Estatística para Psicologia

(1)

Estat´ıstica para Psicologia

Testes t

Jo˜ao Batista M. Pereira DME - UFRJ [email protected]

(2)

Teste t

• Assuma que a variável aleatória de interesse X tem distribui¸cão normal; especificamente,

X ∼ N(µ, σ2)

• _{Em um teste de hip´}_{oteses para a m´}_{edia populacional µ, para}

hip´oteses nulas do tipo

H0 : µ = µ0, H0 : µ ≤ µ0 ou H0 : µ ≥ µ0,

temos que a estat´ıstica de teste T = X − µ0

S /√n

tem distribui¸c˜ao t de Student com n − 1 graus de liberdade, sob H0

(3)

Teste t

• Assuma que a variável aleatória de interesse X tem distribui¸cão normal; especificamente,

X ∼ N(µ, σ2)

• _{Em um teste de hip´}_{oteses para a m´}_{edia populacional µ, para}

hip´oteses nulas do tipo

H0 : µ = µ0, H0 : µ ≤ µ0 ou H0 : µ ≥ µ0,

temos que a estat´ıstica de teste T = X − µ0

S /√n

tem distribui¸c˜ao t de Student com n − 1 graus de liberdade, sob H0

(4)

Teste t

• Assim, se ao observarmos os valores da amostra aleat´oria, x1, . . . , xn, e calcularmos

t = x − µ0 s/√n ,

este valor “cair”muito distante de onde se esperaria que ele “ca´ısse”caso H0 fosse verdadeira, ent˜ao dizemos que temos

evidˆencias para rejeitar H0

• _{O teste de hip´}_{oteses (neste contexto, o teste t) ´}_{e o crit´}_erio

(5)

Teste t

• Assim, se ao observarmos os valores da amostra aleat´oria, x1, . . . , xn, e calcularmos

t = x − µ0 s/√n ,

este valor “cair”muito distante de onde se esperaria que ele “ca´ısse”caso H0 fosse verdadeira, ent˜ao dizemos que temos

evidˆencias para rejeitar H0

• _{O teste de hip´}_{oteses (neste contexto, o teste t) ´}_{e o crit´}_erio

(6)

Teste t

• Exemplo: Considere uma popula¸cão de indiv´ıduos que possuem um determinado trabalho em que estão constantemente sob pressão

• _{Sabe-se que estes indiv´ıduos tˆ}_{em n´ıvel m´}_{edio de ansiedade de}

20 pontos, de acordo com um determinado teste

• _{Assuma que a distribui¸}_c˜_{ao normal ´}_{e adequada para modelar o}

n´ıvel de ansiedade

• _{Para verificar se um tratamento terapˆ}_{eutico tem efeito sobre}

este n´ıvel m´edio, uma pesquisa mensurou o n´ıvel de 20 participantes

• _{Para esta particular amostra, obteve-se m´}_{edia de 17,7 e desvio}

padr˜ao de 5,1 pontos

• _H´_{a evidˆ}_{encias, ao n´ıvel de 5% de significˆ}_{ancia, de que o}

(7)

Teste t

(8)

Teste t

(9)

Teste t

(10)

Teste t

• _{Exemplo (cont.):} _{As hip´}_{oteses a serem testadas s˜}_ao

H0 : µ = 20

H1 : µ < 20

• _{Sob H}₀_{, temos que a estat´ıstica de teste}

T = X − 20 S /√n

tem distribui¸c˜ao t de Student com 20 − 1 = 19 graus de liberdade

(11)

Teste t

• _{Exemplo (cont.):} _{As hip´}_{oteses a serem testadas s˜}_ao

H0 : µ = 20

H1 : µ < 20

• _{Sob H}₀_{, temos que a estat´ıstica de teste}

T = X − 20 S /√n

(12)

