Hermes A. Pedroso, Juliana C. Precioso Rogério César dos Santos...35

Volume 3 – N. 1 – 2014

Como calcular a área e o perímetro de uma elipse?

Josiel Pereira da Silva...02 Uma avaliação do erro tipo II no uso do teste t-student

Cléber Giugioli Carrasco, Thiago Santana Lemes...07 Aspectos históricos sobre a cicloide:a curva de desafia a intuição

Hermes A. Pedroso, Juliana C. Precioso...17 Um estudo sobre a chance de repetição de sorteios na mega-sena

Rogério César dos Santos... ...35 Sugestões para aplicação do Teorema de Pick na Educação Básica

Francisco Silverio da Silva Junior, Fernando Pereira Micena...41 Introdução à Teoria de Poincaré-Bendixson para campos de vetores planares

Otávio Henrique Perez, Tiago de Carvalho...59 Desigualdades no Triângulo de Pascal

Antônio Luiz de Melo, Rogério César dos Santos...75 Explorando construções de cônicas

Como calcular a ´

area e o per´ımetro de uma elipse?

Josiel Pereira da Silva

8 de agosto de 2014

Resumo

Muitos professores de Matem´atica relatam que a maioria dos livros did´aticos de Matem´atica utilizados no Ensino M´edio n˜ao abordam o conceito de ´area e per´ımetro da elipse. Neste trabalho, abordaremos esse tema, que tem como objetivos deduzir, as f´ormulas que permitem calcular a ´area e o per´ımetro de uma elipse, utilizando uma linguagem simples e de f´acil compreens˜ao, mas sem perder o rigor matem´atico. Para isso, utilizamos as no¸c˜oes de derivada e integral, t´opicos que geralmente s˜ao abordados em um primeiro curso de C´alculo e que podem ser encontrados em [1] e [3]. Utilizando as no¸c˜oes de derivada e integral, conclu´ımos que a ´area e o per´ımetro, que denotaremos por S e C, respectivamente, de uma elipse de focos F1(−c, 0) e F2(c, 0), centro O(0, 0) e v´ertices A1(−a, 0), A2(a, 0), B1(0, −b) e B2(0, b), onde A1A2´e o eixo maior de comprimento 2a e B1B2 ´e o eixo menor de comprimento 2b, podem ser obtidos atrav´es das f´ormulas S = π · ab e C ≈ πa2 −e₂2 +3e₁₆4. Palavras Chave: Elipse, ´Area, Per´ımetro.

1

Introdu¸

c˜

ao

O c´alculo de ´area e per´ımetro s˜ao atividades indispens´aveis para o ser humano. Desde a antiguidade, o homem sempre foi desafiado em diversas situa¸c˜oes a calcular ´

areas e per´ımetros de figuras planas. Hoje n˜ao ´e diferente, diariamente resolvemos problemas que geralmente utilizamos Matem´atica na sua resolu¸c˜ao.

Foi devido a esse pensamento e alguns anos lecionando Matem´atica em turmas do Ensino M´edio, que surgiu a ideia de produzir esse artigo. Percebemos que n˜ao ´

e dada a importˆancia merecida em sala de aula ao estudo das cˆonicas. Isso ficou evidente ap´os analisar o material did´atico e livros utilizados atualmente, nos quais o c´alculo da ´area e do per´ımetro das cˆonicas s˜ao geralmente omitidos nos textos de Geometria Anal´ıtica para o Ensino M´edio. Diante desse cen´ario, o objetivo deste trabalho ´e deduzir tais f´omulas que permitem calcular a ´area e o per´ımetro da elipse.

2

A elipse nos livros did´

aticos

´

E comum, em livros de Matem´atica, encontrarmos f´ormulas que podem ser usadas para calcular ´area e per´ımetro de figuras planas, por exemplo, quadrado, retˆangulo, c´ırculo, etc. Por´em, quando estudamos a elipse no Ensino M´edio, dificilmente ´e apresentado nos livros did´aticos, as f´ormulas que fornecem a ´area e o per´ımetro de uma elipse.

3

A ´

area de uma elipse

Chama-se elipse, o conjunto de pontos de um plano cuja somas das distˆancias a dois pontos fixos desse plano ´e uma constante.

Considere uma elipse de focos F1(−c, 0) e F2(c, 0), centro O(0, 0) e v´ertices A1(−a, 0), A2(a, 0), B1(0, −b) e B2(0, b), onde A1A2´e o eixo maior de comprimento 2a e B1B2 ´e o eixo menor de comprimento 2b, como ilustra a figura a seguir.

Figura 1: Elipse centrada na origem.

A equa¸c˜ao reduzida dessa elipse ´e dada por x2

a2 + y2

b2 = 1, onde a

2 _{= b}2_{+ c}2_{. (3.1)}

Isolando a vari´avel y na equa¸c˜ao (3.1) obtemos, y = b a p a2_{− x}2 _{ou y = −}b a p a2_{− x}2_.

A ´area da semi-elipse, que denotaremos por S1, correspondente a regi˜ao delimi-tada pelo eixo Ox e pela fun¸c˜ao f1 : R −→ R dada por f1(x) = _ab

√ a2_{− x}2 _{´e dada} pela integral S1= Z a −a f1(x) dx (3.2) Assim, S1 = Z a −a b a p a2_{− x}2 _{dx =} b a Z a −a p a2_{− x}2_dx.

Consultando [1] encontramos, de forma bem detalhada, o c´alculo da integral trigonom´etrica indefinida

Z p

a2_{− x}2_dx, que tem como resultado

Z p a2_{− x}2 _{dx =} a 2 2 arcsen x a  +x 2 p a2_{− x}2_{+ C,}

onde segue S1 = b a Z a −a p a2_{− x}2_{dx =} ab 2 h arcsen x a  + x 2 p a2_{− x}2ia −a= ab 2 · π = πab 2 . Denotando por S2 a ´area da semi-elipse correspondente a regi˜ao delimitada pelo eixo Ox e pela fun¸c˜ao f2 : R −→ R dada por f2(x) = −b_a

√ a2_{− x}2_{, S} 2 ´e dada pela integral S2= − b a Z a −a p a2_{− x}2 _dx,

que calculando de modo an´alogo ao caso anterior, encontramos S2 =

πab 2 . A ´area total, que denotaremos por S ´e dada por

S = S1+ S2. Assim,

S = π · ab.

Observe que se a = b, a elipse se torna um c´ırculo cujo raio ´e r = a e a ´area da elipse ´e dada por

S = π · a · a = π · a2.

4

O per´ımetro de uma elipse

A equa¸c˜ao reduzida da elipse como vimos anteriormente ´e x2

a2 + y2

b2 = 1, onde a

2 _{= b}2_{+ c}2_. Derivando implicitamente ambos os membros da igualdade

x2 a2 + y2 b2 = 1 (4.1) em rela¸c˜ao a x, obtemos y0 = −b 2_x a2_y. Logo, 1 + (y0)2 = 1 +b 4_x2 a4_y2. (4.2)

Isolando y2 na equa¸c˜ao (4.1), encontramos y2 = b2  1 −x 2 a2  . (4.3)

Substituindo a equa¸c˜ao (4.3) na equa¸c˜ao (4.2), obtemos

1 + (y0)2 = 1 + b 4_x2 a4_b2_{1 −}x2 a2  = a2−c2x2 a2 a2_{− x}2 .

Como a excentricidade da elipse, que denotamos por e, ´e dada por e = _ac, temos, 1 + (y0)2 = a

2_{− e}2_x2

a2_{− x}2 . (4.4)

O per´ımetro procurado, ´e dado pela f´ormula C = 4

Z a 0

p

1 + (y0₎2_dx, que pode ser encontrada em [1].

Logo, C = 4 Z a 0 r a2_{− e}2_x2 a2_{− x}2 dx.

