CARTAS DE CONTROLE PARA COMPONENTES PRINCIPAIS MULTIDIRECIONAIS

CARTAS DE CONTROLE PARA COMPONENTES PRINCIPAIS

MULTIDIRECIONAIS

Danilo Marcondes Filho, M.Eng.

Universidade do Vale do Rio dos Sinos

danilo@exatas.unisinos.br Flávio S. Fogliatto, Ph.D.

Departamento de Enga _{de Produção e Transportes – UFRGS}

ffogliatto@ppgep.ufrgs.br

ABSTRACT: Univariate control charts have been widely used for industrial process

monitoring. Those charts however have been unable to describe satisfactorily the complex structure of correlation in data obtained from automated processes, where on-line

measurement of several variables are readily available. This paper presents the theoretical basis of an alternative multivariate scheme for joint monitoring of correlated and

autocorrelated process variables. A monitoring strategy for batch processes is emphasized.

KEY-WORDS: multiway principal components control charts, multivariate control

charts, batch process monitoring.

1. Introdução

O Controle Estatístico de Processos (CEP) é uma das estratégias de monitoramento do desempenho de processos mais utilizadas na indústria (Mason et al., 1995). A principal ferramenta estatística de apoio ao CEP é a carta de controle (CC). Nas CCs, medições de variáveis que influenciam na qualidade dos itens manufaturados são realizadas em pontos espaçados no tempo e registradas em gráficos; o objetivo é avaliar o comportamento dinâmico da variável a partir das medições. Dois eventos são de particular importância no esquema de monitoramento através das CCs: (i) medições fora dos limites de controle, que delimitam a variabilidade natural da variável de interesse e (ii) seqüências atípicas de pontos, indicando não-aleatoriedade nas medições. Tais eventos sinalizam a presença de causas especiais de variabilidade, anômalas ao processo e potencialmente prejudiciais à qualidade do produto manufaturado. Atuando sobre a origem das causas especiais, pode-se melhorar continuamente a qualidade do produto, robustecendo seu processo de manufatura. CCs permitem a redução sistemática da variabilidade nas características de qualidade (CQs) do produto, representadas pelas variáveis monitoradas nas cartas.

A automatização de processos vem sendo adotada como diretriz empresarial, na busca da modernização e aumento de competitividade, em diferentes segmentos industriais. Processos automatizados permitem a medição simultânea e em tempo real de inúmeras variáveis de produto e processo, fornecendo dados em quantidade suficiente para monitoramento preciso do desempenho de operações industriais. Em muitas situações, o conjunto de dados obtido do processo apresenta uma estrutura complexa de correlação e autocorrelação. Correlações descrevem dependências entre as variáveis monitoradas; autocorrelações, por sua vez, descrevem dependências entre observações de uma mesma variável. Neste contexto, a aplicação do CEP tradicional no monitoramento das variáveis é inadequada, e uma estratégia de controle que considere correlações e autocorrelações deve ser favorecida.

Neste artigo, apresenta-se uma alternativa para o monitoramento em tempo real de processos, as CCs multivariadas aplicadas sobre os resultados de uma análise de componentes principais multidirecionais. A estratégia aqui apresenta como principal contribuição a

consolidação de diversas abordagens propostas na literatura, em particular o trabalho pioneiro de Jackson (1991) e os trabalhos subseqüentes de Marsh & Tucker (1991), Tracy et al. (1992), Miller et al. (1993), Nomikos & McGregor (1994), Nomikos & McGregor (1995), McGregor & Kourti (1995) e Kourti & McGregor (1996).

Neste artigo, as CCs para componentes principais multidirecionais (CCCPMs) são apresentadas para o controle de processos industriais automatizados que ocorrem em bateladas. Processos em bateladas apresentam duração finita, sendo conduzidos, genericamente, em três fases: alimentação de matérias-primas, processamento e descarga do produto processado. O desempenho desses processos pode ser monitorado através de variáveis de produto (tanto matérias-primas como produto resultante) e processo. Normalmente, o perfil descrito pelas variáveis de processo ao longo da batelada caracteriza a qualidade do produto resultante; as CCCPMs apresentadas neste artigo oferecem um esquema de monitoramento para esses perfis.

