EXPERIMENTAÇÃO NUMÉRICA SOBRE ESCOAMENTOS EM CANAIS
ANULARES
Elie Luis M. Padilla1 (Universidade Federal de Uberlândia), André L. Martins2 (CENPES/Petrobras), Aristeu da Silveira Neto3 (Universidade Federal de Uberlândia)
1
38400-902, Uberlândia-MG, epadilla@mecanica.ufu.br
2
21949-900, Rio de Janeiro-RJ, aleibsohn@petrobras.com
3
38400-902, Uberlândia-MG, aristeus@mecanica.ufu.br
Os novos desafios de explotação em águas profundas da Petrobras e os complexos problemas associados ao processo de perfuração, levam a necessidade de desenvolver novas ferramentas que permitam viabilizar as diversas operações com maior eficiência. A complexidade dos problemas estão ligados à superposição dos escoamentos axial e azimutal, à interação entre os escoamentos no interior do canal e da cavidade anular (excentricidade variável), às características do fluido não Newtoniano e à presença de partículas sólidas. Nesse contexto, com o intuito de entender melhor os problemas ligados à tecnologia de perfuração, o presente trabalho apresenta os resultados de experiências numéricas sobre domínios tridimensionais realizadas entorno de problemas simplificados, isto é, escoamento Couette, escoamento Couette espiral e escoamento Taylor-Couette com excentricidade variável imposta. Os escoamentos, considerando fluido incompressível, Newtoniano e monofásico, são modelados usando as equações de Navier-Stokes, discretizadas com segunda ordem no tempo e no espaço empregando o método dos volumes finitos. Por ouro lado, os canais circulares e a movimentação dos mesmos são representados usando o método de fronteira imersa com modelo físico virtual, apropriado no tratamento de problemas de interação fluido-estrutura. Para o acoplamento dos campos de pressão e velocidade é usado o método dos passos fracionados, na qual o campo de correção de pressão é resolvido iterativamente com o procedimento fortemente implícito (método SIP). Os resultados, para diversos valores de número de Taylor e número de Reynolds, permitem evidenciar as estruturas presentes nos escoamento e sua influência sobre o coeficiente de perda. As comparações qualitativas e quantitativas com as referências encontradas na literatura mostram boa concordância.
1. INTRODUÇÃO
Problemas relacionados a escoamentos interagindo com corpos estáticos o em movimento são de interesse de muitas importantes indústrias, entre elas as indústrias aeronáutica e de petróleo e gás. Muitos estudos foram direcionados com a finalidade de compreender melhor estes problemas e contribuir na sua solução, porém a sua complexidade é tal que, mesmo na atualidade, grandes esforços são realizados. Especificamente, na indústria de petróleo e gás em águas profundas e ultra-profundas, os maiores problemas encontram-se nos processos de perfuração e de explotação. No primeiro caso, trata-se de escoamentos internos em canais cilíndricos (injeção) e anulares (retorno); no segundo caso, trata-se de escoamento externo sobre as estruturas que transportam a produção dos poços. No presente trabalho, o interesse está centrado no primeiro caso exposto, onde a complexidade associada está ligada à superposição dos escoamentos axial e azimutal gerados pela rotação da coluna de perfuração e a pressão de injeção do fluido de perfuração, à interação entre os escoamentos no interior do canal cilíndrico e do canal anular com a coluna de perfuração (com excentricidade variável), às características do fluido de perfuração (não Newtoniano) e à presença de partículas sólidas no canal anular.
