CAPÍTULO IV - SÉRIES DE FOURIER
1. FUNÇÕES PERIÓDICAS:
As funções periódicas podem ser definidas como aquelas funções f(t) para as quais:
) T t ( f ) t ( f = + (1.1)
para qualquer t real (vide Figura 1.1). A menor constante T que satisfaz (1.1) é chamada período da função f(t). Por iteração de (1.1), temos para todo t real que:
(
t nT)
, n 0, 1, 2, , f ) t ( f = + = ± ± K (1.2) 3π 2π -2π 2 4 π -π T=2πFigura 1.1. Um exemplo de função periódica de período T = 2π. Exemplo 1: Ache o período da função .
4 t cos 3 t cos ) t ( f = +
Solução: Se a função f(t) for periódica com um período T, então, de (1.1), resulta:
(
)
(
)
. 4 t cos 3 t cos T t 4 1 cos T t 3 1 cos + + + = +Como cos
(
φ+2πm)
=cosφ, para qualquer inteiro m, então T 2 n, 4 1 e , m 2 T 3 1 π = π = onde m e nsão inteiros. Portanto, T=6πm=8πn. Quando m = 4 e n = 3, obtemos o menor valor de T. Isto pode ser visto mediante um processo de tentativa. Então, T=24π.
Em geral, se a função f(t)=cosω1t+cosω2t for periódica com período T, deverá ser possível, então, achar dois inteiros m e n, tais que:
m 2 T 1 = π ω (1.3) e
2 n 2 T 2 = π ω . (1.4) O quociente de (1.3) por (1.4) é , n m 2 1 = ω ω (1.5)
Isto é, a razão ω1/ω2 deve ser um número racional.
Neste ponto, é importante observar que funções do tipo Acos(ωt+φ) (não devemos esquecer que os senos estão incluídos neste grupo, pois sen(t)=cos(t −π/2)) são funções periódicas de período T, denominadas senóides, onde: 2 f
T 2π = π =
ω é dita velocidade angular,
T 1 f = é denominada freqüência, A é a amplitude e φ o ângulo de fase.
Exemplo 2: A função f(t) =cos10t+cos
(
10+π)
t é periódica? Solução: Neste caso, ω1=10eω2=10+π. Assim,π + = ω ω 10 10 2
1 não é um número racional,
ou seja, é impossível achar um valor T para o qual (1.1) seja satisfeita. Portanto, f(t) não é periódica.
Exemplo 3: Ache o período da função f
( ) (
t = 10cost)
2.Solução: Usando a identidade trigonométrica θ=
(
1+cos2θ)
21
cos2 , obtemos que:
(
)
(
1 cos2t)
50 50cos2t. 2 1 100 t cos 100 t cos 10 ) t ( f = 2 = 2 = + = +Como a função constante é função de período T, para qualquer valor de T, e o período de cos(2t) é π, concluímos que o período de f(t) é π.
Exemplo 4: Mostre que se f(t + T) = f (t), então:
∫
∫
− + − = 2 / T 2 / T 2 / T a 2 / T a f(t)dt f(t)dt (1.6) e∫
∫
+ = t 0 t T T f(t)dt f(t)dt. (1.7)Solução: Se f (t +T)=f(t), fazendo t=τ−T, teremos que:
(
T T) ( ) (
f f T)
Substituindo t=τ−T na integral
∫
β( )
αf t dt e usando (1.8), obtém-se que:
( )
(
)
∫
( )
∫
∫
αβ++ β α + β + α τ− τ= τ τ = T T T Tf T d f d dt t f .Visto que qualquer símbolo pode representar a variável de integração na substituição acima,
( )
∫
αβ∫
+ β + α = T Tf(t)dt dt t f . (1.9)Assim, se α=0eβ=t, então (1.9) torna-se
( )
∫
t =∫
+ 0 t T T f t dt dt ) t ( f (1.10)Por outro lado, podemos escrever o primeiro membro de (1.6) como:
dt ) t ( f dt ) t ( f dt ) t ( f a T/2 2 / T 2 / T 2 / T a 2 / T a 2 / T a
∫
∫
∫
−+ − − + − = + .Aplicando o resultado de (1.9) à primeira integral do segundo membro da equação acima, resulta:
∫
∫
∫
∫
∫
∫
+ − + − + − + − + + = + = = T/2 2 / T 2 / T 2 / T a 2 / T a 2 / T a 2 / T a 2 / T 2 / T a 2 / T 2 / T 2 / T a f(t)dt f(t)dt f(t)dt f(t)dt f(t)dt dt ) t ( f .2. SÉRIES TRIGONOMÉTRICAS:
Uma série de senos e cosenos do tipo:∑
∞ = + + 1 n n n 0 ) nx sen b nx cos a ( 2 a (2.1)é chamada de série trigonométrica. Na maior parte das aplicações a variável x é real. Então sen(nx) e cos(nx) são limitadas e a série convergirá sob condições bem fracas impostas a ane bn.
