Apostila_CALCULO_BASICO.pdf

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Cálculo Básico

Professores Ana Clara da Mota Áureo Pereira de Melo

Maria de Fátima dos Santos Monteiro Lemke São José dos Campos

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Pré-Cálculo ETEP-Faculdades

ÍNDICE Introdução

Porque estudar matemática?

• As catenárias e as curvas parabólicas 04

• O Teto parabólico do Capitólio 05

• Os flocos de Neve 05 • A Pele 06 • Os sismos 06 • As bolas de sabão 07 • Desintegração radioativa 07 • As ondas da praia. 08 Aula 1 1. Funções 10 1..1 – Definição 10 1.2 – Domínio e Imagem. 11 1.2.1 – Domínio – Conjunto A 11 1.2.2 – Imagem – Conjunto B 12 1.3 – Definição Formal 14

1.4 – Gráfico de uma função 16

1.4.1 – Sistema Cartesiano 17 Aula 2 2. Funções do 1° grau 19 2.1. Função Constante 19 2.2. Função Identidade 20 2.3. Função Linear 20 2.4. Função Afim 21 Aula 3

3. Coeficientes e zero da função afim 24

3.1 – Exercícios 24

3.2 – Funções crescentes e decrescentes 25

3.3 – Sinais de uma função 26

3.4 – Equação de uma reta 29

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3.6 – Intersecção entre duas retas 30

Aula 4

4. Tipos de Função 32

4.1 – Função Par e Função Ímpar 32

4.2 – Função Composta 33

4.3 – Função Injetora, sobrejetora e Bijetora 34

4.4 – Função Inversa 36

4.5 – Exercícios 39

Aula 5

5. Inequações 2° grau e Função Modular 43

5.1 – Conceitos iniciais 43

5.2 – Exercícios Propostos 46

5.3 – Resolução de Inequação do 2° grau 46

5.4 – Função definida por várias sentenças 48

5.5 – Função Modular 48

5.6 – Exercícios propostos 49

Aula 6

6. Função Exponencial e Logarítmica 50

6.1. Função Exponencial 50 6.2. Função Logarítmica 51 Aula 7 7. Exercícios Propostos 53 Aula 8 8. Trigonometria 56

8.1 – Introdução – Dados Históricos 56

8.2 – Arcos e Ângulos 56

8.3 – Ciclo Trigonométricos 57

Aula 9

9.Função Periódicas – Função Seno e cosseno 60

9.1 – Função Seno 61

8.2 – Função Cosseno 63

Aula 10

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10.1 – Função Tangente 66

10.2 – Função Cotangente 69

Aula 11 11. Função Secante e Cossecante 71

Aula 12 12. Relações Fundamentais 75 Aula 13 13. Exercícios de Revisão 82 Aula 14 14. Exercícios complementares 87 14.1 - Domínio das funções 87

14.2 – Funções do 1º Grau 88

14.3 – Função do 2º grau 90

14.4 – Funções Compostas 91

14.5 – Inequações produto e quociente 92

14.6 – Função Modular 93

14.7 – Exponencial: Funções e Inequações 93

14.8 – Equações Exponenciais 94

14.9 – Logaritmos: Introdução 95

14.10 – Logaritmos : Equações 96

14.11- Trigonometria 97

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Introdução - Porque estudar Matemática? • As catenárias e curvas parabólicas

Uma corrente presa nos dois extremos e pendendo livremente dá origem a uma curva catenária. Esta curva assemelha-se muito à parábola e até Galileu acreditou ao princípio tratar-se, de fato, de uma parábola.

Quando se aplicam cargas, distribuídas em intervalos iguais, a uma curva catenária, a corrente adapta a forma de uma parábola. É o que se sucede nas pontes suspensas por cabos, como a ponte 25 de Abril, em Lisboa. A parábola apenas se forma quando são adicionados à catenária os cabos de tração verticais. Quando observamos os cabos elétricos suspensos dos postes de uma ponte reparem que desenham uma curva que parece um arco de parábola, porém não é o gráfico de uma função polinomial. O seu nome é catenária, do latim cadena, cadeia.

Trata-se do gráfico de uma função exponencial, transcendente (não–algébrica), de equação

(

ax ax

)

e e a 2 1

y= + − em que a é constante positiva.

Quais são as principais características desta função? Se dois postes com mesma altura e afastados de 50m suportam um cabo o qual desenha uma catenária em que a = 0,08. Qual a distância mínima do cabo ao solo? Qual é a altura dos postes?

Até ao séc. XVII suponha-se que era um arco de parábola; até mesmo Galileu o pensava. Mas em 1647 um jovem com 17 anos, Christiaan Huygens, provou com argumentos físicos que essa hipótese era falsa, sem, contudo descobrir a expressão analítica da curva. Huygens foi um matemático e físico holandês (1629-1695), construtor do primeiro relógio de pêndulo. Huygens retomou mais tarde o estudo da catenária e publicou, já com mais de 60 anos, a solução do problema. Simultaneamente surgiram trabalhos independentes, sobre a catenária, dos irmãos Bernoulli (Basileia) e de Leibniz (Hanover).

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• O teto parabólico do Capitólio

É curioso verificar que no século XIX, o Capitólio foi projetado de modo a dispor de mecanismos de escuta não eletrônicos. Projetado em 1792 pelo Dr. William Thornton, a sua estrutura reconstruída em 1819, após ter sido incendiada pelas tropas invasoras britânicas em 1814. A Câmara dos Representantes costumava reunir no Stattuary Hall até 1857. Foi neste local que John Quincy Adams descobriu o fenômeno acústico. Verificou que, em certos pontos, era possível ouvir distintamente as conversas que estavam a ter lugar no ponto oposto da sala, ao passo que as pessoas situadas ao meio nada ouviam e o barulho que produziam não interferia com os sons provenientes do outro extremo. A secretária de Adams estava localizada sob o ponto focal de um dos tetos que funcionava como refletor parabólico. Assim, podia facilmente ouvir as conversas privadas dos outros membros da Câmara que estivessem sob o ponto focal.

• Os flocos de Neve

Qual é a relação entre um floco de neve e uma crise cardíaca?

A formação dos flocos de neve, as flutuações de certas populações animais, a freqüência das erupções vulcânicas, a propagação das epidemias, as variações do clima, as irregularidades dos batimentos cardíacos ... todos estes fenômenos são descritos pela teoria do caos, uma teoria que procura a ordem na desordem , e a desordem na ordem. Hoje sabemos que os batimentos cardíacos seguem uma curva irregular e aleatória e que o ritmo de um coração normal tem uma natureza caótica.

Veja no exemplo o estudo do crescimento da populações de coelhos.

Fugiram 8 coelhos de um barco atracado em Kori, uma pequena ilha onde não havia coelhos nem predadores; tendo bom clima e muito alimento reproduziram-se exponencialmente

e, passados uns tempos, davam um tal prejuízo à agricultura que o governador mandou fazer a contagem de quantos coelhos havia para estudar as medidas a adaptar. Contarem 4500 coelhos; três meses depois, nova contagem deu 9900 coelhos. Acreditando nas contagens, descreva uma fórmula que traduza o

crescimento desta população de coelhos. Quanto tempo passou desde a fuga dos coelhos até à realização da 1ª contagem? Se não forem tomadas medidas, quantos coelhos haverá um ano depois da 2ª contagem?

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• A pele

Porque é que a pele de alguns animais é malhada e a de outros é riscada? Porque é que o leopardo tem malhas e o tigre tem riscas? Porque é que o rato e o elefante não têm malhas nem riscas?

Todas estas questões têm hoje uma “resposta” matemática.

O modelo matemático descreve o modo como reagem e se propagam sobre a pele dois produtos químicos diferentes: um que faz a coloração da pele e outros que não faz essa coloração; ou mais precisamente, um que estimula a produção de melanina (uma proteína que dá coloração à pele) e outro que bloqueia essa produção.

A equação matemática mostra que os diferentes motivos da pelagem, dependem unicamente do tamanho e da forma da região onde se desenvolvem. Dito de outra maneira, a mesma equação de base explica todos os motivos.

