservadorismo nas condições LMIs no caso de sistemas incertos.
Nos últimos vinte anos, muitos esforços de pesquisa foram empregados para obter condições de síntese robusta cada vez mais relaxadas, isto é, menos conservadoras do que as baseadas na estabilização quadrática. Um ponto de destaque nessa história recente, foi o uso de funções de Lyapunov dependentes de parâmetros na forma afim (FERON et al., 1996),
em-Introdução 2
pregadas de modo conjunto com as chamadas variáveis de folga (GEROMEL et al., 1998; DE OLIVEIRA et al., 1999). Diferentemente da estabilização quadrática, essa abordagem desa-copla a matriz dinâmica do sistema da matriz de Lyapunov, permitindo que o ganho robusto seja sintetizado a partir da variável de folga (DE OLIVEIRA et al., 1999). Diferentes técnicas foram exploradas neste contexto, como por exemplo, o Lema da Projeção (APKARIAN et
al., 2001; PIPELEERS et al., 2009; MORAIS et al., 2012) e o Lema de Finsler (TROFINO;
SOUZA, 2001; EBIHARA; HAGIWARA, 2004). Outra técnica muito utilizada foi a intro-dução da busca em parâmetros escalares, que quando fixados ainda resultam em condições LMIs (CHUGHTAI; MUNRO, 2004; JIA, 2003; SHAKED, 2001; GEROMEL; KOROGUI, 2006; GARCIA; SALHI, 2008; OLIVEIRA et al., 2011). Comparações numéricas estatísti-cas das principais técniestatísti-cas existentes podem ser encontradas em (OLIVEIRA et al., 2011) para sistemas contínuos e em (MORAIS et al., 2012) para sistemas discretos. Estendendo a mesma metodologia das condições de estabilização para tratar dos critérios de desempenho baseados nas normas H2 e H∞, de modo geral mantêm-se as mesmas fontes de
conservado-rismo que afetam as condições de estabilização (GEROMEL et al., 1991b; GEROMEL et al., 1992; SHAKED, 2001; SHIMOMURA et al., 2001; DE OLIVEIRA et al., 2002; JIA, 2003; EBIHARA; HAGIWARA, 2004; TROFINO et al., 2005; HE et al., 2005; XIE, 2008).
Uma característica presente em grande parte das condições de síntese robusta para sistemas incertos disponíveis na literatura (casos contínuo e discreto) é o fato da dependência paramétrica da matriz de Lyapunov ser restrita à forma afim (polinomial de grau um) (DE OLIVEIRA; GEROMEL, 2005). As exceções a essa regra são as condições publicadas em (GEROMEL; KOROGUI, 2006) e em (OLIVEIRA et al., 2011, Lemma 9), que podem ser estendidas para tratar funções de Lyapunov polinomiais, potencialmente reduzindo o conser-vadorismo das relaxações, como observado no problema de análise robusta. Seguindo uma abordagem similar, esta dissertação propõe novas condições LMIs com busca em parâmetros escalares para estabilização e controle H∞ robustos por realimentação de estados. Utilizando
o Lema da Projeção e variáveis de folga advindas do Lema de Finsler, as condições propostas admitem o emprego de funções de Lyapunov polinomiais de grau arbitrário e tratam os casos contínuo e discreto de maneira unificada. Como um benefício importante, as relaxações pro-postas reproduzem as condições mais eficientes atualmente disponíveis na literatura (casos contínuo e discreto) por meio de escolhas específicas dos escalares. Buscas nos parâmetros escalares permitem reduzir o conservadorismo das condições ao preço do aumento do esforço computacional. Para o projeto de controladores H∞, um procedimento iterativo é proposto
como uma alternativa à busca dos escalares. Exemplos numéricos e comparações estatísti-cas utilizando bases de dados disponíveis na literatura ilustram as vantagens das técniestatísti-cas propostas.
Introdução 3
A organização da dissertação e um resumo de cada capítulo são apresentados a seguir: Capítulo 1: Este capítulo introduz as notações, apresenta as definições e conceitos que serão utilizados no decorrer deste trabalho. Os resultados mais importantes da literatura relacionados a estabilização e controle H∞ para sistemas politópicos contínuos e discretos no
tempo são reproduzidos por conveniência.
Capítulo 2: Apresenta uma nova técnica de estabilização robusta baseada em LMIs com busca em escalares. É demonstrado teoricamente que as relaxações propostas contêm as condições mais eficientes disponíveis na literatura. Também são apresentadas evidências numéricas que as condições propostas são mais eficientes que outros métodos existentes.
Capítulo 3: Apresenta relaxações LMIs com busca em escalares para projetar um controlador robusto H∞. Como alternativa à busca dos escalares, também é proposto um
pro-cedimento iterativo para reduzir o conservadorismo do projeto. Por fim, exemplos numéricos são apresentados para ilustrar a eficiência dos métodos propostos.
Conclusão: Apresentação das conclusões gerais do trabalho e propostas de trabalhos futuros, além de listar os artigos produzidos (aceitos/submetidos) como resultados desta dissertação.
4
CAPÍTULO
1
CONCEITOS E DEFINIÇÕES
Este capítulo apresenta os conceitos básicos de estabilidade robusta e cômputo da norma H∞ para sistemas lineares incertos afetados por incerteza politópica. Também são
apresentadas condições de estabilização robusta da literatura que são utilizadas nas compara-ções numéricas apresentadas ao longo da dissertação. A próxima seção introduz os problemas a serem investigados.
1.1 Definição do Problema
Considere o sistema linear incerto invariante no tempo descrito pelas equações de estados (1.1)
δ[x(t)] = A(α)x(t) + Bu(α)u(t) + Bw(α)w(t)
y(t) = C(α)x(t) + Du(α)u(t) + Dw(α)w(t)
(1.1) no qual o símbolo δ[·] representa o operador derivativo ( ˙x(t)) para sistemas contínuos no tempo e o operador avanço unitário (x(t + 1)) para sistemas discretos no tempo, x(t) ∈ Rn é o vetor de estados, w(t) ∈ Rr são as perturbações, y(t) ∈ Rp são as saídas controla-das e u(t) ∈ Rm são as entradas de controle. As matrizes A(α) ∈ Rn×n, B
u(α) ∈ Rn×m,
Bw(α) ∈ Rn×r, C(α) ∈ Rp×n, Du(α) ∈ Rp×m e Dw(α) ∈ Rp×r, são incertas e perten-cem a um domínio politópico dado pela combinação convexa de N vértices conhecidos (Ai, Bui, Bwi, Ci, Dui, Dwi), i = 1, . . . N, isto é (A, Bu, Bw, Cz, Dzu, Dzw)(α) = N X i=1 αi(Ai, Bui, Bwi, Ci, Dui, Dwi), α ∈ Λ (1.2)
Capítulo 1. Conceitos e Definições 5 + + − − L v2 v1 C R x y
Figura 1.1 – Esquema elétrico de um circuito RLC.
e α é um vetor de parâmetros invariantes no tempo pertencente ao simplex unitário dado em (1.3) e N é o número de vértices do politopo.
