SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL INSTITUTO DE GEOCIÊNCIAS UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
ANÁLISE DE BACIAS SEDIMENTARES: ÊNFASE EM REGIÕES EQUATORIAIS
PROFESSORES:
MANUEL COSTA / RUBENVALDO PERREIRA
E-mail: [email protected]/ [email protected]
DISCIPLINA: MÉTODOS MATEMÁTICOS I
(Parte I)
INTRODUÇÃO
O presente material de pesquisa (parte I) inicia-se com o conceito de campo vetorial, indicando que o mesmo descreve matematicamente um fluxo. Em tópicos subsequentes apresentar-se-á um tipo de integral (integral de linha) aplicada em muitas áreas do conhecimento científico com o intuído de analisar propriedades relacionadas a campos vetoriais, bem como de fluxos fluídos, finalizando-se com três teoremas básicos, quais sejam: Teorema de Green, Teorema da Divergência e o Teorema de Stokes, tais teoremas possibilitam uma visão consistente da natureza dos fluxos compondo a base de princípios importantíssimos da Física e da Engenharia.
1 CONCEITOS BÁSICOS DE CAMPOS VETORIAIS
Para Stewart (2012), o cálculo vetorial é uma área de extrema importância para a matemática pura e aplicada, envolvendo a análise de vetores em uma ou mais dimensões. O estudo do cálculo vetorial inclui campos vetoriais, que são funções que associam vetores a pontos do espaço.Tal estudo caracteriza-se de suma importância para a descrição matemática de um fluxo(ANTON; BIVENS; DAVIS, 2007).
1.1 CAMPOS VETORIAIS
Para exemplificar um campo vetorial, imagina-se uma corrente em que a água flui horizontalmente em qualquer nível e considera-se a camada de água numa profundidade específica. Em cada ponto da camada, a água tem certa velocidade, a qual é representada por um vetor naquele ponto (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2007), (ver, Figura 1).
Fonte: Adaptado de ANTON; BIVENS; DAVIS, 2007. Figura 1 - Representação hipotética de um campo vetorial 2D.
Anton, Bivens e Davis (2007) elucidam que a associação de vetores velocidade com pontos numa camada bidimensional é denominada de campo de velocidades nessa camada tal descrição citada está diretamente ligada à definição de campo vetorial enunciada a seguir.
1.1.1 Definição
De acordo com Anton, Bivens e Davis(2007), seja um conjunto bidimensional (2D). Um campo vetorial bidimensional (2D) é uma função ⃗ que associa a cada ponto ( ) em um vetor bidimensional ⃗( ) Analogamente, seja umaregião tridimensional (3D). Um campo vetorial (3D) é uma função ⃗que associa a cada ponto ( ) em um vetor tridimensional ⃗( ).Observa-se que se introduziu um sistema de coordenadas designando-se componentes para os vetores. Deste modo, com um sistema de coordenadas para o campo vetorial ⃗(2D), pode-se expressá-lo em termos de suas funções componentes e , da seguinte forma:
⃗( ) ( ) ⃗ ( ) ⃗ (1)
ou, de forma simplificada:
⃗( ) ⃗ ⃗ (2)
Similarmente, pode-se escrever um campo vetorial ⃗ tridimensional (3D) com suas funções componentes , e , ou seja:
⃗( ) ( ) ⃗ ( ) ⃗ ( ) ⃗⃗ (3)
ou ainda,
⃗( ) ⃗ ⃗ ⃗⃗ (4)
Desta maneira, considerando de um modo geral , e funções escalares tanto em (2D) quanto em (3D), as mesmas são denominadas em algumas situações campos escalares para distingui-los dos campos vetoriais. Nota-se que é viável definir a
continuidade dos campos vetoriais sendo que ⃗ será contínua se e, somente se, suas funções componentes forem contínuas (STEWART, 2012).
Observam-se agora as Figuras(2) e (3) que representam um campo vetorial (2D) e (3D), respectivamente.
