Fórmulas de quadratura do tipo Gauss associadas aos polinômios similares: propriedades e exemplos

Fórmulas de quadratura do tipo Gauss associadas aos

polinômios similares: propriedades e exemplos

Alagacone Sri Ranga

Depto de Ciências de Computação e Estatística, IBILCE, UNESP 15054-000, São José do Rio Preto, SP

E-mail: ranga@ibilce.unesp.br

Daniel Oliveira Veronese

Universidade Federal do Tocantins - Curso de Matemática 77330-000, Campus Universitário de Arraias, Arraias, TO

E-mail: veronese@uft.edu.br

Fórmulas de quadratura têm sido amplamente estudadas e são de grande importância matemática e de grande aplicabilidade em outras áreas do conhecimento, principalmente nas Ciências Aplicadas. Basicamente, o objetivo de se trabalhar com fórmulas de quadratura é a aproximação numérica de integrais.

De modo geral, a teoria das fórmulas de quadratura envolve o estudo de fórmulas da

forma , que podem

ser utilizadas para aproximar integrais do tipo , onde

∑

=

=

n i i n i n n

f

w

f

x

I

1 , ,

(

)

)

(

φ

∫

b a

f

(

x

)

d

φ

(

x

)

d

φ

(x

)

é uma

distribuição (ou medida positiva) em . Tradicionalmente, essas fórmulas de quadratura são obtidas aproximando-se, de

alguma forma, a função por um

polinômio de grau e obtendo-se por

meio da integral desse polinômio.

)

,

( b

a

)

(x

f

n

I

_n

( f

)

Uma classe de fórmulas de quadratura bem conhecida, e de grande valor teórico, é a classe das fórmulas de quadratura interpolatórias. Tais fórmulas são obtidas considerando-se o polinômio de interpolação

de nos pontos escolhidos, denotados

por .

)

(x

f

n i n

x

_, As fórmulas de quadratura interpolatórias construídas a partir do polinômio

)

(

)

(

)

(

)

(

)

,

(

x

P

₁

P

x

P

P

₁

x

F

_n

ξ

=

_n−

ξ

_n

−

_n

ξ

_n− ,

sendo uma sequência de

polinômios ortogonais em relação ao produto

interno definido por

, são conhecidas como fórmulas de quadratura

gaussiana e têm grau de precisão

∞ =0

)}

(

{

P

_k

x

_k

∫

=

>

<

b a

f

x

g

x

d

x

g

f

,

:

(

)

(

)

φ

(

)

1

)

(

−

+

n

ξ

n

, isto é, são exatas quando a

função integrada é um polinômio de grau menor que ou igual a

n

+

n

(

ξ

)

−

1

,

onde

⎩ ⎨ ⎧ = − ≠ = − − . 0 ) ( , 1 , 0 ) ( , ) ( 1 1

ξ

ξ

ξ

n n P se n P se n n

Neste trabalho, desejamos investigar como se comportarão fórmulas de quadratura associadas aos polinômios similares. Dizemos

que é uma sequência de

polinômios similares aos ortogonais se cada

polinômio é de grau exatamente e se,

além disso, a relação ∞ =0

)}

(

{

B

_k

t

_k

)

(t

B

_n n

∫

_ab −+ =_⎩⎨⎧ _{> =}= − n n s n n s n s t d t B t , , 0 , 1 , , 1 , 0 , 0 ) ( ) (

ρ

ψ

K é satisfeita.

Na definição dos polinômios similares, a função

ψ

(t

)

é uma função real, limitada, não-decrescente e com infinitos

pontos de aumento em . Além

disso,

)

,

0

(

)

,

(

a

b

⊆

∞

)

(t

ψ

é tal que todos os momentos de

ordem m, definidos por

,

,

2

,

1

,

0

),

(

=

±

±

_K

=

_∫

b

t

d

t

m

a m m

ψ

µ

existem, ou seja, são finitos. Nesse caso, dizemos que

d

ψ

(t

)

é uma distribuição forte de Stieltjes em

(

a

,

b

).