Teste t

• _{Exemplo (cont.):} _{Se fixarmos o n´ıvel de significˆ}_ancia

α = 0, 05, temos que

P(Erro tipo I) = P(Rejeitar-se H0 | H0 verdadeira)

= P(T ≤ c | µ = 20) = 0, 05

(13)

Teste t

• _{Exemplo (cont.):} _{Se fixarmos o n´ıvel de significˆ}_ancia

α = 0, 05, temos que

= P(T ≤ c | µ = 20) = 0, 05

(14)

Teste t

Exemplo (cont.): t f ( t ) −4 −1.729 0 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 _{Distribuição de T sob H} 0: t com 19 g.l. 0.05 Rejeita−se H0 Aceita−se H0

(15)

Teste t

• _{Em nosso caso, o valor observado da estat´ıstica de teste ´}_e

t = 17, 7 − 20

5, 1/√20 = −2, 017

• _{Logo, como −2, 017 < −1, 729, rejeitamos H}₀_{, ou seja, ao}

n´ıvel de 5% de significˆancia, temos evidˆencias de que o tratamento funciona

(16)

Teste t

t = 17, 7 − 20

5, 1/√20 = −2, 017

(17)

Teste t

t = 17, 7 − 20

5, 1/√20 = −2, 017

(18)

Teste t

• _{Exemplo (cont.):} _{Neste caso, temos que}

= P(T ≤ c | µ = 20) = 0, 01

(19)

Teste t

• _{Exemplo (cont.):} _{Neste caso, temos que}

= P(T ≤ c | µ = 20) = 0, 01

(20)

Teste t

Exemplo (cont.): t f ( t ) −4 −2.539 0 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 _{Distribuição de T sob H} 0: t com 19 g.l. 0.01 Rejeita−se H0 Aceita−se H0

(21)

Teste t

• _{Neste caso, como −2, 017 > −2, 539, n˜}_{ao rejeitamos H}₀_{, ou}

seja, ao n´ıvel de 1% de significância, não temos evidências de que o tratamento funciona

• _{Dependendo da situa¸}_c˜_{ao, a escolha do n´ıvel de significˆ}_ancia

pode afetar a decis˜ao

• _{Uma outra forma de testar hip´}_{oteses ´}_{e, em vez de fixarmos}

um ponto de corte (valor cr´ıtico) com base em um n´ıvel de significˆancia fixado, podemos calcular a probabilidade (´area) deixada pelo valor observado da estat´ıstica de teste

(22)

Teste t

• _{Neste caso, como −2, 017 > −2, 539, n˜}_{ao rejeitamos H}₀_{, ou}

seja, ao n´ıvel de 1% de significância, não temos evidências de que o tratamento funciona

• _{Dependendo da situa¸c˜}_{ao, a escolha do n´ıvel de significˆ}_ancia

pode afetar a decis˜ao

• _{Uma outra forma de testar hip´}_{oteses ´}_{e, em vez de fixarmos}

um ponto de corte (valor cr´ıtico) com base em um n´ıvel de significˆancia fixado, podemos calcular a probabilidade (´area) deixada pelo valor observado da estat´ıstica de teste

(23)

p-valor

• _O _p-valor_´_{e definido como o menor n´ıvel de significˆ}_{ancia que}

leva `a rejei¸c˜ao de H0 com base na amostra observada

• Ou seja, se fixarmos qualquer n´ıvel de significˆancia menor que o p-valor, aceitar´ıamos H0

• Exemplo: Voltando ao exemplo anterior, o valor observado da estat´ıstica de teste ´e

t = 17, 7 − 20

(24)

p-valor

• Exemplo: Voltando ao exemplo anterior, o valor observado da estat´ıstica de teste ´e

t = 17, 7 − 20

(25)

p-valor

• _Exemplo: _{Voltando ao exemplo anterior, o valor observado da}

estat´ıstica de teste ´e

t = 17, 7 − 20

(26)

p-valor

• _{Exemplo (cont.):} _{Como a regi˜}_{ao de rejei¸c˜}_{ao ´}_{e “abaixo”, neste}

caso, o p-valor ser´a a probabilidade (´area) abaixo do valor observado da estat´ıstica de teste, sob H0

