Métodos de comparações múltiplas

Texto

(1)Universidade Estadual da Para´ıba Centro de Ciências e Tecnologia Departamento de Estat´ıstica. Carlos Pereira da Silva. M´ etodos de compara¸co ˜es m´ ultiplas. Campina Grande Dezembro 2011.

(2) Carlos Pereira da Silva. M´ etodo de compara¸ co ˜es m´ ultiplas Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao curso de Bacharelado em Estat´ıstica do Departamento de Estat´ıstica do Centro de Ciências e Tecnologia da Universidade Estadual da Para´ıba em cumprimento às exigências legais para obten¸cão do t´ıtulo de bacharel em Estat´ıstica.. Orientador:. João Gil de Luna. Campina Grande Dezembro 2011.

(3) FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA CENTRAL – UEPB. S587m. Silva, Carlos Pereira. Métodos de comparações múltiplas [manuscrito] / Carlos Pereira Silva. – 2011. 46 f. Digitado. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Estatística) – Universidade Estadual da Paraíba, Centro de Ciências e Tecnologia, 2011. “Orientação: Prof. Dr. João Gil de Luna, Departamento de Estatística”. 1. Estatística. ANOVA. I. Título.. 2. Comparações múltiplas.. 3.. 21. ed. CDD 519.5.

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(5) Dedicat´ oria Dedico este trabalho a minha mãe Zefinha por todo trabalho e esfor¸co dedicado a mim ao longo de toda a minha vida e minha trajetória acadêmica..

(6) Agradecimentos Primeiramente a Deus e ao Senhor Jesus que me capacitou e aben¸coou para a realiza¸cão deste trabalho; Aos meus familiares, em especial à minha querida mãe Zefinha que pelas ora¸c˜ oes, pelas palavras de apoio e carrinho, e por ter sempre acreditado em meu potencial; Ao meu irmão Ronaldo e minha cunhada L´ıvia; Aos meus amigos Dayana, Fernanda, Elisangela, Ivanildo em especial Tiago Almeida, Ricardo Alves e Ana Patr´ıcia que me ajudaram na concretiza¸cão deste trabalho; A minha querida amiga e colega de curso Patr´ıcia Correia pela gentileza despendida não só na universidade como fora dela; Ao meu orientador professor João Gil. A todos os professores com quem tive o prazer de conviver, em especial aos professores Onildo e Sá; Também aos professores que por algum motivo não acreditaram em meu potencial, pois alguns momentos precisamos de pessoas que duvidem das nossas capacidades, para justamente seguirmos em frente, visto que a capacidade não é medida pelo tempo que ela despende para chegar ao objetivo alcan¸cado, mas aos desafios que teve superar para chegar até o fim; Por fim, a Universidade Estadual da Para´ıba pelo aprendizado oferecido durante todo per´ıodo da minha gradua¸cão..

(7) “Os sonhos sem disciplina produzem pessoas frustradas que não transformam os sonhos em realidade.” Augusto Cury.

(8) Resumo A análise de variância (ANOVA) permite verificar a hipótese nula de igualdade entre médias populacionais e em caso de sua não aceita¸caõ, tem-se evidências de que existem diferen¸cas entre pelo menos uma das médias populacionais. Porém, esta análise não permite, em princ´ıpio, saber entre quais médias se registram estas diferen¸cas. Os testes de compara¸co˜es m´ ultiplas permitem investigar onde se encontram as diferen¸cas poss´ıveis entre k médias populacionais. O Objetivo deste trabalho foi demonstrar a teoria estat´ıstica existente nos testes de compara¸co˜es m´ ultiplas (t-Student, Bonferroni, Tukey, Duncan, SNK, Dunnett e Scheffé), indo além da aplica¸caõ de formulas, isto é, buscou-se demonstrar sua formula¸cão matemática e conceitual dos mesmos. Para isso, utilizou-se uma aplica¸cão por meio de um delineamento inteiramente ao acaso com 6 tratamentos sendo eles constitu´ıdo da variedade RB’s de cana-de-a¸cu ćar, onde os tratamentos (V1,V2,V3,V5,V6) foram modifica¸co˜es genéticas desta variedade com 4 repeti¸co˜es, foi realizada uma ANOVA para a variável em estudo Produtividade (t/ha), após a viola¸cão da hipótese nula de igualdade entre as médias, foram analisados os testes estat´ısticos: Os resultados encontrados indicaram que os testes não diferiram quanto a sua interpreta¸cão. PALAVRAS CHAVE: M´ edia de Popula¸c˜ oes, Os testes de compara¸co ˜es m´ ultiplas, igualdade entre as m´ edias.

(9) Abstract The analysis of variance (ANOVA) allows checking the null hypothesis of equality between population means and in case of non-acceptance, there are evidences that there are differences between at least one of the populations means. However, this analysis does not allow to know, in principle, which differences are recorded between these averages. The multiple comparison tests allow you to investigate where the possible differences between k population means are. The objective of this work was to demonstrate the statistical theory between the multiple comparison tests (t-Student, Bonferroni, Tukey, Duncan, SNK, Dunnett and Scheffé ), going beyond the application of formulas, that is, was sought to demonstrate their mathematical formulation and their concept. For this, was used an application through a completely randomized design with 6 treatments constituted by the variety RB’s of sugar cane, where the treatments (V1, V2, V3, V5, V6) were genetic modifications of this variety with 4 repetitions, was performed an ANOVA for the variable in Productivity study (t/ ha) after the violation of the null hypothesis of equality between the means, were analyzed the statistical tests: the results indicated that the tests did not differ in their interpretation. Key words: The multiple comparison tests, statistical heory, equality between the means.

(10) Sum´ ario. Lista de Tabelas 1 Introdu¸c˜ ao. p. 11. 2 Fundamenta¸c˜ ao te´ orica. p. 12. 2.1. Contraste de interesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 12. 2.2. Delineamento de experimento inteiramente ao acaso . . . . . . . . . . .. p. 13. 2.2.1. Modelo matemático e as hipóteses inicias para análise da variância p. 14. 2.3. Compara¸cões m´ ultiplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 15. 2.4. Método de compara¸caõ baseado na distribui¸caõ t-Student . . . . . . . .. p. 16. 2.4.1. Teste de Bonferroni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 20. Método da amplitude studentizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 22. 2.5.1. Método de Tukey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 23. 2.5.2. Teste de Duncan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 25. 2.5.3. Teste de Newman-Keuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 26. 2.5.4. Teste de Dunnett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 27. Método de Scheffé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 28. 2.5. 2.6. 3 Aplica¸c˜ ao 3.1. p. 30. Testes de compara¸caõ m´ ultiplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 31. 3.1.1. Teste t-Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 32. 3.1.2. Teste de Bonferroni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 33. 3.1.3. Teste Tukey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 34.

(11) 3.1.4. Teste Duncan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 35. 3.1.5. Teste Newman-Keuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 38. 3.1.6. Teste de Dunnett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 41. 3.1.7. Teste Scheffé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 42. Conclus˜ ao. p. 44. Referˆ encias. p. 45.

(12) Lista de Tabelas 1. Produ¸cão de cana-de-a¸cu ćar em t/ha da variedade RB’s modificada geneticamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2. Tabela da análise da variância para comparar as produ¸co˜es das seis variedades RB’s de cana-de-a¸cu ćar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. p. 38. Estimativa das médias das variedades e dos contrastes das médias duas a duas, a serem comparadas com a ∆(SN K) . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. p. 35. Estimativa das médias das variedades e dos contrastes das médias duas a duas, a serem comparadas com a ∆(Duncan) . . . . . . . . . . . . . . .. 7. p. 34. Estimativa das médias das variedades e dos contrastes das médias duas a duas, a serem comparadas com a ∆(T ukey) . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. p. 33. Estimativa das médias das variedades e dos contrastes das médias duas a duas, a serem comparadas com a ∆(Bonf erroni) . . . . . . . . . . . . .. 5. p. 31. Estimativa das médias das variedades e dos contrastes das médias duas a duas, a serem comparadas com a ∆(t−Student) . . . . . . . . . . . . . .. 4. p. 30. p. 41. Estimativa das médias das variedades e dos contrastes das médias duas a duas, a serem comparadas com a ∆(Schef f e) . . . . . . . . . . . . . . .. p. 43.

(13) 11. 1. Introdu¸ c˜ ao. Os procedimentos de compara¸cões m´ ultiplas são largamente utilizados em diversas a´reas da ciência. O assunto é tão vasto e importante que existem livros completos sobre estes métodos, in´ umeras revistas cient´ıficas contendo artigos que abordam direta ou indiretamente o tema e, ainda, existe uma grande quantidade de trabalhos que citam estes procedimentos (BIASE, 2006). A fundamenta¸cão teórica do delineamento de tratamento de um experimento, tal como os tipos de fatores envolvidos, é fundamental para as inferências do pesquisador, uma vez que, tendo pleno conhecimento da classifica¸caõ dos diferentes tipos de fatores quanto a` escala de medida e do tipo de distribui¸caõ das variáveis, as inferências sobre as popula¸cões podem ganhar acuidade e precisão. A motiva¸caõ que levou ao estudo do tema está centrada em dois aspectos importantes. Primeiro, pela importância do tema como um complemento fundamental da análise de variância e, o segundo, pela grande ausência de textos que abordem a teoria estat´ıstica que dar suporte a esses métodos. Neste sentido acredita-se que a elucida¸caõ teórica dos fundamentos dos métodos de compara¸co˜es m´ ultiplas de médias, de forma clara e simples, justificará a abordagem do tema, como também ajudará a outros interessados a conhecer com mais profundidade a teórica e a utilidade desses métodos. Este trabalho tem como finalidade apresentar os principais métodos de compara¸cões m´ ultiplas de médias bem como discutir a fundamenta¸caõ teórica que lhes dão suporte estat´ıstico. Dentre eles serão discutidos os seguintes testes: Bonferroni, Duncan, Dunnett, SNK, Scheffé, t-Student, Tukey, e sua aplica¸caõ em um experimento inteiramente ao acaso após constatado, pelo teste F, que os efeitos dos tratamentos sobre a variável resposta foram estatisticamente significativos, o que é equivalente a dizer que foi verificado pelo 0. teste F que existe ao menos um par de médias (µi , µi0 ), i 6= i que diferem estatisticamente entre si, e a utilidade dos testes de compara¸co˜es de médias é identificar corretamente quais médias diferem..

