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Métodos de Elementos Finitos e Diferenças. Finitas para o Problema de Helmholtz. Daniel Thomes Fernandes

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(1)

Laborat´orio Nacional de Computa¸c˜ao Cient´ıfica

Programa de P´os Gradua¸c˜ao em Modelagem Computacional

etodos de Elementos Finitos e Diferen¸cas

Finitas para o Problema de Helmholtz

Por

Daniel Thomes Fernandes

PETR ´OPOLIS, RJ - BRASIL MARC¸ O DE 2009

(2)

Livros Grátis

http://www.livrosgratis.com.br

(3)

M´ETODOS DE ELEMENTOS FINITOS E DIFERENC¸ AS FINITAS PARA O PROBLEMA DE HELMHOLTZ

Daniel Thomes Fernandes

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO LABORAT ´ORIO NACIONAL DE COMPUTAC¸ ˜AO CIENT´IFICA COMO PARTE DOS REQUISITOS NE-CESS ´ARIOS PARA A OBTENC¸ ˜AO DO GRAU DE DOUTOR EM MODELA-GEM COMPUTACIONAL

Aprovada por:

Abimael Fernando Dourado Loula

Fr´ed´eric Valentin, Ph.D

Alexandre Madureira, Ph.D

Eduardo Gomes Dutra do Carmo, D.Sc

Fernando Alves Rochinha, D.Sc

Saulo Pomponet Oliveira, Ph.D

Gustavo Benitez Alvarez, D.Sc

PETR ´OPOLIS, RJ - BRASIL MARC¸ O DE 2009

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FERNANDES, DANIEL THOMES

F363m M´etodos de Elementos Finitos e Diferen¸cas Finitas para o Problema de Helmholtz / Daniel Thomes Fernandes. Petrop´olis, RJ. : LNCC/MCT, 2009.

xi, 126 p. : il.24 cm

Orientador:Abimael Fernando Dourado Loula

Tese (D.Sc.) – Laborat´orio Nacional de Computa¸c˜ao Cient´ıfica – LNCC/MCT, 2009.

1. M´etodo dos elementos finitos, 2. M´etodos de difiren¸cas finitas, 3. Equa¸c˜ao de Helmholtz, 4. M´etodos estabilizados

I. LNCC/MCT II. T´ıtulo

(5)
(6)

`

A Seraphina Thomes Fernandes, minha m˜ae, e ao Daniel Fernandes, meu pai, com muito orgulho.

(7)

Agradecimentos

Ao Prof Abimael Loula por me orientar, pela paciˆencia, pela confian¸ca, pelo incentivo e pelos ensinamentos sobre meu trabalho e sobre a vida.

Aos meus pais por terem me permitido ter tantas oportunidades que eles n˜ao tiveram.

Aos colegas do LNCC pelo ambiente agrad´aval de trabalho. `

(8)

Resumo da Tese apresentada ao LNCC/MCT como parte dos requisitos ne-cess´arios para a obten¸c˜ao do grau de Doutor em Ciˆencias (D.Sc.)

M´ETODOS DE ELEMENTOS FINITOS E DIFERENC¸ AS FINITAS PARA O PROBLEMA DE HELMHOLTZ

Daniel Thomes Fernandes Mar¸co, 2009

Orientador: Abimael Fernando Dourado Loula ´

E bem sabido que m´etodos cl´assicos de elementos finitos e diferen¸cas finitas para o problema de Helmholtz apresentam efeito de polui¸c˜ao, que pode deterio-rar seriamente a qualidade da solu¸c˜ao aproximada. Controlar o efeito de polui¸c˜ao ´e especialmente dif´ıcil quando s˜ao utilizadas malhas n˜ao uniformes. Para malhas uniformes com elementos quadrados s˜ao conhecidos m´etodos (p. e. o QSFEM, pro-posto por Babuˇska et al ) que minimizam a polui¸c˜ao. Neste trabalho apresentamos inicialmente dois m´etodos de elementos finitos de Petrov-Galerkin com formula¸c˜ao relativamente simples, o RPPG e o QSPG, ambos com razo´avel robustez para cer-tos tipos de distor¸c˜oes dos elemencer-tos. O QSPG apresenta ainda polui¸c˜ao m´ınima para elementos quadrados. Em seguida ´e formulado o QOFD, um m´etodo de di-feren¸cas finitas aplic´avel a malhas n˜ao estruturadas. O QOFD apresenta grande robustez em rela¸c˜ao a distor¸c˜oes, mas requer trabalho extra para tratar problemas n˜ao homogˆeneos ou condi¸c˜oes de contorno n˜ao essenciais. Finalmente ´e apresen-tado um novo m´etodo de elementos finitos de Petrov-Galerkin, o QOPG, que ´e formulado aplicando a mesma t´ecnica usada para obter a estabiliza¸c˜ao do QOFD, obtendo assim a mesma robustez em rela¸c˜ao a distor¸c˜oes da malha, com a van-tagem de ser um m´etodo variacionalmente consistente. Resultados num´ericos s˜ao apresentados ilustrando o comportamento de todos os m´etodos desenvolvidos em compara¸c˜ao com os m´etodos de Galerkin, GLS e QSFEM.

(9)

Abstract of Thesis presented to LNCC/MCT as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Doctor of Sciences (D.Sc.)

FINITE ELEMENTS AND FINITE DIFFERENCE METHODS FOR THE HELMHOLTZ EQUATION

Daniel Thomes Fernandes March, 2009

Advisor: Abimael Fernando Dourado Loula

It is well known that classical finite elements or finite difference methods for Helmholtz problem present pollution effects that can severely deteriorate the quality of the approximate solution. To control pollution effects is especially dif-ficult on non uniform meshes. For uniform meshes of square elements pollution effects can be minimized with the Quasi Stabilized Finite Element Method (QS-FEM) proposed by Babusˇska el al, for example. In the present work we initi-ally present two relatively simple Petrov-Galerkin finite element methods, referred here as RPPG (Reduced Pollution Petrov-Galerkin) and QSPG (Quasi Stabili-zed Petrov-Galerkin), with reasonable robustness to some type of mesh distortion. The QSPG also shows minimal pollution, identical to QSFEM, for uniform meshes with square elements. Next we formulate the QOFD (Quasi Stabilized Finite Dif-ference) method, a finite difference method for unstructured meshes. The QOFD shows great robustness relative to element distortion, but requires extra work to consider non-essential boundary conditions and source terms. Finally we present a Quasi Optimal Petrov-Galerkin (QOPG) finite element method. To formulate the QOPG we use the same approach introduced for the QOFD, leading to the same accuracy and robustness on distorted meshes, but constructed based on consistent variational formulation. Numerical results are presented illustrating the behavior of all methods developed compared to Galerkin, GLS and QSFEM.

(10)

Sum´

ario

1 Introdu¸c˜ao 1

2 O Problema de Helmholtz 7

2.1 Ondas ac´usticas . . . 7

2.2 Problemas modelos e formula¸c˜oes variacionais . . . 9

2.2.1 Condi¸c˜oes de Robin . . . 9

2.2.2 Condi¸c˜oes de Dirichlet . . . 10

2.2.3 Condi¸c˜oes mistas . . . 11

2.3 Solu¸c˜oes particulares do problema homogˆeneo . . . 12

2.3.1 Ondas planas . . . 12

2.3.2 Ondas evanescentes . . . 13

2.3.3 Ondas n˜ao direcionais . . . 13

2.4 Observa¸c˜ao . . . 15

3 Solu¸c˜ao num´erica por elementos finitos e diferen¸cas finitas 17 3.1 M´etodo de Galerkin . . . 17

3.2 Polui¸c˜ao . . . 18

3.3 N´umero de onda discreto . . . 20

3.3.1 An´alise unidimensional . . . 21

3.3.2 An´alise bidimensional . . . 24

3.4 Ressonˆancia Num´erica . . . 25

3.5 Aproxima¸c˜ao por diferen¸cas finitas . . . 28

(11)

3.7 M´etodos com polui¸c˜ao m´ınima . . . 33

3.7.1 Elementos finitos generalizados: QSFEM . . . 34

3.7.2 Galerkin, volumes finitos e m´ınimos quadrados . . . 37

3.7.3 Galerkin e m´ınimos quadrados ponderados . . . 40

3.8 Observa¸c˜oes . . . 42

4 M´etodos de Petrov-Galerkin 44 4.1 M´etodo com polui¸c˜ao reduzida (RPPG) . . . 44

4.2 M´etodo quase estabilizado (QSPG) . . . 49

4.2.1 Conformidade . . . 51 4.2.2 Parˆametros de estabiliza¸c˜ao . . . 54 4.3 Implementa¸c˜ao computacional . . . 58 4.4 Resultados num´ericos . . . 59 4.4.1 Elementos quadrados . . . 59 4.4.2 Elementos retangulares . . . 60

4.4.3 Elementos distorcidos aleatoriamente . . . 62

4.4.4 Ondas n˜ao direcionais . . . 64

4.4.5 Problema n˜ao homogˆeneo . . . 66

4.4.6 Ondas evanescentes . . . 67

4.4.7 Problema de Dirichlet - ressonˆancia num´erica . . . 69

4.5 Observa¸c˜oes . . . 70

5 M´etodos de diferen¸cas finitas para malhas n˜ao estruturadas 72 5.1 Nota¸c˜oes e defini¸c˜oes . . . 73

5.2 Truncamento nulo em algumas dire¸c˜oes . . . 76

5.3 Minimiza¸c˜ao do erro de truncamento . . . 79

5.4 Caso unidimensional . . . 83

5.5 Caso bidimensional . . . 84

5.5.1 Malhas n˜ao estruturadas . . . 84

(12)

5.6 Implementa¸c˜ao computacional . . . 86

5.7 Resultados num´ericos . . . 88

5.7.1 Elementos quadrados . . . 88

5.7.2 Elementos distorcidos . . . 90

5.7.3 Malhas n˜ao estruturadas . . . 92

5.7.4 Problema de Dirichlet . . . 94

5.8 Observa¸c˜oes . . . 96

6 M´etodos de Petrov-Galerkin com fun¸c˜oes peso quase ´otimas 97 6.1 Macroelementos e fun¸c˜oes bolha . . . 98

6.2 M´etodo quase estabilizado . . . 99

6.3 Fun¸c˜oes peso quase ´otimas . . . 100

6.4 Condi¸c˜oes de contorno . . . 104

6.5 Implementa¸c˜ao computacional . . . 105

6.6 Resultados num´ericos . . . 105

6.6.1 Malhas uniformes . . . 105

6.6.2 Malhas n˜ao uniformes. Perturba¸c˜oes aleat´orias . . . 108

6.6.3 Malhas n˜ao uniformes. Transforma¸c˜ao biquadr´atica . . . 111

6.6.4 Problema de Helmholtz n˜ao homogˆeneo . . . 113

6.6.5 Ondas n˜ao direcionais . . . 115

7 Conclus˜oes e futuros desenvolvimentos 118

(13)

Cap´ıtulo

1

Introdu¸c˜

ao

A equa¸c˜ao de Helmholtz tem importantes aplica¸c˜oes em problemas lineares de propaga¸c˜ao de ondas harmˆonicas, como por exemplo ondas ac´usticas, ondas el´asticas e em eletromagnetismo (Ihlenburg (1998)). Muitas vezes h´a interesse pr´atico em obter solu¸c˜oes aproximadas tanto para problemas diretos ou inversos envolvendo essa equa¸c˜ao.