Para chegar a uma express˜ao mais simples devemos fazer uma substitui¸c˜ao tri-gonom´etrica. Para isso, tome x = a · sen(α) e ter´a dx = a · cos(α). Observe que para x = 0, teremos α = 0. J´a para x = a teremos α = π₂. Dessa forma,

C = 4 Z π 2 0 "s a2_{− e}2_a2_sen2_(α) a2_{− a}2_sen2_(α) a · cos(α) # d(α) = 4a Z π 2 0 p 1 − e2_sen2_{(α) d(α).} Portanto, C = 4a Z π 2 0 p 1 − e2_sen2_{(α) d(α). (4.5)} Resolver a integral da igualdade (4.5) n˜ao ´e uma tarefa f´acil. Por isso, a ´unica alternativa ´e obter uma boa aproxima¸c˜ao para a tal integral. Para isso, iremos usar a s´erie binomial, que permite expandir potˆencias do tipo (1+x)n_{, para todo x, n ∈ R} tal que |x| < 1. Assim, como

| − e2sen2(α)| = |e2|| sen2(α)| < 1, usaremos a igualdade (1 + x)n= 1 + nx + n(n − 1)x 2 2! + n(n − 1)(n − 2)x3 3! + · · · , (4.6) para obter tal aproxima¸c˜ao. Fazendo n = 1₂ e x = −e2_sen2_{(α) na igualdade (4.6) e} resolvendo a integral encontrada ap´os as devidas substitui¸c˜oes, teremos,

C ≈ πa  2 −e 2 2 + 3e4 16  . (4.7)

Quando e = 0, a elipse torna-se um c´ırculo de raio r = a = b, cujo per´ımetro ´e 2πa.

5

Conclus˜

ao

O c´alculo integral ´e umas das partes da Matem´atica mais fascinante. ´E uma ferra-menta que permite resolver problemas considerados eleferra-mentares, mas que exigem do resolvedor um conhecimento matem´atico mais acurado. Isso se torna vis´ıvel quando temos a miss˜ao de calcular a ´area e o per´ımetro de uma elipse, uma cˆonica bem conhecida dos amantes da Matem´atica.

Diferente de outras curvas, o c´alculo da ´area de uma elipse ´e uma tarefa teori-camente f´acil, mas, calcular o seu per´ımetro n˜ao ´e uma atividade trivial. Portanto, com um pouco de esfor¸co poderemos exibir uma express˜ao que poder´a ser usada para calcular a ´area de uma elipse qualquer. Tal f´ormula ´e

S = πab.

J´a a express˜ao que fornece uma boa aproxima¸c˜ao para o per´ımetro de uma elipse ´e C ≈ πa  2 −e 2 2 + 3e4 16  .

O ensino m´edio ´e uma fase da educa¸c˜ao b´asica onde o aluno tem a oportunidade de n˜ao s´o obter o amadurecimento dos conhecimentos obtidos no ensino fundamen-tal, como tamb´em, a adquirir o prazer e a autonomia com rela¸c˜ao a aprendizagem Matem´atica. Diante disso, ´e importante que os professores aprensentem, de forma agrad´avel, as cˆonicas, elementos da geometria muito presente no cotidiano de cada um, basta observar a bola de futebol americano, uma melancia, etc.

Esperamos que este trabalho seja o in´ıcio de uma caminhada, onde temas que professores, por in´umeros motivos deixam de apresentar aos seus alunos, a exemplo das cˆonicas, possam ser exibidos de maneira clara, agrad´avel e acima de tudo, objetiva.

Referˆ

encias

[1] FLEMMING, Diva Mar´ılia; GONC¸ ALVES, M´ırian Bus. C´alculo A: fun¸c˜oes, limite, deriva¸c˜ao, integra¸c˜ao. S˜ao Paulo, Pearson Prentice Hall, (1997). [2] LIMA, Elon Lages. Curso de An´alise. Vol. 1. (11a edi¸c˜ao). Projeto Euclides,

IMPA, Rio de Janeiro, 2006.

[3] SWOKOWSKI, Earl William. C´alculo com geometria anal´ıtica. S˜ao Paulo, Makron Books, (1994).

____________________________

†

Email: cleber.carrasco@ueg.br. Docente da Universidade Estadual de Goiás – UEG.

1

Graduado em Licenciatura em Matemática na Unidade de Ciências Exatas e Tecnológicas da Universidade Estadual de Goiás e voluntário no programa de iniciação científica PVIC/UEG.

Uma Avaliação do Erro Tipo II no Uso do

Teste t-student

Cleber Giugioli Carrasco

Thiago Santana Lemes

Unidade Universitária de Ciências Exatas e Tecnológicas, Universidade Estadual de Goiás, UnUCET/UEG, 75.132-903, Anápolis, GO

30 de maio de 2014

Resumo

O objetivo deste trabalho foi utilizar o método de Monte Carlo para estimar a

probabilidade de se cometer o erro tipo II ao realizar o teste t-student para uma amostra,

o qual é uma ferramenta estatística muito importante na tomada de decisões, através de

um estudo de simulação. Neste estudo, foi verificada a influência do tamanho amostral,

da variabilidade, do nível de significância do teste e das médias alternativas sobre o erro

tipo II. Todo esse procedimento foi implementado computacionalmente no software free

R. Os resultados desse estudo convalidam os resultados teóricos apresentados na

literatura estatística sobre o erro tipo II, ou seja, que esse erro diminui quando se

aumenta o tamanho da amostra e/ou o nível de significância do teste e quando os

valores atribuídos para as médias alternativas se distanciam do valor do parâmetro

fixado na hipótese nula. E ainda, quando o desvio-padrão aumenta, a probabilidade de

ocorrer o erro tipo II também aumenta. Dessa forma, pode-se controlar esse erro, em

particular, através do nível de significância fixado no teste e pelo tamanho da amostra.

Palavras Chave: Método de Monte Carlo, simulação, teste de hipóteses.

Introdução

Quando se tem interesse em testar uma alegação a respeito do valor de um

parâmetro populacional, pode-se utilizar um teste de hipóteses para auxiliar na tomada

da decisão correta. Por exemplo, se afirmam que a altura média de uma população é

1,70 m, pode-se então aceitar ou rejeitar essa afirmação fazendo um teste de hipóteses

para a média. Para isso é necessário em primeiro lugar, definir a hipótese nula (H

) que

será testada e a hipótese alternativa (H

) que será dita aceita caso se rejeite H

. Nesse

caso a hipótese nula é de que a população tem média de altura igual a 1,70 m e a

hipótese alternativa é de que a média de altura é diferente de 1,70 m, podendo também

ser maior ou menor do que 1,70 m, dependendo das informações ou suspeitas a priori do

pesquisador. Feito isso, deve-se estabelecer o nível de significância do teste (α) que

indicará a probabilidade da estatística do teste pertencer a região crítica (RC) quando a

hipótese nula for verdadeira.

Ao definir as hipóteses nula e alternativa para realizar um teste de hipóteses são

encontradas diferentes situações de acordo com o problema em estudo. A partir disso é

possível expressar o teste de três diferentes maneiras:

1) Teste bilateral: Nesse caso o teste será chamado de bilateral, pois se na

hipótese alternativa o parâmetro θ é diferente do valor θ

ele necessariamente é maior

ou menor do que θ

.

H

:

θ

=

θ

H

:

θ

≠

θ

(1)

2) Teste unilateral à direita: Nesse caso o teste será chamado de unilateral à

direita, pois θ tem que ser maior do que θ

.

H

:

θ

=

θ

H

:

θ

>

θ

(2)

3) Teste unilateral à esquerda: Nesse caso o teste será chamado de unilateral à

esquerda, pois θ tem que ser menor do que θ

.

H

:

θ

=

θ

H

:

θ

<

θ

(3)

Assim, de acordo com o problema a ser estudado é que as hipóteses do teste

poderão ser definidas, e a formulação da hipótese alternativa irá depender do grau de

conhecimento que se tem do problema (BUSSAB e MORETTIN 2002). Portanto nem

sempre será possível realizar um teste mais específico como os unilaterais devido à falta

de informações.

Quando um teste de hipóteses é realizado, ele está sujeito a erros que distorcem a

compreensão da veracidade do resultado, e por isso é importante minimizar ao máximo

a probabilidade de se cometer esses erros. Devido a este problema, as regras de decisão

são construídas seguindo critérios que nos permitam reduzir erros na tomada de uma

decisão. Em geral, podemos cometer dois tipos de erros: erro tipo I e tipo II, que podem

ser escritos da seguinte maneira:

Erro Tipo I: Rejeitar H

quando H

for verdadeira.

Erro Tipo II: Não rejeitar H

quando H

for falsa.

Portanto as probabilidades dos erros tipo I e II podem ser dadas respectivamente

por:

α = P(erro tipo I) = P(rejeitar H

| H

é verdadeira)

β = P(erro tipo II) = P(não rejeitar H

| H

é falsa) (4)

Note que a probabilidade do erro tipo I é o nível de significância do teste.

A Tabela 1 adaptada de Costa Neto (1977, p. 86) apresenta os resultados de um

teste de hipóteses e suas respectivas probabilidades condicionadas a realidade.

Tabela 1: Erros e decisões corretas resultantes de um teste de hipóteses.

