AL aula18

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Álgebra Linear

Cleide Martins

DMat - UFPE - 2019.2

(2)

Objetivos

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Matrizes Simétricas e Matrizes Ortogonais

(Matriz Simétrica)

Já sabemos que uma matriz quadrada A é simétrica se A = At

(Matriz Ortogonal)

Dizemos que uma matriz quadrada A é ortogonal se At= A−1

Vamos destacar algumas propriedades desses tipos especícos de matrizes e analisar transformações lineares associadas a elas.

(4)

Propriedades das Matrizes Ortogonais

Inicialmente convém lembrar que

det At= det A e

det A−1= 1

det A Se A é uma matriz ortogonal então

det A = ±1 De fato, se A é ortogonal então A.At_{= I}_{. Daí}

det A.det At= det I ⇒ (det A)2 = 1 ⇒ det A = ±1

Observe que a recíproca dessa armação é falsa, considere como exemplo a matriz A =

2 5

1 3

(5)

Propriedades das Matrizes Ortogonais

As linhas (ou colunas) de uma matriz ortogonal n × n formam uma base ortonormal de Rn

Vamos considerar uma matriz ortogonal

A =        a11 a12 a13 · · · a1n a21 a22 a23 · · · a2n a31 a32 a33 · · · a3n ... ... ... ··· ... an1 an2 an3 · · · ann       

Temos A.At_{= I}_{. Observe que o produto da linha i de A pela coluna j de A}t _{é um produto}

interno entre vetores de Rn

       a11 a12 a13 · · · a1n a21 a22 a23 · · · a2n a31 a32 a33 · · · a3n ... ... ... ··· ... an1 an2 an3 · · · ann               a11 a21 a31 · · · an1 a12 a22 a32 · · · an2 a13 a23 a33 · · · an3 ... ... ... ··· ... a1n a2n a3n · · · ann        =        1 0 0 · · · 0 0 1 0 · · · 0 0 0 1 · · · 0 ... ... ... ··· ... 0 0 0 · · · 1       

(6)

Propriedades das Matrizes Ortogonais

Vale a recíproca

Se os vetores de uma base ortonormal de Rn_{são as linhas (ou colunas) de uma matriz A então}

A é ortogonal

Considere uma base ortonormal de Rn_{, α = {v}

1, v2, . . . vn} e observe que hvi, vji (produto

interno usual!!!) é o produto da linha i de A pela coluna j de At

Observe que sendo α base ortonormal e a base canônica de Rn

[I]α é ortogonal portanto

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Uma observação sobre produtos internos e bases ortonormais

Lembre que os conceitos de ângulo e comprimento são relativos a um dado produto interno, portanto, quando nos referimos a uma base ortonormal, esse conceito está vinculado a um produto interno especíco. Observe o seguinte

Digamos que V é um espaço vetorial munido de um produto interno h., .i, em relação a este produto interno, temos uma base ortonormal de V , β = {v1, v2, . . . vn}e nessa base, vetores

[u]β = (x1, x2, . . . , xn) e [w]β = (y1, y2, . . . , yn). Vamos determinar a expressão que calcula

hu, wi com essas coordenadas Temos

u = x1v1+ x2v2+ · · · + xnvn

w = y1v1+ y2v2+ · · · + ynvn

hu, wi = hx1v1, y1v1i + hx1v1, y2v2i + · · · + hx1v1, ynvni + hx2v2, y1v1i + · · · + hxnvn, ynvni

hu, wi = x₁y1+ x2y2+ · · · + xnyn

Todos os produtos internos são calculados da mesma maneira com coordenadas em uma base ortonormal.

(8)

Isso dito...

Se α e β são bases ortonormais de um espaço vetorial V então [I]α_β é ortogonal portanto

(9)

Operador Auto- Adjunto

Seja V um espaço vetorial munido de um produto interno h., .i e α uma base ortonormal de V Um operador T : V → V é Auto- Adjunto se

[T ]α_α é uma matriz simétrica

Vale notar que essa denição não é condicionada à base α. Se T é auto-adjunto e β é outra base ortonormal qualquer então [T ]β

β é simétrica. Vejamos

[T ]β_β = [I]α_β[T ]α_α[I]β_α Nessa equação

[T ]α_α é simétrica

[I]α_β = ([I]βα)−1 = ([I]βα)t

(10)

Operador Auto- Adjunto

[I]α_β = ([I]βα)−1 = ([I]βα)t

(11)

Operador Auto- Adjunto

[I]α_β = ([I]βα)−1 = ([I]βα)t

(12)