Λ ,nα ∈ RN : N X i=1 αi = 1, αi ≥0, i = 1, . . . , N o (1.3) A Figura 1.1 apresenta o esquema elétrico de um circuito RLC e a partir deste modelo físico é mostrado como obter os vértices das matrizes politópicas associadas a uma represen-tação de estados, sendo x a tensão de entrada e y a corrente no resistor. A dinâmica do circuito RLC pode ser descrita pelo seguinte conjunto de equações:
˙v1 ˙v2 = − 1 RC 1 C −1 L 0 v1 v2 + 0 1 L x y=h1 R 0 i v1 v2 (1.4)
Uma das formas de representar incertezas em modelos matemáticos é o uso de poli-topos. Considerando que os valores da indutância (L) e da capacitância (C) não são precisa-mente conhecidos, mas pertencem às faixas: L = [Lmín, Lmáx] e C = [Cmín, Cmáx], é possível
construir representações politópicas para as matrizes dinâmica e de entrada do sistema. Como o produto cartesiano de L e C define uma região retangular, uma descrição politópica dessa região pode ser facilmente obtida tomando-se os extremos da região (que é convexa), como ilustra a Figura 1.2. Assim, tem-se as seguintes matrizes vértices
Capítulo 1. Conceitos e Definições 6 p1 p2 p3 p4 Cmáx Cmín Lmáx Lmín C L
Figura 1.2 – Vértices do politopo p1, p2, p3 e p4.
p1 A1 = − 1 RCmín 1 Cmín − 1 Lmín 0 , B1 = 0 1 Lmín , C1 = h 1 R 0 i p2 A2 = − 1 RCmín 1 Cmín − 1 Lmáx 0 , B2 = 0 1 Lmáx , C2 = h 1 R 0 i p3 A3 = − 1 RCmáx 1 Cmáx − 1 Lmáx 0 , B3 = 0 1 Lmáx , C3 = h 1 R 0 i p4 A4 = − 1 RCmáx 1 Cmáx − 1 Lmín 0 , B4 = 0 1 Lmín , C4 = h 1 R 0 i (1.5)
Como pode ser visto, a obtenção de modelos politópicos a partir de sistemas com parâmetros incertos pertencentes a intervalos é simples e sistemática. Além disso, modelos politópicos também podem ser obtidos por meio de outras técnicas, como linearização de sistemas não lineares e identificação de sistemas (DE CAIGNY et al., 2008; DE CAIGNY
et al., 2009). Finalmente, é importante mencionar que os modelos politópicos estão entre as
classes de incertezas mais investigadas na literatura de análise e controle de sistemas incertos (BOYD et al., 1994).
Este trabalho pretende investigar dois problemas de controle robusto associados a sistemas lineares politópicos. O primeiro consiste em projetar um ganho robusto K ∈ Rm×n (independente de parâmetros) tal que a lei de controle por realimentação de estados
Capítulo 1. Conceitos e Definições 7
estabilize robustamente o sistema (1.1). Isto é, que torne a matriz dinâmica em malha fe-chada (Amf(α) = A(α) + Bu(α)K) Hurwitz estável (autovalores com parte real negativa) para sistemas contínuos, ou Schur estável (autovalores com módulo menor do que um) para sistemas discretos no tempo.
Antes de apresentar o segundo problema a ser investigado nesta dissertação, considere, para um valor fixo de α, a função de transferência em malha fechada da entrada w para a saída y:
H(τ, α) = Cmf(α) (τI − Amf(α))−1Bw(α) + Dw(α) (1.7) com Cmf(α) = C(α) + Du(α)K e τ é a variável da frequência, a qual é substituída por s no caso contínuo e por z no caso discreto. O objetivo é projetar um ganho robusto K ∈ Rm×n que estabilize o sistema (1.1) e garanta que
k H(τ, α) k∞< µ (1.8) com kH(s, α)k∞= máx ω∈R σmáx H(jω, α)
sendo σi, i = 1, . . . , min(m, p) os valores singulares de H(jω, α), para sistemas contínuos e kH(z, α)k∞=
máx ω∈[−π,π]σmáx
H(exp(jω), α)
para sistemas discretos. Isto é, que µ seja o limitante superior (custo garantido) para a norma H∞ do sistema em malha fechada.
O Lema da Projeção (PIPELEERS et al., 2009; IWASAKI; SKELTON, 1994; SKEL-TON et al., 1998) e o Lema de Finsler (DE OLIVEIRA; SKELSKEL-TON, 2001) são resultados clássicos e muito utilizados na literatura de controle robusto de sistemas incertos. Eles são usados intensamente na construção e demonstração das condições propostas ao longo da dis-sertação. De modo geral, eles são empregados para introduzir variáveis de folga nas condições de projeto.
Lema 1.1 (Lema da Projeção). Dada uma matriz simétrica Q ∈ Rm×m e duas matrizes B e C com m colunas, existe uma matriz não estruturada X que satisfaz
Q+ C′X B+ B′X′C < 0 (1.9)
se e somente se as desigualdades de projeção em relação a X são satisfeitas
B⊥′
QB⊥
< 0, (1.10)
Capítulo 1. Conceitos e Definições 8
sendo que B⊥ e C⊥ são matrizes arbitrárias cujas colunas formam uma base para o espaço
nulo de B e C, respectivamente.
Lema 1.2 (Lema de Finsler). Considere w ∈ Rn
, Q ∈ Rn×n
e B ∈ Rm×n com posto (B) < n
e B⊥ uma base para o espaço nulo de B (isto é, BB⊥ = 0). Então, as seguintes condições são
equivalentes: 1. w′Qw < 0, ∀w 6= 0 : Bw = 0 2. B⊥′ QB⊥ < 0 3. ∃µ ∈ R : Q − µB′B < 0 4. ∃X ∈ Rn×m : Q + X B + B′ X′ < 0
1.2 Métodos de Estabilização
Com o objetivo de realizar uma avaliação numérica e teórica das condições propostas quando comparadas com os métodos da literatura, apresenta-se na sequência alguns métodos de estabilização robusta clássicos (baseados na estabilidade quadrática) e os considerados mais eficientes na atualidade (baseados no Lema de Finsler). Os métodos são apresentados em suas versões “infinitas”, ou seja, em termos de LMIs dependentes de parâmetros. O leitor interessado em implementar as condições em termos de LMIs finitas deve procurar as referências apresentadas no final de cada condição.