Uma caracter´ıstica do problema direto de particular relevˆancia para a apli-ca¸c˜ao de m´etodos de elementos finitos ou diferen¸cas finitas ´e a natureza oscilat´oria das solu¸c˜oes da equa¸c˜ao de Helmholtz. Na aplica¸c˜ao desses m´etodos ´e necess´ario ajustar a distˆancia m´axima h entre dois pontos nodais ao n´umero de onda k, de modo que exista um n´umero m´ınimo desses pontos dentro de cada comprimento de onda, permitindo assim que a solu¸c˜ao aproximada possa capturar as oscila¸c˜oes da solu¸c˜ao exata. Estudando as propriedades do espa¸co de elementos finitos fica expl´ıcito que de fato, para diferentes valores de k, uma regra do tipo “kh constante” ´e suficiente para controlar o erro de interpola¸c˜ao.

No entanto, no caso dos m´etodos de elementos finitos baseados na formula¸c˜ao cl´assica de Galerkin, os testes computacionais e a an´alise num´erica revelam que manter kh constante n˜ao ´e suficiente quando k ´e grande. Apesar de o m´etodo de Galerkin ter convergˆencia em rela¸c˜ao a h assintoticamente ´otima na norma do espa¸co H1, quando se trata de valores altos de k o refinamento da malha

(14)

n˜ao robusto em rela¸c˜ao a k ´e conhecido como efeito de polui¸c˜ao e est´a relacionado `a diferen¸ca entre o n´umero de onda k da solu¸c˜ao exata e o n´umero de onda da solu¸c˜ao aproximada kh. Dificuldade da mesma natureza ocorre com m´etodos de

di-feren¸cas finitas. Valores altos de k s˜ao comuns em aplica¸c˜oes, tornando importante a quest˜ao de como contornar o efeito de polui¸c˜ao.

Em problemas unidimensionais, o m´etodo GLS (Galerkin-M´ınimos Quadra-dos) (Harari e Hughes (1991)) elimina a diferen¸ca k− kh, o que torna esse m´etodo

livre de polui¸c˜ao. Em duas ou mais dimens˜oes sabemos (Babuˇska e Sauter (1997)) que ´e imposs´ıvel eliminar totalmente o efeito de polui¸c˜ao. Por exemplo, o m´etodo GLS permite fazer com que o n´umero de onda discreto coincida com o n´umero de onda exato para ondas planas em uma dire¸c˜ao escolhida (Thompson e Pinsky (1995)), mas em geral o erro de polui¸c˜ao continua sendo da mesma ordem que no m´etodo de Galerkin. O melhor que se pode ter s˜ao os chamados m´etodos com polui¸c˜ao m´ınima, nos quais o erro de polui¸c˜ao ´e de ordem bastante reduzida. O m´etodo quase estabilizado (QSFEM) ´e descrito por Babuˇska et al. (1995) como um m´etodo de elementos finitos generalizado com polui¸c˜ao m´ınima. Nesse m´etodo os coeficientes que definem o operador de Helmholtz aproximado s˜ao escolhidos de modo que a diferen¸ca k−khseja minimizada em certo sentido. Conforme proposto

por Babuˇska et al. (1995), o QSFEM ´e restrito a malhas uniformes com elementos quadrados e, como n˜ao ´e constru´ıdo a partir de uma formula¸c˜ao variacional, o QSFEM pode ser mais bem descrito como um m´etodo de diferen¸cas finitas.

M´etodos variacionalmente consistentes e com propriedades de estabiliza¸c˜ao equivalentes `as do QSFEM foram obtidos posteriormente de v´arias formas, in-cluindo o m´etodo baseado em res´ıduos proposto por Oberai e Pinsky (2000), m´etodos de elementos finitos descont´ınuos (Alvarez et al. (2006)) e (Loula et al. (2007)). Dois m´etodos tamb´em baseados em formula¸c˜oes variacionais residuais de Galerkin ser˜ao apresentados neste trabalho, um combinando res´ıduos de Galer-kin, volumes finitos e m´ınimos quadrados (Se¸c˜ao 3.7.2) e outro usando res´ıduos de Galerkin e de m´ınimos quadrados ponderados (Se¸c˜ao 3.7.3). Esses m´etodos

(15)

tˆem propriedades de estabiliza¸c˜ao equivalentes `as do m´etodo QSFEM para malhas uniformes com elementos quadrados, permenecendo em aberto a estabiliza¸c˜ao com malhas n˜ao uniformes.

Todos os m´etodos citados acima possuem parˆametros livres que s˜ao ajustados para malhas uniformes com elementos quadrados de lado h. Em tais malhas ´e poss´ıvel, atrav´es da an´alise de dispers˜ao, obter a rela¸c˜ao entre o n´umero de onda discreto e o n´umero de onda exato e com isso minimizar a diferen¸ca entre os dois escolhendo parˆametros apropriados. Para malhas mais gerais a an´alise de dispers˜ao n˜ao se aplica diretamente, sendo comum na pr´atica calcular um comprimento m´edio h para cada elemento e ent˜ao adotar parˆametros de estabiliza¸c˜ao calculados como se os elementos fossem quadrados. Entretanto, os parˆametros de estabiliza¸c˜ao assim obtidos est˜ao longe dos valores ´otimos quando se trata de malhas distorcidas. Dada a grande sensibilidade da solu¸c˜ao aproximada a varia¸c˜oes no n´umero de onda discreto, essas estrat´egias baseadas em parˆametros ´otimos obtidos para malhas uniformes n˜ao funcionam muito bem.

Podemos afirmar que n˜ao existem m´etodos de elementos finitos lagrangianos lineares ou bilineares precisos e robustos para an´alise num´erica do problema de Helmholtz em malhas n˜ao uniformes e n˜ao estruturadas, para n´umeros de onda elevados. De acordo com Zienkiewicz esse ´e um problema em aberto (Zienkiewicz (2000)). Alternativamente, foram desenvolvidos m´etodos h´ıbridos usando fun¸c˜oes n˜ao polinomiais, especialmente ondas planas (Farhat et al. (2003)). Ainda visando estabilidade, tamb´em foram propostos m´etodos de elementos finitos com bolhas n˜ao polinomiais (Harari e Gosteev (2007)) incluindo o RBF ou Residual Free Bubbles (Franca et al. (1997)).

Outra quest˜ao igualmente relevante para a solu¸c˜ao num´erica do problema de Helmholtz ´e a ressonˆancia. Dependendo das condi¸c˜oes de contorno e do dom´ınio, podem existir n´umeros de onda para os quais o problema original admite infinitas solu¸c˜oes. Como o n´umero de onda discreto ´e diferente do original, ´e poss´ıvel ocorrer ressonˆancia na solu¸c˜ao num´erica que n˜ao existe na solu¸c˜ao exata. Essa ressonˆancia

(16)

num´erica pode deteriorar seriamente a qualidade da solu¸c˜ao aproximada e ´e mais grave quanto maior for o n´umero de onda. Esse problema tamb´em ´e amenizado quando o erro no n´umero de onda ´e reduzido.

Objetivo da Tese

De forma simples e direta, o objetivo desta tese ´e formular m´etodos de ele-mentos finitos e de diferen¸cas finitas para o problema de Helmholtz que sejam quase est´aveis, no sentido definido por Babuˇska, isto ´e, capazes de minimizar ou pelo menos reduzir significativamente o erro de polui¸c˜ao t´ıpico destas aproxima¸c˜oes e razoavelmente robustos quando aplicados a malhas mais gerais do que malhas uniformes, incluindo malhas n˜ao estruturadas.

Principais resultados

No Cap´ıtulo 4 s˜ao propostos dois m´etodos de elementos finitos, formulados como m´etodos de Petrov-Galerkin. O espa¸co Uh onde a solu¸c˜ao aproximada ´e

pro-curada ´e o espa¸co com elementos lagrangianos C0 bilineares usual. No primeiro

m´etodo, denominado RPPG (Reduced Pollution Petrov-Galerkin), o espa¸co Vh ´e

constru´ıdo de forma bastante simples e direta, sem parˆametros dependentes da geo-metria dos elementos ou do n´umero de onda. Apesar da simplicidade observam-se resultados muito melhores em rela¸c˜ao ao m´etodo de Galerkin, por exemplo, bem como em rela¸c˜ao ao GLS. No segundo m´etodo (Quasi Stabilized Petrov-Galerkin, ou QSPG) s˜ao introduzidos parˆametros que dependem diretamente dos compri-mentos de todos os lados dos elecompri-mentos e do n´umero de onda, aumentando um pouco a complexidade mas resultando em polui¸c˜ao m´ınima no caso de elementos quadrados e uma maior estabilidade em elementos mais gerais. Nos dois casos as fun¸c˜oes base nodais do espa¸co Vh s˜ao constru´ıdas para ter os mesmos suportes das

fun¸c˜oes base correspondentes no espa¸co Uh, garantindo assim que as matrizes

(17)

a matriz correspondente do m´etodo de Galerkin. O RPPG e o QSPG mostram-se especialmente eficientes para elementos alongados. Para distor¸c˜oes mais gerais eles n˜ao s˜ao t˜ao rubustos, mas mantˆem um desempenho melhor do que o m´etodos de Galerkin ou GLS.

No Cap´ıtulo 5 ´e proposto um m´etodo de diferen¸cas finitas aplic´avel a malhas n˜ao uniformes e n˜ao estruturadas, para dom´ınios bidimensionais ou tridimensio-nais. Este m´etodo, que denominamos QOFD (Quase Optimal Finite Difference method), ´e obtido atrav´es de um novo crit´erio usado na formula¸c˜ao do operador discreto: a minimiza¸c˜ao do res´ıduo do operador aplicado a ondas planas em todas as dire¸c˜oes poss´ıveis. Nesse crit´erio toda a geometria dos elementos ´e levada em conta naturalmente. Quando todos os elementos s˜ao quadrados iguais, o erro no n´umero de onda ´e da mesma ordem que nos m´etodos com polui¸c˜ao m´ınima. Expe-rimentos num´ericos indicam que para malhas distorcidas os ganhos de estabilidade s˜ao muito significativos.