O desenvolvimento teórico das CCCPMs no contexto de processos em bateladas, apresentado neste artigo, demanda conhecimentos básicos sobre as CCs multivariadas de Hotelling e sobre CCs baseadas em componentes principais; estes assuntos são abordados nas duas seções que se seguem. Na seção 4, apresentam-se as CCs para processos em bateladas. Uma conclusão encerra o artigo, na seção 5.

2. Carta de controle de Hotelling para monitoramento de médias

Suponha p variáveis correlacionadas sendo monitoradas em um determinado processo através da coleta de sucessivas amostras unitárias. Seja = [ um vetor contendo as p variáveis, tal que X

x′ X₁,X₂,...,X_p]

0

= µ

f

′ =[x_1,f,x_2,f,...,

i, i = 1,…, p, seja a iésimavariável de interesse e xi uma

observação desta variável. Supondo um processo sob controle estatístico e variáveis seguindo uma distribuição Normal p-variada, com vetor de médias µ e matriz de covariâncias

conhecidos [isto é, x ∼Ν (µ ,Σ )]. Desta forma, a cada nova amostra recolhida do processo tem-se uma observação p-variada dada pelo vetor x , que reflete variações aleatórias ocorridas no processo (isto é, causas comuns de variação). A estatística 0 = Σ Σ _{0 0} ] x_p,f 2 p χ = (x_f −µ₀)′∑ 1( ₀) (1) 0 x −µ − f

representa a distância quadrada padronizada (isto é, considerando a estrutura de

covariâncias das variáveis), p-dimensional, entre a amostra futura e o vetor de médias do processo µ ; Rencher, 1995. segue uma distribuição do Qui-Quadrado com p graus de liberdade e não deve superar o valor LSC = , visto que o processo gerador dos dados está sob controle estatístico. LSC (limite superior de controle) representa o percentil da distribuição do Qui-Quadrado com p graus de liberdade, obtido a partir da probabilidade α de alarme falso adotada. Se > , há indícios de que a média de pelo menos uma das variáveis no processo tenha-se alterado, podendo caracterizar uma situação onde o processo está fora de controle estatístico, com presença de causas especiais de variação ( f x′ 0 χ2p 2 ,k p 2 ,α χ_p χ 2 ,α χ_p 0 ≠

µ µ , ou seja, µ ≠ µ0 0i para pelo menos uma das p variáveis). Este procedimento de

verificação caracteriza as chamadas Cartas de Controle Qui-Quadrado ou de Hotelling (Montgomery, 1996).

Na prática, µ₀ e Σ₀ são estimados, respectivamente, pelo vetor de médias x e pela

matriz de covariâncias S amostrais, a partir de m amostras preliminares recolhidas do processo sob controle estatístico. A eq. (1) será, então, reescrita para considerar as estimativas dos parâmetros:

2 f T =

(

) (

)

Neste caso, o processo de construção da carta de controle está dividido em duas fases (Alt, 1985). A primeira fase consiste em verificar se o processo estava sob controle estatístico quando amostras preliminares foram obtidas. Essas amostras serão utilizadas como padrão e, a partir delas, estimam-se os parâmetros do processo e limites de controle apropriados para a CC. A segunda fase é análoga à situação anterior, onde os parâmetros do processo eram conhecidos a priori. As estimativas para estes parâmetros, geradas na primeira fase, serão usadas para monitorar, através da CC, amostras futuras. Maiores detalhes para a obtenção de x e S podem ser encontrados em Tracy et al. (1992).

Ryan (1989) mostra que, na segunda fase, os limites de controle para a estatística T2 são

dados por:

LSC =

(

)

obtido a partir da probabilidade α de alarme falso adotada.