Mas então, porque razão os tigres e os leopardos têm motivos diferentes uma vez que os seus corpos são muito semelhantes? Porque a formação dos motivos não se produz na mesma altura durante o crescimento do embrião. No primeiro caso, o embrião será muito pequeno e, no outro caso, será já muito maior. Mais precisamente, a equação mostra que não se forma nenhum motivo se o embrião é muito pequeno (rato), que se forma um motivo com riscas se o embrião é um pouco maior (tigre, zebra), um motivo com malhas se é ainda um pouco maior (leopardo, girafa), e ... nenhum motivo se for demasiado grande (elefante).

• Os Sismos

Parece existir uma necessidade humana de descrever os fenômenos naturais em termos matemáticos. Talvez isto se deva ao fato de pretendermos descobrir métodos através dos quais possamos ter algum controlo sobre a natureza – nomeadamente, por meio da previsão. É o que se passa com os tremores de terra.

À primeira vista, parece pouco usual relacionar os sismos com os logaritmos, mas o método utilizado para medir a intensidade de um tremor de terra estabelece essa relação. A escala de Richter foi concebida em 1935 e mede a magnitude de um sismo calculando a quantidade de energia libertada no epicentro.

Trata-se de uma escala logarítmica e, por isso, sempre que um valor nessa escala aumenta 1 unidade, a amplitude da curva sismo gráfica aumenta 10 vezes e a energia libertada pelo sismo aumenta cerca de 30 vezes.

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• As bolas de Sabão

Que tipo de conceitos matemáticos poderá estar relacionado com as bolas de sabão? Os efeitos que as películas de água de sabão formam são determinados pela tensão superficial. Esta tensão diminui, tanto quando possível, a área da superfície. Consequentemente, cada bola de sabão contém uma certa quantidade de ar de maneira a que a área da superfície, para esse volume, seja minimizada. Este fato explica a forma esférica das bolas isoladas, enquanto num conjunto de bolas ligadas, como na espuma, têm uma forma diferente. Na espuma, as arestas das bolhas fazem ângulos de 120°, no que se designa por junções triplas. Essencialmente, uma junção tripla corresponde ao ponto onde se unem três segmentos de reta, sendo de 120° a medida da amplitude de cada um dos ângulos da intersecção. Vários outros fenômenos naturais apresentam junções triplas que corresponde a pontos naturais de equilíbrio. Alguns exemplos são as escamas de um peixe, o interior de uma banana, a formação de grãos de cereal e as placas da carapaça da tartaruga.

• Desintegração radioativa:

Uma porção de substância radioativa desintegra-se espontaneamente, segundo uma lei de decrescimento exponencial dada pela expressão kt

0e

m

m= − onde m0 é a massa inicial (a massa no instante t = 0), k é

uma constante positiva de proporcionalidade que depende da substância radioativa em causa, t é o tempo expresso em anos e e é o Número de Neper.

Um conceito importante no estudo da desintegração radioativa é o de "vida-média" de uma substância, que se define como sendo o tempo necessário para que a sua massa inicial se reduza a metade e se represente por T.

Através de cálculos adequados, chega-se à fórmula: -kt

e

œ= que, mediante a substituição da constante K pelo valor que ela tem para cada substância, permite determinar a vida média T dessa substância radioativa.

Podemos assim saber que a vida média do rádio (elemento químico radioativo descoberto em 1899), pelo célebre casal Curie) é de 1590 anos.

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• As ondas da praia

Nós vemos uma diversidade de ondas na nossa experiência diária. As ondas eletromagnéticas trazem a televisão e o rádio até às nossas casas, as ondas de ultra-sons são usadas para acompanhar através de um ecrã o crescimento de um bebe no útero da mãe, e uma variedade de ondas na superfície dos rios, lagos e oceanos afetam o ambiente costeiro. Os modelos matemáticos ajudam-nos a compreender estes diversos fenômenos.

Muitos fenômenos de ondas são caracterizados por uma oscilação simples, como a de um acenar de mão para cumprimentar. Visto ao longo de um estádio de futebol, uma onda executada pelos corpos humanos parece propagar-se à volta do estádio, e é assim que as ondas de som transportam a sua voz através de um quarto.

Um tipo especial de ondas que se podem propagar por longas distâncias sem dispersão significativa, as ondas solitárias, foi observado pela primeira vez por Scott Russell, em 1844, na superfície de um canal. Muitas vezes iniciadas por sismos oceânicos, mas também susceptíveis à criação por erro humano, ondas semelhantes propagam-se pelo oceano à velocidade de um jacto comercial e causam a devastação quando colidem com a costa. Apelidado de tsunami pelos Japoneses que têm de enfrentar os seus efeitos destrutivos, estas ondas podem propagar-se sem serem detectadas devido ao seu grande comprimento de onda e pequena amplitude. Contudo, a diminuição de profundidade junto à linha costeira leva-as a transformarem-se em ondas gigantescas que podem inundar uma região costeira. A sua forma especial permite-lhes percorrer grandes distâncias sem se dispersarem tão depressa quanto as outras ondas. Até recentemente, questões críticas sobre a teoria matemática para a existência de soluções da equação estavam por resolver, e a solução desta equação estendeu ao limite os recursos dos mais poderosos computadores. Contudo, os avanços matemáticos tornaram a sua solução uma rotina, permitindo previsões corretas acerca da evolução das ondas. As primeiras técnicas numéricas para resolver a equação eram lentas e pesadas. Mas agora, existem várias técnicas eficientes que podem produzir resultados de confiança.

Não só a teoria matemática das ondas aquáticas nos ajudaram a compreender e a proteger o nosso ambiente, mas o seu discernimento tem tido também um impacto significativo no desenvolvimento tecnológico. Embora a onda solitária seja agora bem compreendida, outras ondas da água têm ainda efeitos misteriosos no nosso ambiente e permanecem objetos de ativa investigação matemática.

A Matemática tem um papel fundamental nos estudos e modelos do ambiente. Matemáticas básicas – cálculo, percentagens, proporções, gráficos, sucessões, amostras, médias, modelos de crescimento de populações e probabilidade – todas estão relacionadas com questões atuais e críticas, como a poluição,

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a disponibilidade de recursos, limpeza do meio ambiente, reciclagem, CFC’s e crescimento de populações.

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Aula 1 1. Funções 1.1 - Definição

Uma Relação é um conjunto de pares ordenados (x, y) de números reais. Veja no exemplo abaixo:

(

)

(

)

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − 0;0,6 5 2 ; 3 8 ; 2 3 ; 2 π

Encontramos em nosso cotidiano diversas relações que envolvem grandezas, sendo que o valor que se obtém para uma delas depende do valor de uma ou mais outras grandezas. Aqui, vamos trabalhar com situações que relacionem entre si apenas duas grandezas.

Observe os exemplos

a) O valor de imposto a ser pago ( I ) (ISS - Imposto Sobre Serviço) sobre um serviço depende do seu preço ( p ).

Reflita: Como o valor do Imposto ( I ) depende do preço do Serviço ( p )?

b) O preço a ser pago por uma refeição em um self--service ( P ) depende da quantidade de comida colocada no prato ( k ).

Reflita: Como o preço a ser pago ( P ) depende do peso ( k )?

c) A receita obtida na venda de uma mercadoria ou serviço ( R ) depende da quantidade vendida dessa mercadoria ou desse serviço ( q ).

Reflita: Como a receita ( R ) depende da quantidade ( q )?

As letras I, P e R são chamadas de VARIÁVEIS DEPENDENTES, pois seus valores dependem dos valores de p, k e q.

As variáveis p, k e q recebem o nome de VARIÁVEIS INDEPENDENTES.

As situações descritas nos exemplos acima estabelecem uma relação de DEPENDÊNCIA entre duas variáveis.

Substituindo, nas frases, a palavra DEPENDE pela palavra FUNÇÃO , temos: a) O Imposto (I) é FUNÇÃO do seu preço de venda (p);

b) O preço da refeição (P) é FUNÇÃO de seu peso (k); c) A receita (R) é FUNÇÃO da quantidade vendida (q).