Fonte: Adaptado de STEWART, 2012.
Figura 2 - Representação gráfica de um campo vetorial 2D.
Figura 3 - Representação gráfica de um campo vetorial 3D.
Assim, segundo Anton, Bivens e Davis (2007), geometricamente um campo vetorial em (2D) ou (3D) pode ser visualizado projetando-se vetores representativos ⃗( ) ou ⃗( ) em alguns pontos escolhidos do plano ou do espaço, nesta ordem. Contudo, como geralmente não é viável expor de forma completa uma curva (2D) ou (3D) encontrando um número finito de pontos, também não é recomendado representar um campo vetorial encontrando um número finito de vetores. Entretanto, as representações gráficas de tais campos fornecem informações favoráveis acerca do desempenho geral dos campos em questão se os vetores forem selecionados corretamente, assim, tais representações promovem um volume sistemático de cálculos, de forma que são criados geralmente com auxilio computacional. Neste sentido, para tornar mais compreensível a definição de campo vetorial, utilizar-se-á exemplos (ver, Figuras 4, 5, e 6) envolvendo campos vetoriais (2D), bem como campos vetoriais (3D) (ver, Figuras 7, 8 e 9), utilizando como ferramenta computacional auxiliar.
O campo vetorial 𝑭⃗⃗⃗(𝒙 𝒚) 𝟏
𝟓√𝒚𝒊⃗ (ver, Figura 4)poderia descrever a velocidade
da corrente num córrego em várias profundidades. No fundo do córrego, a velocidade é zero, mas a velocidade da corrente aumenta à medida que a profundidade diminui, ressaltando que pontos na mesma profundidade tem a mesma velocidade. Em relação ao campo vetorial 𝑭⃗⃗⃗(𝒙 𝒚) −𝒚𝒊⃗ 𝒙𝒋⃗ (ver, Figura 5), o mesmo descreve a velocidade de pontos relacionados a uma roda. No centro da roda a velocidade é nula, mas a velocidade aumenta com a distância do centro, pontos à mesma distância do centro tem a mesma velocidade. Já o campo vetorial 𝑭⃗⃗⃗ (𝒙 𝒚) 𝟏𝟎(𝒙𝒙𝒊𝟐⃗+ 𝒚+𝒚𝒋𝟐⃗)𝟑 𝟐⁄ (ver, Figura 6), por exemplo, descreveria hipoteticamente uma força de repulsão de uma corrente elétrica, ou seja, quanto mais perto da carga, maior é a força repulsora. O campo vetorial 𝑭
⃗⃗⃗(𝒙 𝒚) 𝒙𝒊⃗+𝒚𝒋⃗+𝒛𝒌⃗⃗⃗
(𝒙𝟐+ 𝒚𝟐+𝒛𝟐)𝟑 𝟐⁄ (ver, Figura 7), ⃗⃗⃗(𝑭 𝒙 𝒚 𝒛) 𝒚𝒊⃗− 𝒙𝒋⃗ 𝒛𝒌⃗⃗⃗ (ver, Figura 8) e
𝑭
⃗⃗⃗(𝒙 𝒚 𝒛) 𝒚𝒊⃗− 𝒙𝒋⃗ 𝒛𝒌⃗⃗⃗ (ver, Figura 9) mostram campos vetoriais no espaço 3D, tais figuras tendem a ser confusas e, portanto de menor valor que representações gráficas de campos vetoriais no espaço 2D (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2007), no entanto, existem recursos gráficos que minimizam tal situação (ver, Figura 9).
3 2 1 0 1 2 3 3 2 1 0 1 2 3 2 1 0 1 2 0 1 2 3 4
Fonte: Adaptado de ANTON; BIVENS; DAVIS, 2007. Figura 4- Representação geométrica de um campo vetorial 2D
Fonte: Adaptado de ANTON; BIVENS; DAVIS, 2007. Fonte: Adaptado de ANTON; BIVENS; DAVIS, 2007.