(14) 12. 2. Fundamenta¸ c˜ ao te´ orica. 2.1. Contraste de interesse. Os graus de liberdade de tratamento podem ser decompostos através de compara¸cões planejadas de acordo com o interesse do pesquisador em testar efeitos espec´ıficos do experimento. Desse modo, para os dados considerados, as compara¸cões podem ser constru´ıdas com o objetivo de testar os efeitos dos tratamentos. Tais compara¸cões podem ser feitas através da técnica de contrastes ortogonais (CORRENTE et al., 2001). Contrastes ortogonais são usados quando se tem interesse de fazer combina¸co˜es entre as médias dos n´ıveis de um fatore (ou tratamentos) de um experimento. O n´ umero de contrastes poss´ıvel de ser realizado é ser igual ao n´ umero de graus de liberdade total do experimento. Segundo Banzatto e Kronka (1989) esse n´ umero pode ser muito grande, dado esse fato deve-se elaborar os contrastes de maior interesse ao estudo. Quanto ao tipo de contrastes eles podem ser: i) Qualitativos em que o interesse está em comparar um grupo de efeito de tratamento com outro; ii) Quantitativos esses contrastes pode ser do tipo polinômios ortogonais. Os contrastes devem ser estabelecidos no planejamento do experimento, para que não haja um direcionamento intencional dos resultados. Esses contrastes podem ser estruturados ou não, ou seja, eles podem ou não ser contrastes ortogonais. Sabendo-se que para o uso dos contrastes não ortogonais é apenas indicado para alguns casos. Define-se um contraste como uma fun¸caõ linear estimável na forma. Ψ = c1 µ1 + c2 µ2 + · · · + cI µI =. I X. ci µ i ,. {i = 1, 2, ..., I. i=1. sendo ci o coeficiente a ser atribu´ıdo a µi a média do tratamento i, tal que. (2.1).

(15) 13. I X. ci = 0.. (2.2). i=1. Dois contrates Ψh = PI. i=1 chi ch0 i. PI. i=1 chi µi. e Ψh0 =. PI. i=1 ch0 i µi. com h 6= h0 , são ortogonais quando. = 0 com chi = (ch1 , ch2 , ..., chI ) e ch0 i = (ch0 1 , ch0 2 , ..., ch0 I ).. Quando o experimento é balanceado, isto é, se r1 = r2 = ... = rI = r e sendo que r é o n´ umero de repeti¸cões de tratamento. Cada contraste gera uma hipótese a ser testada e está associado a uma soma de quadrados com 1 grau de liberdade. A soma de quadrados para um contraste ψh é dada por PI. SQψh =. (. 2 i=1 chi yi. ) PI r i=1 c2hi. (2.3). P para h = 1, ..., I − 1, sendo que ψˆh = Ii=1 chi y¯i é um estimativa não tendenciosa de ψh .. Devido a` ortogonalidade dos contrastes ocorre que o. PI. i=1. SQΨh é a soma de quadrados. de tratamentos com (I − 1) graus de liberdade.. 2.2. Delineamento de experimento inteiramente ao acaso. Este tipo de delineamento experimental é o mais simples a ser aplicado em estudos de planejamento de experimento. Tem como caracter´ısticas a aleatoriza¸cão e a repeti¸caõ das parcelas, sendo um delineamento inteiramente casualizado supõe-se que as unidades experimentais onde vão ser alocadas aleatoriamente os tratamentos, são homogêneas. Não existem limita¸cões quanto ao n´ umero de repeti¸co˜es do experimento, quanto ao n´ umero de repeti¸co˜es por tratamento pode variar, porém o mais comum é que o n´ umero seja igual entre todos os tratamentos. Esse fato é comumente chamado de experimento balanceado. ´ indicado quando as condi¸co˜es existentes são homogenias e controladas. Outra vanE tagem está em havendo a` perda de uma parcela tem um menor efeito nos resultados do que os demais delineamentos. A desvantagem ao usar esse delineamento está ligada a perda de precisão, em caso de condi¸co˜es pré-experimento não serem atendidas, assim a estimativa do erro tende a aumentar bastante. Com exce¸cão das varia¸co˜es que ocorrem dados os efeitos dos tratamentos, todas as varia¸cões são atribu´ıdas aos efeitos do acaso..

(16) 14. Quanto ao n´ umero de graus de liberdade do res´ıduo (erro) é o maior entre todos os delineamentos, Levando em teoria, a` menor estimativa da variância do erro experimental, implicando em maior eficiência estat´ıstica.. 2.2.1. Modelo matem´ atico e as hip´ oteses inicias para an´ alise da variˆ ancia. O modelo matemático utilizado para descrever as observa¸co˜es, yij , de um experimento inteiramente casualizado é dado por:. yij = µ + τi + ij com.  . i = 1, 2, ..., I. . j = 1, 2, ..., J. sendo yij é o valor observado da variável resposta na j -ésima unidade experimental que recebeu o tratamento i ; µ é a média geral do experimento; τi é o efeito do i -ésimo tratamento sobre a variável resposta; ij é o erro associado a cada observa¸caõ yij . As suposi¸cões sobre a valida¸caõ do modelo para a análise de variância são: Aditividade: admitir que os efeitos dos fatores de tratamento sejam aditivos (somados); Independˆ encia: admite que os erros ij são independentemente distribu´ıdos isto é, E(ij rs ) = E(ij )E(rs ) = 0, para todo i 6= r ou j 6= s; Homocedasticidade: os erros ij possuem variância comum σ 2 , ou seja, σ12 = σ12 = ... = σI2 = σ 2 ; Normalidade: os erros ij são variáveis aleatórias com distribui¸caõ normal com média zero e variância σ 2 . Assim, considerando as três u ´ltimas suposi¸co˜es, conclui-se que os erros ij ’s são variáveis aleatórias independentemente e identicamente distribu´ıdas com iid. uma normal de média zero e variância comum, σ 2 e será denotada por ij ∼ (0; σ 2 )..

(17) 15. 2.3. Compara¸co ˜es m´ ultiplas. Para uma correta análise dos dados se faz necessário o conhecimento da natureza dos fatores estudados. De modo geral, os fatores podem ser classificados em qualitativos (espec´ıficos estruturados e não-estruturados, ordenados e amostrados) e em quantitativos. Fatores qualitativos estruturados são aqueles cujos n´ıveis podem ser classificados em grupos, cujas compara¸cões constituem o objetivo do trabalho e os fatores qualitativos não estruturados apresenta como objetivo compara¸co˜es entre todos os n´ıveis do fator, ou seja, todos contra todos (BERTOLDO et al., 2008). Na estat´ıstica experimental é bastante comum a compara¸cão das médias de tratamentos, que tem como ideia central provar se as médias de tratamentos são iguais, em outras palavras assume-se como verdade uma hipótese inicial de que não existe diferen¸ca entre as médias de tratamentos. Essa hipótese inicial é também chamada de hipótese nula H0 é formulado da seguinte maneira: H0 : µ1 = µ2 = ... = µI = µ Em estudos estat´ısticos em que há interesse de testar a eficiência para efeito de tratamento, o teste F é a ferramenta que a “priori”usa-se para testar se a hipótese H0 é verdadeira ou não. Sendo verdadeira, admiti-se que não houve efeito do tratamento sobre a variável de interesse, assim dize-se que as médias dos tratamentos não diferem estatisticamente entre si. Caso contrário, rejeita-se a hipótese H0 aceita-se que algum tratamento teve efeito sobre a variável de interesse e assim dize-se que pelo menos um par de médias de tratamento diferem estatisticamente entre si. Consequentemente ocorre a investiga¸cão sobre a que se devem as diferen¸cas, quais são as médias que diferem entre si. Apude (ANDRADE, 2008). Apesar da facilidade de aplica¸cão dos testes de compara¸co˜es m´ ultiplas, um aspecto que deve ser considerado quando se utilizam esses testes é a ambiguidade dos resultados. Esta ambiguidade decorre da possibilidade de que as médias de dois tratamentos, tidas como iguais a uma terceira, possam ser consideradas diferentes entre si. Este aspecto pode dificultar a interpreta¸cão dos resultados, particularmente em presen¸ca de muitos tratamentos (SANTOS, 2008). Para cada procedimento as conclusões são feitas com base na estimativa da diferen¸ca existente entre os pares de médias, comparadas com um valor cr´ıtico referente a cada.