No Cap´ıtulo 6 o crit´erio usado no m´etodo QOFD ´e aplicado na contru¸c˜ao do espa¸co das fun¸c˜oes peso para um m´etodo de elementos finitos de Petrov-Galerkin. O objetivo dessa formula¸c˜ao ´e aliar os bons resultados do m´etodo QOFD para malhas n˜ao estruturadas `a facilidade dos m´etodos variacionalmente consistentes em tratar termos de fonte e condi¸c˜oes de contorno mais gerais. Trata-se de uma formulac˜ao variacional conforme de Petrov-Galerkin nos espa¸cos de elementos fini-tos lagragianos usuais de classe C0, lineares ou bilineares, associados a espa¸cos de

fun¸c˜oes peso tamb´em lagrangianas geradas por combina¸c˜oes lineares de bolhas po-linomiais definidas em macroelementos. Essa nova formula¸c˜ao de Petrov-Galerkin denominamos QOPG (Quasi Optimal Petrov-Galerkin), em analogia a QOFD.

A an´alise num´erica de m´etodos de elementos finitos para o problema de Helmholtz ´e, em geral, uma quest˜ao em aberto. Existem an´alises rigorosas para problemas unidimensionais (Ihlenburg e Babuˇska (1995a), Ihlenburg e Babuˇska (1997)), e expectativas de que os resultados destas an´alises podem ser aplica-dos a problemas bi ou tri dimensionais. Por outro lado, apoiaaplica-dos em in´umeros

(18)

exemplos e contra-exemplos que ilustram as dificuldades inerentes ao problema (polui¸c˜ao e ressonˆancia num´erica, por exemplo), existe um grande n´umero de es-tudos num´ericos de convergˆencia visando caracterizar propriedades de estabilidade e precis˜ao de novas formula¸c˜oes que s˜ao frequentemente propostas para superar estas dificuldades.

Dentre todas as formula¸c˜oes aqui estudadas, no contexto de m´etodos de ele-mentos finitos lagrangianos lineares ou bilineares, a formula¸c˜ao de Petrov-Galerkin do Cap´ıtulo 6 (o QOPG) ´e a que apresenta melhores propriedades de estabilidade, precis˜ao e robustez a distor¸c˜oes de malhas em um amplo conjunto de testes de convergˆencia.

(19)

Cap´ıtulo

2

O Problema de Helmholtz

Neste cap´ıtulo a equa¸c˜ao de Helmholtz com condi¸c˜oes de contorno mais co-muns ´e apresentada brevemente, inicialmente como um problema de ac´ustica e em seguida na forma de problemas modelos que ser˜ao tratados neste trabalho.

2.1

Ondas ac´

usticas

Uma das aplica¸c˜oes da equa¸c˜ao de Helmholtz mais frequente e relevante ´e o estudo de propaga¸c˜ao de ondas sonoras. Nesse tipo de problema as vari´aveis envolvidas (press˜ao, velocidade, densidade) s˜ao pequenas varia¸c˜oes de um estado est´atico, o que torna poss´ıvel linearizar e simplificar as equa¸c˜oes gerais que gover-nam o comportamento dessas grandezas e chegar `a equa¸c˜ao da onda

∆φ− 1 c2

∂2φ

∂t2 = 0, (2.1)

onde φ pode ser tanto o campo de press˜ao quanto um potencial de velocidade e c ´e a velocidade do som no meio.

Para ondas harmˆonicas no tempo da forma

φ(x, t) = Reu(x)e−iωt i =√−1 (2.2)

(20)

componete espacial do campo φ, satisfaz a equa¸c˜ao de Helmholtz

− ∆u − k2u = 0, (2.3)

com k2 = ω2/c2.

Em problemas de espalhamento ac´ustico uma onda incidente conhecida ui

´e espalhada por um obst´aculo D ⊂ Rd resultando em uma onda espalhada u s.

Nesse caso o campo total u = ui+ us satisfaz a equa¸c˜ao de Helmholtz em Rdr D. Quando D ´e um obst´aculo sound-hard, a velocidade normal se anula no contorno, ou seja, a onda total u satisfaz condi¸c˜oes de contorno de Neumman

∂u

∂n = 0 em ∂D. (2.4)

Quando o obst´aculo ´e do tipo sound-soft o excesso de press˜ao se anula em ∂D, resultando em condi¸c˜oes de Dirichlet

u = 0 em ∂D. (2.5)

Uma situa¸c˜ao mais geral ´e quando a velocidade normal ´e proporcional ao excesso de press˜ao no contorno, nesse caso temos condi¸c˜oes de Robin

∂u

∂n + iλu = 0 em ∂D, (2.6)

para uma constante λ > 0. Finalmente, para garantir a unicidade da solu¸c˜ao, ´e introduzida a condi¸c˜ao de radia¸c˜ao de Sommerfeld

lim r→∞  ∂us ∂r − ikus  = 0 (2.7) onde r =|x|.

No contexto de elementos finitos, problemas exteriores como o descrito acima s˜ao tratados introduzindo condi¸c˜oes de contorno absorventes aproximadas em um

(21)

contorno artificial em torno do obst´aculo. Esse tipo de problema n˜ao ser´a tratado neste trabalho, visto que o nosso foco ´e na discretiza¸c˜ao do operador de Helmholtz, que, como ser´a visto ao longo deste trabalho, apresenta por si s´o dificuldades consider´aveis.

Assim, nos limitaremos apenas a problemas interiores com condi¸c˜oes de Di-richlet e/ou Robin.

2.2

Problemas modelos e formula¸c˜

oes variacionais

Os m´etodos que ser˜ao apresentados neste trabalho ser˜ao testados para o problema de Helmholtz com trˆes tipos de condi¸c˜oes de contorno. Em todos os casos consideramos um dom´ınio aberto limitado Ω ⊂ Rdcom contorno ∂Ω Lipschitz

cont´ınuo.

Os m´etodos de elementos finitos s˜ao formulados a partir da forma variacional do problema tratado. Para os casos considerados neste trabalho temos sempre a forma variacional abstrata:

• Encontrar o campo u ∈ U tal que

a(u, v) = f (v) para todo v ∈ V, (2.8)

onde a forma sesquilinear a(u, v), o funcional antilinear f (v) e os conjuntos U e V variam de acordo com as condi¸c˜oes de contorno. A seguir ser˜ao apresentados resumidamente algumas situa¸c˜oes consideradas neste trabalho.

2.2.1 Condi¸c˜oes de Robin

Na forma cl´assica procuramos u satisfazendo

−∆u − k2u = f em Ω, (2.9)

∂u

(22)

A forma variacional (2.8) associada ao problema (2.9)-(2.10) ´e obtida com a(u, v) = Z Ω∇u∇v − k 2uv dx + ik Z ∂Ω uv ds, (2.11) f (v) = Z Ω f v dx + Z ∂Ω gv ds, (2.12) U = V = H1(Ω), (2.13)

onde v denota o conjugado complexo de v. Para f ∈ H−1(Ω) e g ∈ H−1

2(∂Ω), o problema variacional acima admite uma

´

unica solu¸c˜ao u (Melenk (1995), Proposi¸c˜ao 8.1.3) que satisfaz a estimativa

k∇ukL2(Ω)+ kkukL2(Ω) ≤ C(Ω, k)  kfkH−1(Ω)+kgk H− 12(Ω)  . (2.14)

Uma caracter´ıstica importante desta formula¸c˜ao merece destaque. A dis-sipa¸c˜ao gerada pelas condi¸c˜oes de contorno de Robin previne a ressonˆancia, evi-tando assim instabilidades devidas a ressonˆancia num´erica. O mesmo n˜ao ocorre com condi¸c˜oes de contorno de Dirichlet ou Neumann.

2.2.2 Condi¸c˜oes de Dirichlet

O problema de Helmholtz com condi¸c˜oes de contorno de Dirichlet

−∆u − k2u = f em Ω, (2.15)

u = g em ∂Ω, (2.16)

´e equivalente a forma fraca (2.8) com:

a(u, v) = Z Ω∇u∇v − k 2uv dx, (2.17) f (v) = Z Ω f v dx, (2.18) U = u∈ H1(Ω) : u = g em ∂Ω , (2.19) V =v ∈ H1(Ω) : v = 0 em ∂Ω . (2.20)

(23)

Um aspecto importante do problema de Dirichlet ´e que quando k2 ´e um

autovalor do operador −∆ com g = 0, n˜ao h´a unicidade da solu¸c˜ao, ocorrendo o fenˆomeno conhecido como ressonˆancia. Por exemplo, se Ω for o retˆangulo (0, a)× (0, b), ent˜ao os autovalores s˜ao dados por

λmn = π2 m a 2 +n b 2 , (2.21)

com autofun¸c˜oes associadas

umn(x, y) = sen mπx a  sennπx b  , (2.22)

onde m, n ∈ {1, 2, 3, . . . }. Assim, se u ´e uma solu¸c˜ao do problema (2.15)-(2.16) com k2 igual a um dos λ

mn, ent˜ao toda fun¸c˜ao da forma u + αumn com qualquer

constante α tamb´em ´e uma solu¸c˜ao.

No contexto dos m´etodos num´ericos pode ocorrer de o n´umero de onda da solu¸c˜ao aproximada e os autovalores do problema discreto serem bastante dife-rentes do n´umero de onda exato e dos autovalores originais. Assim, mesmo que k n˜ao cause ressonˆancia, pode acontecer de observarmos ressonˆancia na solu¸c˜ao aproximada, problema conhecido como ressonˆancia num´erica. Esse assunto ser´a retomado e exemplificado no Cap´ıtulo 3.

2.2.3 Condi¸c˜oes mistas

Uma outra situa¸c˜ao que ser´a testada numericamente ´e o problema com condi¸c˜oes mistas:

−∆u − k2u = f em Ω, (2.23)

u = g em ΓD, (2.24)

∂u

(24)

onde ΓD ∪ ΓR = ∂Ω e ΓD ∩ ΓR = ∅. Nesse caso a formula¸c˜ao variacional (2.8) ´e obtida com a(u, v) = Z Ω∇u∇v − k 2uv dx + ik Z ΓR uv ds, (2.26) f (v) = Z Ω f v dx + Z ΓR rv ds, (2.27) U =u∈ H1(Ω) : u = g em Γ D , (2.28) V =v ∈ H1(Ω) : v = 0 em ΓD . (2.29)

2.3

Solu¸c˜

oes particulares do problema homogˆ

eneo

Apresentamos a seguir algumas solu¸c˜oes particulares que ser˜ao consideradas neste trabalho, no caso em que f = 0.