• _{Ou seja, o p-valor ´}_e

(27)

p-valor

• _{Exemplo (cont.):} _{Como a regi˜}_{ao de rejei¸c˜}_{ao ´}_{e “abaixo”, neste}

caso, o p-valor ser´a a probabilidade (´area) abaixo do valor observado da estat´ıstica de teste, sob H0

• _{Ou seja, o p-valor ´}_e

(28)

p-valor

Exemplo (cont.): t f ( t ) −4 −2.017 0 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 _{Distribuição de T sob H} 0: t com 19 g.l. 0.029

(29)

p-valor

• Exemplo (cont.): Em vez de verificar se o valor t = −2, 017 “caiu”ou não na região de rejei¸cão, podemos tomar a decisão diretamente a partir do p-valor

• _{p-valor pequeno leva `}_{a rejei¸}_c˜_{ao de H}₀ • _{p-valor grande leva `}_{a n˜}_{ao rejei¸}_c˜_{ao de H}₀

• Valores pequenos do p-valor indicam que o valor da estat´ıstica de teste caiu perto da cauda, dando evidˆencias que suportam H1

• _{Valores grandes do p-valor indicam que o valor da estat´ıstica}

de teste caiu perto da média, longe das caudas, não dando evidências que suportam H1

(30)

p-valor

• _{p-valor pequeno leva `}_{a rejei¸c˜}_{ao de H}₀ • _{p-valor grande leva `}_{a n˜}_{ao rejei¸c˜}_{ao de H}₀

(31)

p-valor

• _{p-valor pequeno leva `}_{a rejei¸c˜}_{ao de H}₀ • _{p-valor grande leva `}_{a n˜}_{ao rejei¸c˜}_{ao de H}₀

(32)

p-valor

• _{Exemplo (cont.):} _{O p-valor ´}_{e pequeno ou grande com rela¸}_c˜_ao

a um n´ıvel de significˆancia que fixarmos

• Aqui, ao n´ıvel de 5% de significˆancia, rejeitamos H0 (p-valor

= 0,029 ´e pequeno comparado a 0,05)

• Ao n´ıvel de 1% de significˆancia, n˜ao rejeitamos H0 (p-valor =

(33)

p-valor

Exemplo (cont.): t f ( t ) −4 −1.729 0 4 0.0 0.3 0.05 t f ( t ) −4 −2.539 0 4 0.0 0.3 0.01 t f ( t ) −4 −2.017 0 4 0.0 0.3 0.029

(34)

p-valor

Se H1 : µ < µ0, o p-valor ´e P(T ≤ t | µ = µ0) t f ( t ) −4 t 0 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Distribuição de T sob H0: t com n−1 g.l.

(35)

p-valor

Se H1 : µ > µ0, o p-valor ´e P(T ≥ t | µ = µ0) t f ( t ) −4 0 t 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 _{Distribuição de T sob H} 0: t com n−1 g.l. p−valor

(36)

p-valor

Se H1 : µ 6= µ0, o p-valor ´e P(T ≤ −|t| | µ = µ0) + P(T > |t| | µ = µ0) = 2P(T ≥ |t|) t f ( t ) −4 −|t| 0 |t| 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 _{Distribuição de T sob H} 0: t com n−1 g.l. p−valor/2 p−valor/2

(37)

Teste t para amostras pareadas

• _{Em muitos contextos, uma mesma vari´}_{avel ´}_{e medida em um}

mesmo elemento da popula¸c˜ao

• _{Podemos estar interessados em saber se a m´}_{edia da vari´}_{avel ´}_e

maior ou menor em uma condi¸c˜ao do que em outra

• _{Nesse caso, podemos fazer um teste para as diferen¸cas entre}

as medidas, assumindo que essas diferen¸cas compõem uma amostra aleatória da distribui¸cão normal