Tradicionalmente, as experiências em campo ou laboratório foram as principais fontes de solução de muitos problemas, porém, nas últimas décadas, os importantes avanços tecnológicos e metodológicos permitiram que a chamada “experimentação numérica” seja uma alternativa confiável (Ferziger e Peric, 1999; Piomelli e Balaras, 2002) para estudar problemas de forma a complementar os estudos experimentais ou como única ferramenta disponível. Inicialmente, problemas de escoamentos sobre corpos imersos em movimento e deformáveis foram tratados com métodos baseados em transformação de coordenadas e remalhagem do domínio de cálculo a cada passo de tempo. Na atualidade, existem métodos mais sofisticados que possibilitam a remalhagem e refinamento local, existem também como alternativa para contornar este problema os métodos de identificação da interface, que possibilitam avaliar a interface através de propriedades geométricas e físicas. Dentro desta última alternativa, o método de fronteira imersa (Peskin, 1977) com modelo físico virtual (Lima e Silva et al., 2003) tem respondido positivamente a uma série de problemas: escoamentos sobre cilindros dispostos em tandem e paralelo e sobre aeorofólios a baixos números de Reynolds, em Lima e Silva et al. (2003); escoamentos em canais e cavidade aberta rasa com fundo móvel, em Arruda (2004); escoamentos sobre cilindros de diâmetro variável e sobre aerofólios a altos números de Reynolds, em Oliveira (2005); escoamentos ao redor de uma esfera estacionária e em movimento, em Campregher (2005); escoamento Hagen-Poiuseuille e escoamentos em cavidades com corpos cilíndricos imersos, em Padilla et al. (2006a) e Padilla et al. (2006b).
Peskin (1977) apresentou o método da fronteira imersa, método na qual a interface é representada por uma malha lagrangiana e interage com o domínio do fluido, representado por uma malha euleriana. A interação entre os domínios se dá através de uma força, força que o fluido exerce sobre a interface, a qual é adicionada à equação de balanço de quantidade de movimento. A força interfacial foi modelada baseada na lei de Hooke. A partir do trabalho de Peskin (1977), novas propostas foram apresentadas, onde a diferença se encontra basicamente na forma como é modelada a força interfacial. A seguir, algumas das propostas existentes: Fogelson e Peskin (1988) aplicaram o método de fronteira imersa a escoamentos com a presença de partículas em suspensão, onde modelam a força interfacial em função da resistência da partícula ao movimento do fluido; Unverdi e Tryggvason (1992) estudaram escoamentos com bolhas, usando um modelo da força em função dos parâmetros geométricos (curvatura e normal) e físicos (tensão interfacial) da interface; Golstein et al. (1993) simularam escoamentos sobre um cilindro, com modelo de força baseado na soma das forças interfaciais sobre um corpo de massa desprezível; Mohd-Yusof (1997) propõe modelar a força interfacial usando uma formulação baseada nas equações de movimento e avaliada na região próxima da interface; Lima e Silva at al. (2003) propuseram o modelo físico virtual, baseado também nas equações de movimento, porém avaliada sobre a interface.
Como comentado anteriormente, centrado no nosso interesse de aplicar a metodologia de fronteira imersa para análise de problemas ligados ao processo de perfuração de poços de petróleo e gás, o presente trabalho trata da aplicação da referida metodologia a problemas simplificados de escoamentos tridimensionais no interior de canais anulares com presença de instabilidades conhecidas como instabilidades de Taylor-Couette.
2. MODELAGEM MATEMÁTICA E METODOLOGIA NUMÉRICA
A modelagem matemática do problema considera dois domínios, como ilustrado na Figura 1: domínio euleriano, onde se aplica o modelo para o fluido; domínio lagrangeano, onde se aplica o modelo para a interfase sólida. O acoplamento de ambos os domínios se realiza através da uma força interfacial, como explicado nos próximos parágrafos.
No domínio euleriano, a dinâmica do fluido é modelada usando as equações de conservação de massa e de balanço de quantidade de movimento, como apresentadas nas Equações 1-4. As referidas equações, que representam a dinâmica dos fluidos incompressíveis, newtonianos e isotérmicos, são acrescentadas de um termo
de força euleriano, fx y z, , , (nas equações de balanço de quantidade de movimento) que possibilita levar em conta a presença de um o mais corpos imersos.
