Circuitos Digitais I. Notas de Aula. Sistemas de Representação. Bases e Códigos. Bases

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Circuitos Digitais I

Notas de Aula

Sistemas de Representa¸

c˜

ao

Num´

ericos

Bases e C´

odigos

Ricardo Tokio Higuti

Departamento de Engenharia El´etrica - FEIS - Unesp

Bases

• ´E importante representar valores das informa¸c˜oes que desejamos pro-cessar;

• Por exemplo, num sinal amostrado, converter uma amplitude em uma sequˆencia de bits;

• O mais comum ´e utilizar a base 10:

358.1710= 3 × 102+ 5 × 101+ 8 × 100+ 1 × 10−1+ 7 × 10−2

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Representa¸

c˜

ao em uma base b

N´umero representado numa base inteira b > 1, com n d´ıgitos na parte inteira e m d´ıgitos na parte fracion´aria:

Nb= (an₋₁an₋₂ · · · a2 a1a0 · a−1a−2 · · · a−m+1 a−m)b Nb= an₋₁× b n₋₁ + an₋₂× b n₋₂ + · · · + a2× b 2 + a1× b 1 + a0× b 0 + +a−1× b−1+ a−2× b−2+ · · · + a−m+1× b−m+1+ a−m× b−m • D´ıgitos v´alidos: 0 a (b − 1)

• Parte inteira (positiva) com n d´ıgitos: valores de 0 a (bn

− 1) Base 2

• ´E uma das bases mais importantes em circuitos digitais; • D´ıgitos v´alidos: 0 e 1;

• BIT: BInary digiT - d´ıgito bin´ario; • N´umero representado na base 2:

1011.112= 1 × 2 3

+ 1 × 21

+ 2 × 20

+ 1 × 2−1+ 1 × 2−2= 11.7510

• Um conjunto de 8 bits ´e chamado de Byte (B);

• Um conjunto de 4 bits (meio Byte) ´e chamado de Nibble.

Convers˜

ao da base 10 para uma base b

Parte inteira

Seja um n´umero inteiro positivo escrito na base b: Nb= an₋₁× b

n₋₁

+ an₋₂× b n₋₂

+ · · · + a2× b2+ a1× b1+ a0× b0,

onde lembra-se que 0 ≤ ai≤ b − 1,

Utilizando-se divis˜oes inteiras (11/3 = 3, resto 2), divide-se Nb por b,

obtendo-se: Nb0= Nb b = an−1× b n₋₂ + an₋₂× b n₋₃ + · · · + a2× b 1 + a1× b 0 , resto a0.

Ou seja, o resto da divis˜ao inteira de Nb por b ´e igual ao d´ıgito menos

significativo do número escrito na base b. Repetindo-se a opera¸cão de divisão:

Nb1= Nb0 b = an−1× b n₋₃ + an₋₂× b n₋₄ + · · · + a2× b 0 , resto a1.

e assim por diante.

Esta opera¸cão é feita até que o resultado da divisão seja menor que b, que será o último resto da divisão, e portanto o valor do d´ıgito mais significativo.

Portanto, para converter um número inteiro positivo da base 10 para a base b, basta fazer divisões inteiras sucessivas por b. Os restos das divisões são os d´ıgitos do número na base b.

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Exemplos

• O n´umero 18 na base 10, convertido para a base 2, seria: 18 2 = 9, resto 0 −→ a0= 0 9 2 = 4, resto 1 −→ a1 = 1 4 2 = 2, resto 0 −→ a2 = 0 2 2 = 1, resto 0 −→ a3 = 0 1 2 = 0, resto 1 −→ a4 = 1 Portanto: 1810= 100102= 1 × 24+ 1 × 21

• Convertendo o n´umero 18 da base 10 para a base 3: 18 3 = 6, resto 0 −→ a0= 0 6 3 = 2, resto 0 −→ a1 = 0 2 3 = 0, resto 2 −→ a2 = 2 Portanto: 1810= 2003= 2 × 32

Convers˜

ao da base 10 para uma base b

Parte fracion´aria

Seja um n´umero fracion´ario escrito na base b:

Nb= a₋₁× b−1+ a₋₂× b−2+ a₋₃× b−3+ a₋₄× b−4+ · · ·

Ao multiplicar Nbpor b, fica-se com:

Nb× b = a₋₁+ a₋₂× b−1+ a₋₃× b−2+ a₋₄× b−3+ · · ·

Ou seja, o resultado tem uma parte inteira (a−1) e uma parte fracion´aria.