Decisão

Realidade

H

Verdadeira

H

Falsa

Aceitar H

Decisão correta (1 – α)

Erro Tipo II (β)

Rejeitar H

Erro Tipo I (α)

Decisão correta (1 – β)

Infelizmente não se pode controlar o erro tipo I e o erro tipo II simultaneamente,

ao menos que se aumenta o tamanho da amostra. O que vai ocorrer é que ao diminuir α

estaremos aumentando β e vice versa, como mostra a Figura 1 a seguir, onde

θ

é um

valor pertencente a hipótese alternativa.

Figura 1: Representação dos erros tipo I e II.

A princípio, sempre é dada grande atenção ao erro tipo I, controlando esse erro

através da escolha do nível de significância do teste e deixando o erro tipo II sem

controle, pois o mesmo requer um procedimento mais complexo para sua avaliação. No

entanto, segundo Bussab e Morettin (2002) fixado α, é possível calcular a probabilidade

do erro tipo II, atribuindo valores arbitrários para o parâmetro θ, que podem ser tanto

menores quanto maiores do que o valor θ

a ser testado.

Dessa forma, diversos autores avaliaram a probabilidade de ocorrer o erro tipo II

em um teste de hipóteses e mostraram que essa probabilidade pode ser afetada pelo

tamanho amostral, nível de significância do teste, variabilidade e pela distância entre o

valor real do parâmetro e o valor a ser testado. Alguns desses autores utilizaram a

função poder (BUSSAB; MORETTIN, 2002) ou a curva característica de operação

(COSTA NETO, 1977) para mostrar esse resultado.

Neste trabalho propõem-se realizar um estudo de simulação utilizando o método

de Monte Carlo, o qual consiste em repetir o mesmo procedimento várias vezes (MUN,

2006), para mostrar que a probabilidade de ocorrer o erro tipo II em um teste de

hipóteses para a média com variância desconhecida é influenciada pelo tamanho da

amostra, nível de significância do teste, variabilidade e pelos valores das médias

alternativas, corroborando com os resultados teóricos amplamente discutidos na

literatura estatística e, apresentar os resultados desse estudo para que se tenha uma

percepção da dimensão desses erros em termos quantitativos.

Para realizar esse estudo de simulação será utilizado o software free R

(VENABLES AND SMITH, 2012). Segundo Peternelli & Mello (2007, p.81), uma das

maiores vantagens do R é a facilidade na criação de novas funções, este é um dos

motivos para a escolha deste software no desenvolvimento deste trabalho, além de ser

um software gratuito.

1 Material e Métodos

O teste de hipóteses para a média tem o intuito de verificar se determinado

parâmetro referente à média populacional é ou não verdadeiro. Ao realizar um teste de

hipóteses, primeiramente definem-se as hipóteses nula e alternativa e fixa-se o nível de

significância do teste. Ao testar a média de uma determinada população, em geral não se

conhece a sua variância, no entanto, é possível estimá-la através da variância amostral, a

qual é dada por (MAGALHÃES; LIMA, 2008):

(

)

1

−

−

=

∑

n

x

x

S

(5)

onde x

é o i-ésimo valor da amostra,

a média amostral e

o tamanho da amostra.

Assim, utiliza-se a distribuição

com

– 1 graus de liberdade para testar

a média de interesse, por isso o teste é conhecido como

. A expressão a seguir

calcula o valor denominado como

observado (

) (MAGALHÃES; LIMA, 2008):

n S x t_obs = −

µ

(6)

onde

é a média populacional e

é o desvio padrão amostral.

Dessa forma é construída a região de rejeição do teste, conhecida como região

crítica, que segundo Costa Neto (1977, p.86) é a faixa de valores da variável de teste

que leva à rejeição de

. A região crítica é construída com base nos valores

denominado

crítico (

) da distribuição

. Se for constatado que o valor de

pertence à região crítica do teste, rejeita-se a hipótese nula (

) ao nível de α

, caso

contrário não se rejeita

.

Para realizar o estudo de simulação para o erro tipo II, serão fixados o nível de

significância do teste e gerado uma amostra de tamanho

no

a partir de um

modelo normal com média e variância (ou desvio-padrão) pré-estabelecida

Em seguida,

será aplicado o teste

para uma amostra (bilateral, unilateral à esquerda e

unilateral à direita), onde será definido um contador δ, tal que δ = 0 se o teste rejeitar

e δ = 1 se o teste não rejeitar

(CARRASCO; SILVA, 2013).

Através do método de Monte Carlo repetir-se-á o processo descrito acima

vezes e verificar-se á em quantas delas, o teste rejeitou ou não a hipótese nula. Dessa

forma, a probabilidade do erro tipo II (

) será estimada através da seguinte expressão

adaptada de Carrasco e Silva (2009):

.

,...,

3

,

2

,

1

,

∑

δ

β

(7)

Serão feitas diferentes combinações entre tamanhos amostrais, médias

alternativas, desvios padrão (variâncias) e níveis de significância. Este procedimento

será aplicado para o teste bilateral, considerando todas as médias alternativas

escolhidas, para o teste unilateral à esquerda considerando somente as médias

alternativas menores que

alternativas maiores que

.

2 Resultados e Discussão

Para realizar o estudo de simulação através do método de Monte Carlo para o

erro tipo II foram geradas amostras de tamanhos

= 5, 10, 20, 30, 40 e 50 a partir de

uma distribuição normal com média

0,25; 1 e 5. A escolha desses tamanhos amostrais se deve ao fato do teste

ser

indicado para amostras pequenas. Os níveis de significância foram estabelecidos em α =

0,01; 0,05 e 0,10. A hipótese nula foi fixada em

:

= 5 e a alternativa em

:

≠ 5

para o teste bilateral e para os testes unilaterais a esquerda e a direita respectivamente

em

:

< 5 e

:

> 5. Foram escolhidos para o teste bilateral os seguintes valores

para as médias alternativas:

= 4,0; 4,5; 4,9; 5,1; 5,5 e 6,0 e, para o teste unilateral à

esquerda os valores menores do que 5,0 e para o teste unilateral à direita os valores das

médias alternativas maiores do que 5,0. Utilizou-se

= 1000 e o nível de significância,

o tamanho amostral e o desvio padrão variaram na medida em que foram feitos os testes

para as três diferentes hipóteses alternativas, com o intuito de verificar a sua influência

sobre o erro tipo II.

Todo o estudo de simulação de Monte Carlo foi realizado no

. Assim

tem-se 6 x 3 x 3 x 6 x 1000 = 324.000 simulações para avaliar o erro tipo II para os

testes bilaterais e mais 6 x 3 x 3 x 3 x 1000 x 2 = 324.000 simulações para avaliar o erro

tipo II para os testes unilaterais à esquerda e à direita, totalizando 648.000 simulações

neste estudo. Os resultados desse estudo estão condensados nas Tabelas 2 e 3 a seguir.

Tabela 2: Gráficos dos resultados do erro tipo II para o teste unilateral à esquerda.

µ

α = 0,01

α = 0,05

α = 0,10

4,0

4,5

4,9

Tabela 3: Gráficos dos resultados do erro tipo II para o teste unilateral à direita.

µ

α = 0,01

α = 0,05

α = 0,10

5,1

5,5

6,0

As Tabelas 2 e 3 apresentam os resultados do estudo de simulação para os testes

unilaterais à esquerda e unilaterais à direita, respectivamente, onde o desvio padrão é

representado pelos seguintes valores: σ

σ

e σ

. Como esperado,

observou-se que a probabilidade de ocorrer o erro tipo II diminui quando o tamanho

amostral e/ou o nível de significância do teste (α

aumentam, fato que também pode ser

observado na Figura 1 e, quando a distância entre a média alternativa µ

e a média

estabelecida em

(

= 5) forem maiores. Com relação ao desvio padrão, observou-se

que maiores variabilidades aumentam a chance do erro tipo II. Esses comportamentos

são observados para todos os testes bilaterais e unilaterais, corroborando com os

resultados teóricos apresentados na literatura estatística.

Os resultados dos testes bilaterais foram suprimidos deste trabalho, pois os

mesmos são semelhantes aos resultados apresentados para os testes unilaterais, apenas

ligeiramente diferentes pelo fato da região crítica ser constituída por duas partes.

3 Conclusão

Com a realização deste estudo de simulação através do método de Monte Carlo,

pode-se convalidar os resultados teóricos discutidos na literatura estatística sobre a

probabilidade de se cometer o erro tipo II, ou seja, esse erro diminui na medida em que

se aumenta o tamanho da amostra e/ou o nível de significância do teste, e quando os

valores atribuídos para as médias alternativas se distanciam do valor do parâmetro

fixado na hipótese nula. E ainda, quando o desvio padrão aumenta, a probabilidade de

se cometer o erro tipo II também aumenta. Os resultados desse estudo também

possibilitaram ter uma dimensão quantitativa desse erro através dos gráficos de colunas

apresentados.