2.3.1 Ondas planas

Dado um vetor unit´ario σ ∈ Rd, a onda plana na dire¸c˜ao σ ´e dada por

w(x) = eikσ·x. (2.30) Considerando que ∆w = div(∇w) = div(ikwσ) = ik(w div σ +∇w · σ) = ik(0 + (ikwσ)· σ) = i2k2σ· σw =−k2w, (2.31)

conclu´ımos que tais ondas planas satisfazem o problema de Helmholtz homogˆeneo. No caso bidimensional, a dire¸c˜ao pode ser escrita como σ = (cos θ, sen θ).

(25)

Substituindo na express˜ao (2.30) obtemos a onda plana na dire¸c˜ao θ:

w(x, y) = eik(x cos θ+y sen θ) (2.32)

= cos k(x cos θ + y sen θ)+ i sen k(x cos θ + y sen θ). (2.33)

2.3.2 Ondas evanescentes Dados

α > k, (2.34)

β =√α2− k2, (2.35)

θ ∈ R, (2.36)

ent˜ao a fun¸c˜ao u : R2 → C definida por

u(x, y) = e−β(x sen θ−y cos θ)eiα(x cos θ+y sen θ) (2.37)

satisfaz a equa¸c˜ao de Helmholtz homogˆenea, como pode ser verificado diretamente calculando as derivadas parciais.

Tais ondas tˆem comportamento oscilat´orio na dire¸c˜ao θ e exponencial na dire¸c˜ao perpendicular a θ.

2.3.3 Ondas n˜ao direcionais

Para verificar o desempenho dos m´etodos num´ericos quando a solu¸c˜ao n˜ao ´e uma onda com uma dire¸c˜ao bem definida, consideraremos solu¸c˜oes constru´ıdas da forma que segue.

Em coordenadas polares (r, θ), a equa¸c˜ao de Hemholtz homogˆenea ´e 1 r ∂ ∂r  r∂u ∂r  + 1 r2 ∂2u ∂θ2 + k 2u = 0. (2.38)

(26)

Buscando uma solu¸c˜ao por separa¸c˜ao de vari´aveis da forma

u(r, θ) = R(r)T (θ), (2.39)

com T peri´odica para assegurar regularidade, obtemos d2R dr2T + 1 r dR drT + 1 r2 d2T dθ2R + k 2RT = 0. (2.40)

Multiplicando por r/(RT ), resulta  r2 R d2R dr2 + r R dR dr + k 2r2  +  1 T d2T dθ2  = 0. (2.41)

Considerando que um dos termos acima depende somente de r e o outro somente de θ, ent˜ao a igualdade s´o pode ser satisfeita se ambos forem constantes. Resolvendo

1 T

d2T

dθ2 =−n

2 (2.42)

para uma constante n, obtemos

T (θ) = A cos(nθ) + B sen(nθ). (2.43)

Para que u seja cont´ınua, T deve ser peri´odica com per´ıodo 2π, logo n deve ser inteiro. J´a a solu¸c˜ao geral da equa¸c˜ao

 r2 R d2R dr2 + r R dR dr + k 2r2  − n2 = 0, (2.44)

para r 6= 0, ´e dada por

R(r) = CJn(kr) + DYn(kr), (2.45)

(27)

respectivamente. As solu¸c˜oes que ser˜ao testadas s˜ao obtidas com as constantes

A = 1, (2.46)

B = 0, (2.47)

C = 1, (2.48)

D = i (2.49)

e com v´arios valores de n∈ {0, 1, 2, · · · }. Ou seja

u(r, θ) = cos(nθ)Hn(1)(kr), (2.50)

onde Hn(1) = Jn+ iYn ´e a fun¸c˜ao de Hankel de primeiro tipo e ordem n. Yn(r) ´e

singular em r = 0, portanto consideraremos apenas dom´ınios Ω tais que 0 /∈ Ω. Fazendo as substitui¸c˜oes

r =px2+ y2, (2.51)

cos θ = p x

x2+ y2 (2.52)

e lembrando que cos(nθ) = Tn(cos θ), onde Tn ´e o polinˆomio de Chebyshev de

primeiro tipo e ordem n, ent˜ao obtemos em coordenadas cartesianas:

u(x, y) = Tn x p x2+ y2 ! Hn(1)kpx2+ y2. (2.53)

2.4

Observa¸c˜

ao

An´alise num´erica e estudos de convergˆencia de aproxima¸c˜oes por elemen-tos finielemen-tos ou por diferen¸cas finitas mostram que as propriedades de estabilidade, convergˆencia e precis˜ao destas aproxima¸c˜oes est˜ao intimamente relacionadas `as cor-respondentes discretiza¸c˜oes do operador de Helmholtz. Assim, tem sido observado que os efeitos de polui¸c˜ao e ressonˆancia num´erica s˜ao muito sens´ıveis a ordem

(28)

des-sas aproxima¸c˜oes. Por outro lado, a estabiliza¸c˜ao das aproxima¸c˜oes de um modo geral e, em particular, das aproxima¸c˜oes de baixa ordem requer conhecimento de solu¸c˜oes do problema homogˆeneo na determina¸c˜ao de parˆametros de estabiliza¸c˜ao (como no GLS, por exemplo) ou na pr´opria constru¸c˜ao do operador de Helmholtz discreto (como no QSFEM). Neste trabalho frequentemente ser˜ao utilizadas ondas planas, solu¸c˜oes do problema de Helmholtz, na determina¸c˜ao de parˆametros de es-tabiliza¸c˜ao em formula¸c˜oes de elementos finitos de Petrov-Galerkin e na constru¸c˜ao de aproxima¸c˜oes por difere¸cas finitas.

(29)

Cap´ıtulo

3

Solu¸c˜

ao num´

erica por elementos finitos e

diferen¸cas finitas

Neste cap´ıtulo ser´a apresentada uma breve revis˜ao da literatura sobre m´e-todos de elementos finitos e de diferen¸cas finitas para o problema de Helmholtz. Inicialmente ser´a apresentado o m´etodo cl´assico de elementos finitos lagrangianos lineares ou bilineares baseado na formula¸c˜ao de Galerkin, discutidas suas propri-edades ressaltando as suas limita¸c˜oes. Alguns m´etodos de elementos finitos esta-bilizados baseados em formula¸c˜oes residuais, como o GLS, ser˜ao tamb´em revistos bem como m´etodos de elementos finitos generalizados, como o QSFEM que mais se adapta a estrutura dos m´etodos de diferen¸cas finitas.

3.1

etodo de Galerkin

Seja Mh ={Ω1, . . . , ΩN e} uma parti¸c˜ao regular de Ω em Ne elementos finitos

n˜ao degenerados tais que

Ωe∩ Ωe0 =∅ para e 6= e0 e (3.1) Ω∪ ∂Ω = N e [ e=1 (Ωe∪ ∂Ωe). (3.2)

Nos m´etodos de elementos finitos tratados neste trabalho ser˜ao considerados ape-nas elementos lagrangianos C0 lineares em 1D ou bilineares em 2D (elementos

(30)

quadrilaterais). O espa¸co de elementos finitos gerado por esses elementos ser´a in-dicado por Sh(Ω). As fun¸c˜oes base nodais de Sh associadas aos pontos nodais xi

ser˜ao denotadas por φi.

Definindo apropriadamente conjuntos Uh ⊂ Sh e Vh ⊂ Sh, a solu¸c˜ao

aproxi-mada pelo m´etodo de Galerkin ´e obtida resolvendo o problema variacional: • Encontrar uh ∈ Uh tal que

a(uh, vh) = f (vh)∀ vh ∈ Vh, (3.3)

onde a(u, v) e f (v) s˜ao as formas definidas no Cap´ıtulo 2 para cada tipo de condi¸c˜ao de contorno associada `a equa¸c˜ao de Helmholtz.

Para o m´etodo de Galerkin, em todos os casos considerados no Cap´ıtulo 2 temos que

Vh = Sh∩ V. (3.4)

No caso do conjunto Uh, para condi¸c˜oes de Robin temos

Uh = Sh. (3.5)

Para o problema de Dirichlet, em geral n˜ao ´e poss´ıvel que as fun¸c˜oes do espa¸co Uh satisfa¸cam as condi¸c˜oes de contorno exatamente. Assim, para o problema de

Dirichlet temos que

Uh ={uh ∈ Sh : uh = gh em ∂Ω}, (3.6)

onde gh ´e a interpolante de g em ∂Ω.

3.2

Polui¸c˜

ao

Para problemas el´ıpticos sim´etricos a aproxima¸c˜ao de Galerkin ´e a melhor aproxima¸c˜ao na norma da energia. Mas para o problema de Helmholtz esse n˜ao

(31)

´e o caso. Para valores altos de k o operador de Helmholtz se torna indefinido e o m´etodo de Galerkin apresenta s´erios problemas, como instabilidade e polui¸c˜ao (Ihlenburg e Babuˇska (1995a), Babuˇska et al. (1995), Babuˇska e Sauter (1997), Ihlenburg (1998)). Uma an´alise completa do m´etodo de Galerkin para o caso unidimensional ´e feita em (Ihlenburg e Babuˇska (1995a)) onde a seguinte estimativa ´e provada para o erro relativo na seminorma do H1:

|u − uh|

|u| ≤ C1kh + C2k

3h2, kh < 1, (3.7)

com C1 e C2 independentes de k e h.

O primeiro termo na estimativa acima corresponde ao erro de interpola¸c˜ao, que ´e da mesma ordem do erro da melhor aproxima¸c˜ao no espa¸co de elementos finitos usado. O segundo corresponde `a polui¸c˜ao num´erica. Para diferentes va-lores de k, manter kh constante ´e suficiente para manter o erro de interpola¸c˜ao constante. Mas para manter o erro de polui¸c˜ao controlado ´e preciso manter k2h

suficientemente pequeno (Douglas et al. (1993)). Ou seja, para valores crescentes de k o m´etodo de Galerkin ´e cada vez menos capaz de bem aproveitar a capacidade de aproxima¸c˜ao do espa¸co de elementos finitos, o que faz com que a aproxima¸c˜ao de Galerkin se torne cada vez mais distante da melhor aproxima¸c˜ao.

A Figura 3.1 compara a convergˆencia da interpolante e da aproxima¸c˜ao de Galerkin para um problema unidimensional com k = 100, com condi¸c˜oes de Di-richlet em x = 0 e Robin em x = 1. Podemos notar que para h suficientemente pequeno o erro de uh se aproxima do erro da interpolante na norma do H1, mas

isso ocorre apenas para h < 1/1000, o que teria um custo exageradamente alto para problemas bidimensionais, ou ainda maior para problemas tridimensionais.

