Introdução aos Processos Multifásicos

Introdução aos Processos Multifásicos

Propriedades dos Escoamentos Dispersos

Paulo L. C. Lage Programa de Engenharia Química

COPPE/UFRJ

Tópicos

1 Espaçamento entre partículas

2 Números de Stokes

3 Escoamentos dispersos diluídos e densos

4 Acoplamento entre fases

Classificação do acoplamento Acoplamento de massa

Acoplamento de quantidade de movimento Acoplamento de energia

Espaçamento entre partículas

Modelo celular

• O comportamento do escoamento disperso depende muito

do valor da distância média entre as partículas, L.

• Usualmente, utiliza-se um modelo celular para estimar a razão L/D

• Assumindo partículas esféricas de

diâmetro D e usando a célula cúbica, tem-se que: αD= πD3 6L3 ⇔ L D =  π 6αD 1/3

• O empacotamento máximo (L/D = 1) predito leva a

αD,max = π/6 = 0,52, o que não é real (αD,max ' 0,74 para esferas de mesmo tamanho).

Espaçamento entre partículas

Em termos da razão mássica

• A razão mássica entre as fases pode ser escrita por

C= wD wC = αDρD αCρC = αD 1 − αD ρD ρC

• Definindo κ = C(ρC/ρD), tem-se que αD= κ 1 + κ • Logo: L D =  π 6 1 + κ κ 1/3 ' 0,8 1 κ + 1 1/3

Espaçamento entre partículas

Critério de partícula isolada

• As partículas de um escoamento disperso podem ser

consideradas isoladas, isto é, com pequeno efeito da presença das outras partículas sobre sua interação com a fase contínua (forças de interação, troca de calor, . . . ), se

L D ' 0,8  1 κ + 1 1/3 & 10

• Exemplos (variáveis expressas em ordem de grandeza):

escoamento ρC/ρD C κ αD L/D aerosóis e sprays 10−3 0,4 4 × 10−4 4 × 10−4 10 leitos fluidizados 10−3 600 0,6 0,4 1 coluna de bolhas 103 _{2 × 10}−4 _{0,2 0,2 1} coluna de bolhas 103 5 × 10−7 5 × 10−4 5 × 10−4 10 emulsão 1 0,2 0,2 0,2 1

Números de Stokes

• As partículas da fase dispersa respondem às variações da

fase contínua com tempos característicos de relaxação, por exemplo, para a velocidade e a temperatura, esta última para uma troca de energia por convecção térmica:

tu = 1 18 D2 νC ρD ρC , tT = cDρDD2 12kC , tT tu = 3 2 cD cC PrC

• Sendo tF o tempo característico associado à variação de um determinado processo no escoamento na fase contínua, pode-se definir números de Stokes para cada processo: Stu= tu tFu , StT= tT tFT , StT Stu = tT tu = 3 2 cD cC PrC(se tFT = tFu)

• Note que os número de Stokes de cada processo podem

diferir não só porque tu6= tT mas também pelo fato que tFu e tFT não são, necessariamente iguais.

Número de Stokes para a velocidade

Relação com razão de velocidades

• Seja equação dinâmica de uma partícula na direção (1)

onde a gravidade não atua e com o arrasto do regime de Stokes:

DDV1 DD(t/tu)

= −W1= (U1− V1)

• Assuma que U1e V1 variam, mas que a sua razão

φ = V1/U1não varia (constant lag solution). Assim: φDDU1

DDt = U1

tu

(1 − φ)

• Porém, a variação de U1ao longo da trajetória das partículas pode ser aproximada usando o tempo característico tFu:

DDU1 DDt

Números de Stokes

Velocidade relativa entre fases

• Portanto: φStu' 1 − φ ⇔ φ ' 1 1 + Stu , 1 − φ ' Stu 1 + Stu

• Se Stu→ 0, então φ → 1 e as partículas acompanham a

fase contínua com a mesma velocidade, caracterizando um escoamento homogêneo.

• Se Stu→ ∞, então φ → 0 e as partículas simplesmente

não respondem à variação da velocidade da fase contínua (como as partículas de um leito fixo). Note que,

Escoamentos diluídos e densos

• Escoamentos dispersos diluídos são aqueles onde o

movimento das suas partículas são controlados pela sua interação com a fase contínua.

• Escoamentos dispersos densos são aqueles onde o

movimento das suas partículas são controlados pela interação entre as próprias partículas.