Portanto, a parte inteira ´e o valor do d´ıgito logo ap´os o ponto decimal: a₋₁.

Repetindo-se a opera¸c˜ao, toma-se a parte fracion´aria de (Nb× b) e

multiplica-se por b novamente, obtendo-se o d´ıgito a−2, e assim

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Exemplos

• O n´umero 0.75 na base 10, convertido para a base 2, seria: 0.75 × 2 = 1.5 −→ a−1= 1

0.5 × 2 = 1.0 −→ a−2= 1

Portanto:

0.7510= 0.112= 1 × 2−1+ 1 × 2−2

• Convertendo o n´umero 0.75 da base 10 para a base 3: 0.75 × 3 = 2.25 −→ a−1= 2

0.25 × 3 = 0.75 −→ a−2= 0

0.75 × 3 = 2.25 −→ a−3= 2

0.25 × 3 = 0.75 −→ a−4= 0

e portanto resulta numa d´ızima, e o número 0.75 não tem uma repre-senta¸cão exata na base 3 (se for utilizado um número finito de d´ıgitos):

0.7510= 0.2020202020...3= 2 × 3−1+ 2 × 3−3+ 2 × 3−5+ · · ·

Se usarmos apenas três d´ıgitos após o ponto decimal, fica-se com a aproxima¸cão:

0.2023= 2 × 3−1+ 2 × 3−3= 0.740740740...

ou seja, h´a um erro na representa¸c˜ao.

Convers˜

ao de base

• Parte inteira: resto das divis˜oes sucessivas (divis˜ao inteira)

• Parte fracionária: multiplica¸cões sucessivas (parte inteira da multi-plica¸cão e mantém a parte fracionária)

• Para converter de uma base b1 para uma base b2 deve-se, de forma

geral, converter para a base 10 e depois para a outra base

• H´a rela¸c˜ao direta entre algumas bases, por exemplo, da base 2 para a base 8 ou base 2 para base 16

Bases importantes

• Base 2 - Bin´aria • Base 8 - Octal

– d´ıgitos: 0 a 7 • Base 16 - Hexadecimal

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Base Hexadecimal

• H´a 16 d´ıgitos poss´ıveis: de 0 a “15”;

• De 0 a 9 os d´ıgitos hexa são os próprios números arábicos; • De 10 a 15, utilizam-se as letras de A a F;

• Dois d´ıgitos hexadecimais formam um Byte (oito bits);

• ´E uma forma mais compacta de representar uma sequˆencia de bits.

decimal hexadecimal bin´ario

0 0 0000 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 A 11 B 12 C 13 D 14 E 15 F 16 17 18 128 129 130 200 222 255 256

Exerc´ıcios

Fa¸ca as seguintes convers˜oes entre bases: 1. 101101.011 da base 2 para a base 10; 2. 30.3 da base 10 para base 2;

3. 23.1 da base 4 para a base 3; 4. AF.8 da base 16 para a base 10; 5. AF.8 da base 16 para a base 2.

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C´

odigos

• As bases seguem uma lei de forma¸cão dos números. Se um número está escrito em determinada base, saberemos seu valor.

• Pode-se utilizar também códigos, que não necessariamente precisam seguir uma lógica para representar os números.

