III A linha de transmissão

III – A linha de transmissão

As linhas de transmissão são os equipamentos empregados para transportar grandes blocos de energia por grandes distâncias, entre os centros consumidores e os centros geradores. No Brasil, em função do parque gerador ser baseado na energia hidrelétrica, o sistema de transmissão desempenha um papel muito importante pois as distâncias entre os centros consumidores e geradores são elevadas.

Os dados do setor elétrico brasileiro podem ser obtidos nos boletins do Sistema de Informações Empresariais do Setor de Energia Elétrica (SIESE) que é parte do Sistema Integrado de Informações Energéticas (SIE) da Secretaria Geral do Ministério das Minas e Energia (MME). Um extrato do relatório, referente às linhas de transmissão encontra-se no Quadro III.1.

Quadro III.1 – Extensão das linhas de transmissão do setor elétrico brasileiro.

EXTENSÃO DE LINHAS DE TRANSMISSÃO - km

Em 31.12 2001 1999 2000 2001 Entradas Retiradas 69 kV 40.023,0 39.973,0 39.973,0 0,0 0,0 88 kV 3.290,7 3.290,7 3.290,7 0,0 0,0 138 kV 55.723,2 56.080,1 56.080,1 0,0 0,0 230 kV 33.869,9 34.040,7 34.072,7 32,0 0,0 345 kV 8.952,3 8.952,3 8.952,3 0,0 0,0 440 kV 6.384,4 6.497,6 7.002,6 505,0 0,0 500 kV 16.952,7 18.617,2 18.721,5 104,3 0,0 600 kV (corrente contínua) 1.612,0 1.612,0 1.612,0 0,0 0,0 750 kV 2.114,0 2.379,0 2.683,0 304,0 0,0

Fonte: Boletim Semestral do SIESE Síntese 2001 (disponível em: http://www.eletrobras.gov.br/mercado/siese/).

Uma linha de transmissão de energia elétrica possui quatro parâmetros básicos: resistência série, indutância série, capacitância em derivação e condutância em derivação. Estes parâmetros influem diretamente no seu comportamento como componente de um sistema de energia elétrica mas, a condutância em derivação (utilizada para representar a fuga pelos isoladores e corona de linhas aéreas ou isolação dos cabos subterrâneos) geralmente é desprezada por ser muito pequena.

Assim, para a análise do regime permanente de uma linha de transmissão serão considerados apenas três parâmetros: resistência série, indutância série e capacitância em derivação.

III.1 – Tipos de condutores

Na construção de linhas de transmissão são empregados largamente os condutores de alumínio devido aos seguintes fatores:

• Menor custo e peso;

• Maior diâmetro que equivalente em cobre (portanto menor densidade de fluxo elétrico na superfície proporcionando um menor gradiente de potencial e menor tendência à ionização do ar – efeito corona). Os tipos mais comuns de condutores de alumínio são:

CA Condutor de Alumínio ≡ AAC All Aluminium Conductor

CAA Condutor de Alumínio com alma de Aço ≡ ACSR Aluminium Conductor Steel Reinforced

Os nomes código dos cabos CA são nomes de flores (por exemplo: 4 AWG Rose; 266,8 MCM Daisy; 636 Orchid) e dos cabos CAA são nomes de aves (por exemplo: 1 AWG Robin; 636 MCM Grosbeak; 1590 Falcon).

III.2 – Resistência série

A resistência série é a principal causa das perdas de energia nas linhas de transmissão. Em corrente contínua (CC) a resistência de um condutor é dada por:

A l RCC = ρ [Ω] (III.1) onde: ρ – Resistividade do condutor1 [Ωm] l – Comprimento [m]

A – Área da seção transversal [m2]

Na determinação da resistência dos condutores devem ser levados em conta os seguintes aspectos:

• Para a faixa normal de operação, a variação da resistência de um condutor metálico é praticamente linear, ou seja: 1 0 2 0 1 2 T T T T R R + + = (III.2) onde: 1 R – Resistência à temperatura T₁ [Ω] 2 R – Resistência à temperatura T₂ [Ω] 0 T – Constante do material2 [o C]

• Em cabos encordoados, o comprimento dos fios periféricos é maior que o comprimento do cabo (devido ao encordoamento helicoidal). Isto acresce à resistência efetiva em 1 a 2%.