É bem conhecido (veja, por exemplo, [4]) que os polinômios similares satisfazem a seguinte relação de recorrência de três termos:

,

1

),

(

)

(

)

(

)

(

1 1 1 1

=

−

+

−

+ −

≥

+

t

t

B

t

tB

t

n

B

n

β

n n

α

n n com

,

1

)

(

0

t

=

B

B1(t)= t−

β

1, e 1 0 1 − =

µ

µ

β

, 1 1 − + = n n n

_ρ

ρ

α

, 1. 1 1 n n n n

_η

η

α

β

− + + =−

Na relação de recorrência acima, ) ( ) 1 ( 1

)

1

(

_n n n n n n

H

H

− − − +

−

=

η

, sendo que 2 2 1 2 1 1 1 ) ( − + + − + + + + − + + = n m n m n m n m m m n m m m m n H

µ

µ

µ

µ

µ

µ

µ

µ

µ

K M O M M K K .

A partir dos polinômios similares acima definidos, podemos construir um novo polinômio que será uma combinação linear

dos polinômios e Dado o

parâmetro , podemos considerar o

polinômio definido pela expressão abaixo:

)

(t

B

_n

B

_n−1

(

t

).

IR u∈

).

(

)

(

)

(

)

(

:

)

,

(

t

u

B

₁

u

B

t

B

u

B

₁

t

G

_n

=

_{n− n}

−

_{n n−}

Note que o grau do polinômio acima definido, visto como polinômio na variável

t

, dependerá da escolha do parâmetro ou seja, o grau de

será dado por

)

,

( u

t

G

n

,

u

G

n

( u

t

,

)

⎩ ⎨ ⎧ = − ≠ = − − . 0 ) ( , 1 , 0 ) ( , ) ( 1 1 u B se n u B se n u n n n Utilizando a definição dos polinômios

similares, podemos observar, ainda, que satisfaz a seguinte relação:

)

,

( u

t

G

_n

∫

b− − +

=

≤

≤

−

a n s n

n

s

t

d

u

t

G

t

( 1)

(

,

)

ψ

(

)

0

,

0

2

.

(1)

Outro resultado interessante e de grande importância teórica é que os zeros do

polinômio são reais, simples e pelo

menos

)

,

( u

t

G

_n 1 −

n deles pertencem ao intervalo

Além disso, se denotam os

zeros de , então, como

).

,

(

a

b

)

(

,

),

(

),

(

),

(

₂

u

₃ 1

u

u

u

u

u

u

u

_K

_n

)

(u

n

G

_n

( u

t

,

)

,

0

)

,

(

u

u

=

G

_n segue que , para

algum

u

u

u

_i

(

)

=

{

1,2, ,n(u)

}

. i∈ _K

Pode-se mostrar, também, que se escolhermos como novo parâmetro um dos

zeros de , o novo polinômio

terá os mesmos zeros de , visto que a igualdade

)

,

( u

t

G

n

))

(

,

(

t

u

u

G

n i

)

,

( u

t

G

n

))

(

,

(

)

(

)

,

(

t

u

b

u

G

t

u

u

G

n

=

i n i se verifica e que

b

i

(

u

)

≠

0

.

Os resultados relativos à função citados anteriormente são obtidos de modo análogo ao que é feito para os polinômios ortogonais (veja, por exemplo, [2]).

)

,

( u

t

G

n

Utilizando como ferramenta os resultados acima obtidos, podemos analisar o que ocorre quando consideramos fórmulas de quadratura cujos nós (pontos escolhidos para a obtenção do polinômio de interpolação da função a ser integrada) são exatamente os zeros de

G

_n

( u

t

,

).

Para a construção da fórmula de quadratura associada aos zeros de

vamos supor que a função

seja um polinômio de grau no máximo

),

,

( u

t

G

_n

)

(

)

(

t

t

1

f

t

G

=

n−

.

2

)

(

−

+ u

n

n

Analisando o polinômio de interpolação de Lagrange de em relação

aos zeros , podemos, por meio de

manipulações algébricas convenientes e da utilização da relação (1), concluir que:

)

(t

G

)

(u

u

_i

∫

∑

= −

=

b a u n i i n i i n

u

u

u

u

f

u

u

t

d

t

f

) ( 1 1

)),

(

(

))

(

))(

(

(

)

(

)

(

ψ

λ

onde

).