0 u v w x y z ∂ +∂ +∂ = ∂ ∂ ∂ , (1) yx xx zx x u uu vu wu p f t x y z x x y z τ τ τ ρ⎡⎢∂ +∂ +∂ +∂ ⎥⎤= −∂ +∂ +∂ +∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎣ ⎦ , (2) xy yy zy y v uv vv wv p f t x y z y x y z τ τ τ ρ⎢⎡∂ +∂ +∂ +∂ ⎥⎤= −∂ +∂ +∂ +∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎣ ⎦ , (3) yz xz zz z w uw vw ww p f t x y z z x y z τ τ τ ρ⎡⎢∂ +∂ +∂ +∂ ⎥⎤= −∂ +∂ +∂ +∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎣ ⎦ . (4)
Nas Equações 1-4, u, v, e w são as componentes da velocidade nas direções coordenadas x, y, z, respectivamente,
p
a pressão eτ
xx yy zz, , são as componentes do tensor de tensões viscosas.ρ
e ν são a massa específica e a viscosidade cinemática do fluido. O campo de força euleriano é representado matematicamente pela Equação 5, para a componente na direção x, e avaliada sobre a superfície interfacial Γ para cada instante de tempo (δ
é a função núcleo de Dirac). Assim, a expressão da Equação 5 representa a forma como a força lagrangiana é distribuída sobre o domínio euleriano, que resulta representativa tão só nas proximidades de superfície interfacial. k F ( ) x xk k k f F δ x x dx Γ =∫
− , (5)Figura 1. Representação dos domínios considerados no método de fronteira imersa.
O cálculo do campo de força lagrangeano é realizado empregando o modelo físico virtual, , segundo Lima e Silva et al. (2003), que consiste em avaliar a força que o fluido exerce sobre a interface através de um balanço de quantidade de movimento sobre o domínio lagrangiano. Assim, a força lagrangiana, na sua componente na direção x, é definida pela expressão seguinte:
yx xx z xk u uu vu wu p F t x y z x x y z τ x τ τ ρ⎡∂ ∂ ∂ ∂ ⎤ ∂ ⎡∂ ∂ ∂ ⎤ = ⎢ + + + ⎥+ −⎢ + + ⎥ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦. (6)
Cada termo da Equação 6 é calculado utilizando-se esquemas de interpolação sobre os campos eulerianos de velocidade e de pressão, segundo Oliveira (2006), e com a ajuda de pontos auxiliares lagrangeanos. Uma vez
calculada a força sobre o domínio lagrangiano, esta é distribuída sobre o domínio euleriano segundo a expressão da Equação 3. Distribuída a força e gerado o campo de força euleriano equivalente, as equações do movimento são resolvidas sob sua influência. Desta forma, a solução destas equações leva em conta a presença da interface, através de um termo fonte e não por meio de condições de contorno como é feito convencionalmente.
As equações governantes são discretizadas usando o método dos volumes finitos com malha deslocada, segundo Patankar (1980), considerando esquemas de interpolação espacial e temporal de segunda ordem: diferenças centradas e Adams-Bashforth, respectivamente. A equação de Poisson para o campo da correção de pressão é resolvida usando o procedimento fortemente implícito, conhecido como SIP (Stone, 1968). O acoplamento pressão-velocidade é realizado através do método dos passos fracionados (Kim e Moin, 1985). Malhas não uniforme são usadas para o domínio euleriano e malhas uniformes para o domínio lagrangiano. 3. DESCRIÇÃO DOS PROBLEMAS FÍSICOS
Trata-se de três problemas: escoamento de Taylor-Couette, escoamento Taylor-Couette espiral e escoamento Taylor-Couette com excentricidade variável. O primeiro problema se desenvolve no espaço anular formado por dois canais concêntricos com rotação do canal interno, conforme mostrado na Figura 2a. O segundo problema se desenvolve na mesma configuração do primeiro problema acrescentado de movimentação do canal interno na direção axial. O terceiro problema se desenvolve no espaço anular formado por dois canais excêntricos com rotação do canal interno, como mostrado na Figura 2b, onde o movimento excêntrico imposto se dá entorno da linha central do canal externo. Na referida figura, Ro e Ri são os raios dos canais externo e interno, Rex é o raio de excentricidade, ω é a velocidade de rotação do canal interno. Adicionalmente, são definidos o comprimento dos canais , o espaçamento entre os canais L E=Ro− , a velocidade axial do canal interno w, a velocidade de Ri
movimentação excêntrica ωex e os parâmetros adimensionais: relação de raios R=R Ro i, razão de aspecto
o
A L R= , número de Taylor Ta=ωR Ei ν e número de Reynolds Re wE= ν.