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Simbolicamente, usaremos uma notação que indica a existência de uma relação de dependência entre duas variáveis.

Notação Interpretação

a I = f ( p ) O imposto ( I ) é função do preço ( p ) b P= f ( k ) O preço ( P ) é função do peso ( k ) c R= f ( q ) A receita ( R ) é função da quantidade( q )

Função é um modo especial de relacionar grandezas.

Logo abaixo vamos observar um gráfico que relaciona o consumo de feijão por habitante em função do tempo.

1.2. Domínio e Imagem

Podemos agrupar as variáveis independentes e dependentes em dois conjuntos distintos. 1.2.1 Domínio - Conjunto A

É o conjunto formado pelas DIFERENTES quantidades q que podem ser vendidas de uma determinada mercadoria ou serviço. Este conjunto formado pelas possíveis quantidades q (variáveis independentes) recebe o nome de DOMÍNIO.

0 86 90 93 94 95 23 22 20 18 16

•

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Domínio – Variáveis Independentes

Variáveis Independentes = Quantidades Vendidas 1.2.2 Imagem - Conjunto B

O conjunto formado pelas diferentes RECEITAS obtidas da venda de possíveis QUANTIDADES de mercadorias ou serviços recebe o nome de CONJUNTO IMAGEM.

A Receita recebe o nome de variável dependente (R), pois seus valores dependem das quantidades vendidas (variáveis independentes).

Imagem – Variáveis Dependentes

Variáveis Dependentes = Receitas Obtidas O uso das letras x e y.

• x é a variável independente da função.

• Domínio é o conjunto de todos os valores possíveis de x. • y é a variável dependente da função.

• Imagem é o conjunto de todos os valores possíveis de y, isto é, todos os valores gerados pela função por cada um dos valores do domínio.

• Um conjunto de dois números reais em uma determinada ordem forma um par ordenado.

Então o que é uma função?

Uma função é um conjunto de pares ordenados de números (x,y), no qual dois pares distintos não têm o primeiro número do par em comum.

R1 R2 R3 R4 q1 q2 q3 q4

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Sejam os conjuntos A = {a, b,c, d} e B = {e, f, g, h, i} e as relações binárias R1, R2, R3, R4, R5 vamos

analisar cada uma delas: a) R₁ ={(a,g),(b,h),(c,i)}

O domínio da relação é D(R) = {a, b, c} A≠ e a imagem é o conjunto Im (R1)={g, h, i}. O domínio dessa

relação é diferente de A, pois o conjunto A possui o elemento d e a relação R1 tem origem nos elementos

a, b, c. Observa-se, nesse caso, que nem todos os elementos dos conjuntos A (elemento d) e B (elementos e e f) são usados. . ) , /( ! ), (R₁ y B x y R₁ D x∈ ∃ ∈ ∈ ∀

(∃! significa “existe um único”)

b) R2 ={(a, f),(b,e),(b,g),(c,h),(d,i)}

O domínio da relação é D(R2) = {a, b, c, d} = A e a imagem é o conjunto Im(R2) = {e, f, g, h, i} = B. O

domínio dessa relação é igual a A, pois todos os elementos de A são originários da relação R2.

Observa-se, nesse caso, que todos os elementos dos conjuntos A e B são usados. O elemento b do conjunto A tem duas imagens (e e g). 2 2), /( , ) (R y B x y R D x∈ ∃ ∈ ∈ ∀ ,

mas não é imagem única, pois (b , e) ∈R₂ e (b, g) ∈R₂.

c) R3 ={(a, f),(b,e),(c,i),(d,g)}

O domínio da relação é D(R3)= {a, b, c, d} = A e a imagem é o conjunto Im(R3) = {e, f, g, i}. O domínio

da relação R3 é igual a A. Observa-se, nesse caso, que os elementos do conjunto A são todos usados e o

elemento h, do conjunto B, não é utilizado.

3 3), ! /( , ) (R y B x y R D x∈ ∃ ∈ ∈ ∀ . Relação Função

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O domínio da relação é D(R4) = {a, b, c, d} = A e a imagem é o conjunto Im(R4)={f, g, h, i}. O domínio

da relação R4 é igual a A. Observa-se, nesse caso, que os elementos do conjunto A são todos usados e os

elementos do conjunto B não são utilizados.

. ) , /( ! ), (R₄ y B x y R₄ D x∈ ∃ ∈ ∈ ∀ g)} (d, g), (c, g), (b, g), {(a, R5 =

O domínio da relação é D(R5)= {a, b, c, d} = A e a imagem é o conjunto Im (R5)={g}. O domínio da

relação R5 é igual a A. Observa-se, nesse caso, que os elementos do conjunto A são todos usados e

somente o elemento g do conjunto B é utilizado.

. ) , /( ! ), (R₅ y B x y R₅ D x∈ ∃ ∈ ∈ ∀

As relações R3, R4, R5 apresentam a particularidade de, para todo elemento de A, associar um único

elemento de B. Essas relações recebem o nome de aplicação de A em B ou função definida em A com imagens em B ou, simplesmente, função de A em B.

1.3 Definição Formal

Dados dois conjuntos A,B⊂ℜ , não-vazios, uma relação f de A em B recebe o nome de aplicação de A em B ou função definida em A com imagens em B ou, simplesmente, função de A em B se, e somente se, para todo elemento x de A existir um único elemento y em B, tal que (x,y)∈ f.

Notação:

f é função de A em B ⇔∀x∈A,∃!y∈B/(x,y)∈ f.

Como toda função é uma relação binária de A em B, existe, geralmente, uma sentença aberta y = f(x) que expressa a lei de correspondência entre os elementos dos dois conjuntos.

Para indicarmos uma função f, definida em A com imagens em B, segundo a lei de correspondência f(x) y = , usamos a notação: y x f x B A f = ℜ ⊂ → ℜ ⊂ ) ( : a

Por motivo de simplificação, muitas vezes usamos somente a lei de correspondência, y=f(x), para indicar a função, ficando claro que x∈ A⊂ℜ e y∈ B⊂ℜ, sendo f uma função de A em B.

Exemplos: 1) x y x f x B A f 7 ) ( : = = ℜ ⊂ → ℜ ⊂ a 2) ( ) ₂ 1 ₄ : + = = ℜ ⊂ → ℜ ⊂ x y x f x B A f a 3) 1 ) ( : 3 ₋ = = ℜ ⊂ → ℜ ⊂ x y x f x B A f a 4) ( ) 8 : − = = ℜ ⊂ → ℜ ⊂ x y x f x B A f a

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Observações:

x é denominada variável independente da função (varia sem depender de nenhuma outra variável). y é chamada variável dependente da função (comoy= f(x), temos que y depende da variável x).

Seja y= f(x) uma função. Definimos D(f)= A como o domínio, CD(f)= , o contradomínio e B

B ) f ( CD

Im(f)⊂ = , o conjunto imagem da função f.

Como a função é uma relação, esse conceito é uma extensão do anterior. Para determinarmos o domínio (leia “o maior domínio”) de uma função, estaremos procurando qual o maior conjunto possível A⊂ℜ

que satisfaça a lei de correspondência definida (lembrete: para termos uma função, todos os elementos do conjunto A têm de estar associados a um elemento em B).

Exemplos:

Seja y= f(x) uma função. Vamos determinar o (maior) domínio das seguintes leis de correspondência: a) f(x)=y=7x

Nesse caso, não existe nenhum valor de x ∈ℜ que não possa ser multiplicado por 7. Logo, qualquer x

ℜ

∈ terá um valor y∈ℜ associado a ele. Daí,

D(f)=A= ℜ. b) 4 x 2 1 ) x ( f +

= . Como a divisão por zero é impossível, 2x + 4 ≠0. Temos, então, que x≠−2. Logo, D(f)= A = ℜ−{−2}.

c) y =x3 -1. Da mesma forma que no exemplo da letra (a), não existe nenhuma restrição para x. Então, D(f)= A= ℜ.

d) f(x)= x−8. Sabe-se que só existe raiz de índice par (no caso 2) de números positivos ou iguais a zero. x−8≥0⇒x≥8. Daí, D(f) = A = [8, +∞).