1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 5 0 5 5 0 5 5 0 5
Figura 6- Representação geométrica de um campo vetorial 2D
Fonte: Autoria própria 2 0 2 2 0 2 2 0 2
Fonte: Adaptado de ANTON; BIVENS; DAVIS, 2007.
Figura 8- Representação geométrica de um campo vetorial3D
Figura 9- Representação geométrica de um campo vetorial 3D, aplicando uma técnica de corte (do inglês, slice)
1.1.2 Campos gradiente
Tipos importantes de campos vetoriais surgem no processo de calcular gradientes. Neste sentido, considerando uma função dependente de três variáveis, o gradiente de é definido como segue:
⃗ ⃗ ⃗⃗ (5)
O gradiente (5) define um campo vetorial 3D denominado campo
gradiente de . De maneira análoga, o gradiente de uma função dependente de
duas variáveis define um campo gradiente 2D. Salienta-se que em cada ponto de um determinado campo gradiente que não apresenta um gradiente nulo, o referido vetor apontará na direção em que a função determina uma taxa máxima de aumento (crescimento) (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2007).
1.1.3 Campos conservativos e funções potenciais
Definição: Segundo Anton, Bivens e Davis (2007) diz-se que um campo vetorial ⃗ do espaço 2D ou 3D é conservativo se o mesmo for o campo gradiente de uma determinada função naquela região, isto é:
⃗ (6) Ainda como informação, destaca-se que a função neste contexto é denominada
função potencial de ⃗ na região em questão. 1.1.4 Divergência e rotacional
Agora será definido dois processos (operações) importantes sobre um determinado campo vetorial (2D ou 3D), ou seja, a divergência ou rotacional de uma campo, como segue (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2007):
I) Definição: Seja ⃗( ) ( ) ⃗ ( ) ⃗ ( ) ⃗⃗, define-se a divergência de ⃗, simbologia (div ⃗) como a função dada por:
div ; (7)
II) Definição: Seja ⃗( ) ( ) ⃗ ( ) ⃗ ( ) ⃗⃗, define-se o rotacional de ⃗, simbologia (rot ⃗) como o campo vetorial dado por:
rot ⃗ ( − ) ⃗ ( − ) ⃗ ( − ) ⃗⃗ (8)
Observação: É pertinente considerar como um operador, ou seja:
que, quando aplicado a uma determinada função, por exemplo, ( ), determina o gradiente,
⃗ ⃗ ⃗⃗. (10)
Assim, chama-se (9) de operador del. Neste sentido, (7) e (8), podem ser reescritas da seguinte forma, respectivamente:
div ⃗ ⃗ (11)
rot ⃗ ⃗ |
⃗ ⃗ ⃗⃗
| (12)
2 INTEGRAIS DE LINHA
Apresentar-se-á, neste tópico, uma abordagem a respeito das integrais de linha também denominadas de integrais curvilíneas, mostrando sua definição, cálculo, dentre outros.
2.1 INTEGRAL DE LINHA
No início do século XIX, com o intuito de resolver problemas que envolviam escoamento de fluidos, forças, eletricidade e magnetismo, cientistas propuseram uma integral semelhante à integral unidimensional, exceto que, ao invés de integrar-se sobre um intervalo [ ], integra-se sobre uma curva (STEWART, 2012). Tais integrais denominam-se integrais de linha ou curvilíneas. De fato, para tornar mais clara sua definição, considera-se os seguintes argumentos:
Seja uma curva em (2D) dada pelas equações paramétricas abaixo:
( ) ( ) (13)
ou equivalentemente, pela equação vetorial ⃗( ) ( ) ⃗ ( ) ⃗, e suponha-se como uma curva lisa ( ⃗ é contínua e ⃗ ( ) ). Assim, dividindo o intervalo [ ] do parâmetro em subintervalos dados por [ ] igualmente espaçados, fazendo ( ) e ( ), verifica-se que os pontos correspondentes ( ) dividem em subarcos de comprimento (ver, Figura 10).
