ELEMENTOS FINITOS PLANOS
Profs. Larissa, Marcilio,
Rafael Abril 2018
Considere o equilíbrio de um volume diferencial para obter as 3
equações de equilíbrio,
0
0
0
z zz yz xz y yz yy xy x xz xy xxf
z
y
x
f
z
y
x
f
z
y
x
xx xy x z y xx+xx /xEQUAÇÕES DE
EQUILÍBRIO 3D
Referência: Concepts and applications of finite element analysis, RD Cook et al., Wiley, 2002 2
dy
dx
t
De forma compacta,
0
f
σ
T
x
z
y
z
x
y
z
y
x
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2 2t
m
T
σ
f
u
ou
Formulação diferencial do equilíbrio
zx yz xy zz yy xxτ
τ
τ
σ
σ
σ
σ
Forma forte de equilíbrio 3Deformações
]{u}
[
ε}
{
y
w
z
v
x
w
z
u
x
v
y
u
z
w
y
v
x
u
yz xz xy z y x
4Considere uma estrutura em equilíbrio e imagine deslocá-la
minimamente de
d
u. Isto provoca deformações
d
mas não
variação de tensão ou carregamento, razão pela qual
chamamos o deslocamento
dude virtual.
Este deslocamento externo causa um trabalho virtual externo
e as deformações dele resultantes causam aumento da
energia de deformação. Segue que:
Formulação variacional do equilíbrio
Energia interna
Energia externa
{
} { }
T{
} { }
T T{
} {
T S}
Vd
dV
Vd
dV
Sd
dS
ε
σ
u
F
u
T
5Forma forte x forma fraca de equilíbrio
0
F
σ
T
0
V
div
σ
F
d
u
dV
6Interpolação de um polinômio
...
}
{
}
{
}
{
...
}
{
...
1
}
{
3 2 1 1 1 3 2 1 0 3 2N
N
N
a
a
a
a
x
x
x
e e
A
X
N
A
X
a
A
a
X
a
X
7Interpolação dos deslocamentos e
deformações virtuais
T T T T T]
[
}
{
}
{
})
]{
([
}
{
}
]{
[
}
{
}
]{
[
}
{
N
d
u
d
N
u
d
N
u
d
N
u
d
d
d
d
d
d
T T TB]
d
ε}
N
]
[
B]
d
B]
ε}
d
N
]
[
ε}
]{u}
[
ε}
[
}
{
{
]
[
[
}
{
[
{
}
]{
[
{
{
d
d
{𝑑} ≡ {𝑤𝑒} 8
S S T V T e T V e S S T V T V T S S T T V T T V T T S S T T V T T V T T S S T V T V T dS dV dV dS dV dV dS dV dV dS dV dV dS dV dV } { ] [ } { } { ] [ ] [ } { } { } { ] [ } { } { ] [ ] [ } { ] [ } { } { { } { ] [ ] [ } { } { ] [ } { } { { } ]{ [ ] [ } { } { } { } { } { } { } { T N F [N] r E][B B [K] r d [K] T N F [N] d E][B B T N d F [N] d} d E][B B d T N d F [N] d} d E][B B d T u F u σ ε d d d d d d d d dDiscretização
do funcional
9Energia interna
Energia externa
{
} { }
T{
} { }
T T{
} {
T S}
Vd
dV
Vd
dV
Sd
dS
ε
σ
u
F
u
T
Em classeFórmulas importantes
}
]
}
}
}
{
}
{
]
[
}
{
}
{
]
[
]
[
{ε
[E
{σ
[B]{d}
{ε
r
[K]{d}
T
N
F
[N]
r
E][B
B
[K]
][N]
[
[B]
e S S T V T e T VdS
dV
dV
[𝜕] é um operador cuja ordem n depende do elemento finito[E] é uma matriz
que depende do material e do estado de tensão
Exercício
• Dada a matriz de interpolação N
para o elemento de viga, calcule a
sua matriz de rigidez
2 2 2 3 0 2 3 2 2 3 2 4 3 2 1 2 2 2 3 2 4 3 3 2 2 3 2 3 2 2 3 3 2 2 1 4 3 2 1 4 6 12 2 6 4 6 12 6 12 ] ] [ 6 2 12 6 6 4 12 6 ] [ 2 3 2 2 3 1 ] [ ] [ L L L L L L L L EI dx EI L x L L x L L x L L x L N N N N x L x L x N L x L x N L x L x x N L x L x N N N N N N T L [B B [K] ][N] [ [B][N]{d}