• Alguns c´odigos de interesse: – BCD - Binary-coded decimal

D´ıgitos da base 10 (0 a 9) codificados em 4 bits;

– Gray - muda apenas um bit entre representa¸cões adjacentes; – ASCII - código que representa letras, números e comandos/controle; – Códigos detectores/corretores de erros - adicionam bits à informa¸cão original para aumentar a confiabilidade na transmissão da in-forma¸cão.

C´

odigo BCD

• BCD - Binary-Coded Decimal (Decimal Codificado em Bin´ario); • Codifica os d´ıgitos decimais (0 a 9) em bin´ario;

• S˜ao necess´arios 4 bits para representar os d´ıgitos de 0 a 9:

decimal BCD 0 0000 1 0001 2 0010 3 0011 4 0100 5 0101 6 0110 7 0111 8 1000 9 1001

• Portanto, das 16 possibilidades de representa¸cão com 4 bits, apenas 10 são usadas. Há uma menor eficiência no uso de memória (bits). • É útil para mostrar valores numéricos em displays, por exemplo.

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C´

odigo BCD

• Para n´umeros maiores que 9 (compare a quantidade de bits em cada caso):

decimal BCD bin´ario 10 0001 0000 1010 11 12 13 14 15 16 17 18 128 0001 0010 1000 129 130 200 222 255 256 1 0000 0000

C´

odigo de Gray

• É um código no qual há mudan¸ca de apenas um bit entre um número e o número adjacente;

• Para trˆes bits:

decimal bin´ario Gray

0 000 000 1 001 001 2 010 011 3 011 010 4 100 110 5 101 111 6 110 101 7 111 100

• Na pr´atica ´e dif´ıcil fazer com que os bits mudem exatamente no mesmo instante;

• Mudar apenas um bit de cada vez pode levar a menor taxa de erros; • Algumas aplica¸c˜oes:

– Codifica¸cão em comunica¸cões digitais para reduzir taxa de erro; – Codifica¸cão de posi¸cão (encoder )

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C´

ogigo de Gray

• Encoder de posi¸c˜ao;

• Exemplo para 8 posi¸cões (na prática são mais, para aumentar a res-olu¸cão);

000 001

100

• Na mudan¸ca da posi¸cão 3 para a 4, se fosse usada a representa¸cão binária (base 2), dever-se-ia mudar de 011 para 100, ou seja, três bits deveriam mudar simultaneamente;

• Isso é bem dif´ıcil de ocorrer na prática, e poderia ocorrer 011 101 -100, ocasionando erros na identifica¸cão da posi¸cão do motor.

C´

odigo ASCII

• ASCII - American Standard Code for Information Interchange; • C´odigo que representa caracteres (letras, n´umeros) e comandos (enter,

espa¸co, fim de linha, etc.);

• Utiliza 7 bits para representar 256 caracteres e comandos;

ASCII CONTROL CODE CHART

b7 b6 b5 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 BITS b4 b3 b2 b1 CONTROL SYMBOLS