Figura 10 - Representação esquemática de uma curva lisa.
Fonte: Adaptado de STEWART, 2012.
Ainda observando a Figura (10), escolhe-se um ponto qualquer ( ) no i-ésimo subarco. Se corresponder a uma função de duas variáveis em que o domínio inclui a curva , calcula-se no ponto ( ), multiplicando o resultado pelo comprimento do subarco, obtendo-se a seguinte soma:
∑ ( ) (14)
Assim, como procedimento matemático, toma-se o limite da soma em (14), na qual se assemelha ao limite da soma de Riemann (ver, Apêndice C) utilizada para definir a integral de uma função em um intervalo. Desta maneira, segundo Anton, Bivens e Davis (2007) e Stewart (2012), se é definida sobre uma curva lisa dada pela parametrização em (10), então a integral de linha de sobre é definida da seguinte forma:
∫ ( ) ∑ ( ) (15)
Analogamente, em (3D) tem-se:
∫ ( ) ∑ ( ) (16)
Como observação, é valido salientar o caráter impraticável de realizar cálculos de integrais de linha utilizando (15) e (16), no entanto, tais fórmulas são de fundamental
importância em aplicações e interpretações das integrais de linha (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2007).
2.2 CÁLCULO DE INTEGRAIS DE LINHA
Como mencionado anteriormente, não é viável efetuar o cálculo de uma integral de linha utilizando (15) e (16). Todavia, mostrar-se-á a praticabilidade de representar uma determinada integral de linha como sendo uma integral definida, descartando técnicas de integração com complexidade elevada para calcular tal integral.
Diante do exposto, considera-se uma curva do plano coordenado com a seguinte parametrização:
⃗( ) ( ) ⃗ ( ) ⃗ ( ) (17)
considerando que cada ponto de uma partição de corresponda a um valor do parâmetro em [ ], logo o comprimento do arco de entre os pontos e , é dado por (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2007):
∫ ‖ ⃗⃗⃗⃗( )‖
(18)
Assim, indicando − , segue de (18) em conjunto com o teorema do valor médio para integrais (ver, Apêndice D), a existência de um determinado ponto em [ ] tal que:
∫ ‖ ⃗⃗⃗⃗( )‖
‖ ⃗⃗⃗⃗( )‖ (19)
Neste sentido, observando a Figura (11), no qual se denota ( ) ( ( ) ( )), o ponto equivalente ao valor do parâmetro.
Figura 11 - Denotação do parâmetro em função de 𝒕𝒊.
Fonte: Adaptado de ANTON; BIVENS; DAVIS, 2007.
Assim, considerando ( ( ) ( )) uma função real definida no intervalo [ ], sendo uma curva dada por uma parametrização lisa e substituindo (19) em (15), tem-se para o caso (2D) (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2007; STEWART, 2012):
∫ ( )
∑ ( ( ) ( ))‖ ⃗⃗⃗⃗( )‖
=∫ ( ( ) ( ))‖ ⃗⃗⃗⃗( )‖ (20)
Similarmente, considerando como uma curva parametrizada no espaço (3D), tem-se:
∫ ( ) ∫ ( ( ) ( ) ( ))‖ ⃗⃗⃗⃗( )‖ (21) 2.3 FORMA EXPANDIDA DE UMA INTEGRAL DE LINHA
Como alternativas, (20) e (21) possuem expressões para o cálculo de uma integral de linha. Deste modo, seja uma curva no plano dada pelas equações paramétricas:
( ) ( ) ( ) (22)
‖ ⃗⃗⃗⃗( )‖ √( ) ( ) (22) Em seguida, substituindo (22) em (20) obtém-se (ANTON; BIVENS; DAVIS,
2007):
∫ ( ) ∫ ( ( ) ( ))√( ) ( ) (23) De forma análoga, sendo uma curva no espaço (3D) com a parametrização:
( ) ( ) ( ) ( ) (24)
E sabendo que a norma de ‖ ⃗⃗⃗⃗( )‖ no espaço (3D) equivale a:
‖ ⃗⃗⃗⃗( )‖ √( ) ( ) ( ) (25) Insere-se (25) em (21), obtendo-se:
∫ ( ) ∫ ( ( ) ( ) ( ))√( ) ( ) ( ) (26) 2.4 INTEGRAIS DE LINHA NAS VARIÁVEIS X, Y, Z
Existem integrais de linha nas quais se substitui diretamente, sem perda de generalidade, o termo da integral por e . Desta maneira, considerando uma função definida em uma curva do plano , vincula-se pontos de uma partição de por ( ) e considerando:
− − e − − (27)
Posteriormente, inserindo (27) em (15) nesta ordem, tem-se (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2007; STEWART, 2012):
∫ ( ) ∑ ( ) (28)
∫ ( ) ∑ ( ) (29)
Admitindo as considerações supracitadas para o caso (3D), e assumindo uma curva lisa, define-se integrais de linha de em relação a e ao longo de , como segue:
∫ ( ) ∑ ( ) (30)
∫ ( ) ∑ ( ) (31)
∫ ( ) ∑ ( ) (32)
Entretanto, ao contrário do que ocorre com , os valores de , e trocam de sinal se a ordem dos pontos da partição ao longo de for invertida. Além disso, geralmente quando se propõem diferenciar as integrais de linha originais ∫ ( ) e ∫ ( ) tanto de (28) e (29) quanto de (30), (31) e (32), as mesmas passam a chamar-se de integrais de linha parametrizadas pelo comprimento do arco.
2.5 ORIENTAÇÃO DE UMA INTEGRAL DE LINHA
As integrais de linha de funções em relação à ao longo de , preservam seus sinais quando a orientação da curva é invertida, isto é,
∫ ( ) ∫ ( ) (33)
Contudo, uma troca de orientação da curva em relação à e , altera o sinal das integrais de linha. Tal situação acontece pelo fato de ser sempre positivo, ao passo que , e trocam de sinal (positivo ou negativo) se a orientação de é modificada.
Diante do exposto, seja a parametrização da curva dada por:
( ) ( ) ( ) (34)
com orientação positiva correspondendo a valores crescentes do parâmetro . Deste modo, observa-se que o ponto inicial corresponde ao valor do parâmetro e o ponto terminal a , sendo (cor vermelha) uma curva lisa orientada e – (cor azul) a curva orientada e constituída pelos mesmos pontos de , mas com orientação oposta (ver, Figura 7).
Figura 12 - Orientação de uma Curva.
Fonte: Adaptado de STEWART, 2012.
