Teoremas de Hartman-Grobman, Variedade Estável e Aplicações

(1)

Teoremas de Hartman-Grobman, Variedade Est´

avel e Aplica¸c˜

oes

Marcus Vinicius de Oliveira

marcus.eletrica@hotmail.com

Universidade Federal de Minas Gerais

8 de setembro de 2012

1 Teorema de Hartman-Grobman

Sendo a classifica¸cão de Sistemas Dinâmicos um problema intratável, é de particular interesse compreen-der o comportamento de Sistemas Dinâmicos próximo à singularidades ou à órbitas espec´ıficas. Como o comportamento de Sistemas Dinâmicos Lineares é suficientemente bem compreendido, uma tentativa de estabelecer uma conjuga¸cão topológica entre um Sistema Dinâmico e sua parte linear (Derivada) é bas-tante natural. É neste contexto que se insere o Teorema de Hartman-Grobman, segundo o qual campos de vetores, assim como difeomorfismos, são conjugados à suas derivadas na vizinhan¸ca de uma singularidade hiperbólica.

O objetivo desta se¸cão é apresentar o enunciado e a demonstra¸cão do Teorema de Hartman. Há um interesse particular pela versão cont´ınua do teorema, sendo conveniente a apresenta¸cão de sua versão para difeomorfismos (neste trabalho são sinônimos de Sistemas Dinâmicos em tempo discreto), que será utilizada na demonstra¸cão da versão cont´ınua do teorema.

1.1 Conjuga¸

c˜

ao entre Difeomorfismos

Defini¸cão 1.1 (Isomorfismo Linear Hiperbólico). Seja E um espa¸co de Banach. Um Isomorfismo Linear A ∈ L(E) é dito hiperbólico se o espectro de A não intercepta S1_{. Caso dim(E) < ∞ isso ´}_{e equivalente ao}

fato de A n˜ao possuir autovalor com norma 1.

Defini¸c˜ao 1.2 (Ponto Fixo Hiperb´olico). Seja f um difeomorfismo Ck_{, f : U ⊂ E → E. p ∈ U ´}_{e um}

ponto fixo hiperbólico se a aplica¸cão linear Df (p) é um isomorfismo linear hiperbólico.

Considere A um isomorfismo linear hiperb´olico, A : E → E, Existe uma decomposi¸c˜ao de E como soma direta de dois subespa¸cos invariantes por A, E = Es_{⊕ E}u_{, segundo a qual existe α ≥ 0 talkA|}

Esk ≤ α e (A|Eu) −1 ≤ α.

Baseando-se nessa decomposi¸cão de E, considere a seguinte decomposi¸cão do espa¸co das aplica¸cões cont´ınuas e limitadas definidas em E que assumem valores em E,

Cb0(E, E) = Cb0(E, Es) ⊕ Cb0(E, Eu)

Esta decoomposi¸cão é absolutamente natural tendo em vista as aplica¸cões proje¸cão, πs : E → Es e

πu : E → Eu, definidas por π(xs+ xu) = xs e πu(xs+ xu) = xu. Se f ∈ Cb0(E, E), defina fs: E → Es,

fu: E → Eu, dadas por fs= πs◦ f e fu= πu◦ f .

O Teorema de Hartman-Grobman ser´a enunciado para uma variedade diferenci´avel qualquer M. T Mp

representa o espa¸co tangente `a M no ponto p.

Teorema 1.1 (Hartman-Grobman para Difeomorfismos). Sejam, f : U ⊂ M → M de classe Ck _{e p ∈ U}

um ponto fixo hiperb´olico de f . Seja A = Df (p) : T Mp→ T Mp. Ent˜ao existem V (p) uma vizinhan¸ca de p

em M, U (0) vizinhan¸ca de 0 em T Mp e h : U (0) → V (p) um homeomorfismo tais que:

(2)

O teorema será demonstrado utilizando uma sequência de lemas e proposi¸cões, seguindo basicamente a trajetória apresentada em [1], também dispon´ıvel em [2].

Lema 1.1. Seja E um Espa¸co de Banach, f : U ⊂ E → E uma aplica¸cão de classe Ck, k ≥ 1 definida no aberto U contendo a origem com f (0) = 0 e seja A = Df (0). Dado > 0, existe uma vizinhan¸ca U da origem tal que f |U é da forma A + ψ, onde ψ é uma aplica¸cão cont´ınua, limitada e Lipschitziana em E

com constante de Lipschitz limitada por .

Demonstra¸cão. Permita, por simplicidade denotar tanto normas em E quanto valor absoluto por |.|, o contexto será responsável por diferenciar as duas aplica¸cões. Defina, inicialmente, uma fun¸c˜_{ao β : R → [0, 1]} do tipo bump, ou seja, uma fun¸cão C∞tal que:

β(t) = 0, se t ≥ 1

β(t) = 1, se t ≤ 1/2 |β0(t)| ≤ K, ∀t ∈ R K > 2

Existe uma aplica¸cão φ tal que f = A + φ e φ(0) = 0, Dφ(0) = 0, pois Df (0) = A pela defini¸cão de A. Considere então uma bola de raio r centrada na origem, Br(0), tal que Dφ(x) < /2K, ∀x ∈ Br(0). A

bola que se pretende definir existe uma vez que φ ´e pelo menos C1, uma vez que f e A o s˜ao e Dφ(0) = 0. Defina