Operador Auto- Adjunto

[I]α_β = ([I]βα)−1 = ([I]βα)t

[I]βα = ([I]α)−1 = ([I]α)t

([T ]β_β)t= ([I]β_α)t([T ]α_α)t([I]α_β)t ([T ]β_β)t= [I]α_β[T ]α_α[I]β_α= [T ]β_β

(13)

Propriedades dos Operadores Auto-Adjuntos

Seja T é um operador auto-adjunto em um espaço vetorial V munido de um produto interno h., .i

Teorema (1)

Para quaisquer vetores v e w em V

hT (v), wi = hv, T (w)i

Teorema (2)

Se v e w são autovetores de T associados respectivamente aos autovalores distintos λ e µ então

(14)

Prova do Teorema (1): hT (v), wi = hv, T (w)i

Vamos provar o Teorema 1 para dim V = 3. Considere a base ortonormal α de V . Seja A = [T ]α_α. Com todas as coordenadas sendo relativas à base α temos

v = (x1, x2, x3) w = (y1, y2, y3) A =   p a b a q c b c r  ⇒ T (v) = (Av)t= (px1+ ax2+ bx3, ax1+ qx2+ cx3, bx1+ cx2+ rx3) T (w) = (Aw)t= (py1+ ay2+ by3, ay1+ qy2+ cy3, by1+ cy2+ ry3) hT (v), wi = (px₁+ ax2+ bx3)y1+ (ax1+ qx2+ cx3)y2+ (bx1+ cx2+ rx3)y3

= x1(py1+ ay2+ by3) + x2(ay1+ qy2+ cy3) + x3(by1+ cy2+ ry3)

(15)

Prova do Teorema (2)

Se T é auto-adjunto, λ 6= µ, T (v) = λv e T (w) = µw, então hv, wi = 0

λ hv, wi = hλv, wi = hT (v), wi = hv, T (w)i = hv, µwi = µ hv, wi (λ − µ) hv, wi = 0 ⇒ hv, wi = 0

(16)

Exercícios

Diagonalize os seguintes operadores em R3 _{e, em cada caso, verique a existência de base}

ortonormal (com o produto interno usual) de autovetores de T

1 _{T (x, y, z) = (2x + y, x + y + z, y − 3z)}

(17)

Operador Ortogonal

Seja V um espaço vetorial munido de um produto interno h., .i e α uma base ortonormal de V Um operador T : V → V é Ortogonal se

[T ]α_α é uma matriz ortogonal

Aqui também vale notar que essa denição não é condicionada à base α. Se T é ortogonal e β é outra base ortonormal qualquer então [T ]β

β é ortogonal . Vejamos

([T ]α_α)−1 = ([T ]α_α)t

[I]α_β = ([I]βα)−1 = ([I]βα)t

(18)

Operador Ortogonal

([T ]α_α)−1 = ([T ]α_α)t [I]α_β = ([I]βα)−1 = ([I]βα)t

(19)

Operador Ortogonal

(20)

Operador Ortogonal

[I]βα = ([I]α)−1 = ([I]α)t

([T ]β_β)−1 = ([I]β_α)−1([T ]α_α)−1([I]α_β)−1 ([T ]β_β)−1 = ([I]β_α)t([T ]_αα)t([I]α_β)t= ([T ]β_β)t

(21)

Exemplo: Rotação em R

3

Na Aula 11 vimos como determinar a transformação no espaço que representa uma rotação em torno da reta X = λ(1, 1, 0).

Vamos considerar a rotação de um ângulo θ, R`, em torno da reta ` : X = λv. Para tal,

adotamos uma base ortonormal β = {u1, u2, u3} de R3 onde

u1 é o versor de v.

u2 é um vetor unitário no plano π ⊥ v

(22)

Exemplo: Rotação em R

3

(23)

Exemplo: Rotação em R

3

(24)

Exemplo: Rotação em R

3

u3 é um vetor unitário ortogonal a u1 no plano π

Temos

R`(u1) = u1

R`(u2) = cos θu2+ sen θu3

R`(u3) = −sen θu2+ cos θu3

⇒ _[R_`_]β β =   1 0 0 0 cos θ sen θ 0 −sen θ cos θ  

(25)

Exemplo: Rotação em R

3

u3 é um vetor unitário ortogonal a u1 no plano π

Temos

R`(u1) = u1

R`(u2) = cos θu2+ sen θu3

R`(u3) = −sen θu2+ cos θu3

⇒ _[R_`_]β β =   1 0 0 0 cos θ sen θ 0 −sen θ cos θ  

As linhas dessa matriz são uma base ortonormal de R3_{. Portanto R}