Assim, considerando os argumentos anteriores, segundo Anton, Bivens e Davis, (2007) e Stewart (2012) para o espaço (2D), tem-se:
∫ ( ) − ∫ ( ) (35)
∫ ( ) − ∫ ( ) (36)
Além do mais, destaca-se que em muitos casos, as integrais de linha em relação a e ocorrem combinadas, sendo que omite-se um dos sinais de integral e tem-se:
∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) (37)
Analogamente, utiliza-se esta descrição para combinações de integrais de linha em relação a e ao longo de curvas no espaço (3D), obtendo-se:
∫ ( ) ( ) ( )
∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) (38)
∫ ( ) ( ) − ∫ ( ) ( ) (39)
visto que, invertendo a orientação de , muda-se o sinal da integral de linha em que e combinam-se. De maneira análoga, para o espaço (3D):
∫ ( ) ( ) ( )
− ∫ ( ) ( ) ( ) (40)
2.6 INTEGRAÇÃO DE UM CAMPO VETORIAL AO LONGO DE UMA CURVA
Particularmente, para tratar de problemas que envolvam campos de vetores, utiliza-se integrais de linha em relação a , e com uma notação alternativa. Assim, de acordo com Anton, Bivens e Davis, (2007) e Stewart (2012), se ⃗⃗⃗⃗ for um campo vetorial contínuo definido sobre uma curva lisa orientada, então a integral de linha de ⃗⃗⃗⃗ ao longo de é dada por:
∫ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ (41)
Em (41), considera-se como uma curva do espaço (2D) e (3D), respectivamente, denotando-se ⃗ como:
⃗ ⃗ ⃗ (42)
⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ (43)
Então, assumindo o caso 2D, seja:
⃗⃗⃗⃗( ) ( ) ⃗ ( ) ⃗ (44) e substituindo (42) e (44) em (41), e efetuando o produto escalar, tem-se como resultado:
∫ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∫ ( ( ) ⃗ ( ) ⃗) ( ⃗ ⃗) ∫ ( ) ( ) (45) Semelhantemente, para uma abordagem 3D, tem-se:
Agora, inserindo (43) e (46) em (41), obtém-se:
∫ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∫ ( ( ) ⃗ ( ) ⃗ ( ) ⃗⃗) ( ⃗ ⃗ ⃗⃗)
∫ ( ) ( ) ( ) (47)
Nesta abordagem, (41) representa o cálculo da integral de linha de ⃗⃗⃗⃗ ao longo de . Neste sentido, supõem-se que seja uma curva orientada em (2D) em forma vetorial por: ⃗ ⃗( ) ( ) ⃗ ( ) ⃗ ( ) (48) Escrevendo ⃗⃗⃗⃗( ⃗( )), tem-se: ⃗⃗⃗⃗( ⃗( )) ( ( ) ( )) ⃗ ( ( ) ( )) ⃗ (49) Portanto, ∫ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∫ ⃗⃗⃗⃗( ⃗( )) ⃗⃗⃗⃗( ) (50) Similarmente, (50) também equivale para curvas orientadas no espaço (3D).
Além disso, denotando-se como um parâmetro de comprimento de arco, por exemplo, , e considerando ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗( ) como um vetor tangente unitário ao longo de . Então, resulta-se:
∫ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∫ ⃗⃗⃗⃗( ⃗( )) ⃗⃗⃗⃗( ) ∫ ⃗⃗⃗⃗( ⃗( )) ⃗⃗⃗⃗ ∫ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ (51) Consequentemente,
∫ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∫ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ (52) Em outras palavras, a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva tem o mesmo valor que a integral do componente tangencial do campo vetorial ao longo da curva (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2007).
Levando em consideração (39) e (52), pode-se almejar que a inversão da orientação de em (41) não tivesse efeito no valor da integral de linha. Todavia, invertendo a orientação de inverte-se a orientação de ⃗⃗⃗⃗ no integrando e, portanto, inverte-se o sinal da integral, assim, tem-se:
∫ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ − ∫ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ (53) e
∫ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ − ∫ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ (54) 2.7 INTEGRAIS DE LINHA AO LONGO DE CURVAS LISAS POR PARTES
As integrais de linha apresentadas até então são definidas ao longo de curvas lisas. No entanto, pode-se abranger a ideia de integral de linha para curvas constituídas da união de um número finito de curvas lisas unidas extremidade a extremidade. Neste sentido, seja um curva lisa por partes (ver, Figura 8), então se define uma integral de linha ao longo de como sendo a soma das integrais de ao longo de cada trecho liso de para os espaços (2D) e (3D), respectivamente:
∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) (55)
e
∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) (56)
Figura 13 - Representação esquemática de uma curva C por partes.