• S˜ao os chamados teste t pareados

• _{Costumam ocorrer, por exemplo, em}

• observa¸c˜oes do tipo antes e depois em mesmas unidades;

• compara¸cão de diferentes métodos de medi¸cão de uma variável

em mesmas unidades;

• _compara¸_c˜_{ao de diferentes tratamentos aplicados em mesmas}

(38)

Teste t para amostras pareadas

• _{Nesse caso, podemos fazer um teste para as diferen¸cas entre}

em mesmas unidades;

(39)

Teste t para amostras pareadas

• _{Nesse caso, podemos fazer um teste para as diferen¸}_{cas entre}

em mesmas unidades;

(40)

Teste t para amostras pareadas

• _{Nesse caso, podemos fazer um teste para as diferen¸}_{cas entre}

em mesmas unidades;

• compara¸c˜ao de diferentes tratamentos aplicados em mesmas

(41)

Teste t para amostras pareadas

• _{Assim, este ´}_{e apenas um caso particular dos teste t em que o}

valor da m´edia a ser testado ´e µ0 = 0

• _Exemplo: _{Cinco pacientes foram acompanhados antes e}

depois de um tratamento para redu¸c˜ao de ansiedade

• _{As pontua¸c˜}_{oes no teste de ansiedade antes e depois, assim}

como as diferen¸cas foram

Paciente Clark Diana Bruce Arthur Kara

Antes 15,0 19,0 14,2 20,9 20,0

Depois 11,4 15,6 20,4 18,4 15,3 Diferen¸ca 3,6 3,4 -6,2 2,5 4,7

• _{Queremos testar se o tratamento diminuiu significativamente}

a ansiedade dos pacientes, ou seja, se h´a evidˆencias de que o tratamento funciona

(42)

Teste t para amostras pareadas

• Exemplo (cont.): Assumindo que as diferen¸cas seguem uma distribui¸c˜ao normal com m´edia µ, queremos testar

H0 : µ = 0

H1 : µ > 0

• _{Sob H}₀_{, a estat´ıstica de teste}

T =X − 0 S /√5 =

X S /√5

(43)

Teste t para amostras pareadas

• Exemplo (cont.): Assumindo que as diferen¸cas seguem uma distribui¸c˜ao normal com m´edia µ, queremos testar

H0 : µ = 0

H1 : µ > 0

• _{Sob H}₀_{, a estat´ıstica de teste}

T = X − 0 S /√5 =

X S /√5

(44)

Teste t para amostras pareadas

• _{Exemplo (cont.):} _{Temos, a partir da amostra das diferen¸}_cas,

que x = 1, 6 e s = 4, 43

• Assim, o valor observado da estat´ıstica de teste ´e t = 1, 6

4, 43/√5 = 0, 8076

• _{O p-valor do teste pode ser calculado como}

P(T ≥ t | µ = 0) = P(T ≥ 0, 8076 | µ = 0) = 0, 2323

• _{Como o p-valor ´}_{e grande, n˜}_{ao temos evidˆ}_{encias para dizer que}

(45)

Teste t para amostras pareadas

que x = 1, 6 e s = 4, 43

4, 43/√5 = 0, 8076

P(T ≥ t | µ = 0) = P(T ≥ 0, 8076 | µ = 0) = 0, 2323

(46)

Teste t para amostras pareadas

que x = 1, 6 e s = 4, 43

4, 43/√5 = 0, 8076

P(T ≥ t | µ = 0) = P(T ≥ 0, 8076 | µ = 0) = 0, 2323

(47)

Teste t para amostras pareadas

que x = 1, 6 e s = 4, 43

4, 43/√5 = 0, 8076

P(T ≥ t | µ = 0) = P(T ≥ 0, 8076 | µ = 0) = 0, 2323

(48)

Teste t para amostras pareadas

Exemplo (cont.): t f ( t ) −4 0 0.8076 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Distribuição de T sob H0: t com 4 g.l.

