Aerodinâmica I
Escoamento Incompressível sobre Aerofólios
-Transformação Conforme
Karl Peter Burr
1
Introdução
No periodo de 1912-1918, a análise de escoamento sobre asas de aviões sofreu um grande salto quando Ludwig Prandtl e seus colegas da Universidade de Göttingen, Alemanha, mostraram que considerações aerodinâmicas sobre asas de aviões podiam ser decompostas em duas partes:
1. O estudo da seção da asa, ou seja, o estudo do aerofólio e,
2. a modificação das propriedades aerodinâmicas do aerofólio para levar em conta efeitos tridimensionais, ou seja, a asa de envergadura finita.
Essa abordagem ainda é utilizada hoje em dia, e denominada teoria de linha de susten-tação.
O que é um aerofólio? Consideremos uma asa ilustrada abaixo. A asa extende-se na direção do eixo y (direção da envergadura). A velocidade da corrente uniforma U é paralella ao plano xz. Qualquer seção da asa cortada por um plano paralelo ao plano xz é denominada um aerofólio.
U
x
z
y
aerofolio
Figura 1: Aerofólio como seção de uma asa de envergadura finita
Como estamos considerando escoamento inviscido e incompressível, não seremos capazes de estimar o arrasto, mas seremos capazes de estimar a força de sustentação e o momento que o fluido aplica no aerofólio, que dependem basicamente da distribuição de pressão, em grande parte ditada pelo escoamento não viscoso (fora da camada limite e esteira).
2
Nomenclatura para Aerofólios
Considere o aerofólio ilustrado abaixo:
corda c curvatura Espessura
Bordo de ataque Bordo de fuga
Linha de curvatura media
Linha da corda
Figura 2: Nomenclatura de Aerofólio
• Linha de curvatura média (mean camber line): é o lugar geométrico dos pontos médios entre a superfície superior e inferior, medidas através de uma perpendicular à própria linha de curvatura média.
• Bordos de fuga e de ataque são os pontos da linha de curvatura média localizados, respectivamente, nos extremos anterior e posterior do aerofólio.
• Linha da corda é a linha que conecta o bordo de ataque ao bordo de fuga.
• A corda c é a distancia do bordo de fuga ao bordo de ataque medida ao longo da linha da corda.
• A curvatura (camber) é a distancia máxima entre a linha de curvatura média e a linha de corda, medida ao longo de uma perpendicular a linha de corda.
• A espessura é a distancia entre as superfícies superior e inferior, medida ao longo de uma perpendicular à linha de corda.
A forma do aerofólio no bordo de ataque é usualmente circular. Em muitos exemplos, o raio do bordo de ataque é de aproximadamente 0, 02c.
Por exemplo, a forma de todos os aerofólios da família NACA são gerados especificando-se a forma da linha de curvatura média e uma distribuição simétrica de espessura sobre a linha de curvatura média.
• família NACA de quatro digitos (NACAxyzw)
– x - máxima curvatura em centésimos da corda c.
– y - posição da máxima curvatura ao longo da corda a partir do bordo de ataque em décimos da corda c.
– zw - máxima espessura em porcentagem da corda c. • família NACA de cinco digitos (NACAxyzwq)
– x - esse número multiplicado por 2/3 fornece o coeficiente de sustentação de projeto em décimos.
– yz - esses dois números divididos por 2 fornecem a posição da máxima curvatura a partir do bordo de ataque em centésimos da corda c.
3
Caracteristicas de Aerofólios
A variação do coeficiente de sustentação com o ângulo de ataque é ilustrada abaixo.
a = d /d = lift slope
c l
α
c l
α
L= 0
l,max
c
Stall devido
a descolamento
α
Figura 3: Coeficiente de sustentação versus angulo de ataque
Para pequenos e moderados angulos de ataques, o coeficiente de sustentação cl varia linearmente com o angulo de ataque α; a curva cl × α é uma reta com inclinação a0, denominada inclinação de sustentação (lift slope). Para esses angulos de ataque moderados o escoamento ao redor do aerofólio é suave, mas quando o angulo de ataque se torna grande temos descolamento, gerando uma espessa esteira devido a efeitos viscosos. A consequencia da separação do escoamento é o decaimento da força de sustentação e o aumento do arrasto. Nessas condições dizemos que o aerofólio entra em condição de “stall”. O coeficiente máximo de sustentação antes da condição de “stall” é denotado por cl,max.
Para α = 0 o coeficiente de sustentação é não nulo, e a força de sustentação vai a zero para valores negativos do angulo de ataque. O valor de α para o qual temos força de sustentação nula é chamado de angulo de ataque para força de sustentação nula, e denotado por αL=0.
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Transformada de Joukowski
z = ζ + R 2 ζ
onde R é uma constante real. Utilizando-se essa transformada conforme podemos mapear qualquer região selecionada do plano complexo ζ no plano complexo z. Em aerodinâmica, a região a ser mapeada é geralmente a região exterior a um circulo no plano complexo ζ.
y x plano z η ξ plano ζ θ p
Figura 4: Planos complexos ζ = ξ + iη e z = x + iy.
