MODELO COMPUTACIONAL APLICADO A VIGAS DE CONCRETO ARMADO REFORÇADAS POR PLACAS DE MATERIAL COMPÓSITO
Roberto C. Pavan Branca F. Oliveira Guillermo J. Creus pavan@ppgec.ufrgs.br branca@ufrgs.br creus@ufrgs.br
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil, Universidade Federal do Rio Grande do Sul – PPGEC-UFRGS
Av. Osvaldo Aranha, 99, 3° andar, 90035-190, Porto Alegre – RS - Brasil
Resumo. Neste trabalho apresenta-se um modelo computacional bastante geral aplicado a
vigas de concreto armado reforçadas por placas de material compósito. A formulação proposta inclui relações constitutivas elásticas anisotrópicas com consideração de falhas, relações constitutivas viscoelásticas com envelhecimento em termos de variáveis de estado, análise de falhas progressivas e análise de plasticidade, tudo no contexto de grandes deslocamentos e pequenas deformações. As equações são apresentadas na forma adequada para análise numérica pelo método dos elementos finitos (elementos tridimensionais degenerados para casca) utilizando uma solução incremental-iterativa com consideração de efeitos pós-críticos. O programa desenvolvido é aplicado a alguns exemplos, incluindo vigas de concreto armado reforçadas com placas de material compósito. Os resultados numéricos são comparados com dados experimentais.
Palavras Chave: Materiais Compósitos, Elementos Finitos, Viscoelasticidade, Plasticidade,
1. INTRODUÇÃO
Atualmente existe um grande interesse no reforço e recuperação de estruturas através do uso de materiais compósitos. O reforço é necessário para adequar a estrutura a condições de uso diferentes daquelas para as quais foi projetada. A recuperação está relacionada a situações onde, devido à deterioração da estrutura, deve-se restituir sua capacidade de carga original para que a mesma continue atendendo as exigências de projeto (ver por exemplo Karbhari & Zhao, 2000, Emmons et al., 1998 e Norris et al., 1997).
A preferência pelo compósito nas situações de reforço e recuperação deve-se às suas altas razões rigidez/peso e resistência/peso (compósitos reforçados por fibras de carbono, por exemplo, possuem razões 10 a 15 vezes maiores que o aço), excelente resistência à corrosão, baixa expansão térmica, boa performance em fatiga e tolerância a dano, facilidade de transporte e manuseio, possibilidade de inclusão de "strain gages" dentro da estrutura para um monitoramento contínuo, baixo consumo de energia na fabricação do material e da estrutura em si (Barbero, 1998).
Desta forma, com o uso dos compósitos obtém-se ganho de resistência e rigidez sem aumento expressivo do peso próprio da estrutura, o que é muito importante para aplicações de reforço e recuperação. Além disto, pode-se projetar o material para a situação desejada, escolhendo-se o tipo e orientação das fibras e o material empregado como matriz e, assim sendo, a estrutura pode ser otimizada para performance.
Embora o emprego de FRP (“fibre reinforced polymer”) como reforço de vigas tenha demonstrado um grande potencial para o incremento da resistência destas estruturas, há a necessidade de pesquisas adicionais relativas à durabilidade, envelhecimento e fluência da estrutura (Oliveira e Creus, 2004).
Este trabalho está organizado da seguinte forma: na seção 2 apresenta-se o modelo de elementos finitos; na seção 3 o modelo de viscoelasticidade do material é descrito; na seção 4 apresentam-se os procedimentos para solução numérica da equação incremental dada na seção 2; na seção 5 apresenta-se a formulação de falhas progressivas utilizada no presente modelo; na seção 6 o modelo de plasticidade é descrito; na seção 7 são mostrados alguns exemplos que são comparados aos respectivos resultados experimentais; na seção 8 apresentam-se as conclusões e considerações finais.