Lema 1.3 (Estabilização Quadrática – Contínuo). Se existirem uma matriz simétrica
defi-nida positiva W ∈ Rn×n
e uma matriz Y ∈ Rm×n tais que
A(α)W + W A(α)′ + Bu(α)Y + Y
′
Bu(α)
′
< 0, ∀α ∈Λ
então K = Y W−1 assegura a estabilidade robusta em malha fechada do sistema (1.1) no caso
contínuo (GEROMEL et al., 1991a).
Lema 1.4 (Estabilização Finsler – Contínuo). Se existirem uma matriz simétrica definida
positiva W (α) ∈ Rn×n
, matrizes G ∈ Rn×n
, Y ∈ Rm×n e um escalar ǫ > 0 tais que 1
A(α)G + G ′ A(α)′ +Bu(α)Y + Y ′ Bu(α) ′ W(α) − G′ + ǫ(A(α)G + Bu(α)Y ) ⋆ −ǫ(G + G′ ) < 0, ∀α ∈Λ
então K = Y G−1 assegura a estabilidade robusta em malha fechada do sistema (1.1) no caso
contínuo (EBIHARA; HAGIWARA, 2004).
Capítulo 1. Conceitos e Definições 9
Lema 1.5. Se existirem uma matriz simétrica definida positiva W (α) ∈ Rn×n, matrizes
G ∈ Rn×n
, Y ∈ Rm×n e um escalar ǫ tais que
A(α)W (α) + W (α) ′ A(α)′+ Bu(α)Y + Y ′ Bu(α) ′ Bu(α)Y − G + ǫW (α) ⋆ −G − G′ < 0, ∀α ∈Λ
então K = ǫY G−1 assegura a estabilidade robusta em malha fechada do sistema (1.1) no caso
contínuo (OLIVEIRA et al., 2011, Lema 9).
Lema 1.6 (Estabilização Quadrática – Discreto). Se existirem uma matriz simétrica definida
positiva W ∈ Rn×n tais que
A(α)W A(α)′ − W < 0, ∀α ∈Λ
então K = Y W−1 assegura a estabilidade robusta em malha fechada do sistema (1.1) no caso
discreto (PERES et al., 1993a).
Lema 1.7 (Estabilização Finsler – Discreto). Se existirem uma matriz simétrica definida
positiva W (α) ∈ Rn×n, matrizes G ∈ Rn×n, Y ∈ Rm×n e um escalar ξ ∈ (−1, 1) tais que
ξ A(α)G + G ′ A(α)′ +Bu(α)Y + Y ′ Bu(α) ′ − W(α) A(α)G + Bu(α)Y − ξG′ ⋆ W(α) − (G + G′) < 0, ∀α ∈Λ
então K = Y G−1 assegura a estabilidade robusta em malha fechada do sistema (1.1) no caso
discreto (MORAIS et al., 2012).
1.3 Métodos de Controle H
∞A seguir mostra-se os resultados clássicos e os mais eficientes disponíveis na literatura atualmente para controle H∞ por realimentação de estados. Eles também são apresentados
em termos de LMIs dependentes de parâmetros.
Lema 1.8 (Estabilização Quadrática H∞ – Contínuo). Se existirem uma matriz simétrica
definida positiva W ∈ Rn×n
, uma matriz Y ∈ Rm×n e um escalar µ que resolvam o problema
minimizar µ sujeito a Q < 0, ∀α ∈Λ Q= A(α)W + W A(α)′ + Bu(α)Y + Y ′ Bu(α) ′ W C(α)′ + Y′Du(α) ′ Bw(α) ⋆ −I 0 ⋆ ⋆ −µ2I
então K = Y W−1 assegura a estabilidade robusta em malha fechada do sistema (1.1) no caso
Capítulo 1. Conceitos e Definições 10
Lema 1.9 (Estabilização Finsler H∞– Contínuo Primal). Se existirem uma matriz simétrica
definida positiva W (α) ∈ Rn×n , matrizes Q ∈ Rn×n , M ∈ Rm×n e escalares µ, r > 0 que resolvam o problema minimizar µ sujeito a Q < 0, ∀α ∈Λ Q= A(α)Q + Q ′ A(α)′ +Bu(α)M + M ′ Bu(α) ′ W(α) − Q ′ + rA(α)Q +rBu(α)M Q′C(α) + M′Du(α)′ Bw(α) ⋆ −r(Q + Q′ ) r(Q′ C(α)′ + M′ Du(α) ′ ) 0 ⋆ ⋆ −I Dw(α) ⋆ ⋆ ⋆ −µ2I
então K = M Q−1 assegura a estabilidade robusta em malha fechada do sistema (1.1) no caso
contínuo e um limitante superior para a norma H∞ igual a µ (XIE, 2008).
Lema 1.10 (Estabilização Finsler H∞– Contínuo Dual). Se existirem uma matriz simétrica
definida positiva W (α) ∈ Rn×n , matrizes S ∈ Rn×n , V ∈ Rm×n e escalares µ, λ > 0 que resolvam o problema minimizar µ sujeito a Q < 0, ∀α ∈Λ Q= −A(α)S ′ − SA(α)′ −Bu(α)V − V ′ Bu(α) ′ −Bw(α) W(α) + S ′ − λSA(α)′ −λV′Bu(α) ′ SC(α)′ + V′Du(α)′ ⋆ −µ2I λB w(α) ′ Dw(α) ′ ⋆ ⋆ λ(S + S′) 0 ⋆ ⋆ ⋆ −I
então K = V S−1 assegura a estabilidade robusta em malha fechada do sistema (1.1) no caso
contínuo e um limitante superior para a norma H∞ igual a µ (HE et al., 2005).
Lema 1.11 (Estabilização Quadrática H∞ – Discreto). Se existirem uma matriz simétrica
definida positiva W ∈ Rn×n
, uma matriz Y ∈ Rm×n e um escalar µ que resolvam o problema
minimizar µ sujeito a Q <0, ∀α ∈ Λ Q= −W A(α)W + Bu(α)Y 0 Bw(α) ⋆ −W W C(α)′ + Y′Du(α) ′ 0 ⋆ ⋆ −µ2I D w(α) ⋆ ⋆ ⋆ −I
Capítulo 1. Conceitos e Definições 11
então K = Y W−1 assegura a estabilidade robusta em malha fechada do sistema (1.1) no caso
discreto e um limitante superior para a norma H∞ igual a µ (GEROMEL et al., 1994).
Lema 1.12 (Estabilização Finsler H∞ – Discreto). Se existirem uma matriz simétrica
de-finida positiva W (α) ∈ Rn×n, matrizes G ∈ Rn×n, Y ∈ Rm×n e escalares µ, ξ ∈ (−1, 1) que
resolvam o problema minimizar µ sujeito a Q < 0, ∀α ∈Λ Q= ξA(α)G + ξG′A(α)′ +ξBu(α)Y + ξY ′ Bu(α) ′ −W(α) A(α)G + Bu(α)Y −ξG′ ξ(G′C(α)′ + Y′Du(α)′) Bw(α) ⋆ W(α) − G − G′ G′C(α)′ + Y′Du(α) ′ 0 ⋆ ⋆ −µ2I D w(α) ⋆ ⋆ ⋆ −I
então K = Y G−1 assegura a estabilidade robusta em malha fechada do sistema (1.1) no caso
discreto e um limitante superior para a norma H∞ igual a µ (BRAGA et al., 2012).