Como estamos interessados em estudar o escoamento ao redor de aerofólios, vamos uti-lizar transformadas conformes, como a de Joukowski, para mapear a região do escoamento ao redor de uma geometria onde conhecemos a função potencial e de corrente na região ao redor do aerofólio que queremos estudar. Conhecemos a função potencial e de corrente para o escoamento ao redor de um cilindro circular com ou sem circulação. Logo, vamos utilizar a transformada conforme para mapear a região exterior a um cilindro circular no plano ζ na região exterior a um aerofólio no plano z. Aqui vamos estudar a geometria de aerofólios gerada no plano z pela imagem de um circulo no plano ζ via transformada de Joukowski.
4.1
Circulos com Centro na Origem
Como temos geometria circular, vamos escrever ζ = ρ exp(iθ), com ρ e θ ilustrados na figura acima. Podemos escrever
z = ρ exp(iθ) + R 2 ρ exp(iθ) = ρ exp(iθ) + R 2 ρ exp(−iθ) = ρ{cos θ + i sin θ} + R 2 ρ {cos θ − i sin θ} = ρ +R 2 ρ cos θ + i ρ − R 2 ρ sin θ (1)
Para ρ = R, a equação acima se reduz a
z = 2R cos θ
de modo que o circulo de raio ρ = R no plano ζ é mapeado nna reta de comprimento 4R no plano z. Para ρ > R, é facil ver que a imagem no plano z de um circulo no plano ζ é uma elipse. Para ρ >> R, temos que
z = lim ρ=∞ ρ + R 2 ρ cos θ + i ρ − R 2 ρ sin θ z = ρ(cos θ + i sin θ) z = ζ
Portanto, a grandes distancia da origem temos que z = ζ aproximadamente, de modo que regiões distantes da origem do plano ζ não tem a imagem distorcida no plano z via transformada de Joukpwski. Abaixo ilustramos a imagem no plano z de mapeamento de circulos centrados na origem do plano ζ via transformada de Joukowski.
y x plano z η ξ plano ζ p θ R A B D C O B D C A A B C D 1 1 1 1 C D B A 1 1 1 1
Figura 5: Imagem no plano z de circulos centrados na origem do plano ζ via transformada de Joukowski.
Abaixo ilustramos a imagem no plano z de circulos com raio ρ = 1, ρ = 1, 1 e ρ = 1, 5 no plano ζ. Para ρ = 1 temos como imagem a reta em azul. Note que com o aumento do raio ρ, a imagem no plano z se assemelha a um circulo.
−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Figura 6: Imagem no plano z de circulos centrados na origem do plano ζ com raio ρ = 1, ρ = 1, 1 e ρ = 1, 5 via transformada de Joukowski.
4.2
Circulo com Centro no Eixo Real
Vamos considerar a imagem no plano z de um circulo no plano ζ com centro no eixo real ξ, como ilustrado na figura abaixo.
y x plano z η ξ plano ζ R A A1 A1 C D θ ρ A D B E B E
Figura 7: Imagem no plano z de circulo com centro no eixo real do plano ζ via transformada de Joukowski.
Note que o circulo com centro no ponto C tem raio ρ = R + a, onde a é a distancia do ponto C da origem do plano ζ. Podemos escrever
ζ = a + ρ exp(iθ)
Podemos escrever a transformada de Joukowski nesse caso na forma
z = a + ρ exp(iθ) + R 2 a + ρ exp(iθ) = a + ρ exp(iθ) + R 2(a + ρ exp(−iθ)) a2+ 2aρ cos θ + ρ2 z = a + ρ cos θ + R 2(a + ρ cos θ) a2 + 2aρ cos θ + ρ2 + i ρ sin θ − R 2ρ sin θ a2+ 2aρ cos θ + ρ2
A imagem do circulo de raio ρ = R + a e centro no ponto C tem a imagem no plano z dada substituindo ρ = R + a na equação acima, fornecendo
z =a + (R + a) cos θ + R 2[a + (R + a) cos θ] a2 + 2a(R + a) cos θ + (R + a)2 + i (R + a) sin θ − R 2(R + a) sin θ a2+ 2a(R + a) cos θ + (R + a)2
Abaixo ilustramos a imagem no plano z do circulo no ponto C, que dista a = 0.05 da origem do plano ζ na direção do eixo ξ, com raio ρ = 1, 05 (valor de R + a). Ilustramos circulos com centro na origem e raios ρ = 1, 2 e ρ = 1, 5 no plano ζ. Para o circulo com centro no ponto C temos como imagem o contorno em azul. Note que com o aumento do raio ρ, a imagem no plano z se assemelha a um circulo.
−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Figura 8: Imagem no plano z do circulo com centro no ponto C e raio ρ = R + a = 1, 05. Imagem de circulos centrados na origem do plano ζ com raio ρ = 1, 2 e ρ = 1, 5.
4.3
Circulo com Centro no Eixo Imagnário
Vamos considerar a imagem no plano z de um circulo no plano ζ com centro no eixo imaginário η, como ilustrado na figura abaixo.
y x plano z η ξ plano ζ R A1 θ ρ D A C A1 B 1 D A B C D D 1
Figura 9: Imagem no plano z de circulo com centro no eixo imaginário do plano ζ via transformada de Joukowski.