Observação:

Uma função f com valores em ℜ só está bem definida quando sabemos seu (maior) domínio e sua lei de correspondência.

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Pré-Cálculo ETEP-Faculdades Exemplo senx y=

ℜ

=

)

f

(

D

{

|

1

1 }

)

Im(

f

=

y

∈

ℜ

−

≤

y

≤

1.4 Gráfico de uma função:

Dada a função y= f(x), construir seu gráfico é representar, no sistema cartesiano ortogonal (ou plano

x y), o conjunto de pontos {(x,y)/ x∈A e y= f(x)}. Faremos, agora, alguns exemplos apenas como ilustração. Exemplos:

Construir os gráficos das funções: 1) 2 x y ) x (

f = = . O gráfico dessa função é uma reta, onde D(f) = ℜ e Im(f) = ℜ. 2)

2 x y

2

= . O gráfico dessa função é uma curva chamada parábola, onde D(f) = ℜ e Im (f) = ℜ+.

3) y = f(x), onde ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > ≤ < − − ≤ − = 1 x , 2 1 x 1 , 1 1 x , 2 ) x (

f . O gráfico dessa função é um conjunto de retas, ou seja, para

valores de x≤−1, o valor da função é -2; para valores de x entre -1 e 1, o valor da função é 1; e para valores de x > 1, o valor da função é 2, podendo ser visualizado no gráfico ( esboce!), onde D(f) = ℜ e Im (f) = {-2, 1, 2}.

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1.4.1 Sistema Cartesiano Par Ordenado e Plano Numérico

Um conjunto de dois números reais em uma determinada ordem forma um par ordenado. Exemplos: (−1;2) ,( 2 ;−3 5),(x; y)

O conjunto de todos os pares ordenados, formados por números reais, chama-se Plano Numérico, 2

lR . Cada par ordenado (x, y) denomina-se Ponto do Plano Numérico.

A distância entre P1(x1 ,y1 )eP2(x2 ,y2) é dada por

2 1 2 2 1 2 2 1P (x x ) (y y ) P D= = − + −

Essa distância é chamada de distância euclidiana. Veja o exemplo

O Payssandu Sport Club está precisando contratar um volante. Seu “olheiro” recebeu uma fita de vídeo da atuação de um jogador do Juiz de Fora Sport Club em um jogo contra o Cruzeiro no estádio do Mineirão.

P1 D=? P2 1 2 y y − ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ( ) ( )2 1 y 2 y 2 1 x 2 x 2 D = − + − 4 3 4 2 1 1 2 x x − x y 1o Quadrante ordenada abscissa

(x,y)

2o Quadrante 4o Quadrante 3o Quadrante

Sejam P1 e P2 dois pontos em R2 representados pelos pares ordenados (2 ; 6) e (4 ; 10), respectivamente, encontre a distância entre eles. Sugestão: Lembre-se do Teorema de Pitágoras. Em um triangulo retângulo, a soma dos quadrados de seus catetos é igual ao quadrado de sua hipotenusa.

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Nesse jogo, o volante fez diversos lançamentos para o centroavante de seu time, deixando-o cara a cara com o goleiro adversário. O lance que mais chamou a atenção dos dirigentes do Payssandu foi um lançamento, em profundidade, que resultou em um belíssimo gol para o Juiz de Fora.

Com auxílio de recursos computacionais, determinou-se que o volante estava a 20 metros da linha de fundo do gol de seu time e a 15 metros da linha lateral esquerda do campo. O passe foi recebido pelo centroavante de seu time, que estava localizado a 70 metros da linha de fundo do gol de seu time e a 40 metros da linha lateral esquerda do campo.

Você saberia calcular o comprimento do passe feito por esse jogador?

Esquema de Lançamento Cálculo da Distância

2 y y y 2 x x x 1 2 m 2 1 m + = + =

1

20 40 70 volante centroavante P1 P2 y x 15 P1 P2 Pmédio m 90 , 55 3125 ) 50 ( ) 25 ( ) 20 70 ( ) 15 40 ( ) y y ( ) x x ( P P D 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 = = + = − + − = − + − = = Ponto Médio

As coordenadas do ponto médio são dadas pela média aritmética das coordenadas dos pontos extremos do segmento de reta

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Aula 2

2. Funções do 1º grau

Objetivo: Trabalhar com a reta sob várias formas de apresentação.

Definição 1: Sejam a,b∈ℜ, com a≠0. Chama-se função polinomial do 1º grau a função

b ax y x f x B A f + = = ℜ ⊂ → ℜ ⊂ ) ( : a . Observação:

O domínio de uma função polinomial do 1º grau é ℜ.

Exemplos: Seja y x f x B A f = ℜ ⊂ → ℜ ⊂ ) ( : a . 1) f(x) = y = 3x + 15, onde a = 3 e b = 15. 2) f(x) = y = -7x, onde a = -7 e b = 0. 2.1. Função Constante:

Definição 2: Seja y=ax+b. Se, particularmente, a = 0, essa função polinomial se torna de grau zero e é chamada função constante.

Observações:

O domínio da função é o conjunto ℜ e a imagem da função, o conjunto {b}. Seu gráfico é uma reta paralela ao eixo x, passando pelo ponto (0, b).

Exemplo:

Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico da função y = . 6 Resolução:

Como o valor da função é 6, independente do valor de x, o domínio é ℜ e a imagem, {6}. Gráfico:

x y

(21)

2.2. Função Identidade

Seja a função y=ax+b. Se a = 1 e b = 0, a função se torna y= , e é chamada função identidade. x Observações:

Essa função tem uma importância muito grande para o estudo de outras funções. Seu gráfico é uma reta que contém as bissetrizes do 1º e 3º quadrantes e Im(f) = ℜ.

2.3. Função Linear

Seja a função y=ax+b. Se a≠0 e b = 0, a função se torna y=ax , e é chamada função linear. Exemplos: 1) f(x) = y = 3x, onde a = 3. 2) f(x) = y = -5x, onde a = -5. 3) f(x) = y= -x, onde a = -1. 4) f(x) = y = 3 2x , onde a = 3 2 . Observações:

A função identidade é um caso particular de função linear, onde a = 1. O gráfico de uma função linear é uma reta que passa pela origem. D(f) = ℜe Im(f) =ℜ.

Gráfico é uma reta que passa pela origem, basta determinar outro ponto além de (0, 0). Exemplo:

f(x) = y = 3x. Solução:

Como o gráfico é uma reta que passa pelo ponto (0, 0), determina-se um segundo ponto pertencente a essa função, por exemplo, (para x = 1 o valor da função é y = 3.1= 3) o ponto (1, f(1)) = (1, 3) e, unindo esses

x y

(22)

dois pontos, obtém-se o gráfico:

2.4. Função Afim

Definição 5: Seja a função y=ax+b. Se a≠0, ela é chamada função afim. Exemplos: 1) f(x) = y = 3x -5, onde a = 3 e b = -5. 2) f(x) = y = -2x + 3, onde a = -2 e b = 3. 3) f(x) = y = − 2 x, onde a = − 2 e b = 0. 4) f(x) = y = x, onde a= 1 e b = 0. Observações:

As funções identidade e linear são casos particulares da função afim. O gráfico de uma função afim é uma reta inclinada.

D(f) = ℜ e Im (f) = ℜ.

A função afim é também denominada função do 1º grau. Para esboçar seu gráfico, que é uma reta, basta determinar dois pontos da função.

x y

(23)

Exemplo:

1) Seja y = . Determine o domínio, imagem e esboce o gráfico da função, sendo: x y = f(x)=3x-6. Solução:

Como o gráfico é uma reta, determina dois pontos dessa curva:

x 0 2 y = f(x) 3.0 – 6 = -6 3.2 – 6 = 0

Unindo esses dois pontos, temos o gráfico:

D(f) = ℜ e Im (f) = ℜ. 2 ) y = f(x)=-2x+6

Solução:

Como o gráfico é uma reta, determina dois pontos dessa curva:

x 0 3 y = f(x) 6 0 Esboce o gráfico. - 6 2 x y

(24)

3) y = f (x)=2x+7 Solução:

Como o gráfico é uma reta, determinemos dois pontos dessa curva:

x 0 -1

y = f(x) 7 5

Unindo esses dois pontos, esboce o gráfico.