(49)

Teste t para amostras pareadas

• _Exemplo: _{Larson Dworkin e Verma (2001) em Men’s work}

and family lives in India: The daily organization of time and emotions no Journal of Family Psychology analisaram aspectos da vida no trabalho e em casa de homens que s˜ao pais na ´India

• _{Testes foram aplicados de forma a mensurar a escala}

psicol´ogica dos participantes nas duas esferas: no trabalho e em casa

(50)

Teste t para amostras pareadas

• _Exemplo: _{Larson Dworkin e Verma (2001) em Men’s work}

and family lives in India: The daily organization of time and emotions no Journal of Family Psychology analisaram aspectos da vida no trabalho e em casa de homens que s˜ao pais na ´India

• _{Testes foram aplicados de forma a mensurar a escala}

psicol´ogica dos participantes nas duas esferas: no trabalho e em casa

(51)

Teste t para amostras pareadas

Exemplo (cont.): A tabela abaixo ´e uma reprodu¸c˜ao de uma tabela do artigo

Esfera

Escala Intervalo Trabalho Casa Trabalho vs. casa

Importante 0-9 5.98 5.06 6.86∗∗∗

Aten¸c˜ao 0-9 6.15 5.13 7.96∗∗∗

Desafio 0-9 4.11 2.41 11.49∗∗∗

Escolha 0-9 4.28 4.74 -3.38∗∗∗

Vontade de fazer outra coisa 0-9 1.50 1.44 0.61

Apressado 0-3 1.80 1.39 3.21∗∗

Ansiedade social 0-3 0.81 0.64 3.17∗∗

Afeto 1-7 4.84 4.98 -2.64∗∗

Clima social 1-7 5.64 5.95 4.17∗∗∗

Nota: valores da ´ultima coluna s˜ao t scores; gl = 99 para todos os testes t ∗∗

p < .01 ∗∗∗

(52)

Teste t para amostras pareadas

• _Exemplo: _{Um teste t pareado foi feito para cada aspecto}

comparando as duas esferas

• _{Em cada escala, a partir das m´}_{edias das diferen¸}_{cas x}

(equivalente `a diferen¸ca entre as m´edias), calculou-se os valores das estat´ısticas de teste

t = x

s/√100

• _{Como a amostra ´}_{e composta por 100 pessoas, os p-valores}

s˜ao calculados a partir da distribui¸c˜ao t de Student com 99 graus de liberdade

(53)

Teste t para amostras pareadas

t = x

s/√100

(54)

Teste t para amostras pareadas

t = x

s/√100

(55)

Teste t para amostras n˜

ao pareadas

• _{Considere uma amostra aleat´}_{oria de tamanho n, (X}₁_{, . . . , X}_n_),

de uma popula¸c˜ao

• _{Considere uma amostra aleat´}_{oria de tamanho m,}

(Y1, . . . , Ym), de outra popula¸c˜ao

• _{Suponha que as vari´}_{aveis aleat´}_{oria de interesse em cada caso}

s˜ao, respectivamente,

X ∼ N(µ1, σ2) e Y ∼ N(µ2, σ2)

• _{Queremos testar hip´}_{oteses a respeito das m´}_{edias das duas}

popula¸c˜oes, µ1 e µ2

• _{Inicialmente, assumimos que a variˆ}_{ancia populacional σ}2 _´_{e a}

(56)

Teste t para amostras n˜

ao pareadas

• Suponha que as variáveis aleatória de interesse em cada caso são, respectivamente,

X ∼ N(µ1, σ2) e Y ∼ N(µ2, σ2)

(57)

Teste t para amostras n˜

ao pareadas

X ∼ N(µ1, σ2) e Y ∼ N(µ2, σ2)