Note que o circulo com centro no ponto C tem raio ρ =√R2+ b2, onde b é a distancia do ponto C da origem do plano ζ. Podemos escrever
ζ = ib + ρ exp(iθ)
Podemos escrever a transformada de Joukowski nesse caso na forma
z = ib + ρ exp(iθ) + R 2 ib + ρ exp(iθ) = ib + ρ exp(iθ) +R 2(−ib + ρ exp(−iθ)) b2 + 2bρ sin θ + ρ2 z = ρ cos θ + R 2ρ cos θ b2+ 2bρ sin θ + ρ2 − i b + ρ sin θ − R 2(b + ρ sin θ) b2+ 2bρ sin θ + ρ2
Abaixo ilustramos a imagem no plano z do circulo no ponto C, que dista b = 0.05 da origem do plano ζ na direção do eixo imaginário η, com raio ρ = √R2+ b2 = √1, 0025. Ilustramos circulos com centro na origem e raios ρ = 1, 2 e ρ = 1, 5 no plano ζ. Para o circulo com centro no ponto C temos como imagem o contorno em azul. Note que com o aumento do raio ρ, a imagem no plano z se assemelha a um circulo.
−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Figura 10: Imagem no plano z do circulo com centro no ponto C no eixo imaginário η e raio ρ = √R2+ b2 = √1, 0025. Imagem de circulos centrados na origem do plano ζ com raio ρ = 1, 2 e ρ = 1, 5.
4.4
Circulo com Centro Generico
Vamos considerar a imagem no plano z de um circulo no plano ζ com centro fora dos eixos real (eixo ξ) e imaginário (eixo η), como ilustrado na figura abaixo.
y x plano z η ξ plano ζ R D A B C D 1 ρ θ B A A1 D C A1
Figura 11: Imagem no plano z de circulo com centro em ponto genérico do plano ζ via transformada de Joukowski.
Note que o circulo com centro no ponto C tem raio ρ =p(R + a)2+ b2, onde b (a) é a distancia do ponto C do eixo real (imaginário) do plano ζ. Podemos escrever
ζ = a + ib + ρ exp(iθ)
Podemos escrever a transformada de Joukowski nesse caso na forma
z = a + ib + ρ exp(iθ) + R 2
a + ib + ρ exp(iθ) = a + ib + ρ exp(iθ) + R
2(a − ib + ρ exp(−iθ)) a2+ b2+ 2bρ sin θ + 2aρ cos θ + ρ2
z = a + ρ cos θ + R
2(a + ρ cos θ)
a2 + b2+ 2bρ sin θ + 2aρ cos θ + ρ2 − i
b + ρ sin θ − R
2(b + ρ sin θ)
a2+ b2 + 2bρ sin θ + 2aρ cos θ + ρ2
Abaixo ilustramos a imagem no plano z do circulo no ponto C, que dista b = 0.05 (a = 0, 05) do eigo real (imaginário) do plano ζ, com raio ρ = p(R + a)2+ b2 =√1, 105. Ilustramos circulos com centro na origem e raios ρ = 1, 2 e ρ = 1, 5 no plano ζ. Para o circulo com centro no ponto C temos como imagem o contorno em azul. Note que com o aumento do raio ρ, a imagem no plano z se assemelha a um circulo.
−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Figura 12: Imagem no plano z do circulo com centro no ponto C generico e raio ρ = p(R + a)2+ b2 =√1, 105. Imagem de circulos centrados na origem do plano ζ com raio ρ = 1, 2 e ρ = 1, 5.
Vamos olhar mais de perto como é o mapeamento do circulo na vizinhança do bordo de fuga. Podemos escrever a transformada de Joukowski na forma
z + 2R z − 2R =
(ζ + R)2 (ζ − R)2
Na vizinhaça do ponto D no plano ζ e na sua imagem no plano z, podemos escrever
onde r e r0 são infinitesimais e portanto a transformada de Joukowski na vizinhança do ponto D no plano ζ e sua imagem no plano z fornece
−r0exp(iχ) = r
2exp(i2θ)
R ,
aproximadamente, de modo que temos a seguinte relação entre os argumentos
χ + π = 2θ
Consideremos agora um semi-circulo de raio r tangente ao circulo com centro em C na vizinhança do ponto D no plano ζ, definindo os pontos M e N e sua imagen no plano z, como ilustrado abaixo
y x plano z η ξ plano ζ C D 1 ρ θ A1 C A1 D R N M r D M N r’
Figura 13: Imagem no plano z de semi-circulo com centro no ponto D no plano ζ via transformada de Joukowski.
Note que irmos do ponto M ao ponto N no plano ζ, implica em uma variação de π no valor de θ. A imagem desse semi-circulo é um semi-circulo no plano z, mas a varição do argumento da variável z é de 2π, de modo que a imagem do ponto M no plano z toca a imagem do ponto N no plano z. Isso implica que a família de aerofólios gerada pela transformada de Joukowski não possue espessura numa vizinhança do bordo de fuga.
5
Transformada de Karman-Treffz
A transformada de Joukowski pode ser modificada para gerar aerpfólios com espessura finita na região do bordo de ataque. A transformada de Joukowski foi escrita na forma
z + 2R z − 2R =
(ζ + R)2 (ζ − R)2 que pode ser generalizada para
z + kR z − kR =
(ζ + R)k (ζ − R)k
com k ≤ 2. Essa transformada gera perfis sempre com espessura (k < 2) e bordo de fuga onde as duas retas tangentes possuem inclinações diferentes. Se escrevermos
ζ + R = r exp(iθ), z + kR = r exp(iχ),
para r e r0 infinitesimais. Substituindo-se estas expressões na equação da transformada de karman-trefftz observamos que
r0exp(iχ)
−2kR =
rkexp(ikθ) (−2R)k que implica que
k(θ + π) = χ + π
Logo, para uma variação ∆θ = π ou −π, verificamos uma variação |∆χ| = kπ < 2π pois k < 2. Isso implica que a reta tangente a face e ao dorso do aerofólio na vizinhança do bordo de fuga fazem um angulo entre si de (2 − k)π 6= 0. Consequentemente, o fólio possue espessura não nula na vizinhança do bordo de fuga.