(18) 16. método. Esse valor cr´ıtico é chamado de diferen¸ca m´ınima significativa (DMS), que é obtido através da padroniza¸caõ do erro padrão da diferen¸ca das medias entre os dois n´ıveis do fator. A diferen¸ca entre as médias observadas são estatisticamente significativa quando esse valor for maior que o valor cr´ıtico sugerido pelo teste em uso. Os testes de compara¸co˜es m´ ultiplas mostram quais n´ıveis de tratamentos são ou não significativos, e de forma direta quem é o maior quando há significância. Vale frisar que, um par média de tratamentos que foi estatisticamente significativo para um teste pode não ser para outro, a significância não é determinada pelos dados, mas sim pelo método de compara¸cão m´ ultipla aplicado. Segundo Andrade (2008), existem alguns problemas relacionados aos procedimentos de compara¸co˜es m´ ultiplas quando são realizadas duas a duas. Tais problemas são: i) N´ umero de Compara¸co˜es: dado que são realizadas duas a duas sendo assim se o n´ umero de fatores ou parâmetros aumenta o n´ umero de compara¸cões cresce; ii) Significância fixa: o fato da significância ser constante dá uma ambiguidade aos resultados; iii) Ambiguidade: causa problema no que se refere a` interpreta¸caõ dos resultados. Outro problema ligado aos testes de compara¸co˜es m´ ultiplas é a má aplica¸caõ dos mesmos, isso pode comprometer o estudo parcialmente ou totalmente. Cada método tem sua particularidade, desta forma deve-se escolher o método dependendo das caracter´ısticas do experimento. Pode-se, ainda, procurar métodos que sejam robustos a algumas viola¸co˜es básicas dos pressupostos necessários para a aplica¸caõ de um procedimento de compara¸caõ m´ ultipla, tais como, normalidade e homogeneidade de variâncias (ANDRADE, 2008).. 2.4. M´ etodo de compara¸ c˜ ao baseado na distribui¸ c˜ ao t-Student. Os testes de compara¸cão de médias mais usados baseia-se na distribui¸cão t-Student, o interesse está em comparar pares para I efeitos de tratamentos, ou seja, verificar as hipóteses. H0 : µi = µi0. vs. H1 : µi 6= µi0 ,. 0. i 6= i. Sabendo que yij segue uma distribui¸caõ normal e que y¯i é uma combina¸caõ linear de yij e que toda combina¸caõ linear de variáveis aleatórias normais, também segue uma.

(19) 17. distribui¸caõ normal, assim y¯i é normal. Agora, pode-se encontrar as caracter´ısticas da distribui¸caõ. Isto é, y¯i =. ri ri ri ri X 1X 1 1X 1X yij = (ri µ + ri τi + ij ) = µ + τi + ij = µi + ij ri j=1 ri ri j=1 ri j=1 j=1. (2.4). sendo que: ri corresponde ao n´ umero de repeti¸co˜es; E(¯ yi ) = µi , uma vez que E(ij ) = 0 2. . 2. V ar(¯ yi ) = E [¯ yi − (¯ yi )]. ri 1X ij − = E  µi + µi  ri j=1. 2. . ri 1X 1 = E ij  = 2 E [i1 + i2 + ... + iri ]2 ri j=1 ri. i 1 h2 2 2 E + + ... + + dp i1 i2 iri ri2 1 = 2 ri σi2 ri σ2 V ar(¯ yi ) = ri. =. (2.5). sendo que, dp são os duplos produtos Portanto, conclui-se que a média amostral relativa ao i -ésimo tratamento, segue uma iid. distribui¸caõ normal com média µi e variância σ 2 /r e será denotada por y¯i ∼ N (µi ; σ 2 /ri ). Por outro lado, tem-se que r. y¯i − y¯i0. 0 ri i 1X 1 X = µi + ij − µi0 − 0 ri j=1 ri0 j=1 i j. n. 0 ri i 1X 1 X = µi − µi + ij − 0 ri j=1 ri0 j=1 i j 0. E(¯ yi − y¯i0 ) = µi − µi0. (2.6). V ar(¯ yi − y¯i0 ) = E [¯ yi − y¯i0 − E(¯ yi − y¯i0 )]2 . r. 2. 0 ri i 1X 1 X y 0 + = E  y¯i −y¯ − 0 − (¯ y ¯i0 ) ij i− i ri j=1 ri0 j=1 i j . ". 1 1 = E 2 (2i1 + 2i2 + ... + 2iri + dp) + 2 (2i0 1 + 2i0 2 + ... + 2i0 r 0 + dp) i ri ri0. #.

(20) 18. 1 ri σ 2 ri2 i 1 1 V ar(¯ yi − y¯i0 ) = 2 ri σ 2 + 2 ri σ 2 = ri ri0 =. 1 1 + ri ri0. !. σ2. (2.7). Além disso, y¯i − y¯i0 é uma combina¸cão linear de var´ıaveis aleatórias normais e conforme foi dito que, combina¸cão linear de var´ıaveis aleatórias normais é também normal, então conclui-se que: 1 1 y¯i − y¯i0 ∼ N µi − µi0 ; + ri ri0. !. !. σ2. e segue que. Z=. y¯i − y¯i0 − (µi − µi0 ) s. 1 ri. +. 1 r0. . ∼ N (0; 1). σ2. i. Dado que σ 2 é desconhecido, tem-se que T =. y¯i − y¯i0 − (µi − µi0 ) s. 1 ri. +. 1 r0. . ∼ t(υ). (2.8). S2. i. sendo υ o n´ umero de graus de liberdade associado a S 2 = QM Res. Portanto, sob H0 : µi = µi0 (ou H0 : µi − µi0 = 0) a estat´ıstica T = s. y¯i − y¯i0 1 ri. +. 1 r0. . ∼ t(υ). (2.9). S2. i. Da´ı, para um dado n´ıvel de significância α, rejeita-se H0 em favor de H1 : µi 6= 0. 0. µi , ∀ i 6= i , se. |¯ yi − y¯i0 | > t(υ;1−α/2) T = s 1 1 2 + r0 s ri. (2.10). i. Um procedimento muito usado para realizar compara¸co˜es m´ ultiplas é a diferen¸ca m´ınima significativa(DMS). Fisher em 1935 propôs um método de compara¸caõ m´ ultipla que consiste em testar hipóteses para os pares de médias baseando na distribui¸cão t-Student. Esse método é usado apenas quando a hipótese H0 : µ1 = µ2 = ... = µI = µ é rejeitada através da análise de variância. Sob H0 : µ1 = µ2 = ... = µI = µ, e considerando-se a expressão.

(21) 19. (2.10) tem-se a estat´ıstica de teste é dada por: t = s. y¯i − y¯i0 1 ri. +. 1 r0. . (2.11) s2. i. Essa estat´ıstica segue os pressuposto do modelo yij = µ + τi + ij e segue uma distribui¸caõ t-Student com υ graus de liberdade. A estat´ıstica de teste para. I 2. =. I(I−1) 2. pares de médias é baseada na DMS (Diferen¸ca. M´ınima Significativa) obtida do intervalo de confian¸ca para o contraste entre duas médias, Ψh = µi − µi0 a qual é dada por: s. DM S(t−Student) = t(υ;α/2) s2. . 1 1 + , ri ri0 . (2.12). sendo que s2 = QM Res. Se o experimento for balanceado, então tem-se s. DM S(t−Student) = t(υ;α/2). 2s2 r. (2.13). sendo υ o n´ umero de graus de liberdade associado ao res´ıduo; ri e ri0 o n´ umero de repeti¸cões dos tratamentos envolvido no contraste. Regra de decis˜ ao: rejeita-se a hipótese H0 : µi = µi0 em favor da hipótese H1 : µi 6= µ 0 , Se |ψˆh | ≥ DM S(t−Student) . i. Conclus˜ ao: Se |¯ yi − y¯i0 | ≥ DM S(t−Student) , rejeitamos a hipótese de que as médias µi e µi0 são iguais e conclui-se, ao n´ıvel de significância α que as médias diferem estatisticamente. Segundo Leal (1998) existe a possibilidade de usar intervalo de confian¸ca para diferenciar as médias dos tratamentos, baseada no seguinte argumento

(22) 

(23)

(24)

(25)  

(26)

(27)   

(28)

(29) y¯ − y¯ 0 − (µ − µ 0 )

(30)

(31) i i i

(32) P r 

(33)

(34) s i

(35) 

(36)

(37)  1 1 2 

(38)

(39) + r0 S 

(40)

(41) ri i. ≤ t(υ;α/2).           . =1−α.