2.8 INTEGRAIS DE LINHA DE CAMPOS VETORIAIS CONSERVATIVOS
2.8.1-Teorema fundamental das integrais de linha
Suponha-se que ⃗⃗⃗⃗( ) ( ) ⃗ ( ) ⃗ seja um campo vetorial conservativo em alguma região aberta contendo os pontos ( ) e ( ) e que ( ) e ( ) sejam contínuas nessa região. Então, se
⃗⃗⃗⃗( ) ( ) (57)
com sendo uma curva qualquer paramétrica lisa por partes, que começa em ( ), termina em ( ) e esteja toda contida na região , tem-se:
∫ ⃗⃗⃗⃗( ) ⃗ ( ) − ( ) (58)
ou, de forma equivalente,
∫ ⃗ ( ) − ( ) (59)
Salienta-se que o teorema em questão é para a situação (2D), porém, da mesma forma, se é uma função de três variáveis e uma curva no espaço ligando o ponto ( ) ao ponto ( ), obtém-se:
∫ ⃗⃗⃗⃗( ) ⃗ ( ) − ( ) (60)
E, consequentemente,
∫ ⃗ ( ) − ( ) (61)
Para efeito de ilustração, observam-se as Figuras (14) e (15), que ilustram o teorema fundamental das integrais de linha, tanto em (2D) quanto em (3D).
Figura 14 - Teorema das Integrais de Linha em (2D).
Fonte: Adaptado de STEWART, 2012.
Figura 4 - Teorema das Integrais de Linha em (3D).
Fonte: Adaptado de STEWART, 2012
2.8.2 Independência do caminho
Em uma integral de trabalho, uma determinada curva paramétrica chama-se de caminho de integração. Um dos principais problemas nas aplicações é definir como o caminho de integração interfere no trabalho realizado por um campo vetorial, numa partícula movendo-se de um ponto fixado para outro ponto fixado .
Assim, suponha-se que e sejam curvas lisas por partes (caminhos) que têm o mesmo ponto inicial e o mesmo ponto final , sabe-se que, em geral, ∫ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∫ ⃗⃗⃗⃗ ⃗. No entanto, para alguns campos especiais o valor da integral é o mesmo para todos os caminhos entre e , então decorre do teorema fundamental das integrais de linha:
∫ ⃗ ∫ ⃗ (62)
sempre que for contínua. Isto é, a integral de linha de um campo vetorial conservativo depende apenas das extremidades da curva.
De modo geral, se ⃗⃗⃗⃗ for um campo vetorial contínuo com domínio em , diz-se que a integral de linha ∫ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ é independente do caminho se ∫ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∫ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ é válido para quaisquer dois caminhos e em que tenham os mesmos pontos iniciais e finais. Diante dessa termologia, pode-se dizer que as integrais de linha de campos vetoriais conservativos são independentes do caminho e que, por sua vez, em algumas situações, representam-se pelo símbolo ∫ , e não o símbolo clássico de integral de linha ∫ , tal substituição auxilia na propriedade de independência do caminho (THOMAS, 2012).
Observação: Diz-se que uma curva paramétrica é simples se ela não se
intercepta em nenhum ponto entre as extremidades. Uma curva paramétrica pode, ou não, ser fechada (ver, Figura 16).
Figura 16 - Tipos de Curvas Paramétricas.
Fonte: Adaptado de ANTON; BIVENS; DAVIS, 2007.
Somados a estes fatos, diz-se que um conjunto conexo do espaço bidimensional é simplesmente conexo se toda curva simples fechada em contorna somente pontos que estão em .
Considera-se, agora, a Figura (17) que, de forma intuitiva, informa que um conjunto conexo é simplesmente conexo se não contém buracos; Por outro lado, se um conjunto conexo apresenta um ou mais buracos o mesmo é dito multiplamente conexo.
Figura 17 - Tipos de Conjuntos Conexos.