ψ(x) = β |x| r

.φ(x)

Da´ı, ψ(x) = 0 se |x| ≥ r, o que implica que ψ é limitada em E, uma vez que |ψ| ≤ |φ|, e devido a desigualdade do valor médio, a constante de Lipschitz de φ restrita à Bré menor que /(2K). Dessa forma

tem-se que:

|ψ(x)| ≤ |φ(x)| = |φ(x) − φ(0)| ≤

2K.|x − 0| ≤

2K.r, ∀x ∈ Br

Como ψ(x) = φ(x) se |x| ≤ r/2, segue que A + ψ é extensão de f |Br/2. Além disso ψ é Lipschitziana. De

fato, sejam x1 e x2∈ Br. |ψ(x1) − ψ(x2)| = β |x1| r .φ(x1) − β |x2| r .φ(x2) = β |x2| r − β |x2| r φ (x1) − β |x2| r (φ (x2) − φ (x1)) ≤ β |x2| r − β |x2| r φ (x1) + β |x2| r (φ (x2) − φ (x1)) ≤ K |x1| − |x2| r ε 2K|x1| + ε 2K|x1− x2| ≤ |x1− x2| r . ε 2.r + ε 2. |x1− x2| = ε |x1− x2|

O argumento anterior é válido se x1∈ Br e x2∈ Br, caso x1∈ Br e x2 ∈ B/ r o mesmo racioc´ınio será

aplicado. |ψ (x1) − ψ (x2)| = β |x1| r φ (x1) − β |x2| r φ (x2) ≤ β |x1| r − β |x2| r φ (x1) + β |x2| r (φ (x2) − φ (x1)) ≤ K |x1| − |x2| r ε 2K |x1| ≤ |x1− x2| r ε 2r ≤ ε |x1− x2| Para finalizar, ´e necess´ario abordar o caso em que x1∈ B/ r e x2∈ B/ r. Nesse caso,

(3)

Teorema 1.2. (da Perturba¸cão da Identidade) Seja E um espa¸co vetorial normado completo, I : E → E a identidade em E. Seja φ : E → E uma contra¸cão em E. Então I + φ é um homeomorfismo sobre E

Demonstra¸c˜ao. Sejam x, y ∈ E e h = I + φ. Seja 0 < λ < 1 a constante de Lipschitz de φ. Assim, segue que:

||h(x) − h(y)|| = ||x + φ(x) − y − φ(y)|| ≥ ||x − y|| + ||φ(x) − φ(y)|| ≥ ||x − y|| − λ||x − y|| = (1 − λ)||x − y||

o que demonstra que h é injetiva e também a continuidade da inversa (caso exista). Para mostrar a sobrejetividade de h seja z ∈ E. Defina a aplica¸cão fz: E → E, definida por fz(x) = z − φ(x).

||fz(x) − fz(y)|| ≥ ||z − φ(x) − z + φ(y)|| = ||φ(x) − φ(y)|| ≥ λ||x − y||

com λ < 1. Dessa forma como fzé uma contra¸cão existe um único ponto fixo q para fz, tal que z − φ(q) = q

=⇒ (I + φ)(q) = z, provando a sobrejetividade de I + φ, como quer´ıamos. A continuidade ´e imediata, a continuidade da inversa j´a foi demonstrada, sendo portanto φ um homeomorfismo.

O Lema que será demonstrado a seguir é de cunho técnico, mas é extremamente útil e será utilizado para a obten¸cão de resultados importantes. Recomenda-se o entendimento completo de seu conteúdo

Lema 1.2 (da Perturba¸c˜ao com Isomorfismos). Seja E um espa¸co de Banach, L ∈ L(E), satisfazendo ||L|| ≤ a < 1 e G ∈ L(E) isomorfismo com ||G−1_{|| ≤ a < 1 ent˜}_ao:

(a) (I + L) é um isomorfismo com ||(I + L)−1|| ≤ 1/(1 − a) (b) (I + G) é um isomorfismo com ||(I + G)−1|| ≤ a/(1 − a) Demonstra¸cão. Seja y ∈ E fixado. Defina u : E → E por:

u(x) = y − L(x)

Dessa forma tem-se que:

||u(x1) − u(x2)|| = ||L(x1) − L(x2)|| ≤ a||x1− x2||

provando que u é uma contra¸cão. Como E é um espa¸co de Banach vale o Teorema do Ponto fixo para contra¸cões, de forma que u tem um único ponto fixo, ou seja, ∃!z ∈ E tal que u(z) = z, isto é, y − L(z) = z, de onde vem que y = (I + L)(z), provando que I + L é sobrejetivo. Além disso, se (I + L)(x1) = (I + L)(x2),

x1+ L(x1) = x2+ L(x2) =⇒ x1− x2 = L(x2− x1), logo x1 = x2, pois caso contr´ario ||L|| ≥ 1, um

absurdo. Dessa forma I + L ´e um isomorfismo.

Seja y ∈ E com ||y|| = 1, e seja x ∈ E tal que x = (I + L)−1(y). Como x + L(x) = y, tem-se que x = y − L(x) e usando a desigualdade triangular e o fato de que ||L|| = a < 1 tem-se que:

||x|| ≤ 1 + a||x||

de onde conclui-se que ||x||(1 − a) ≤ 1, ou seja, ||x|| ≤ 1/(1 − a), o que completa a demonstra¸c˜ao do ´ıtem (a).