Com exceção do Lema 1.5, todas as outras condições apresentadas podem ser im-plementadas em termos de um conjunto finito de LMIs impondo-se estruturas afins nos parâmetros incertos para as variáveis de decisão, isto é, com a mesma estrutura das matrizes que descrevem o sistema. Grosso modo, basta programar as LMIs nos vértices do politopo. Mais detalhes sobre a implementação do Lema 1.5 são fornecidos no Capítulo 2.
12
CAPÍTULO
2
ESTABILIZAÇÃO ROBUSTA
O objetivo deste capítulo é fornecer relaxações LMIs combinadas com busca em es-calares para computar ganhos robustos estabilizantes por realimentação de estados para sistemas politópicos. A novidade das condições propostas é o emprego de matrizes de Lya-punov e variáveis de folga polinomiais de grau arbitrário, que potencialmente podem reduzir o conservadorismo das condições de síntese. O capítulo está organizado da seguinte maneira: primeiramente é feito um estudo numérico de uma condição da literatura que teoricamente admite matrizes de Lyapunov polinomiais para a síntese robusta de sistemas politópicos. Em seguida é apresentada uma nova condição de síntese, que admite tanto matrizes de Lyapu-nov quanto variáveis de folga polinomiais. O capítulo termina com exemplos numéricos que ilustram as vantagens do método proposto.
2.1 Síntese robusta com matrizes polinomiais
Primeiramente considere o Lema 1.4, que é a condição de síntese robusta menos con-servadora atualmente disponível na literatura segundo as comparações estatísticas realizadas em (OLIVEIRA et al., 2011) para sistemas politópicos de pequenas dimensões. Embora não seja uma prova rigorosa, é fácil observar que o emprego de matrizes de Lyapunov de grau maior do que 1 (um) não produzirá resultados menos conservadores. Isso decorre do fato de que as LMIs resultantes do emprego de uma matriz de Lyapunov polinomial de grau 2 são exatamente as LMIs resultantes do grau 1 acrescidas de outras. Ou seja, se as LMIs do grau 1 não são factíveis, então as do grau 2 certamente também não serão. Essa propriedade é consequência do fato de que não existe nenhum termo dentro dos blocos das LMIs que preserva o produto entre as matrizes do sistema (que são dependentes da incerteza) e as
Capítulo 2. Estabilização Robusta 13
variáveis do problema (matriz de Lyapunov ou variáveis de folga). Em geral essa é a caracte-rística de todas as condições de síntese robusta por realimentação de estados publicadas na literatura até o ano de 2006. Em (GEROMEL; KOROGUI, 2006) apareceu pela primeira vez uma condição que preserva o produto entre a matriz de Lyapunov e a matriz dinâmica do sistema. Essa condição foi posteriormente aprimorada em (OLIVEIRA et al., 2011, Lemma 9), contendo menos variáveis e ainda assim sendo menos conservadora. Apesar dessas condi-ções admitirem matrizes de Lyapunov polinomiais de grau arbitrário, os resultados obtidos com uma matriz de Lyapunov afim (grau 1) não foram bons (veja a seção de comparações numéricas apresentada em (OLIVEIRA et al., 2011)). Com a esperança de que os resultados pudessem ser melhorados com matrizes de Lyapunov de graus maiores, realizou-se um novo exemplo numérico com a base de dados usada em (OLIVEIRA et al., 2011). A Tabela 2.1 mostra o número de sistemas estabilizados considerando matrizes de Lyapunov quadráticas e cúbicas. Como pode ser visto, os resultados não são promissores, ficando bem abaixo do número de sistemas estabilizados pela condição do Lema 1.4, que é baseada numa matriz de Lyapunov afim.
É neste cenário que a presente dissertação pretender oferecer uma contribuição. A estratégia consiste em construir uma condição que preserva o produto de matrizes dependen-tes de parâmetros. Isso é feito por meio da introdução de variáveis de folga com o Lema de Finsler. Além disso, como uma contribuição adicional importante, intenciona-se obter uma condição que contenha o Lema 1.4 como caso particular, garantindo que o método proposto sempre seja menos conservador. O próximo teorema apresenta a principal contribuição desta dissertação e sua forma programável é apresentada em Apêndice A.
Teorema 2.1. Existe um ganho K tal que (A(α)+Bu(α)K) é robustamente estável em (1.1)
se existirem uma matriz simétrica definida positiva P (α) ∈ Rn×n, matrizes F (α), G(α) ∈
Rn×n, L ∈ Rm×n, e S ∈ Rn×n, e escalares γ 1, γ2, γ3, ǫ, ξ e ρ tais que Q(α) + Ψ(α) + CY(α) + Y(α)′ C′ < 0, ∀α ∈ Λ sendo Q(α) = A(α)F (α) + ξBu(α)L +F (α)′ A(α)′ + ξL′Bu(α) ′ −F(α)′ + A(α)G(α) + ǫBu(α)L Bu(α)L ⋆ −G(α) − G(α)′ 0 ⋆ ⋆ 0 , C = γ1I γ2I γ3I , Y(α) = h ξS − ρF(α) ǫS − ρG(α) Si
Capítulo 2. Estabilização Robusta 14
Tabela 2.1 – Número de sistemas (dentre 100) estabilizados por meio de um ganho de reali-mentação de estados robusto utilizando o Lema 1.4 e o Lema 1.5 considerando dependência afim (g = 1), quadrática (g = 2) e cúbica (g = 3) nos parâmetros incertos para as variáveis do problema.
n N Lema 1.4 Lema 1.5 g = 1 Lema 1.5 g = 2 Lema 1.5 g = 3
2 100 14 16 19 3 58 14 20 20 4 50 12 16 18 2 5 60 21 27 28 2 82 12 17 23 3 49 11 14 16 4 38 18 24 25 3 5 33 16 22 23 2 75 17 22 28 3 49 4 16 16 4 41 8 11 12 4 5 28 12 17 19 2 77 25 30 32 3 54 20 29 33 4 39 16 21 22 5 5 26 10 13 16 sucesso 53, 7% 14, 38% 19, 69% 21, 88% com Ψ(α) = Ψc(α) = diag 0 P(α) P(α) 0 , 0
para sistemas contínuos no tempo, e
Ψ(α) = Ψd(α) = diag(−P (α), P (α), 0)
para sistemas discretos no tempo. No caso afirmativo, o ganho estabilizante é dado por K = ρLS−1.