(58)

Teste t para amostras n˜

ao pareadas

X ∼ N(µ1, σ2) e Y ∼ N(µ2, σ2)

(59)

Teste t para amostras n˜

ao pareadas

• Exemplo: 20 estudantes foram aleatoriamente atribu´ıdos a um grupo experimental que participar´a de um programa

educacional

• _{Outros 30 estudantes foram atribu´ıdos a um grupo controle:}

que n˜ao participar´a do programa

• _{Depois de seis meses, os estudantes ter˜}_{ao seus conhecimentos}

testados

• _{Observou-se para o grupo experimental uma m´}_{edia amostral}

de 38,1 com desvio padr˜ao de 3,2 pontos no teste

• _{Para o grupo controle, observou-se uma m´}_{edia amostral de}

(60)

Teste t para amostras n˜

ao pareadas

educacional

testados

(61)

Teste t para amostras n˜

ao pareadas

educacional

testados

(62)

Teste t para amostras n˜

ao pareadas

• _{Exemplo (cont.):} _{Queremos testar se a participa¸}_c˜_{ao no}

programa educacional aumenta a pontua¸cão média no teste, ou seja, queremos testar se a diferen¸ca observada entre as médias é significativa

• Assumindo que as pontua¸cões de quem participa do programa educacional e de quem não participa seguem uma distribui¸cão normal com respectivas médias µ1 e µ2, queremos testar

H0 : µ1= µ2

(63)

Teste t para amostras n˜

ao pareadas

• _{Exemplo (cont.):} _{Queremos testar se a participa¸}_c˜_{ao no}

programa educacional aumenta a pontua¸cão média no teste, ou seja, queremos testar se a diferen¸ca observada entre as médias é significativa

• Assumindo que as pontua¸cões de quem participa do programa educacional e de quem não participa seguem uma distribui¸cão normal com respectivas médias µ1 e µ2, queremos testar

H0 : µ1= µ2

(64)

Teste t para amostras n˜

ao pareadas

• _{Exemplo (cont.):} _{As hip´}_{oteses anteriores s˜}_{ao equivalentes `}_as

hip´oteses

H0 : µ1− µ2= 0

H1 : µ1− µ2> 0

• _{Sejam X e Y as m´}_{edias amostrais dos grupos experimental}

controle, respectivamente

• _Al´_{em disso, sejam S}2

1 e S22 as variˆancias amostrais dos grupos

(65)

Teste t para amostras n˜

ao pareadas

hip´oteses

H0 : µ1− µ2= 0

H1 : µ1− µ2> 0

(66)

Teste t para amostras n˜

ao pareadas

hip´oteses

H0 : µ1− µ2= 0

H1 : µ1− µ2> 0

(67)

Teste t para amostras n˜

ao pareadas

• _{De forma geral, pode ser mostrado que, sob H}₀_{, a estat´ıstica}

de teste definida como T = √ n + m − 2(X − Y ) q 1 n+ 1 m (SQX + SQY)

tem distribui¸c˜ao t de Student com n + m − 2 graus de liberdade • _Aqui, SQX = n X i =1 (Xi − X )2 e SQY = m X i =1 (Yi − Y )2

• _{Portanto, temos que}

(68)

Teste t para amostras n˜

ao pareadas

(69)

Teste t para amostras n˜

ao pareadas

(70)

Teste t para amostras n˜

ao pareadas

Exemplo: Voltando ao exemplo, temos que T = √ 20 + 30 − 2(X − Y ) q 1 20 + 1 30 (SQX + SQY)

tem distribui¸c˜ao t de Student com 20 + 30 − 2 = 48 graus de liberdade, sob H0

(71)