Em (Ihlenburg e Babuˇska (1995b)) ´e provada a seguinte estimativa na norma L2(0, 1):

ku − uhk

kuk ≤ (C3+ C4k)k

2h2. (3.8)

(32)

m´etodo de Galerkin n˜ao ´e eliminado com o refinamento, como ocorre na norma H1

(equa¸c˜ao (3.7)). Podemos observar isso na Figura 3.1, o gr´afico da convergˆencia em L2 da aproxima¸c˜ao de Galerkin nunca se aproxima do gr´afico da interpolante,

mantendo sempre um gap, que depende do n´umero de onda k.

Essa situa¸c˜ao torna-se ainda mais cr´ıtica com a poss´ıvel ocorrˆencia de res-sonˆancias num´ericas, dependendo do tipo de condi¸c˜ao de contorno.

2 2.5 3 3.5 4 − log(h) -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 lo g  |u − uh | |u |  Interpolante Galerkin 1 1 2 2.5 3 3.5 4 − log(h) -5 -4 -3 -2 -1 0 lo g  k u − uh k k u k  Interpolante Galerkin 1 2

Figura 3.1: Convergˆencia para o problema unidimensional, k = 100, condi¸c˜oes de contorno de Dirichlet em x = 0 Robin em x = 1.

Para o caso bidimensional n˜ao existe uma an´alise num´erica completa para o m´etodo de Galerkin. Mas ´e de se esperar que o efeito de polui¸c˜ao seja pelo menos t˜ao cr´ıtico quando no caso unidimensional, o que de fato tem sido verificado nos estudos num´ericos.

3.3

umero de onda discreto

Uma caracter´ıstica estreitamente relacionada ao efeito de polui¸c˜ao ´e a dife-ren¸ca entre o n´umero de onda k da solu¸c˜ao exata e o n´umero de onda kh da solu¸c˜ao

aproximada. Para melhor ilustrar essa quest˜ao, consideramos inicialmente o caso unidimensional. Em seguida o caso bidimensional ser´a tamb´em analisado.

(33)

3.3.1 An´alise unidimensional

Consideremos o problema unidimensional

u00+ k2u = 0 em (0, 1). (3.9)

Suponhamos que as condi¸c˜oes de contorno e o n´umero de onda k estejam devida-mente definidos de modo que a solu¸c˜ao seja ´unica. A solu¸c˜ao geral desse problema ´e dada pela express˜ao

u(x) = c1eikx+ c2e−ikx, (3.10)

onde c1 e c2 s˜ao determinados de acordo com as condi¸c˜oes de contorno.

Se considerarmos uma discretiza¸c˜ao uniforme do dom´ınio em elementos de comprimento h, com pontos nodais xi = ih, ent˜ao as equa¸c˜oes associadas aos n´os

interiores tˆem todas a forma

Rui−1+ 2Sui+ Rui+1= 0, (3.11)

onde ui s˜ao os valores nodais da solu¸c˜ao aproximada. Procurando por uma solu¸c˜ao

da forma

ui = ei˜kxi, (3.12)

ent˜ao obtemos, para os n´os interiores, as equa¸c˜oes

Rei˜k(xi−h)+ 2Sei˜kxi + Rei˜k(xi+h) = 0. (3.13)

Dividindo a equa¸c˜ao anterior por ei˜kxi obtemos

Re−i˜kh+ 2S + Rei˜kh = 0, (3.14)

ou ainda,

(34)

de onde obtemos duas solu¸c˜oes

˜

k =±kh (3.16)

onde kh ´e o chamado n´umero de onda discreto:

kh = 1 harccos  −RS  . (3.17)

Assim, temos a forma geral da solu¸c˜ao aproximada

uh(x) = ˜c1eik

hx

+ ˜c2e−ik

hx

, (3.18)

com um n´umero de onda kh possivelmente diferente do n´umero de onda exato k.

No m´etodo de Galerkin temos

R =−1 − (kh) 2 6 , (3.19) S = 1− (kh) 2 3 . (3.20)

Nesse caso a equa¸c˜ao (3.17) tem solu¸c˜ao real desde que kh < √12. Sendo assim, expandindo (3.17) em s´erie de Taylor em torno de kh = 0 obtemos

k− kh

k =

(kh)2

24 + O (kh)

4. (3.21)

A Figura 3.2 ilustra o efeito dessa diferen¸ca para crescentes valores do n´umero de onda, com o erro de interpola¸c˜ao constante (kh = 1). Foram usadas condi¸c˜oes de Dirichlet em x = 0 e Robin em x = 1. A diferen¸ca no n´umero de onda n˜ao causa tanto impacto quando k = 10, mas quando k = 80, a aproxima¸c˜ao de Galerkin chega a ficar com a fase invertida para x pr´oximo de 1. Assim, nesse estudo fica claro que o problema causado pela diferen¸ca kh− k ´e mais grave para n´umeros de

ondas mais altos.

Parece razo´avel tomar como crit´erio na formula¸c˜ao de m´etodos estabilizados a redu¸c˜ao ou minimiza¸c˜ao da diferen¸ca k − kh. De fato, para o problema

(35)

unidi--1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Solucao u para k = 10.0 Re(u) Galerkin, h = 1/10 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Solucao u para k = 40.0 Re(u) Galerkin, h = 1/40 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Solucao u para k = 80.0 Re(u) Galerkin, h = 1/80

Figura 3.2: Aproxima¸c˜ao de Galerkin comparada com a solu¸c˜ao exata para dife-rentes valores de k, mantendo a resolu¸c˜ao da malha constante e portanto o erro de interpola¸c˜ao controlado. Condi¸c˜oes de Dirichlet em x = 0 e Robin em x = 1 para evitar ressonˆancia num´erica.

mensional, se um m´etodo resulta em um n´umero de onda discreto igual ao original, ent˜ao ´e poss´ıvel discretizar as condi¸c˜oes de contorno e termo n˜ao homogˆeneo f de modo que a polui¸c˜ao seja eliminada (Babuˇska e Sauter (1997)). Por exemplo, o m´etodo GLS para problemas homogˆeneos tem essa propriedade no caso

(36)

unidimen-sional.

3.3.2 An´alise bidimensional

Considere uma discretiza¸c˜ao do dom´ınio consistindo em uma malha uniforme com elementos quadrados. Por quest˜ao de simetria e invariˆancia em rela¸c˜ao a transla¸c˜ao, as equa¸c˜oes associadas a um n´o interior qualquer (xi, yi) tem a forma

geral

A2uh(xi− h, yi+ h) + A1uh(xi, yi+ h) + A2uh(xi+ h, yi+ h)

+ A1uh(xi− h, yi) + A0uh(xi, yi) + A1uh(xi+ h, yi)

+ A2uh(xi− h, yi− h) + A1uh(xi, yi− h) + A2uh(xi+ h, yi− h) = 0.

(3.22) Se procuramos por solu¸c˜oes que sejam ondas planas discretas da forma

uh(xi, yi) = eik

h(x

icos θ+yisen θ) (3.23)

com um n´umero de onda discreto kh, ent˜ao, substituindo (3.23) em (3.22),

encon-tramos a seguinte equa¸c˜ao n˜ao linear que determina kh em fun¸c˜ao de k para cada

dire¸c˜ao θ:

A0+ 2A1 cos(khh cos θ) + cos(khh sen θ)



+ 4A2cos(khh cos θ) cos(khh sen θ) = 0.

(3.24) No m´etodo de Galerkin os coeficientes A0, A1 e A2 s˜ao dados por

A0 = 8 3 − 4 9(kh) 2, (3.25) A1 =− 1 3 − 1 9(kh) 2, (3.26) A2 =− 1 3− 1 36(kh) 2. (3.27)

(37)

Substituindo as express˜oes acima em (3.24) e fazendo a expans˜ao khh = ∞ X n=1 rn(kh)n, (3.28)

ent˜ao transformamos a equa¸c˜ao de dispers˜ao (3.24) em uma equa¸c˜ao da forma

F (kh) = 0. (3.29)

Expandindo F (kh) em em torno de kh = 0, ent˜ao a s´erie resultante tem que ser identicamente nula em cada ordem de kh. Com isso obtemos equa¸c˜oes en-volvendo os coeficientes rn da expans˜ao (3.28) e determinamos tais rn resolvendo

essas equa¸c˜oes. Usamos o software Matematica (Wolfram Research (2005)) para executar esses c´alculos e obter a rela¸c˜ao entre k e kh:

k− kh

k =

3 + cos 4θ 96 (kh)

2+ O (kh)4. (3.30)

A metodologia descrita acima ser´a usada adiante para obter essa rela¸c˜ao entre k e kh para outras aproxima¸c˜oes.

Conforme Babuˇska e Sauter (1997), o valor m´aximo do m´odulo da diferen¸ca acima para θ ∈ [0, 2π] pode ser visto como um indicador da qualidade de apro-xima¸c˜ao de um m´etodo que gera um estˆencil de 9 pontos como o da equa¸c˜ao (3.22). Isso ´e usado para formular o QSFEM, que ser´a visto na Se¸c˜ao 3.7.1.

3.4

Ressonˆ

ancia Num´

erica

Consideremos novamente o problema unidimensional

(38)

com condi¸c˜oes de contorno de Dirichlet

u(0) = a e u(1) = b. (3.32)

A solu¸c˜ao desse problema ´e dada por

u(x) = a sen(k− kx) + b sen(kx)

sen k . (3.33)

Quando sen(k) se aproxima de zero, a amplitude da solu¸c˜ao (3.33) cresce indefi-nidamente. Enquanto que para os valores de k tais que sen(k) = 0, o problema (3.31)-(3.32) admite infinitas solu¸c˜oes. Isso acontece pois para tais valores de k, k2 torna-se um autovalor do operador −∆ em 1D com condi¸c˜oes de Dirichlet

ho-mogˆeneas. Esses autovalores e autofun¸c˜oes s˜ao dados por

λn= n2π2, (3.34)

un(x) = sen

p

λnx, (3.35)

para n∈ {1, 2, . . . }. Essa coincidˆencia entre k2 e algum λ

n tem sido referida como

ressonˆancia.