Para demonstrar o ´ıtem (b), basta ver que (I + G) = G(I + G−1). Como ||G−1|| ≤ a < 1 segue do ´ıtem (a) que I + G−1 é invers´ıvel. Como G é um isomorfismo por hipótese, segue imediatamente que I + G é um isomorfismo (por ser composta de isomorfismos). Da´ı (I + G)−1= (I + G−1)−1G−1, de onde vem que:

||(I + G)−1|| ≤ ||(I + G−1)−1||.||G−1|| ≤ a 1 − a

Isso finaliza a demonstra¸c˜ao do lema.

Corol´ario 1.1 (da perturba¸c˜ao de isomorfismo). Sejam E, F espa¸cos de Banach e T : E → F um isomorfismo linear. Seja φ : E → F Lipschitz tal que Lip(φ) < (||T−1||)−1_{. Ent˜}_{ao T + φ : E → F ´}_{e um}

(4)

Demonstra¸cão. A demonstra¸cão não será apresentada neste texto. Uma boa referência é [2]. Tente de-monstrar como consequência do Teorema e do Lema apresentados.

Lema 1.3. Seja A : E → E um automorfismo hiperbólico do espa¸co de Banach E, então existe > 0 tal que se φ1 e φ2 são ambas fun¸cões cont´ınuas e limitadas, φ1, φ2: E → E com constante de Lipschitz menor

ou igual a , ent˜ao A + φ1 e A + φ2 s˜ao conjugadas.

Demonstra¸cão. Um procedimento muito comum em Sistemas Dinâmicos quando se procura um homeo-morfismo que conjuga dois difeohomeo-morfismos é escrevê-lo como perturba¸cão da identidade e resolver uma equa¸cão (teoricamente), de modo a chegar à conclusão desejada. Vamos demonstrar portanto que existe um homeomorfismo h : E → E da forma:

h = I + w Em que w ∈ C0

b e que portanto est´a a uma distˆancia finita da identidade. Precisamos resolver a seguinte

equa¸c˜ao

h ◦ (A + φ1) = (A + φ2) ◦ h

Como h = I + w (nossa tentativa) segue que

(I + w) ◦ (A + φ1) = (A + φ2) ◦ (I + w)

A + φ1+ w ◦ (A + φ1) = A + φ2+ (A + φ2) ◦ w

Fazendo o cancelamento de A e reagrupando os termos temos que:

A ◦ w − w ◦ (A + φ1) = φ1− φ2(I + w)

Defina o operador L0 _{definido no espa¸}_{co das aplica¸}_c˜_{oes cont´ınuas e limitadas C}0 b(E, E)

L0(y) = A ◦ y − y ◦ (A + φ1)

Mostraremos que L0 ´e invers´ıvel e exibiremos uma cota para a norma operatorial de L0−1. Defina o operador A0 : C0

b(E, E) → Cb0(E, E) por A0(y) = A ◦ y. Dessa forma podemos escrever que

L0(y) = A0 y − A−1◦ y ◦ (A + φ1)

Defina portanto outro operador L : C0

b(E, E) → Cb0(E, E) por

L(y) = y − A−1◦ y ◦ (A + φ1)

Ou seja L0 = A ◦ L. Se provarmos que L e A0 possuem inversa ficar´a automaticamente demonstrado que L0 ´e invers´ıvel, sendo sua inversa igual a L−1◦ A0−1_{. ´}_{E f´}_{acil ver que A}0 _´_{e invers´ıvel pois se u ∈ C}0 b

temos que A0(A−1(u)) = u, logo A0 é sobrejetiva. Além disso se u, v ∈ C_b0 com A0(u) = A0(v) segue que A(u) = A(v) e como A é invers´ıvel, u = v, logo A0 _´_{e bije¸}_c˜_{ao. Falta ent˜}_{ao provar que L ´}_{e invert´ıvel.}

Note que C0 b(E, E

s_{) e C}u b(E, E

u_{) s˜}_{ao invariantes por L. De fato, como A ´}_{e um isomorfismo que tem E}s

e Eu_{como subespa¸}_{cos de E invariantes segue que tanto E}s_{quanto E}u _s˜_{ao invariantes por A}−1_{e portanto}

por como L(ys) = ys− A−1◦ ys◦ (A + φ1) e ys∈ Cb0(E, E

s_{) segue que a aplica¸}_c˜_{ao y}

s◦ (A + φ1) toma valores

em Es_{, de onde conclui-se que L(y}

s) ∈ Cb0(E, Es). Assim, pelo que foi observado anteriormente segue que

pode-se decompor L da seguinte forma:

L = Ls+ Lu em que Ls= L|C0 b(E,Es)e L u_{= L|} C0 b(E,Eu)

Se for suficientemente pequeno, o lema de perturba¸c˜ao de isomorfismo garante que (A + φ1) ´e um

homeomorfismo. Vamos definir agora o operador G : C_b0(E, Es) → C_b0(E, Es) por: G(ys) = A−1◦ ys◦ (A + φ1)

(5)

Como G é composta de aplica¸cões invers´ıvel, G é invers´ıvel. A inversa de G, G−1: C0 b(E, E s_{) → C}0 b(E, E s₎ ´ e dada por: G−1(ys) = As◦ ys◦ (A + φ)−1