(42) 20      . P r t(υ;α/2) ≤. y¯i − y¯i0 − (µi − µi0 ).       . P r (¯ yi − y¯i0 ) − t(υ;α/2). v u u t. 1 1 + ri ri0. s. 1 ri. +. 1 r0. . ≤ t(υ;α/2).      . =1−α.     . S2. i. !. S 2 ≤ −(µi − µi0 ) ≤ (¯ yi − y¯i0 ) + t(υ;α/2). sendo. s. DM S = t(t−Student) (υ; α/2). v u u t. 1 1 + ri ri0. !. S2. 1 1 + s2 ri ri0 . P r {(¯ yi − y¯i0 ) − DM S ≤ (µi − µi0 ) ≤ (¯ yi − y¯i0 ) + DM S} = 1 − α IC(µi − µi0 )100(1−α)% = [(¯ yi − y¯i0 ) − DM S; (¯ yi − y¯i0 ) + DM S]. (2.14). Neste caso, se o intervalo de confian¸ca contiver a origem é um indicador da aceita¸caõ de H0 : µi − µi0 = 0, ao n´ıvel de α de significância. Caso contrário, rejeita-se H0 .. 2.4.1. Teste de Bonferroni. O método Bonferroni é usado para neutralizar problemas de compara¸caõ m´ ultipla. Parte do princ´ıpio de que se deseja testar h hipóteses dependentes ou independentes em uma amostra. Para o método de Bonferroni se estabelece um n´ıvel α de significância que é distribu´ıdo entre as poss´ıveis compara¸co˜es. As compara¸co˜es formuladas baseiam-se na desigualdade de Bonferroni: Pr. M [. !. Am ≤. m=1. M X. P r(Am ). (2.15). m=1. Sendo A é um evento qualquer associado a uma (σ-álgebra). Uma caracter´ıstica do teste é manter a taxa de erro “FamilyWise 1 ”, que seria testar as hipóteses individualmente ao n´ıvel de significância α/n, o objetivo é que o n´ıvel de significância para o conjunto de hipóteses seja no máximo α. Sendo estatisticamente significativas quer dizer que é improvável que um determinado resultado tenha ocorrido devido ao acaso, assumindo que H0 é realmente verdadeira. Deseja-se estimar intervalos para as M =. I 2. compara¸co˜es poss´ıveis e sempre cada. ∗. uma ao n´ıvel de significância α = α/M . Isto dar origem a M intervalos de confian¸ca que contém cada uma das poss´ıveis diferen¸cas Ψi = µi − µi0 com probabilidade de (1 − α∗ ). 1´. E a probabilidade de descobrir que cometeu uma ou mais vezes o erro tipo I entre todas as hipóteses..   . = 1−α.

(43) 21. Seja Cm o m-ésimo intervalo que deve ser: P r [Ψm = µ1m − µ2m ∈ Cm ] = 1 − α∗. m = 1, 2, ..., M. (2.16). sendo que µ1m e µ2m a primeira e a segunda média da compara¸caõ correspondente, onde assumi-se que 1 ≤ 1m < 2m ≤ I. Aplicando-se a desigualdade de Bonferroni tem-se que Pr. M \. !. Cm = 1 − P r. m=1. M [. M X. !. C¯m ≥ 1 −. m=1. P r(C¯m ) = 1 −. m=1. M X. α∗. (2.17). m=1. sendo C¯m o complementar de do intervalo Cm . Segundo Leal e Porras (1998) para garantir que o n´ıvel de significância α seja o mesmo para as M compara¸co˜es em pares, o n´ıvel de confian¸ca será pelo menos (1 − α) para o conjunto de compara¸cões, por pares, o n´ıvel de confian¸ca (1 − α) para o conjunto de intervalos, basta tomar: α∗ =. α M. Sendo assim a probabilidade de que todos os intervalos Cm contenha a diferen¸ca entre as médias Ψm , será de pelo menos (1 − α) e os intervalos serão na forma s 2 α y¯1m − y¯2m ± t( 2M ;υ) s. . 1 1 + rm rm0. (2.18). s. 1 1 2 α ψˆm ± t( 2M + ;υ) s rm rm0. (2.19). sendo ψˆm a diferen¸ca entre as médias y¯m − y¯m0 , rm e rm0 os tamanhos amostrais que correspondem as estimativas de medias y¯m e y¯m0 respectivamente. A hip´ otese de interesse ´ e dada por H0 : µm = µm0. vs. H1 : µm 6= µm0. Estat´ıstica de teste Quando o experimento é não balanceado a DMS é α DM S(Bonf erroni) = t( 2M ;υ). v u u t. !. 1 1 + 0 s2 . rm rm. (2.20). No caso do experimento ser balanceado a DM S conhecida será a mesma para todas.

(44) 22. as compara¸co˜es s α DM S(Bonf erroni) = t( 2M ;υ). 2s2 r. (2.21). sendo que: rm é o n´ umero de repeti¸cões de cada efeito de tratamento; α t( 2M e o valor critico da distribui¸cão t; ;n−I) ´. n − I é n´ umero de graus de liberdade do res´ıduo. Regra de decis˜ ao: rejeita-se a hipótese H0 : µm = µm0 em favor da hipótese H1 : µm 6= µm0 , Se |ψˆm | ≥ DM S(Bonf erroni) . Conclus˜ ao: se |¯ ym − y¯m0 | ≥ DM S(Bonf erroni) , rejeita-se a hipótese de que as médias µm e µm0 são iguais e conclui-se, ao n´ıvel α de significância, que as médias diferem estatisticamente.. 2.5. M´ etodo da amplitude studentizada. Segundo Leal e Porras (1998) os contrastes que se baseiam na distribui¸caõ da amplitude studentizada sendo sua defini¸caõ dada em rela¸caõ ao n´ umero de grupos que serão comparados e dos graus de liberdade do estimador da variância do erro. Os testes que são baseados na distribui¸cão da amplitude studentizada são iguais ao teste de Bonferroni que permite superar dificuldades que surgem ao se aumentar o n´ umero de grupos a ser comparado e que não é capaz de controlar a rejei¸caõ da hipótese H0 , dado que é verdadeiramente falso. Os métodos de modo geral são conservadores, a saber, a probabilidade real de rejeitar a hipótese inicial, quando é verdadeira, é menor que o n´ıvel de significância α fixado. Para definir a amplitude studentizada, suponha-se que se dispõe de I observa¸cões independente y1 , y2 , ..., yI de uma distribui¸cão normal N ∼ (µ; σ 2 ), e também que dispõese do estimador da variância S 2 com υ graus de liberdade que são independentes dos yi . Sendo R a amplitude do conjunto de observa¸cões. R = M ax(yi ) − M in(yi ) Sob esta condi¸cão se define o amplitude studentizada como,. (2.22).

(45) 23. M ax(yi ) − M in(yi ) S. 2.5.1. (2.23). M´ etodo de Tukey. Este procedimento foi primeiro usado para modelos univariados e equilibrados que consiste em construir intervalos de confian¸ca para todas as poss´ıveis combina¸co˜es de pares de I n´ıveis com uma confian¸ca de 1 − α. Para constru¸caõ desse intervalo foi considerado os I desvios na forma (¯ y1 − µ1 ), (¯ y2 − µ2 ), ..., (¯ yI − µI ), sendo esses desvios variáveis aleatórias distribu´ıdas como N ∼ (0, σ 2 /n) e sendo S 2 /n o estimador de σ 2 /n e independente para cada desvio. Então da defini¸caõ da amplitude studentisada, tem-se que M ax(¯ yi − µi ) − M in(¯ y i0 − µi0 ) q. S2 n. ,. (2.24). segue uma distribui¸cão de probabilidade conhecida por distribui¸caõ da amplitude total studentizada de Tukey, com I médias a serem comparadas e (n − I) graus de liberdade dos res´ıduos, a qual é denotada por: M ax(¯ yi − µi ) − M in(¯ y i0 − µi0 ) q. S2 r. ∼ q[I,n−I] ,. (2.25). sendo M ax(¯ yi − µi ) o maior desvio entre as médias dos tratamentos; M in(¯ yi0 − µi0 ) o menor desvio entre as médias dos tratamentos; υ os graus de liberdade associado ao res´ıduo. Em seguida, verifica-se que   M ax(¯ yi. Pr  . . − µi ) − M in(¯ y i0 − µi0 ) . 1 2. S r. 2. . ≤ q[I,n−I]  =1−α. (2.26). Se considerar todas as desigualdades para os pares de médias dos tratamentos, tem-se |(¯ yi − µi ) − (¯ yi0 − µi0 )| ≤ M ax(¯ yi − µi ) − M in(¯ y i0 − µi0 ). (2.27).

(46) 24. Então tem-se que 

(47)

(48)

(49) 

(50) (¯ yi  P r 

(51)

(52)

(53)

(54).

(55)

(56)

(57) 0 0 − µi ) − (¯ yi − µi )

(58)

(59) 2 1

(60) 2

(61) S

(62) r.  . ≤ q[I,n−I,α]   = 1 − α,. (2.28). sendo incluindo todos os I(I − 1)/2 pares de compara¸co˜es entre os tratamentos e υ é igual ao n´ umero de graus de liberdade do erro quadrado médio

(63)

(64)

(65)

(66) (¯ y

(67) i

(68)

(69)

(70).