O m´etodo de Galerkin com elementos lineares de comprimento h, para o problema considerado, resulta em equa¸c˜oes associadas aos n´os interiores da forma

A1uh(xi−1) + A2uh(xi) + A1uh(xi+1)+

k2(B1uh(xi−1) + B2uh(xi) + B1uh(xi+1)) = 0, (3.36)

com os valores prescritos

(39)

A solu¸c˜ao desse problema discreto ´e dada explicitamente por

uh(xi) =

a sen(kh− khx

i) + b sen(khxi)

sen kh , (3.38)

onde kh ´e o n´umero de onda discreto:

kh = 1 harccos  − A2+ k 2B 2 2A1+ 2k2B1  . (3.39)

Podemos notar nas equa¸c˜oes acima que, para o problema discreto, ocorre um fenˆomeno similar `a ressonˆancia. Mas neste caso a amplitude da solu¸c˜ao tende para infinito quando sen kh→ 0, o que pode ocorrer mesmo que a solu¸c˜ao exata

esteja longe de uma ressonˆancia. Os n´umeros de onda discretos que fazem com que ocorra essa ressonˆancia na solu¸c˜ao aproximada s˜ao dados por

kh = nπ, para n∈ {1, 2, . . . }. (3.40)

Substituindo em (3.39), encontramos que os n´umeros de onda k que fazem com que o problema discreto tenha ressonˆancia tˆem a forma

k2 = −A2− 2A1cos(hnπ) B2+ 2B1cos(hnπ)

, para n∈ {1, 2, . . . }. (3.41)

N˜ao por acaso os n´umeros acima s˜ao os autovalores do problema de autovalor generalizado

(u0h, vh0) = −λ(uh, vh) ∀vh ∈ Vh, (3.42)

associado a formula¸c˜ao variacional do problema de Dirichlet (3.31)-(3.32).

Assim, os n´umeros de onda que causam ressonˆancia no problema discreto podem ser diferentes dos que causam ressonˆancia no problema original e isso se deve ao fato de esses dois problemas terem autovalores diferentes. Se tiv´essemos kh = k ent˜ao esse tipo de problema n˜ao ocorreria.

(40)

ter magnitudes bem diferentes quando o n´umero de onda k se aproxima de uma ressonˆancia do problema original ou de uma ressonˆancia do problema aproximado, o que causa uma s´eria deteriora¸c˜ao da qualidade da solu¸c˜ao aproximada.

Em problemas bidimensionais temos o mesmo tipo de dificuldade, com o agravante de que, como podemos ver na equa¸c˜ao (2.21), a distˆancia entre dois autovalores consecutivos ´e menor do que no problema unidimensional, aumentando as chances de ocorrer ressonˆancia num´erica.

No problema de Helmholtz com condi¸c˜oes de contorno de Robin n˜ao ocorre ressonˆancia, j´a que o problema de autovalor associado n˜ao tem autovalores re-ais. Podemos fazer a mesma an´alise que fizemos acima para verificar que no pro-blema discreto com condi¸c˜oes de contorno de Robin tamb´em n˜ao ocorre ressonˆancia num´erica. Para ilustrar isso, na Figura 3.3 apresentamos dois estudos de con-vergˆencia para o problema bidimensional homogˆeneo. A solu¸c˜ao ´e uma onda plana (equa¸c˜ao 2.32) na dire¸c˜ao θ = 0, o dom´ınio ´e o quadrado unit´ario (0, 1)× (0, 1). Podemos notar que para condi¸c˜oes de Dirichlet a solu¸c˜ao aproximada, al´em de ser afetada pela polui¸c˜ao, ´e tamb´em severamente afetada por ressonˆancia num´erica, que afeta a convergˆencia monotˆonica da aproxima¸c˜ao.

3.5

Aproxima¸c˜

ao por diferen¸cas finitas

Apresentaremos resumidamente m´etodos de diferen¸cas finitas para o pro-blema de Helmholtz homogˆeneo em malhas uniformes, com o objetivo de mostrar que, assim como as aproxima¸c˜oes por m´etodos elementos finitos cl´assicos deriva-dos a partir da formula¸c˜ao de Galerkin, estas aproxima¸c˜oes por diferen¸cas finitas sofrem igualmente os efeitos de polui¸c˜ao num´erica.

Consideramos inicialmente os m´etodos de segunda ordem obtidos classica-mente usando s´erie de Taylor. Para introduzir uma aproxima¸c˜ao por diferen¸cas finitas para o problema unidimensional, definimos as aproxima¸c˜oes para a derivada primeira

Dxuj =

uj+1− uj

(41)

2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 − log(h) -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 lo g (| u − uh |/ |u |) Interpolante Galerkin Condi¸c˜oes de Robin 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 − log(h) -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 lo g (| u − uh |/ |u |) Interpolante Galerkin Condi¸c˜oes de Dirichlet

Figura 3.3: Convergˆencia em H1, onda plana na dire¸c˜ao θ = 0, k = 100. Malhas

estruturadas de 100× 100 at´e 1000 × 1000 elementos quadrados.

¯ Dxuj =

uj − uj−1

h (3.44)

e para a derivada segunda

Dxxuj = ¯DxDxuj =

uj+1− 2uj + uj−1

h2 (3.45)

para as quais, usando a s´erie de Taylor obtemos

Dxu(xj) = u(xj+ h)− u(xj) h = ∂u(xj) ∂x +O(h) (3.46) ¯ Dxu(xj) = u(xj)− u(xj− h) h = ∂u(xj) ∂x +O(h) (3.47) Dxxu(xj) =

u(xj + h)− 2u(xj) + u(xj− h)

h2 =

∂2u(x j)

∂x2 +O(h

2) (3.48)

(42)

inerior j, para o problema de Helmholtz homogˆeneo unidimensional ´e ent˜ao definida como

− Dxxuj− k2uj = 0, (3.49)

que pode ser posta na forma expl´ıcita

Ruj−1+ 2Suj + Ruj+1= 0, (3.50) com R =−1 (3.51) S = 1− (kh) 2 2 . (3.52)

Este ´e um esquema consistente com erro de truncamento da ordem de h2, isto ´e, a

solu¸c˜ao exata u(x) satisfaz a equa¸c˜ao

− Dxxuj − k2uj = τj =O(h2). (3.53)

A an´alise de dispers˜ao desta aproxima¸c˜ao conduz `a seguinte estimativa para o n´umero de ondas discreto

kh = k +k

3h2

24 +O(k

5h4). (3.54)

Similarmente, para o problema bidimensional temos o esquema

− Dxxuj,l− Dyyuj,l− k2uj,l = 0, (3.55)

que pode ser apresentado na forma exp´ıcita

A2uj−1,l+1 + A1uj,l+1 + A2uj+1,l+1

+ A1uj−1,l + A0uj, l + A1uj+1,l

+ A2uj−1,l−1 + A1uj,l−1 + A2uj+1,l−1 = 0.

(43)

com

A0 = 4− h2k2 (3.57)

A1 =−1 (3.58)

A2 = 0. (3.59)

Este esquema usual de segunda ordem envolvendo cinco pontos apresenta um erro de truncamento de segunda ordem:

− Dxxu(xj, yl)− Dyyu(xj, yl)− k2u(xj, yl) = τj,l =O(h2), (3.60)

e erro de fase relativo: k− kh

k =−

3 + cos 4θ 96 (kh)

2+ O (kh)4, (3.61)

obtido como descrito na Se¸c˜ao 3.3.2.

Como podemos observar pelas estimativas obtidas para os n´umeros de onda discretos, estas aproxima¸c˜oes por diferen¸cas finitas apresentam erros de fase de mesma ordem que os correspondente aos m´etodos de elementos finitos de Galerkin anteriormente apresentados.

Portanto, para estas aproxima¸c˜oes devemos esperar os mesmos efeitos de polui¸c˜ao observados nas aproxima¸c˜oes de Galerkin. Aproxima¸c˜oes de diferen¸cas finitas de ordens mais elevadas tˆem sido propostas para reduzir a polui¸c˜ao. Singer e Turkel (1998) apresentam duas aproxima¸c˜oes de quarta ordem para o problema de Helmholtz bidimensional sobre um estˆencil de nove pontos em malhas uniformes, uma baseada na aproxima¸c˜ao de Pad´e e a outra constu´ıda com a utiliza¸c˜ao da pr´opria equa¸c˜ao de Helmhotz. A t´ıtulo de compara¸c˜ao, para este segundo esquema de quarta ordem proposto por Singer e Turkel, obtivemos a seguite estimativa para

(44)

o erro de fase relativo k− kh k = 5− cos 4θ 2880 (kh) 4+ O (kh)6. (3.62)

Esquemas de sexta ordem tamb´em tˆem sido propostos (Sutmann (2007)). Para estˆenceis de nove pontos, o QSFEM proposto por Babuˇska et al. (1995), e que tamb´em ser´a apresentado neste cap´ıtulo, ´e o que apresenta polui¸c˜ao m´ınima.

3.6

Galerkin m´ınimos quadrados (GLS)

No m´etodo GLS (Harari e Hughes (1991), Thompson e Pinsky (1995)) s˜ao acrescentados `a formula¸c˜ao de Galerkin termos constru´ıdos a partir do res´ıduo da equa¸c˜ao (2.3) no interior dos elementos. Formalmente o m´etodo consiste em encontrar uh ∈ Uh tal que

a(uh, vh) + τ aLS(uh, vh) = f (vh) + τ fLS(vh), ∀vh ∈ Vh, (3.63) onde aLS(uh, vh) = Z ˜ Ω (−∆uh− k2uh)(−∆vh− k2vh)dΩ (3.64) fLS(vh) = Z ˜ Ω (−∆vh− k2vh)f dΩ (3.65) ˜ Ω = Ω r[∂Ωe. (3.66)

O parˆametro τ pode ser ajustado para que o erro no n´umero de onda discreto seja eliminado em malhas uniformes de elementos quadrados quando a solu¸c˜ao ´e uma onda plana em uma dire¸c˜ao θ0 escolhida. Normalmente a dire¸c˜ao escolhida ´e

θ0 = π8, o que resulta no parˆametro de estabiliza¸c˜ao

τ = 1 k2



1− 64− cos s1− cos s2− 2 cos s1cos s2 (2 + cos s1)(2 + cos s2)k2h2



(45)

com s1 = kh cos π 8 e s2 = kh sen π 8. (3.68)

Mas, para outras dire¸c˜oes θ 6= θ0, o erro no n´umero de onda discreto ´e da

mesma ordem que no m´etodo de Galerkin: k− kh

k =

cos(4θ) 96 (kh)

2+ O (kh)4, (3.69)

o que pode afetar severamente a qualidade da aproxima¸c˜ao.

Outra dificuldade ´e que τ depende do produto kh, mas em elementos n˜ao quadrados n˜ao existe uma escolha ´unica para o parˆametro h. A Figura 3.4 ilustra quatro escolhas poss´ıveis e seus efeitos em uma malha com elementos retangulares.