4) Dada a função y = f(x)=3x-1, calcular: a) f(4) b) f(2x+ 1) Solução: a) f(x)=3x-1 ⇒ f(4)=3.4-1=12-1=11 b) f(x)=3x-1 ⇒ f(2x+1)=3.( 2x+1)-1=6x+3-1=6x+2. 5) Seja f(2x+7)=-4x+9. Determinar f(-5) . Solução: 2x + 7 = -5 ⇒ 2x = -12 ⇒ x = -6 Assim, f(-5) = -4.(-6) + 9 = 24 + 9 = 33.

6)Seja f(x-8)=2x-5. Determine, em função de x, f(4x+ . 1) Solução:

Seja w = x – 8 ⇒ x = w + 8.

Assim, f(x – 8) = f(w) = 2. (w + 8) – 5 = 2w + 16 – 5 = 2w + 11. Logo, f(x) = 2x + 11.

(25)

Pré-Cálculo ETEP-Faculdades 0 1 0 1 x x y y tg m − − = = α Aula 3

3. Coeficientes e zero da função afim

Seja y =ax+b uma função afim. O número real a é denominado coeficiente angular ou declividade da reta e o número real b é dito coeficiente linear.

Observação: O coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo y, ou seja, (0, b). Seja y =ax+b ou y = mx + n Chama-se zero ou raiz da função do 1º grau ao valor de x para o qual f(x) = y =0.

Assim, f(x) = y = 0 ⇒ ax + b = 0 ⇒ ax = - b ⇒ x = a

b −

, isto é, o zero ou raiz de uma equação de 1º grau

é o ponto ,0⎟. ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − a b

Graficamente falando, o zero de uma função do 1º grau é o ponto onde a reta corta o eixo das abscissas. Função de 1º Grau: f: f :ℜ→ℜ|y=mx+n

3.1. Exercícios:

1)Determinar a equação da reta que passa pelo ponto (2, 1) e tem coeficiente angular igual a 3. 2)Determinar a equação da reta que passa pelo ponto (-3, -1) e tem coeficiente linear igual a 1. 3) Calcule o zero da função f(x) = -7x + 2.

4)Determinar o ponto (x, y) em que o gráfico da função f(x) = 3 2 5− x

corta o eixo x.

m é o coeficiente angular da reta

n é o coeficiente linear da reta

(x = 0, y = n) x y α x0 y0 x1 y1 α n

(26)

3.2. Funções crescentes e decrescentes

A função y = f(x) é crescente em um intervalo I ⊂ se, A ∀x₁,x₂ ∈I,se x₁ <x₂ ⇒ f(x₁)< f(x₂).

A função y = f(x) é decrescente em um intervalo I ⊂ se, A ∀x₁,x₂ ∈I,se x₁ <x₂ ⇒ f(x₁)> f(x₂).

Exemplo:

Seja a função y= f(x) cujo gráfico é:

f é crescente em (−∞,x₀)∪(x₁,x₂). f é decrescente em (x₀,x₁)∪ x( ₂,+∞).

A função afim y=ax+b é crescente (decrescente) se, e somente se, o coeficiente angular for positivo (negativo), isto é, se, e somente se, a>0 (a<0).

Exemplos:

a) Seja f(x) = y = 5x - 3. Solução:

É uma função crescente, pois a = 5 > 0. Esboce o gráfico. b) Seja f(x) = -2x + 7.

Solução:

É uma função decrescente, pois a = -2 < 0. Esboce o gráfico.

c) Determine p para que a função f(x) = (2p + 3) x + 2 seja decrescente. Solução:

Para que uma função seja decrescente, o coeficiente angular tem de ser negativo. Logo, 2p + 3 < 0 . 2 3 − < ⇒ p

c) Seja a função f(x) = y = 3x + 4. Analise a função e esboce seu gráfico. Solução:

É uma função linear crescente, pois o coeficiente angular é positivo. O domínio e a imagem da função é o conjunto dos números reais. Esboce o gráfico!

x0

x1

x2

x y

(27)

d) Seja a função f(x) = y = 3 2

1 −x . Analise a função e esboce seu gráfico. Solução:

É uma função linear crescente, pois o coeficiente angular é positivo. O domínio e a imagem da função é o conjunto dos números reais. Esboce o gráfico!

3.3. Sinais de uma função

Seja a função y= f(x). Para que valores de x se tem f(x) > 0, f(x) = 0 ou f(x) < 0? Resolver essa questão é estudar o sinal da função.

Para saber quando f(x) > 0 se determina os valores de x, onde y > 0, ou seja, os valores de x em que o gráfico está acima do eixo x.

Para saber quando f(x) = 0 se deve determinar as raízes da função, ou seja, os valores de x onde o gráfico corta esse eixo.

Para saber quando f(x) < 0 se determina os valores de x onde y < 0, ou seja, os valores de x onde o gráfico está abaixo do eixo x.

Exemplo:

Conclusão:

f(x) = 0 ⇔ x=aou x = b ou x = c ou x = d ou x = e. f(x) > 0 ⇔ x < a ou c < x < d ou d < x < e.

f(x) < 0 ⇔ a < x < b ou b < x < c ou x > e.

Quando fala-se, especificamente, da função afim y=ax+b, considerando-se que o zero da função 0

f(x)= seja x = a

b −

, pode verificar que:

a) Se a função for crescente, isto é, se a > 0:

+ +

- - - - - - - -

x y a b c d e

+ + + + + + +

(28)

Pré-Cálculo ETEP-Faculdades ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ − < ⇔ − < ⇔ < + = − > ⇔ − > ⇔ > + = a b x b ax b ax x f a b x b ax b ax x f 0 ) ( 0 ) (

b) Se a função for decrescente, isto é, se a < 0:

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ − > ⇔ − < ⇔ < + = − < ⇔ − > ⇔ > + = a b x b ax b ax x f a b x b ax b ax x f 0 ) ( 0 ) ( Exemplos:

a)Estudar o sinal da função f(x) = 4x – 5. Solução:

Para se estudar o sinal de uma função, deve-se, inicialmente, determinar o (s) valor (es) de x que anula (m) a função, ou seja, fazer f(x) = 0, que é o ponto que a função corta o eixo x.

f(x) = 0 ⇒ 4x – 5 = 0 ⇒ x = 4 5

.

Deve-se, então, verificar qual o sinal da função à direita e à esquerda desse ponto. Considere à direita o ponto x = 2 (pois 2 > )

4 5

. Substituindo x = 2 na expressão y = 4x – 5, tem-se y = 4.2 – 5 = 3, que é um a b −

-+ -+ -+ -+ -+ -+ -+

+ + + + +

a b −

(29)

-Pré-Cálculo ETEP-Faculdades

número positivo. Pode-se, então, afirmar que, à direita de x = 4 5

, a função é positiva.

Do mesmo modo, toma-se um valor à esquerda de x = 4 5

, por exemplo, x = 0 (pois 0 < 4 5

). Substituindo na expressão y = 4x – 5, tem-se y = 4.0 – 5 = -5 que é um número negativo. Pode-se, então, afirmar que à esquerda de x =

4 5

, a função é negativa.

Também poderia ser visto usando-se o coeficiente linear positivo. Como a = 4 > 0, a função é crescente e:

Assim, ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > > = = < < 4 5 x , 0 ) x ( f 4 5 x , 0 ) x ( f 4 5 x , 0 ) x ( f

b) Estudar o sinal da função f(x) = y = -4x + 5. Solução: f(x) = 0 4 5 0 5 4 + = ⇒ = − ⇒ x x .