Quando a carta de Hotelling gera um sinal de processo fora de controle, deseja-se saber quais variáveis contribuíram mais efetivamente para o valor significativo de T2 encontrado. Deve-se, assim, encontrar a causa que levou o processo a sair do seu estado de controle; existem na literatura inúmeras abordagens para diagnóstico destas causas. Marcondes Filho (2001), entre outros, apresenta um resumo destas abordagens. Um procedimento prático bastante usado sugere o uso da carta multivariada de Hotelling associado a p cartas individuais

de Shewhart para diagnosticar sinais fora-de-controle (Alt, 1985). Neste caso, as cartas de Shewhart implementadas em conjunto com a carta de Hotelling devem utilizar limites de

controle de Bonferroni (ver Montgomery, 1996).

3. Carta de Controle via componentes principais para monitoramento de médias

A estatística de Hotelling, descrita na seção anterior, não é suficientemente robusta para tratar inúmeras variáveis correlacionadas, pois foi concebida para monitorar um pequeno número de variáveis de qualidade do produto final. Esta estrutura de correlação favorece o surgimento de variáveis colineares, isto é, variáveis que praticamente duplicam informação contidas nas demais e trazem, assim, pouca informação exclusiva (muito ruído presente). A estrutura colinear gerada a partir dessas redundâncias faz com que a estatística forneça sinalizações distorcidas acerca do estado do processo, bem como diagnósticos imprecisos de causas especiais. Em algumas situações, tal estatística não poderá ser calculada devido à dificuldade de inversão da matriz de covariâncias das variáveis de processo (Kourti &

Mc_{Gregor, 1996). Para eliminar estas redundâncias, surge então a necessidade de utilizar cartas}

de controle baseadas em métodos de projeção de dados, dentre os quais destaca-se a Análise de Componentes Principais (ACP).

Considere um processo monitorado através de p variáveis correlacionadas. Suponha m observações , p-variadas, obtidas do processo sob controle estatístico, a partir das quais calcula-se a matriz S, (p × p), de covariâncias amostrais que caracteriza a estrutura de correlação mediante presença de apenas causas comuns de variação. Como tal matriz é

simétrica e não singular, existe uma matriz U ortonormal, (p × p), que diagonaliza S. Desta forma, tem-se U′SU = Sc, onde Sc é uma matriz diagonal que contém os p autovalores λi

positivos de S. O autovetor λi descreve a variância do iésimo componente principal (CP) que,

por sua vez, representa a iésima combinação linear das p variáveis originais. As cargas desta combinação são descritas pelo autovetor ui, de dimensão (p × 1). A matriz U apresenta nas

suas colunas os p autovetores ui. Desta forma, pode-se monitorar o processo transformando p

variáveis correlacionadas em p novas variáveis (CPs) independentes com matriz de correlação dada por Sc. Deve-se entender que a matriz Sc descreve a mesma estrutura de correlação

original do processo a partir de novos eixos coordenados descritos pelos autovetores ui. Devido

à sua independência, cada CP reflete um grupo específico de causas de variabilidade do processo. 2 2 1 p i T c =

∑

Pode-se escrever a estatística de Hotelling tradicional na eq. (2) em função dos p CPs da seguinte forma (Kourti & McGregor, 1996):

i i

= λ (4) Através da eq. (4), nota-se que a estatística de Hotelling usual (isto é, utilizando p variáveis

originais) pode ser escrita como uma soma de p CPs, onde é o escore referente ao

i

x u_i i

c = ′

ésimo _{CP obtido a partir da observação x′.}

Dado que o processo está sob controle, existe um determinado número de fontes

importantes de variabilidade presentes, sendo este número pequeno em relação à quantidade de variáveis envolvidas (supondo correlações significativas entre elas). Neste caso, pode-se monitorar o processo usando CPs para reduzir a dimensão original dos dados, visto que, na verdade, a cada nova amostra de medições obtidas das p variáveis, tem-se uma diferente visualização das mesmas fontes de variabilidade. Geralmente dois ou três CPs capturam grande parte da estrutura de correlação das variáveis originais representando, de maneira satisfatória, a variabilidade destas fontes (McGregor, 1995, McGregor & Kourti, 1995). Vários critérios para determinação do número suficiente de CPs estão disponíveis na literatura; para fins de controle estatístico do processo, o critério mas eficiente é a regra da validação cruzada em Jackson (1991).