(71)

(72)

(73) − µi ) − (¯ yi0 − µi0 )

(74)

(75) 2 1

(76) 2

(77) S

(78) r. q[I;υ;α] ≤ S2 r. q[I;υ;α]. s. q[I;υ;α]. ≤ q[I,n−I,α]. (¯ yi − µi ) − (¯ yi0 − µi0 ) . S2 r. 1. ≤ q[I;υ;α]. 2. !1. S2 r. 2. ≤ (¯ yi − µi ) − (¯ yi0 − µi0 ) ≤ q[I;υ;α]. !1. 2. s. S2 S2 ≤ (¯ yi − µi ) − (¯ yi0 − µi0 ) ≤ q[I;υ;α] r r. sendo q[I;υ;α]. v u u t. !. S2 , sendo S 2 = QM Res. r. DM S ≤ (¯ yi − µi ) − (¯ yi0 − µi0 ) ≤ DM S Portanto, (¯ yi − y¯i0 ) − DM S ≤ (−µi + µi0 ) ≤ DM S + (¯ yi − y¯i0 ) ou (¯ yi − y¯i0 ) − DM S ≤ (µi − µi0 ) ≤ DM S + (¯ yi − y¯i0 ) Conclus˜ ao: se o intervalo não contém o zero, então conclui-se que as médias diferem estatisticamente entre si. Hip´ otese de teste ´ e: H0 : µi = µi0. vs. H1 : µi 6= µi0 ,. i 6= i. 0. No experimento não balanceado para aplicar o teste de Tukey realiza-se um ajuste onde r é substitu´ıdo pela a média harmônica rh , ou seja, rh = Pr. n. 1 i=1 ri. =. 1 ri. 2 +. 1 ri0. (2.29).

(79) 25 s. DM S = q[α;I;υ] DM S =. v u u q[α;I;υ] u t s. DM S = q[α;I;υ]. s2 rh s2 2 1 + r1 ri i0. s2 2. . 1 1 + ri ri0. . Regra de decis˜ ao: rejeita-se a hipótese H0 : µi = µi0 em favor da hipótese H1 : µi 6= µ 0 , se |ψî | ≥ DM S(T ukey) . i. Conclus˜ ao: se |¯ yi − y¯i0 | ≥ DM S(T ukey) , rejeita-se a hipótese de que as médias µi e µi0 são iguais e conclui-se, ao n´ıvel de significância α, que as médias diferem estatisticamente. Obs.: segundo Pimentel-Gomes (2009) o teste de Tukey pode ser usado para avaliar contrastes mais complicados.. 2.5.2. Teste de Duncan. O teste de Duncan que também baseia-se na amplitude studentizada, mas diferenciase porque ele usa essa amplitude de uma forma sequencial onde não existe um u ńico valor para realizar as compara¸co˜es. Segundo Banzatto e Kronka (1989) os resultados obtidos pelo teste de Duncan descriminam com mais facilidade entre os efeitos de tratamentos e também é menos rigoroso do que Tukey, em outras palavras ele mostra significância onde Tukey não mostra. Ele tem a caracter´ıstica de ser exato quando o n´ umero de repeti¸co˜es dos tratamentos são iguais e apenas aproximado quando o n´ umero é diferente. Ele é mais trabalhoso, uma vez que é preciso calcular várias diferencias m´ınimas significativas (DM S). Os contrastes testados envolvem apenas um par de média, sabendo que a amplitude do contraste pode ter um n´ umero maior de médias. Em um conjunto de I médias elas são ordenadas de forma decrescente e após isso verifica-se a maior e a menor média são ou não significativas, sendo não significativo o par de médias, todas as médias contidas neste intervalo também serão não significativas. Da mesma forma sendo significativo as médias contidas no intervalo também serão significativas para a DM S calculada e, sendo assim, calcula-se uma nova DM S e continua a verificar se as (I − 1) médias do intervalo são significativas. A nova compara¸cão agora.

(80) 26. é feita com a menor média com a segunda maior, caso ainda seja significativo calcula-se uma nova DM S e continua novamente o processo de compara¸caõ até realizar todas as compara¸co˜es poss´ıveis ou um contraste a ser não significativo. Hip´ otese de teste: H0 : µi = µi0. vs. 0. H1 : µi 6= µi0 ,. i 6= i = 1, 2, ..., I. Estat´ıstica de teste: Partimos do princ´ıpio que o n´ umero de repeti¸co˜es pode ser diferente entre os fatores de tratamentos DM S (Duncan) = q(g;υ;α). v u u t. 1 1 + ri ri0. !. s2 2. (2.30). Generalizando para quando o n´ umero de observa¸co˜es entre os fatores de tratamentos são iguais s. s2 (2.31) r Regra de decis˜ ao: rejeita-se a hipótese H0 : µi = µi0 em favor da hipótese H1 : µi 6= µi0 , se |ψˆh | ≥ DM S(Duncan) . DM S (Duncan) = q(g;υ;α). Conclus˜ ao: se |¯ yi − y¯i0 | ≥ DM S(Duncan) , rejeita-se a hipótese de que as médias µi e µi0 são iguais e conclui-se, ao n´ıvel de significância α, que as médias diferem estatisticamente entre si.. 2.5.3. Teste de Newman-Keuls. Esse método desenvolvido por Newman e ampliado por Keuls é uma forma de solucionar problemas relacionados a`s compara¸cões quando existe mais de dois efeitos de tratamento envolvidos. Para aplica¸caõ ele usa a mesma metodologia do teste de Duncan. Em um conjunto de I médias elas são colocadas em ordem decrescente e então verifica-se a diferen¸ca entre a maior e a menor média que é significativa, detectado que é não significante, todas as diferen¸cas entre as médias do intervalo também serão não significantes. Para cada contraste a ser testado apenas um par de médias é usado para ser comparado com a estat´ıstica de teste, porém a amplitude do contraste pode possuir um n´ umero maior de médias sobre as quais deseja-se concluir..

(81) 27. Apesar de muito similar ao teste de Duncan, o método de Newman-Keuls utiliza a tabela da amplitude studentizada para o cálculo da diferencia m´ınima significativa (DMS). Hip´ otese de teste: H0 : µi = µi0. vs. H1 : µi 6= µi0 ,. 0. 0. ∀i 6= i i, i = 1, 2, ..., I. Estat´ıstica de teste: Partindo do principio de que o experimento é não balanceado temos: DM S(SN K) = q(p;υ;α). v u u 1 t. ri. +. 1 s2 ri0 2. (2.32). Generalizando para um experimento balanceado temos: s. DM S(SN K) = q(p;υ;α). s2 r. (2.33). Regra de decis˜ ao: rejeita-se a hipótese H0 : µi = µi0 em favor da hipótese H1 : µi 6= µ 0 , se |ψˆh | ≥ DM S(SN K) . i. Conclus˜ ao: se |¯ yi − y¯i0 | ≥ DM S(SN K) , rejeita-se a hipótese de que as médias µi e µi0 são iguais e conclui-se, ao n´ıvel de significância α, que as médias diferem estatisticamente entre si.. 2.5.4. Teste de Dunnett. O teste de Dunnett é usado quando existe interesse apenas em realizar compara¸cões entre as médias dos tratamentos com a média da testemunha (Controle), não havendo interesse de testar as diferen¸cas entre as demais médias de tratamentos. Os contrastes podem ser formados com mais de duas médias por compara¸cão, desde que o contraste seja sempre realizado em rela¸caõ à testemunha. ψˆh = y i − y c. h = 1, 2, ..., (I − 1). Hip´ otese de teste: H0 : µc = µi vs H1 : µc 6= µi , sendo µc a média da testemunha.. i = 1, 2, ..., (I − 1). (2.34).

(82) 28. O teste de Dunnett é uma modifica¸cão do teste t-Student para um caso particular, para cada hipótese formulada calcula-se uma nova diferen¸ca m´ınima significativa. Estat´ıstica de teste: s. DM S(Dunnett) = q(α;I−1;υ). 1. ri. +. 1 2 s rc. (2.35). Regra de decis˜ ao: rejeita-se a hipótese H0 : µi = µc em favor da hipótese H1 : µi 6= µc , se |ψˆh | ≥ DM S(Dunnett) . Conclus˜ ao: se |¯ yi − y¯c | ≥ DM S(Dunnett) , rejeita-se a hipótese de que as médias µi e µc são iguais e conclui-, ao n´ıvel de significância α, que as médias diferem estatisticamente entre si.. 2.6. M´ etodo de Scheff´ e. O teste de Scheffé é um teste mais versátil já que dá a possibilidade de realiza¸caõ de ´ mais utilizado para realizar compara¸co˜es entre qualquer tipo de contraste de médias. E grupos de médias. Tem como caracter´ıstica não ser preciso que os contrastes sejam ortogonais e também não ser necessário que os contrastes sejam estabelecidos antes de examinar os dados. Deve apenas ser aplicado quando ao usar o teste F a hipótese de igualdade das médias for rejeitada. Caso contrario, não haverá contraste de médias estatisticamente significativas. Segundo Pimentel (2009) mesmo quando a hipótese de igualdade das médias é rejeitada, a em certo n´ıvel significância α, pode ocorre que ao tentar identificar os contrastes responsáveis pela rejei¸cão de H0 , aqueles que apresentam significância estat´ıstica não são de interesse pratico. O teste de Scheffé é um conjunto de contrastes na forma, Ψh =. I X. ai µ i ,. i=1. que teria como objetivo testar para cada um dos contrastes a hipótese: H0 : ψˆh = 0. vs. H1 : ψˆh 6= 0. (2.36).