2. MODELO DE ELEMENTOS FINITOS
O modelo de elementos finitos utilizado no presente trabalho segue o procedimento geral descrito por Bathe (1996), incluindo, ainda, efeitos de deformações viscoelásticas e higrotérmicas (Marques e Creus, 1994). Desta maneira, tem-se uma relação incremental da seguinte forma
[ ] [
]
(
)
{ }
{ } { } { } { } { }
H 0 T 0 v 0 k 0 1 k NL k 0 L k 0K + K U = P − F + F + F + F + (1) onde[ ]
L k 0K e[
NL]
k0K são as matrizes de rigidez tangentes linear e não-linear, correspondentes
ao passo k,
{ }
k+1P é o vetor de cargas nodais externas na configuração k+1 ,{ }
0kF é o vetor decargas nodais equivalentes às tensões no elemento no passo k e,
{ }
v 0F ,{ }
T
0F e
{ }
H 0F sãoos vetores das cargas viscoelásticas, térmicas e higroscópicas, respectivamente.
3. MODELO DE VISCOELASTICIDADE DO MATERIAL
A relação constitutiva para uma lâmina de material composto, referida às direções principais do material, considerando cargas mecânicas e higrotérmicas, pode ser escrita como
∫
+∫
+∫
∂ ∂ − = t 0 H H i T T i j ij i d * (T,H)dT * (T,H )dH ) ( ) t , H , T ( D ) t ( τ α β τ τ σ τ ε (2) para i, j = 1, 2, ...5onde εi(t) são as componentes do vetor de deformações
{ } {
ε = ε11 ,ε22 ,2ε12 ,2ε13 ,2ε23}
e σj(t)são as componentes do vetor de tensões
{ } {
σ = σ11 ,σ22 ,σ12 ,σ13 ,σ23}
, para o tempo t,consideradas em um espaço reduzido de deformações e tensões onde as componentes ε33 e σ33
são desconsideradas. T e H indicam os campos de temperatura e umidade, respectivamente,
) T , H , T (
Dij −τ são as funções de fluência do material correspondentes às componentes εi e
σj, αi(T ,H) são os coeficientes de dilatação térmica e βi(T ,H) são os coeficientes de
expansão por umidade que, em geral, dependem das condições de temperatura e umidade. T *
e H são os valores de temperatura e concentração de umidade para os quais o material não *
mudam, em geral, de ponto a ponto no material ainda que esta dependência não apareça de forma explícita.
A deformação viscoelástica ε é formada por duas componentes, a deformação i instantânea e
i
ε e a deformação diferida v i
ε , dadas, respectivamente, por
)
t
(
)
0
,
H
,
T
(
D
ij 0 0 j e iσ
ε
=
∑∑
= = = M 1 p 5 1 s p is v i q (t) ε (3) onde p isq são as variáveis de estado, T e 0 H são os valores de referência para temperatura e 0
concentração de umidade e M é o número de termos usados na expansão da série acima e depende da precisão almejada na análise. As variáveis de estado são dadas por
) t ( D q t q i p is p is p is p is p is σ θ θ = + ∂ ∂ (4)
que é um sistema de equações diferenciais desacopladas lineares de primeira ordem que, juntamente com a condição inicial p
is
q = 0 para t = 0, permite à determinação das variáveis de
estado conhecendo-se a história de deformações.
A extensão da formulação viscoelástica para casos com envelhecimento é apresentada em (Oliveira e Creus, 2004) e (Oliveira, 2004).
4. SOLUÇÃO NUMÉRICA
A solução numérica do problema formulado na Seção 2 pode ser obtida através de um procedimento incremental-iterativo usando a Eq. (1). Para a solução das equações de equilíbrio não-lineares, no presente trabalho, foram implementados dois métodos, o Método de Newton-Raphson e o Método de Controle por Deslocamentos Generalizados proposto por Yang e Shieh (1990).
Ao empregar-se o Método de Newton-Raphson o valor do fator de carga pode ser fixado pelo usuário. A desvantagem apresentada por este método é a impossibilidade de conduzir a
análise em situações em que o determinante da matriz de rigidez tangente da estrutura aproxima-se de zero. Nestes casos, o processo numérico torna -se, em geral, divergente.