Em corrente alternada (CA), devido ao efeito pelicular (skin), a corrente tende a concentrar-se na superfície do condutor. Isto provoca um acréscimo na resistência efetiva (proporcional à freqüência) observável a 60 Hz (em torno de 3%).

Exemplo III.1 – Para o cabo de alumínio Marigold 1113 MCM (61×3,432mm), a resistência em CC a 20oC é igual a 0,05112 Ω/km e a resistência CA-60 Hz a 50

o

C é 0,05940 Ω/km. Determinar: a) O acréscimo percentual na resistência devido ao encordoamento.

b) O acréscimo percentual na resistência devido ao efeito pelicular. Solução Exemplo III.1:

a) A área da seção transversal do condutor é:

2 4 2 3 2 m 10 643 , 5 2 10 432 , 3 61 − − × =       _× = =Nπr π A

Utilizando a expressão (III.1), tem-se:

km 2 4 km m 8 05015 , 0 m 10 643 , 5 1000 m 10 83 , 2 − ₋ = Ω × Ω × = = A l RCC ρ

Portanto, o acréscimo devido ao encordoamento , ∆enc, é: % 9 , 1 019 , 1 05015 , 0 05112 , 0 enc km km = _⇒ ∆ = = Ω Ω CC ef CC R R 1 _{Para o alumínio têmpera dura a 20}o _C,

m 10 83 , 2 × 8 Ω = − ρ .

2 _{Para o alumínio têmpera dura a 20}o _C,

C 228 0 o = T .

Solução Exemplo III.1 (continuação): b) Utilizando a expressão (III.2), tem-se:

km 0 0 20 50 05730 , 0 20 228 50 228 05112 , 0 20 50 _{= Ω} + + = + + = T T R R_{CC CC}

Portanto, o acréscimo devido ao efeito pelicular, ∆pel, é: % 7 , 3 037 , 1 05730 , 0 05940 , 0 pel 50 50 = ∆ ⇒ = = CC CA R R

III.3 – Indutância série

Um condutor constituído de dois ou mais elementos ou fios em paralelo é chamado condutor composto – observar que isto inclui os condutores encordoados e também os feixes (bundles) de condutores.

Sejam os dois condutores compostos arranjados conforme a Figura III.1. O condutor x é formado por n fios

cilíndricos idênticos, cada um transportando a corrente In e o condutor de retorno Y é formado por M fios

cilíndricos idênticos, cada um transportando a corrente IM.

a Condutor x b c n A B C M Condutor Y bn D DbC

Figura III.1 – Seção transversal de uma linha monofásica constituída por dois condutores compostos. Considerando as distâncias indicadas na Figura III.1, a indutância dos fios a e b que fazem parte do condutor x são dadas por:

n an ac ab a M aM aC aB aA a D D D r D D D D n L L L ′ = ln 2π µ [H/m] n bn bc ba b M bM bC bB bA b D D D r D D D D n L L L ′ = ln 2π µ _[H/m] onde: 0 µ µ

µ = r – Permeabilidade do meio3 (para o vácuo, µ₀ =4π10−7H_m=4π10−4 H_km) [H/m] αβ

D – Distância entre os fios α e β [m] α

r′ – Raio de um condutor fictício (sem fluxo interno) porém com a mesma indutância que o condutor α, cujo raio é r_α (para condutores cilíndricos, _r′ =_r ⋅_e−14

α

α ) [m]

Nas expressões anteriores, é imprescindível que D_αβ e r_α′ estejam na mesma unidade (em metros, por exemplo).