][N]{d}
[
[B]{d}
][N]{d}
[
[B]{d}
{ε
[E]{ε
{σ
w
dx
w
d
EI
M
2 2 2:
viga
uma
Para
}
}
}
:
sólido
um
Para
Exercício em classe
• Calcule a carga nodal consistente para o caso de
carga distribuída em uma viga. Verifique a
convenção de sinais para cargas e cinemática e
aponte possíveis discrepâncias
12 2 12 2 } { } { 2 3 2 2 3 1 } { } { ] [ } { } { ] [ } { } { 2 2 2 3 2 3 3 2 2 2 3 2 3 3 2 2 0 qL qL qL qL dx q L x L x L x L x L x L x x L x L x dS dS dV e L e S S T e S S T V T e r r T N r T N F [N] rElemento finito
triangular - CST
É um triângulo que usa função
linear de interpolação para os
deslocamentos; logo as
deformações são constantes,
Constant Strain Triangle
1 2 3 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 2 3 2 3 2 3 3 3 2 1 3 2 3 2 1 1 1 2 3 2 2 3 2 3 3 1 [ [1 ] 1 0 0 1 0 0 1 1 [ ] [ ] 1 0 [ ] 0 1 1 ( ) , [1 ][ ] a x y a a a A a A x A x x a x y x x x x y x y y x x x a a a x x y x y y x y A 1 2 ] 3 2 2 1 3 2 3 2 3 2 3 3 [ ]{ } [ ]{ } [ ][ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } 1 1 0 0 1 0 [ ] [ ] 0 0 1 1 N N d x N d N d B d y x x B A x x x x y x y y
3 3 3 1 4 2 5 3 6 2 6 3 5 1 1 2 2 2 3 2 3 2 2 3 2 3 3 3 3 2 3 2 3 2 2 3 2 3 3 , [1 ] [1 ] 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 x y xy x y xy u v a a u x y a v x y a a a a a a a u v x x u x x x v x y x y y u x x x x y x x y x y v [ ] [ ][ ]T ] [ ][ ]T [ ] [ ][ ]T V dV tdA tA
k] [B E B [B E B k] [B E BUsar a matriz elástica correspondente, ie tensão ou deformação plana
[B]
Rigidez yz xz xy z y x yz xz xy z y x E
2 2 2 2 2 1 0 0 0 0 0 0 2 2 1 0 0 0 0 0 0 2 2 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) 2 1 )( 1 (Casos especiais
1D:
Barra elástica e viga
2D:
Estado plano de tensão ou deformação
16
Estado plano de tensão
É quando a tensão transversal a uma dada superfície é zero Momentos fletores podem ser desconsiderados
Exemplo:
• placas finas
• vasos finos de pressão com grande curvatura
xy z y x
,
,
,
xy y x xy y xE
2
1
0
0
0
1
0
1
1
2
2
1
0
0
0
1
0
1
1
2
E
E
Eε
σ
x y
z
1
Tensões não nulas :
x,
y,
xyDeformações não nulas :
Estado plano de tensão
Estado plano de deformação
É quando uma dimensão é muito maior que as outras, o que leva às deformações naquela direção serem muito pequenas Exemplo:
• barragem
xy y x xy y xE
2
2
1
0
0
0
1
0
1
2
1
1
2
2
1
0
0
0
1
0
1
2
1
1
E
E
x y
zE
xy z y x
,
,
,
xy y x
,
,
Tensões não nulas :
Deformações não nulas :
Eε
σ
Estado plano de
deformação
21
• Obtenha a função de forma do
elemento da figura
• Derive a matriz de rigidez para este
elemento
Limitações do CST
• Elemento por demais rígido - deformação e tensão constantes ao longo da espessura (aos saltos para cada elemento). Deveria ser linear mas este elemento não consegue representar esta característica.