G−1´e uma contra¸c˜ao com norma limitada por a < 1. De fato, como ||G−1|| ≤ ||As_{||.||(A + φ}

1)−1||, escreva

x = xs_+xu_{. Se x}

u6= 0 é fácil ver que é uma contra¸cão tomando suficientemente pequeno. Se xu= 0 segue

que Ax = As.x e como φ tem constante de Lipschitz que pode ser reduzida o quanto for necessário, A + φ são próximo de A quanto for necessário. Como tanto ||As|| quanto ||(Au₎−1_{|| tem norma limitada por δ < 1,}

segue o resultado. Pelo lema 1.2 segue que Ls´e invers´ıvel e ||(Ls)−1|| ≤ a/(1 − a) e ||(Lu₎−1_{|| ≤ 1/(1 − a).}

Portanto, L0 ´e invers´ıvel com norma

||L0−1_{|| = ||L}−1_.A0−1_{|| ≤} ||A−1||

1 − a

Dessa forma tem-se que a equa¸c˜ao de deve ser resolvida ´e:

w = L0−1(φ1− φ2◦ (I + w))

Ou seja, w será a solu¸cão da equa¸cão se e somente se for ponto fixo do operador T , T : C0

b(E, E) → C 0 b(E, E),

definido por:

T (y) = L0−1(φ1− φ2◦ (I + y))

Não há nada a fazer senão tentar provar que T é uma contra¸cão para concluir via teorema do ponto fixo que existe um único ponto fixo. De fato, sejam y1, y2∈ Cb0(E, E), tem-se que:

||T (y1) − T (y2)|| = ||L0−1(φ1) − L0−1(φs◦ (I + y1)) − L0−1(φ1) + L0−1(φ2◦ (I + y2))|| =

||L0−1_(φ

2◦ (I + y2)) − L0−1(φ2◦ (I + y1))|| ≤ ||L0−1||.|φ2(I + y1) − φ2(I + y2)| ≤

||A−1

1 − a|y1− y2| Observe assim que para suficientemente pequeno T é uma contra¸cão e existe um único ponto fixo, w. Então a equa¸cão foi resolvida (de forma teórica, provando a existência de uma solu¸cão). Resta provar ainda que (I +w) é de fato um homeomorfismo. A contru¸cão da inversa de (I +w) também, será teórica. Iniciemos observando que os papéis desempenhados por φ1 e φ2 podem ser trocados, bastanto um intercâmbio de

´ındices. Assim, obtemos (da mesma forma com que obtivemos w) um ´unico v ∈ C0

b(E, E) tal que:

(I + v) ◦ (A + φ2) = (A + φ1) ◦ (I + v)

Vamos mostrar que (I + v) ´e a inversa de (I + w). De fato,

(I + w) ◦ (I + v) ◦ (A + φ2) = (I + w) ◦ (A + φ1) ◦ (I + v) = (A + φ2) ◦ (I + v)

. Temos portanto que (I + w) ◦ (I + v) semiconjuga(sobrejetiva) (A + φ2) com ele pr´oprio. Note que

(I + w) ◦ (I + v) est´a a uma distˆancia finita da identidade, pois

(I + w) ◦ (I + v) = I + v + w ◦ (I + v)

e v + w ◦ (I + v) ∈ C_b0(E, E). Mas a identidade tamb´em semiconjuga (A + φ2) com ele mesmo e portanto

pela unicidade da constru¸cão de v (usando o fato de que a equa¸cão tem apenas uma solu¸cão, pois o ponto fixo é único) segue que (I + w) ◦ (I + v) = I e o mesmo vale para (I + v) ◦ (I + w), bastanto para isso observar que (I + v) ◦ (I + w) semiconjuga (A + φ1) com ele próprio. Dessa forma:

(I + w) ◦ (I + v) = (I + v) ◦ (I + w) = I

Isso completa a demonstra¸c˜ao.

Os resultados que foram demonstrados até o presente momento nos colocam em condi¸cões de provar o Teorema de Hartman-Grobman para difeomorfismos, que será posteriormente utilizado na demonstra¸cão de sua versão para fluxos, que é o objetivo deste trabalho.

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Demonstra¸c˜ao. (Teorema de Hartman-Grobmann)

Por tratar-se de resultado local, podemos, sem perda de generalidade, (usando cartas locais) supor f um difeomorfismo definido de uma vizinhan¸ca W para outra N de zero em E = TpM , com f (0) = 0 Seja

0> 0 tal que A + φ ´e globalmente conjugado a A em E, para todo A limitado com constante de Lipschitz

limitada por 0, conforme o lema 1.3. Para tal 0, podemos tomar uma vizinhan¸ca Br ⊂ W ∩ N tal que

(A + φ)|Br/2 = f |Br/2, (A + φ)|(Br)C = A, φ ´e limitada e tem constante de Lipschitz menor ou igual a 0.

Pelo lema 1.3, vale que (A + φ) ´e globalmente conjugado a A em E: existe um homeomorfismo h : E → E a uma distˆancia finita da identidade tal que da identidade tal que h ◦ A = (A + φ) ◦ h.