Monitora-se o processo via CPs projetando cada amostra futura no plano definido pelos q (< p) CPs retidos. Assim, obtém-se para a observação o vetor c

f x′ f x′ U = q,f, de dimensão (q ×

1), contendo q escores ci,f , o valor T de Hotelling [eq. (4) utilizando apenas parcelas

referentes aos q CPs] e o resíduo e . O vetor representa a

observação estimada em função do modelo ACP construído a partir dos q CPs retidos e U

2 , f q f = ′ x′_f −xˆ′_f xˆ_{f q}c_q,f x q

é a matriz, (p × q), das cargas referentes aos q autovetores ui. Deve-se entender que se fossem

utilizados os p CPs no monitoramento, a observação poderia ser rescrita sem erro em função do modelo , com a matriz U, (p × p), contendo em suas linhas p autovetores e com o vetor c f x′ f f U c x =

f, (p × 1), contendo p escores, um para cada CP. É importante destacar que a

matriz Uq guarda em seus autovetores parte substancial da estrutura de correlação das p

variáveis originais no processo sob controle estatístico.

A estatística T representa a distância quadrada padronizada, no plano definido pelos

q CPs retidos no modelo, entre a posição da observação futura (dada pelos q escores c

2 , f

q

i,f ) e a

origem que representa o ponto de variação mínima das principais fontes de variabilidade do processo. Os limites de controle da estatística T são dados na eq. (3) substituindo-se p por q. 2

, f

Se T > LSC, então algumas das principais fontes do processo apresentam variabilidade além do tolerado, dado que apenas causas comuns de variação estão presentes no processo (isto é, algumas variáveis de processo apresentam desvios significativos em relação às suas médias).

2 , f

q

θ

O resíduo e é monitorado através da estatística ′_f

Qf = 2. (5) 1 , , ˆ ) (

∑

Esta estatísticarepresenta a distância perpendicular quadrada entre a observação original e a observação x representada no plano descrito pelos q CPs retidos. Os limites de controle usados na estatística Q são calculados a partir dos autovalores λ

f

x′ ˆ′_f

i obtidos das m

observações preliminares retiradas do processo, utilizando resultados aproximados da distribuição das formas quadráticas (Jackson & Mudholkar, 1979). Tem-se:

LSC = 1/ 0 2 1 0 0 2 1 2 0 2 1 ] ) 1 ( 1 2 [Z h h h h θ θ θ θ θ α _{+ +} − e LIC = 0, (6) onde

∑

∑

∑

será obtido, pois a correspondente observação não será satisfatoriamente descrita pelo modelo xˆ_f =U_qc_q,f .

O monitoramento efetivo é feito, assim, utilizando-se uma carta de Hotelling a partir do

q CPs retidos para controlar a variabilidade das principais fontes do processo e uma carta Q

para monitorar os resíduos do modelo, detectando a presença de possíveis eventos atípicos. Para diagnóstico dos valores significativos de T e/ou Q2

, f

q f , sugere-se a utilização de cartas de

Shewhart para os CPs (Jackson, 1991) associadas a gráficos de contribuição (Miller et al.,1993 e Kourti & McGregor, 1996); maiores detalhes em Marcondes Filho (2001).

Na primeira fase de controle, pode-se utilizar a ACP para selecionar as m amostras que representam o processo em controle estatístico, ou seja, que constituirão a distribuição de referência para monitoramento de amostras futuras (Marcondes Filho, 2001, e McGregor & Kourti, 1995).