3

A indutância do condutor composto x é igual ao valor médio da indutância dos fios dividido pelo número de fios (associação em paralelo), ou seja:

2 médio n L L L L n n L L L L n L L a b c n n c b a x x + + + + = + + + + = = K K [H/m]

Segue daí que:

(

)(

) (

)

(

)(

) (

)

2 ln 2 n nn nb na bn bb ba an ab aa Mn nM nB nA bM bB bA aM aB aA x D D D D D D D D D D D D D D D D D D L L L L L L L L L π µ = [H/m] (III.3)

onde D_αα =r_α′. O numerador da expressão (III.3) é chamado de Distância Média Geométrica (DMG) e é notado por Dm; o denominador é chamado de Raio Médio Geométrico (RMG) e é notado por Ds. Assim,

s m x D D L ln 2π µ = [H/m] (III.4) com: m

D – Distância Média Geométrica (DMG):

(

)(

) (

)

Mn nM nB nA bM bB bA aM aB aA m D D D D D D D D D D = L L L L [m] s

D – Raio Médio Geométrico (RMG):

(

)(

) (

)

2 n nn nb na bn bb ba an ab aa s D D D D D D D D D D = L L L L [m]

Sendo f a freqüência de operação da linha, a reatância indutiva é dada por:

x L fL

X =2π [Ω/m]

Em uma linha trifásica, com espaçamento assimétrico, a indutância das fases é diferente e o circuito é desequilibrado. Por intermédio da transposição da linha, é possível restaurar o equilíbrio das fases, do ponto de vista dos terminais da linha. A transposição consiste em fazer com que cada fase ocupe cada uma das posições nas torres por igual distância (para uma linha trifásica, três são as posições possíveis e deve-se fazer com que cada fase ocupe 1/3 do comprimento da linha em cada uma das três posições).

Considere a linha trifásica transposta com espaçamento assimétrico mostrada na Figura III.2.

3 1 2 Condutor A 13 D 12 D 23 D Condutor A Condutor A Condutor B Condutor C Condutor C Condutor B Condutor C Condutor B _{Posição 1} Posição 2 Posição 3 1 /3 comprimento 1 /3 comprimento 1 /3 comprimento T ra n s p o s iç ã o T ra n s p o s iç ã o

Figura III.2 – Linha trifásica com um ciclo de transposição. Para a linha da Figura III.2, a indutância média por fase é dada por:

s eq D D L ln 2π µ = [H/m] (III.5) onde: eq

D – Distância média geométrica entre condutores 3

31 23 12D D D Deq = [m] s

Observar a semelhança entre as expressões (III.4) e (III.5). Em linhas constituídas por mais de um condutor por fase, o raio médio geométrico deve ser calculado como anteriormente, ou seja:

(

)(

) (

)

2 n nn nb na bn bb ba an ab aa s D D D D D D D D D D = L L L L

e os termos empregados no cálculo da distância média geométrica

(

D₁₂,D₂₃ e D₃₁

)

correspondem às distâncias médias geométricas entre cada uma das combinações das fases, ou seja, D_xY é dado por:

(

)(

) (

)

Mn nM nB nA bM bB bA aM aB aA m xY D D D D D D D D D D D = = L L L L

Os valores do raio médio geométrico de cada condutor (Daa, Dbb, etc.) podem ser obtidos diretamente nas

tabelas dos fabricantes, juntamente com os demais dados dos cabos (nome código, seção transversal, formação, número de camadas, diâmetro externo e resistência elétrica), ou podem ser determinados por intermédio da seguinte expressão:

g K D D_αα =0,5 _α ×

onde D é o diâmetro externo do condutor _α α e Kg uma constante que depende de sua formação (quantidade

e tipo de fios), cujos valores encontram-se no Quadro III.2.

Quadro III.2 – Valores de Kg para a determinação do raio médio geométrico de um cabo.

Formação (número de fios) Fator de formação (Kg) 7 0,7256 19 0,7577 37 0,7678 61 0,7722 Condutor de Alumínio (CA) 91 0,7743 Formação (fios alumínio/aço) Fator de formação (Kg) 22/7 0,7949 26/7 0,8116 30/7 0,8250 45/7 0,7939 54/7 0,8099

Condutor de Alumínio com alma de Aço

(CAA)

54/19 0,8099

Fonte: Overhead, Pirelli Technical Manuals

(disponível em http://www.au.pirelli.com/en_AU/cables_systems/telecom/downloads/pdf/Overhead.pdf) Para condutores de alumínio, observar que à medida que o número de fios aumenta o fator de formação (Kg)

se aproxima do valor determinado para condutores cilíndricos maciços, que corresponde a _e−14 =0,7788_.