Como a = -4 < 0, a função é decrescente e: Assim, ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > < = = < > 4 5 x , 0 f(x) 4 5 x , 0 f(x) 4 5 x , 0 (x) f

- - - -

+ + + + + + + +

4 5 x

+ + + + + + +

-4 5 x

(30)

c) Para que valores de x∈ℜ, a função f(x) = y = 7x + 5 é negativa?

Solução:

f(x) < 0 ⇒ 7x + 5 < 0 ⇒ x < -7 5

. 3.4. Equação de uma reta

Toda reta está associada a uma equação da forma ax + by + c = 0, chamada equação geral da reta, onde a, b, c são números reais, a ≠0 ou b ≠0 e (x, y) representa um ponto genérico da reta.

Determina-se a equação de uma reta a partir de algumas situações. 1) Dois pontos

A equação da reta que passa pelos pontos (x1, y1) e (x2, y2) é dada por:

1 2 1 2 1 1 x x y y x x y y − − = − − ou ( ₁) 1 2 1 2 1 x x x x y y y y − − − = − Exemplo:

1) Determine a equação da reta que passa pelos pontos (4, 3) e (-3, 2). Solução: (x1, y1) = (4, 3) ⇒ x1 = 4 e y1 = 3. (x2, y2) = ( -3, 2) ⇒ x2 = -3 e y2 = 2. 7 17 7 ) 4 ( 7 1 3 7 1 4 3 4 3 3 2 4 3 ₌ _⇒ ₋ ₌ ₋ _⇒ ₌ ₊ − − ⇒ − − − = − − x y x y x y x y .

O coeficiente angular (ou declividade) é . 7 1

Esboce o gráfico! 2) Um ponto e o coeficiente angular

A equação da reta, que passa por um ponto (x1, y1) e tem coeficiente angular m, é dada por:

y – y1 = m (x – x1).

Exemplo:

Determine a equação da reta que passa pelo ponto (4, 2) e tem coeficiente angular m = 5 6 . Solução: (x1, y1) = (4, 2) ⇒ x1 = 4 e y1 = 2 e m = 5 6 . y – 2 = 5 6 (x -4) 5 14 5 6 − = ⇒ y x . Esboce o gráfico!

(31)

3.5. Retas paralelas e perpendiculares

Dadas às retas y1 =m1x + b1 e y2 = m2x + b2, tem-se as seguintes definições:

Definição 1: Duas retas, não verticais, são paralelas se, e somente se, elas têm o mesmo coeficiente angular, isto é, m1 = m2.

Definição 2: Duas retas, não verticais, são perpendiculares se, e somente se, seus coeficientes angulares são simétricos e inversos, isto é, m1=

2 1 m − . Exemplos:

1)As retas y1 = 3x + 2 e y2 = 3x -2 são paralelas (o coeficiente angular das duas é 3). Esboce o gráfico!

2)As retas y1 = 3x + 2 e y2 = 2

31 + −

x são perpendiculares (os coeficientes angulares são 3 e - 3 1

). Esboce o gráfico!

3)Determinar a equação da reta, perpendicular à reta y = 4x + 5, que passa pelo ponto (1, -3). Solução:

O coeficiente angular da reta dada é m1= 4. Logo, o coeficiente angular da reta perpendicular à reta dada é

4 1 -= m 1 -= m 1 2 .

A equação da reta, que passa por um ponto (x1, y1) = (1, -3) e tem coeficiente angular m =

4 1 − dado, é: y – y1 = m (x – x1) ⇒ y + 3 = ( 1) 4 1 ₋ − x ⇒ y= 4 11 41 − − x . Esboce o gráfico!

3.6. Interseção entre duas retas

A interseção entre duas retas é o ponto onde as retas se interceptam, se existir tal ponto.

1 y 2

y

Interseção entre as retas

x

(32)

Exemplo:

Dadas as retas y1 = 3x + 1 e y2 = -4x + 1, a interseção entre elas é o ponto do plano onde y1= y2, ou seja:

3x + 1 = - 4x + 1 ⇒ 7x = 0 ⇒ x = 0 ⇒ y = 1.

(pode-se substituir em qualquer das equações, já que o ponto é a interseção de ambas). Daí, o ponto (0, 1) e a interseção das duas retas. Esboce o gráfico!

(33)

Aula 4

4. Tipos de Função

Objetivo: Estudar vários tipos de função e seus respectivos gráficos: funções par e ímpar, função x3, funções recíproca e máximo inteiro. Introduzir os conceitos de função composta, funções injetora, sobrejetora e bijetora e funções inversas e simétricas.

4.1. Função par e função ímpar. Seja y= f(x).

Definição 1: Chama-se função par aquela em que f(x) = f(-x). Geometricamente, o gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo das ordenadas (y).

Definição 2: Denomina-se função ímpar aquela em que f(x) = - f(-x). Geometricamente, o gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem do sistema.

Exemplos:

1) f(x) = y = x4 – 10x2 + 9 é uma função par, pois: f(- x) = (- x)4 – 10 (-x)2 + 9 = x4 – 10 x2 + 9 = f(x). Esboce e observe graficamente a simetria em relação ao eixo y.

2) f(x) = x5-10x3 + 9x é uma função ímpar, pois: f(-x) = (-x)5 – 10(-x)3 + 9(-x) = -x5 + 10 x3 – 9x = - f(x). Esboce e observe graficamente a simetria em relação à origem.

3) f(x) = x4 - 4x3 – 7x2 + 10x não é nem par nem ímpar, pois: f(-x) = (-x)4 – 4(-x)3 – 7(-x)2 + 10 (-x) = x4 + 4x3- 7x2 - 10x. Essa expressão não é igual a f(x) nem a (-f(x)). Esboce e observe graficamente como não há simetria em relação ao eixo y nem à origem.

Função f(x) = x3.

Seja f(x) = x3. Essa função é muito utilizada ao se estudar o cálculo. Serve de exemplo e contra-exemplo em diversas situações.

Verifique inicialmente, que: a) D(f) = ℜ.

b) x1 < x2 ⇒ (x1)3 < (x2)3 ⇒ f(x1) < f(x2), o que significa que f é crescente.

c) Im(f) = ℜ, pois _, _/ 3 x y x y∈ℜ ∃ ∈ℜ = ∀ (ou x = 3 _y _).

d) f(-x) = (-x)3 = - x3 = - f(x). Portanto, ela é ímpar (simétrica em relação à origem). e) Esboce e observe no gráfico a simetria.

(34)

Pré-Cálculo ETEP-Faculdades Função x 1 ) x ( f = ou função recíproca. Seja f(x) = y = x 1

, onde D(f) = _{ℜ . Essa função recebe o nome de função recíproca.}* A imagem da função é Im(f) = _{ℜ .}*

A função é ímpar, pois f(-x) = 1 f(x) x =−

− , isto é, simétrica em relação à origem. Seu gráfico é uma hipérbole eqüilátera. Esboce.

4.2. Função Composta

Sejam y1 = f(x) e y2 =g(x). Chama-se função composta de g e f à função

fog ) x )( fog ( )) x ( g ( f ) x ( h = = = . Observações:

1) A expressão h(x) = (fog)(x) = f(g(x)), se lê: f composta com g ou f círculo g ou, simplesmente, fog.

2) A composta fog só está definida quando o contradomínio da g é igual ao domínio da f (conjunto B).

3) Em geral, fog ≠gof. Exemplos: 1)Sejam as funções f(x) = x + 1 e g(x) = 2x + 1. (fog)(x) = f (g(x)) = f (2x + 1) = 2x + 1 + 1 = 2x + 2. (gof)(x) = g (f(x)) = g(x + 1) = 2(x + 1) + 1 = 2x + 3. (fof)(x) = f (f(x)) = f (x + 1) = x + 1 + 1 = x + 2. (gog)(x) = g (g(x)) = g(2x + 1) = 2(2x + 1) + 1 = 4x + 3.