3 TEOREMA DE GREEN
Mostrar-se-á, agora, a existência de um método para calcular integrais de trabalho e fluxo por meio de curvas planas fechadas quando o campo vetorial não é conservativo. Este método utiliza o conceituado teorema de Green, o mesmo é capaz de converter integrais de linha para integrais duplas, como segue (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2007):
∫ ( ) ( ) ∬ ( − ) (63)
Considerado um dos maiores teoremas da história do cálculo por ser profundo e surpreendente apresentando consequências abarcantes. Em matemática pura é tão essencial quanto o teorema fundamental do cálculo em matemática aplicada; as generalizações do teorema de green para três dimensões proporcionam a base para teoremas relacionados a eletricidade, magnetismo e escoamento de fluidos. Tal teorema aplica-se a qualquer campo vetorial, independentemente de qualquer interpretação particular do campo, desde que satisfaça certas condições matemáticas.
4 INTEGRAL DE SUPERFÍCIE
Uma integral de superfície caracteriza-se por uma específica integral de uma determinada função sobre uma superfície. Utilização de uma integral deste tipo surge nas mais variadas áreas do conhecimento científico, quais sejam: situações envolvendo fluxo fluído, calor, eletricidade, magnetismo, massa, dentro de gravidade, etc (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2007).
4.1 DEFINIÇÃO 1: Se for uma superfície paramétrica lisa, então a integral de superfície de ( ) em é:
∬ ( ) ∑ ( ) (64)
desde que o limite em (64) exista sem depender da forma que sejam feitas as subdivisões de e escolhidos os pontos amostrais ( ).
TEOREMA: Seja uma superfície paramétrica lisa cuja equação vetorial é dada por:
onde ( ) varia em uma região do plano . Neste sentido, se ( ) for contínua em , tém-se:
∬ ( ) ∬ ( ( ) ( ) ( )) ‖ ⃗ ⃗ ‖ (66)
4.2 INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE EM ( ) ( ) ( ) I) Sejam uma superfície com equação ( ) e sua projeção no plano . Se possuir derivadas parciais de primeira ordem contínuas em e ( ) for contínua , então:
∬ ( ) ∬ ( ( ))√( ) ( ) (67)
II) Sejam uma superfície com equação ( ) e sua projeção no plano . Se possuir derivadas parciais de primeira ordem contínuas em e ( ) for contínua , então:
∬ ( ) ∬ ( ( ) )√( ) ( ) (68)
III) Sejam uma superfície com equação ( ) e sua projeção no plano . Se possuir derivadas parciais de primeira ordem contínuas em e ( ) for contínua , então:
∬ ( ) ∬ ( ( ) )√( ) ( ) (69)
5 TEOREMA DE DIVERGÊNCIA
Seja um sólido cuja superfície é orientada para fora. Se
⃗( ) ( ) ⃗ ( ) ⃗ ( ) ⃗⃗ , (70) onde e possui derivadas parciais de primeira ordem contínuas em um determinado conjunto aberto contendo , e se ⃗⃗ for o vetor normal unitário para fora de , então:
6 TEOREMA DE STOKES
Este teorema é a generalização do teorema de Green para o espaço 3D. Importantes aplicações acontecem no estudo de campos vetoriais (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2007).
6.1 TEOREMA (Stokes)
Seja uma superfície orientada lisa por partes limitada por uma curva lisa por partes limitada por uma curva lisa por partes, fechada, simples e com orientação positiva. Se as componentes do campo vetorial
⃗( ) ( ) ⃗ ( ) ⃗ ( ) ⃗⃗ , (72) forem contínuas e possuírem derivadas parciais de primeira ordem contínuas em algum conjunto um determinado conjunto aberto contendo e se ⃗⃗ for o vetor tangente unitário a , então:
∮ ⃗ ⃗⃗ ∬ ( ⃗) ⃗⃗ (73)
REFERÊNCIAS
ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen. CÁLCULO. Tradução de Claus Ivo Doring. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007. 2 v.
STEWART, James. Cálculo Tradução técnica de Antônio Carlos Moretti, Antônio Carlos Gilli Martins. Revisão técnica de Helena Castro. Tradução da 6ª ed. Norte Americana. São Paulo: Cengage Learning, 2012. 2 v.