6
Transformação Conforme
As transformadas de Joukowski e de Karman-Trefftz são exemplos de transformações con-formes. Aqui vamos discutir as propriedades que uma mapa
z = f (ζ)
do plano complexo ζ = ξ + iη no plano z = x + iy deve possuir para poder ser uma transformada conforme. Vamos considerar que f (ζ) leva pontos da região R exterior à figura achurada limitada pela curva C no plano ζ na região S exterior à figura achurada limitada pela curva A no plano z, como ilustrado abaixo.
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 000000000000000000 000000000000000000 000000000000000000 000000000000000000 000000000000000000 000000000000000000 000000000000000000 111111111111111111 111111111111111111 111111111111111111 111111111111111111 111111111111111111 111111111111111111 111111111111111111 00000000000000000 00000000000000000 11111111111111111 11111111111111111 y x plano z η ξ plano ζ C A R S
Figura 14: Mapeamento da região R no plano ζ na região S no plano z. Os requisitos são:
1. Para cada ζ na região R corresponde um único z = f (ζ) finito na região S;
2. Para cada ζ na região R, a função f (ζ) tem derivada finita de valor único (não multivaluada), definida por
f0(ζ) = lim ∆ζ→0
f (ζ + ∆ζ) − f (ζ) ∆ζ
Consideremos dσ e ds dois arcos infinitesimais de duas curvas correspondentes (uma curva C no plano ζ e sua imagem A no plano z) como ilustrado abaixo.
d
ds
η
y
ξ
x
σ
ω
θ
Figura 15: Imagem de arco infinitesimal no plano ζ no plano z. Podemos escrever
dζ = dσ exp(iω), dz = ds exp(iθ) Como z = f (ζ), temos que
dz = f0(ζ)dζ
e então se f0(ζ) = m exp(iα), nos temos que
ds exp(iθ) = mdσ exp(i(ω + α)) e portanto
ds = mdσ, θ = ω + α Essas relações mostram que:
1. Que o angulo em ζ entre duas curvas quaisquer que passam por ζ é igual ao angulo no plano z formado pela imagem de ambas as curvas, e
2. que o elemento de arco da imagem no plano z é igual a m vezes o elemento de arco da curva no plano ζ.
Consequentemente, qualquer pequena vizinhança de um ponto no plano ζ é mapeada em uma pequena vizinhança da imagem desse ponto geometricamente similar no plano z. O fator de escala linear, ou de magnificação do mapeamento é m = f0(ζ). Por essa razão o mapeamento é denominado conforme.
Observe que o caráter conforme do mapeamento desaparece em qualquer ponto tal que f0(ζ) é zero ou infinito.
7
Potencial Complexo
Seja φ e ψ o potencial de velocidades e a função corrente de um escoamento irrotacional, bidimensional e incompressível. Então, igualando as componentes de velocidade temos:
∂φ ∂x = ∂ψ ∂y (2) e ∂φ ∂y = − ∂ψ ∂x. (3)
Definimos o potencial complexo de um escoamento através da relação
w(z) = w = φ + iψ
Em função das equações (2) e (3), w é uma função holomorfica, ou seja, w(z) é uma função biunivoca com derivada dw/dz continua e injetora, em qualquer região onde φ e ψ são injetoras.
Em contra partida, se assumirmos para w uma função holomorfica da variável z, a parte real e imaginária fornecem o potencial de velocidades e a função corrente de um escoamento bidimensional, irrotacional e incompressível possível.
Alguns exemplos de potenciais complexos:
1. w = U exp(iα)z. Função potencial e de corrente dados por:
φ =U (x cos α − y sin α) ψ =U (x sin α + y cos α)
2. w = −2πm ln z; φ = −2πm ln r, ψ = −2πmθ. Potencial complexo para uma fonte de intensidade m localizada na origem.
3. w = −i2πΓ ln z; φ = −2πΓθ, ψ = 2πΓ ln r. Potencial complexo para um vórtice localizado na origem.
4. w = 2πzκ ; φ = 2πκ x2+yx 2, ψ = −2πκ
y
x2+y2. Potencial complexo para um dipolo localizado
na origem.
5. Para cada uma das singularidades acima com potencial complexo w(z) e localizadas na origem, podemos mudar a localização da singularidade para o ponto z0, e o po-tencial complexo é dado por w(z − z0). Por exemplo, o potencial complexo de uma fonte/sorvedouro localizado em z0 é dado por
w(z − z0) = − m
2πln(z − z0) pois w(z) = − m 2π ln z
8
Velocidade Complexa
A partir do potencial complexo w = φ + iψ podemos escrever
∂φ ∂x + i ∂ψ ∂x = dw dz ∂z ∂x = dw dz e como u =∂φ ∂x, v = − ∂ψ ∂x, de forma que u − iv = dw dz
Denominamos u − iv de velocidade complexa e note que ela é obtida diretamente do potencial complexo de acordo com a equação acima. Vamos considerar como exemplo, o potencial do escoamento ao redor de um cilindro de raio a sob ação de uma corrente de velocidade U na direção do eixo x, dado por:
w(z) = U z + U a 2 z Então, dw dz = U − U a2 z2 = U − U a2(x2− y2) (x2+ y2)2 − i U a22xy (x2+ y2)2
de modo que as componentes u e v do campo de velocidades são dadas por:
u =U − U a 2(x2− y2) (x2+ y2)2 v = U a 22xy (x2 + y2)2
Em um ponto de estagnação, a velocidade é nula. Então u = 0 e v = 0. Portanto, os pontos de estagnação são determinados por
dw dz = 0.