Dessa forma é necessário cuidado ao aplicar um teste

para a média,

uma vez que se está sujeito a cometer erros. Para o erro tipo II, é necessária a

preocupação com alguns fatores, uma vez que o erro tipo II é sensível ao tamanho

amostral, variabilidade, ao nível de significância do teste e aos valores alternativos da

média, entretanto, pode-se controlar esse erro, em particular através do nível de

significância do teste e do tamanho amostral, controlando assim também a

probabilidade de se tomar uma decisão correta.

Referências

[1] BUSSAB, W. O.; MORETTIN, P. A.

5ª edição. Saraiva, 2002.

[2] CARRASCO, C. G.; SILVA, L. A. Avaliação do erro tipo I na aplicação de um teste

de hipóteses para a média.

Bahia, Nº. 9, p. 63-68, 2009.

[3] CARRASCO, C. G.; SILVA, L. A. Um estudo do erro tipo II em um teste de

hipóteses para a média.

, V. 10, Nº. 2, p. 7-12, 2013.

[4] COSTA NETO, P. L. O.

1ª edição. Edgard Blücher, 1977.

[5] MAGALHÃES, M. N.; LIMA, A. C. P.

. 6ª

edição. Edusp, 2008.

[6] MUN, J.

. 1ª edição. Wiley, 2006.

[7] PETERNELLI, L. A.; MELLO, M. P.

1ª

edição. UFV, 2007.

[8] VENABLES, W. N.; SMITH, D. M.

Notes on R: A

Programing Environment for Data Analysis and Grafics, Version 2.15.1, 2012.

Disponível em: http://cran-r.c3sl.ufpr.br/.

Aspectos hist´

oricos sobre a cicloide: a curva que

desafia a intui¸c˜

ao

Hermes A. Pedroso

Juliana C. Precioso

7 de julho de 2014

Resumo

O objetivo deste trabalho ´e resgatar um pouco da rica hist´oria do estudo da cicloide. Para isso, ser˜ao mostrados inicialmente os passos da sua constru¸c˜ao, as dedu¸c˜oes de suas equa¸c˜oes polares e cartesianas que, a seguir, ser˜ao utilizadas nos c´alculos da ´area sob um arco dessa curva, da reta tangente, bem como, do compri-mento desse arco.

Ser˜ao reconstitu´ıdas etapas das aplica¸c˜oes da cicloide nos casos do pˆendulo de Huygens, em que ela se comporta como is´ocrona (mesmo tempo) e do problema da braquist´ocrona (tempo m´ınimo) que desafiaram os grandes matem´aticos dos s´eculos XVII e XVIII, com destaque para Huygens e os irm˜aos Jakob e Johann Bernoulli. Palavras Chave: cicloide, is´ocrona, braquist´ocrona.

Introdu¸

c˜

ao

A cicloide foi percebida pela primeira vez por Charles Bovelles (1479-1566), que num trabalho de geometria publicado em Paris, em 1501, se refere a essa curva ligando-a com o problema da quadratura do c´ırculo. Os primeiros estudos rigorosos que se tem conhecimento s˜ao devidos a Giles Person de Roberval (1602-1675) que a chamou de “troch´oide”(roda em grego), a Blaise Pascal (1623-1662) que a chamou de “roulette”e a Evangelista Toricelli (1608-1647), um disc´ıpulo de Galileu Galilei (1564-1642). O pr´oprio Galileu Galilei tamb´em estudou a curva tendo inclusive a chamado de cicloide e referiu-se a sua forma graciosa, apontando-a como sugest˜ao para o perfil dos arcos de constru¸c˜oes em arquitetura. Provou, pesando modelos de papel, que a ´area sob a curva ´e trˆes vezes a ´area do c´ırculo gerador. Utilizando o m´etodo dos indivis´ıveis, esse resultado foi provado posteriormente por Toricelli que foi acusado de pl´agio por Roberval; fato que pode ter sido a raz˜ao de sua morte prematura.

Vincenzo Viviani, outro brilhante aluno de Galileu, obteve a reta tangente a cicloide, resultado tamb´em alcan¸cado na Fran¸ca por Ren´e Descartes (1596-1650) e Pierre de Fermat (1601-1665).

Sobre o comprimento de um arco de cicloide, destacam-se os trabalhos de Christo-pher Wren (1632-1723) um famoso arquiteto inglˆes que projetou 51 igrejas em Lon-dres, incluindo a Catedral de S˜ao Paulo e os de Roberval que provou que o compri-mento desse arco ´e oito vezes o raio do c´ırculo gerador.

∗_{Email: hermes@ibilce.unesp.br. Departamento de Matem´atica, IBILCE, UNESP} †_{Email: precioso@ibilce.unesp.br. Departamento de Matem´atica, IBILCE, UNESP}

Figura 1: Da esquerda para a direita: Pascal, Roberval, Galileu e Torricelli.

Christiaan Huygens (1629-1695) mostrou, por volta de 1673, que o tempo gasto por uma part´ıcula para chegar a um n´ıvel inferior, partindo do repouso e deslizando, sem atrito, sob a a¸c˜ao da gravidade em um arco invertido de cicloide, independe do ponto de partida (isocronismo). Esse resultado o levou a construir o rel´ogio de pˆendulo, que oscila entre dois ramos de uma cicloide, o que faz com que o per´ıodo seja sempre o mesmo, independente da amplitude das oscila¸c˜oes.

Algum tempo depois, a cicloide apareceria como solu¸c˜ao de outro importante problema da ciˆencia do final do s´eculo XVII, conhecido como braquist´ocrona ou do tempo m´ınimo. Em 1696 Johann Bernoulli lan¸cou esse problema como desafio aos matem´aticos na Acta Eruditorum da seguinte maneira: suponha que dois pregos sejam martelados ao acaso em uma parede (n˜ao na mesma vertical), e que o prego superior seja conectado ao inferior por um arame flex´ıvel na forma de uma curva lisa. Qual a forma do arame no qual uma part´ıcula deslizar´a (sem atrito) sob influˆencia da gravidade, para passar do prego superior ao inferior no menor tempo poss´ıvel?

De imediato a quest˜ao despertou um grande interesse e logo foi resolvida, por Isaac Newton (1642-1727), por Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), por Jakob Bernoulli (1654-1705), irm˜ao mais velho de Johann e por ele pr´oprio. Fato curioso ´e que na sua solu¸c˜ao Johann usou uma analogia com a refra¸c˜ao da luz, demonstrando grande engenhosidade ao relacionar temas que aparentemente eram bem distintos. O problema da braquist´ocrona foi marcante porque apontou uma linha de pesquisa, important´ıssima, chamada de c´alculo das varia¸c˜oes e que trata do estudo de fun-cionais ou de fun¸c˜oes que dependem de outras fun¸c˜oes ou curvas.

Para mais referˆencias sobre o assunto abordado nesse trabalho, veja, por exem-plo, [1], [2], [3], [8] e [12].

1

Constru¸

c˜

oes da cicloide e de suas retas

tan-gente e normal

Defini¸c˜ao 1 Chama-se cicloide uma curva plana descrita por um ponto de uma

circunferˆencia que rola, sem deslizamento, sobre uma reta. Esse ponto ´e chamado de gerador, a circunferˆencia de geradora e a reta de diretriz da cicloide.

A constru¸c˜ao da cicloide, a exemplo das cˆonicas, ser´a feita por pontos por se tratar de uma curva n˜ao construt´ıvel com r´egua e compasso. A constru¸c˜ao que ser´a apresentada baseia-se em [10].

Para se compreender tal constru¸c˜ao, imagine que ao longo do per´ıodo em que a circunferˆencia geradora completa uma volta, sejam registrados flashes do seu movi-mento, identificando algumas posi¸c˜oes do ponto P gerador.

Nas figuras seguintes, o comprimento do segmento P Q ´e igual ao comprimento da circunferˆencia geradora. Al´em disso, tanto P Q quanto a circunferˆencia est˜ao divididos em oito partes iguais.

Figura 2: Primeiramente, observe que, conforme a circunferˆencia geradora rola sobre a diretriz, o ponto 1 cai em 1’, 2 em 2’, 3 em 3’, etc.

Figura 3: Quando o ponto 1 passa para a posi¸c˜ao 1’, o ponto P vai para a posi¸c˜ao em que se encontrava o ponto 7 na situa¸c˜ao inicial.

Figura 4: Quando o ponto 3 passa para a posi¸c˜ao 3’, o ponto P vai para a posi¸c˜ao em que se encontrava o ponto 5 na situa¸c˜ao inicial.