NUMBERS UPPER CASE LOWER CASE

0 0 0 0 0 NUL 0 0 16 DLE 10 20 32 SP 20 40 48 0 30 60 64 @ 40 100 80 P 50 120 96 ‘ 60 140 112 p 70 160 0 0 0 1 1 SOH 1 1 17 DC1 11 21 33 ! 21 41 49 1 31 61 65 A 41 101 81 Q 51 121 97 a 61 141 113 q 71 161 0 0 1 0 2 STX 2 2 18 DC2 12 22 34 ” 22 42 50 2 32 62 66 B 42 102 82 R 52 122 98 b 62 142 114 r 72 162 0 0 1 1 3 ETX 3 3 19 DC3 13 23 35 # 23 43 51 3 33 63 67 C 43 103 83 S 53 123 99 c 63 143 115 s 73 163 0 1 0 0 4 EOT 4 4 20 DC4 14 24 36 $ 24 44 52 4 34 64 68 D 44 104 84 T 54 124 100 d 64 144 116 t 74 164 0 1 0 1 5 ENQ 5 5 21 NAK 15 25 37 % 25 45 53 5 35 65 69 E 45 105 85 U 55 125 101 e 65 145 117 u 75 165 0 1 1 0 6 ACK 6 6 22 SYN 16 26 38 & 26 46 54 6 36 66 70 F 46 106 86 V 56 126 102 f 66 146 118 v 76 166 0 1 1 1 7 BEL 7 7 23 ETB 17 27 39 ’ 27 47 55 7 37 67 71 G 47 107 87 W 57 127 103 g 67 147 119 w 77 167 1 0 0 0 8 BS 8 10 24 CAN 18 30 40 ( 28 50 56 8 38 70 72 H 48 110 88 X 58 130 104 h 68 150 120 x 78 170 1 0 0 1 9 HT 9 11 25 EM 19 31 41 ) 29 51 57 9 39 71 73 I 49 111 89 Y 59 131 105 i 69 151 121 y 79 171 1 0 1 0 10 LF A 12 26 SUB 1A 32 42 * 2A 52 58 : 3A 72 74 J 4A 112 90 Z 5A 132 106 j 6A 152 122 z 7A 172 1 0 1 1 11 VT B 13 27 ESC 1B 33 43 + 2B 53 59 ; 3B 73 75 K 4B 113 91 [ 5B 133 107 k 6B 153 123 { 7B 173 1 1 0 0 12 FF C 14 28 FS 1C 34 44 , 2C 54 60 < 3C 74 76 L 4C 114 92 \ 5C 134 108 l 6C 154 124 | 7C 174 1 1 0 1 13 CR D 15 29 GS 1D 35 45 2D 55 61 = 3D 75 77 M 4D 115 93 ] 5D 135 109 m 6D 155 125 } 7D 175 1 1 1 0 14 SO E 16 30 RS 1E 36 46 . 2E 56 62 > 3E 76 78 N 4E 116 94 ˆ 5E 136 110 n 6E 156 126 ˜ 7E 176 1 1 1 1 15 SI F 17 31 US 1F 37 47 / 2F 57 63 ? 3F 77 79 O 4F 117 95 5F 137 111 o 6F 157 127 DEL 7F 177 LEGEND: d ec CHAR h ex oct V ictor E ijkhout Dept. of C omp. Sci. U niversity of T ennessee K noxville T N 37996, U SA

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C´

odigo ASCII

• Por exemplo, para codificar a palavra: “Unesp” • Em hexadecimal: 55 6E 65 73 70

• Em bin´ario: 1010101 1101110 1100101 1110011 1110000

C´

odigos Detectores e Corretores de Erros

• Transmiss˜ao de dados digitais - suscet´ıveis a ru´ıdo;

• Existe a op¸c˜ao de adicionar bits `a mensagem original para detectar e/ou corrigir erros

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Bit de Paridade

• No caso mais simples: um bit adicionado a cada certo número de bits; • Paridade par: o bit adicionado é 0 ou 1, de forma que o número total

de 1’s seja par (contando com o pr´oprio bit de paridade);

• Paridade ´ımpar: idem ao caso anterior, mas o n´umero total de 1’s ´e ´ımpar.

• Suponha que se deseje transmitir a palavra “Unesp”. os bits originais seriam:

1010101 1101110 1100101 1110011 1110000

• Poderiam ocorrer erros em determinados bits, e, por exemplo, o sinal recebido seria:

1000101 1101100 0100101 1111011 1110000 • Nesse caso, o dado decodificado seria: “Ej%{p”

• Considerando agora um bit de paridade par (a cada 7 bit, no bit mais significativo), o c´odigo enviado seria:

01010101 11101110 01100101 11110011 11110000

• Se ocorressem erros nos mesmos bits, estes seriam detectados. No primeiro caractere, se a sequˆencia de bits recebida fosse:

01000101

• O erro seria detectado pois agora há um número ´ımpar de 1’s, e, neste caso, pode-se descartar o dado e pedir que seja retransmitido. • Para um bit de paridade, não se detecta um número par de erros.