(a) (b)
Figura 2. Representação esquemática bidimensional dos problemas estudados; (a) canais concêntricos, (b) canais com excentricidade.
4. RESULTADOS
As simulações foram realizadas considerando um domínio lagrangeano definido por R= 3,2 (Ri= 0,125 m)
e A = 1 e um domínio euleriano definido por AxAx0,6A. As malhas lagrangeanas correspondentes ao canal
externo e interno são 106x19 e 34x19 nas direções tangencial e axial. A mahla Euleriana usada é 42x42x24 nas direções
x y z
, ,
, respectivamente.3.1. Escoamento Taylor-Couette
Este tipo de escoamento tem sido estudado desde a década de 1920, época em que Taylor (1923) realizou importantes estudos analíticos e experimentais que permitiram elaborar um mapa de estabilidade. Demonstrou
que o escoamento apresenta instabilidades quando o valor do parâmetro governante, número de Taylor, aumenta acima do valor crítico. Ditas instabilidades consistem de estruturas toroidais contrarotativas, denominadas como vórtices de Taylor, as quais permanecem estáveis até atingir um segundo número de Taylor crítico. Na última década, muitas investigações são conduzidas devido às múltiplas aplicações nas diversas áreas de engenharia (Jhonson e Lueptow, 1997; Wereley e Lueptow, 1997; Mahamdia et al., 2003). O número de Taylor crítico varia em função do espaçamento entre canais, como reportado nas investigações experimentais de Andereck et al. (1986) e Docter e Lueptow (1992) e nas investigações analíticas de DiPrima (1960) e Lee (2001). Segundo Docter e Lueptow (1992), ao espaçamento entre canais usado no presente trabalho lhe corresponde um número de Taylor crítico de aproximadamente 65.
As simulações para este problema foram realizadas considerando valores de números de Taylor entre 100 e 140. As visualizações da Figura 3 mostram o padrão do escoamento para dois valores de Ta. Para Ta=100, observa-se o campo de vetores sobre um plano arbitrário que evidencia os vórtices de Taylor, os quais se apresentam com forma alongada e com comprimento de onda igual a E . Ressalta-se que o comprimento de onda natural é 2E , porém a imposição do comprimento L e as condições de contorno (periodicidade na direção axial) forçam estruturas de comprimento de onda menor. Para os maiores valores de Ta, os vórtices de Taylor permanecem estáveis e com as mesmas características, como observado para Ta=120, na Figura 3b. Nesta figura, apresentam-se as estruturas contrarotativas através de linhas de corrente volumétricas. O padrão dos campos das componentes da velocidade (exemplo: velocidade axial, Figura 3a), assim como das estruturas
características, se apresentam muito similares a os resultados das referências mencionadas no parágrafo anterior.
Figura 3 Escoamento Taylor-Couette, estruturas características projetadas sobre um plano e no domínio tridimensional; (a) Ta=100, (b) Ta=120.
Figura 4. Escoamento Taylor-Couette, Ta=120; tensão cisalhante sobre a superfície do canal interno.