9
Aplicação da Transformada Conforme
Considere o mapeamento do plano ζ no plano z dado por
z = f (ζ), (4)
tal que a região R exterior à curva C no plano ζ é mapeada na região S exterior à curva A no plano z, como ilustrado abaixo
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 000000000000000000 000000000000000000 000000000000000000 000000000000000000 000000000000000000 000000000000000000 000000000000000000 111111111111111111 111111111111111111 111111111111111111 111111111111111111 111111111111111111 111111111111111111 111111111111111111 00000000000000000 00000000000000000 11111111111111111 11111111111111111 y x plano z η ξ plano ζ C A R S P Q
Figura 16: Mapeamento da região R no plano ζ na região S no plano z.
Então a curva C é mapeada sobre a curva A. Considere que o potencial complexo para um escoamento na região R do plano ζ seja dado por:
w(ζ) = w = φ + iψ (5)
Então, nos pontos correspondentes ζ e z de acordo com (4), w e portanto φ e ψ assumem o mesmo valor.
Agora, C é um contorno do escoamento no plano ζ, e então, uma linha de corrente, e portanto ψ = k, uma constante, sobre todos os pontos de C. Como A corresponde ponto por ponto a C, temos que ψ = k em todos os pontos de A. Portanto, A é uma linha de corrente do escoamento dado por (5) e por (4) conjuntamente no plano z.
A forma do potencial complexo em termos de z é obtida eliminando-se a variável ζ e utilizando-se (4), mas para obtermos, por exemplo, o campo de velocidades, é melhor considerar ζ como um parâmetro. Então, para obtermos a velocidade em um ponto Q no plano z que corresponde a um ponto P no plano ζ, nos temos que:
dw dz = dw dζ × dζ dz, e portanto uQ− ivQ = (uP − ivP) f0(ζ)
10
Forma Geral de uma Transformada Conforme para
Aerofólios.
Aqui vamos considerar transformadas conformes que mapeiam um círculo em um aerofólio. Para obtermos o escoamento de um aerofólio em uma corrente uniforme, é desejável que a corrente uniforme no plano do circulo (plano ζ) corresponda a uma corrente uniforme no plano do aerofólio (plano z).
O potencial complexo para uma corrente uniforme no plano ζ é dado por
w = U exp(iα)ζ
e o potencial complexo no plano z para uma corrente uniforme é dado por
w = U exp(iα)z
Então o mapeamento z = f (ζ) deve ser tal que para grandes valores de |ζ| e de |z| devemos ter aproximadamente que
ζ = z
Este requisito é satisfeito por mapeamentos na forma
z = ζ + a1 ζ +
a2
ζ2 + . . . = f (ζ) (6)
onde esta série converge para valores de |ζ| suficientemente grandes.
A transformada de Joukowski é um caso especial, onde a1 = R2 é puramente real, enquanto a2 = a3 = . . . = 0. Em geral as contantes a1, a2, . . . serão números complexos.
Como um mapeamento deixa de ser conforme para valores de ζ tal que dz/dζ =, e como estamos mapeando a região exterior ao circulo na região exterior ao aerofólio, temos que dz/dζ = f0(ζ) não pode ir a zero para ζ fora do circulo. Caso f0(ζ) vai a zero, digamos em ζ = ζ0 no circulo, o ponto correspondente z = z0 no aerofólio terá, em geral, duas tangentes distintas ou uma cúspide. Em uma vizinhança de ζ0 podemos escrever
f0(ζ) = (ζ − ζ0)k−1g(ζ), k > 1
onde g(ζ) não tem zeros no exterior do circulo mapeado e g(ζ0) = a 6= 0. Então, para |ζ − ζ0| << 1, nos temos que
dz dζ = f 0 (ζ) ≈ a(ζ − ζ0)k−1 e por integração z − z0 = a k(ζ − ζ0) k Então,
arg(z − z0) = k arg(ζ − ζ0) + arg a k.
Portanto, uma variação de π no argumento de (ζ − ζ0) implica uma varição kπ no argumento de (z − z0). Então o angulo entre as tangentes ao aerofólio em uma vizinhança de z0 é de (2 − k)π. Em aerodinâmica estamos interessados em angulos agudos, ou seja
0 ≤ (2 − k)π < π/2, 1, 5 < k ≤ 2, onde o caso k = 2 fornece uma cúspide.
11
Força Aerodinâmica
Vamos assumir que temos uma transformada conforme z = f (ζ) de um círculo C com centro ζ = ζ0 e raio r no plano ζ em um aerofólio A no plano z, como ilustrado abaixo. O aerofólio está sob ação de uma corrente uniforme de intensidade U e que forma ângulo α com o eixo real x.
y x plano z η ξ plano ζ θ ζ 0 a z 0 H H α α U U n n dσ ds B B C A
Figura 17: Mapeamento do circulo C de raio a e centro em ζ = ζ0 no plano ζ em aerofólio de contorno A no plano z.