0 π 4 π 2 3π4 π θ -1.5 -1 -0.5 lo g( k u − uh k / k uk ) Interpolante h = min{h1, h2, h3, h4} h = max{h1, h2, h3, h4} h = h1+h2+h3+h4 4 h =√Area

Figura 3.4: Dependˆencia do erro do m´etodo GLS em rela¸c˜ao a dire¸c˜ao θ da onda plana, para diferentes defini¸c˜oes do parˆametro m´edio h. Malha uniforme com 50× 100 elementos retangulares, k = 50, condi¸c˜oes de Robin.

3.7

etodos com polui¸c˜

ao m´ınima

Inspirados na an´alise de dispers˜ao apresentada anteriormente, Babuˇska et al. (1995) desenvolveram uma aproxima¸c˜ao para o problema de Helmholtz homogˆeneo, por eles denominado QSFEM (Quasi Stabilized Finite Element Method ), que visa minimizar a diferen¸ca k− kh. A seguir apresentamos resumidamente esse m´etodo.

(46)

3.7.1 Elementos finitos generalizados: QSFEM

O QSFEM ´e descrito por Babuˇska et al. (1995) como um m´etodo de ele-mentos finitos generalizado para o problema de Helmholtz com polui¸c˜ao m´ınima. No entanto, diferentemente de como s˜ao formulados normalmente os m´etodos de elementos finitos, o QSFEM ´e definido algebricamente e n˜ao constru´ıdo a partir de uma formula¸c˜ao variacional. Para definir o QSFEM, sup˜oe-se que o dom´ınio seja discretizado por uma malha uniforme formada por elementos quadrados e que toda equa¸c˜ao associada a um ponto nodal no interior do dom´ınio tenha a forma

G2uh(xi− h, yi + h) + G1uh(xi, yi+ h) + G2uh(xi+ h, yi+ h)

+ G1uh(xi− h, yi) + G0uh(xi, yi) + G1uh(xi+ h, yi)

+ G2uh(xi− h, yi− h) + G1uh(xi, yi− h) + G2uh(xi+ h, yi− h) = 0,

(3.70) onde G0, G1 e G2 dependem apenas do produto kh e uh ∈ Sh(Ω) ´e a solu¸c˜ao

aproximada, dada como uma combina¸c˜ao linear das fun¸c˜oes base nodais φi:

uh(x) =

X

uh(xi)φi(x). (3.71)

Outra forma de interpretar a equa¸c˜ao de dispers˜ao (3.24) ´e encontrada em (Babuˇska e Sauter (1997)). Aplicando a transformada de Fourier na equa¸c˜ao de Helmholtz homogˆenea ∆u + k2u = 0 em R2 encontramos que a transformada

ˆ

u(s1, s2) satisfaz

(s21+ s22− k2u(s

1, s2) = 0, (3.72)

de onde conclu´ımos que o suporte de ˆu est´a contido no c´ırculo de raio k

{(s1, s2)∈ R2; s21+ s22 = k2}. (3.73)

Mas se considerarmos uma malha uniforme em todo o R2 e uma fun¸c˜ao u

h da forma

(3.71) satisfazendo a equa¸c˜ao (3.70) em todos os pontos nodais, ent˜ao o suporte da transformada de Fourier de uh n˜ao est´a contido num c´ırculo e sim no conjunto

(47)

dos zeros da equa¸c˜ao de dispers˜ao, ou seja, na curva

{(s1, s2)∈ R2; G0+2G1 cos(hs1)+cos(hs2)



+4G2cos(hs1) cos(hs2) = 0}. (3.74)

O QSFEM ´e constru´ıdo (Babuˇska et al. (1995)) escolhendo os coeficientes G0, G1 e G2 que minimizam a distˆancia m´axima entre os c´ırculo (3.73) e a curva

(3.74). O estˆencil assim obtido faz com que essas duas curvas se interceptem em 16 pontos da forma (s1, s2) = (cos θ, sen θ) para

θ = π 16+ n

π

8; n = 0, 1, . . . , 15. (3.75) Outra forma de obter exatamente os mesmo coeficientes ´e predefinir G0 = 4

e resolver o sistema de equa¸c˜oes em G1 e G2

G0+ 2G1 cos(hR1) + cos(hR2)  + 4G2cos(hR1) cos(hR2) = 0, (3.76) G0+ 2G1 cos(hS1) + cos(hS2)  + 4G2cos(hS1) cos(hS2) = 0, (3.77) onde R1 = k cos π 16, (3.78) R2 = k sen π 16, (3.79) S1 = k cos 3π 16, (3.80) S1 = k sen 3π 16. (3.81) O resultado ´e G1 = 2 c1s1− c2s2 c2s2(c1+ s1)− c1s1(c2+ s2) , (3.82) G2 = c2+ s2− c1− s1 c2s2(c1+ s1)− c1s1(c2+ s2) , (3.83)

(48)

com c1 = cos  kh cos π 16  , (3.84) s1 = cos  kh sen π 16  , (3.85) c2 = cos  kh cos3π 16  , (3.86) s2 = cos  kh sen3π 16  . (3.87)

Com esses coeficientes, procedendo como descrito na Se¸c˜ao 3.3.2 obtemos: k− kh

k =−

cos 8θ 774144(kh)

6+ O (kh)8, (3.88)

ou seja, o erro relativo no n´umero de onda para o QSFEM ´e de sexta ordem em kh, isso ´e o melhor que se pode obter para um estˆencil de 9 pontos da forma (3.70). Essa ´ultima forma de determinar o estˆencil ´otimo foi posteriormente usada para obter parˆametros de estabiliza¸c˜ao para outros m´etodos, por exemplo, os pro-postos por Oberai e Pinsky (2000), Loula et al. (2007), Harari e Gosteev (2007), do Carmo et al. (2008).

Apesar de n˜ao se observar visualmente polui¸c˜ao nos experimentos feitos com o QSFEM, sabe-se (Babuˇska e Sauter (1997), Teorema 5.6) que ´e imposs´ıvel elimi-nar totalmente o efeito de polui¸c˜ao em problemas bidimensionais. N˜ao se conhece uma estimativa da ordem do erro em L2 ou H1 devido `a polui¸c˜ao para o QSFEM

ou para outros m´etodos com estˆenceis equivalentes em dom´ınio limitados. Na ver-dade uma an´alise num´erica completa para tais m´etodos n˜ao foi apresentada, isso inclui os m´etodos que apresentaremos adiante.

Como o QSFEM n˜ao ´e constru´ıdo a partir de uma formula¸c˜ao variacional, n˜ao ´e poss´ıvel aplic´a-lo diretamente a malhas mais gerais ou a problemas n˜ao homogˆeneos ou com condi¸c˜oes de contorno mais gerais. M´etodos variacionalmente consistentes que geram estˆenceis de 9 pontos equivalentes ao do QSFEM quando restritos a malhas uniformes de elementos quadrados foram propostos de v´arias

(49)

formas. Como exemplo apresentamos a seguir dois desses m´etodos (Fernandes e Loula (2006)), desenvolvidos durante os primeiros est´agios deste trabalho.

3.7.2 Galerkin, volumes finitos e m´ınimos quadrados

No m´etodo GLSFV (Galerkin + Least Squares + Finite Volume), um se-gundo parˆametro livre ´e introduzido adicionando-se outro termo de res´ıduo ao m´etodo GLS.

Considere uma malha sobreposta `a malha de elementos finitos, conforme a Figura 3.5. Essa malha sobreposta ´e constru´ıda de modo que cada i-´esimo n´o da malha esteja em um ´unico subconjunto Qi ⊂ Ω. Por exemplo, na Figura 3.5, ao

n´o central est´a associado o quadrado cinza. Estando definidos esses conjuntos Qi,

podemos definir um operador linear P : Sh → L2(Ω) do seguinte modo. Para as

fun¸c˜oes bases nodais φi, P ´e dado por

P φi(x) =      1, se x∈ Qi 0, se x /∈ Qi (3.89)

Figura 3.5: Malha de volume finitos (linha tracejada) sobreposta `a malha de ele-mentos finitos (linha cont´ınua).

(50)

Ent˜ao, para qualquer fun¸c˜ao vh =PNi=1aiφi deSh, temos que P vh = N X i=1 aiP φi. (3.90)

O m´etodo GLSFV consiste em encontrar uh ∈ Uh tal que

BG(uh, vh) + αBLS(uh, vh) + βBF V(uh, vh)

= FG(vh) + αFLS(vh) + βFF V(vh) (3.91)

para todo vh ∈ Vh, onde

BF V(uh, vh) = − Z Ω k2uhP vh dΩ− Z ∂QJP v h∇uhKds, (3.92) FF V(vh) = Z Ω f P vh dΩ, (3.93) ∂Q =[∂Qi, (3.94) JP vh∇uhK = (P vh∇uh) + · n++ (P vh∇uh)−· n− (3.95) 3.7.2.1 Consistˆencia

O m´etodo GLSFV ´e consistente no sentido de que a solu¸c˜ao exata u do problema variacional (2.8) satisfaz a equa¸c˜ao (3.91). Como o m´etodo GLS ´e con-sistente, e considerando que todo elemento vh ∈ Vh ´e combina¸c˜ao linear de fun¸c˜oes

base nodais φi, para verificar a consistˆencia do m´etodo GLSFV basta mostrar que

BF V(u, φi)− FF V(φi) = 0 para toda fun¸c˜ao φi. De fato,

BF V(u, φi)− FF V(φi) = − Z Ω k2uP φi dΩ− Z ∂QJP φ i∇u · nKds − Z Ω f P φi dΩ =− Z Qi k2u dΩ− Z ∂Qi ∇u · nds − Z Qi f dΩ (3.96) = Z Qi k2u dΩ Z Qi ∆u dΩ Z Qi f dΩ (3.97) = Z Qi −k2u− ∆u − f dΩ = 0 (3.98)

(51)

o que prova a consistˆencia da formula¸c˜ao GLSFV.

3.7.2.2 Determina¸c˜ao dos parˆametros de estabiliza¸c˜ao

Os parˆametros de estabiliza¸c˜ao s˜ao determinados a partir da an´alise usada para construir o QSFEM. No problema homogˆeneo, com uma malha uniforme de elementos bilineares de lados h, as equa¸c˜oes associadas aos pontos nodais interiores tˆem a mesma foram geral (3.70) do QSFEM, com

G0 = 2 3− h2k2 9 + α h2k4 9 + β  −3 4 − 9 64h 2k2  , (3.99) G1 =− 1 18h 2k2 − 16+ αh 2k4 18 + β  1 4 − 3h2k2 64  , (3.100) G2 =− 1 36h 2k2 − 1 3+ α h2k4 36 + β  1 4− h2k2 64  . (3.101)

Neste caso os coeficientes G0, G1 e G2 dependem linearmente dos parˆametros

livres α e β.