(83) 29. Estat´ıstica de Teste: q. DM S (Scheffé) = S(ψˆh ) (I − 1)F(α;I−1;υ) ou. s. DM S (Scheffé) =. (I − 1)F(α;I−1;υ). X ci 2. ri. QM Res. (2.37). (2.38). Regra de decis˜ ao: rejeita-se a hipótese H0 : ψˆh = 0 em favor da hipótese H1 : ψˆh 6= 0, se |ψˆh | ≥ DM S(Schef f e) . Conclus˜ ao: se |¯ yi − y¯i0 | ≥ DM S(Schef f e) , rejeita-se a hipótese de que as médias µi e µi0 são iguais e conclui-se, ao n´ıvel de significância α, que as médias diferem estatisticamente. Mas o método de Scheffé baseia-se na constru¸caõ de intervalos de confian¸ca para todos os poss´ıveis contrastes que possa ser formado. O n´ıvel de confian¸ca para os intervalos é simultâneo, ou seja, a probabilidade de que todos os intervalos sejam corretos simultaneamente é igual a (1 − α). Demonstra¸caõ de Scheffé para a expressão dos intervalos de confian¸ca q. IC (Schef f e) = ψˆh ± S(ψˆh ) (I − 1)F(α;I−1;υ). (2.39). sendo que P • ψˆh é o estimador não viesado de Ψh = Ii=1 ai µi ;. • S(ψˆh ) é o estimador do desvio padrão do contraste. s. S(ψˆh ) =. X ci 2 sˆ2. (2.40). ri. sendo que sˆ2 é variância do res´ıduo com (n − I) graus de liberdade. Para testar a hipótese H0 para um contraste de interesse através de intervalo de confian¸ca para Ψh temos q. q. IC (Schef f e) = ψˆh − S(ψˆh ) (I − 1)F(α;I−1;υ) ; ψˆh + S(ψˆh ) (I − 1)F(α;I−1;υ). (2.41). não incluindo o zero, diz-se. q. ψˆh > S(ψˆh ) (I − 1)F(α;I−1;υ). (2.42).

(84) 30. 3. Aplica¸ c˜ ao. Para a devida aplica¸cão dos testes referidos no trabalho em questão, foi utilizado um experimento de cana-de-a¸cu ćar da Esta¸caõ Experimental do munic´ıpio de Carpina − PE, no qual o pesquisador em melhoramento genético observa a produ¸cão em t/ha cana de a¸cu ćar de seis variedades RB´s. As produ¸cões em t/ha são apresentadas na Tabela 1. Tabela 1: Produ¸caõ de cana-de-a¸cu ćar em t/ha da variedade RB’s modificada geneticamente Variedades Repeti¸caõ Total Média 1 2 3 4 (yi. ) (¯ yi. ) V1 V2 V3 V4 V5 V6. 110,8 99,1 98,2 96,3 98,4 88,5. 104,6 98,1 97,2 97,3 97,3 89,5. Total. -. -. 105,7 109,2 97,1 99,3 96,2 96,7 95,2 97,9 97,4 100,5 90,4 87,1 -. -. 430,3 393,6 388,3 386,7 393,6 355,5. 107,575 98,400 97,075 96,675 98,400 88,875. 2348. 97,833. C´ alculo das Soma de quadrados: Cálculo do fator de corre¸cão C: C=. y.. n. =. (2348)2 24. = 229712, 6667. Cálculo da soma dos quadrados totais:. SQT OT AL =. IR X. 2 yir −C. i,r. =. h. i. (110, 8)2 + (104, 6)2 + ... + (90, 4)2 + (87, 1)2 − 229712, 6667. = 758, 3533.

(85) 31. Cálculo da soma dos quadrados dos tratamentos:. SQT rat. =. PI 2 y i. i.. r. −C. i 1h (430, 3)2 + (393, 6)2 + ... + (393, 3)2 + (355, 5)2 − 229712, 6667 4 = 710, 8433. =. Cálculo da soma dos quadrados dos res´ıduos:. SQRes. = SQT OT AL − SQT rat. = 758, 3533 − 710, 8433 = 47, 51. Tabela 2: Tabela da análise da variância para comparar as produ¸co˜es das seis variedades RB’s de cana-de-a¸cu ćar. F. Varia¸c˜ ao. G.l.. SQM. QM. F. Tratamento Res´ıduo. 5 18. 710,8433 47,51. 142,1687 2,6394. 53, 86∗ -. Total. 23. 758,3533. -. -. Decis˜ ao: como o valor calculado de F é maior que o valor tabelado de F[5;18;0,05] = 2, 66 que é , então, rejeita-se a hipótese de igualdade dos tratamentos. Com isso, concluise que existe pelo menos um par de médias que diferem estatisticamente e segue a análise com o processo de compara¸cão m´ ultipla.. 3.1. Testes de compara¸ c˜ ao m´ ultiplas. Dando prosseguimento as análises, serão realizados testes de compara¸co˜es para todos os testes citados. Os contrastes criados para realiza¸caõ das compara¸co˜es serão na forma dois por dois. Os valores absolutos das estimativas de todos os poss´ıveis contrastes entre duas.

(86) 32. médias, que serão usados nos testes de t-student, Bonferroni, Tukey, Scheffé serão expostos aqui, não havendo necessidade de repetir em cada um deles.. |ψˆ1 | = |¯ y1 − y¯2 | = |107, 575 − 98, 400| = 9, 2; |ψˆ2 | = |¯ y1 − y¯3 | = |107, 575 − 97, 075| = 10, 5; |ψˆ3 | = |¯ y1 − y¯4 | = |107, 575 − 96, 675| = 10, 9; |ψˆ4 | = |¯ y1 − y¯5 | = |107, 575 − 98, 400| = 9, 2; |ψˆ5 | = |¯ y1 − y¯6 | = |107, 575 − 88, 875| = 18, 7; |ψˆ6 | = |¯ y2 − y¯3 | = |98, 400 − 97, 075| = 1, 3; |ψˆ7 | = |¯ y2 − y¯4 | = |98, 400 − 96, 675| = 1, 7; |ψˆ8 | = |¯ y2 − y¯5 | = |98, 400 − 98, 400| = 0; |ψˆ9 | = |¯ y2 − y¯6 | = |98, 400 − 88, 875| = 9, 5; |ψˆ10 | = |¯ y3 − y¯4 | = |97, 075 − 96, 675| = 0, 4; |ψˆ11 | = |¯ y3 − y¯5 | = |97, 075 − 98, 400| = 1, 3; |ψˆ12 | = |¯ y3 − y¯6 | = |97, 075 − 88, 875| = 8, 2; |ψˆ13 | = |¯ y4 − y¯5 | = |96, 675 − 98, 400| = 1, 7; |ψˆ14 | = |¯ y4 − y¯6 | = |96, 675 − 88, 875| = 7, 8; |ψˆ15 | = |¯ y5 − y¯6 | = |98, 400 − 88, 875| = 9, 5.. 3.1.1. Teste t-Student. Procedimento pr´ atico: 1a ) Para contrastar as hipóteses do tipo H0 : µi = µi0. vs. H1 : µi 6= µi0 ,. ∀ i 6= i. 0. 2a ) Avaliar a estat´ıstica de teste: s. DM S(t−Student) = ∆(t−Student) = t[α/2;n−I]. 1 1 + 0 s2 = t[0,05/2;18] r r . s. 1 1 + 2, 6394 = 2, 41 4 4 . 3a ) Encontra os valores absolutos das estimativas de todos os poss´ıveis contrastes entre duas médias:.

(87) 33. ˆ > DM S(t−Student) 4a ) Rejeita-se, H0 se |ψ| 5a ) A tabela a seguir ilustra o contraste das médias de produ¸caõ das variedades quando comparadas duas a duas pelo teste t-Student ao n´ıvel de significância 0,05. Tabela 3: Estimativa das médias das variedades e dos contrastes das médias duas a duas, a serem comparadas com a ∆(t−Student) y¯1 y¯2 y¯3 y¯4 y¯5 M´ edia 107, 575 98, 400 97, 075 96, 675 98, 400 y¯2 = 98, 400 9, 2∗ ∗ y¯3 = 97, 075 10, 5 1,3 y¯4 = 96, 675 10, 9∗ 1,7 0,4 ∗ y¯5 = 98, 400 9, 2 0 1,3 1,7 ∗ ∗ ∗ ∗ 18, 7 9, 5 8, 2 7, 8 9, 5∗ y¯6 = 88, 875. Os valores absolutos seguidos de * foram estatisticamente significativos ao n´ıvel de 5% de probabilidade. Conclus˜ ao: como |ψˆh | ≥ DM S(t−Student) , rejeita-se a hipótese H0 para todo contraste que envolva a média µ1 e sendo assim ela é estatisticamente diferente das demais médias de tratamento a um n´ıvel de 0,05 de significância. Da mesma forma, rejeita-se a hipótese H0 para todo contraste que envolva as médias µ6 sendo também estatisticamente diferente das demais ao mesmo n´ıvel de significância. E as médias µ2 , µ3 , µ4 e µ5 não diferiram estatisticamente entre elas ao n´ıvel 0,05 de significativas.. 3.1.2. Teste de Bonferroni. Procedimento pr´ atico: 1a ) Para contrastar as hipóteses do tipo H0 : µm = µm0. vs. H1 : µm 6= µm0 ,. 0. ∀ m 6= m. 2a ) Avaliar a estat´ıstica de teste: s α DM S(Bonf erroni) = ∆(Bonf erroni) = t[ 2M ;n−I]. 1 1 + 0 s2 = t[ 0,05 ;18] 2.15 r r . s. 1 1 + 2, 6394 = 3, 8829 4 4 . 3a ) Encontra os valores absolutos das estimativas de todos os poss´ıveis contrastes entre duas médias: ˆ > DM S(Bonf erroni) 4a ) Rejeita-se, H0 se |ψ|.