No Método de Controle por Deslocamentos Generalizados, o incremento é determinado pelo algoritmo. As expressões propostas pelo método em questão, para a determinação dos fatores de carga, nas iterações correspondentes ao passo genérico k são
{ }
{ }
1 k 1 1 1 k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 k U U U U − ± = ∆λ λ ∆ para i=1 (5) e{ }
{ }
i k 1 1 1 k 1 i k 2 1 1 k 1 i k U U U U − − − = λ ∆ para i ≥ 2 (6) onde 1 1 λ∆ é o fator de carga inicial previamente estipulado e indica vetor linha.
O Método de Controle por Deslocamentos Generalizados é particularmente apropriado para análise de estruturas em estágio pós-crítico, como pode ser observado nos exemplos.
Para a determinação das cargas viscoelásticas na Eq. (1) deve -se integrar as variáveis de estado no tempo. Este procedimento pode ser visto em trabalhos como (Creus, 1986), (Masuero e Creus, 1993) e (Marques e Creus, 1994).
5. FORMULAÇÃO PARA FALHAS PROGRESSIVAS
5.1 Modelos de degradação
O modelo de degradação utilizado introduz reduções na rigidez do material após a detecção de cada falha. A análise termina com a ocorrência da falha global da estrutura ou da última camada do laminado. Um modelo de degradação simplificado que reduz os termos da matriz constitutiva do material de acordo com o modo de falha ocorrido é empregado (Oliveira, 1999) e (Oliveira e Creus, 2000).
5.2 Critério da máxima deformação
Segundo o Critério da Máxima Deformação a falha ocorre quando uma das condições abaixo for satisfeita.
Alongamento 1 X 2 t 11 = ε ε 1 Y 2 t 22 = ε ε (7) Encurtamento 1 X 2 c 11 = ε ε 1 Y 2 c 22 = ε ε (8) Distorção 1 S 2 A 12 = ε ε 1 S 2 A 13 = ε ε 1 S 2 T 23 = ε ε (9) onde
Xεt – limite de deformação de alongamento na direção 1
Xεc – limite de deformação de encurtamento na direção 1
Yεt – limite de deformação de alongamento na direção 2
Yεc – limite de deformação de encurtamento na direção 2
SεA – limite de deformação de cisalhamento nos planos 1-2 e 1-3
SεT – limite de deformação de cisalhamento no plano 2-3 Estes limites devem ser obtidos experimentalmente.
O critério da Máxima Deformação embora seja simples, fornece bons resultados (Hart-Smith, 1993). Há outros critérios implementados para análise de falhas progressivas (Critério de Hashin (Hashin, 1980), Critério de Lee (Lee, 1980 e Lee, 1982), Critério da Máxima Deformação). A opção pela utilização do critério da Máxima Deformação, nos exemplos dos parágrafos 7.3 e 7.4, deve-se ao tipo de dados experimentais fornecidos.
A extensão da análise de falhas progressivas para casos com envelhecimento é apresentada em (Oliveira e Creus, 2004) e (Oliveira, 2004).
6. MODELO DE PLASTICIDADE PARA O AÇO
Para a análise de plasticidade utilizou-se o critério de von Mises (Simo e Hugues, 1998) e a representação do comportamento do material após a plastificação é feita por meio da introdução de danos na matriz constitutiva do mesmo.