Exemplo III.2 – Determinar o raio médio geométrico do condutor de alumínio com alma de aço Pheasant 1272 MCM, formado por 54 fios de alumínio e 19 de aço (54/19) que possui um diâmetro externo de 3,5103cm.

Solução Exemplo III.2: Do Quadro III.2, tem-se que o fator de formação correspondente (54/19) é dado por Kg =0,8099. Substituindo na expressão, tem-se:

cm 4215 , 1 8099 , 0 cm 5103 , 3 5 , 0 5 , 0 × = × × = = D Kg D_{αα α}

III.4 – Capacitância em derivação

Para uma linha de transmissão monofásica formada por condutores de raio r, conforme a mostra Figura III.3,

a capacitância entre os dois fios desta linha é dada por:

r D k Cab ln π = [F/m]

onde k é a permissividade do meio ( Fkm

9 m F 12 0 8,85 10 8,85 10 − − _{= ×} × = k , é a permissividade do vácuo,

geralmente empregada no cálculo de linhas aéreas).

a b

D

Figura III.3 – Seção transversal de uma linha monofásica.

Assim, a capacitância de qualquer um dos fios ao neutro corresponde ao dobro do valor determinado pela expressão anterior (associação série de capacitores), conforme ilustra a Figura III.4.

a Capacitância linha/linha b ab C _a Capacitância linha/neutro b aN C C_bN N ab bN aN C C C = =2

Figura III.4 – Capacitâncias linha/linha e linha neutro.

Desta forma, a expressão da capacitância entre linha/neutro, para uma linha monofásica é dada por:

r D k CN ln 2π = [F/m] (III.6)

Para uma linha de transmissão trifásica espaçada igualmente e formada por condutores de raio r, conforme

mostra a Figura III.5, a capacitância entre linha/neutro de qualquer uma das fases pode ser obtida, também,

pela expressão (III.6).

D D

D a

b

c

Figura III.5 – Seção transversal de uma linha trifásica.

Observar que na expressão (III.5) não foi contemplada a existência da terra que causa uma descontinuidade no meio dielétrico (passa de isolante para condutivo). Embora a consideração do efeito da terra, geralmente, não provoque alterações significativas no valor da capacitância (em outras palavras, a capacitância entre as fases é muito maior do que a capacitância entre as fases e a terra), é possível determinar esta componente aplicando-se o método das imagens.

Considerando os condutores fase e as imagens, mostrados na Figura III.6, a capacitância média com relação ao neutro é dada por4:

        + =         − = 3 3 3 3 ln ln 2 ln ln 2 α χ β χ β α χ β α α χ β π π c b a c b a eq c b a c b a eq N D D D D D D r D k D D D D D D r D k C [F/m] (III.7) sendo 3 ca ba ab eq D D D

D = a distância média geométrica entre condutores. Observar a semelhança entre as expressões (III.6) e (III.7). Como os condutores das linhas de transmissão são suspensos e adquirem a forma de uma catenária, a altura adotada no cálculo da capacitância é diferente da altura de suspensão (H), pois o cabo apresenta uma flecha f, sendo sua altura média é inferior. Usualmente, a altura empregada no cálculo, h, é dada por: h=H−0,7f . ab D a b c α β χ bc D β a D D_bχ α a D D_bβ Dc_χ ca D α c D Condutores Imagens Superfície do solo

Figura III.6 – Seção transversal de uma linha trifásica assimétrica e sua imagem.

Sendo f a freqüência de operação da linha e C a capacitância linha/neutro, determinada pelas expressões _N (III.6) e (III.7), a reatância capacitiva dos condutores em relação ao neutro é dada por:

N C fC X π 2 1 = [Ωm]

Observar que a unidade de X é diferente da unidade de_L X , enquanto o primeiro é dado em _C Ω/m (pois a reatância é diretamente proporcional à indutância que é dada em H/m), o segundo é dado em Ωm (pois a reatância é inversamente proporcional à capacitância que é dada em F/m).