4. Monitoramento de Processos em Bateladas via ACPM

Processos em bateladas são utilizados com freqüência na obtenção de produtos

químicos e alimentícios, entre outros. A estrutura dos dados obtidos em um processo em bateladas apresenta diferenças em relação a processos contínuos. Processos em bateladas normalmente não são estacionários (Marsh & Tucker, 1991); consequentemente, a média ou valor alvo das variáveis de processo não é constante (ou seja, ocupa diferentes patamares durante o decorrer de uma batelada), bem como seus limites de tolerância. Desta forma, se uma batelada for bem sucedida, significa que as p variáveis de processo seguiram suas trajetórias padrão (ou trajetórias médias).

Durante cada batelada, amostras consecutivas são obtidas das variáveis de processo; ao final da batelada, dispõem-se de várias mensurações dessas variáveis em pontos espaçados no tempo. Para se construir uma distribuição de referência adequada e realizar um monitoramento eficiente de bateladas futuras, deve-se considerar não apenas a estrutura de correlação das variáveis de processo, mas sua estrutura de autocorrelação. Para tal, é necessário analisar o histórico dessas variáveis em bateladas passadas bem sucedidas, tratando cada batelada como

uma amostra completa do comportamento de cada variável em todos os instantes observados dentro da batelada. Assim, cada batelada observada traz uma amostra das trajetórias de todas as variáveis.

Considere um processo em bateladas sendo monitorado através de p variáveis correlacionadas mensuradas em h instantes dentro de cada batelada. Suponha dados disponíveis acerca de m bateladas bem sucedidas. Tem-se então m observações ,de

dimensão (1 × ph), que trazem as trajetórias padrão das p variáveis nos h instantes observados na batelada. A Análise Componentes Principais Multidirecionais (ACPM) foi proposta por Nomikos & M

x′

c_{Gregor (1994) e consiste em aplicar a ACP na matriz de covariâncias S, (ph ×}

ph), obtida dessas m amostras. Em outras palavras, a ACPM considera p variáveis replicadas h

vezes como ph variáveis distintas e, por conseqüência, autocorrelacionadas. Devido a esta caracterização redundante do processo, poucos CPs irão descrever suficientemente a estrutura de correlação e autocorrelação das p variáveis apresentada na matriz S.

Analogamente ao controle através da ACP apresentado na seção anterior, selecionam-se

q (< ph) CPs e monitora-se o processo projetando cada observação , (1 × ph), referente a uma batelada futura no plano definido pelos q CPs retidos. Os q autovetores u

f x′

i trazem parte

substancial da estrutura de correlação e autocorrelação das p variáveis originais. Obtém-se, então, o vetor cq,f contendo q escores ci,f e compara-se o valor T [eq. (4) utilizando q dentre

as ph parcelas] e o respectivo resíduo Q

2 , f

q

f [eq. (5) com ph parcelas] aos respectivos limites de

controle apresentados nas expressões (3) e (6).

Um valor elevado de T significa que a batelada apresentou uma variabilidade muito além daquela tolerada, considerando a hipótese de apenas causas comuns presentes no processo (ou seja, as variáveis apresentaram trajetórias com desvios significativos em relação às suas trajetórias médias). Por outro lado, um valor elevado de Q

2 , f

q

f indica que a estrutura de

correlação e autocorrelação apresentada pelas variáveis na batelada futura não está de

acordo com a estrutura capturada pelo modelo de referência, construído a partir das m bateladas preliminares bem sucedidas. Neste caso, a exemplo do que foi dito nos processos contínuos, existem indícios de que algum evento atípico, não contemplado na distribuição de referência, esteja presente no processo.

f x′ f q q f , ˆ U c x =

Para diagnosticar valores significativos de T e Q2 , f

q f , novamente sugere-se a utilização

de cartas de Shewhart individuais para os CPs, em conjunto com gráficos de contribuição. Na primeira fase de controle, também se pode utilizar a ACPM para selecionar as

m amostras que representam o processo sob controle estatístico; este procedimento é

detalhado em Marcondes Filho (2001) e Nomikos & McGregor (1995).