(88) 34. 5a ) A tabela a seguir ilustra o contraste das médias de produ¸caõ das variedades quando comparadas duas a duas pelo teste Bonferroni ao n´ıvel de significância 0,05. Tabela 4: Estimativa das médias das variedades e dos contrastes das médias duas a duas, a serem comparadas com a ∆(Bonf erroni) y¯1 y¯2 y¯3 y¯4 y¯5 M´ edia 107, 575 98, 400 97, 075 96, 675 98, 400 y¯2 = 98, 400 9, 2∗ ∗ y¯3 = 97, 075 10, 5 1,3 ∗ 10, 9 1,7 0,4 y¯4 = 96, 675 y¯5 = 98, 400 9, 2∗ 0 1,3 1,7 ∗ ∗ ∗ ∗ y¯6 = 88, 875 18, 7 9, 5 8, 2 7, 8 9, 5∗. Os valores absolutos seguidos de * foram estatisticamente significativos ao n´ıvel de 5% de probabilidade. Conclus˜ ao: como |ψˆh | > DM S(Bonf erroni) , rejeita-se a hipótese H0 para todo contraste que envolva a média µ1 e sendo assim ela é estatisticamente diferente das demais médias de tratamento a um n´ıvel de 0,05 de significância. Da mesma forma, rejeita-se a hipótese H0 para todo contraste que envolva as médias µ6 sendo também estatisticamente diferente das demais ao mesmo n´ıvel de significância. E as médias µ2 , µ3 , µ4 e µ5 não diferiram estatisticamente entre elas ao n´ıvel 0,05 de significativas.. 3.1.3. Teste Tukey. Procedimento pr´ atico: 1a ) Para contrastar as hipóteses do tipo H0 : µi = µi0. vs. H1 : µi 6= µi0 ,. ∀ i 6= i. 0. 2a ) Avaliar a estat´ıstica de teste: s. DM S(T ukey) = ∆(T ukey) = q[I;n−I;α]. s. 1 1 1 1 1 1 + 0 s2 = q[6;18;0,05] + 2, 6394 = 3, 6554 2 r r 2 4 4 . . . . 3a ) Encontra os valores absolutos das estimativas de todos os poss´ıveis contrastes entre duas médias: ˆ > DM S(T ukey) 4a ) Rejeita-se, H0 se |ψ| 5a ) A tabela a seguir ilustra o contraste das médias de produ¸caõ das variedades quando comparadas duas a duas pelo teste Bonferroni ao n´ıvel de significância 0,05..

(89) 35. Tabela 5: Estimativa das médias das variedades e dos contrastes das médias duas a duas, a serem comparadas com a ∆(T ukey) y¯1 y¯2 y¯3 y¯4 y¯5 M´ edia 107, 575 98, 400 97, 075 96, 675 98, 400 y¯2 = 98, 400 9, 2∗ 10, 5∗ 1,3 y¯3 = 97, 075 ∗ y¯4 = 96, 675 10, 9 1,7 0,4 9, 2∗ 0 1,3 1,7 y¯5 = 98, 400 ∗ ∗ ∗ ∗ y¯6 = 88, 875 18, 7 9, 5 8, 2 7, 8 9, 5∗ Os valores absolutos seguidos de * foram estatisticamente significativos ao n´ıvel de 5% de probabilidade. Conclus˜ ao: como |ψˆh | > DM S(T ukey) , rejeita-se a hipótese H0 para todo contraste que envolva a média µ1 e sendo assim ela é estatisticamente diferente das demais médias de tratamento a um n´ıvel de 0,05 de significância. Da mesma forma, rejeita-se a hipótese H0 para todo contraste que envolva as médias µ6 sendo também estatisticamente diferente das demais ao mesmo n´ıvel de significância. E as médias µ2 , µ3 , µ4 e µ5 não diferiram estatisticamente entre elas ao n´ıvel 0,05 de significativas.. 3.1.4. Teste Duncan. Para aplica¸cão do teste as médias são organizadas em ordem decrescente, sendo assim temos: y¯1 y¯2 y¯5 y¯3 y¯4 y¯6. = = = = = =. 107,575 98,400 98,400 97,075 96,675 88,875. Procedimento pr´ atico: 1a ) Para contrastar as hipóteses do tipo H0 : µi = µi0. vs. H1 : µi 6= µi0 ,. ∀ i 6= i. 0. 2a ) Avaliar a estat´ıstica de teste com I graus de tratamento: s. DM S (Duncan1 ) = q[I;n−I;α]. 1 1 1 + 0 s2 = q(0,05;6;18) 2 r r . . s. 1 1 2, 6394 + = 2, 7054 4 4 2 .

(90) 36. 3a ) Encontra os valor absoluto da estimativa do contrastes entre duas médias para I graus de tratamento: |ψˆ1 | = |¯ y1 − y¯6 | = |107, 575 − 88, 875| = 18, 7; ˆ > DM S(Duncan ) 4a ) Rejeita-se, H0 se |ψ| 1 Conclus˜ ao 1: Como |ψˆ1 | > DM S(Duncan1 ) rejeitamos a hipótese de igualdade entre as médias que estão contidas no intervalo do contraste ψˆ1 , sendo assim prossegue-se as compara¸co˜es agora com menos um graus de liberdade do tratamento. 2a ) Avaliar a estat´ıstica de teste com I − 1 graus de tratamento:. s. DM S (Duncan2 ) = q[I−1;n−I;α]. 1 1 1 + 0 s2 = q(0,05;5;18) 2 r r . . s. 1 1 2, 6394 + = 2, 6646 4 4 2 . 3a ) Encontra os valor absoluto da estimativa do contrastes entre duas médias para I − 1 graus de tratamento: |ψˆ2 | = |¯ y1 − y¯4 | = |107, 575 − 96, 675| = 10, 9; |ψˆ3 | = |¯ y2 − y¯6 | = |98, 4 − 88, 875| = 9, 525; ˆ > DM S(Duncan ) 4a ) Rejeita-se, H0 se |ψ| 2 Conclus˜ ao 2: Como |ψˆ2 | e |ψˆ3 | são maior do que DM S rejeita-se a hipótese de igualdade entre as médias contidas no intervalo do contraste ψˆ2 , assim como também para o intervalo contido no contraste ψˆ3 , novamente prossegue-se o processo de compara¸cão agora com menos dois graus de liberdade de tratamento. 2a ) Avaliar a estat´ıstica de teste com I − 2 graus de tratamento:. s. DM S (Duncan3 ) = q[I−2;n−I;α]. 1 1 1 + 0 s2 = q(0,05;4;18) 2 r r . . s. 1 1 2, 6394 + = 2, 6158 4 4 2 . 3a ) Encontra os valor absoluto da estimativa do contrastes entre duas médias para I − 2 graus de tratamento: |ψˆ4 | = |¯ y1 − y¯3 | = |107, 575 − 97, 075| = 10, 5;.

(91) 37. |ψˆ5 | = |¯ y2 − y¯4 | = |98, 4 − 96, 675| = 1, 725; |ψˆ6 | = |¯ y5 − y¯6 | = |98, 4 − 88, 875| = 9, 525; ˆ > DM S(Duncan ) 4a ) Rejeita-se, H0 se |ψ| 3 Conclus˜ ao 3: como |ψˆ4 | e |ψˆ6 | são maior do que DMS rejeita-se a hipótese H0 de igualdade entre as médias contidas nos intervalos dos contrastes ψˆ4 e ψˆ6 , mas como |ψˆ5 | < DM S aceita-se a hipótese H0 entre as médias de tratamento contida no contraste ψˆ5 . Continua o processo de compara¸caõ entre as médias dos contrastes ψˆ4 e ψˆ6 . 2a ) Avaliar a estat´ıstica de teste com I − 3 graus de tratamento:. s. DM S (Duncan4 ) = q[I−3;n−I;α]. 1 1 1 + 0 s2 = q(0,05;3;18) 2 r r . . s. 1 1 2, 6394 + = 2, 5424 4 4 2 . 3a ) Encontra os valor absoluto da estimativa do contrastes entre duas médias para I − 3 graus de tratamento: |ψˆ7 | = |¯ y1 − y¯5 | = |107, 575 − 98, 4| = 9, 175 |ψˆ8 | = |¯ y3 − y¯6 | = |97, 075 − 88, 875| = 8, 2 ˆ > DM S(Duncan ) 4a ) Rejeita-se, H0 se |ψ| 4 Conclus˜ ao 4: Como |ψˆ7 | e |ψˆ8 | são maior do que DMS rejeita-se a hipótese de igualdade entre as médias contidas no intervalo do contraste ψˆ7 , assim como também para o intervalo contido no contraste ψˆ8 , novamente prossegue-se o processo de compara¸cão agora com menos quatro graus de liberdade de tratamento. 2a ) Avaliar a estat´ıstica de teste com I − 4 graus de tratamento:. s. DM S (Duncan5 ) = q[I−3;n−I;α]. 1 1 1 + 0 s2 = q(0,05;2;18) 2 r r . . s. 1 1 2, 6394 + = 2, 4202 4 4 2 . 3a ) Encontra os valor absoluto da estimativa do contrastes entre duas médias para I − 4 graus de tratamento: |ψˆ7 | = |¯ y1 − y¯5 | = |107, 575 − 98, 4| = 9, 175 |ψˆ8 | = |¯ y3 − y¯6 | = |97, 075 − 88, 875| = 8, 2.