(

))

(

))(

(

),

(

(

'

))

(

,

(

))

(

(

( 1)

d

t

u

u

t

u

u

u

u

G

u

u

t

G

t

u

u

i i i n i n b a n i n

ψ

λ

−

=

∫

− −

A análise feita no parágrafo anterior

nos diz que se é tal que é um

polinômio de grau no máximo

)

(t

f

t

n−1

f

(

t

)

2

)

(

−

+ u

n

n

,

então a fórmula de quadratura associada aos zeros de

G

_n

( u

t

,

)

será exata.

Note que, nesse caso, os pesos da fórmula de quadratura são dados por

). ( , , 1 , )) ( )( ( ) ( 1 , u u u u i n u Wni = n i n = K −

λ

Se escolhermos a função 2

))

(

(

))

(

,

(

)

(

_⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

u

u

t

u

u

t

G

t

G

i i n

, então teremos que será um polinômio de grau no máximo

e portanto, a fórmula de quadratura aplicada a será exata. Sendo assim, chegamos à conclusão de que

)

(t

G

,

2

)

(

−

+ u

n

n

)

(t

G

0

))

(

(

u

_i

u

>

n

λ

para , uma vez

que

{

n i∈ 1,2,_K,

}

).

,

0

(

)

,

(

a

b

⊆

∞

Podemos perceber, portanto, que se for ímpar, então o sinal dos pesos

será positivo. Caso contrário, o sinal de

vai depender do sinal de Vale

ressaltar que só temos a garantia de que

n

W

_n,i

(

u

)

)

(

,

u

W

_ni

u

_i

(u

).

1 − n

dos zeros de pertencem a

, ou seja, não podemos descartar a possibilidade de que pelo menos um zero seja negativo. Portanto, se quisermos

garantir que todos os pesos sejam

positivos basta escolhermos um número ímpar de pontos, ou ainda, escolhermos como

parâmetro um número positivo pois, se

então os outros zeros de

estarão em , e

conseqüentemente, também serão positivos.

)

,

( u

t

G

n

)

,

( b

a

⊆

(

0

,

∞

)

)

(

,

u

W

_ni

,

b

u

≥

,

b

u

≥

n−1

)

,

( u

t

G

_n

( b

a

,

)

Podemos observar, ainda, que a

função

λ

_n

:

IR

→

IR

,

definida por

,

)

(

)

)(

,

(

'

)

,

(

)

(

( 1)

d

t

y

t

y

y

G

y

t

G

t

y

n n b a n n

ψ

λ

−

=

_∫

− − é positiva para todo

y

∈

IR

.

De fato, para cada

y

∈

IR

,

podemos considerar o polinômio , e,

como o próprio é um dos zeros de ,

segue que ) , ( yt G_n

y

G_n( yt, ) . 0 ) (y > n

λ

A função

λ

_n( y)satisfaz, ainda, a seguinte propriedade:

,

)

(

)

(

min

)

(

y

b

t

( 1) 2

t

d

t

a n n

π

ψ

λ

₌

_∫

− −

onde o mínimo é tomado dentre todos os polinômios

π

(t

)

de grau menor que ou igual

a

n

−

1

,

e que possuem a propriedade

.

1

)

(

y

=

π

Para provarmos tal fato, basta notarmos que, se tomarmos

π

(t

)

sob as condições citadas anteriormente, então a fórmula de quadratura aplicada à função será exata. Sendo assim, chegamos à conclusão de que

) ( ) (t t ( 1) 2 t G = −n−

π

).

(

)

(

)

(

2 ) 1 (

y

t

d

t

t

_n b a n

π

ψ

≥

λ

∫

− −

O resultado segue, portanto, notando que a igualdade ocorrerá se tomarmos o polinômio

. ) )( , ( ) , ( ) ( _' y t y y G y t G t n n − =

π

Como exemplo, consideremos a distribuição

d

ψ

(

t

)

=

dt

no intervalo

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

1

,

2

1

. Note que

d

ψ

(t

)

é uma distribuição forte de Stieltjes. Vamos escolher como parâmetro o

número

y

=

0

.