Exemplo 1: se n 0, e a 0 n 1 b a 0 2 n n = = ≠ = . A série será: K + + + +
+senx cos2x sen2x cos3x x cos 9 1 4 1 4 1 ,
a qual converge absoluta e uniformemente para todos os valores reais de x (para tal, usa-se o teste da razão ou o teste M de Weierstrass, por exemplo).
4
Exemplo 2: an =0 e bn =1/n. A série trigonométrica sen x+ sen2x+ sen3x+K
3 1 2
1
converge para todos os valores de x (a verificação é obtida, digamos, pelo teste da integral, pois a
integral
∫
∞ 1 t dt ) tx ( senconverge para todo x real). No entanto, a convergência não é absoluta; por
exemplo, veja o ponto x=π/2, e também não é uniforme (sobre todo o eixo real). Exemplo 3: an =1 e bn =0. A série será +cosx+cos2x +cos3x +K
2 1
, a qual diverge
(pelo teste do n-ésimo termo) para quase todos os valores de x (com exceção de pontos como 2
/ x=π ).
Se a série trigonométrica converge (uniformemente ou não), ela representa então uma certa função f(x), e podemos escrever:
( )
∑
∞(
)
= + + = 1 n n n 0 , nx sen b nx cos a 2 a x f (2.2)A pergunta que fica é a seguinte: “Que funções são representáveis desta maneira?”
Por exemplo, para que exista uma representação em série de potências de uma função f(x), é exigido para todo x real que a função f(x) seja diferenciável um número arbitrário de vezes e que o resto da fórmula de Taylor tenda para zero. Estas condições são razoavelmente restritivas e uma propriedade notável nas séries trigonométricas (descobertas por Fourier) é que estas podem representar funções de uma classe bem mais ampla, incluindo funções descontínuas.
No entanto, há uma propriedade das séries trigonométricas que nunca deve ser perdida de vista: por sua própria natureza, estas séries podem representar somente funções periódicas; com período 2 (não necessariamente o período primitivo, ou seja, f(x) pode ter um período menor T, mas π
π
2 tem que ser um múltiplo inteiro de T).
3. DEFINIÇÃO DAS SÉRIES DE FOURIER
Suponhamos que uma certa função seja representada pela série trigonométrica:
( )
∑
∞ = + + = 1 n n n 0 ), nx sen b nx cos a ( 2 a x f (3.1)e que a série convirja uniformemente no intervalo −π≤x≤π. Se isso acontecer, a série convergirá uniformemente para todos os valores de x. Multipliquemos a série por cos(mx), sendo m um número inteiro positivo:
∑
∑
∞ = ∞ = + + = 1 n n 1 n n0 cosmx a cosnxcosmx b sennxcosmx.