Teste t para amostras n˜

ao pareadas

• _{Exemplo (cont.):} _{Os desvios padr˜}_{oes amostrais observados}

para os grupos experimental e controle foram, respectimamente,

s1 = 3, 2 e s2= 4, 8

• Logo, as variˆancias amostrais s˜ao

s₁2 = 3, 22= 10, 24 e s₂2 = 4, 82= 23, 04

• Por fim, temos que

SQX = (20 − 1) × 10, 24 = 194, 56

e

(72)

Teste t para amostras n˜

ao pareadas

s1 = 3, 2 e s2= 4, 8

s₁2 = 3, 22= 10, 24 e s₂2 = 4, 82= 23, 04

SQX = (20 − 1) × 10, 24 = 194, 56

e

(73)

Teste t para amostras n˜

ao pareadas

s1 = 3, 2 e s2= 4, 8

s₁2 = 3, 22= 10, 24 e s₂2 = 4, 82= 23, 04

SQX = (20 − 1) × 10, 24 = 194, 56

e

(74)

Teste t para amostras n˜

ao pareadas

• _{Exemplo (cont.):} _{Assim, o valor observado da estat´ıstica de}

teste ´e t =

√

20 + 30 − 2(38, 1 − 34, 9)

p(1/20 + 1/30)(194, 56 + 668, 16) = 2, 615

• _{O p-valor pode ser calculado como}

P(T ≥ t | µ1 = µ2) = P(T ≥ 2, 615 | µ1= µ2) = 0, 0059 • _{Este p-valor ´}_{e relativamente pequeno}

• _{Ao n´ıvel de 1% de significˆ}_{ancia, por exemplo, rejeitamos H}₀_,

ou seja, há evidências de que as média do grupo experimental ´

(75)

Teste t para amostras n˜

ao pareadas

• _{Exemplo (cont.):} _{Assim, o valor observado da estat´ıstica de}

teste ´e t =

√

20 + 30 − 2(38, 1 − 34, 9)

p(1/20 + 1/30)(194, 56 + 668, 16) = 2, 615

• _{O p-valor pode ser calculado como}

(76)

Teste t para amostras n˜

ao pareadas

Exemplo (cont.): t f ( t ) −4 0 2.615 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 _{Distribuição de T sob H} 0: t com 48 g.l. 0.0059

(77)

Teste t (de Welch) para amostras n˜

ao

pareadas

• Para fazer o teste t no exemplo anterior, supomos que as variâncias das duas popula¸cões são iguais, σ2

• Esta suposi¸c˜ao nem sempre ´e adequada

• Não existe um teste exato para quando para esta suposi¸cão não é adequada

• Entretanto, um m´etodo aproximado foi proposto por Welch (1938, 1947, 1951)

(78)

Teste t (de Welch) para amostras n˜

ao

pareadas

• Para fazer o teste t no exemplo anterior, supomos que as variâncias das duas popula¸cões são iguais, σ2

• _{Esta suposi¸c˜}_{ao nem sempre ´}_{e adequada}

• Não existe um teste exato para quando para esta suposi¸cão não é adequada

• Entretanto, um m´etodo aproximado foi proposto por Welch (1938, 1947, 1951)

(79)

Teste t (de Welch) para amostras n˜

ao

pareadas

(80)

Teste t (de Welch) para amostras n˜

ao

pareadas

A estat´ıstica de teste do teste t de Welch ´e dada por T = q X − Y SQX n(n−1)+ SQY m(m−1) ,

que tem distribui¸c˜ao aproximada pela distribui¸c˜ao t de Student com graus de liberdade dados por

ν = SQX n(n−1)+ SQY n(n−1) 2 1 (n−1)3 SQX n 2 +_(m−1)1 3 SQY m 2 quando µ1= µ2

(81)