4.1 – Monitoramento on-line via ACPM

Na seção acima, foi apresentada a sistemática de operação das CCs via ACMP para monitoramento off-line de processos. Naquele monitoramento, após o término de uma nova batelada, projeta-se a observação (vetor completo contendo ph valores obtidos após o

h

f x′

ésimo _{instante transcorrido), no plano definido pelos q CPs retidos, monitorando os valores}

e Q

2 , f

q

T f. No entanto, pode-se exercer um controle mais acurado do processo monitorando

novas bateladas em tempo real, ou seja, cada nova medição das p variáveis obtida dentro das bateladas. Para tal, dado o instante l transcorrido da batelada (para l = 1,...,h), necessita-se preencher ph – pl dados do vetor x′_f de observações de uma batelada futura.

Três critérios surgem como alternativa para o preenchimento de observações ainda não realizadas de uma batelada; uma discussão sobre estes critérios pode ser encontrada em Nomikos & McGregor (1995). Uma abordagem simples e intuitivamente fácil de entender consiste em assumir que as p variáveis de processo seguirão suas trajetórias médias nos h-l instantes futuros da batelada. Desta forma, deve-se preencher as observações faltantes em com ph – pl zeros (já que os dados em questão encontram-se

padronizados).

f x′

Monitora-se, então, o processo obtendo, a cada novo instante l transcorrido, os valores parciais cql,f contendo q escores c_i =u′_ix

2 , f

ql

f (com o vetor completado segundo

algum critério) e comparando o valor parcial T [eq. (4) utilizando q parcelas dentre as ph parcelas disponíveis] com o limite de controle apresentado na eq. (3). O resíduo parcial Q

f x′

l,f

é obtido através da eq. (5), utilizando somente as parcelas referentes às p medições mais recentes, referentes ao instante l, isto é

Ql,f =

∑

Tal procedimento evita possíveis erros de avaliação sobre o comportamento da batelada, associados ao preenchimento do vetor . Neste caso, os limites de controle serão calculados utilizando os dados das m bateladas preliminares bem sucedidas , considerando apenas o instante l. Nomikos & M

f x′

x′

c_{Gregor (1995) e Marcondes Filho (2001)}

apresentam a base teórica para o cálculo destes limites. Através dos valores parciais T2 e Q

, f

ql l,f pode-se, então, detectar, respectivamente,

desvios significativos das variáveis em torno de suas trajetórias médias, bem como a presença de eventos atípicos no processo durante a realização da batelada. Isto permite uma rápida identificação e correção dos eventuais distúrbios no processo. Nomikos & McGregor (1995), entre outros, apresentam uma aplicação desta abordagem utilizando como cenário um processo em bateladas para produção de polímeros. Marcondes Filho (2001) e Rosa (2001) apresentam duas aplicações desta abordagem em indústrias brasileiras.

5. Conclusão

A crescente automatização de processos industriais vem permitindo a medição on-line de inúmeras variáveis de produto e processo. Tais informações costumam resultar em dados com uma estrutura complexa de correlação e autocorrelação, o que torna seu monitoramento através de cartas univariadas ou multivariadas tradicionais desaconselhável. Uma estratégia de

controle que considere correlações e autocorrelações entre variáveis deve ser privilegiada neste contexto.

Neste artigo, uma alternativa para o monitoramento on-line de processos, as CCs multivariadas aplicadas sobre os resultados de uma análise de componentes principais multidirecionais, é apresentada. O artigo detalha o desenvolvimento teórico dessas CCs, fornecendo subsídios para sua implementação no controle de processos industriais, em particular, processos em bateladas. O desenvolvimento apresentado neste artigo consolida diferentes abordagens na literatura, em particular os trabalhos Nomikos & Mc_{Gregor (1995) e}

Kourti & McGregor (1996).

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