• Definindo tc como o intervalo de tempo médio entre as colisões (contatos) das partículas e sendo tuo tempo de relaxação de velocidade das partículas, pode-se se definir o seguinte critério: • Se tu tc < 1, o escoamento é diluído. • Se tu tc > 1, o escoamento é denso.

Frequência de colisões

• Considere um grupo de

partículas de diâmetro D no qual uma partícula está se

movimentando com velocidade relativa Vr.

• Em um intervalo de tempo δt,

esta partícula intercepta todas as outras que estejam na região cilíndrica de raio D.

• Sendo nDa densidade numérica de partículas, o número

de colisões é dado por:

δN = nDπD2Vrδt

• E a frequência de colisões é dada por: δN

δt = fc= nDπD 2_V

Intervalo de tempo médio entre colisões

• O intervalo médio de tempo entre colisões é dado por: tc = 1 fc = 1 nDπD2Vr • Assim, usando vD= πD3/6, vDnD= αDe C = ρDαD/ρCαC, temos: tu tc = π 18 D4ρDnDVr µC = 1 3 DαDVr νC ρD ρC = 1 3 DCαCVr νC

• Uma análise mais detalhada, leva a:

tu tc = 3 4 DαDVr νC ρD ρC = 3 4 DCαCVr νC

onde Vré a velocidade RMS da partícula (que é, aproximadamente, da ordem de grandeza de urms).

Limites do escoamento diluído

para a validade do escoamento diluído.

• Exemplos:

• chuva com gotas de D = 2 mm, assumindo Vr∼ 1 m/s pela

turbulência atmosférica (a velocidade terminal é de 6,5 m/s), νC= 2 × 10−5m2/s, ρD/ρC= 103: tu tc < 1 ⇔ αD. 10−5, possível, pois L D∼ 37

• spray (decano-ar) em combustor atmosférico com C= 0.077 (queima estequiométrica), assumindo Vr∼ 0,1

m/s, pela turbulência do escoamento, e αC= 0,99:

tu

tc < 1 ⇔ D . 3,5mm,

válido, pois D_{. 200µm}

• colunas de bolhas (ar-água), com D = 1 mm, assumindo Vr∼ 0,1 m/s, νC= 10−6m2/s, ρD/ρC= 10−3: tu tc < 1 ⇔ αD. 40 3 , válido, pois αD< 1

Classificação do acoplamento entre fases

Escoamentos dispersos diluídos One-way coupling (1 via): quando o movimento das partículas

não afeta o escoamento da fase contínua, ocorrendo apenas o inverso.

Exemplo: arrasto sobre as partículas.

Two-way coupling (2 vias): quando a presença das partículas afeta o escoamento da fase contínua.

Exemplo: arrasto sobre a fase contínua, como o entranhamento de líquido em pluma de bolhas.

Three-way coupling (3 vias): o movimento da partícula gera perturbações no escoamento da fase contínua que afetam o movimento das partículas vizinhas. Exemplo: redução do arrasto pela movimentação de uma bolha na esteira de outra.

Four-way coupling (4 vias): dinâmica das colisões entre partículas.

Classificação do acoplamento entre fases

Escoamentos dispersos densos

Os escoamentos dispersos densos são controlados pela interação entre as partículas, cujas condições de atuação podem ser separadas em dois tipos:

interação dominada pelas colisões: quando o tempo de contato entre as partículas, que ocorre nas colisões, é pequeno.

Exemplo: leitos fluidizados

interação dominada pelos contatos: quando o tempo de contato entre as partículas nas colisões é grande, com as partículas rolando e deslizando umas sobre as outras.

Exemplo: transporte de sedimentos em um leito de partículas, dunas.

Avaliação do acoplamento de 2 vias

• Quando existe apenas acoplamento de 1 via, é muito mais

fácil simular o escoamento bifásico, uma vez que o comportamento da fase contínua independente do da dispersa.

• Entretanto, o acoplamento de 2 vias pode ocorrer

isoladamente em apenas um ou em vários dos processos de transporte (massa, calor, quantidade de movimento).

• Assim, é necessário ser capaz de estimar se existe o acoplamento para cada um dos processoss de forma separada, usando parâmetros de acoplamento.

Acoplamento de massa

• Considere o acoplamento de

transporte de massa entre as fases.