• Elemento inferior apresenta deformação de
cisalhamento não nula (v2/a): incorreto. Isto rouba
energia e mais carga é necessária - estrutura fica mais rígida
Elemento finito triangular quadrático - LST
4 3 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 a a a a y y x x y x y y x x y x v u v u 26Procedimento para gerar o elemento
dV y y x x y x y y x x y x a a a a y y x x y x y y x x y x v u v u T V ] [ ][ ] [ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 2 2 4 3 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 B E [B k] X 1. Expresse os deslocamentos nodais em função das coordenadas do nós e das constantes ai e obtenha a matriz A.
2. Calcule a inversa de A
3. A duas primeiras linhas de A oferecem a estrutura da matriz X
4. Calcule a matriz N de funções de forma, N=XA-1
5. Aplique o operador diferencial e obtenha a matriz B 6. Defina o estado de tensão/deformação e calcule a integral A 27
Desempenho
Exercício
x1 y1 x2 y2 x3 y3 1 0 0 1 0 0,5 √3/2 2 1 0 1,5 1 0,5 √3/2 p1 p3 p2 x y 1 2 1 3 2 1 3 2 Calcule as tensões e deformações no elemento 1 admitindo E=21000kgf/mm2, t=10mm, p1=0, p2=p3=10kgf. Apresente passo a passo todo o procedimento, inclusive as matrizes de rigidez doselementos, a matriz global e o vetor de forças.
Elemento finito retangular (Retângulo bilinear, Q4)
4 4 3 3 2 2 1 1
N
N
N
N
Dxy
Cy
Bx
A
0,0 x y a,0 a,b 0,b 2 1 3 4Função de forma linear
ab
x
a
y
N
ab
xy
N
ab
y
b
x
N
ab
y
b
x
a
N
N
N
N
N
xy
ab
y
b
x
a
Cb
A
b
Dab
Cb
Ba
A
b
a
Ba
A
a
A
)
(
)
(
)
)(
(
)
,
0
(
)
,
(
)
0
,
(
)
0
,
0
(
4 3 2 1 4 4 3 3 2 2 1 1 4 3 2 1 1 4 1 2 1 4 3 2 1
31Exemplo
• Qual o valor do potencial no centro
sabendo os valores nos nós?
1 1 2 2 3 3 4 4
1 / 4 1 1 / 4
1 1 / 4 5 1 / 4 3
2
N
N
N
N
0,0 x y 1,0 1,1 0,1 1 1 5 3 tdxdy u B u N v u v u x y y x u N N N N N N N N v u v N v N v N v N v u N u N u N u N u v u v u v u v u u T a b e e e e xy y x e e e e T 8 3 3 3 3 8 0 0 8 8 4 3 2 1 4 3 2 1 4 4 3 3 2 2 1 1 4 4 3 3 2 2 1 1 4 4 3 3 2 2 1 1 ] [ ] [ ] [ } ]{ [ } ]{ ][ [ ] [ 0 0 } { 0 0 0 0 0 0 0 0 ] [ } {
[B ] E B k
Examplo: Calcule as cargas nodais consistentes
T y y S Tp
a
p
a
dS
T
N
a
x
a
N
a
x
N
N
N
0
2
2
0
0
0
0
0
}
{
]
[
/
0
4 3 2 1 a x y b 2 1 3 4 34Limitações do Q4
Sob ação de momento fletor puro, apresenta tensões cisalhantes parasitas, ie travamento por cisalhamento.
Cte strain/stress