Utiliza-se a formulação plástica descrita por (Simo e Hugues, 1998). O critério de plastificação é o critério de von Mises, que para estado plano de tensões fica
0 3 122 2 22 11 2 22 2 11 + − + − = = e Y σ σ σ σ σ σ (10)
A matriz constitutiva elastoplástica é dada por,
∂ ∂ ∂ ∂ + ′ ∂ ∂ ∂ ∂ − = σ σ σ σ Y Y H Y Y T T ep E E E E E (11) onde
E - é a matriz constitutiva elástica σ
σ - é o tensor de tensões
H - é o encruamento (neste trabalho é assumido como sendo zero)
e
σ - é a tensão de escoamento do material
Expressando (11) matricialmente, para o caso de estado plano de tensões, tem-se
(
)
− + − − − − − − − − − − − − = 5 2 3 5 3 2 5 3 1 5 3 2 5 2 2 2 5 2 1 2 5 3 1 5 2 1 2 5 2 1 2 ep S S 1 2 E S S S S S S S S S S S 1 E S S S 1 E S S S S S S 1 E S S 1 E E ν ν ν ν ν ν ν (12) sendo(
11 22)
2 1 s s 1 E S ν ν + − = (13)(
11 22)
2 2 s s 1 E S + − = ν ν (14)12 3 s 1 E S ν + = (15) 12 3 22 2 11 1 4 S s S s 2S s S = + + (16) 4 5 9 4 S H S = ′σe + (17) onde
(
ij)
ij ij ij tr 3 1 s =σ − σ δ (18) 7. EXEMPLOS7.1 Análise plástica de uma placa de material laminado - tração
No presente exemplo é feita a análise plástica da placa mostrada na Fig. 1. A placa é constituída de um material laminado como ilustrado na Fig. 2. As camadas 1 e 4 são constituídas por um material com tensão de escoamento σe=600MPa e as camadas 2 e 3 por
um material com σe = 300 MPa. Ambos os materiais possuem E = 200 GPa e ν = 0,3.
O resultado obtido na análise é mostrado na Fig. 3.
Figura 1 – Geometria e carregamento da estrutura
Figura 2 – Disposição do laminado 0,25 cm 1 3 2 4 10 cm 10 cm x y σ
0 100 200 300 400 500 600 700 0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.010 Deformação Tensão (MPa)
Figura 3 – Curva tensão x deformação após a plastificação de cada par de camadas
Como esperado, a plastificação das camadas (2,3) e (1,4) ocorreu ao atingir sua tensão de escoamento.
7.2 Análise plástica com falhas progressivas - flexão
Este exemplo trata da análise de um placa engastada-livre submetida à flexão como mostra a Fig. 4. A placa é quadrada com 10 cm de lado e é constituída conforme mostrado na Fig. 4b. O material da parte superior (concreto) possui E = 20 GPa e o material da camada fina inferior (aço) possui E=200GPa. Foi considerado ν = 0.
a) b)
Figura 4 – a) Placa engastada-livre submetida à flexão. b) Placa de concreto com a camada inferior em aço. 1,0 cm 0,1 cm Plastificação das camadas 2 e 3 Plastificação das camadas 1 e 4 Ruptura Final da placa
O concreto está sujeito a falhas e adotou-se uma resistência à tração de 3 MPa e resistência à compressão de 30 MPa. O aço possui uma tensão de escoamento de 300 MPa. Para a análise de falhas progressivas foi empregado o Critério de Hashin (Hashin, 1980). A parte de concreto foi discretizada em dez camadas enquanto que o aço corresponde a uma única camada.
Os resultados obtidos são apresentados na Fig. 5. No gráfico pode-se observar a perda de rigidez devido à falha das camadas tracionadas do concreto e, com a plastificação da camada de aço, tem-se o colapso da estrutura.
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 Deslocamento (cm) Momento Distribuído (kN cm/cm)
Figura 5 - Curva carga x deslocamento no extremo livre da placa
7.3 Análise de uma viga com seção T de concreto armado reforçada por camadas de material compósito
Neste exemplo é feita a análise de uma viga de seção T feita em concreto armado e reforçada por placas de CFRP (“carbon fibre reinforced polymer”). Para a análise de falhas progressivas foi empregado o Critério da Máxima Deformação e os resultados foram comparados aos obtidos por Wang & Chen (2003).
Ruptura das camadas tracionadas de concreto
Ruptura das camadas comprimidas de concreto Ruptura final da placa
A Fig. 6 mostra a geometria e a seção transversal da viga. A Fig. 7 mostra a forma de aplicação do carregamento. As barras de aço foram representadas por meio de placas com igual área de seção transversal.