2 a mx cos ) x ( f (3.2)
A série é ainda uniformemente convergente e pode ser integrada termo a termo:
∫
∑
∫
∑
∫
∫
π + π − ∞ = π + π − ∞ = π + π − π + π − + + + = dx mx cos nx sen b dx mx cos nx cos a dx mx cos 2 a dx mx cos ) x ( f 1 n n 1 n n 0 (3.3)Este processo permite a determinação dos coeficientes a , desde que se conheça a função f(x), n baseando-se nas importantes propriedades de ortogonalidade dos senos e cosenos, quais sejam:
(
)
(
)
= π ≠ = ≠ = π = = π ≠ = =∫
∫
∫
π + π − π + π − π + π − m n se ) m n se ( 0 dx mx sen nx sen ) c 0 m n se ) 0 m n se ( 2 ) m n se ( 0 mxdx cos nx cos ) b ) m , n os todos para ( 0 dx mx cos nx sen ) a (3.4)Assim, vemos que todos os termos da soma infinita (3.3) se anularão, com uma única
exceção, ou seja,
∫
−+ππcosmxdx=amπ. Esta relação nos permite calcular qualquer coeficiente am desejado, quando conhecemos a função f(x). Os Coeficientes bm são tratados de maneira semelhante, isto é, o desenvolvimento é multiplicado por sem(mx) e é integrado. As relações de ortogonalidadefornecem então que
∫
−+ππf( )
x senmxdx=bmπ. Finalmente, para obter a , integramos (3.1) no 0 intervalo (-π, π), resultando que∫
−+ππf( )
x dx =a0π.Segue-se que os coeficientes a0,an ebn podem ser calculados por meio das fórmulas seguintes:
( )
(
)
( )
x sennxdx(
n 0)
f 1 b e 0 n dx nx cos x f 1 a n n > π = ≥ π =∫
∫
π + π − π + π − (3.5)6
Estes coeficientes an ebn são chamados de coeficientes de Fourier da função f(x). A série trigonométrica construída a partir destes coeficientes é conhecida como a série de Fourier da função f(x). É importante observar que os coeficientes de Fourier podem ser construídos para uma grande variedade de funções, incluindo algumas descontínuas.
Convém chamar a atenção para o fato de que o período 2 não é obrigatório na teoria das π séries de Fourier. A substituição de x por t
T 2π
fornece uma série com período T:
(
a cos(n t) b sen(n t))
, 2 a ) t ( f 1 n n n 0∑
∞ = ω + ω + = (3.6)onde ω=2π/T é denominada freqüência angular fundamental da função f(t). Reciprocamente, se conhecemos f(t), obteremos os coeficientes de Fourier:
dt ) t n sen( ) x ( f T 2 b e dt ) t n cos( ) x ( f T 2 a 2 / T 2 / T 2 / T 2 / T n n
∫
∫
− − ω = ω = (3.7)e a série de Fourier resultante deverá reproduzir f(t) no intervalo −T/2<t<T/2. Esta forma das séries de Fourier é mais freqüentemente usada no tratamento dos fenômenos periódicos no tempo ; onde o símbolo t representa a variá vel tempo . Neste contexto, as séries de Fourier são freqüentemente escritas sob uma forma envolvendo amplitudes e fases. Por exemplo, se escrevermos:
(
n 0)
a b arctg e b a A , 2 a A n n n 2 n 2 n n 0 0= = + φ = > , (3.8)então a série de Fourier será:
(
)
∑
∞ = φ − ω + = 1 n n n n 0 A cos t A ) x ( f , (3.9)onde ωn =nω é dito o n-ésimo Harmônico da Fundamental e os coeficientes An eφn são denominados, respectivamente, Amplitude e Fase do n-ésimo harmônico.
Em muitas aplicações, quando x representa uma distância, usar o período 2L é mais conveniente. Assim, as fórmulas (3.7)-(3.8) são rescritas como:
( )
∫
∫
∑
+ − + − ∞ = π = π = π + π + = L L n L L n 1 n n n 0 dx L x n sen ) x ( f L 1 b e dx L x n cos ) x ( f L 1 a , L x n sen b L x n cos a 2 / a x f (3.10)Exemplo 1. Considere a função f(x)= x2. Seus coeficientes de Fourier são facilmente calculados:
( )
, b 1 x sennxdx 0. n 4 1 dx nx cos x 1 a , dx x 1 a n 2 2 n 2 n 2 3 2 2 0∫
∫
∫
π + π − π + π − π + π − = π = π = − = π = π =É fácil notar que a série de Fourier é uniformemente convergente para todos os valores de x e representa a função:
( )
( )
. n nx cos 1 4 3 x g 1 n 2 n 2∑
∞ = − + π =O gráfico da função g(x) está mostrado na figura 3.1. Fica evidente que a série de Fourier de
2
x ) x (
f = representa uma extensão periódica dos valores de f(x) no intervalo
(
−π,+π)
.Figura 3.1. A função periódica g(x).