4 _{As duas expressões a seguir são idênticas, apenas diferem com relação ao sinal e a expressão do 2}o _{termo do} denominador – lembrar que ( ) ( )b_a

b

a _ln

ln =− . Observar que o termo 3 _{β χ α}

c b a D D

D (diagonais) sempre é maior que

3 _{α β χ}

c b a D D

D (verticais), motivo pelo qual o segundo termo sempre reduz o valor do denominador, ou seja, a

Exemplo III.3 – Para as duas configurações abaixo (vertical e horizontal), determinar a indutância série e a capacitância em derivação por unidade de comprimento (km). Considerar que ambas as linhas são transpostas. D a b c a b c H Vertical Horizontal Superfície do solo D D H D m 20 m 0 , 7 (RMG) cm 021 , 1 cm 257 , 1 Grosbeak MCM 636 Cabo 10 85 , 8 10 4 km F 9 0 km H 4 0 = = = = × = = = = − − H D D r k k s π µ µ

Solução Exemplo III.3: Para ambas as configurações, têm-se:

m 82 , 8 26 , 1 2 2 3 3 3 3 31 23 12 = = ⋅ ⋅ = ≈ = = D D D D D D D D D D D D_{eq ab bc ca}

logo, pela expressão (III.5):

km H 3 km H 4 0 10 35 , 1 m 0,01021 m 82 , 8 ln 2 10 4 ln 2 − − × = = = π π π µ s eq D D L

Para a configuração vertical, tem-se:

(

2 3

)(

2

)(

2 2

)

3154818 53,70 m 3 3 _{D D D} = _H+ _{D H}+_{D H}+ _D = ≈ c b aβ χ α

(

2 4

)(

2 2

)

2 3146880 52,76 m 3 3 _{D D D} = _H+ _{D H}+ _{D H} = ≈ c b aα β χ

logo, pela expressão (III.7), tem-se:

km F 9 km F 9 3 3 10 51 , 8 m 52,76 m 70 , 53 ln m 0,01257 m 82 , 8 ln 10 85 , 8 2 ln ln 2 − _{= × −} − × ≈         − = π π χ β α α χ β c b a c b a eq N D D D D D D r D k C

Negligenciando o efeito do solo, observar que a capacitância das configurações vertical e horizontal seria igual a: km F 9 km F 9 10 48 , 8 m 0,01257 m 82 , 8 ln 10 85 , 8 2 ln 2 ₌ × − _{= ×} − = ′ π π r D k C eq N

Neste caso, a capacitância com relação ao neutro sem considerar o solo, C_N′ , corresponde a 99,6% de C_N5. Para a configuração horizontal, tem-se:

( )

2

( )

2

( ) ( )

2 2 3 69883,37 41,19 m 3 2 2 2 2 2 2 3 _{D D D} = _H +_{D H} +_{D H} + _D = ≈ c b aβ χ α m 00 , 40 2 2 2 2 3 3 _{D D D} = _H⋅ _H⋅ _H = _H = c b aα β χ

logo, pela expressão (III.7), tem-se:

km F 9 km F 9 3 3 10 52 , 8 m 40,00 m 18 , 41 ln m 0,01257 m 82 , 8 ln 10 85 , 8 2 ln ln 2 − _{= ×} − − × ≈         − = π π χ β α α χ β c b a c b a eq N D D D D D D r D k C

Neste caso, a capacitância com relação ao neutro sem considerar o solo, CN′ , corresponde a 99,5% de C . N

5

Exemplo III.4 (Provão 2002) – Questão relativa às matérias de Formação Profissional Específica (Ênfase Eletrotécnica).

Média (escala de 0 a 100) % escolha

Brasil Região Sul Instituição Brasil Região sul Instituição

Exercício III.1 – Descrever e demonstrar com exemplo as alterações necessárias na disposição dos cabos (altura, arranjo das fases, arranjo do bundle, etc.) para:

a) Reduzir a indutância série de uma linha de transmissão.

b) Aumentar a capacitância em derivação de uma linha de transmissão.

III.5 – O modelo da linha de transmissão

As linhas de transmissão são classificadas de acordo com seu comprimento:

• Linhas curtas: até 80 km.

• Linhas médias: até 240 km.