Não temos uma expressão para o potencial complexo w no plano z, mas conhecemos o potencial complexo w no plano ζ, dado por:
w = w(ζ) = U exp(−iα) ζ + a 2exp(i2α) (ζ − ζ0) + iΓ 2πln(ζ − ζ0) (7)
onde α é o angulo de ataque geométrico e Γ a circulacão. A força adimensional que o fluido aplica sobre o aerofólio é dada por:
~ CF = − 1 c Z A Cp~nds
onde c é a corda do aerofólio, Cp = 1 − (V /U )2 onde V é o módulo de velocidade ao longo do contorno A, ~n é o vetor normal ao contorno A do aerofólio e ds é o elemento de arco ao longo de A. Podemos escrever
V2 = dw dz
dw dz
onde dw/dz é o complexo conjugado de dw/dz. Podemos reescrever a equação para o coeficiente de força ~CF como
~ CF = − 1 c Z A 1 − 1 U2 dw dz dw dz ~nds = 1 cU2 Z A dw dz dw dz ~ nds
Como A é imagem de C via o mapeamento z = f (ζ), temos que ds = |f0(ζ)|dσ = s dz dζ dz dζdσ. e que ~ n|A= |f0(ζ)|~n|C = s dz dζ dz dζ~n|C,
pois a transformada conforme preserva angulos, e o vetor normal a A é imagem do vetor normal a C vezes |f0(ζ)|, com ζ ∈ C. Então
~ n|Ads = ~n|C dz dζ dz dζdσ
Em relação ao circulo C, o vetor normal escrito em termos do sistema de coordenadas polar centrado em ζ0 pode ser escrito como ~n = cos θ + i sin θ e dσ = adθ, de modo que
~
nds = dz dζ
dz
dζ(cos θ + i sin θ)adθ = dz dζ dz dζ exp(iθ)adθ = −idz dζ dz dζ(exp(iθ)aidθ) = −idz dζ dz dζd(ζ − ζ0) = −idz dζ dz dζdζ
pois dζ = a exp(iθ)idθ ao longo do circulo C. Dessa forma, a equação para ~CF = Cx+ iCy pode ser reescrita em termos de uma integral ao longo do circulo C, como segue:
Cx+ iCy = −i 1 cU2 Z C dw dz dw dz dz dζ dz dζdζ
Necessitamos escrever a velocidade complexa dw/dz ao longo do aerofólio em termos da velocidade complexa dw/dζ ao longo do círculo. Então
dw dz = dw dζ dζ dz dw dz = dw dζ dζ dz
Substituindo-se estas expressões na equação para Cx+ iCy obtemos que
Cx+ iCy = −i 1 cU2 Z C dw dζ dζ dz dw dζ dζ dz dz dζ dz dζdζ = −i1 c Z C dw dζ dw dζ dζ
Como w = φ + iψ e ao longo do contorno do circulo ψ é constante, concluimos que dw = d(φ − iψ) = dφ = d(φ + iψ) = dw. Então, ao longo do circulo C temos que
dw dz =
dw dz
que nos permite escrever
Cx+ iCy = −i 1 cU2 Z C dw dζ 2 dζ (8)
Para podermos avaliar o integral acima necessitamos de (dw/dζ)2. A partir da equação (7) podemos escrever dw dζ = U exp(−iα) 1 −a 2exp(i2α) (ζ − ζ0)2 + i Γ 2π 1 ζ − ζ0 de modo que dw dζ 2 =U2exp(−i2α) 1 − 2a 2exp(i2α) (ζ − ζ0)2 +a 4exp(i4α) (ζ − ζ0)4 + iU exp(−iα)Γ π 1 ζ − ζ0 − Γ 2 4π2 1 (ζ − ζ0)2 + ia 2U exp(iα)Γ π 1 (ζ − ζ0)3
Vamos substituir a expressão acima para (dw/dζ)2 na equação (8). O único termo em (dw/dζ)2 que dará uma contribuição não nula é o termo proporcional a 1/(ζ − ζ
0), de modo que
Cx+ iCy = −i 1 cU2 Z 2π 0 iU exp(−iα)Γ π exp(−iθ) a a exp(iθ)i dθ = iexp(−iα)Γ cπU Z 2π 0 dθ = i2 exp(−iα)Γ cU = 2Γ cU (sin α + i cos α)
Note que a força de sustentação adimensional CL é ortogonal à corrente uniforme e a força de arrasto adimensional CD é na direção da corrente uniforme, como ilustrado abaixo.
x y A z 0 H U α plano z x C Cy C = CL F
Figura 18: Forças num aerofólio. Relação entre CL e os coeficientes Cx e Cy. Então podemos escrever
CD = < {exp(iα)(Cx+ iCy)} e CL= = {exp(iα)(Cx+ iCy)} de forma que CD = 0 CL= 2Γ cU (9)
Note que o valor da circulação ainda não foi determinado. A variação de CLcom relação ao angulo de ataque α aparecerá quando determinarmos o valor da circulação Γ, função do angulo de ataque α.