Exemplo 2. Considere agora a função periódica descontínua
( )
(
(
)
)
< ≤ + < ≤ − − = L x 0 1 0 x L 1 x f , com
8
( )
( )
(
)
(
)
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
= = π = π = + π + − π = = + π + − π = = + − = + + − = − − − L 0 L 0 0 L n L 0 0 L n L 0 0 L 0 par n 0 ímpar n n 4 dx L x n sen L 2 dx L x n sen L 1 dx L x n sen L 1 b , 0 dx L x n cos L 1 dx L x n cos L 1 a , 0 1 1 dx 1 L 1 dx 1 L 1 ae a série de Fourier será
∑
∞ = π + + π = 0 n L x ) 1 n 2 ( sen 1 n 2 1 4 ) x (
g . A série é convergente no intervalo (-L,L)
e, portanto, g(x) está bem definida. Explicitamente, a série de Fourier converge para 1, se 0 < x < L, para –1, se –L < x < 0 e para ze ro se x = 0 ou x=±L. Esta série “quase” reproduz f(x), sendo que as exceções se localizam nos pontos de descontinuidade da função f(x).
Esta característica é uma propriedade geral das séries de Fourier. Se a função f(x) possui uma descontinuidade de salto em um certo ponto x0,então sua série de Fourier converge para o “ponto médio do salto”. Mais precisamente, considerando os limites laterais a direita e a esquerda da f(x) quando x tende para x0:
(
x 0)
lim f(x), f(
x 0)
lim f(x) f 0 0 0 0 x x x x 0 x x x x 0 < → > → − = = + , (3.11)então a série de Fourier converge para:
(
) (
)
[
f x0 0 f x0 0]
2
1 + + − . (3.12)
Devido a periodicidade da série de Fourier, os pontos x=±L se tornam freqüentemente pontos de descontinuidade para a soma da série. Por esta razão, nestes pontos a série converge para:
2 ) 0 L ( f ) 0 L ( f − + + − .
Observação: Estas duas afirmativas permanecem válidas quando os dois limites f(x0+0) e
f(x0-0), ou ainda os limites f(-L+0) e f(L-0), são idênticos. Por exemplo, se f(x) é contínua no ponto
0
x
x= , então f(x0+0) = f(x0-0) = f(x0) e a série de Fourier simplesmente converge para f(x0), que é o
valor da função neste ponto. O outro exemplo interessante surge quando f(x) é descontínua em x=x0 devido à "remoção de um ponto da curva", como em
(
)
(
)
= ≠ = 0 x 1 0 x x ) x ( f 21 . Esta função, construída de
Fourier que a função f(x)=x2. Esta série de Fourier convergirá para a função g(x) do exemplo 1. Observe que f
(
0 0)
f (0 0) 0 e g(0)[
f1(
0 0) (
f10 0)
]
0 2 1 1 1 + = − = = + + − = mas que g( )
0 ≠f1(0).Surge então um problema fundamental da teoria das séries de Fourier: "Que condições deve uma função f(x) satisfazer para que sua série de Fourier convirja para f(x) no intervalo −L≤x≤L?"
4. PROPRIEDADES DE PARIDADE
Uma função f(x) é chamada função impar se f(- x) = - f(x), para todo x real. Assim, as funções f(x) = xn, com n ímpar, f(x) = sen(ax) e a função f(x) graficada na figura 4.1a são exemplos de funções ímpares. Uma função f(x) é chamada função par se f(-x) = f(x), para todo x real. Assim, por exemplo, as funções f(x) = xn, com n par, e f(x) = cos(ax) e a função graficada na figura 4.1b são funções pares.
-1 1 6 4 2 -2 -4 1 -1 5 1 -1 3 -3 (a) (b)
Figura 4.1. Exemplos de funções pares e ímpares.
Suponha que devemos desenvolver uma função f(x) em série de Fourier no intervalo (-L, L). Se f(x) for uma função par, então, pelas propriedades acima, todos os coeficientes b devem anular-n se, enquanto que os coeficientes a são obtidos simplesmente pela integração de 0 a L, multiplicando-n se os resultados por dois, ou seja:
( )
dx. L x n cos x f L 2 a e L x n cos a 2 a ) x ( f L 0 n 1 n n 0 +∑
π =∫
π = ∞ = (4.1)Semelhantemente, se f(x) é impar, então todos os coeficientes a são nulos e: n
( )
dx L x n sen ) x ( f L 2 b e L x n sen b x f L 0 n 1 n n π = π =∑
∞∫
= (4.2)Os resultados (4.1) e (4.2) dão origem outros tipos de desenvolvimentos trigonométricos, conhecidos, respectivamente, como a Série de Fourier em Cosenos e a Série de Fourier em Senos.