Se n=2, teremos

,

2

ln

)

3

4

(

8

1

)

0

,

(

2

t

t

t

G

=

−

−

e portanto, 7499 . 0 ) 0 ( 1 ≈ u e u₂(0)=0. Calculando ) 0 ( 2

λ

por meio da expressão

,

)

0

)(

0

,

0

(

'

)

0

,

(

1 2 1 1

dt

t

G

t

G

t

n n

−

∫

− chegamos à conclusão de que

ln

2

.

3

2

)

0

(

2

=

−

+

λ

Podemos, agora,

calcular quanto vale

min

1 2

(

)

,

2 1 1

dt

t

t

π

∫

− quando

)

(t

π

percorre todos os polinômios de grau

menor que ou igual a

1

,

tais que

.

1

)

0

(

=

π

Note, primeiramente, que

π

(t

)

deve ser da forma

π

(

t

)

=

1

+

at

,

com , e que, portanto, nosso problema se resume a minimizar a seguinte função de uma variável:

IR a∈

.

)

1

(

)

(

1 2 2 1 1

dt

at

t

a

H

=

∫

−

+

Agora, como não toma valor máximo,

se fizermos encontraremos o

valor de que minimiza Assim,

)

(a

H

,

0

)

(

'

=

a

H

a

H

(a

).

⇒

= 0

)

(

'

a

H

.

3

4

0

)

1

(

2

1 2 1

+

=

⇒

=

−

∫

a

dt

a

Tomando

3

4

−

=

a

, obtemos

).

0

(

2

ln

3

2

3

4

2

λ

=

+

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛−

H

Como conseqüência direta do fato de

que segue que,

se

,

)

(

)

(

min

)

(

y

b

t

( 1) 2

t

d

t

a n n

π

ψ

λ

₌

_∫

− − ) ( 1 t

d

ψ

e d

ψ

₂(t) são duas distribuições fortes de Stieltjes tais que

), ( ) ( ) ( ) ( _{1 2 2} 1 x

ψ

y

ψ

x

ψ

y

ψ

− ≥ − sempre que

y

x

>

e então

),

,

(

,

y

a

b

x

∈

.

),

(

)

(

2 1

_u

_u

_u

_IR

n n

≥

∀

∈

ψ ψ

_λ

λ

Como exemplo, consideremos duas distribuições fortes de Stieltjes em

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

1

,

2

1

dadas por d

ψ

1(t)=2tdt e d

ψ

2(t)=dt. Sendo assim, como

ψ

1

(

t

)

=

t

2 e

ψ

2(t)=t,

temos que, para

x

>

y

,

com

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∈

,

1

2

1

, y

x

, vale a relação:

,

)

)(

(

2 2

y

x

y

x

y

x

y

x

−

=

+

−

≥

−

ou seja, ). ( ) ( ) ( ) ( _{1 2 2} 1 x

ψ

y

ψ

x

ψ

y

ψ

− ≥ − Calculando os valores de e , vemos que:

)

0

(

1 2 ψ

λ

2

(

0

)

2 ψ

λ

).

0

(

0264805

.

0

02702702

.

0

)

0

(

2 1 2 2 ψ ψ

_λ

λ

≈

>

=

Vejamos, agora, outra propriedade que podemos obter em nossa análise das fórmulas

de quadratura associadas a .

Consideremos, assim, o polinômio de

grau , definido por:

)

,

( u

t

G

_n

1

)

(

u

−

n

) )( , ( ) , ( ) , ( _' u t u u G u t G u t l n n n − = . Note que

⎩

⎨

⎧

=

≠

=

.

,

1

,

,

0

))

(

),

(

(

j

i

se

j

i

se

u

u

u

u

l

_{n i j}

Usando como base o conjunto , podemos

escrever a função da seguinte

maneira:

)}

(

,

),

(

),

(

{

B

₀

t

t

1

B

₁

t

t

( 1)

B

n ₁

t

n − − − −

K

)

,

(

) 1 (

u

t

l

t

−n− _n

∑

(2) − = − − −

₌

1 0 ) 1 (

).