Prova: A inequação do Teorema 2.1 pode ser escrita como
(Q(α) + Ψ(α)) + C′X B(α) + B(α)′X′C < 0 (2.1)
com B(α) =hξI − ρS−1F(α) ǫI − ρS−1G(α) Ii e X = S. Adotando
B⊥(α) = I 0 0 I (ρS−1F(α) − ξI) (ρS−1G(α) − ǫI)
Capítulo 2. Estabilização Robusta 15
como uma base para o espaço nulo de B(α), tem-se pelo Lema da Projeção que (2.1) implica em B⊥′ (α)(Q(α) + Ψ(α))B⊥(α) < 0, isto é, Amf(α)F (α) + F (α) ′ Amf(α) ′ −F(α)′ + Amf(α)G(α) ⋆ −G(α) − G(α)′ + B⊥′(α)Ψ(α)B⊥(α) < 0 (2.2)
com Amf(α) = A(α) + Bu(α)K e K = ρLS−1. Multiplicando (2.2) à esquerda por T =
h I Amf(α) i e à direita por T′ , e considerando Ψ(α) = Ψc(α), tem-se Amf(α)P (α) + P (α)Amf(α) ′ < 0,
que garante a estabilidade Hurwitz do sistema em malha fechada para sistemas contínuos no tempo. Por outro lado, realizando a mesma transformação de similaridade, mas tomando Ψ(α) = Ψd(α), tem-se
Amf(α)P (α)Amf(α)
′
− P(α) < 0,
que garante a estabilidade Schur do sistema em malha fechada para sistemas discretos no
tempo, concluindo a prova.
A primeira observação importante com relação ao teorema proposto é o tratamento unificado de sistemas contínuos e discretos no tempo, bastando mudar a matriz Ψ(α). Para valores fixos de γi, i = 1, 2, 3, ǫ, ξ e ρ, as condições do Teorema 2.1 tornam-se LMIs de-pendentes de parâmetros (robustas) pertencentes ao simplex unitário e podem ser resolvidas utilizando relaxações LMIs por meio da escolha de soluções polinomiais homogêneas para as variáveis dependentes de parâmetros do problema (matriz de Lyapunov e variáveis de folga) (BLIMAN, 2004b; BLIMAN et al., 2006). Assim como em (GEROMEL; KOROGUI, 2006) e em (OLIVEIRA et al., 2011, Lemma 9), as LMIs robustas propostas também preservam o produto entre as variáveis dependentes de parâmetros do problema e as matrizes do sistema, viabilizando o uso de polinômios homogêneos de grau maior do que um.
Note que pelo Lema da Projeção, a desigualdade em (2.1) também implica em C⊥′
Q(α)C < 0. Neste caso, adotando
C⊥ = I 0 0 I −γ1 γ3I − γ2 γ3I tem-se A(α)F (α) + F (α) ′A(α)′ +ξB(α)L(I −γ1 γ3I) + ξL ′B(α)′(I − γ1 γ3I) ⋆ −F(α) + G′(α)A(α)′+ ǫL′B(α)′(I − γ2 γ3I) −G(α) − G(α) ′ + C ⊥′ ΨC⊥ < 0
Observe que os termos relacionados ao controle B(α)L e L′
B(α)′ podem ser
Capítulo 2. Estabilização Robusta 16
para sistemas estáveis em malha aberta. Essa informação deve ser utilizada para melhorar a eficiência nas buscas de γi.
Uma outra característica importante do Teorema 2.1 é a sua capacidade de reproduzir os resultados do Lema 1.4 por meio de escolhas particulares dos escalares. Esse importante fato é demonstrado no próximo lema.
Lema 2.1. Se o Lema 1.4 tem solução, então o Teorema 2.1 também terá por meio das
seguintes escolhas γ1 = γ2 = 0, ρ = ξ = 1 e γ3 → −∞.
Prova: Adotando as escolhas propostas na inequação do Teorema 2.1, tem-se
A(α)F (α) + Bu(α)L +F (α)′ A(α)′ + L′Bu(α) ′ P(α) − F (α) ′ +A(α)G(α) + ǫBu(α)L Bu(α)L +γ3(S ′ − F(α)′ ) ⋆ −G(α) − G(α)′ γ3(ǫS ′ − G(α)′ ) ⋆ ⋆ γ3(S + S ′ ) < 0 (2.3)
Fixando G(α) = ǫG, F (α) = G e S = G, e aplicando o complemento de Schur tem-se A(α) < B(α)1 γ3 h G+ G′i−1B(α)′ (2.4) com A(α) = A(α)G + Bu(α)L + G ′ A(α)′+ L′Bu(α) ′ P(α) + ǫA(α)G − G′ + ǫBu(α)L ⋆ −ǫ(G + G′) , B(α) = Bu(α)L 0 .
Com γ3 tendendo a menos infinito, tem-se que A(α) é definida negativa. Note que A(α) < 0
é equivalente às desigualdades do Lema 1.4 fazendo L = Y e P (α) = W (α). As condições do Teorema 2.1 também foram construídas de modo a reproduzir a melhor condição de síntese robusta disponível na literatura para sistemas discretos no tempo por meio de escolhas particulares dos escalares. O próximo lema demonstra essa importante propriedade.
Lema 2.2. Se o Lema 1.7 tem solução, então o Teorema 2.1 também terá por meio das
Capítulo 2. Estabilização Robusta 17
Prova: Adotando as escolhas propostas na inequação do Teorema 2.1, tem-se
A(α)F (α) + ξBu(α)L +F (α)′ A(α)′ + ξL′Bu(α) ′ −P(α) A(α)G(α) + Bu(α)L −F(α)′ Bu(α)L +γ3(ξS ′ − F(α)′) ⋆ P(α) − G(α) − G(α)′ γ3(S ′ − G(α)′ ) ⋆ ⋆ γ3(S + S ′ ) < 0 (2.5)
Fixando G(α) = G, F (α) = ξG e S = G, e aplicando o complemento de Schur tem-se A(α) < B(α)1 γ3 h G+ G′i−1B(α)′ (2.6) com A(α) = ξA(α)G + ξBu(α)L + ξG ′ A(α)′ + ξL′Bu(α) ′ − P(α) A(α)G − ξG′ + Bu(α)L ⋆ P(α) − (G + G′) , B(α) = Bu(α)L 0 .
Com γ3 tendendo a menos infinito, tem-se que A(α) é definida negativa. Note que A(α) < 0
é equivalente às desigualdades do Lema 1.7 fazendo L = Y e P (α) = W (α). Nesse ponto é importante enfatizar que as condições propostas sempre são capazes de reproduzir as melhores condições de estabilização robusta da literatura. Os escalares ǫ e
ξ foram introduzidos com esse propósito. Os outros escalares foram introduzidos de modo a explorar outras regiões contendo ganhos estabilizantes, não atingíveis pelas condições dos Lemas 1.4 e 1.7.