• Assuma um volume de controle

cúbico de um escoamento com partículas que trocam massa, por exemplo, gotas de um spray.

• A massa trocada pelas partículas é dada por

˙

MD= nDL3m˙D= αDρDL3 ˙ mD mD

• A massa transportada pela fase contínua através do

volume é dada por ˙

Acoplamento de massa

Definição do parâmetro de acoplamento

• O parâmetro de acoplamento de massa pode então ser

definido por Πm= ˙ MD ˙ MC ' αDρD αCρC L uC ˙ mD mD = C L uC ˙ mD mD Se Πm<< 1, não há efeito da troca de massa no escoamento da fase contínua.

• Sendo tFu= L/uC o tempo característico do escoamento e tm= mD/ ˙mDo tempo característico de troca de massa, tem-se que: Πm' C tFu tm = C Stm , Stm= tm tFu

onde Stmé o número de Stokes associado à transferência de massa entre as fases.

Acoplamento de quantidade de movimento

Definição do parâmetro de acoplamento

• O parâmetro de acoplamento de momentum pode ser

definido pela razão entre a força de arrasto atuando sobre a fase contínua pela taxa de quantidade de movimento da mesma no mesmo volume de controle.

ΠQM=

Farrasto ˙ PC

onde ˙PC = αCρCu2CL2. Se ΠQM<< 1, a troca de quantidade de movimento tem acoplamento de 1 via.

• Usando a força de arrasto no regime de Stokes, o arrasto das partículas no volume de controle fica:

Farrasto= nDL33πµCD(uC− uD) = nDL33πDµCuC(1 − φ) onde φ = uD/uC= V/U.

Acoplamento de quantidade de movimento

• Usando nDmD= αDρDe tFu = L/uC, tem-se que:

ΠQM= αDρD αCρC tFu tu (1 − φ) = C Stu (1 − φ) pois Stu= tu/tFu.

Acoplamento de quantidade de movimento

• Note que a expressão

ΠQM=

C Stu

(1 − φ)

é mal determinada quando Stu → 0 pois, neste caso, φ → 1

e (1 − φ)/Stu é indeterminado.

• Para levantar a indeterminação podemos usar a solução

para φ constante, que permite escrever que:

1 − φ ' Stu 1 + Stu • Assim: ΠQM = C 1 + Stu

Acoplamento de energia

Definição do parâmetro de acoplamento

• O parâmetro de acoplamento de energia pode ser definido

pela razão entre o calor trocado entre as fases, ˙QD, pelo energia transportada pela fase contínua, ˙EC:

Πe = ˙ QD

˙ EC

onde, se eC= cCTC, tem-se que ˙EC = αCρCuCL2cCTC.

• Para uma troca de calor entre partícula e fase contínua puramente convectiva, tem-se que:

˙

Acoplamento de energia

Parâmetro de acoplamento para troca por convecção

• Portanto: Πe= nD αCρC L uC 2πDkC cC NuD 2  1 −TD TC  • Porém: tT = cDρDD2 12kC , mD= ρD π 6D 3_⇒ mD tT = 2πDkC cD

• Portanto, com nDmD= αDρDe tFu= L/uC, tem-se que: Πe = αDρD αCρC tFu tT cD cC NuD 2  1 −TD TC  = C StT cD cC NuD 2  1 −TD TC 

• Usando o limite difusivo (NuD= 2) e como cD/cC ∼ 1, tem-se que: Πe ∼ C StT  1 −TD TC  , StT = tT tFu

Acoplamento de energia

também é indeterminada quando StT → 0 pois TD/TC→ 1.

• Da mesma forma que com a troca de quantidade de

movimento, pode-se definir φT = TD/TCe usar a solução da conservação de energia para uma partícula sob a hipótese de φT constante para provar que:

1 − φT ∼ StT 1 + StT • Assim: Πe ∼ C 1 + StT

Acoplamento de energia

quando a fase contínua é um gás PrC ∼ 1 ou um líquido pouco viscoso.