12
Momento Aerodinâmico
Vamos avaliar o momento arodinâmico que o fluido aplica no aerofólio em relação ao ponto z0, imagem do ponto ζ0, que é o centro do circulo no plano ζ, mapeado no aerofólio do plano z. O momento aerodinâmico adimensional é dado por
CM = − 1 c2 Z A Cp~r ∧ ~nds
onde ~r é o vetor posição dos pontos do contorno A do aerofólio, como ilustrado abaixo
y x plano z η ξ plano ζ θ ζ 0 a H H α α U U n dσ ds B C A n B z 0 r j i k
Figura 19: Mapeamento do circulo C de raio a e centro em ζ = ζ0 no plano ζ em aerofólio de contorno A no plano z. Ilustração no vetor ~r n o plano z.
Podemos escrever que ~r = (x − x0)~i + (y − y0)~j e o vetor ~n = nx~i + ny~j, de forma que
~
r ∧ ~n = [(x − x0)ny− (y − y0)nx]~k.
Então, o momento aerodinâmico adimensional é dado por:
CM = − 1 c2 Z A Cp[(x − x0)ny− (y − y0)nx]ds~k
Podemos escrever (x − x0)ny− (y − y0)nx = ={−(z − z0)(nx− iny)} e de acordo com a definição do coeficiente de pressão Cp, temos que a equação acima pode ser reescrita como
CM = = − 1 c2U2 Z A dw dz dw dz [(z − z0)(nx− iny)]ds ~k
Vamos utilizar a transformada conforme para escrever o integral acima em termos da integral equivalente sobre o circulo C no plano ζ, onde temos expressão explicita para a velocidade complexa dw/dζ. Temos que (z − z0) = f (ζ) − f (ζ0) e vamos relembrar da seção anterior que: dw dz = dw dζ dζ dz (nx− iny)ds = dz dζ dz dζ(nξ− inη)dσ = idz dζ dz dζd¯ζ
Então, a equação para CM assume a forma
CM = = − i c2U2 Z C [f (ζ) − f (ζ0)] dw dζ d ¯w d¯ζd¯ζ ~k
A superfície C do cilindro é uma linha de corrente, onde a função corrente assume valor contante. Como consequencia, podemos escrever
d ¯w
d¯ζd¯ζ = d ¯w = d(φ − iψ) = dφ = d(φ + iψ) = dw = dw
dζdζ. Então podemos escrever a equação para CM na forma
CM = = ( −i 1 c2U2 Z C [f (ζ) − f (ζ0)] dw dζ 2 dζ ) ~k (10)
Vamos agora substituir as expressões para (dw/dζ)2, dada pela equação (7), na equação (10), e vamos escrever
f (ζ) − f (ζ0) = (ζ − ζ0) + g(ζ)
onde g(ζ) assume a forma dada pela equação (6) exceto pelo termo (ζ − ζ0). O produto (dw/dζ)2[f (ζ) − f (ζ0)] fornece
dw dz 2 [f (ζ) − f (ζ0)] =U2exp(−i2α) (ζ − ζ0) − 2 a2exp(i2α) (ζ − ζ0) + a 4exp(i4α) (ζ − ζ0)3 +g(ζ) − 2a 2exp(i2α)g(ζ) (ζ − ζ0)2 + a 4exp(i4α)g(ζ) (ζ − ζ0)4 − Γ 2 4π(ζ − ζ0) + iΓU π exp(−iα) 1 − a 2exp(i2α) (ζ − ζ0)2 − Γ 2 4π g(ζ) (ζ − ζ0)2 + iΓU exp(−iα) π g(ζ) (ζ − ζ0) − a 2exp(i2α)g(ζ) (ζ − ζ0)3
O próximo passo é substituir a expressão acima na equação (10). Os únicos termos que contribuem para o integral são os termos proporcionais a 1/(ζ − ζ0) e o termo proporcional a g(ζ). Então temos que
CM = = −i 1 c2U2 Z C − 2U 2a2 (ζ − ζ0) − Γ 2 4π(ζ − ζ0) + U2exp(−i2α)g(ζ) a exp(iθ)idθ ~k = = 1 c2U2 Z 2π 0 −2a2U2− Γ 2 4π dθ + 4πa1U2exp(−i2α) ~k CM = = 2π c2 −2a2− Γ2 4π2U2 + 2a1exp(−i2α) ~k (11) Note que a constante a1 pode ser um número complexo. No caso da transformada de Joukowski, a1 = R2 é um número real. Nesse caso temos que:
CM = −
4πR2sin 2α
c2 ~k
Em um caso mais geral, podemos escrever a1 = R2exp(iµ), e o coeficiente do momento de caturro assume a forma
CM = −
4πR2sin(2α + µ)
c2 ~k (12)
onde R2 nesse caso é o módulo de a 1.
13
Hipotese de Joukowski
Seja H no plano ζ o ponto cuja imagem no plano z coincide com o bordo de fuga, como ilustrado abaixo.
y x plano z η ξ plano ζ z 0 H H α α U U C A a β ζ 0
Figura 20: Bordo de fuga no plano z como imagem do ponto H no plano ζ. Ilustração do ângulo β.
Se V (H)|ζ for o módulo da velocidade do escoamento no ponto H do plano ζ, e de V (H)|z for o módulo da velocidade do escoamento no bordo de fuga do aerofólio no plano z, temos que: V (H)|ζ = dw dζ ζ=H = dw dz × dz dζ z=H = V (H)|z dz dζ z=H
Agora, em um bordo de fuga afiado (em forma de quina ou cúspide) temos dz/dζ = 0. Se V (H)|z tiver de ser finito, então a equação acima implica que V (H)|ζ = 0. Em outras palavras, o ponto H no plano ζ tem de ser um ponto de estagnação do escoamento ao redor do circulo no plano ζ. A hipótese de Joukowski é que a circulação no escoamento ao redor de um aerofólio projetado de modo adequado, na faixa de angulos de ataque de trabalho do aerofólio, sempre se ajusta de maneira que o escoamento no bordo de fuga é finito.