Teste t (de Welch) para amostras n˜

ao

pareadas

• _Exemplo: _{Voltando ao exemplo anterior, vamos fazer o teste t}

de Welch para testar as mesmas hip´oteses

• _{Neste caso, abandonamos a suposi¸}_c˜_{ao de variˆ}_ancias

populacionais iguais

• A estat´ıstica de teste, sob H0, tem distribui¸c˜ao t de Student

com ν = 194,56 20×19 + 668,16 30×29 2 1 (20−1)3 194,56 20 2 +₍₃₀₋₁₎1 3 668,16 30 2 = 47, 996

(82)

Teste t (de Welch) para amostras n˜

ao

pareadas

• _{Neste caso, abandonamos a suposi¸c˜}_{ao de variˆ}_ancias

com ν = 194,56 20×19 + 668,16 30×29 2 1 (20−1)3 194,56 20 2 +₍₃₀₋₁₎1 3 668,16 30 2 = 47, 996

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Teste t (de Welch) para amostras n˜

ao

pareadas

• _{Neste caso, abandonamos a suposi¸c˜}_{ao de variˆ}_ancias

com ν = 194,56 20×19 + 668,16 30×29 2 1 (20−1)3 194,56 20 2 +₍₃₀₋₁₎1 3 668,16 30 2 = 47, 996

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Teste t (de Welch) para amostras n˜

ao

pareadas

• Exemplo (cont.): O valor observado da estat´ıstica de teste ´e t = q38, 1 − 34, 9 194,56 20×19 + 668,16 30×29 = 2, 828

• _{Neste caso, o p-valor ´}_{e dado por}

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Teste t (de Welch) para amostras n˜

ao

pareadas

• Exemplo (cont.): O valor observado da estat´ıstica de teste ´e t = q38, 1 − 34, 9 194,56 20×19 + 668,16 30×29 = 2, 828

• _{Neste caso, o p-valor ´}_{e dado por}

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Teste t (de Welch) para amostras n˜

ao

pareadas

Exemplo (cont.): t f ( t ) −4 0 2.828 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

0.5 _{Distribuição de T sob H}₀_{: t com 47.996 g.l.}

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Teste t (de Welch) para amostras n˜

ao

pareadas

• _Exemplo: _{Gibbons, Wilson e Rufener (2006) em Gender}

attitudes mediate gender differences in attitudes towards adoption in Guatemala no Sex roles fizeram uma pesquisa com 152 estudantes da Guatemala

• _{Nesta pesquisa, perguntaram sobre as cren¸}_{cas dos alunos com}

respeito a três aspectos: machismo, atitude em rela¸cão às mulheres (AWSA) e ado¸cão

• O objetivo era saber se homens pensavam diferente das mulheres com rela¸c˜ao a estes aspectos

• As três escalas foram mensuradas de forma que maiores valores correspondem, respectivamente, a atitudes positivas quanto ao machismo, mais cren¸cas em igualdade de gênero e cren¸cas favoráveis a ado¸cão

(88)

Teste t (de Welch) para amostras n˜

ao

pareadas

• As três escalas foram mensuradas de forma que maiores valores correspondem, respectivamente, a atitudes positivas quanto ao machismo, mais cren¸cas em igualdade de gênero e cren¸cas favoráveis a ado¸cão

(89)

Teste t (de Welch) para amostras n˜

ao

pareadas

• _{As trˆ}_{es escalas foram mensuradas de forma que maiores}

valores correspondem, respectivamente, a atitudes positivas quanto ao machismo, mais cren¸cas em igualdade de gênero e cren¸cas favoráveis a ado¸cão

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Teste t (de Welch) para amostras n˜

ao

pareadas

• _{Exemplo (cont.):} _{A tabela abaixo ´}_{e uma reprodu¸}_c˜_{ao de uma}

tabela do artigo Mulheres Homens (n = 64) (n = 88) t p Machismo 1.17 ± .15 1.32 ± .20 4.77 < .001 AWSA 3.26 ± .31 2.98 ± .35 5.00 < .001 Ado¸c˜ao 3.10 ± .39 2.85 ± .41 3.07 < .01