Na Figura 4, mostra-se isovalores de tensão cisalhante sobre o canal interno para Ta=120. A simetria e os máximos e mínimos observados estão relacionados com as características das estruturas toroidais e sua dinâmica,
que implica movimentação helicoidal entorno do núcleo estrutural (como observado na Figura 3b). A tensão cisalhante permite a avaliação do coeficiente de atrito e do torque necessário para movimentar o canal interno. 3.2. Escoamento Taylor-Couette Espiral
Inicialmente, este problema foi caracterizado analiticamente por Ludweig (1960) e experimentalmente por Ludweig (1964). Posteriormente, outros trabalhos têm complementado as informações em relação aos modos de desestabilização e aos valores críticos do número de Taylor, entre os quais Hu e Kelly (1995) e Meseguer e Marquez (2000) (que realizaram uma análise de estabilidade linear).
As simulações foram realizadas para um valor fixo de número de Taylor, igual a 100, e diversos valores de número de Reynolds entre 10 e 25. A distribuição das componentes da velocidade, para os menores valores de
Re, é similar à do escoamento Taylor-Couette, tal distribuição se modifica conforme o Re aumenta, como observado nas Figuras 5 e 6 para a componente axial. A sobreposição dos dois tipos de escoamento, escoamento de Taylor-Couette e escoamento Couette, resulta em um escoamento com presença de dois tipos de estruturas: estruturas toroidais contrarotativas (próprias do escoamento Taylor-Couette); estruturas espiraladas. Para os menores valores de Re, ambos os tipos de estruturas coexistem no canal anular (Figura 5 e 6a). Entretanto, para valores de Re próximos e superiores a 25, formam-se tão só estruturas espiraladas (Figura 6b).
(a) (b)
Figura 5. Escoamento Taylor-Couette espiral, componente axial da velocidade para Ta=100 e Re=17; (a) 6,5 s, (b) 7,0 s.
(a) (b)
Figura 6. Escoamento Taylor-Couette espiral, campos de vetores velocidade par Ta=100; (a)Re=10, (b)Re=25;
A dinâmica deste tipo de escoamentos muda com o tempo devido à presença das estruturas espiraladas, que quando coexistem com as estruturas toroidais contrarotativas, transportam estas no sentido axial. Esta característica é observada na Figura 5, através do campo da velocidade axial para Re=17, onde o par de células alternadas que aparecem na região central do canal (Figura 5a) aparecem na saída do canal no outro instante
(Figura 5a). Na Figura 6, os campos de vetores velocidade são mostrados sobre dois planos r, z para valores de
Re=10 e 25. Para Re=10 (Figura 6a) tem-se um escoamento ondulante na direção axial que contorna os vórtices de Taylor. Os pares de vórtices de Taylor se apresentam desalinhados, sendo que o vórtice localizado próximo da superfície do canal externo é maior que o localizado próximo da superfície do canal interno. Por outro lado, para Re=25 (Figura 6a) tem-se um escoamento ondulante na direção axial sem a presença de vórtices de Taylor. O padrão dos escoamentos (na projeção sobre os planos ) é similar aos resultados experimentais e numéricos obtidos em canais anulares com =1,2, obtidos por Wereley e Lueptow (1999) e Hwang e Yang (2004).
r, z R
3.3. Escoamento Taylor-Couette Excêntrico
Tomando como base o escoamento Taylor-Couette com excentricidade fixa definida por Rex E = 0,182, foi
imposto um movimento excêntrico circular (ωex= 4π s-1 ) sobre o canal interno entorno do centro da linha central do canal externo. Foram realizadas simulações considerando valores de número de Taylor entre 100 e 140.
O padrão dos escoamentos, na posição de excentricidade fixa definida pelo valor de Rex E e na posição
correspondente ao ângulo de excêntricidade α=0° (com origem e sentido igual a θ), apresenta estruturas toroidais contrarotativas (estruturas característica do escoamento Taylor-Couette) deformadas em função da variação de espaço anular determinado pelo valor de Rex E . Quando se incrementa o número de Taylor as
estruturas não mudam as suas características, porém a magnitude da velocidade aumenta, como observado na Figura 7. Nesta Figura tem-se o campo da componente axial da velocidade (nos mesmos planos da figura anterior) para números de Taylor iguais a 120 e 140.