• Linhas longas: mais de 240 km

Embora as linhas nem sempre possuam espaçamento eqüilátero e sejam plenamente transpostas, a assimetria resultante em sistemas de alta e extra-alta tensão é pequena e as fases podem, geralmente, ser consideradas equilibradas (via de regra, a carga é bastante equilibrada).

Os parâmetros utilizados nos estudos de fluxo de carga para representar linhas curtas e médias podem ser obtidos diretamente das expressões anteriores – basta multiplicá-los pelo comprimento da linha de transmissão. Para linhas longas é necessário fazer uma correção para considerar que os parâmetros são distribuídos.

Qualquer linha de transmissão pode ser representada de modo exato, a partir dos seus terminais, por um circuito π equivalente, como mostrado na Figura III.7, onde:

km

Z – Impedância série total da linha de transmissão [Ω]

km

Y – Admitância em derivação (linha/neutro) total da linha de transmissão [S] γ – Constante de propagação da linha: γ =α+ jβ= z⋅y [1/km]

z – Impedância série por unidade de comprimento [Ω/km]

y – Admitância em derivação (linha/neutro) por unidade de comprimento [S/km] α – Constante de atenuação [neper/km]

β – Constante de fase [rad/km] l – Comprimento da linha [km] k _l l Z Z km km ⋅ ⋅ = ′ γ γ senh 2 km Y′ m 2 2 tanh 2 2 l l Y Y km km ⋅ ⋅ = ′ γ γ

Figura III.7 – Circuito π equivalente de uma linha de transmissão. Para linhas de transmissão médias, tem-se que:

1 senh ≈ ⋅ ⋅ l l γ γ e 1 tanh 2 2 ≈ ⋅ ⋅ l l γ γ

Logo, para linhas de transmissão médias, pode-se utilizar diretamente a impedância série total da linha (pois

km

km Z

Z′ = ) e a metade da admitância em derivação total (pois Y km 2=Zkm 2

′

), resultando no chamado circuito π nominal.

Para linhas de transmissão curtas, pode-se desprezar a admitância em derivação e utilizar-se somente a

impedância série total da linha.

Observar que, geralmente, a condutância em derivação é insignificante, ou seja, a admitância em derivação é composta apenas pela susceptância em derivação shunt

Exercício III.2 – Para a configuração vertical do Exemplo III.2, determinar o circuito equivalente, considerando a resistência em corrente alternada por unidade de comprimento igual a r=0,10054 Ωkm, 60 Hz, e que o comprimento da linha é:

a) 500 km (linha longa) b) 150 km (linha média) c) 50 km (linha curta).

Após realizadas as correções necessárias para levar em conta o comprimento, a representação das linhas de transmissão no fluxo de carga é realizada pelo seu equivalente π, mostrado na Figura III.8 que é definido por três parâmetros: a resistência série r ; a reatância série _km x_km e a susceptância em derivação (shunt) b_kmsh.

k km I rkm jxkm sh km jb sh km jb m mk I I k k k V V = θ Vm=V_m θ_m

Figura III.8 – Modelo equivalente π de uma linha de transmissão. A impedância e admitância do elemento série são dadas por:

km km km r jx Z = + 2 2 2 2 1 km km km km km km km km km km km x r x j x r r jx r jb g Y + − + + = + = + =

Para uma linha de transmissão, r e _km x_km são positivos (portanto, g_km é positivo e b_km é negativo) e o elemento em derivação, b_kmsh, também é positivo em função de representar a capacitância linha/neutro da linha de transmissão.

As correntes Ikm e Imk são obtidas a partir dos fasores tensão das barras k e m (Vk =V_k θ_k e m m m V V = θ , respectivamente):

(

k m

)

_kmsh k

(

km _kmsh

)

k km m km km Y V V jb V Y jb V Y V I = − + = + − (III.8)

(

m k

)

_kmsh m km k

(

km _kmsh

)

m km mk Y V V jb V Y V Y jb V I = − + =− + + (III.9)

A expressão do fluxo de potência complexa da barra k para a barra m é dada por:

(

)

[

]