Acoplamento de energia

Com mudança de fase

• Quando há mudança de fase, o calor trocado entre as

fases é fundamentalmente calor latente, de forma que precisamos redefinir o parâmetro de acoplamento de energia para: Πel= ˙ QDl ˙ EC

onde, tal como antes, ˙EC= αCρCuCL2cCTC(ou ˙

EC = αCρCuCL2cC(TC− Tref)), mas ˙QDl é o calor latente trocado entre as fases:

˙

QDl= nDL3m˙DhL

Acoplamento de energia

Com mudança de fase

• Note que ˙ QDl = nDmDL3 ˙ mD mD hL= αDρD L3 tm hL onde tm= mD/ ˙mD. • Assim: Πel= αDρD αCρC tFu tm hL cC(TC− Tref) = C StmBT onde Stm= tm tFu , BT = cC(TC− Tref) hL

são, respectivamente, o número de Stokes associado a mudança de fase e o número de transferência de calor de Spalding.

• A análise do processo termo-mássico de mudança de fase

Sumário

• Escoamento multifásicos dispersos podem ser diluídos ou

densos.

• Escoamento multifásicos dispersos diluídos tem diferentes níveis de acoplamento entre as fases.

• Para o acoplamento de 2 vias, definem-se parâmetros de

acoplamento para cada processo de transporte.

• Cada parâmetro de acoplamento depende da razão

mássica local entre as fases e de um número de Stokes do processo em questão.

• Próximas aulas:

• Dinâmica de Partículas Isoladas

Exercícios I

1 Use a solução da conservação de energia para uma partícula sob a hipótese de φT= TD/TCconstante para provar que:

1 − φT∼

StT

1 + StT

2 O processo de vaporização de gotas (ou condensação sobre gotas) em ambientes aquecidos é um processo industrial de ampla aplicação (queimadores, motores de combustão interna, sprinklers, seções de spray de torres de destilação, spray dryers, torres de refrigeração, etc.).

Considere o caso da vaporização de um líquido puro (A) em uma fase gasosa (componente B). Se a gotícula é suficientemente pequena para que a força de tensão interfacial a mantenha esférica e para que sua velocidade terminal seja praticamente zero, pode-se estudar a transferência simultânea de calor e massa na fase fasosa em torno da gota esférica asumindo um ambiente estagnado.

O processo de mudança de fase ocorre sobre a superfície da gota e a energia necessária para o aquecimento da gota e a sua vaporização (calor de vaporização) precisa ser transportada do seio do gás para a sua superfície. Quando a temperatura da superfície da gota é baixa, a energia transportada pelo gás é quase totalmente usada para aquecer a gota. Com o tempo, chega-se a um estado pseudo-estacionário onde toda a energia transportada até a superfície da gota é utilizada na vaporização, e a temperatura do líquido atinge a chamada temperatura de equilíbrio, que é inferior a temperatura de ebulição do

Exercícios II

líquido na pressão vigente devido a presença de gases não condensáveis, mas ela se aproxima da mesma quanto mais alta for temperatura do gás.

Sob estas condições pseudo-estacionárias, é possível resolver o problema para obter:

˙ mD= 2πD kC cC ln (1 + BT) = 2πDρCDCln (1 + BA) onde BT= cC(T∞− Ts) hD(Ts) , BA= YAs− YA∞ 1 − YAs

são os número de transferência de calor e massa, respectivamente, s indica condição sob a superfície da gota, Y é a fração mássica do componente na fase gasosa (contínua), hDé o

calor latente do líquido e DCé o coeficiente de difusão no gás. A igualdade acima é

utilizada, junto com uma condição de equilíbrio de fases na superfície da gota, para calcula Tse YAs. Se T∞for bastante alto, Tsse torna praticamente igual a temperatura de ebulição

do líquido na pressão do sistema. Assuma esta aproximação nos itens a seguir. • Utilizando o balanço de massa para a gota e a equação dada acima para a taxa de

vaporização em função de BTobtenha a chamada “d2-law”:

[D(t)]2= [D(0)]2− Kt

Exercícios III

• Calcule o tempo característico de mudança de fase, tm.

• Para um “sprinkler” descarregando gotas de água de D = 100µm em um incêndio com T∞= 900K em uma sala de 3 metros de altura e à pressão atmosférica.

Considerando que há uma velocidade de convecção no incêndio de 3 m/s e usando as propriedades da fase gasosa como as do ar na mesma temperatura, determine o número de Stokes Stm.

• Se a fração de fase da fase dispersa no spray for de 0,02%, calcule os parâmetros de acoplamento de quantodade de movimento,ΠQM, e energia, Πel.

Para leitura I

Crowe, C.; Sommerfeld, M.; Tsuji, Y.

Multiphase Flows with Droplets and Particles. CRC Press. 1998