Se adotarmos a hipótese de Joukowski, a circulação deve ser tal que o ponto H no plano ζ seja um ponto de estagnação. Podemos escrever as coordenadas para o ponto H como
ζ − ζ0 = a exp(−iβ)
onde β está definido na figura acima. Como o ponto H é ponto de estagmação, temos que:
dw dζ|ζ=H = U exp(−iα) 1 − a 2exp(i2α) (ζ − ζ0)2 + i Γ 2π 1 (ζ − ζ0) ζ=H = 0 que nos leva a:
i Γ
2πaexp(iβ) = −U exp(−iα) (1 − exp(i2(α + β)))
Γ = i2πaU exp(−i(α + β)) (1 − exp(i2(α + β))) = i2πaU [exp(−i(α + β)) − exp(i(α + β))] Γ = 4πaU sin(α + β)
(13)
Podemos ver que a circulação é função do angulo de ataque α de acordo com a equação (13).
14
Coeficiente de Sustentação
O coeficiente de sustentação foi obtido anteriormente em função da circulação Γ, que assume valor definido se adotarmos a hipótese de Joukowski. De acordo com essa hipótese, a circulação é dada de acordo com a equação (13) acima. Então, o coeficiente de sustentação, cujo valor em função da circulação é dado pela equação (9), pode ser escrito como
CL=
8πa sin(α + β)
c (14)
O angulo α + β é chamado angulo de incidencia absoluto e vamos denotá-lo por αa. O angulo de incidencia absoluto é o angulo entre o eixo I (veja figura acima) e a direção da corrente uniforme. Então podemos escrever
CL= 8πa
c sin αa
Para valores práticos de incidencia, αa é geralmente suficientemente pequeno de modo que sin αa= αa, e o gráfico é, portanto, uma linha reta, cujo gradiente é denotado por a0. Então
CL= a0αa.
O valor teórico de a0 é portanto 8πa/c e, em geral, c = 4a aproximadamente, de modo que
a0 = 2π
Se ao invés do angulo de incidencia absoluto, utilizarmos o angulo de incidencia ge-ométrico α, temos que
CL= a0(β + α).
A curva CL× α é uma reta com inclinação a0, e claramente vemos que CL é nulo para α = −β. Logo, αL=0 = −β é o angulo de ataque para o qual temos força de sustentação nula. Contatamos tambem que se a corrente uniforme for alinhada com o eixo I na figura acima, teremos força de sustentação nula. Devido a isso, o eixo I é tambem chamado de eixo de força de sustentação nula.
15
Linha da Ação da Força de Sustentação.
Vamos determinar a distancia da linha de ação da força de sustentação em relação ao ponto z0. A distancia d é medida sobre uma reta que passa pelo ponto z0 e é ortogonal a linha de ação da força de sustentação. Sabemos que a força de sustentação é ortogonal a direção da velocidade da corrente uniforme, logo a reta a ser utilizada para medirmos a distancia d é paralela ao vetor velocidade da corrente uniforme, como ilustrado abaixo.
y
z
0
H
U
α
plano z
A
d
x
C = C F
L
Figura 21: Linha de ação da força de sustentação e direção ao longo da qual a distancia d é medida.
Da mecânica temos a formula para mudança de polo do momento, dada por
~
MB = ~MC+ (C − B) ∧ ~R
onde ~R é o vetor resultante do sistema de forças, que no caso é a força de sustentação ~L. Avaliamos acima o coeficiente CM em relação ao ponto C, dado pela equação (12), de modo que podemos escrever
~ MC = 1 2ρU 2c2C~ M = −2πρU2R2sin(2α + µ) ~k (15)
~ L = 1
2ρU 2c ~C
L = 4πρU2a sin(α + β) ~q
onde ~q é vetor unitário ortogonal ao vetor velocidade da corrente uniforme, como ilustrado acima. Como |(C − B)| = d, temos que
(C − B) ∧ ~L = −4πρU2a sin(α + β)d ~k
Como o ponto B pertence à linha de ação da força de sustentação, temos que ~MB = 0, o que implica que
(C − B) ∧ ~L = − ~MC
Essa equação pode ser reescrita como
−4πρU2a sin(α + β)d = 2πρU2R2sin(2α + µ), de modo que
d = −R
2sin(2α + µ)
2a sin(α + β) (16)
No caso do aerofólio de Joukowski sem expessura e sem curvatura, temos que µ = 0, β = 0 e R = a. A equação acima fornece que
d = −a = −c 4.
Esse resultado implica que a linha de ação está uma distancia −c/4, medida ao longo da reta que passa por C e é ortogonal a linha de sustentação. Como C nesse caso coincide com a origem, podemos dizer que a linha de ação da força de sustentação está a uma distancia −c/4 do centro do aerofólio e a uma distancoia c/4 do bordo de ataque, como ilustrado abaixo.
y plano z x H F α F C = CL d = c/4 U B
Figura 22: Linha de ação da força de sustentação e direção ao longo da qual a distancia d é medida para fólio de Joukowskii sem espessura e sem curvatura. Ponto F é o bordo de ataque e ponto H é o bordo de fuga.