10
Solução: Da figura 4.1a, decorre que f(−t)=−f(t), isto é, f(t) tem simetria ímpar. E mais, f(t) tem período T = 4. Ou seja, ω=π/2. Então:
∑
∞ = π = 1 n n t 2 n sen b ) t ( f{
}
π = π − π = π π − = π =∫
par n se , 0 impar n se , n 4 ) n cos( 1 n 2 t 2 n cos n 2 dt t 2 n sen 4 4 b 2 2 0 n 0 . Portanto, π + + π + π π = t K 2 5 sen 5 1 t 2 3 sen 3 1 t 2 sen 4 ) t ( f .Exemplo 2: Ache a série de Fourier para a função f(t) do tipo onda quadrada mostrada na figura 4.1b.
Solução: Da figura 4.1b, observa-se que f
( )
−t =f(t), isto é, a função f(t) tem simetria par. E mais, f(t) tem período T = 4. Ou seja, ω=π/2. Assim,∑
∞ = π = 1 n n t 2 n cos a ) t ( f . 2 n sen n 4 2 n sen n 2 ) n sen( n 2 2 n sen n 2 t 2 n sen n 2 t 2 n sen n 2 dt t 2 n cos dt t 2 n cos dt t 2 n cos ) t ( f 4 4 a 2 2 1 1 0 2 0 n 1 1 0 π π = π π + π π − π π = = π π − π π = π − π = π =∫
∫
∫
Portanto,( )
π − π + π − π = t K 2 5 cos 5 1 t 2 3 cos 3 1 t 2 cos 4 t f . 1 3T 2T T -T -2T -2T -T -1/2 T 2T 3T 1/2 (a) f(t) (b) g(t)Pelos Exemplos acima, notamos que para adequadas escolhas da origem, isto é, mediante deslocamentos na abscissa tempo, podemos desenvolver a função tanto em série de cosenos como em série de senos. A origem pode, certamente, ser escolhida em outro ponto, resultando em uma série trigonométrica completa.
Exemplo 3: Ache a série de Fourier para a função f(t) mostrada na Figura 4.2a acima. Solução: Como mostra a figura 4.2b, a função
( )
2 1 t f ) t (
g = − é uma função impar; então:
( )
∫
∑
ω = ω = ∞ = 2 / T 0 n 1 n n g(t)sen n t dt. T 4 b com ), t n sen( b ) t ( g Como , para 0 t T, T t 2 1 ) t ( g = − < < então: t sen( )
n t dt T 1 2 1 T 4 b T/2 0 n ω −=
∫
. Integrando por partes:( )
= π ω ω − ω ω − − = n 1 n T ) t n sen( n ) t n cos( t T 1 2 1 T 4 b T/2 0 2 n . Assim,( )
t g 2 1 ) t ( f = +∑
∞ = ω π + = 1 n ) t n sen( n 1 1 2 1 ω + ω + ω + π + = sen(3 t) K 3 1 ) t 2 sen( 2 1 ) t sen( 1 2 1 .5. FORMA COMPLEXA DA SÉRIE DE FOURIER
O desenvolvimento de Fourier dado pela equação (3.6) pode ser escrito sob forma complexa. Para tanto, escreve-se:
(
)
(
j t j t)
n t j t j n n n e n e n j 2 1 ) t ( sen e e e 2 1 ) t ( cos ω = ω + − ω ω = ω − − ω (5.1)e introduz-se estas expressões na série de Fourier (3.6). É conveniente definir os coeficientes:
(
) (
)
(
) (
)
(
)
= < + > − = . 0 n a , 0 n jb a , 0 n jb a c 0 2 1 n n 2 1 n n 2 1 n (5.2)Então a série de Fourier pode ser rescrita em sua forma complexa:
(
T/2 t T/2)
e c ) t ( f =∑
n j nt − < < +∞ ω , (5.3)12
onde os coeficientes c são obtidos substituindo-se as fórmulas (3.7) para n an ebnnas equações (5.2), resultando: dt e ) t ( f T 1 c T/2 2 / T t j n =
∫
− − ωn . (5.4)Alternativamente, a fórmula (5.4) acima pode ser deduzida multiplicando-se a série complexa
de Fourier (5.3) acima por e−jωnt e integrando. Mostra-se facilmente que as exponenciais complexas
são ortogonais, no sentido de que:
(
)
= ≠ = ω − + − ω∫
Le e j t dt T0 (nn mm) L t j n n (5.5)e segue-se então a fórmula para c . n
Observação: Embora a série de Fourier apareça agora sob forma complexa, sua soma f(t) é ainda supostamente real. Neste caso, as propriedades seguintes são facilmente verificadas:
1) c é real; 0 c−n =cn ;
2) Se f(t) é par, todos os coeficientes c são reais; n
3) Se f(t) é ímpar, c0 =0 e todos os coeficientes c são imaginários puros. n
Exemplo: A função
(
)
(
)
π ≤ < ≤ < π − = x 0 1 0 x 0 ) x (f pode ser representada por uma série de Fourier
complexa. Os coeficientes serão:
(
)
(
)
∫
∫
π π π − − π = = = π − = π = = π = 0 nj 1 jn jnx n 0 0 n impar par n 0 nj 2 e 1 dx e 2 1 c e 2 1 dx 2 1 ce, portanto, a série complexa de Fourier da f(x) será:
( )
∑
+∞ −∞ = = π + = ímpar nn jnx e n 1 j 1 2 1 x f .6. CONVERGÊNCIA PONTUAL DAS SÉRIES DE FOURIER
Deseja-se saber se a série de Fourier de uma dada função f(x) convergirá de fato para f(x). Exemplos simples parecem indicar que, em via de regra, a série de Fourier (3.10) convergirá para
(
) (
)
[
f x 0 f x 0]
2
1 + + − em todos os pontos do intervalo (- L, L) e para
[
f(
L 0) (
f L 0)
]
2extremos do intervalo. A determinação das condições exatas sob as quais este resultado pode ser esperado tem sido assunto de pesquisa intensa durante mais de um século. Achou-se uma variedade de condições suficientes. O teorema abaixo é suficiente para a maioria das aplicações físicas.
Definição: Uma função definida em um intervalo fechado a≤x≤b é dita seccionalmente contínua quando o intervalo pode ser dividido em um número finito de subintervalos nos quais f(x) é contínua e possui limites finitos nas extremidades esquerda e direita destes subintervalos.
Definição 2: Uma função definida em um interva lo fechado a ≤x ≤b é dita satisfazer as condições de Dirichlet se f(x) é seccionalmente contínua em [a, b] e o intervalo (a, b) pode ser dividido em um número finito de subintervalos nos quais f(x) é monótona.
Teorema. Se f(x) satisfaz as condições de Dirichlet para −L≤x≤L, então sua série de Fourier (3.10) converge para
(
) (
)
[
f x 0 f x 0]
, se L x L, ou[
f(
L 0) (
f L 0)
]
, se x L. 2 1 2 1 − + + − < <+ − + + − =±A convergência é uniforme em qualquer subintervalo fechado em que f(x) seja contínua. Observação: O teorema acima não encerra, de nenhuma maneira, a teoria das séries de Fourier, pois existem funções que não o satisfazem, mas mesmo assim, possuem série de Fourier. Este fato pode ser ilustrado com o seguinte exemplo:
Exemplo: A função f
( )
x log( )
cos , se x ,2
x −π< <π
= com f(x+2π) = f(x), para todo x real, possui a série de Fourier
( )
( )
cosnx.n 1 2 log x g 1 n n
∑
∞ = − − −= Vemos que: a série de Fourier convergirá
uniformemente para f(x), em qualquer intervalo x1≤x≤x2 com x1>−πex2 <π. Ela vai divergir para x=±π: podemos dizer que se aproxima de "menos infinito" quando x→ ±π, mas o mesmo acontece com f(x). Evidentemente a série de Fourier representa f(x) de maneira extremamente fiel, e no entanto f(x) não satisfaz as condições de Dirichlet.
A maioria das dificuldades da teoria das séries de Fourier tem origem no conceito de convergência ponto a ponto. Há, no entanto, outros tipos de convergência, como a convergência em média, mais apropriadas, talvez, para aplicações físicas.