Como no QSFEM, determinamos os parˆametros ´otimos for¸cando a equa¸c˜ao de dispers˜ao a ser satisfeita com kh = k para dire¸c˜oes θ

1 e θ2 devidamente

escolhi-das. Isso nos leva a um sistema de duas equa¸c˜oes lineares em duas inc´ognitas α e β. Resolvendo esse sistema para θ1 = 16π e θ2 = 3π16 encontramos:

α = 1 a1b2− b1a2 (b2g1− b1g2), (3.102) β = 1 a1b2− b1a2 (−a2g1+ a1g2). (3.103) Onde: ai = ALS0 + ALS1 (Ci+ Si) + ALS2 CiSi, (3.104) bi = AF V0 + AF V1 (Ci + Si) + AF V2 CiSi, (3.105) gi = AG0 + AG1(Ci+ Si) + AG2CiSi, (3.106) (3.107)

(52)

Ci = cos(kh cos θi), (3.108) Si = cos(kh sen θi), (3.109) AG0 = 2 3− h2k2 9 , A G 1 =− 1 18h 2k2 −16, AG2 = 1 36h 2k2 − 13, (3.110) ALS0 = h 2k4 9 , A LS 1 = h2k4 18 , A LS 2 = h2k4 36 , (3.111) AF V0 =3 4− 9 64h 2k2, AF V 1 = 1 4 − 3h2k2 64 , A F V 2 = 1 4 − h2k2 64 . (3.112) (3.113)

Expandindo α(kh) e β(kh) em s´erie de Taylor em torno de kh = 0 obtemos

α = 1 k2 α0 + α2(kh) 2+ α 4(kh)4 + α6(kh)6+ . . .  (3.114) β = β0+ β2(kh)2+ β4(kh)4+ β6(kh)6+ . . . (3.115) (3.116) com α0 = 4, α2 = 1 20, α4 = 137 3600, α6 = 10657 2304000, (3.117) β0 = 2, β2 =− 7 120, β4 = 57 3200, β6 = 9713 6912000. (3.118) Para o problema homogˆeneo de Dirichlet, discretizando o dom´ınio com uma malha uniforme de elementos quadrados, o GLSFV produz os mesmos resultados que o QSFEM.

3.7.3 Galerkin e m´ınimos quadrados ponderados

Outra formula¸c˜ao consistente e com as mesmas propriedades de estabiliza¸c˜ao do m´etodo GLSFV ´e o m´etodo GLS com um segundo termo de m´ınimos quadrados ponderado por uma fun¸c˜ao peso que varia no interior dos elementos. Esse m´etodo

(53)

consiste em encontrar uh ∈ Uh tal que BG(uh, vh) + αBLS(uh, vh) + βBP(uh, vh) (3.119) = FG(vh) + αFLS(vh) + βFP(vh), ∀vh ∈ Vh, (3.120) onde BP(uh, vh) = Z ˜ Ω P (x, y)(−∆uh− k2uh)(−∆vh− k2vh)dΩ, (3.121) FP(vh) = Z ˜ Ω P (x, y)(−∆vh− k2vh)f dΩ, (3.122) ˜ Ω = Ω−[∂Ωe. (3.123)

Em cada elemento a fun¸c˜ao de peso P ´e dada em coordenadas locais:

P (ξ, η) = (1− η

2) (1− ξ2)

4 , (3.124)

ou seja, P (ξ, η) ´e uma bolha biquadr´atica definida em cada elemento.

Como no m´etodo anterior, utilizamos a equa¸c˜ao de dispers˜ao para encontrar os parˆametros ´otimos: α = 1 k2(kh)2 α0+ α2(kh) 2+ α 4(kh)4+ α6(kh)6+ . . .  (3.125) β = 1 k2(kh)2 β0+ β2(kh) 2+ β 4(kh)4 + β6(kh)6+ . . .  (3.126) com α0 =−25, α2 = 35 36, α4 = 59 5184, α6 = 2023 933120, (3.127) β0 = 225 4 , β2 =− 5 16, β4 =− 155 2304, β6 =− 749 82944. (3.128)

(54)

3.8

Observa¸c˜

oes

Conforme j´a mencionado, o objetivo desta tese ´e formular m´etodos de ele-mentos finitos e de diferen¸cas finitas para o problema de Helmholtz que sejam quase est´aveis, no sentido definido por Babuska, isto ´e, capazes de minimizar ou pelo menos reduzir significativamente o erro de polui¸c˜ao t´ıpico destas aproxima¸c˜oes e razoavelmente robustos quando aplicados a malhas mais gerais do que ma-lhas uniformes, incluindo mama-lhas n˜ao estruturadas. A parte destacada ´e o maior desafio, pois, como vimos, para malhas uniformes de elementos quadrados, a quest˜ao da polui¸c˜ao est´a razoavelmente bem resolvida.

Os m´etodos de elementos finitos que apresentamos neste cap´ıtulo possuem parˆametros livres que s˜ao ajustados para malhas uniformes com elementos qua-drados de lado h. Essa t´ecnica ´e bastante comum nos m´etodos estabilizados para o problema de Helmholtz. No entanto, para malhas mais gerais a an´alise de dis-pers˜ao que ´e usada para determinar os parˆametros de estabiliza¸c˜ao n˜ao se aplica diretamente. Nesses casos pode ser calculado um comprimento m´edio h para cada elemento e ent˜ao os parˆametros de estabiliza¸c˜ao s˜ao calculados como se os ele-mentos fossem quadrados. Entretanto, experiele-mentos num´ericos indicam que os parˆametros assim obtidos est˜ao longe dos valores ´otimos quando se trata de ma-lhas distorcidas. Dada a grande sensibilidade da solu¸c˜ao aproximada a varia¸c˜oes no n´umero de onda discreto, estas estrat´egias baseadas em parˆametros ´otimos obtidos para malhas uniformes n˜ao funcionam muito bem. Assim, tendo em vista nosso ob-jetivo, temos que contornar essa dependˆencia em rela¸c˜ao a um ´unico comprimento h.

No pr´oximo cap´ıtulo apresentamos duas formula¸c˜oes de elementos finitos de Petrov-Galerkin que s˜ao, pelo menos em parte, livres dessa limita¸c˜ao. Na primeira n˜ao h´a parˆametros de estabiliza¸c˜ao dependentes de h. Na segunda, os parˆametros dependem diretamente de todos os comprimentos dos lados dos elementos.

Para os m´etodos de diferen¸cas finitas que descrevemos brevemente neste cap´ıtulo a situa¸c˜ao ´e ainda mais complicada, visto que esses m´etodos s˜ao

(55)

formu-lados em termos de estˆenceis que s˜ao pouco flex´ıveis em rela¸c˜ao a distribui¸c˜ao dos pontos onde a solu¸c˜ao ´e aproximada, como ´e normalmente o caso de m´etodos de diferen¸cas finitas usuais. No Cap´ıtulo 5 apresentamos uma formula¸c˜ao diferente nesse sentido, onde n˜ao ´e necess´aria uma distribui¸c˜ao uniforme dos pontos onde a solu¸c˜ao ´e aproximada. Um crit´erio diferente do usado no QSFEM ser´a usado para definir os estˆenceis ´otimos. Este novo crit´erio ser´a usado tamb´em no Cap´ıtulo 6 para formular um m´etodo de elementos finitos de Petrov-Galerkin que apresenta grande robustez em rela¸c˜ao a distor¸c˜oes da malha.

(56)

Cap´ıtulo

4

etodos de Petrov-Galerkin

Neste cap´ıtulo s˜ao apresentados dois m´etodos de Petrov-Galerkin para a equa¸c˜ao de Helmholtz. Apenas dom´ınios bidimensionais s˜ao considerados. Nos dois m´etodos o espa¸co Uh ⊂ Sh = span{φi, i = 1, . . . , N} ´e o espa¸co de elementos

finitos com elementos bilineares do m´etodo de Galerkin da Se¸c˜ao 3.1, enquanto que o espa¸co Vh ´e gerado por fun¸c˜oes base nodais diferentes das do espa¸co Uh:

Vh = span{ψi, i = 1, . . . , Nn}, (4.1)

com ψi 6= φi, como nos m´etodos de Petrov-Galerkin em geral. Cada fun¸c˜ao base

nodal ψi ser´a constru´ıda para ter o mesmo suporte que a fun¸c˜ao φi correspondente,

supp(ψi) = supp(φi), i = 1 . . . Nn, (4.2)

resultando em matrizes globais esparsas com o mesmo perfil (os mesmos termos nulos) da matriz do m´etodo de Galerkin.

4.1

etodo com polui¸c˜

ao reduzida (RPPG)

O RPPG (Reduced Pollution Petrov-Galerkin (FEM)) ´e o mais simples dos m´etodos propostos neste trabalho. Trata-se de uma vers˜ao truncada do m´etodo QSPG da pr´oxima se¸c˜ao, mas como foi obtido primeiro, ser´a apresentado separa-damente.

(57)

Nos m´etodos de elementos finitos, as fun¸c˜oes base dos espa¸cos Uh e Vh s˜ao

constru´ıdas por partes elemento por elemento. Em coordenadas locais ξ do ele-mento de referˆencia, denotamos por φe

i(ξ) a fun¸c˜ao base associada ao n´o local i .

Por exemplo, em 1D, temos duas fun¸c˜oes locais para elementos lineares:

φe1(ξ) = 1− ξ 2 , (4.3) φe 2(ξ) = 1 + ξ 2 , (4.4)

onde −1 ≤ ξ ≤ 1 ´e a coordenada local do dom´ınio de referˆencia. Em 2D, para elementos bilineares, temos

φe1(ξ, η) =  1− ξ 2   1− η 2  , (4.5) φe2(ξ, η) =  1 + ξ 2   1− η 2  , (4.6) φe3(ξ, η) =  1 + ξ 2   1 + η 2  , (4.7) φe4(ξ, η) =  1− ξ 2   1 + η 2  , (4.8) com −1 ≤ ξ ≤ 1 e −1 ≤ η ≤ 1.

O RPPG ´e definido apenas para elementos quadrilaterais. O espa¸co Vh ´e

constru´ıdo de forma an´aloga ao Uh. As fun¸c˜oes base nodais ψi do espa¸co Vh

tamb´em s˜ao definidas por partes em coordenadas locais dos elementos, de forma semelhante `as fun¸c˜oes φi. Definimos ψie como o produto de fun¸c˜oes de forma

unidimensionais p1(t) e p2(t):

ψe1(ξ, η) = p1(ξ) p1(η), (4.9)

ψe2(ξ, η) = p2(ξ) p1(η), (4.10)

ψe3(ξ, η) = p2(ξ) p2(η), (4.11)

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