(35)

Pré-Cálculo ETEP-Faculdades 2)Sejam as funções f(x) = x2 – 1 e g(x) = -x + 1. (fog)(x) = f(g(x)) = f(-x + 1) = (-x + 1)2 – 1 = x2 -2x + 1 – 1 = x2 – 2x. (gof)(x) = g(f(x)) = g(x2 - 1) = - (x2 – 1) + 1 = - x2 + 1 + 1 = -x2 + 2. (fof)(x) = f(f(x)) = f(x2 – 1) = (x2 – 1)2 – 1 = x4 – 2x2 + 1 – 1 = x4 – 2x2. (gog)(x) = g(g(x)) = g(-x + 1) = - (-x + 1) + 1 = x – 1 + 1 = x. 3)Sejam as funções f(x) = x – 6 e g(x) = - x2 + 1. (fog)(x) = f(g(x))= f(-x2 + 1) = (-x2 + 1) – 6 = -x2 – 5. (gof)(x) = g(f(x)) = g(x -6) = - (x – 6)2 + 1 = - (x2 – 12x + 36) + 1 = -x2 + 12x – 36 + 1 = -x2 + 12x – 35. (fof)(x) = f(f(x))= f(x – 6) = (x – 6) – 6 = x – 12.

4.3. Funções: injetora, sobrejetora e bijetora. Definição: Uma função

y x f x B A f = ℜ ⊂ → ℜ ⊂ ) ( :

a pode ser injetora ou injetiva se, e somente se, ∀x1,x2∈Ase

). ( ) ( ₁ ₂ 2 1 x f x f x x ≠ ⇒ ≠ Analogamente, se f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2. Exemplos:

a)f(x) = 3x é injetora, pois:

). 5 ( ) 2 ( 15 6 5 . 3 2 . 3 5 2 ) ( ) ( 3 3 ₁ ₂ ₁ ₂ 2 1 f f x f x f x x x x ≠ ⇒ ≠ ⇒ ≠ ⇒ ≠ ≠ ⇒ ≠ ⇒ ≠ b)f(x) = x 2 1 é injetora, pois: ). 3 ( ) 1 ( 6 1 2 1 3 . 2 1 ) 1 ( 2 1 3 1 ) ( ) ( 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 f f x f x f x x x x ≠ − ⇒ ≠ − ⇒ ≠ − ⇒ ≠ − ≠ ⇒ ≠ ⇒ ≠

(36)

Pré-Cálculo ETEP-Faculdades . 4 ) ( ) ( ₁ = ₂ = ⇒ f x f x

Definição: Uma função y= f(x) pode ser sobrejetora ou sobrejetiva se, e somente se, . ) ( / , x A f x y B y∈ ∃ ∈ =

∀ Significa que, para ser sobrejetora, Im(f) = CD(f).

Exemplos:

Seja y= f(x).

a) f(x) = 3x é sobrejetora, pois: ∀y∈ℜ,∃x∈ℜ/ f(x)= y=3x.

b) f(x) = x2 não é sobrejetora (se considerarmos o contradomínio como o conjunto dos reais), pois, por exemplo, se y = -2, não existe x∈ℜ, tal que f(x) = y = x2.

Definição: Uma função y= f(x)pode ser bijetora ou bijetiva se, e somente se, ela for injetora e sobrejetora (ao mesmo tempo). Diz-se que uma função é bijetora se ela tem uma relação um a um. Veja o conjunto a seguir:

(37)

4.4. Função inversa

Como toda função é uma relação, podemos determinar a relação inversa de uma função, da mesma maneira que fizermos com a relação. Essa relação inversa também será uma função, somente quando a função for bijetora (a inversa também será bijetora).

Exemplos:

a) Neste exemplo, f: A→B, D(f) = A, Im(f) = {6, 7, 8, 9, 11} ≠ B.

A relação inversa f-1: B→ A,D(f−1)≠ B,Im(f −1)= Anão é uma função (o elemento 10 não tem imagem).

A função f é injetora, pois ∀x₁,x₂∈Ase x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁)≠ f(x₂).Ela não é sobrejetora, pois não existe

x∈A/ f(x)=10.Logo, não é bijetora.b) Neste exemplo, f :A→B,D(f)= A,Im(f)=B.

A relação inversa f −1:B→ A,D(f−1)=B,Im(f −1)= Anão é uma função (o elemento 6 tem duas imagens).

A função f não é injetora, pois para x1= 1 e x2= 2, f(x1) = f(x2). Ela é sobrejetora, pois

. ) ( / , x A f x y B y∈ ∃ ∈ =

∀ Logo, não é bijetora.

B A 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 f-1 A B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 f 6 7 8 9 B A 1 2 3 4 5 f -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A f B

(38)

c) Neste exemplo, f :A→B,D(f)= A,Im(f)=B.

A relação inversa f−1:B→A,D(f−1)= B,Im(f−1)= Aé função. A função f é bijetora, pois ela é injetora e sobrejetora.

Teorema: Seja f: A→Bé uma função. A relação f−1:B→Aé uma função se, e somente se, f for bijetora.

Definição: Se f:A→B é uma função bijetora, a relação inversa de f é uma função de B em A que

denominamos função inversa de f e indicamos por f-1.

Para determinarmos a função ou relação inversa, temos de explicitar x em relação a y. Propriedades:

1)D(f-1) = Im(f) = B 2)Im(f-1) = D(f) = A 3)(f-1)-1= f.

Exemplos:

a) f(x) = 3x + 2. Nesse caso, a função f é bijetora com A = B = ℜ. Assim, ela admite uma inversa que é função. ). y ( f 3 2 y x 2 y x 3 2 3x

y = + ⇔ = − ⇔ = − = −1 Daí, a inversa da função f é a função

3 2 y x ) y ( f −1 = = − . b) f(x) = y = (x-1)2. f(x) = y = (x -1)2 ⇔ 1 1 1( ). y f y x x

y = − ⇔ = + = − Para essa função, admitir uma inversa que seja função, temos de limitar o domínio. Assim, 2

) 1 x ( y ) x (

f = = − será bijetora e sua inversa será a função

1 y x ) y ( f −1 = = + . c) f(x) = y = x . B A 6 10 7 8 9 1 2 3 4 5 f-1 1 2 3 4 5 6 10 7 8 9 A f B

(39)

Pré-Cálculo ETEP-Faculdades f(x) = y = 3 3 . 3 xy y x xy x y x x _⇔₋ ₊ ₌ _⇔ ₊ ₌ +

− Colocando x em evidência, temos:

). ( 1 3 3 ) 1 ( 1 y f y y x y y x = − + = ⇔ = + Assim, 1 y y 3 x ) y ( f 1 + = = − _.

Seja f−1(y)= x a função inversa de uma função f. Se trocarmos, nessa função, a variável x por y e a variável y por x, teremos uma nova função, que chamaremos função simétrica.

A função inversa g de uma função real de variável real f obtém-se de f por uma simetria em relação à recta y=x. Exemplos: a) Seja . 3 2 y x ) y (

f −1 = = − A simétrica dessa função é a função . 3 2 x y ) x ( g = = −

b)Seja f−1(y)=x= y +1.A simétrica dessa função é a função g(x)= y= x+1.

c)Seja

( )

. 1 y y 3 x y f 1 + = =

− _{A simétrica dessa função é a função}

. 1 x x 3 y ) x ( g + = = Observação:

Chamamos a função g de função inversa da função f.

Geometricamente, os gráficos da função f e da função simétrica g são simétricos em relação à reta f(x) = y = x. Exemplos: a) f(x)= y=3x+2 e . 3 2 x y ) x ( g = = − Esboce os gráficos. b) 2 ) 1 x ( y ) x ( f = = − e g(x)= y= x+1. Esboce o gráfico. c) 3 x x y ) x ( f + − = = e . 1 x x 3 y ) x ( g + = = Esboce o gráfico.