Figura 5: Quando o ponto 6 passa para a posi¸c˜ao 6’, o ponto P vai para a posi¸c˜ao em que se encontrava o ponto 2 na situa¸c˜ao inicial.

A partir das figuras acima, podemos visualizar a sua constru¸c˜ao. Ser´a necess´ario realizar a retifica¸c˜ao da circunferˆencia geradora e para tanto utilizaremos o processo devido a Arquimedes (287 - 212 a.C.) que se encontra em um dos seus famosos trabalhos denominado A medida do c´ırculo e que consiste em atribuir o valor 22 7 para π.

Vamos supor que o ponto gerador seja o ponto P , em que a circunferˆencia geradora, denotada por C, tangencia a diretriz na posi¸c˜ao inicial.

Determina-se o ponto Q sobre a diretriz, de modo que P Q seja a retifica¸c˜ao de

C, ou seja, P Q ´e um segmento cujo comprimento ´e o mesmo de C que ´e igual a

2πr = dπ≃ d22

7 = 3d +

d

7. Ver Figura 6.

Divide-se P Q eC em um mesmo n´umero de partes iguais. Por exemplo, 8 partes. Para se obter maior precis˜ao no tra¸cado, pode-se dividir P Q e C em um n´umero maior de partes iguais.

Figura 6: Retifica¸c˜ao da circunferˆencia pelo processo de Arquimedes

Pelos pontos de divis˜ao deC, tra¸ca-se as retas s1, s2, s3 e s4 paralelas a diretriz.

Figura 7:

Com raio P 7 (ou P1) e centros em 1’ e 7’, tra¸ca-se arcos que determinam em s1 dois pontos da cicloide.

Com raio P 6 (ou P2) e centros em 2’ e 6’, tra¸ca-se arcos que determinam em s2 mais dois pontos.

Com raio P 5 (ou P3) e centros em 3’ e 5’, tra¸ca-se arcos que determinam em s3 mais dois pontos.

Figura 8:

Por fim, determina-se em s4 mais um ponto da cicloide, tra¸cando-se por 4’ uma perpendicular a diretriz. Unindo-se de modo conveniente os pontos determinados obt´em-se a cicloide.

Passaremos agora `a constru¸c˜ao da tangente e da normal a uma cicloide por um ponto S.

Por S tra¸ca-se uma paralela `a diretriz determinando o ponto S′ em C.

Seja T o ponto de tangˆencia deC com a diretriz. Tra¸ca-se por S a reta n paralela `

a reta S′T.

Por S tra¸ca-se a reta t perpendicular a n.

As retas t e n s˜ao, respectivamente, a tangente e a normal `a cicloide no ponto

S.

Figura 10: Retas tangente e normal `a cicloide no ponto S.

2

Equa¸

c˜

oes polares e cartesianas

Dado um sistema de coordenadas Oxy, a cicloide ´e o lugar geom´etrico descrito pelo ponto P da circunferˆencia geradora, de raio a e centro C e que rola sobre o eixo x. O ponto inicial ocorre na posi¸c˜ao em que C est´a no semi-eixo positivo dos

y.

Figura 11:

O ˆangulo θ, ver Figura 11, ´e o ˆangulo varrido pelo raio CP quando a circun-ferˆencia rola para uma nova posi¸c˜ao. Se x e y s˜ao as coordenadas de P, ent˜ao, considerando esse movimento, como OB = arco BP = aθ, tem-se

x = OA = OB− AB = OB − P Q = aθ − a sin θ = a(θ − sin θ)

e

y = AP = BC− QC = a − a cos θ = a(1 − cos θ).

Portanto, as equa¸c˜oes polares da cicloide s˜ao:

x = a(θ− sin θ), y = a(1 − cos θ). (2.0.1)

Nas equa¸c˜oes (2.0.1) ´e poss´ıvel eliminar θ para se obter a equa¸c˜ao cartesiana da cicloide, x = f (y). De fato, da segunda equa¸c˜ao, tem-se

cos θ = 1−y a, ou seja, θ = arccos ( 1−y a ) .

Logo, sin θ =±√1− cos2_{θ =}± √ (2a− y)y a . Portanto, x = a arccos ( 1−y a )

∓√(2a− y)y = f(y), que ´e a equa¸c˜ao cartesiana da cicloide.

Essa equa¸c˜ao ´e de pouca utilidade, uma vez que ´e muito mais f´acil visualizar a curva pela descri¸c˜ao do movimento de P e estudar esse movimento pelas suas equa¸c˜oes polares, que s˜ao, por assim dizer, as equa¸c˜oes naturais da cicloide.

3

C´

alculo da ´

area sob um arco da curva,

com-primento desse arco e propriedade da tangente

Proposi¸c˜ao 2 A ´area sob um arco da cicloide ´e trˆes vezes a ´area do c´ırculo gerador.

Demonstra¸c˜ao: Consideremos o arco tra¸cado, desde a origem, quando a cir-cunferˆencia perfaz uma revolu¸c˜ao completa. Uma vez que y ´e uma fun¸c˜ao de x, ver Figura 11, a ´area pode ser escrita da seguinte forma

A =

∫ 2πa 0

y dx.

Pelas equa¸c˜oes da cicloide (2.0.1), pode-se fazer a mudan¸ca de vari´aveis x =

a(θ− sin θ) para o c´alculo dessa integral. Assim, obt´em-se

A = ∫ 2π 0 ya(1− cos θ) dθ = a2 ∫ 2π 0 (1− cos θ)2 dθ = a2 ∫ 2π 0 (1− 2 cos θ + cos2θ) dθ = a2 ∫ 2π 0 (1 + cos2θ) dθ = a2 ∫ 2π 0 dθ + a2 ∫ 2π 0 1 2(1 + cos 2θ) dθ = 3πa2.  Proposi¸c˜ao 3 O comprimento de um arco da cicloide ´e quatro vezes o diˆametro do c´ırculo gerador.

Demonstra¸c˜ao: Para o c´alculo do comprimento de um arco, as equa¸c˜oes da cicloide

x(θ) = a(θ− sin θ), y(θ) = a(1 − cos θ)

comportam-se como suas equa¸c˜oes param´etricas, no parˆametro θ, em que 0≤ θ ≤ 2π.

Logo, o comprimento de arco ´e dado por L = ∫ 2π 0 √ (x′(θ))2_{+ (y}′_(θ))2 _dθ = ∫ 2π 0 √

(a(1− cos θ))2_{+ (a sin θ)}2 _dθ =

∫ 2π 0

√

2a2₍₁− cos θ) dθ.

Usando a identidade sinθ 2 =±

√

1− cos θ

2 , tem-se 1− cos θ = 2 sin 2 θ 2. Assim, L = ∫ 2π 0 √ 2a2 ( 2 sin2 θ 2 ) dθ = ∫ 2π 0 2a sinθ 2 dθ = [ −4a cosθ 2 ]2π 0 = 4(2a) = 8a.  Proposi¸c˜ao 4 A reta tangente `a cicloide num ponto P qualquer passa pelo topo do c´ırculo gerador.

Demonstra¸c˜ao: Para a demonstra¸c˜ao desse resultado, usaremos o coeficiente angular da reta tangente no ponto P = (a(θ− sin θ), a(1 − cos θ)), o qual ´e dado por

y′ = dy dx = a sin θdθ a(1− cos θ)dθ = sin θ 1− cos θ = 2 sinθ₂cosθ₂ 2 sin2 θ₂ = cot θ 2. (3.0.2) Pode-se observar que y′ n˜ao est´a definido para θ = 0,±2π, ±4π, · · · , pois nesses pontos a tangente ´e vertical. Esses valores de θ correspondem aos pontos em que a cicloide toca o eixo x, pontos esses chamados de c´uspides.

Seja r a reta tangente `a cicloide passando por P . Uma vez que o ponto no topo do c´ırculo gerador tem coordenadas (aθ, 2a) e o coeficiente angular de r ´e como em (3.0.2), a equa¸c˜ao de r ´e dada por

y− a(1 − cos θ) = sin θ

1− cos θ(x− aθ + a sin θ). Substituindo x = aθ na equa¸c˜ao anterior, tem-se

y = a(1− cos θ) + sin θ

1− cos θa sin θ =

a(1− cos θ)2+ a sin2θ

1− cos θ = 2a.

Portanto, a reta tangente `a cicloide por P passa, de fato, pelo ponto (aθ, 2a) no

4

O pˆ

endulo simples

A discuss˜ao apresentada nessa se¸c˜ao baseia-se em [5], [7] e [11].