(92) 38. ˆ > DM S(Duncan ) 4a ) Rejeita-se, H0 se |ψ| 5 Conclus˜ ao 5: Como |ψˆ9 | e |ψˆ10 | são maior do que DMS rejeita-se novamente a hipótese de igualdade entre as médias contidas no intervalo do contraste ψˆ9 , assim como também para o intervalo contido no contraste ψˆ10 , finalizando as compara¸cões. Tabela 6: Estimativa das médias das variedades e dos contrastes das médias duas a duas, a serem comparadas com a ∆(Duncan) y¯1 y¯2 y¯3 y¯4 y¯5 M´ edia 107, 575 98, 400 97, 075 96, 675 98, 400 y¯2 = 98, 400 9, 2∗ ∗ y¯3 = 97, 075 10, 5 1,3 10, 9∗ 1,7 0,4 y¯4 = 96, 675 ∗ y¯5 = 98, 400 9, 2 0 1,3 1,7 18, 7∗ 9, 5∗ 8, 2∗ 7, 8∗ 9, 5∗ y¯6 = 88, 875. Os valores absolutos seguidos de * foram estatisticamente significativos ao n´ıvel de 5% de probabilidade. Conclus˜ ao: como |ψˆh | > DM S(SN K) , rejeita-se a hipótese H0 para todo contraste que envolva a média µ1 e sendo assim ela é estatisticamente diferente das demais médias de tratamento a um n´ıvel de 0,05 de significância. Da mesma forma, rejeita-se a hipótese H0 para todo contraste que envolva as médias µ6 sendo também estatisticamente diferente das demais ao mesmo n´ıvel de significância. E as médias µ2 , µ3 , µ4 e µ5 não diferiram estatisticamente entre elas ao n´ıvel 0,05 de significativas.. 3.1.5. Teste Newman-Keuls. Para aplica¸cão do teste as médias são organizadas em ordem decrescente, sendo assim temos: y¯1 y¯2 y¯5 y¯3 y¯4 y¯6 Procedimento pr´ atico:. = = = = = =. 107,575 98,400 98,400 97,075 96,675 88,875.

(93) 39. 1a ) Para contrastar as hipóteses do tipo H0 : µi = µi0. vs. H1 : µi 6= µi0 ,. ∀ i 6= i. 0. 2a ) Avaliar a estat´ıstica de teste com I graus de tratamento: s. DM S (SN K1 ) = q[α;p;υ]. 1 1 1 + 0 s2 = q(0,05;6;18) 2 r r . . s. 1 1 2, 6394 + = 3, 6554 4 4 2 . 3a ) Encontra os valor absoluto da estimativa do contrastes entre duas médias para I graus de tratamento: |ψˆ1 | = |¯ y1 − y¯6 | = |107, 575 − 88, 875| = 18, 7; ˆ > DM S(SN K ) 4a ) Rejeita-se, H0 se |ψ| 1 Conclus˜ ao 1: Como |ψˆ1 | > DM S(SN K1 ) rejeitamos a hipótese de igualdade entre as médias que estão contidas no intervalo do contraste ψˆ1 , sendo assim prossegue-se as compara¸co˜es agora com menos um graus de liberdade do tratamento. 2a ) Avaliar a estat´ıstica de teste com I − 1 graus de tratamento:. s. DM S (SN K2 ) = q[I−1;n−I;α]. 1 1 1 + 0 s2 = q(0,05;5;18) 2 r r . . s. 1 1 2, 6394 + = 3, 4767 4 4 2 . 3a ) Encontra os valor absoluto da estimativa do contrastes entre duas médias para I − 1 graus de tratamento: |ψˆ2 | = |¯ y1 − y¯4 | = |107, 575 − 96, 675| = 10, 9; |ψˆ3 | = |¯ y2 − y¯6 | = |98, 4 − 88, 875| = 9, 525; ˆ > DM S(SN K ) 4a ) Rejeita-se, H0 se |ψ| 2 Conclus˜ ao 2: Como |ψˆ2 | e |ψˆ3 | são maior do que DM S rejeita-se a hipótese de igualdade entre as médias contidas no intervalo do contraste ψˆ2 , assim como também para o intervalo contido no contraste ψˆ3 , novamente prossegue-se o processo de compara¸cão agora com menos dois graus de liberdade de tratamento. 2a ) Avaliar a estat´ıstica de teste com I − 2 graus de tratamento:.

(94) 40. s. DM S (SN K3 ) = q[I−2;n−I;α]. 1 1 1 + 0 s2 = q(0,05;4;18) 2 r r . . s. 1 1 2, 6394 + = 3, 2492 4 4 2 . 3a ) Encontra os valor absoluto da estimativa do contrastes entre duas médias para I − 2 graus de tratamento: |ψˆ4 | = |¯ y1 − y¯3 | = |107, 575 − 97, 075| = 10, 5; |ψˆ5 | = |¯ y2 − y¯4 | = |98, 4 − 96, 675| = 1, 725; |ψˆ6 | = |¯ y5 − y¯6 | = |98, 4 − 88, 875| = 9, 525; ˆ > DM S(SN K ) 4a ) Rejeita-se, H0 se |ψ| 3 Conclus˜ ao 3: como |ψˆ4 | e |ψˆ6 | são maior do que DMS rejeita-se a hipótese H0 de igualdade entre as médias contidas nos intervalos dos contrastes ψˆ4 e ψˆ6 , mas como |ψˆ5 | < DM S aceita-se a hipótese H0 entre as médias de tratamento contida no contraste ψˆ5 . Continua o processo de compara¸caõ entre as médias dos contrastes ψˆ4 e ψˆ6 . 2a ) Avaliar a estat´ıstica de teste com I − 3 graus de tratamento:. s. DM S (SN K4 ) = q[I−3;n−I;α]. 1 1 1 + 0 s2 = q(0,05;3;18) 2 r r . . s. 1 1 2, 6394 + = 2, 9324 4 4 2 . 3a ) Encontra os valor absoluto da estimativa do contrastes entre duas médias para I − 3 graus de tratamento: |ψˆ7 | = |¯ y1 − y¯5 | = |107, 575 − 98, 4| = 9, 175 |ψˆ8 | = |¯ y3 − y¯6 | = |97, 075 − 88, 875| = 8, 2 ˆ > DM S(SN K ) 4a ) Rejeita-se, H0 se |ψ| 4 Conclus˜ ao 4: Como |ψˆ7 | e |ψˆ8 | são maior do que DMS rejeita-se a hipótese de igualdade entre as médias contidas no intervalo do contraste ψˆ7 , assim como também para o intervalo contido no contraste ψˆ8 , novamente prossegue-se o processo de compara¸cão agora com menos quatro graus de liberdade de tratamento. 2a ) Avaliar a estat´ıstica de teste com I − 4 graus de tratamento:.

(95) 41. s. DM S (SN K5 ) = q[I−3;n−I;α]. 1 1 1 + 0 s2 = q(0,05;2;18) 2 r r . . s. 1 1 2, 6394 + = 2, 4126 4 4 2 . 3a ) Encontra os valor absoluto da estimativa do contrastes entre duas médias para I − 4 graus de tratamento: |ψˆ7 | = |¯ y1 − y¯5 | = |107, 575 − 98, 4| = 9, 175 |ψˆ8 | = |¯ y3 − y¯6 | = |97, 075 − 88, 875| = 8, 2 ˆ > DM S(SN K ) 4a ) Rejeita-se, H0 se |ψ| 5 Conclus˜ ao 5: Como |ψˆ9 | e |ψˆ10 | são maior do que DMS rejeita-se novamente a hipótese de igualdade entre as médias contidas no intervalo do contraste ψˆ9 , assim como também para o intervalo contido no contraste ψˆ10 , finalizando as compara¸cões. Tabela 7: Estimativa das médias das variedades e dos contrastes das médias duas a duas, a serem comparadas com a ∆(SN K) y¯1 y¯2 y¯3 y¯4 y¯5 107, 575 98, 400 97, 075 96, 675 98, 400 M´ edia y¯2 = 98, 400 9, 2∗ ∗ 10, 5 1,3 y¯3 = 97, 075 ∗ 10, 9 1,7 0,4 y¯4 = 96, 675 y¯5 = 98, 400 9, 2∗ 0 1,3 1,7 ∗ ∗ ∗ ∗ y¯6 = 88, 875 18, 7 9, 5 8, 2 7, 8 9, 5∗ Os valores absolutos seguidos de * foram estatisticamente significativos ao n´ıvel de 5% de probabilidade. Conclus˜ ao: como |ψˆh | > DM S(SN K) , rejeita-se a hipótese H0 para todo contraste que envolva a média µ1 e sendo assim ela é estatisticamente diferente das demais médias de tratamento a um n´ıvel de 0,05 de significância. Da mesma forma, rejeita-se a hipótese H0 para todo contraste que envolva as médias µ6 sendo também estatisticamente diferente das demais ao mesmo n´ıvel de significância. E as médias µ2 , µ3 , µ4 e µ5 não diferiram estatisticamente entre elas ao n´ıvel 0,05 de significativas.. 3.1.6. Teste de Dunnett. Apenas para questão de aplica¸caõ do teste de Dunnett considerar-se o tratamento (V 6) como testemunha (controle)..