(a) (b)
Figura 7. Escoamento Taylor-Couette excêntrico, velocidade axial para α=0°; (a) Ta=120, (b) Ta=140.
Uma vez que os escoamentos atingem regime permanente, na posição definida anteriormente, inicia-se a movimentação excêntrica constante em sentido anti-horário (a partir dos 4 s). As propriedades dos escoamentos no domínio do tempo mudam localmente, apresentando sinais periódicos determinados pela movimentação cíclica (a cada 2π). Os efeitos de inércia do sistema são evidentes a partir do segundo ciclo. Para o escoamento com =100, na Figura 8, são mostrados os campos da componente axial da velocidade nos instantes correspondentes a
Ta
α= 0° e 72°. Para α=0° (Figura 8a), os pares de células alternadas da parte superior do canal anular são aproximadamente iguais que as células da parte inferior do canal. Para α=72° (Figura 8b), os pares de células da parte superior do canal anular são menores que as células da parte inferior do canal.
Certamente, a dinâmica dos escoamentos muda a cada instante devido ao movimento excêntrico imposto. Estas mudanças refletidas sobre as estruturas formadas determinam uma constante deformação. Quando avaliada a influência dessa dinâmica sobre a tensão cisalhante, esta apresenta valores (médios) maiores que para o caso em que a excentricidade é fixa (em α= 0°). Em relação ao comportamento em função do número de Taylor, a tensão cisalhante incrementa seu valor conforme o número de Taylor aumenta.
(a) (b) Figura 8. Escoamento Taylor-Couette excêntrico, velocidade axial para Ta=100; α=0°;
(a) α=0°, (b) α=72°. 5. CONCLUSÃO
Foi apresentada uma serie de experiências numéricas de problemas simplificados associados à tecnologia de perfuração, baseadas na solução das equações de Navier-Stokes e o uso da metodologia de fronteira imersa com modelo físico virtual. Os resultados apresentados demonstram a capacidade desta novel metodologia de representar corpos imersos e móveis associados a escoamentos internos com presença de instabilidades de tipo Taylor-Couette. A boa concordância dos resultados, quando comparados com as referências experimentais e numéricas, possibilita a extensão e continuação do presente trabalho, sendo necessária, em primeira instância, uma comparação quantitativa dos problemas apresentados.
6. AGRADECIMENTOS
Os autores agradecem o apoio financeiro da Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Minas Gerais (FAPEMIG) e ao Centro de Pesquisas e Desenvolvimento Leopoldo Américo M. de Mello (CENPES-PETROBRAS).
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NUMERICAL EXPERIMENTATION OVER ANNULAR CHANNEL FLOWS
The new challenges of exploration and production in deep-water of the Petrobras and the complex problems associated to the drilling process, passes by necessity of develop new tools that allow most operational efficiency. The complexity of the problems is related superposition of an axial flow with an azimuthal flow, to
the interaction between the inner flow (inside circular channel) and annular flow, to the characteristics of non-Newtonian fluid and to the solid particle presence. In this context, with intention to better understand on problems associated to drilling technology, the present work presents the results of numerical experiences on three-dimensional domain performed over simplified problems: Taylor-Couette flow, Couette spiral flow and Taylor-Couette flow with imposed variable eccentricity. The flows, considering incompressible, Newtonian and single-phase fluid, are modeled using the Navier-Stokes equations, discretized with second order (time and space) using the finite volumes method. On the other hand, the circular channels and the movement of the same ones are represented using the immersed boundary method with physical virtual model. The results for several values of Taylor number and Reynolds number, allow evidencing the standard structures of the flow and its influence on the friction coefficient. The qualitative and quantitative comparisons with the references found in literature show good agreement.
Eccentric channels, drilling engineering.