O pˆendulo simples consiste de uma part´ıcula de massa m fixada na extremi-dade inferior de um fio inextens´ıvel (idealmente sem massa) de comprimento l, cuja extremidade superior est´a fixada. Sup˜oe-se que o movimento se dˆe em um plano vertical e designa-se por θ o ˆangulo formado pelo fio e a vertical.

θ T y x mg xx y θ m

Figura 12: Pˆendulo Simples

As for¸cas que atuam no corpo de massa m s˜ao a tens˜ao T do fio e a for¸ca vertical

mg devido a gravidade. A segunda lei de Newton nos fornece as equa¸c˜oes:

mx′′=−T sin θ e my′′= mg− T cos θ, ou seja, −T = mx ′′ sin θ e − T = m(y′′− g) cos θ , donde conclui-se que

x′′cos θ− y′′sin θ =−g sin θ. (4.0.3) Uma vez que x = l sin θ e y = l cos θ, obt´em-se

x′′ =−l(sin θ)(θ′)2+ l(cos θ)θ′′ e y′′ =−l(cos θ)(θ′)2− l(sin θ)θ′′.

Logo, de (4.0.3), obt´em-se a equa¸c˜ao do pˆendulo

lθ′′+ g sin θ = 0, que ´e uma equa¸c˜ao diferencial n˜ao linear de 2a _ordem.

4.1

O per´ıodo do pˆ

endulo simples nas pequenas

os-cila¸

c˜

oes

No caso de pequenas oscila¸c˜oes do pˆendulo ´e poss´ıvel fazer a aproxima¸c˜ao sin θ ∼ θ. Logo, a equa¸c˜ao do pˆendulo torna-se

lθ′′+ gθ = 0, ou seja, θ′′+ ω2θ = 0,

em que ω2= g

l.

A equa¸c˜ao caracter´ıstica associada ´e λ2+ ω2 = 0, a qual tem ra´ızes complexas

λ1 = iω e λ2 = −iω. Logo, φ(t) = eλ1t = eiωt = cos ωt + i sin ωt ´e uma solu¸c˜ao a valores complexos de θ′′+ ω2θ = 0.

Essa solu¸c˜ao d´a origem `as seguintes solu¸c˜oes reais linearmente independentes

as quais formam uma base para o espa¸co de solu¸c˜oes. Assim,

θ(t) = c1cos ωt + c2sin ωt ´

e a solu¸c˜ao geral.

As constantes c1 e c2 podem ser determinadas sabendo-se a posi¸c˜ao inicial da part´ıcula θ(0) = θ0 e sua velocidade inicial θ

′ (0) = v0. Assim, c1 = θ0 e c2 = v0 ω e, portanto, θ(t) = θ0cos ωt + v0 ω sin ωt = A cos(ωt− ϕ), (4.1.1)

em que A e ϕ s˜ao dados por

A = √ θ2 0+ (_v 0 ω )2 , cos ϕ = θ0 A e sin ϕ = v0 Aω,

com 0 ≤ ϕ < 2π. Isso se deve ao fato de que sendo A a amplitude m´axima do movimento oscilat´orio, em torno da posi¸c˜ao θ = 0, tem-se por (4.1.1) que o m´aximo de |θ(t)| ocorre quando A cos(ωt − ϕ) ´e m´aximo, ou seja, quando | cos(ωt − ϕ)| = 1. Considere primeiramente cos(ωt− ϕ) = 1. Logo, ωt − ϕ = 0, ou seja, t = ϕ

ω.

Substituindo esse valor em (4.1.1), tem-se

θ ( ϕ ω ) = θ0cos ϕ + v0 ω sin ϕ = A.

Uma vez que θ(0) = θ0 = A cos(−ϕ) = A cos ϕ, tem-se

A = θ0cos ϕ +

v0

ω sin ϕ ⇒ A = A cos ϕ cos ϕ + v0 ω sin ϕ ⇒ A sin2_{ϕ =} v0 ω sin ϕ ⇒ A sin ϕ = v0 ω, (pois ϕ̸= 0) ⇒ sin ϕ = v0 Aω.

Substituindo os valores de cos ϕ e sin ϕ em A = θ0cos ϕ +

v0

ω sin ϕ, obt´em-se A = θ0 θ0 A + v0 ω v0 Aω ⇒ A 2 _{= θ}2 0+ (_v 0 ω )2 ⇒ A = √ θ₀2+ (_v 0 ω )2 .

O mesmo resultado pode ser obtido quando se considera cos(ωt− ϕ) = −1. Em (4.1.1), o per´ıodo da fun¸c˜ao cosseno dado por T = 2π

ω ´e o per´ıodo do

movimento, ou seja, ´e o tempo necess´ario para uma oscila¸c˜ao completa. Desse modo, vemos que o per´ıodo das oscila¸c˜oes de um pˆendulo simples ´e T = 2π

√

l g.

Isso mostra que o per´ıodo independe da amplitude θ0, fato observado por Galileu e denominado o isocronismo das pequenas oscila¸c˜oes.

4.2

O per´ıodo do pˆ

endulo simples nas grandes oscila¸

c˜

oes

Suponhamos que em t = 0 o pˆendulo ´e deslocado por um ˆangulo θ0 > 0 e a seguir abandonado, come¸cando assim o movimento. Logo, θ(0) = θ0 e θ

′ (0) = 0. xx y θ m 0 θ_'(t) θ m

Figura 13: Pˆendulo Simples

Note que multiplicando a equa¸c˜ao do pˆendulo θ′′+ ω2_{sin θ = 0 por θ}′_{, obt´em-se}

θ′θ′′+ ω2(sin θ)θ′ = 0 ⇒ d dt [ 1 2(θ ′ )2− ω2cos θ ] = 0 ⇒ 1 2(θ ′ )2− ω2cos θ = c,

em que c pode ser obtida `a partir dos valores de θ e θ′ em um dado instante t0. Da´ı, como θ(0) = θ0 e θ ′ (0) = 0, tem-se c =−ω2cos θ0. Logo, 1 2(θ ′

)2−ω2cos θ =−ω2cos θ0, o que implica que (θ ′

)2= 2ω2(cos θ− cos θ0) , ou seja,

θ′ =±√2ω√cos θ− cos θ0. (4.2.1) Para encontrar o per´ıodo do movimento oscilat´orio em fun¸c˜ao do deslocamento do pˆendulo, conforme a Figura 13, considera-se um quarto desse per´ıodo, e assim, θ variando de θ(0) = θ0 a θ

(_T 4 )

= 0 e θ′(t) ´e negativa. Considerando-se a diferencial de θ, dθ = θ′(t)dt, tem-se dθ =−√2ω√cos θ− cos θ0 dt, e desse modo,

dθ √

cos θ− cos θ0

=−√2ωdt. (4.2.2)

Integrando-se (4.2.2), obt´em-se

−√1 2ω ∫ 0 θ0 dθ √ cos θ− cos θ0 = ∫ T 4 0 dt = T 4 ⇒ T = 4 1 √ 2ω ∫ θ0 0 dθ √ cos θ− cos θ0 .

Uma vez que

cos θ− cos θ0 = cos ( θ 2 + θ 2 ) − cos ( θ0 2 + θ0 2 ) = cos2θ 2 − sin 2 θ 2 − cos 2θ0 2 + sin 2 θ0 2 = 1− sin2 θ 2− sin 2θ 2 − 1 + sin 2θ0 2 + sin 2θ0 2 = 2 ( sin2θ0 2 − sin 2 θ 2 ) ,

tem-se T = 2π ω 1 π ∫ θ0 0 1 √ sin2 θ0 2 − sin 2 θ 2 dθ.

Fazendo a mudan¸ca de vari´avel sinθ₂ = sinθ0

2 sin u, tem-se para θ = 0, u = 0 e para θ = θ0, u =

π

2 e dθ = 2 sinθ0

2 cos u

cosθ₂ du. Logo,

T = 4 ω ∫ π 2 0 1 cosθ₂ du = 4 ω ∫ π 2 0 1 √ 1− k2_sin2_u du, (4.2.3) em que k = sinθ0 2.

Desse modo, para se determinar o per´ıodo do pˆendulo ´e necess´ario calcular uma integral que n˜ao pode ser resolvida em termos de fun¸c˜oes elementares, por´em, pode-se obter aproxima¸c˜oes usando o desenvolvimento em s´eries.

Considere o desenvolvimento binomial de Newton (1 + x)p= 1 + px + p(p− 1) 2! x 2₊ p(p− 1)(p − 2) 3! x 3_{+· · · ,} que converge se |x| < 1.