As propriedades dos materiais são as seguintes:
• Concreto: E= 21 GPa, deformação última de falha 0.3%
• Aço (armadura superior): E= 197 GPa, tensão de escoamento de 316 MPa • Aço (armadura inferior): E= 192 GPa, tensão de escoamento de 325 MPa • Aço (armadura da mesa): E= 203 GPa, tensão de escoamento de 365 MPa
• Placas de fibra de carbono e material polimérico - CFRP (Fyfe Co.,1998): E= 65 GPa, deformação última de falha 1%
a)
b)
Figura 6 - Viga T a) Geometria b) Seção transversal
5300 mm 28 x 1007 mm 500 mm 50 mm 150 mm y z aço compósito 0 60 aço
Figura 7 – Forma de aplicação do carregamento
A curva carga total x deflexão, no meio do vão, é apresentada na Fig. 8. Verifica-se que a degradação ocorreu de forma similar a experimental e ocorreu boa estimativa da carga de ruptura final.
Figura 8 - Viga T - Carga total x deflexão. 0 50 100 150 200 250 300 350 0 10 20 30 40 50 60 70 80
Deslocamento no meio do vão (mm)
Carga total (kN)
Experimental Wang & Chen, 2003
Formulação Presente Analítico
A Fig. 9 mostra as deformações longitudinais de tração medidas na placa de CFRP e na camada, adjacente, de concreto para a carga de 211 kN. A Fig. 10 mostra as tensões longitudinais de tração medidas na placa de CFRP para a carga de 211 kN. Devido ao fato da carga de ruptura final obtida (327 kN) ser maior que a verificada nos ensaios experimentais (211 kN), as deformações e tensões calculadas pela presente formulação foram menores que as experimentais. Cabe ressaltar que a ruptura final da viga ensaiada por Wang & Chen (2003) foi por delaminação da camada de CFRP, o que justifica a obtenção de uma carga de ruptura maior pelo presente modelo pois, o mesmo, não prevê este tipo de falha.
Figura 9 - Viga T - Deformação longitudinal (CFRP x concreto)
Figura 10 - Viga T - Tensão σ na placa de CFRP xx
Wang & Chen, 2003
Formulação Presente
7.4 Análise de vigas retangulares de concreto armado reforçadas por camadas de material compósito
Neste parágrafo são apresentadas duas análises de vigas de seção retangular em concreto armado e reforçadas por CFRP.
a) A Fig. 11 mostra a geometria, seção transversal e forma de aplicação do carregamento da primeira viga analisada. As barras de aço foram representadas por meio de placas com igual área de seção transversal. Para a análise de falhas progressivas foi empregado o Critério da Máxima Deformação e os resultados foram comparados aos obtidos por Beber (2003).
As propriedades dos materiais são as seguintes:
• Concreto: Resistência média à compressão 32,8 Mpa, deformação última de falha 0.3%. • Aço CA50 (armadura superior): tensão de ruptura de 747,2 MPa, tensão de escoamento de
587,0 Mpa.
• Aço CA50 (armadura inferior): tensão de ruptura de 800,2 MPa, tensão de escoamento de 706,5 Mpa.
• Manta flexível Replark 20 - Mitsubishi Chemical Corporation: E= 230GPa, deformação última de falha 0.0144.
Figura 11 – Geometria, seção transversal e forma de aplicação do carregamento 253 cm 84.33 cm 84.33 cm 84.34 cm P/2 P/2 CFRP 15x30 cm2 2φ12.5 2φ6.3 φ6.3 c/7.0 CA-50
Verifica-se nas Fig. 12 e 13 que a degradação ocorreu de forma similar a experimental e ocorreu boa estimativa da carga de ruptura final.
Figura 12 – Deslocamento vertical na seção central da viga
Figura 13 – Deformação específica da armadura na seção central da viga 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 1 2 3 4 5 6
Deslocamento vertical na seção central (cm)
Carga(kN) Formulação Presente Beber, 2003 Experimental 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000
Deformação específica na armadura (x10-6)
Carga (kN)
Beber, 2003 Experimental Formulação
b) Apresenta-se agora, a análise de duas vigas, com idênticas configurações, reforçadas com uma camada de lâmina de fibra de carbono (referenciadas como VR1-a e VR1-b) e a comparação com os resultados experimentais e numéricos apresentados por Aurich (2001). A Fig. 14 mostra a geometria, seção transversal da viga e forma de aplicação do carregamento. As barras de aço foram representadas por meio de placas com igual área de seção transversal.