Note que como A é isomorfismo hiperbólico, não possui outro ponto fixo exceto o zero (pois outro ponto fixo diferente de zero seria um autovetor do autovalor 1). Tal implica que (A + φ) possui um único ponto fixo, pois se p é ponto fixo de (A + φ) temos

h ◦ A(h−1(p)) = (A + φ) ◦ h(h−1)

h ◦ A ◦ h−1(p) = (A + φ)(p) = p =⇒ A ◦ h−1(p) = h−1(p) Isso prova que h−1 ´e o ´unico ponto fixo de A, e portanto h(0) = 0.

Dessa forma, podemos restringir h a uma vizinhan¸ca U := U (0) ⊂ Br/2 tal que V := h(U (0)) ⊂ W .

temos ent˜ao que para todo x ∈ U ∩ A−1(U ) vale que:

h ◦ A(x) = f ◦ h(x) o que finalmente conclui a demonstra¸c˜ao.

1.2 Conjuga¸

c˜

ao entre Campos de Vetores

Defini¸c˜ao 1.3. (Singularidade Hiperb´_{olica) Seja X : V ⊂ R}m_{→ R}m _{um campo de vetores C}k_{, k ≥ 0. Um}

ponto p ∈ V é uma singularidade hiperbólica de X se o espectro do operador DXp : Rm → Rm não tem

parte imagin´aria nula.

Teorema 1.3 (Hartman-Grobman para Campos). Seja X : V ⊂ Rm _{→ R}m _{um campo C}k _{(k ≥ 1) e p}

uma singularidade hiperbólica de X. Seja L = DXp. Então X é localmente topologicamente conjugado a

L, em vizinhan¸cas de p e zero, respectivamente

Lema 1.4. Seja X : V ⊂ mathbbRm → Rm _{um campo de vetores de classe C}k_{, (k ≥ 1) com X(0) = 0.}

Seja L = DX0. Dado > 0, existe um campo Y : Rm→ Rm com as seguintes propriedades:

(1) O campo Y tem constante de Lipschitz limitada por K e, portanto, o fluxo induzido por Y est´a definido em RxRm_;

(2) Y = L fora de uma bola Br(0);

(3) Existe um aberto U ⊂ V contendo zero tal que Y = X em U ;

(4) Escrevendo Yt = Lt+ φt, existe M > 0 tal que |φt| ≤ M para todo t ∈ [−2, 2] e φ1 tem constante de

Lipschitz menor ou igual a .

Demonstra¸c˜ao. Como L = DX0, temos que X = L + ψ, onde ψ : V → Rm ´e Ck tal que ψ(0) = 0 e

Dψ0= 0. Seja β : R → R uma fun¸c˜ao C1tal que β(R) ⊂ [0, 1], β(t) = 1 se t ≤ r/2 e β(t) = 0 se t ≥ r. Seja

ρ : Rm→ Rm

definida por ρ(x) = β(|x|)ψ(x) se x ∈ V e ρ(x) = 0 se x ∈ Rm− V . Dado δ > 0, podemos escolher r > 0 de tal forma que ρ seja Ck e seja δ-Lipschitz. Da´ı, da defini¸c˜ao de ρ, ρ = ψ em B(0, r/2) e ρ = 0 fora de B(0, r). Seja Y : Rm→ Rm_{o campo de vetores definido por Y := L + ρ. Da´ı, Y = X em}

(7)

δ.e2K. |x − y| .2 + Z t

0

kLk . |φs(x) − φs(y)| ds

usando a desigualdade de Gronwall, obtemos que:

|φt(x) − φt(y)| ≤ δ.e2K. |x − y| .2.ekLk Rt

0ds≤ δ.e2K. |x − y| .2.ekLk.2

Pelo lema 1.1 podemos tomar ρ de modo que a constante de Lipschitz δ seja menor que /(e2K_.2.e||L||.2_).

Isso implica, em particular que φ1 tem constante de Lipschiz menor que . Finalmente, |φt|, t ∈ [−2, 2] ´e

limitada: Se x ∈ B(0, r): |φt(x)| = |φt(x) − φt(0)| ≤ ε.r Se x /∈ B(0, r): |φt(x)| = |φt(x) − φt(0)| = Z t 0 [ρ (Ys(x)) − ρ (Ys(0))] ds + Z t 0 L (φs(x) − φs(0)) ds (Note que ρ(Ys(x)) = 0, se Ys(x) /∈ B(0, r))

Z t 0 ε.r.ds + Z t 0 L (φs(x) − φs(0)) ds ≤ 2.ε.r + kLk . Z t 0 |φs(x) − φs(0)| ds

o que implica novamente pela desigualdade de Gronwall que existe M > 0 tal que |φ(x)| ≤ M , ∀x ∈ Rm

e ∀t ∈ [−2, 2].

Lema 1.5. Seja X : U → Rm _{um campo de vetores, e φ}

t o seu fluxo. Então p é singularidade hiperbólica

de X se e somente se p ´e ponto fixo hiperb´olico do difeomorfismo φ1, no tempo 1 de X.