Fazendo x =−k2sin2u, em que|k2sin2u| < 1 e p = −1

2, obt´em-se (1− k2sin2u)−12 = 1− 1 2(−k 2_sin2_{u) +} 1 2! ( −1 2 ) ( −3 2 ) (−k2sin2u)2 +1 3! ( −1 2 ) ( −3 2 ) ( −5 2 ) (−k2sin2u)3+· · · = 1 +1 2k 2_sin2_{u +} 1 2! 1 2 3 2k 4_sin4_{u +} 1 3! 1 2 3 2 5 2k 6_sin6_{u +· · ·} A s´erie acima ´e convergente e pode ser integrada termo a termo. Com objetivo de obter as integrais das potˆencias dos senos de forma recursiva, considera-se um n´umero natural par m da forma m = 2n e escreve-se

Im = ∫ π 2 0 sinmu du. (4.2.4) Note que Im+2 = ∫ π 2 0 sinm+2u du = ∫ π 2 0 sinmu sin2u du = ∫ π 2 0 sinmu (1− cos2u) du = ∫ π 2 0 sinmu du− ∫ π 2 0 sinmu cos2u du = Im− ∫ π 2 0

sinmu cos2u du,

ou seja, _∫

π

2

0

Por outro lado, por integra¸c˜ao por partes, obt´em-se ∫ π

2

0

sinmu cos2u du = sinmu cos u sin u

π 2 0 − ∫ π 2 0

sin u(m sinm−1u cos2u− sinm+1u) du

= 0− m ∫ π 2 0 sinmu cos2u du + ∫ π 2 0 sinm+2u du,

donde segue que

(m + 1) ∫ π 2 0 sinmu cos2u du = Im+2. (4.2.6) Substituindo (4.2.5) em (4.2.6), tem-se (m + 1)(Im− Im+2) = Im+2, ou seja, Im+2 = 1 + m 2 + mIm. (4.2.7)

Uma vez que I0 = ∫ π

2

0

du = π

2, podemos escrever recursivamente:

I2 = 1 2I0 = 1 2 π 2 = π 2 ( 1 2 ) , I4= 3 4I2= 3 4 1 2I0 = 3 4 1 2 1 2 π 2 = π 2 ( 1 2! 1 2 3 2 ) , I6 = 5 6I4 = 5 6 3 4 1 2I0 = 5 6 3 4 1 2 1 2 π 2 = π 2 ( 1 3! 1 2 3 2 5 2 ) .

Desta forma, obt´em-se ∫ π 2 0 1 √ 1− k2_sin2_udu = π 2 + π 2 ( 1 2 )2 k2+π 2 ( 1 2! 1 2 3 2 )2 k4+π 2 ( 1 3! 1 2 3 2 5 2 )2 k6+· · · Portanto, substituindo em (4.2.3), obt´em-se

T = 4 ω [ π 2 + π 2 ( 1 2 )2 k2+π 2 ( 1 2! 1 2 3 2 )2 k4+π 2 ( 1 3! 1 2 3 2 5 2 )2 k6+· · · ] (4.2.8) = 2π ω [ 1 + ( 1 2 )2 sin2 θ0 2 + ( 1 2! 1 2 3 2 )2 sin4 θ0 2 + ( 1 3! 1 2 3 2 5 2 )2 sin6 θ0 2 +· · · ] ,

que ´e a express˜ao correta para o per´ıodo do pˆendulo, o que mostra sua dependˆencia da amplitude.

Para constatar tal dependˆencia, consideraremos a aproxima¸c˜ao da s´erie (4.2.9),

T = 2π ω [ 1 + ( 1 2 )2 sin2 θ0 2 + ( 1 2! 1 2 3 2 )2 sin4 θ0 2 ]

, e a partir dela faremos uma tabela para alguns valores de θ0, com π = 3, 1415 e ω =

√

g

l, em que g = 9, 8m/s

θ0 T 0 2.007030773 π 360 2.007040325 π 180 2.007068983 π 36 2.007986408 π 18 2.010858246 π 12 2.015660675 π 6 2.041906571 π 4 2.086559763 π 3 2.150101518 π 2 2.328451135

Observa-se que para θ0 = 0 o per´ıodo T = 2.007030773 ´e o valor aproximado para pequenas oscila¸c˜oes, ou seja, θ0 ≈ 0. Para os demais valores pode-se notar que `

a medida que aumentamos o valor de θ0, aumenta tamb´em o per´ıodo. Isso confirma que, de fato, o per´ıodo depende da amplitude.

5

O pˆ

endulo is´

ocrono de Huygens

Por volta de 1650, Huygens construiu um pˆendulo cujo per´ıodo de oscila¸c˜ao independia da amplitude do movimento. Esse pˆendulo, chamado is´ocrono, consiste em se fazer uma part´ıcula percorrer uma trajet´oria espec´ıfica: um arco de cicloide, conforme o esquema abaixo.

Figura 14: Huygens e o pˆendulo is´ocrono

`

A princ´ıpio, Huygens fez constru¸c˜oes emp´ıricas, colocando obst´aculos de ambos os lados de um pˆendulo simples pois, dessa forma, `a medida que o fio encostava no obst´aculo, o comprimento efetivo do pˆendulo se tornava menor e isso acarretaria a diminui¸c˜ao do per´ıodo. Huygens s´o obteve sucesso em seu empreendimento quando utilizou como obst´aculos arcos de cicloide. Isso foi poss´ıvel, devido a propriedade de que o lugar geom´etrico descrito pelos centros de curvatura de uma cicloide ´e tamb´em uma cicloide chamada de evoluta. Para mais detalhes sobre o assunto, ver [9].

Para mostrar que no caso desse pˆendulo o per´ıodo n˜ao depende da amplitude vamos supor que a part´ıcula seja abandonada, a partir do repouso, de um ponto P0 sendo H a altura desse ponto em rela¸c˜ao ao ponto mais baixo da trajet´oria, ou seja,

y0 = y(0) = H, como indica a Figura 15. Usando a lei da conserva¸c˜ao da energia pode-se calcular o m´odulo da velocidade da part´ıcula, v, em sua descida quando esta se encontra em um ponto arbitr´ario P, cuja altura ´e y:

1 2mv

x y O 2R v d y m H P P0 β β Figura 15:

Lembrando que a velocidade da part´ıcula ´e sempre tangente `a trajet´oria, a com-ponente vertical de sua velocidade ´e dada por

vy =

dy dt =−

√

2g(H− y) cos β (5.0.10)

e usando a Proposi¸c˜ao 4, apresentada na Se¸c˜ao 3, pode-se escrever cos β = d

2R e y = d cos β, em que d e β s˜ao como na Figura 15.

Logo, cos β = √ y 2R. Substituindo em (5.0.10) tem-se dy dt =− √ g R √ (H− y)y. (5.0.11)

Note que o intervalo de tempo transcorrido desde o instante inicial at´e o instante em que a part´ıcula atinge o ponto mais baixo da trajet´oria ´e igual a T

4 em que T ´e o per´ıodo das oscila¸c˜oes. Integrando (5.0.11), conclu´ı-se que

∫ 0 H dy √ (H− y)y =− √ g R ∫ T 4 0 dt⇒ T = 4 √ R g ∫ H 0 dy √ (H− y)y. Agora, fazendo a mudan¸ca de vari´avel ξ = y

H, com dy = Hdξ, obt´em-se T = 4 √ R g ∫ 1 0 dξ √ (1− ξ)ξ. (5.0.12)

Para se obter a express˜ao para o per´ıodo completaremos quadrados e assim,

tem-se _∫ 1 0 dξ √ (1− ξ)ξ = ∫ 1 0 dξ √ 1 4− ( ξ−1₂)2 .

Fazendo a mudan¸ca de vari´avel ξ−1 2 = 1 2sin θ, com dξ = 1 2cos θdθ, tem-se ∫ 1 0 dξ √ 1 4− ( ξ−1₂)2 = ∫ π 2 −π 2 cos θ √ 1− sin2θ dθ = π.

Substituindo em (5.0.12), obt´em-se T = 4π √ R g = 2π √ 4R g .

Note que essa express˜ao do per´ıodo n˜ao envolve o H, ou seja, o per´ıodo do movimento n˜ao depende da amplitude das oscila¸c˜oes.

Portanto, qualquer que seja o ponto onde a part´ıcula ´e abandonada, ela atingir´a, no mesmo instante, o ponto mais baixo da trajet´oria cicloidal.

Assim, Huygens alcan¸cou seu objetivo, uma vez que seu rel´ogio de pˆendulo reduziu a margem de erro de cerca de quinze minutos por dia para meros dez ou quinze segundos. O rel´ogio se tornara, enfim, um instrumento realmente confi´avel para medir o tempo. Para mais detalhes veja, por exemplo, [4] e [7].