As propriedades dos materiais são as seguintes:
• Concreto: Ec= 38.3 Gpa, deformação última de falha 0.3%
• Aço CA60B (armadura superior): Es=210 GPa, tensão de escoamento de 738 MPa • Aço CA50A (armadura inferior): Es=210 GPa, tensão de escoamento de 565 MPa • Placas de fibra de carbono - CFRP: E= 230 GPa, deformação última de falha 0.0148
Figura 14 – Geometria, seção transversal e forma de aplicação do carregamento
Pode-se observar (gráficos 15 e 16) a perda de rigidez devido à falha das camadas tracionadas do concreto. Na representação das deformações específicas percebe -se o ponto de escoamento da armadura inferior (565 MPa). O acréscimo posterior de carga deve-se ao fato de, ainda, não ter ocorrido a ruptura da placa de CFRP.
250 cm 78.33 cm 78.33 cm 93.34 cm P/2 P/2 CFRP 12x25 cm2 2φ10 CA-50 2φ6 CA-60 φ6 c/11
Figura 15 – Deslocamento vertical na seção central da viga
Figura 16 – Deformação específica da armadura na seção central da viga
0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 Deformação (x10-6) Carga (kN) 0 10 20 30 40 50 60 0 2 4 6 8 10 12 14 Deslocamento (mm) Carga (kN)
8. CONCLUSÕES E CONSIDERAÇÕES FINAIS
Através dos dois primeiros exemplos rodados (exemplos 7.1 e 7.2) pode-se verificar a precisão e robustez do modelo de plastificação. No primeiro exemplo, a curva tensão x deformação demonstra a formulação plástica implementada no programa e, no exemplo seguinte, verifica-se o comportamento de uma placa engastada-livre sob plastificação, considerando falhas progressivas.
Da comparação entre os resultados analíticos e experimentais de Wang & Chen (2003) para uma viga T, bi-apoiada, reforçada por placas de material compósito, e os resultados fornecidos pelo programa, conclui-se que:
1. Há uma boa concordância para deslocamentos e carga de ruptura demonstrando que o critério de ruptura adotado (Máxima Deformação) é capaz de prever de forma adequada a ruptura inicial e final dos constituintes da estrutura.
2. A concordância entre as deformações e tensões experimentais com as calculadas não foi tão satisfatória. No entanto, as deformações longitudinais no compósito e na camada de concreto adjacente, medidas no ensaio, são muito similares entre si, confirmando a expectativa de que não há deslizamento de uma camada em relação à outra. Também, devido ao fato da carga de ruptura final obtida ser maior que a verificada nos ensaios experimentais, as deformações e tensões calculadas pela presente formulação foram menores que as experimentais.
Da comparação entre os resultados analíticos e experimentais, para as vigas de seção retangular, bi-apoiadas, reforçadas de material compósito, e os resultados fornecidos pelo programa, conclui-se que:
1. Embora o critério adotado para degradação das propriedades do material seja simples frente à complexidade dos fenômenos reais, a curva carga x deslocamento demonstra que esta degradação ocorreu de modo similar ao experimental. Convém salientar que estamos trabalhando no sentido de modificar este critério de degradação para um critério baseado na Teoria do Dano Contínuo.
2. Ocorreu boa estimativa das cargas de ruptura final.
Embora os exemplos analisados sejam de vigas, o programa de elementos finitos é bastante geral permitindo a análise de tipos estruturais complexos, assim como, o cálculo de deformações diferidas.
Agradecimentos
Os autores agradecem o suporte financeiro da CAPES, PROPESQ, CNPq e UNOCHAPECÓ.
REFERÊNCIAS
Aurich, M., 2001. Modelo de ligação entre concreto e armadura na análise de estruturas de
concreto pelo método de elementos finitos. Dissertação de Mestrado em Engenharia
(Estruturas)-PPGEC/UFRGS.
Barbero, E. J.,1998. Introduction to Composite Materials Design. Taylor and Francis, Philadelphia, PA..