Demonstra¸cão. (⇐) Se p é ponto fixo do tempo 1 de X e é hiperbólico, em particular, pelo Teorema de Hartman para difeomorfismos, é isolado. Note que p não pode pertencer a uma órbita periódica de per´ıodo 1, pois em tal situa¸cão, os outros pontos da órbita periódica seriam pontos fixos para φ1, e p não seria ponto

fixo isolado. Isso é bastante intuitivo, basta seguir a trajetória do de um ponto arbitrariamente próximo de p e o resultado ´_{e imediato. Logo, como φ(n, p) = p, ∀n ∈ N e φ(., p) não é periódica regular, segue-se} da classifica¸cão das trajet´_{orias de um campo que φ(t, p) = p, ∀t ∈ R =⇒ p é singularidade (isolada)} de X. Mostremos que p é singularidade hiperbólica, ou seja, que os elementos de Sp(DX(p)) tem parte

real não nula. Da dependência diferenciável em rela¸cão as condi¸cões iniciais, temos que Dxφ é solu¸cão de dZ

dt = DX(p)Z, Z0= I. Portanto, Dxφ(t, p) = e

t.DX(p) _{o que nos d´}_a:

Dfp = Dxφ(1, p) = eDX(p)

E portanto o espectro Sp(Dfp) = eSp(DX(p))implicando que |λ| 6= 1, ∀λ ∈ Sp(Dfp).

(⇒) Se p é singularidade hiperbólica de X, é imediato que p é ponto fixo de f = φ1. Como vimos acima,

da dependência diferenciável em rela¸cão as condi¸cões iniciais, temos que Dxφ é solu¸cão de dZ_dt = DX(p)Z,

Z0= I. Portanto, Dxφ(t, p) = et.DX(p) o que nos d´a

Dfp = Dxφ(1, p) = eDX(p)

E portanto o espectro Sp(Dfp) = eSp(DX(p)) implicando que |λ| 6= 1, ∀λ ∈ Sp(Dfp), isto ´e, p ´e ponto fixo

hiperb´olico de f .

Demonstra¸c˜_{ao. (Do Teorema de Hartman-Grobman para Campos) Seja Y : R}m_{→ R}m_{um campo C}k_como

no lema 1.4. Como Y = X em U , vizinhan¸ca de zero, temos que a aplica¸cão identidade conjuga localmente Y e X em U . Como a conjuga¸cão é uma rela¸cão de equivalência, portanto transitiva, só nos resta mostrar que os fluxos Yte Lt são conjugados ∀t ∈ R. Como DY0= L, da dependência diferenciável em rela¸cão às

condi¸c˜oes iniciais, temos que a derivada (DY1)0do difeomorfismo induzido no tempo 1 ´e eL= L1. De fato,

(8)

dZ

dt = DY (φ (t, x)) Z

Z (0) = Im

Como x = 0 ´e uma singularidade, φ(t, 0) = 0, ∀t, e a equa¸c˜ao acima fica da forma:

dZ

dt = DY (0) Z = LZ

Z (0) = Im

Dessa forma (DYt)(0) = et.L, e em t = 1, (DY1)(0) = eL= L1.

Dessa forma, o difeomorfismo Y1= L1+ φ1tem a origem como ponto fixo hiperb´olico e φ1como o resto

de sua derivada L1 na origem. Dessa forma pelo lema 1.3 existe um ´unico homeomorfismo h : Rm→ Rm

a uma distˆancia finita da identidade que satisfaz f ◦ Y1= L1◦ h. Mostratemos que este mesmo h tamb´em

conjuga todos os outros tempos, isto ´e, que h ◦ Yt(x) = Lt◦ h(x), ∀t ∈ R, ∀x ∈ Rm, implicando no fato de

que Y é topologicamente conjugado a L, ou seja, Y é topologicamente conjugado à sua parte linear. Definimos H : Rm_{→ R}m_por: H(x) = 1 Z 0 L−t◦ h ◦ Yt(x)dt

H é cont´ınua e está a uma distˆ_{ancia finita da identidade pelo lema 1.4. Mostratemos que para cada s ∈ R} vale H ◦ Ys= Lz◦ H. Vamos reduzir o problema de mostrar que a expressão vale para todo s a mostrar

que vale para todo s ∈ [0, 1]. É preciso mostrar, no entanto, que estas condi¸cões são equivalentes. De fato, seja q ∈ R+, podemos escrever q = n + s, com n ∈ mathbbN e s ∈ [0, 1]. Da´ı:

H ◦ Yq = H ◦ Y1◦ Y1◦ ... ◦ Y1 | {z } nvezes ◦Ys L1◦ H ◦ Y1◦ Y1◦ ... ◦ Y1 | {z } n−1vezes ◦Ys= Ln+s◦ H = Lq◦ H

Se q < 0 (e H ´e invers´ıvel), ent˜ao:

H ◦ Yq = Y−q◦ H−1

−1

= H−1◦ L−q

−1

− Lq◦ H

o que demonstra o afirmado. Dessa forma, seja s ∈ [0, 1]. Tem-se que:

L−s◦ H ◦ Ys= L−s◦ Z 1 0 (L−t◦ h ◦ Yt) dt ◦ Ys Z 1 0 (L−s◦ L−t◦ h ◦ Yt◦ Ys) dt = Z 1 0 L−(s+t)◦ h ◦ Yt+s dt Tomando u = t + s − 1 temos: Z 1 0 L−(s+t)◦ h ◦ Yt+s dt = Z s −1+s L−(u+1)◦ h ◦ Yu+1 du = Z 0 −1+s L_−(u+1)◦ h ◦ Yu+1 du + Z s 0 L_−(u+1)◦ h ◦ Yu+1 du