6

O problema da braquist´

ocrona

Conforme abordado na introdu¸c˜ao, o problema da braquist´ocrona, ou do tempo m´ınimo, foi apresentado aos matem´aticos por Johann Bernoulli, na Acta Erudito-rum, em 1696. De forma surpreendente e, desafiando a intui¸c˜ao, a cicloide apareceu como solu¸c˜ao desse problema. Muitos matem´aticos apresentaram solu¸c˜oes, inclusive o pr´oprio Johann. Sua solu¸c˜ao, que faremos aqui, baseada em [6] e [11], envolve uma analogia com a refra¸c˜ao da luz, um tema que foi de grande preocupa¸c˜ao dos cientistas do in´ıcio do s´eculo XVII.

Figura 16: Jakob e Johann Bernoulli

A prop´osito, a lei da refra¸c˜ao foi descoberta por Willebrord Snell (1591-1626) em 1621 de um modo experimental, embora Fermat e Descartes tenham contribu´ıdo muito nesse assunto.

Lei da refra¸c˜ao de Snell ou Princ´ıpio do menor tempo de Fermat: Sejam v1 e

v2 as velocidades da luz em dois meios distintos, (ar e ´agua, por exemplo). Se um raio de luz percorre de um ponto A de um meio, para um ponto B do outro, por um caminho ACB que minimiza o tempo gasto, ent˜ao

sin θ1

v1

= sin θ2

v2

,

em que θ1´e o ˆangulo de incidˆencia e θ2´e o ˆangulo de refra¸c˜ao, como na Figura 17.

A solu¸c˜ao de Johann Bernoulli: Considere, por exemplo, dois pregos martelados,

ao acaso, em uma parede ou num plano (n˜ao na mesma vertical), e que o prego superior (ponto P0) seja conectado ao inferior (ponto P1) por um arame flex´ıvel na forma de uma curva lisa. O problema consiste em determinar qual a forma do arame no qual uma part´ıcula deslizar´a (sem atrito), sob influˆencia da gravidade, para passar do ponto superior ao inferior no menor tempo poss´ıvel.

A C B θ θ 1 2 Ar Água

Figura 17: Lei da refra¸c˜ao de Snell

Para resolver o problema, Bernoulli fez uma analogia com o caso da propaga¸c˜ao da luz em meios de densidade vari´avel. Suponhamos que o meio atravessado pela luz ´e constitu´ıdo por uma s´erie de camadas paralelas F1, F2, F3,· · · de densidade decrescente. Logo, as velocidades de propaga¸c˜ao nessas camadas s˜ao v1< v2 < v3 <

· · · , ver Figura 18. F F F v v v i i i 1 1 1 2 2 2 3 3 3 Figura 18:

Pela lei de Snell tem-se sin i1 v1 = sin i2 v2 = sin i3 v3 =· · ·

A seguir, Bernoulli considerou que essas camadas se tornam mais finas e mais numerosas e, portanto, no limite, a velocidade da luz cresce continuamente, quando o raio de luz desce. Desse modo, conclu´ı-se que

sin i

v = constante, (6.0.13)

sendo essa equa¸c˜ao satisfeita em cada ponto da trajet´oria do raio de luz e o ˆangulo

i se torna o ˆangulo da tangente `a trajet´oria com a vertical.

Dado um sistema de coordenadas como na Figura 19, considere que a part´ıcula (como o raio de luz) seja capaz de escolher a trajet´oria em que ir´a deslizar de P0 a

P1 no menor tempo poss´ıvel.

x y P P₁ 0 Figura 19:

Designando por v a velocidade da part´ıcula de massa m, quando ela passa pelo ponto P = (x, y) tem-se, pela lei de conserva¸c˜ao de energia, que

mgy = 1

2mv 2_, em que g = 9, 8m/s2. Desse modo

v =√2gy. (6.0.14)

Pela Figura 18, observa-se que sin i = cos (_π 2 − i ) = 1 sec(π₂ − i) = 1 √ 1 + tan2(π₂ − i) = 1 √ 1 + (y′)2. (6.0.15) Substituindo, (6.0.14) e (6.0.15) em (6.0.13), tem-se sin i v = c ⇒ 1 √ 1 + (y′)2 √ 2gy = c ⇒ √ 1 1 + (y′)2 1 √ 2gy = c ⇒ 1 y (1 + (y′)2₎ = 2gc 2 ⇒ y(1 + (y′)2)= c. (6.0.16) A equa¸c˜ao (6.0.16) ´e conhecida como equa¸c˜ao diferencial da braquist´ocrona cuja solu¸c˜ao mostraremos tratar-se da anunciada cicloide.

Substituindo y′ por dy

dx e separando as vari´aveis tem-se y ( 1 + ( dy dx )2) = c ⇒ ( dy dx )2 = c− y y ⇒ dy dx = √ c− y y ⇒ dx = √ y c− ydy ⇒ x = ∫ √ y c− ydy. Fazendo a substitui¸c˜ao u2 ₌ y c− y, tem-se y = cu2 1 + u2 e dy = 2cu (1 + u)2du e, portanto, x = ∫ 2cu2 (1 + u2₎2du.

Agora, utilizando a substitui¸c˜ao trigonom´etrica u = tan ϕ, tem-se du = sec2_ϕdϕ, e ent˜ao x = ∫ 2c tan2ϕ sec2ϕ (1 + tan2_ϕ)2 dϕ = 2c ∫ tan2ϕ sec2_ϕdϕ = 2c ∫ sin2ϕdϕ = c ∫ (1− cos 2ϕ)dϕ = 1 2c(2ϕ− sin 2ϕ) + k, (k constante).

Na verdade, k = 0, pois y = 0 quando ϕ = 0, e como P0est´a na origem, devemos ter x = 0 quando ϕ = 0.

Uma vez que y = cu 2 1 + u2, tem-se y = c tan 2_ϕ sec2_ϕ = c sin 2_{ϕ =} 1 2c(1− cos 2ϕ). Portanto, x = 1 2c(2ϕ− sin 2ϕ) e y = 1 2c(1− cos 2ϕ). (6.0.17) Em (6.0.17), fazendo a = c 2 e θ = 2ϕ, conclu´ı-se que

x = a(θ− sin θ), y = a(1 − cos θ),

que s˜ao as equa¸c˜oes param´etricas da cicloide da Figura (18).

Referˆ

encias

[1] ´AVILA, G., C´alculo das fun¸c˜oes de uma vari´avel, Volume 2, 7. Ed., Rio de

Janeiro: LTC, 2009.

[2] BOS, H. J. M., O c´alculo no s´eculo XVIII: t´ecnicas e aplica¸c˜oes, Bras´ılia:

Editora Universidade de Bras´ılia, 1985.

[3] BOYER, Carl, B., Hist´oria da Matem´atica, 2. Ed., S˜ao Paulo: Edgard Bl¨ucher, 1996.

[4] BURROWES, M. e FARINA, C., Sobre o pˆendulo is´ocrono de Christiaan Huy-gens, Revista brasileira de ensino de f´ısica, v. 27, n. 2, 175-179, 2005.

[5] FIGUEIREDO, D. G. e NEVES, A.F., Equa¸c˜oes Diferenciais Aplicadas

Cole¸c˜ao Matem´atica Universit´aria, 3a Ed., Rio de Janeiro: IMPA, 2012. [6] FIGUEIREDO, D. G., Problemas de m´aximo e m´ınimo na geometria euclidiana

In: Matem´atica Universit´aria, Rio de Janeiro, 9/10, 69-108, 1989.

[7] FONSECA, A., Curso de mecˆanica, vol. III, Rio de Janeiro: LTC Editora,

1975.

[8] GARBI, G. G., A rainha das ciˆencias, S˜ao Paulo: Editora Livraria da F´ısica, 2006.

[9] PISKUNOV, N., C´alculo Diferencial e Integral, vol. I, S˜ao Paulo: Edi¸c˜oes Cardoso, 1969.

[10] PUTNOKI, J. C. Elementos de Geometria e Desenho Geom´etrico, Volumes II

e especial para o vestibulando, S˜ao Paulo: Editora Scipione, 1989.

[11] SIMMONS, George F., C´alculo com Geometria Anal´ıtica, Volumes 1 e 2, S˜ao Paulo: McGraw-Hill, 1987.

[12] ROQUE, T., Hist´oria da matem´atica: uma vis˜ao cr´ıtica, desfazendo mitos e lendas, Rio de Janeiro: Zahar, 2012.