(40)

4.5. Exercícios propostos

Determine o domínio e a imagem de cada relação e verifique quais delas são funções. a) b) c) d) e) f)

(41)

2) São dados os gráficos de dias relações. Qual destas relações é uma função? Determine o domínio e a imagem de cada uma.

a) b)

3) Encontre o Domínio de cada uma das funções abaixo: a) 2 x x ) x ( f + = b) g(x)= 3−x c) 2 x 3 ) x ( h + = d) 1 x x 7 ) x ( k ₂ − − = e) x 3 3 ) x ( m = f) 3 x 2 x 1 ) x ( t + − + = g) u(x)=5x

4) Sendo f: IR→IR⏐y = x + 2, pede-se: a) f(-1), f(0), ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− 3 1 f , f

( )

3 , f(-7) e f

(

2−2

)

b) valores de x para que se tenha f(x) = -2, f(x) = 0 e f(x) = 2

5) Sendo f(x) = x2 – 5x + 6 e g(x) = 2x + 1, encontre o valor de x na equação abaixo:

) 0 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) 1 ( f f g x g f = −

6) Sabendo que a reta t passa pelos pontos A(1; 3) e B(-3; 1) e a reta r passa pelos pontos C(-2; 5) e D(2; 1), pede-se:

a) equação da reta t; b) equação da reta r;

(42)

7) Os registros de temperatura T (T em °F) foram tomados a cada duas horas a partir da meia noite até o meio dia em Atlanta, na Geórgia, em 18 de março de 1996. O tempo t foi medido em horas após a meia noite.

t 0 2 4 6 8 10 12 T 58 57 53 50 51 57 61 a) Use os registros para esboçar um gráfico de T em função de t. b) Use o gráfico para estimar a temperatura ás 11 horas da manhã.

8) A população P (em milhares) de uma cidade, de 1984 a 1994, está mostrada na tabela. (São dadas estimativas intermediárias).

Aula 5

5. Função do 2º grau e Função Modular

Objetivo: Definir e encontrar a solução de uma inequação do 2º grau, utilizando conceitos de funções do 2º grau. Definir e construir gráficos da função modular.

5.1. Conceitos iniciais:

Para estudarmos as inequações do 2º grau, precisamos, inicialmente, estudar a função do 2º grau cujo gráfico é uma parábola.

A função quadrática y=ax2 +bx+c, a ≠0, tem as seguintes características: Concavidade:

Se a > 0, a concavidade está voltada para cima; Se a < 0, a concavidade está voltada para baixo.

Onde corta o eixo y: (0, f(0)) = (0, c) Raízes ou Zeros: (x, 0) _⇒ ( )₌0_⇒ 2 ₊ ₊ ₌0. c bx ax x

f Esse item já vimos na Aula 5, quando falamos em “equação do 2º grau”. Conclui-se que

a ac b b a b x 2 4 2 2 ₋ ± − = ∆ ± − = , isto é, a b x 2 1 ∆ + − = e a b x 2 2 ∆ − − = .

(45)

Como a equação do 2º grau, temos exatamente duas raízes que podem ser: Reais e distintas, se ∆>0.

Reais e iguais, se ∆=0.

Complexas conjugadas, se ∆<0.

Como o eixo x é um eixo real, significa que: Corta o eixo em 2 pontos distintos, se ∆>0.

Tangencia o eixo x (toca em apenas um ponto), se ∆=0.

Não cruza nem toca o eixo x, se ∆<0.

Vértice:

- O gráfico da parábola é simétrico em relação à reta que passa pelo vértice. Significa que a abscissa do vértice é o ponto médio das abscissas das raízes da parábola.

. 2 4 2 2 2 2 2 2 1 a b x a b x a b a b x x x x_v _v ⇒ _v = − ⇒ _v =− ∆ − − + ∆ + − = ⇒ + =

Como o vértice é um ponto da parábola, ele satisfaz a sua equação. Daí, c a b b a b a y a b f y x f y_v _v _v _v ⎟+ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⇒ − = ⇒ = 2 2 ) 2 ( ) ( 2 c a b a b a yv = − + 2 4 2 2 2 a y a ac b y_v _v 4 4 4 2 _∆ − = ⇒ − − =

(46)

Sinal:

Observação:

Dada a equação f(x) = ax2 + bx + c = 0, sejam x = x1 e x = x2 suas raízes. Daí, x – x1= 0 e x – x2 = 0.

Logo, (x – x1)(x – x2) = 0. Escreve-se também: f(x) = y = ax2 + bx + c = (x – x1)(x – x2) = 0 ⇔ x=x1 ou x = x2. Exemplos: Seja y=ax2 +bx+c. a)f(x) = y = x2 – 4x + 3. Se f(x) = 0 ⇒ x2_{– 4x + 3 = 0 e se tem as raízes:} a ac b b x 2 4 2 1 − + − = e a ac b b x 2 4 2 2 − − − = .

Como a = 1, b = - 4 e c = 3, as equações se tornam: 1 1 . 2 3 . 1 . 4 ) 4 ( ) 4 ( 2 1 = − − + − − = x e 3 1 . 2 3 . 1 . 4 ) 4 ( ) 4 ( 2 2 = − − − − − = x Daí, f(x) = x2 – 4x + 3 = (x – 1)( x – 3) = 0 ⇒ x – 1 = 0 ou x – 3 = 0 ⇒ x = 1 ou x = 3. b)f(x) = y = x2 + 2x – 3 Se f(x) = 0 ⇒ x2 + 2x – 3 = 0 e se tem as raízes: a ac b b x . 2 4 2 1 − + − = e a ac b b x . 2 4 2 2 − − − = , onde a = 1, b = 2 e c = -3.

(47)

Pré-Cálculo ETEP-Faculdades Assim, 1 1 . 2 ) 3 .( 1 . 4 ) 2 ( 2 2 1 = − − + − = x e 3 1 . 2 ) 3 .( 1 . 4 ) 2 ( 2 2 1 =− − − − + − = x . Logo, f(x) = x2 + 2x – 3 = (x – 1) (x + 3) = 0 ⇒ x – 1 = 0 ou x + 3 = 0 ⇒ x = 1 ou x = -3. 5.2. Exercícios Propostos

Encontre a lei que define a função do segundo grau (equação da parábola) nos seguintes casos: a) A parábola passa pelos pontos A(1; 3) B(-1;9) e C(2; 6)

b) A parábola passa pelos pontos A(0; 0) B(1;3) e C(-1;-5) c) A parábola passa pelos pontos A(0; -4) B(1;3) e C(-1;3) d) Corta o eixo Oy em y =2 e passa pelos pontos A(1; 0) e B(-1; 6)

5.3. Resolução de inequação do 2º grau

Chama-se inequação do 2º grau a toda expressão que pode ser reduzida a uma das seguintes formas: ax2 + bx + c > 0; ax2 + bx + c ≥0; ax2 + bx + c < 0; ax2 + bx + c ≤ 0 .

A resolução decorre do estudo da variação de sinal de um trinômio do 2º grau, visto no item anterior. Exemplos:

a) Estudar seus pontos principais, esboçar seus gráficos e determinar suas imagens: f(x) = y = x2 – 4x + 3 a = 1, b = -4, c = 3.

Como a = 1 > 0, o gráfico tem a concavidade voltada para cima. Ele corta o eixo y em x = 0. Fazendo x = 0 em f(x) = x2 – 4x + 3⇒ f(0) = 02_{– 4.0 + 3 = 3. Daí, (0,f(0)) = (0, c) = (0, 3).}

Como 0_∆₌ 2 ₋4 ₌(₋4)2 ₋4.1.3₌4_> ac

b , existem duas raízes reais e distintas.

As raízes são 3. 2 2 4 1 . 2 4 ) 4 ( 2 = ± = ± − − = ∆ ± − = a b

x O vértice da parábola é o ponto

). 1 , 2 ( 1 . 4 4 , 1 . 2 4 4 , 2 ⎟⎠= − ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ₋ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ − − = a a b

V A partir do esboce o gráfico, Im(f) = [−1,+∞). Como o gráfico tem a concavidade voltada para cima e possui duas raízes reais e distintas, a função é negativa para valores de x compreendidos entre as raízes e positiva para os demais valores de x. As raízes determinadas: 1 e 3.

Logo, f é positiva em (−∞,1)∪(3,+∞) e f é negativa em (1, 3).

b) f(x) = y = 3x2_{– 7x + 2.} _{a = 3; b = -7; c = 2.}