Fazendo v = u + 1 na primeira parcela:

L−s◦ H ◦ Ys= Z 1 s (L−v◦ h ◦ Yv) dv + Z s 0  L−u◦ (L−1◦ h ◦ Y1) | {z } h ◦Yu  du = Z 1 0 (Lu◦ h ◦ Yu) du = H

Temos assim que H é cont´ınua e semiconjuga Y1 e L1. H está a uma distância finita da identidade:

(9)

L−t◦ h ◦ Yt= L−t◦ (I + w) ◦ (Lt+ φt) = I + L−t◦ φt+ L−t◦ w ◦ Lt+ L−t◦ w ◦ φt Defina: ¯ wt= L−t◦ φt+ L−t◦ w ◦ Lt+ L−t◦ w ◦ φt ∃ ¯M > 0; | ¯wt(x)| ≤ ¯M , ∀t ∈ R [0, 1] , ∀x ∈ Rm H(x) = Z 1 0 (L−t◦ h ◦ Yt) dt = Z 1 0 (I + ¯wt) dt = I + Z 1 0 ¯ wtdt com R1 0 w¯t(x)dt ≤ ¯M . Como quer´ıamos.

2 Teorema da Variedade Est´

avel

Antes de enunciar o Teorema de Variedade Estável é necessário apresentar algumas defini¸cões importantes que serão utilizadas no enunciado.

Teorema 2.1. (Variedade Est´avel para Singularidades Hiperb´_{olicas.) Seja X : U → R}m _{um campo de}

classe Ck _{exibindo uma singularidade hiperb´}_{olica p ∈ U . Designemos por φ fluxo de X. Ent˜}_{ao o conjunto}

est´avel de p

Ws(p) = {x ∈ U ; φ (t, x) → p, t → ∞} ´

e uma variedade de classe Ck de dimens˜_{ao igual ao ´ındice de p, e injetivamente imersa em R}m. Demonstra¸cão. Não será apresentada neste texto, recomenda-se consultar [1]

O Teorema da Variedade Estável é um dos resultados mais importantes na teoria qualitativa local de equa¸cões diferenciais ordinárias. O teorema nos mostra que próximo a um ponto de equil´ıbrio hiperbólico, o sistema não-linear x = f (x) possui variedades estáveis e instáveis, S e U respectivamente, que são tangentes, no ponto de equil´ıbrio hiperbólico x0, aos subespa¸cos estável e instáveis, ES e EU respectivamente, do

sistema linearizado x = A(x) onde A = Df (x0). Al´em disso, S e U tem as mesmas dimens˜oes de ES _{e E}U_.

Teorema 2.2. (Variedade Estável para órbitas periódicas hiperb´_{olicas) Seja X : U → R}m _{um campo de}

classe Ck _{e γ ⊂ U uma ´}_{orbita peri´}_{odica hiperb´}_{olica. Ent˜}_{ao o conjunto est´}_{avel de γ}

Ws(γ) = {x ∈ U ; d (φ (t, x) , γ) → 0, t → ∞}

é uma variedade de classe Ck de dimensão igual ao ´ındice de qualquer transforma¸cão de Poincaré π associada a γ mais 1, e injetivamente imersa em Rm.

Demonstra¸cão. Não será apresentada neste texto, recomenda-se consultar [1]

3 An´

alise do Atrator de Lorenz

Nesta se¸cão será analisado o comportamento de uma equa¸cão diferencial que para certos valores de parâmetros gera o conhecido Atrator de Lorenz. Para isso será utilizado fortemente o Teorema de Hartman-Grobman.

(10)

3.1 Equa¸

c˜

ao de Lorenz

A equa¸cão de Lorenz tem como parâmetros σ, ρ e β. Dependendo dos valores destes parâmetros o com-portamento da equa¸cão varia qualitativamente.

   dx dt = σ(y − x) dy dt = x(ρ − z) − y dz dt = xy − βz (1)

Para obter as singularidades do campo Calculando a matriz jacobiana (Matriz que representa a aplica¸c˜ao derivada na base canˆonica) tem-se que:

J =   −σ σ 0 ρ −1 −x y x −β   (2)

Sabemos que o fluxo da EDO é topologicamente conjugado ao de sua derivada em uma vizinhan¸ca de uma singularidade. É de particular interesse conhecer o comportamento da EDO numa vizinhan¸ca de um ponto estacionário. Para tanto, fazemos

_dx dt dy dt dz dt = 0 0 0

Dessa forma, tem-se que as singularidades s˜ao dadas por:

   x = y y = x (ρ − z) z = xy_β (3)

Como x = y, tem-se que x = x(ρ − z). Mas x = 0 =⇒ y = 0 e z = 0 (A origem é uma singularidade). Se x 6= 0 então 1 = 1(ρ − z) =⇒ z = ρ − 1 Mas z = xy_β, logo z = x_β2 =⇒ x = y = ±pβ (ρ − 1). Assim, se ρ ≥ 1 existem três singularidades (uma na origem e duas simétricas em rela¸cão ao eixo z). Por outro lado se ρ < 1 a única singularidade é a origem. Consideremos o caso ρ > 1. Neste caso, as singularidades são:

P1= (0, 0, 0) P2= ( p β (ρ − 1),pβ (ρ − 1), ρ − 1) P3= (− p β (ρ − 1), −pβ (ρ − 1), ρ − 1)

(11)

A figura 1 apresenta o retrato de fase da EDO para ρ = 28, σ = 10 e β = 8₃.