2.2 Exemplos Numéricos
As desigualdades (tornam-se LMIs para valores fixos dos escalares) dependentes de parâmetros do Teorema 2.1 apresentam no máximo produtos entre duas matrizes dependentes de parâmetros. Considerando estruturas afins para P (α), F (α) e G(α), conjuntos de LMIs finitas (computacionalmente implementáveis) podem ser obtidos aplicando-se, por exemplo, a técnica proposta em (RAMOS; PERES, 2002). Esse será o caso em todos os testes numéricos realizados para essa estrutura em particular. Para estruturas polinomiais de grau maior do que um será utilizada a técnica de parametrização de polinômios homogêneos proposta em (OLIVEIRA; PERES, 2007; OLIVEIRA, 2006) (por simplicidade, todas as matrizes serão consideradas de mesmo grau). Para efeito de ilustração ao leitor interessado em aprender sobre a programação de LMIs robustas em termos de LMIs finitas, a implementação do
Capítulo 2. Estabilização Robusta 18
Teorema 2.1 em termos de LMIs finitas é apresentada no Apêndice A. A implementação dos outros teoremas apresentados na dissertação segue a mesma sistemática. Uma alternativa rápida de implementação para o leitor interessado em apenas programar as condições é a utilização de um parser que trata diretamente as LMIs dependentes de parâmetros, como o Robust LMI Parser1 (ROLMIP) (AGULHARI et al., 2012).
O objetivo dos exemplos é comparar o desempenho da condição proposta neste tra-balho com as condições disponíveis na literatura que são consideradas o estado da arte atual para a estabilização robusta de sistemas politópicos. Para sistemas contínuos no tempo, as comparações são feitas com a condição obtida a partir do Lema de Finsler (EBIHARA; HA-GIWARA, 2004), reproduzida por conveniência por meio do Lema 1.4 deste trabalho. Como mostrado em (OLIVEIRA et al., 2011), essa estratégia, baseada em LMIs com busca de um parâmetro escalar (ǫ), é a que mostrou, de longe, o melhor desempenho nas comparações realizadas para o caso de sistemas a tempo contínuo.
2.2.1
Simulações Exaustivas
A primeira avaliação da eficiência da condição proposta será feita por meio da estabi-lização de sistemas politópicos contínuos garantidamente estabilizáveis, mas que certamente não admitem um ganho quadraticamente estabilizante. Os sistemas fazem parte da base de dados apresentada em (OLIVEIRA et al., 2011) (disponível para download2) e são testados
pela condição proposta e pelo Lema 1.4. A base consiste em 100 sistemas para cada combi-nação das dimensões n = 2, . . . , 5 e N = 2, . . . , 5 e m = 1 (sistemas de apenas uma entrada de controle).
A Tabela 2.1 foi obtida utilizando o seguinte conjunto de valores (escala logarítmica sugerida em (OLIVEIRA et al., 2011)) para o parâmetro escalar presente no Lema 1.4 (total de 15 valores).
ǫ ∈ {10−7,10−6,10−5,10−4,10−3,10−2,10−1,1, 101,102,103,104,105,106,107} (2.7) Para o Teorema 2.1 foi utilizada a combinação de parâmetros dada em (2.8), que contém apenas valores presentes em (2.7) (total de 16 combinações). O Teorema 2.1 foi testado com variáveis com dependência afim nos parâmetros (Teorema 2.1g=1) e dependência
quadrática nos parâmetros incertos (Teorema 2.1g=2). Note que essas escolhas não garantem
que o Teorema 2.1 contenha a condição do Lema 1.4. O objetivo deste exemplo é explorar
1 <http://www.dt.fee.unicamp.br/~agulhari/rolmip/rolmip.htm>
Capítulo 2. Estabilização Robusta 19
outras regiões de busca, em que o Teorema 2.1 pode encontrar solução e o Lema 1.4 não e vice-versa.
γ1 = 0, γ2 ∈ {0, 104}, ρ= ξ = 1
γ3 ∈ {−106, −102}, ǫ ∈ {10−2,10−1,1, 103}
(2.8) Tabela 2.1 – Número de sistemas (dentre 100) estabilizados por meio de um ganho de reali-mentação de estados robusto utilizando o Lema 1.4 e o Teorema 2.1 considerando dependência afim (g = 1) e quadrática (g = 2) nos parâmetros incertos para as variáveis do problema.
n N Lema 1.4 Teorema 2.1g=1 Teorema 2.1g=2
2 100 100 100 3 58 60 60 4 50 52 52 2 5 60 64 65 2 82 82 82 3 49 54 57 4 38 43 43 3 5 33 41 43 2 75 79 79 3 49 53 53 4 41 44 44 4 5 28 37 39 2 77 81 82 3 54 64 65 4 39 46 49 5 5 26 31 33 sucesso 53, 7% 58, 2% 59, 1%
Como pode ser observado, a condição proposta consegue estabilizar mais sistemas do que o Lema 1.4, com uma busca a mais (16 contra 15 do Lema 1.4). É importante notar que essa base de sistemas foi criada de modo a não admitir soluções por meio da estabiliza-ção quadrática, contendo sistemas “difíceis” de serem estabilizados. Os resultados também mostram que variáveis polinomiais de grau maior do que um podem ser necessárias em al-gumas situações (precisamente 15 sistemas). Os resultados da condição proposta podem ser melhorados ao preço de um número maior de buscas (maior esforço computacional), mesmo utilizando apenas um conjunto finito de parâmetros espaçados em escala logarítmica.
Apesar do aumento do grau da matriz de Lyapunov de um para dois não ter fornecido uma melhora significativa (apenas 0, 9%), os próximos exemplos ilustram melhor as vantagens
Capítulo 2. Estabilização Robusta 20
do aumento do grau.
Exemplo 2.1. Considere um sistema politópico com as seguintes matrizes [A1|A2|A3] = 4, 4415 −3, 9886 57, 9761 −3, 2462 25, 5053 −2, 0454 25, 9991 −6, 1395 −82, 8975 9, 8183 14, 3576 −8, 2234 [B1|B2|B3] = 1, 3062 4, 8140 1, 7485 1, 2935 −5, 0922 −0, 0796
A condição do Lema 1.4 e o Teorema 2.1 com dependência afim nas variáveis não encontram solução com as buscas indicadas em (2.7) e (2.8). Contudo, o Teorema 2.1 com dependência quadrática nas variáveis encontra uma solução, fornecendo o seguinte ganho robusto (truncado com 4 casas decimais).
K = [−13, 2923 0, 3297] (2.9)
Como ilustração, os autovalores do sistema em malha aberta e em malha fechada utilizando o ganho estabilizante (2.9) são mostrados na Figura 2.1 (calculados por meio de uma grade exaustiva no espaço dos parâmetros incertos).