(

)

(

)

,

(

n k k k k n n

t

B

t

u

a

u

t

l

t

Se

k

≤ n

−

1

,

como é

um polinômio de grau no máximo

)

,

(

)

(

t

l

t

u

B

k n

2

)

(

−

+ u

n

n

, aplicando a fórmula de

quadratura para e usando o fato

de que

)

,

(

)

(

t

l

t

u

B

_{k n}

1

)

,

(

u

u

=

l

_n , teremos:

∫

b − −

=

a k n n k n

u

B

u

t

d

u

t

l

t

B

t

( 1)

(

)

(

,

)

ψ

(

)

λ

(

)

(

).

Agora, por outro lado, usando as relações de ortogonalidade dos polinômios similares e a equação (2), chegamos a:

(

)

(

,

)

(

)

(

)

.

(3) 0 ) 1 (

∫

∑

= − −

₌

b a k i i k n k n

u

a

t

d

u

t

l

t

B

t

ψ

ρ

Portanto, de (2) e (3) concluímos que

. 1 , , 1 , 0 , ) ( ) ( ) ( 0 − = =

∑

= n k u B u u a k i k k n i

_ρ

K

λ

Daí, usando a relação de recorrência dos polinômios similares, podemos obter:

.

1

,

,

1

,

0

,

)

0

(

)

0

,

(

)

(

)

(

)

(

)

(

1 0 1 0

−

=

=

−

=

+ = − =

∑

∑

n

k

B

u

u

G

u

u

a

u

a

u

a

k k k n k i k i i i k

K

ρ

λ

Tendo, portanto, os termos

dados explicitamente, podemos reescrever a equação (2) da seguinte forma:

)

(u

∑

− = − +

=

1 0 1

.

)

0

(

)

(

)

0

,

(

)

(

)

,

(

n k k k k k k n n

B

u

t

B

t

u

G

u

u

t

l

ρ

λ

Sendo assim, se considerarmos os vetores T n n n u B u G u u B u G u u B u G u u b _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ) 0 ( ) 0 , ( ) ( , , ) 0 ( ) 0 , ( ) ( , ) 0 ( ) 0 , ( ) ( ) ( 1 1 2 1 1 2 0 0 1

ρ

λ

ρ

λ

ρ

λ

L e b(t)

[

tn B(t),tn B(t), ,t B_n1(t)

]

T, então 0 1 ) 2 ( 0 ) 1 ( ~ − − − = _L

)

(

)

(

)

,

(

~

t

b

u

b

u

t

l

_n

=

T , e, portanto, vale a relação ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = ≠ = . , 1 )) ( ( )) ( ( , , 0 )) ( ( )) ( ( ~ ~ j i se u u b u u b j i se u u b u u b j T i j T i

Em outras palavras, os vetores

e são biortogonais. ) ( 1

))}

(

(

{

b

u

_i

u

n_i=u ) ( 1 ~

))}

(

(

{

b

u

_i

u

n_i=u

Podemos concluir, portanto, que as propriedades obtidas neste trabalho por meio das fórmulas de quadratura do tipo Gauss associadas aos polinômios similares são propriedades semelhantes às obtidas para as funções

F

_n

(

x

,

ξ

)

. Tais fórmulas têm se mostrado de grande utilidade quando desejamos integrar funções com singularidade na origem, sendo, portanto, o estudo de suas propriedades de grande interesse.

Referências

[1] T. S. Chihara,, “An Introduction to Orthogonal Polynomials”, Mathematics and its Applications Series, Gordon Breach, New York, 1978.

[2] G. Freud, “Orthogonal Polynomials”, Pergamon Press, New York, 1971.

[3] V. I. Krylov, “Approximate Calculation of Integrals”, Macmillan, New York, 1962. [4] A. Sri Ranga, “Continued Fractions with

correspond to two series expansions, and the strong Hamburguer moment problem”, Tese de doutoramento, Univ. of St. Andrews, 1984.