3.2 Bifurca¸

c˜

ao e o Atrator de Lorenz

Bifurca¸cão é uma mudan¸ca qualitativa no comportamento das órbitas de um Sistema Dinâmico. A repre-senta¸cão do comportamento de órbitas em fun¸cão dos parâmetros é chamado diagrama de bifurca¸cão. Para o Sistema de Lorenz por exemplo, existe apenas uma singularidade para ρ ≤ 1, já para rho > 1 existem duas singularidades, que podem ser estáveis ou instáveis dependendo do valor do parâmetro. Isso pode ser facilmente analisado utilizando o teorema de Hartman-Grobman, uma vez que nas vizinhan¸cas de um ponto estacionário hiperbólico o fluxo do sistema não linear é topologicamente conjugado ao fluxo de sua derivada no ponto, segue que o ponto estacionário do sistema não linear será estável se sua derivada naquele ponto tiver todos os seus autovalores no semiplano direito do plano complexo.

Para determinados valores de parˆametros uma ´orbita pode perder estabilidade e em contrapartida, uma ´

orbita de per´ıodo dois pode ganhar estabilidade, fenˆomeno denominado duplica¸c˜ao de per´ıodo, uma das principais rotas para o caos (o que pode ser claramente visto no atrator de Chua na figura 5).

Figura 2: Bifurca¸c˜ao do Sistema de Lorenz

O diagrama de bifurca¸cão apresentado na figura 2 pertence ao sistema de Lorenz, quando é analisado o comportamento do sistema com rela¸cão à varia¸cão do parâmetro ρ, mantendo-se fixo todos os demais. Observa-se que o atrator simulado e apresentado na figura 1 foi obtido com ρ = 28, ponto para o qual existem órbitas dos mais diversos per´ıodos configurando Caos (no sentido de Devaney).

3.3 Aplica¸

c˜

oes

As aplica¸cões do Atrator de Lorenz se extendem à diversas ciências aplicadas. Em Engenharia Elétrica, a ´

area de Sincronismo de Sistemas Caóticos utiliza com frequência as séries temporais deste sistema dinâmico para aplica¸cões em modula¸cão digital caótica.

Uma grande quantidade de Sistemas Dinâmicos é constantemente utilizada em sistemas dinâmicos, basicamente como protótipos de sistemas complexos. As EDOs que descrevem estes sistemas são altamente não-lineares.

(12)

Figura 3: Atrator de R¨osseler

Uma delas é a que dá origem ao atrator de Rosseler, cujo retrato de fase é apresentado na figura 3. Um circuito elétrico muito simples pode dar origem a um atrator caótico, é o chamado circuito de Chua. Utilizando um elemento não linear (indutor não linear de Chua) é poss´ıvel construir um atrator. O circuito de chua está apresentado na figura 4 e o atrator gerado com uma combina¸cão adequada de valores dos componentes na figura 5.

Figura 4: Circuito de Chua

O circuito de chua, figura 4 tem sido constantemente utilizado como sistema caótico fonte de séries temporais caóticas, com objetivo de obter espalhamento espectral e redu¸cão de ru´ıdos em sistemas de comunica¸cão criptografados caoticamente, principalmente por ser bastante simples e de fácil implementa¸cão em termos de circuito analógico.

Figura 5: Atrator de Chua

A EDO que dá origem ao comportamento apresentado na figura 5 é fun¸cão dos componentes (natural-mente) descrita na equa¸cão a seguir.

(13)

   C1dv_dt1 = _R1 (v2− v1) − I(v1) C2dv_dt2 = _R1 (v1− v2) + iL LdiL dt = −v2 (4)

4 Conclus˜

oes

Alguns resultados fundamentais em Sistemas Dinâmicos e Equa¸cões Diferenciais Ordinárias tem conduzido à resultados atuais, mesmo que já obtidos à bastante tempo. Os teoremas de Hartman-Grobman e Variedade Estável, juntamento com o λ-Lema e o Shadowing-Lema são exemplos deste fato. O objetivo central deste trabalho foi demonstrar o Teorema de Hartman-Grobman, citar o Teorema da Variedade Estável e apresentar idéias de áreas em que esta teoria é constantemente aplicada (sem aprofundamentos).

Referˆ

encias

[1] PALIS, J. e MELO, W.Introdu¸c˜ao aos Sistemas Dinˆamicos, IMPA, Rio de Janeiro, 1990

[2] J ÚNIOR, A. A.Curso de Equa¸cões Diferenciais Ordinárias - Apostila, IMPA, Rio de Janeiro, 2009

[3] ARNOLD, V. I.Ordinary Differential Equations, MIT Press, Massachusetts, 1973

[4] MONTEIRO, L. H. Sistemas Dinˆamicos, Ed. Livraria da F´ısica, S˜ao Paulo, 2006.

[5] AGUIRRE, L. A.Identifica¸cão de Sistemas e Estima¸cão de Parâmetros. Técnicas Lineares e Não Lineares Aplicadas a Sistemas Reais, 2a _{ed.. Editora da UFMG. Belo Horizonte, 2001}