Bathe, K. J., 1996. Finite Element Procedures. Englewood Cliffs N.J.: Prentice-Hall.
Beber, A. J., 2003. Comportamento estrutural de vigas de concreto armado reforçadas com
compósitos de fibra de carbono. Tese de Doutorado em Engenharia
(Estruturas)-PPGEC/UFRGS.
Carolin, A., 2001. Strengthening of concrete strucutres with CFRP: shear strengthening and
full-scale applications. Department of Civil and Mining Engineering – Division of
Structural Engineering. Lulea University of Technology. Licentiate thesis.
Creus, G. J., 1986. Viscoelasticity - Basic Theory and Aplications to Concrete Structures. Springer-Verlag.
Emmons, P. H.; Vaysburd, A. M.& Thomas, J., Mar. 1998a. Strengthening concrete structures, part I. Concrete International, Detroit, ACI, v.20, n.3, pp.53-58.
Emmons, P. H.; Vaysburd, A. M.& Thomas, J., Apr.1998b. Strengthening concrete structures, part II. Concrete International, Detroit, ACI, v.20, n.4, pp.56-60.
Fyfe Co. LLC, 1988. Design manual for Tyfo Fibrwrap System–– Rev.1. San Diego, CA, USA.
Hart-Smith, L. J., 1993. The role of biaxial stresses in discriminating between meaningful and illusory composite failure theories. Composite Structures, v. 25, pp. 3-20.
Hashin, Z., June 1980. Failure Criteria for Unidirecional Fiber Composites. Journal of
Applied Mechanics. V.47, pp.329-334.
Karbhari, V. M.; Zhao, L., 2000. Use of Composites for 21st Century Civil Infrastructure.
Computer Methods Applied Mech. Engrg. pp. 433-454.
Lee, J. D., 1982. Three dimensional finite element analysis of damage accumulation in composite laminate . Computers & Structures, v. 15, n. 3, pp. 335-350.
Lee, J. D., 1980. Three dimensional finite element analysis of layered fiber-reinforced composite materials . Computers & Structures, v. 12, n. 3, pp. 319-339.
Masuero, J. R. & Creus, G. J., 1993, Finite Elements Analysis of Viscoelastic Fracture.
International Journal of Fracture, vol. 60, pp. 267-282.
Marques S. P. C & Creus G. J., 1994 Geometrically Nonlinear Finite Elements Analysis of Viscoelastic Composite Materials under Mechanical and Higrothermal Loads. Computers
and Structures, vol. 53, n. 2, pp. 449-456.
Norris, T., Saadatmanesh, H.& Ehsani, M. R., July 1997. Shear and flexural strengthening of R/C beams with carbon fiber sheets. Journal of Structural Engineering, New York, ASCE. v.123, n.7, pp.903-911.
Oliveira B.F., 1999. Programa computacional para modelagem de cascas de materiais
compostos com análise acoplada de viscoelasticidade e falhas progressivas. Dissertação
de Mestrado em Engenharia (Estruturas)-PPGEC/UFRGS.
Oliveira B.F.& Creus G. J., 2000. Viscoelastic Failure Analysis of Composite Plates and Shells. Composite Structures, vol. 49, n. 4, pp. 369-384.
Oliveira B.F., 2004. Um modelo analítico e computacional para consideração de efeitos de
envelhecimento em estruturas de material compósito. Tese de Doutorado em Engenharia
(Estruturas)-PPGEC/UFRGS.
Oliveira, B. F. & Creus, G. J., 2004. An analytical–numerical framework for the study of ageing in fibre reinforced polymer composites. Composite Structures, vol. 65, pp. 443-457.
Simo, J. C.& Hugues, T. J. R., 1998. Computational Inelasticity. New York: Springer-Verlag.
Wang, Y. C. & Chen, C. H., 2003. Analytical study on reinforced concrete beams strengthened for flexure and shear with composite plates. Composite Structures, vol. 59, pp. 137-148.
Yang, Y. B. & Shieh, M. S., 1990. Solution Method for Nonlinear Problems with Multiple Critical Points. AIAA Journal, vol.28, n.12, pp.2110-2116.