* * 2 * * * * * * * m k km k sh km km m km k sh km km k m km k sh km km k km k km km km V V Y V jb Y V Y V jb Y V V Y V jb Y V I V jQ P S −       ₋ =     _{ −}      ₋ = − + = = + = Sabendo que VkVm =V_kV_m θ_k −θ_m * e definindo θ_km =θ_k −θ_m,

(

)

[

]

(

)

(

)

[

]

k k m

(

km km

)(

km km

)

sh km km km km m k km km k sh km km km km j jb g V V V b b j g V V jb g V b b j g S θ θ θ sen cos 2 2 + − − + − = − − + − = (III.10)

Separando as partes real e imaginária, chega-se a:

(

km km km km

)

m k km k km V g VV g b

P = 2 − cosθ + senθ (III.11)

(

)

k m

(

km km km km

)

sh km km k km V b b V V g b

Q =− 2 + − senθ − cosθ (III.12)

Analogamente, para determinar o fluxo de potência complexa da barra m para a barra k:

(

)

[

]

* * 2 * * * * * * * k m km m sh km km k km m sh km km m k km m sh km km m mk m mk mk mk V V Y V jb Y V Y V jb Y V V Y V jb Y V I V jQ P S −       ₋ =     _{ −}      ₋ = − + = = + =

cujas partes real e imaginária são:

(

km mk km mk

)

m k km m mk V g V V g b

P = 2 − cosθ + senθ (III.13)

(

)

k m

(

km mk km mk

)

sh km km m mk V b b VV g b

Q =− 2 + − senθ − cosθ (III.14)

O diagrama fasorial da linha de transmissão é mostrado na Figura III.9.

I jxkm k V m V km V I I rkm km θ

Figura III.9 – Diagrama fasorial da linha de transmissão.

As perdas de potência ativa e reativa em uma linha de transmissão podem, então, ser determinadas somando-se, respectivamente, as expressões (III.11) com (III.13) e (III.12) com (III.14), ou seja:

(

k m

)

km k m km km mk km P V V g V V g P Pperdas = + = 2 + 2 −2 cosθ

(

)(

)

k m km km sh km km m k mk km Q V V b b V V b Q Qperdas = + =− 2+ 2 + +2 cosθ

As expressões (III.8) e (III.9), podem ser arranjadas de outra forma, tendo em vista possibilitar a representação da linha de transmissão por um quadripolo, conforme mostrado na Figura III.10.

km I Imk k k k V V = θ Vm =V_m θ_m + – + –       ⋅       =       km k mk m I V D C B A I V

Figura III.10 – Linha de transmissão representada por um quadripolo. Isolando V em (III.8), chega-se a: m

(

)

[

]

km

(

km _kmsh

)

k km km km k km sh km km k sh km km km m I Z jb V Z I Y V Y jb I V jb Y Y V _ − = + −       + = − + = 1 1 1 1 (III.15)

Em (III.9), substituindo V , pela expressão (III.15), tem-se: m

(

)

(

)

(

)

km km sh km k km sh km sh km sh km sh km km km sh km k km km sh km sh km km sh km km k km km km sh km km k km sh km sh km km k km V km km k km sh km sh km km mk I Y jb V Y jb jb jb jb I Y jb V Y Y jb jb Y jb Y V Y I Y jb Y V Y jb jb Y V Y I Y V Y jb jb Y I m         + −       + + =         + −       − + + + = = − + −         + + = −         −         + + = 1 1 1 1 1 4 4 4 4 8 4 4 4 4 7 6

(

km kmsh

) (

k km kmsh

)

km sh km km km sh km k km sh km sh km mk I jb Z jb V Z jb I Y jb V Y jb jb I _ = + − +       + −         + = 2 1 2 1 (III.16)

Assim, os parâmetros do quadripolo são: A=1+Zkmjb_kmsh B=−Zkm

(

sh

)

km km sh km Z jb jb C= 2+ D=−

(

1+Zkmjb_kmsh

)

.

Exemplo III.5 (Provão 2000) – Questão relativa às matérias de Formação Profissional Específica (Ênfase Eletrotécnica).

Média (escala de 0 a 100) % escolha

Brasil Região Sul Instituição Brasil Região Sul Instituição