−100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 −15 −10 −5 0 5 10 15 I m a g (s ) Re(s)
(a) Maior autovalor (parte real): 23, 72
−25 −20 −15 −10 −5 0 −3 −2 −1 0 1 2 3 I m a g (s ) Re(s)
(b) Maior autovalor (parte real): −2, 07 × 10−4
Figura 2.1 – Autovalores do sistema em malha aberta (a) e em malha fechada (b) para o projeto realizado no Exemplo 2.1.
Para enfatizar ainda mais a importância do uso de variáveis com dependência polino-mial de grau maior do que um, os seguintes experimentos foram realizados: (i)- as variáveis soluções do Teorema 2.1 que produziram o ganho dado em (2.9) foram utilizadas para inici-alizar algumas variáveis do Lema 1.4 da seguinte maneira:
Y = ρL
Capítulo 2. Estabilização Robusta 21
Desse modo, a condição do Lema 1.4 torna-se uma LMI nas variáveis Wi, i = 1, . . . , N e
ǫ. Testando a condição com a inicialização proposta, não foi possível encontrar uma solução
factível. A primeira conclusão é que a condição do Lema 1.4 não poderia encontrar o ganho
K dado em (2.9) mesmo considerando ǫ uma variável livre. (ii)- Para verificar se outros
ganhos estabilizantes poderiam ser encontrados pela condição do Lema 1.4, a busca pelo parâmetro ǫ foi realizada numa grade muito fina (cem mil pontos) entre os extremos do conjunto dado em (2.7), tanto para a escalar linear (comando linspace do MatLab) quanto para a escalar logarítmica (comando logspace do MatLab). Nenhuma solução factível foi encontrada, indicando que a condição do Lema 1.4 não pode estabilizar o sistema em estudo. Exemplo 2.2. Considere um sistema politópico com as seguintes matrizes
[A1 | A2] = 3 7 −1 −9 −10 −1 5 6 −8 −7 −15 2 5 1 4 8 7 −6 , [B21 | B22] = −4 −1 −12 −1 0 −1 (2.10)
associadas ao sistema linear incerto
˙x(t) = (A(α) + σI)x(t) + Bu(α)u(t) (2.11) O objetivo é calcular o valor máximo de σ > 0 tal que exista um ganho robusto K que estabiliza robustamente o sistema. As condições a serem comparadas são o Lema 1.4 e o Teorema 2.1 considerando funções polinomiais de grau um, dois e três (g ∈ {1, 2, 3}). Os parâmetros escalares são fixados em
ǫ= ρ = ξ = 1, γ1 = γ2 = 0, γ3 = −100 (2.12)
O Lema 1.4 forneceu σmáx = 0, 113. O Teorema 2.1g=1 forneceu σmáx = 0, 230, o que
significa 103, 54% de melhoria com relação ao Lema 1.4. O Teorema 2.1g=2 obteve σmáx =
0, 383 e o Teorema 2.1g=3 forneceu σmáx = 0, 401. Pode-se notar que o Teorema 2.1g=3 teve
uma melhora de aproximadamente 74, 34% em relação ao Teorema 2.1g=1. Este exemplo
corrobora com o fato de que variáveis polinomiais realmente podem ser um grau de liberdade extra para reduzir o conservadorismo associado à estabilização robusta de sistemas incertos. A Figura 2.2 apresenta uma ilustração gráfica dos resultados obtidos neste exemplo.
Para avaliar o compromisso entre precisão e esforço computacional das relaxações propostas e do Lema 1.4, os tempos computacionais (foi tomada a média de 20 execuções) necessários para determinar os valores de σmáx são apresentados na Tabela 2.2. Note que
o Teorema 2.1g=3 apresentou uma melhora relativa de 254,86% em relação ao Lema 1.4 no
Capítulo 2. Estabilização Robusta 22 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 σ Lema 1.4 Teorema 2.1g=1 Teorema 2.1g=2 Teorema 2.1g=3
Figura 2.2 – Valores de σmáx obtidos nas comparações numéricas realizadas no Exemplo 2.2.
Tabela 2.2 – Tempos computacionais (em segundos) demandados pelo Teorema 2.1 e pelo Lema 1.4 na solução do Exemplo 2.2.
Método σmáx tempo médio
Lema 1.4 0, 113 0, 0859 Teorema 2.1g=1 0, 230 0, 0898
Teorema 2.1g=2 0, 383 0, 1109
Teorema 2.1g=3 0, 401 0, 1297
50,98%. Esse resultado mostra que a relaxação proposta é mais eficaz e ao mesmo tempo mais eficiente que o Lema 1.4 na solução deste exemplo para g = 3.
Exemplo 2.3. Considere um sistema politópico com as seguintes matrizes
[A1 | A2] = 0 1 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 −1 0 0 , [B21 | B22] = −2 7 2 −3 6 0 (2.13)
associadas ao sistema linear incerto
x(k + 1) = σA(α)x(k) + Bu(α)u(k) (2.14) O objetivo é calcular o valor máximo de σ > 1 tal que exista um ganho K que estabiliza robustamente o sistema. As condições a serem comparadas são o Lema 1.7 e o Teorema 2.1 considerando funções polinomiais de grau um, dois e três (g ∈ {1, 2, 3}). Os
Capítulo 2. Estabilização Robusta 23
parâmetros escalares são fixados em
ǫ= ρ = 1, ξ = −0, 95 : 0, 05 : 0, 95, γ1 = γ2 = 0, γ3 = −1 (2.15)
A Figura 2.3 apresenta os resultados obtidos, e como pode ser observado, o aumento do grau produz significativas vantagens. Por exemplo, a relaxação para g = 3 garante que o valor de σ sempre se mantém acima de 1,8 para qualquer valor de ξ. Observa-se também que o valor mínimo obtido por g = 1 é 1,4, que está acima do maior valor obtido pelo Lema 1.7. Note também que, diferentemente do Teorema 2.1, o Lema 1.7 não consegue encontrar solução para σ > 1 para todos os valores de ξ.
−1 −0.5 0 0.5 1 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6
ξ
σ
máxTeorema 2.1g
=1Teorema 2.1g
=2Teorema 2.1g
=3Lema 1.7
Figura 2.3 – Valores de σmáx obtidos nas comparações numéricas realizadas no Exemplo 2.3.
Para avaliar o compromisso entre esforço computacional e precisão, os tempos com-putacionais (média de 20 execuções) e os valores médios de σ fornecidos por cada condição testada foram calculados e são mostrados na Tabela 2.3. Note que o Teorema 2.1g=1
Capítulo 2. Estabilização Robusta 24
Tabela 2.3 – Tempos computacionais (em segundos) médios (total de 39 valores) e desvios padrões demandados pelo Teorema 2.1 e pelo Lema 1.7 na solução do Exemplo 2.3.
Método tempo médio desvio padrão Média do σmáx
Lema 1.7 0, 0736 0, 0102 1, 203 Teorema 2.1g=1 0, 0838 0, 0065 1, 488
Teorema 2.1g=2 0, 1242 0, 0076 1, 748
Teorema 2.1g=3 0, 1620 0, 0120 1, 979
de um aumento relativo de 13,85% no tempo computacional, demonstrando maior eficiência e eficácia.
2.3 Conclusões Parciais
Novas relaxações LMIs com busca em escalares foram propostas para a estabilização robusta por realimentação de estados de sistemas politópicos invariantes no tempo. A téc-nica trata de maneira unificada sistemas contínuos e discretos no tempo, e permite o uso de matrizes de Lyapunov e variáveis de folga polinomiais homogêneas de grau arbitrário. Exem-plos numéricos mostraram o potencial da técnica, que inclusive reproduz as condições mais eficientes disponíveis na literatura por meio de escolhas particulares dos escalares. Alguns exemplos numéricos também mostraram que a técnica proposta pode ser mais eficiente que as condições da literatura mesmo apresentando um maior número de variáveis de otimização.
25
CAPÍTULO
3
CONTROLE H
∞O método de estabilização proposto no Capítulo 2 pode ser estendido para tratar problemas de controle envolvendo critérios de desempenho. Utilizando as mesmas técnicas do método de estabilização, este capítulo apresenta a extensão para projetar controladores estabilizantes associados a um custo garantido H∞ para o sistema em malha fechada. Como
segunda contribuição, também é proposto um algoritmo iterativo como alternativa à busca dos parâmetros escalares. Por fim, exemplos numéricos são expostos para mostrar a eficiência dos métodos propostos.
3.1 Resultado Principal
Esta seção trata do segundo problema investigado nesta dissertação, que é o projeto de um ganho K ∈ Rm×n que estabiliza robustamente o sistema e que também garanta um limitante superior (custo garantido) da norma H∞. Diferentemente do problema de
estabili-zação, o controle H∞ por realimentação de estados admite duas versões, chamadas de primal
e dual1. O próximo teorema apresenta a versão primal.
Assim como no caso de estabilização, a condição de síntese do Teorema 3.1 foi cons-truída de tal forma a conter algumas condições disponíveis na literatura (consideradas as melhores para realimentação de estados) para escolhas particulares dos escalares. O lema apresentado a seguir demonstra que o teorema proposto reproduz a condição publicada em (XIE, 2008, Teorema 4.1) (reproduzida nesta dissertação por meio do Lema 1.9).
1 Isto é, desenvolvida a partir do sistema dual: Amf(α) = Amf(α)′
, Bw(α) = Cmf(α)
′
, Cmf(α) = Bw(α)
e Dw(α) = Dw(α)
Capítulo 3. Controle H∞ 26
Teorema 3.1. Se existirem uma matriz simétrica definida positiva P (α) ∈ Rn×n, matrizes
F(α), G(α) ∈ Rn×n , S ∈ Rn×n , L ∈ Rm×n e escalares µ, γ 1, γ2, γ3, γ4, γ5, ǫ, ξ e ρ tais que Q(α) + Ψ(α) + CY(α) + Y(α)′ C′ < 0, ∀α ∈Λ Q(α) = Γ11(α) Γ12(α) ξF(α) ′ C(α)′ + ξL′ Du(α) ′ Bw(α) Bu(α)L ⋆ −ǫ(G(α) + G(α)′) ǫ(G(α)′C(α)′ + L′Du(α) ′ ) 0 0 ⋆ ⋆ −µ2I D w(α) Du(α)L ⋆ ⋆ ⋆ −I 0 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ 0 sendo Γ11(α) = ξ(A(α)F (α) + Bu(α)L) +ξ(F (α)′ A(α)′ + L′ Bu(α) ′ ) , Γ12(α) = ǫ(A(α)G(α) + Bu(α)L) −ξF(α)′ C = γ1I γ2I γ31 γ41 γ5I , Y(α) =hξ(S − ρF (α)) ǫ(S − ρG(α)) 0 0 Si com Ψc(α) = diag 0 P(α) P(α) 0 , 0, 0, 0
para sistemas contínuos no tempo, e
Ψd(α) = diag(−P (α), P (α), 0, 0, 0)
para sistemas discretos no tempo, então K = ρLS−1 assegura a estabilidade robusta em malha
fechada do sistema (1.1) e k H(τ, α) k∞< µ.
Prova: A inequação do Teorema 3.1 pode ser reescrita como (Q(α) + Ψ(α)) + C′
X B(α) + B(α)′
X′C < 0 (3.1) com B(α) =hξ(I − ρS−1F(α)) ǫ(I − ρS−1G(α)) 0 0 Ii e X = S. Adotando B⊥(α)
B⊥(α) = I 0 0 0 0 I 0 0 0 0 I 0 0 0 0 I ξ(ρS−1F(α) − I) ǫ(ρS−1G(α) − I) 0 0 ,
Capítulo 3. Controle H∞ 27
como uma base para o espaço nulo de B(α), tem-se pelo Lema da Projeção que (3.1) implica em B⊥′ (α)(Q(α) + Ψ(α))B⊥(α) < 0, isto é, J(α)+Ψ(α)+ Amf(α) −I Cmf(α) 0 h ξF(α) ǫG(α) 0 0i+ ξF(α)′ ǫG(α)′ 0 0 h Amf(α) ′ −I Cmf(α) ′ 0i< 0 (3.2) sendo J(α) = 0 0 0 Bw(α) ⋆ 0 0 0 ⋆ ⋆ −µ2I D w(α) ⋆ ⋆ ⋆ −I , Amf(α) = A(α) + Bu(α)K, Cmf(α) = C(α) + Du(α)K e K = ρLS−1. Multiplicando (3.2) à esquerda por T′
e à direita por T , isto é
I Amf(α) 0 0 0 Cmf(α) I 0 0 0 0 I (J (α) + Ψ(α)) I 0 0 Amf(α) ′ Cmf(α) ′ 0 0 I 0 0 0 I | {z } T < 0 (3.3)
e considerando Ψ(α) = Ψc(α), tem-se o Bounded Real Lemma (BOYD et al., 1994) para o caso contínuo, Amf(α)P (α) + P (α)Amf(α)′ P(α)Cmf(α) Bw(α) ⋆ −µ2I D w(α) ⋆ ⋆ −I < 0 (3.4)
e considerando Ψ(α) = Ψd(α) tem-se o Bounded Real Lemma (BOYD et al., 1994) para o caso discreto. Amf(α)P (α)Amf(α) ′ − P(α) Amf(α)P (α)Cmf(α) ′ Bw(α) ⋆ Cmf(α)P (α)Cmf(α) ′ − µ2I D w(α) ⋆ ⋆ −I < 0 (3.5) Lema 3.1. Se o Lema 1.9 tem solução, então o Teorema 3.1 também terá por meio das
